高三数学教案 空间的平行直线与异面直线1

11.3.1 平行直线与异面直线-人教B版高中数学必修第四册（2019版）教案一、教学目标1.知道平行直线与异面直线的定义及性质2.掌握平面与直线的位置关系的判定方法3.能够判断两条直线是否平行4.能够判断一条直线是否与平面平行或垂直5.提高运用平面几何知识解决实际问题的能力二、教学重难点重点：平行直线和异面直线的定义及性质难点：平面与直线的位置关系的判定方法三、教学方法课堂讲解、小组合作探究、学生自主学习、互动讨论等多种教学方法相结合。

四、教学过程（一）课前导入1.回顾上一节课讲过的点、线、面之间的位置关系及其判定方法，做个简单概述。

2.让学生在课前阅读相关教材内容。

（二）自主学习1.要求学生独立完成相关教材的课时作业，查漏补缺。

2.学生自主学习其他参考资料，拓宽自己的知识面。

（三）合作探究1.将学生分成若干小组，让他们互相讨论学习到的知识。

2.配合课堂小组合作探究活动，教师及时跟进学生的学习状况，为学生提供引导性意见。

（四）归纳总结1.让每个小组发表他们的探究结果，与其他小组交流讨论。

2.教师带领学生结合每个小组的发言进行总结，提炼出重要的知识点。

（五）作业布置1.给学生留一定的时间，完成相关课时作业，巩固所学知识。

2.给学生布置预习任务，为课堂提供更好的交流条件。

五、教学反思在教学过程中，学生的自主性、合作性能不同程度地得到了提高。

在合作探究环节，教师发现一些学生思维较为敏捷，但存在自我表达能力不足的问题。

在之后的教学中，需要更多地关注这些学生，为他们提供更多的引导和指导，帮助他们更好地发挥自己的潜能，增强学习信念，提高学习效率。

2.1.2 空间直线与直线之间的位置关系（一）一、教学目标（一）核心素养增强动态意识，培养观察、对比、分析的思维，通过平移转化渗透数学中的化归及辩证唯物主义思想.（二）学习目标1.正确理解异面直线的定义；2.会判断空间两条直线的位置关系；3.掌握平行公理及空间等角定理的内容和应用；4.会求异面直线所成角的大小.（三）学习重点1．异面直线的判定．2．求异面直线所成角的大小．（四）学习难点1．异面直线的判定．2．求异面直线所成角的大小．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（预习教材第44至47页，找出疑惑之处）2．预习自测问题1：下列说法正确的个数是()(1)某平面内的一条直线和与这个平面平行的直线是异面直线.(2)空间中没有公共点的两条直线是异面直线.(3)若两条直线和第三条直线所成的角相等则这两条直线必平行.(4)若一条直线垂直于两条平行直线中的一条,则它一定与另一条直线垂直.A．1个B．2个C．3个D．4个解析:(1)中两直线可能平行,也可能异面,故(1)不正确;(2)中两直线可能平行,故(2)不正确;(3)中两直线可能相交,也可能异面,故(3)不正确;由异面直线所成角定义知(4)正确.【答案】A问题2：如图所示,已知正方体1111D C B A ABCD 中，F E ,分别是1,AA AD 的中点.(1)直线1AB 和1CC 所成的角为 ;(2)直线1AB 和EF 所成的角为 .解析:(1)因为BB 1∥CC 1,所以∠AB 1B 即为异面直线AB 1与CC 1所成的角, ∠AB 1B=45°.(2)连接B 1C,易得EF ∥B 1C,所以∠AB 1C 即为直线AB 1和EF 所成的角. 连接AC,则△AB 1C 为正三角形,所以∠AB 1C=60°．【答案】(1) 45(2)60(二)课堂设计1．知识回顾复习1：平面的特点是______、_______、_______.【答案】平的；平面是可以无限延展的；平面没有厚薄之分.复习2：平面性质(三公理)公理1___________________________________；公理2___________________________________；公理3___________________________________.【答案】公理 1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.2．问题探究探究1：异面直线及直线间的位置关系问题：平面内两条直线要么平行要么相交（重合不考虑）,空间两条直线呢?观察：如图在长方体中，直线A B'与CC'的位置关系如何？结论：直线A B'与CC'既不相交，也不平行.新知1：像直线A B'与CC'这样不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线(skew lines).试试：请在上图的长方体中，再找出3对异面直线.问题：作图时，怎样才能表示两条直线是异面的？新知2：异面直线的画法有如下几种(,a b异面)：试试：请你归纳出空间直线的位置关系.探究2：平行公理及空间等角定理问题：平面内若两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线互相平行，空间是否有类似规律?观察：如图2-1,在长方体中，直线C D''∥A B''，AB∥A B''，那么直线AB与C D''平行吗?图2-1新知3:公理4 (平行公理)平行于同一条直线的两条直线互相平行.