下载文档原格式
《微积分教案》教案章节：一、导数与微分【学习目标】1. 理解导数的概念及其物理意义；2. 掌握基本函数的导数公式；3. 学会求函数在某一点的导数；4. 理解微分的概念及其应用。
【教学内容】1. 导数的定义：引入导数的概念，解释导数的物理意义，举例说明导数表示物体运动速度的变化；2. 基本函数的导数公式：讲解常数函数、幂函数、指数函数、对数函数的导数公式；3. 求函数在某一点的导数：介绍求导数的方法，如导数的定义法、导数的四则运算法则、复合函数的链式法则等；4. 微分的概念及其应用：解释微分的概念，讲解微分与导数的关系，举例说明微分在实际问题中的应用。
【教学方法】1. 采用讲授法，讲解导数与微分的概念，分析基本函数的导数公式；2. 运用案例分析法，引导学生通过实际问题理解导数与微分的应用；3. 利用数形结合法，借助图形演示导数的变化趋势；4. 组织小组讨论，让学生互相交流学习心得，巩固知识点。
【教学评估】1. 课堂练习：布置有关导数与微分的练习题，检查学生对知识的掌握程度；2. 课后作业：布置相关的课后作业，要求学生巩固所学知识；3. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的表现，了解学生对知识的理解和应用能力。
教案章节：二、积分与微分方程【学习目标】1. 理解积分的概念及其物理意义；2. 掌握基本函数的积分公式；3. 学会求函数的反函数；4. 理解微分方程的概念及其应用。
【教学内容】1. 积分的定义：引入积分的概念，解释积分的物理意义，举例说明积分表示物体运动路程的变化；2. 基本函数的积分公式：讲解常数函数、幂函数、指数函数、对数函数的积分公式；3. 求函数的反函数：介绍求反函数的方法，如代数法、对数法等；4. 微分方程的概念及其应用：解释微分方程的概念，讲解微分方程的分类，举例说明微分方程在实际问题中的应用。
【教学方法】1. 采用讲授法，讲解积分与微分方程的概念，分析基本函数的积分公式；2. 运用案例分析法，引导学生通过实际问题理解积分与微分方程的应用；3. 利用数形结合法，借助图形演示积分的变化趋势；4. 组织小组讨论，让学生互相交流学习心得，巩固知识点。
微积分基本定理一、教学目标：知识与技能：1.通过实例，直观了解微积分基本定理的内容，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分2.通过实例探求微分与定积分间的关系，体会微积分基本定理的重要意义过程与方法：通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力。
情感、态度与价值：让学生探索、发现数学知识和掌握数学知识的内在规律的过程中不，不断获得成功积累愉快的体验，不断增进学习数学的兴趣，同时还通过探索这一活动培养学生善于和他人合作的精神.二、教学重点、难点重点：通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。
难点：了解微积分基本定理的含义。
三、教学模式与教法、学法教学模式：本课采用“探究——发现”教学模式．教师的教法：利用多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法的引导．“抓三线”，即(一)知识技能线（二）过程与方法线（三）能力线.“抓两点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，二抓知识的切入点.学法：突出探究、发现与交流．四、教学过程n有没有计算定积分的更直接方法，也是比较一般的方法呢？（1）下面以变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系为例：设一物体沿直线作变速运动，在时刻t 时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（()v t o ≥），则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为21()T T v t dt ⎰。
另一方面，这段路程还可以通过位置函数S （t ）在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达，即21()T T v t dt ⎰=12()()S T S T - ()()S t v t '=。
