投篮问题建模

投篮命中率的数学模型摘要随着篮球运动的普与，篮球比赛中紧X、激烈的气氛和更加具有攻击性的防守等因素导致投篮命中率大大降低。

根据研究显示，影响投篮命中率有两个关键因素：出手角度和出手速度。

本文主要运用运动力学的知识，建立有效的篮球投射模型, 从篮球投射时球的出手角度、出手速度、出手高度和篮球球心与篮框中心的水平距离、篮球入射角之间的关系入手，分析各种因素对投篮命中率的影响，并作适当的假设，在合理估计出手点与篮框中心距离并保持出手速度稳定的情况下, 确定投篮的最优出手角度和最优出手速度，得出一个既能使投篮时不过多消耗体力又能提高投篮命中率的结论。

首先，本文将三角函数、导数、微分等数学知识与运动学、力学等物理知识相互结合，在罚球投篮这一具体问题的相应具体情境下对此进展了深入分析。

其次，本文建立了与之相关的数学模型，通过不同投篮情况的图表分析归纳出对应的公式，在多重公式的累加条件下最后整理得到满足要求的最终条件X围，得出模型的结果。

在求解过程中，本文使用了MathType数学软件对所用的数学符号作了系统的整理，借此列出了各组公式，同时给出了详细的计算与分析过程，并得出最终结果。

本文在第一问中所设定的不考虑球出手后自身的旋转与球碰篮板或篮框的情况，即在只针对空心球的情况下又限制变量，分别讨论篮框大小、篮球大小、空气阻力与出手角度和速度的最大偏差这四个不同变量下命中率受到的的影响，给出公式，计算出结果。

最终，本文探讨出提高罚球命中率的方法是控制投篮时的出手角度和出手速度，使之分别限制在一定的X围内。

出手角度和速度的过高或过低都会使罚球命中率不能保持在较高水平。

在第二问中本文针对篮球擦板后进篮的情况，假定篮球在碰撞过程中没有能量损耗的理想情况，讨论出了分别在限制区边线距篮框中心30度、45度、90度〔罚球线〕位置上这三种不同情境下出手角度、出手速度与投篮的命中率之间的关系。

当运动员所站的位置改变时，即投篮出手点到篮框的距离改变时，出手角度和出手速度的增加或减少都影响了投篮的命中率。

投篮模拟问题的程序说明一、问题的提出在激烈的篮球比赛中,投篮命中率对于球队获胜起着决定性作用.影响投篮能否命中的因素非常复杂,但投篮时篮球的出手角度和出手速度无疑是两个关键因素。

设p 点表示投篮点,Q 点为篮筐中心,P 和Q 点的水平距离Sm(由程序运行者输入),Q 点高H=3.05m,篮球直径d=24.6㎝,质量M=600g,篮筐直径D=45.0㎝ .根据实际情况,我们分析投篮命中时,篮球的出手角度和速度的大小以及它们的关系.二.问题分析影响篮球在空中运动的因素有很多,在这里我们约定:我们将忽略篮球在空中运动过程中自身旋转的影响,也不讨论篮球碰篮板, 篮筐反弹后落入球筐的情况,并且假设篮球运行的轨迹始终在由篮球出手点和篮筐中心所确定的垂直平面内.三.应用知识根据题意,我们需要列出球的运行轨迹找到篮球出手角度和速度的关系,因此,需要用到质点轨迹运动方程.四.模型建立1.模型的假设假设不考虑篮球的大小,把篮球看作集中在篮球球心的一个质点,讨论篮球球心命中球筐中心的条件.假设不考虑空气阻力对投篮的影响.2.符号说明S:投篮点与篮筐中心的水平距离;H:篮筐中心高度;d: 篮球直径;M:篮球质量;r:篮筐直径;h:出手高度;v:出手速度;θ:出手角度3.建模及解答:不考虑篮球和篮筐大小的简单情况,相当于将篮球视为质点的斜抛运动.建立坐标。