问题：平面上,如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或者互补，空间是否有类似结论?观察：在图2-1中,ADC ∠与A D C '''∠,ADC ∠与A B C '''∠的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何?新知4:定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 探究3：异面直线所成的角已知异面直线b a ,，经过空间中任一点O 作直线a ' ∥a ,b ' ∥b ，把a ' 与b ' 所成的锐角（或直角）叫异面直线a 与b 所成的角（夹角）. 范围：]2,0(πθ∈.思考：两条异面直线所成角的大小是否随空间任意点O 位置的不同而改变？ 点O 可任选，一般取特殊位置，如线段的中点或端点.●活动② 互动交流，初步实践若c b a 、、是空间3条直线，a ∥b ，a 与c 相交，则b 与c 的位置关系是( )A ．异面B ．相交C ．平行D ．异面或相交【知识点】直线的位置关系．【数学思想】数形结合与分类讨论的思想.【解题过程】若b 与c 平行，因为a ∥b ，所以a 与c 平行与已知条件矛盾，容易画出异面或相交的情形．【思路点拨】通过直观的模型解决问题．【答案】D●活动③ 巩固基础，检查反馈【设计意图】巩固检查对异面直线的理解与认识．例1 如下图所示正方体1111D C B A ABCD -中，N M ,分别是1111,C B B A 的中点．问：(1)AM 和CN 是否是异面直线？说明理由．(2)B D 1和1CC 是否是异面直线？说明理由．【知识点】异面直线的判定．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】(1)不是异面直线．理由：N M 、 分别是1111C B B A 、的中点． ∴11C A MN ∥又∵11ACC A 为平行四边形．∴AC ∥11C A ，得到MN ∥AC ，∴AM 和CN 不是异面直线．(2)是异面直线．证明如下：假设B D 1和1CC 在同一个平面1DCC 内，则1DCC B ∈，1DCC C ∈D CC BC 1⊂∴，D D CC B 11∈∴，这与1111D C B A ABCD -是正方体相矛盾． ∴假设不成立，故B D 1和1CC 是异面直线．【思路点拨】利用定义与反证法．【答案】已证．同类训练 如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么GH EF CD AB ,,,这四条线段所在的直线是异面直线的有 对．【知识点】异面直线的判定．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】如图：AB 与CD ，AB 与GH ，EF 与GH【思路点拨】平面与空间的相互转化．【答案】3对●活动④ 强化提升，灵活应用例 2 如图,在三棱锥BCD A -中，G F E 、、分别是AD BC AB 、、的中点， 120=∠GEF ，则BD 和AC 所成角的度数为 .【知识点】异面直线成的角．【数学思想】数形结合的思想.【解题过程】依题意知,EG ∥BD,EF ∥AC,所以∠GEF 所成的角或其补角即为异面直线AC 与BD 所成的角,又∠GEF=120°,所以异面直线BD 与AC 所成的角为60°．【思路点拨】通过平行线找到成的角．【答案】 60小结：求异面直线所成的角一般要有四个步骤：（1）作图：作出所求的角及题中涉及的有关图形等；（2）证明：证明所给图形是符合题设要求的；（3）计算：一般是利用解三角形计算得出结果.（4）结论.简记为“作（或找）——证——算——答”.同类训练 在正方体1111ABCD A B C D 中，H G F E ,,,分别为1111,,,C B BB AB AA 的中点，则异面直线EF 与GH 所成的角等于________．【知识点】异面直线成的角．【数学思想】数形结合的思想.【解题过程】连接1A B 、1BC 、11A C ，由于EF ∥A 1B ，GH ∥BC 1，所以A 1B 与BC 1所成的角即为EF 与GH 所成的角，由于△A 1BC 1为正三角形，所以A 1B 与BC 1所成的角为 60，即异面直线EF 与GH 所成的角为 60.【思路点拨】通过平行线找到成的角．【答案】 60例3.空间四边形ABCD 中，H G F E 、、、分别是DA CD BC AB 、、、的中点， 求证：四边形EFGH 是平行四边形.【知识点】平行公理的应用．【数学思想】数形结合的思想.【解题过程】连接BD ，因为EH 是三角形ABD 的中位线，所以EH ∥BD ，且BD EH 21=；同理FG ∥BD ，且BD FG 21=；所以EH ∥FG ，且EH FG =，所以四边形EFGH 为平行四边形.【思路点拨】通过平行公理产生边与边的关系．【答案】已证．探究：如果再加上条件BD AC =，那么四边形EFGH 是什么图形？（菱形） 拓展：若BD AC ⊥，则四边形EFGH 又是什么图形？（矩形）3.课堂总结知识梳理（1）异面直线的定义、夹角的定义及求法．（2）空间直线的位置关系．（3）平行公理及空间等角定理．