3.微积分基本定理对于一般函数()f x ，设()()F x f x '=，是否也有()()()baf x dx F b F a =-⎰？若上式成立，我们就找到了用()f x 的原函数（即满足()()F x f x '=）的数值差()()F b F a -来计算()f x 在[,]a b 上的定积分的方法。
微积分基本定理【学习目标】1．理解微积分基本定理的含义。
2．能够利用微积分基本定理求解定积分相关问题。
【要点梳理】要点一、微积分基本定理的引入我们已学过过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。
我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。
（1）导数和定积分的直观关系：如下图：一个做变速直线运动的物体的运动规律是s=s （t ），由导数的概念可知，它在任意时刻t 的速度v （t ）=s ＇（t ）。
设这个物体在时间段[a ，b]内的位移为s ，你能分别用 s （t ）、v （t ）表示s 吗？一方面，这段路程可以通过位置函数S （t ）在[a ，b]上的增量s （b ）－s （a ）来表达， 即 s=s （b ）－s （a ）。
另一方面，这段路程还可以通过速度函数v （t ）表示为 ()d bav t t ⎰,即 s =()d bav t t ⎰。
所以有： ()d bav t t =⎰s （b ）－s （a ）（2）导数和定积分的直观关系的推证：上述结论可以利用定积分的方法来推证，过程如下：如右图：用分点a=t 0＜t 1＜…＜t i －1＜t i ＜…＜t n =b ， 将区间[a ，b]等分成n 个小区间：[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，…，[t i ―1，t i ]，…，[t n ―1，t n ]， 每个小区间的长度均为1i i b at t t n--∆=-=。
当Δt 很小时，在[t i ―1，t i ]上，v （t ）的变化很小，可以认为物体近似地以速度v （t i ―1）做匀速运动，物体所做的位移111()'()'()i i i i i b as h v t t s t t s t n----∆≈=∆=∆=。
② 从几何意义上看，设曲线s=s （t ）上与t i ―1对应的点为P ，PD 是P 点处的切线，由导数的几何意义知，切线PD 的斜率等于s ＇（t i ―1），于是1tan '()i i i s h DPC t s t t -∆≈=∠⋅∆=⋅∆。
微积分基本定理【教学目标】1．直观了解并掌握微积分基本定理的含义．2．会利用微积分基本定理求函数的积分．【教法指导】本节学习重点：会利用微积分基本定理求函数的积分．本节学习难点：直观了解并掌握微积分基本定理的含义．【教学过程】☆复习引入☆从前面的学习中可以发现，虽然被积函数f(x)＝x3非常简单，但直接用定积分的定义计算ʃ10x3d x的值却比较麻烦．有没有更加简便、有效的方法求定积分呢？另外，我们已经学习了两个重要的概念——导数和定积分，这两个概念之间有没有内在的联系呢？我们能否利用这种联系求定积分呢？☆探索新知☆探究点一微积分基本定理问题你能用定义计算ʃ211xd x吗？有没有更加简便、有效的方法求定积分呢？思考1 如下图，一个做变速直线运动的物体的运动规律是y＝y(t)，并且y(t)有连续的导数，由导数的概念可知，它在任意时刻t的速度v(t)＝y′(t)．设这个物体在时间段[a，b]内的位移为s，你能分别用y(t)，v(t)表示s吗？答由物体的运动规律是y＝y(t)知：s＝y(b)－y(a)，通过求定积分的几何意义，可得s＝ʃb a v(t)d t＝ʃb a y′(t)d t，所以ʃb a v(t)d t＝ʃb a y′(t)d t＝y(b)－y(a)．其中v(t)＝y′(t)．小结(1)一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么ʃb a f(x)d x＝F(b)－F(a)．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．