将坐标系原点O 取在篮球出手瞬间篮球球心的位置,水平方向为X 轴,竖直方向为Y 轴,篮球球心的坐标(x,y),列出关于x,y 的方程,就能得到篮球球心的运动轨迹.篮球球心命中球筐中心Q,意味着点Q 在篮球球心运动的轨迹上,由此可以推导出篮球出手角度和速度的关系.设时间从篮球出手的瞬间开始计算,此时t=0.在t=0时以出手速度v,出手角度θ投出篮球,篮球出手后在空中飞行时,沿水平方向是一个速度为θcos 0v 的匀速运动,沿竖直方向是一个初速度为θsin 0v 的上抛运动,因而t 时刻的方程 θcos 0v v x =gt v v y -=θsin 0g 是重力加速度,t 时刻球心位置(x(t),y(t))为: t v x ⋅=θcos2021sin gt t v y -⋅=θ消去t 得运动轨迹方程:2220cos 2tan x v gx y θθ-⋅=因为运动员的出手角度是一个自己的习惯问题，所以在此程序中，我采用的是让程序运行者输入一个自己习惯的出手角度，然后程序给运行者三个反馈：分别是能使球入筐的出手的大速度和最小速度即篮球出手的力量，以及两条投篮模拟曲线。

摘要如今全民大爱篮球运动，投球的命中率是一场比赛输赢的关键所在，能否投入篮筐与投球时运动员所处的位置、投球时的角度和投球时的出手速度有很大关系，该论文主要以罚球为出发点，排除了运动员因运动而造成的各种不利因素，讨论其罚球时球心与篮筐中心距离，球心所处高度以及投球速度之间的变化对球入篮的影响。

把其简化成物理学上的上抛运动，对其水平上用匀速运动讨论起运动规律，在垂直方向以初速度为投球时的速度v，加速度为g做均减速运动讨论其运动规律。

综合求解出其运动轨迹，利用导数意义，求出所需高度，速度等变量的最值，得出以下结论和规律，在标准的篮球场上，当运动员出手速度和出手角度均随着出手高度增加而减小，但当出手高度一定时，出手速度越大则球入筐时的入射角度也越大，速度一定时，出手高度越大，出手角度应越大，但是随着速度的增加，高度对出手角度的影响变小，说明取决出手角度的变化对出手速度更为敏感。

在出手高度为1.8~2.1m之间时，出手速度一般要大于8m/s。

入射角度一般需要大于33.1。

分析出手角度和出手速度的最大偏差，得出速度越大，出手角度的允许偏差越小，而出手速度的允许偏差越大，且对出手角度的要求比对出手速度的要求严格;出手速度一定时，出手高度越大，出手角度的允许偏差越小，出手速度的允许偏差越大。

关键词：投篮，出手高度，出手速度，入射角度问题提出在激烈的篮球比赛中，提高投篮命中率对于获胜无疑起着决定作用，而出手角度和出手速度是决定投篮能否命中的两个关键因素。

这里讨论比赛中最简单、但对于胜负也常常是很重要的一种投篮方式——罚球。

我们建立数学模型研究以下数学问题：1)先不考虑篮球和篮框的大小，把它们的中心看成质点，只是简单的讨论球心命中框心的条件。

对不同的出手高度h和出手速度v，确定所对应的不同的出手角度α时所对应的不同篮框的入射角度β；2)考虑篮球和篮框的大小，讨论球心命中框心且球入框的条件。

检查上面得到的出手角度α和篮框的入射角度β是否符合这个条件；3)为了使球入框，球心不一定要命中框心，可以偏前或偏后(这里暂不考虑偏左或偏右)，只要球能入框就成，讨论保证球入框的条件下，出手角度允许的最大偏差，和出手速度允许的最大偏差；4)考虑在空气阻力的影响条件下，讨论球心命中框心的条件；1问题的分析与模型的建立1.1模型假设①、假设球出手后不考虑自身的旋转；②、不考虑篮球碰篮板；③、不考虑空气阻力对篮球的影响时；符号假定d 篮球直径D 篮框直径L 罚球点和篮框中心的水平距离H 篮框中心的高度h 篮球运动员的出手高度v 篮球运动员投篮出手速度按照标准尺寸，L=4.6m，H=3.05m，d=24.6cm，D=45cm1.2、问题的分析与模型的建立①问题1)的分析与模型的建立不考虑篮球和篮框的大小的简单情况，相当于将球视为质点（球心）的斜抛运动。

数学建模投篮命中率的数学模型Company number【1089WT-1898YT-1W8CB-9UUT-92108】投篮命中率的数学模型摘要随着篮球运动的普及，篮球比赛中紧张、激烈的气氛和更加具有攻击性的防守等因素导致投篮命中率大大降低。

根据研究显示，影响投篮命中率有两个关键因素：出手角度和出手速度。

本文主要运用运动力学的知识，建立有效的篮球投射模型, 从篮球投射时球的出手角度、出手速度、出手高度和篮球球心与篮框中心的水平距离、篮球入射角之间的关系入手，分析各种因素对投篮命中率的影响，并作适当的假设，在合理估计出手点与篮框中心距离并保持出手速度稳定的情况下, 确定投篮的最佳出手角度和最佳出手速度，得出一个既能使投篮时不过多耗费体力又能提高投篮命中率的结论。