重难点归纳（1）空间直线的位置关系判定．（2）平行公理及空间等角定理．（3）求异面直线所成角的大小．（三）课后作业基础型 自主突破1．下列四个命题中错误的是（ ）A ．若直线a 、b 互相平行，则直线a 、b 可以确定一个平面B ．若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线C ．若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线D ．两条异面直线不可能垂直于同一个平面【知识点】平行、共线、异面直线等相关命题判断．【数学思想】分类讨论的思想.【解题过程】若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线或是平行直线．显然答案C 中的命题错误．故选C ．【思路点拨】根据直线的基本位置关系进行判断．【答案】C2．在正方体1111D C B A ABCD -中，B A 1与C B 1所在直线所成角的大小是（ ）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒【知识点】异面直线所成的角．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】连接1D C ，则11A B D C ，连接11B D ，易证11B CD ∠就是B A 1与C B 1所在直线所成角，由于11B CD 是等边三角形，因此1160B CD ∠=︒，故选C.【思路点拨】根据异面直线所成的角定义找到这个平面角．【答案】C3. c b a ,,是空间中的三条直线,下面给出四个命题:①若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c ；②若a与b相交,b与c相交,则a与c相交；③若a⊂平面α,b⊂平面β,则a、b一定是异面直线；④若a、b与c成等角,则a∥b.上述命题中正确的命题是(只填序号).【知识点】点线面的位置关系．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】①中,由公理4知,正确；②中,a与c可相交、可平行、可异面,错误；③中,a、b可能平行、相交、异面,故错；④中,a、b可能平行、相交、异面,故错. 【思路点拨】找模型，数形结合．【答案】①4．如图是正方体的平面展开图,在这个正方体中,①BM与ED平行;②CN与BE是异面直线;60角;③CN与BM成④DM与BN是异面直线.以上四个命题中,正确命题的序号是（）A．①②③B．②④C．③④D．②③④【知识点】异面直线的判定与所成的角．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】由题意画出正方体的图形如图:显然①②不正确;③CN与BM成60°角,即∠ANC=60°,正确;④正确,故选C.【思路点拨】平面图形还原为空间图形.【答案】C5．如图,已知正方体D C B A ABCD ''''-.(1)哪些棱所在直线与直线A B '是异面直线?(2)直线A B '和C C '的夹角是多少?(3)哪些棱所在直线与直线A A '垂直?【知识点】异面直线的基本知识．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】(1)由异面直线的定义可知,棱AD 、DC 、CC'、DD'、D'C 、'B'C'所在直线分别与BA'是异面直线.(2)由BB'∥CC'可知,∠B'BA'是异面直线BA'和CC'的夹角,∠B'BA'=45°,所以直线BA'和CC'的夹角为45°.(3)直线A D D C C B B A DA CD BC AB ''''''''、、、、、、、分别与直线AA'垂直.【思路点拨】根据异面直线所成的基本知识与方法．【答案】(1)C B C D D D C C DC AD ''''''、、、、、；(2)45；(3)A D D C C B B A DA CD BC AB ''''''''、、、、、、、． 能力型 师生共研6．已知三棱锥BCD A -中，CD AB =，且直线AB 与CD 成60角，点N M ,分别是AD BC ,的中点，求直线AB 和MN 所成的角．【知识点】异面直线所成的角．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】如图，取AC 的中点P ，连接PM ，PN ，因为点M ，N 分别是BC ，AD 的中点，所以PM ∥AB ，且PM ＝12AB ；PN ∥CD ，且PN ＝12CD ，所以∠MPN (或其补角)为AB 与CD 所成的角．所以∠PMN (或其补角)为AB 与MN 所成的角．因为直线AB 与CD 成60°角，所以∠MPN ＝60°或∠MPN ＝120°.又因为AB ＝CD ，所以PM ＝PN.①若∠MPN ＝60°，则△PMN 是等边三角形，所以∠PMN ＝60°，即AB 与MN 所成的角为60°.②若∠MPN ＝120°，则易知△PMN 是等腰三角形．所以∠PMN ＝30°，即AB 与MN 所成的角为30°.综上可知：AB 与MN 所成角为60°或30°.【思路点拨】根据异面直线所成的角定义找到这个平面角．