(2)运用微积分基本定理求定积分ʃb a f (x )d x 很方便，其关键是准确写出满足F ′(x )＝f (x )的F (x )．思考2 对一个连续函数f (x )来说，是否存在唯一的F (x )，使F ′(x )＝f (x )？若不唯一，会影响微积分基本定理的唯一性吗？答 不唯一，根据导数的性质，若F ′(x )＝f (x )，则对任意实数c ，[F (x )＋c ]′＝F ′(x )＋c ′＝f (x )．不影响，因为ʃb a f (x )d x ＝[F (b )＋c ]－[F (a )＋c ]＝F (b )－F (a )例1 计算下列定积分： (1)ʃ211x d x ；(2)ʃ31(2x －1x2)d x ；(3)ʃ0－π(cos x －e x )d x .所以ʃ31(2x －1x 2)d x ＝ʃ312x d x －ʃ311x2d x ＝x 2|31＋1x|31 ＝(9－1)＋(13－1)＝223. (3)ʃ0－π(cos x －e x )d x ＝ʃ0－πcos x d x －ʃ0－πe x d x＝sin x |0－π－e x |0－π＝1eπ－1. 反思与感悟 求简单的定积分关键注意两点：(1)掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解；(2)精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限．跟踪训练1 若S 1＝ʃ21x 2d x ，S 2＝ʃ211xd x ，S 3＝ʃ21e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( ) A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1 答案 B解析 S 1＝ʃ21x 2d x ＝13x 3|21＝73， S 2＝ʃ211x d x ＝ln x |21＝ln 2<1，S 3＝ʃ21e x d x ＝e x |21＝e 2－e ＝e(e －1)>73. 所以S 2<S 1<S 3，选B.探究点二 分段函数的定积分例2 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ sin x ，0≤x ≤π2，1，π2≤x ≤2，x －1，2≤x ≤4.先画出函数图象，再求这个函数在[0,4]上的定积分．解 图象如图．ʃ40f (x )d x ＝π20⎰sin x d x ＋π20⎰1d x ＋42⎰(x －1)d x＝(－cos x )|π20＋x |2π2＋(12x 2－x )|42 ＝1＋(2－π2)＋(4－0)＝7－π2. 反思与感悟 求分段函数的定积分，分段标准是使每一段上的函数表达式确定，按照原分段函数的分段情况即可；对于含绝对值的函数，可转化为分段函数．跟踪训练2 设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2， x ≤0，cos x －1， x >0，求ʃ1－1f (x )d x .探究点三 定积分的应用例3 计算下列定积分：ʃπ0sin x d x ，ʃ2ππsin x d x ，ʃ2π0sin x d x .由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论．解 因为(－cos x )′＝sin x ，所以ʃπ0sin x d x ＝(－cos x )|π0＝(－cos π)－(－cos 0)＝2；ʃ2ππsin x d x ＝(－cos x )|2ππ＝(－cos 2π)－(－cos π)＝－2；ʃ2π0sin x d x ＝(－cos x )|2π0＝(－cos 2π)－(－cos 0)＝0.反思与感悟 可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0：定积分的值与曲边梯形面积之间的关系：(1)位于x 轴上方的曲边梯形的面积等于对应区间的积分；(2)位于x 轴下方的曲边梯形的面积等于对应区间的积分的相反数；(3)定积分的值就是位于x 轴上方曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积．跟踪训练3 求曲线y ＝sin x 与直线x ＝－π2，x ＝54π，y ＝0所围图形的面积(如图所示)．。