首先，本文将三角函数、导数、微分等数学知识及运动学、力学等物理知识相互结合，在罚球投篮这一具体问题的相应具体情境下对此进行了深入分析。

其次，本文建立了与之相关的数学模型，通过不同投篮情况的图表分析归纳出对应的公式，在多重公式的累加条件下最后整理得到满足要求的最终条件范围，得出模型的结果。

在求解过程中，本文使用了MathType数学软件对所用的数学符号作了系统的整理，借此列出了各组公式，同时给出了详细的计算及分析过程，并得出最终结果。

本文在第一问中所设定的不考虑球出手后自身的旋转及球碰篮板或篮框的情况，即在只针对空心球的情况下又限制变量，分别讨论篮框大小、篮球大小、空气阻力及出手角度和速度的最大偏差这四个不同变量下命中率受到的的影响，给出公式，计算出结果。

最终，本文探讨出提高罚球命中率的方法是控制投篮时的出手角度和出手速度，使之分别限制在一定的范围内。

出手角度和速度的过高或过低都会使罚球命中率不能保持在较高水平。

在第二问中本文针对篮球擦板后进篮的情况，假定篮球在碰撞过程中没有能量损耗的理想情况，讨论出了分别在限制区边线距篮框中心30度、45度、90度（罚球线）位置上这三种不同情境下出手角度、出手速度与投篮的命中率之间的关系。

摘 要本文针对投篮问题进行研究，根据物理运动学原理分析投篮方式的关键因素及特点，建立层次模型对增加观赏度和个人表现力进行分析。

问题一要求分析罚球、两分球及三分球投篮方式的特点及各自提高命中率的关键因素，并为投篮训练和竞赛策略提供建议。

在篮球投射出去时是做斜抛运动，结合运动学原理来分析三种投篮方式。

投射罚球和两分球时距离较近，则忽略空气阻力的影响，得到运动轨迹方程如下：222tan 2cos gy x x v αα=⋅- 对于关键因素和特点可用篮球飞行过程中的运行区域的面积表示命中率，在选手最小速度运球的情况下对几个变量求偏导数，根据系数大小找出前两个关键因素，其中对于三分球采用入射角度限制的方法进行分析，得出以下结论：二分球的特点是定点投篮，关键因素有出手高度、出手速度、出手角度度；罚球的特点是投射距离固定，关键因素有出手速度和出手角度；三分球的特点是选择跳投的方式，关键因素有出手速度、出手角度和投篮距离。

综合对三种投篮方式的分析，建议队员投射前应适当的调整投射距离的位置和出手角度这主要跟平时的训练有关，在训练时尽可能的控制手腕力量，加强对力量控制方面的练习。

问题二要求分析新规定能否增加篮球竞赛的观赏程度以及体现球员的个人表现力。

分析规则修改前后的数据找出影响观赏度和个人表现力的重要指标，利用层次分析法确定权重，找出影响的最主要指标，为了提高指标体系的可靠性，利用模糊综合评价模型进行进一步的完善，得知助攻、失误和个人能力是决定增加观赏度和提高个人表现力的关键因素。

关键词 命中率 控制变量 运动学 AHP -模糊综合评价模型一、问题背景与重述1.1问题背景投篮是在比赛中，队员运用各种专门、合理的动作将球投进对方球篮的方法。

投篮是篮球运动中一项关键性技术，是唯一的得分手段。

进攻队运用各种技术、战术的目的，都是为了创造更多更好的投篮机会并力求投中得分；防守队积极防御都是为了阻挠对方投篮得分。

随着篮球运动的发展，运动员身高、身体素质及技术水平的提高，促使投篮技术不断发展：出手部位由低到高，出手速度由慢到快，投篮方式越来越多，命中率不断提高。

有关投篮命中率的理论与应用模型摘要本模型为分析三种投篮方式命中率的提高方式，从最简单的罚篮模型出发，且先在理想情况下进行讨论，将变量控制为出射角度、水平距离、出手高度三的个因素。

考虑到其中较容易训练的是出射角度，球员的出手高度由身体情况也可基本确定，出手力度却在不同状态下变化较大，模型要考虑的便具体为根据球员情况寻找一最佳出射角度，使出手速度可变范围较大。