【答案】 60或30．探究型 多维突破7．如下图所示，点S R Q P 、、、分别在正方体的4条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ 与RS 是异面直线的一个图是________．【知识点】平行、共线、异面直线等相关命题判断．【数学思想】分类讨论与数形结合的思想.【解题过程】显然①②平行，④相交，③异面．【思路点拨】根据直线的基本位置关系进行判断．【答案】③自助餐1．如下图所示是一个正方体的平面展开图，则在正方体中，AB与CD的位置关系为( )A．相交B．平行C．异面而且垂直D．异面但不垂直【知识点】直线的位置关系．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】平面图形还原为空间图形，容易观察得出选D．【思路点拨】平面图形还原为空间图形．【答案】D2．下列命题：①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；②如果两条相交直线和另两条直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行．其中正确的结论有( )A．1个B．2个C．3个D．4个【知识点】等角定理，公理4的理解与应用．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】由等角定理知道①错误，②③正确；由公理4知道④正确，选C. 【思路点拨】找点线面的关系．【答案】C3．已知正方体1111D C B A ABCD -中，E 为11D C 的中点，则异面直线AE 与11B A 所成的角的余弦值为________．【知识点】异面直线成的角．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】显然1AED ∠为异面直线AE 与11B A 所成的角（或补角），容易求得余弦值为31． 【思路点拨】先找，后证，最后算． 【答案】31 4．在正方体1111D C B A ABCD -中，F E ,分别是11,BC AB 的中点，则以下结论：①EF 与1CC 垂直；②EF 与BD 垂直；③EF 与11C A 异面；④EF 与1AD 异面，其中不成立的序号是________.【知识点】直线的位置关系．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】连结A 1B ，在△A 1BC 1中，EF ∥A 1C 1，所以①，②，④正确，③错．【思路点拨】找点线面的关系．【答案】③5．在三棱锥A BCD -中，2==BC AD ，F E 、分别是CD AB 、的中点，2=EF ，则异面直线AD 与BC 所成的角为________．【知识点】异面直线所成角．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】取AC 中点P ，连接PF PE 、．则ABC ∆中，PE ∥BC 且121==BC PE ，ACD ∆中，PF ∥AD 且121==AD PF ，所以EPF ∠为所求．EPF ∆中，2,1===EF PF PE ，所以︒=∠90EPF ．【思路点拨】先找，后证，最后算．【答案】︒906．正方体1111D C B A ABCD -中．(1)求AC 与D A 1所成角的大小；(2)若F E 、分别为AD AB 、的中点，求11C A 与EF 所成角的大小．【知识点】异面直线所成角．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】(1)如图所示，连接B 1C ，由ABCD －A 1B 1C 1D 1是正方体，易知A 1D ∥B 1C ，从而B 1C 与AC 所成的角就是AC 与A 1D 所成的角． ∵AB 1＝AC ＝B 1C ，∴∠B 1CA ＝60°.即A 1D 与AC 所成的角为60°.(2)如图所示，连接AC 、BD ，在正方体1111D C B A ABCD -中，AC ⊥BD ，AC ∥A 1C 1，∵E 、F 分别为AB 、AD 的中点，∴EF ∥BD ，∴EF ⊥AC . ∴EF ⊥A 1C 1. 即A 1C 1与EF 所成的角为90°.【思路点拨】先找，后证，最后算．【答案】(1)︒60；(2) 907．长方体1111D C B A ABCD -中，21==AB AA ，1=AD ，求异面直线11C A 与1BD 所成角的余弦值.【知识点】异面直线所成的角．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】设11C A 与11D B 交于O ，取1BB 中点E ，连接OE ， 因为OE //B D 1，所以OE C 1∠或其补角就是异面直线11C A 与1BD 所成的角或其补角.在OE C 1∆中，11112OC A C ==，11322OE BD ===，1C E ===，所以2221111cos 2OC OE C E C OE OC OE +-∠===⋅，所以异面直线11C A 与1BD 所成的角的余弦值为55.【思路点拨】根据异面直线所成的角定义找到这个平面角． 【答案】55。