1. 教学目标1、能说出微积分基本定理。
2、能运用微积分基本定理计算简单的定积分。
3、能掌握微积分基本定理的应用。
4、会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分。
2. 教学重点/难点教学重点：通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。
教学难点：微积分基本定理以及利用定理求复合函数定积分的计算。
3. 教学用具多媒体、板书4. 标签一、复习引入【师】同学们，我们来复习一下上节课的内容，请同学们回答以下几个问题:1.我们如何确定曲线上一点处切线的斜率呢？2.如何求曲线下方的面积？3.用“以直代曲”解决问题的思想和具体操作过程是什么呢？求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法【板书】用“以直代曲”解决问题的思想和具体操作过程：分割I以百代曲］—►，作和匚事I逼近二、新知介绍【1】微积分基本定理【师】同学们刚刚接触到积分，那么大家通过阅读课本来找出什么是微积分基本定理呢？【生】讨论回答【师】如果£(媒)是在区间回句上的壁画数，并且F1■⑶=的，则J：fG)dx=F(b)-F(江记！F(b)-F(^)=F㈤|＞贝山『欧)收=Fg|：=F(b)—F⑷/值)是F㈤的导函数，F(＞茂处)的原函数.【板书】1.f(x)dx=F(b3-7(a)记：F(b)-F(a)=F(x)|^【板演/PPT】例1：计算下列定积分？(1)J：：dx(2)/；2xdx【师】同学们在练习本上先试着算一下，看看能不能计算出这两个定积分的值？【生】思考讨论【师】请大家注意，一定要按照定积分基本定理来做呢？(然后，演板)2、知识探究(1)微积分基本定理求定积分的一种基本方法，其关键是求出被积函数的原函数，特别注意:y=抑原函数是y=In(x)（2）求定积分时要注意积分变量，有时在被积函数中含有参数，但它不一定是积分变量。
（3）定积分的值可以是任意实数。
例2：计算定积分【师】同学们根据向量基本定理然后仔细的想一下，计算出结果【生】思考讨论【师】请大家注意，一定要按照向量的定义来做哦。
微积分基本公式说课稿基础部数学教研室闫晓芳一、教材分析1.内容、地位“微积分基本公式”是高职高专“十一五”规划教材《应用数学》（理工类）上册第五章第三节的内容。
这节课的主要内容是微积分基本公式的导出以及用它求定积分。
本节课是学生学习了导数，不定积分，和定积分这几个概念后的学习，它不仅揭示了导数和定积分，定积分和不定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。
因此，它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，不仅如此，它甚至为微积分学的发展带来了深远的影响，是微积分学中最重要最辉煌的成果。
因此教学大纲明确规定：对本节内容要了解积分上限函数及其导数，熟练掌握牛顿—莱布尼茨公式，并熟练地用它计算定积分。
2.教学目标根据本校高职学生的认知结构特征以及教材内容的特点，依据教学大纲要求，确定本节课的教学目标如下：（1）知识目标：了解积分上限函数，熟练掌握和应用微积分基本公式（2）能力目标：培养学生的抽象思维能力和解决实际问题的能力（3）情感价值目标：揭示寻求计算定积分新方法的必要性，激发学生的求知欲。
通过微积分基本公式的学习，体会事物间的相互转化，对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力。
3.重点、难点鉴于高职教育对高等数学的要求是以“必须、够用、好用、实用”的原则，而且我们的学生整体数学基础薄弱，学校为了提高教学质量，对高等数学进行了分层次教学改革，取得了一定的成效，我带的是08级的A课程学生，由于分层不够细所以学生的整体学习还是参差不齐。
另外，学生对积分学的学习普遍反映困难，因此依据教学大纲要求，以及我所带学生对这门课掌握的程度，我对本节课确定了以下重、难点重点：通过探究变速直线运动中的速度和位移的关系推导出微积分基本公式，以及对微积分基本公式的应用是这节课的重点。