再将投球位置推广至平面任意一点寻找该点最佳出射角，并分析直接瞄准篮筐与打板的胜算，找出最佳投篮角度范围，并与实际比赛统计数据比较加以验证。

最后根据模型中投篮方案，考虑场地变化对队员得分的影响，并由比赛数据找到其他能够影响比赛观赏性与球员表现力的因素。

关键词投篮命中率多因素规划场地规则改变一、问题重述投篮作为篮球运动中的一项关键性技术，是比赛中得分的重要手段。

投篮的方式主要分为三种，即“罚篮”、“两分球”和“三分球”，为了能够提高投篮的命中率，我们必须对各种投篮方式的相关因素进行分析，以便为投篮训练及竞赛策略提出科学的建议。

题中给出了标准的篮球场地以及最新的篮球规则变更，问题是需要我们通过分析给出提高各种投篮方式下提高投篮命中率的建议，并分析最新篮球规则的更改对竞赛观赏度和球员个人表现力的影响。

二、构建模型1.罚篮模型对于投篮的三种方式来说，罚篮时运动员处于固定位置、不受防守队员的干扰、投篮过程稳定，而其他两种方式皆可看作是在罚篮基础上的推广和改进，故首先选择罚篮为基本模型进行分析。

构建模型之前有以下假设：①运动员在投篮时发挥稳定，不受偶然因素的影响；②球的飞行过程暂时不计空气阻力，不考虑球的旋转，即将其视为理想的抛体运动；③假设球心的轨迹与篮框中心共面。

符号规定：L1——罚球点与篮框左边缘A的水平距离L2——罚球点与篮框右边缘B的水平距离d——篮框的直径H——篮框的竖直高度v0——球的初速度θ——v0与水平方向的夹角h——球的出手高度r——篮球的半径R——三分线的半径根据题意及相关数据，如图1所示，可知L与H为常量（均以改变后的规则为标准）：L1=4.375m，L2=4.825m，d=0.450m，H=3.050m，r=0.123m，球心轨迹方程由v0、θ和h确定。

投篮问题一、问题的提出激烈的篮球比赛中，提高投篮命中率对于获胜无疑起着决定作用，而出手角度和出手速度是决定投篮能否命中的两个关键因素。

这里讨论比赛中最简单、但对于胜负也常常是很重要的一种投篮方式--------罚球我们建立数学模型研究以下数学问题：1) 先不考虑篮球和篮框的大小，讨论球心命中框心的条件。

对不同的出手高度h和出手速度v，确定出手角度α和篮框的入射角度β；2) 考虑篮球和篮框的大小，讨论球心命中框心且球入框的条件。

检查上面得到的出手角度α和篮框的入射角度β是否符合这个条件；3）为了使球入框，球心不一定要命中框心，可以偏前或偏后（这里暂不讨论偏左或偏右）。

讨论保证球入框的条件下，出手角度允许的最大偏差，和出手速度允许的最大偏差；二、模型的假设1、假设球出手后不考虑自身的旋转2、不考虑篮球碰篮板或篮框入框3、不考虑空气阻力对篮球的影响三、符号设定d 篮球直径D 篮框直径L 罚球点和篮框中心的水平距离H 篮框中心的高度h 篮球运动员的出手高度v 篮球运动员投篮出手速度按照标准尺寸，L=4.6m，H=3.05m，d=24.6cm，D=45cm.四、问题的分析与模型的建立1.问题1）的分析与模型的建立：不考虑篮球和篮框的大小的简单情况，相当于将球视为质点（球心）的斜抛运动。

将坐标原点定在球心P，列出x(水平)方向和y（竖直）方向的运动方程，就可以得到球心的运动轨迹，于是球心命中框心的条件可以表示为 出手角度与 出手速度、出手高度之间的关系，以及篮框的入射角度与出手角度，由此可对不同的出手速度，出手高度，计算出手角度和入射角度。

由于不考虑篮球和篮筐的大小,不考虑空气阻力的影响,从未出手时的球心 p 为坐标原点, x 轴为水平方向, y 轴为竖直方向,篮球在 t =0时以出手速度 v 和出手角度α 投出,可视为质点(球心)的斜抛运动,其运动方程 是我们熟知的。

(1)其中 g 是重力加速度.由此可得球心运动轨迹为如下抛物线(2) 以x=L,y=H-h 代入 （2）式,就得到球心命中框心的条件(3)可以看出,给定出手速度 v 和出手高度h ,有两个出手角度 α满足这个条件。