a
b
a’
O
α
O
α
a
a'
θ ∈(0,
π
2
]
如果两条异面直线所成的角是直角,那么就说两条直 如果两条异面直线所成的角是直角 那么就说两条直 线互相垂直. 线互相垂直
1.异面直线 异面直线 2.异面直线所成的角 异面直线所成的角
2'垂直 如图, 哪些棱所在直线与直线 哪些棱所在直线与直线AA 垂直? 例 如图 (1)哪些棱所在直线与直线
已知两条异面直线a、 经过空间任一点O, 已知两条异面直线 、b, 经过空间任一点 分别作 直线a 所成的锐角(或直角 或直角)叫做异 直线 ' ∥a，b' ∥b，把a'与b'所成的锐角 或直角 叫做异 ， ， 面直线a、 所成的角 或夹角). 所成的角(或夹角 面直线 、b所成的角 或夹角
b
θ
b’
θ ∈(0,
π
]
3.练习 练习: 练习
1)若a、b是异面直线 b、c也是异面直线 则a、c位置关 若 、 是异面直线 是异面直线, 、 也是异面直线 也是异面直线, 、 位置关 异面直线不具有传递性. 异面直线不具有传递性 系是( 系是 A ) A. 相交、平行或异面 相交、 B. 平行 C. 异面 D. 平行或异面 2)直线 和b是两条异面直线 点A、C在直线 上, 点B、D 直线a和 是两条异面直线 是两条异面直线, 在直线a上 直线 、 在直线 、 在直线b上 那么直线AB和 一定是 一定是( 在直线 上, 那么直线 和CD一定是 C ) A. 平行直线 B. 相交直线 C. 异面直线 D. 以上都可能
(2)求直线 ' 分别和 ' 、 DC' 、AD' 的夹角的度数 求直线BA 分别和CC 的夹角的度数. 求直线 D' 与直线AA 垂直的直线有: 解:(1)与直线 ' 垂直的直线有 与直线 C' AB、BC、CD、DA、 A' B' 、B' C' 、 、 、 、 、 A' B' C' D' 、D' A' O (2)由BB'||CC', 可知 ∠B'BA'等于异面 由 D 的夹角, 所以BA 直线 '与CC'的夹角 所以 ' 与 C 直线BA CC' 的夹角为 °. 的夹角为45 A B BA'与DC' 的夹角为 °. 的夹角为90 BA' 与DC' 的夹角为 °. 的夹角为60 求角的一般步骤: 求角的一般步骤 1)找(作)角; 2)求角 解三角形 找作角 求角(解三角形 求角 解三角形).