难点：积分上限函数的导数（突破这一难点，我主要让学生与定积分形式对比理解积分上限函数概念，讲授积分上限函数性质引出定理，让学生自主学习，阅读定理及其证明并加以讨论直至到理解，同时我会总结出此定理反映出的本质问题加深学生的理解，最后进行巩固练习牢记求导公式）二、教法学法1.学情分析：学生在学习本节内容之前，对不定积分和变速直线运动的内容已经很熟悉。
微积分基础教案一、教学目标1、让学生理解微积分的基本概念，包括导数和积分。
2、帮助学生掌握导数的计算方法和几何意义。
3、引导学生理解积分的概念和计算方法，以及其与导数的关系。
4、培养学生运用微积分解决实际问题的能力。
二、教学重难点1、重点导数的定义和计算法则。
常见函数的导数公式。
积分的定义和基本积分公式。
利用微积分解决几何和物理问题。
2、难点导数概念的理解。
积分的概念和计算方法。
应用微积分解决复杂的实际问题。
三、教学方法1、讲授法：系统地讲解微积分的基本概念和定理。
2、示例法：通过大量的实例帮助学生理解和应用知识。
3、讨论法：组织学生讨论问题，促进学生的思考和交流。
四、教学过程1、引入从生活中的变化率问题入手，比如汽车的速度变化、物体的冷却过程等，引出导数的概念。
展示一些曲线的图形，如抛物线、正弦曲线等，引导学生思考如何描述曲线的斜率，从而引入导数。
2、导数的概念定义：函数在某一点的导数表示函数在该点的变化率。
公式：通过极限的概念给出导数的定义式$f'（x) ＝＼lim_{＼Delta x ＼to 0} ＼frac{f(x ＋＼Delta x) f(x)｝｛＼Delta x}＄。
几何意义：导数在几何上表示曲线在某一点的切线斜率。
3、导数的计算基本函数的导数：讲解常见函数（如幂函数、指数函数、对数函数等）的导数公式。
导数的四则运算：介绍导数的加法、减法、乘法和除法法则。
复合函数的导数：通过实例讲解复合函数的求导方法，如$f(g(x)）＇＝ f'（g(x)）g'（x)＄。
4、导数的应用函数的单调性：利用导数判断函数的单调性，当导数大于 0 时，函数单调递增；当导数小于 0 时，函数单调递减。
函数的极值与最值：通过导数找到函数的极值点，进而求出函数的最值。
曲线的切线方程：已知函数在某一点的导数，求出该点的切线方程。
5、积分的概念从求曲线下的面积问题引入积分的概念。
定义：积分是导数的逆运算，用于计算函数在某个区间上的累积量。
(完整版)微积分基础教学设计微积分基础教学设计1. 引言本文档旨在设计一套基础微积分教学课程，适用于初学者。
通过本课程的研究，学生将掌握微积分的基本概念和应用。
2. 教学目标2.1 理解微积分的基本概念，包括导数和积分。
2.2 学会使用微积分解决实际问题。
2.3 培养分析问题和推理能力。
3. 教学内容3.1 导数- 3.1.1 导数的定义- 3.1.2 基础导数公式- 3.1.3 高阶导数- 3.1.4 导数的应用3.2 积分- 3.2.1 积分的定义- 3.2.2 基础积分公式- 3.2.3 定积分和不定积分的区别- 3.2.4 积分的应用4. 教学方法4.1 讲授- 通过教师的讲解，向学生介绍微积分的基本概念和原理。
- 利用具体实例帮助学生理解和应用导数和积分的概念。
4.2 练- 提供大量的练题，让学生通过不断的练巩固和加深对微积分的理解。
- 强调问题解决的方法和思维过程，培养学生的问题分析和推理能力。
4.3 实践- 指导学生通过实际问题应用微积分的知识。
- 鼓励学生自主探索和解决问题，培养学生的创新能力。
5. 教学评价5.1 作业- 布置练题和作业，通过学生的作业完成情况评估其对知识的掌握程度。
- 提供及时的反馈和评价，帮助学生发现问题和改进。
5.2 测验和考试- 定期进行测验和考试，检查学生对微积分的理解和应用能力。
5.3 口头评价- 结合课堂互动和讨论，评估学生的问题解决能力和思维能力。
6. 教学资源6.1 教材- 选择适合初学者的微积分教材，有明确的章节和题。
6.2 多媒体- 利用多媒体技术辅助教学，展示图表和实例演示。
6.3 在线资源- 提供在线课程和题库，帮助学生进行自主研究和练。
7. 教学安排7.1 课程长度- 设计合适的课程长度，确保学生有足够的时间消化和掌握微积分的内容。
7.2 课程计划- 制定每节课的教学目标和内容，合理安排教学时间。
8. 教学评估和改进8.1 评估方法- 结合学生的作业、测验和口头评价，评估教学效果和学生的研究情况。