高二数学教案：9.2空间的平行直线与异面直线（1）【课题】空间的平行直线与异面直线(1)【教学目标】1、理解并掌握公理4，并能应用之证明简单的几何问题.2、了解并掌握等角定理.3、理解并掌握空间四边形的概念，了解空间四边形的一些简单性质及有关的证明；【教学重点】等角定理【教学难点】等角定理解决了角在空间中的平移问题，在平移变换下，角的大小不变.它是两条异面直线所成角的依据，也是以后研究二面角及与角有关的内容的理论基础，而且还提供了一个研究角之间关系的重要方法——平移法.【教学过程】一、复习引入前面我们学习了平面的基本性质——三个公理及其推论.讨论了公理及其推论的作用.并且对性质公理及推论的简单应用进行了研究——共面问题的证明、点共线问题的证明、线共点问题的证明，通过具体问题，与平面几何知识对照、类比，揭示了三类问题的证明思路、方法与步骤，这些内容是立体几何的基础.我们大家应予以足够的重视.从这节课开始，我们来研究空间直线二、讲解新课（一）空间的平行直线在初中几何中，我们学过平行公理：过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行；另外，我们还学过平行线的另一条重要性质：在同一个平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

这条性质同样可以推广到空间。

公理4：（平行线的传递性）平行同一条直线的两条直线互相平行.用符号语言表示如下：设a 、b 、c 是三条直线，//// //a b a c c b ?a 、b 、c 三条直线两两平行，可以记为a ∥b ∥c .（二）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等。

已知：∠BAC 和∠B ′A ′C ′的边AB ∥A ′B ′，AC ∥A ′C ′，并且方向相同，求证：∠BAC =∠B ′A ′C ′.B'A分析：对于∠BAC 和∠B ′A ′C ′在同一平面内的情形，在初中平面几何中已作过证明，下面我们证明两个角不在同一平面内的情形.证明：在AB 、A ′B ′、AC 、A ′C ′上分别截取AD =A ′D ′，AE =A ′E ′，连DE 、D ′E ′，连DD ′、EE ′、AA ′.//////AD A D AA D D D D EE AE A E AA EE ''''''??''''是平行四边形是平行四边形//DE EE AD AD ADE A D E AE AE '??''''='=?,A A BAC B A C ''''?∠=∠∠=∠即如果空间图形F 的所有点都沿同一方向移动相同的距离到F`的位置，则就说图形F 在空间作了一次平移【注意】这个定理对于平面图形是成立的，对于空间图形也是成立的。

b′
平
a′ ？ OP 5 、过已知直线外一点可以作______条直线与已知直线垂直。
（1）从公共点的数目看: 行，那么这两个角相等或互补.
a 平行直线-----在同一平面内没有公共点.
平行直线-----在同一平面内没有公共直的棱有多少条？
过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行.
b
c
a
等角定理
如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行
并且方向相同,那么这两个角相等.
B
B'
D
D'
C
C'
E A
E' A'
平移
定理：空间中如果两个角的两边分别平 行，那么这两个角相等或互补.
问题1：在平面几何中，两直线的位置
关系如何？
c
a
d
b
异面直线 定义 不同在任何一个平面内的两条直线叫做 异面直线.
直线 a 与 b 所成的角(或夹角).
b
b′
B
O
a′
a
有关问题:(1)范围 090
(2)与O的位置无关;
(3)为了方便点O取在下班a 或 b 上.
5. 两条直线互相垂直: 如果两条异面直线所成的角是直 角,那么就说两条直线互相垂直.
c b
a
特点: 相交或异面.
(四). 例题
图表示正方体 (1) 那些棱所在直线与直线BA′是异面直线; (2) 求直线BA′和CC′的夹角的度数; (3) 那些棱所在直线与直线AA′垂直.
(2) 求B1 D1 与 A1O 所成的角; 求不2）直在A线 任1 B何A1一与′和个ACC平C；′面的内夹-角---的--异度面数直; 线

3 , AD = 2 3 , AE = 2
H G
F
2 3 D 2 3
C B
∴∠EGF（或其补角）为所求.
Rt△EFG中，求得∠EGF = 45 (2) ∵BF∥AE
o
A
∴∠FBG（或其补角）为所求,
Rt△BFG中，求得∠FBG = 60o
BACK NEXT
[巧练模拟]—————(课堂突破保分题，分分必保！) 2．(2012· 沧州模拟)如图所示，在三棱柱 ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC， AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E、 F分别是棱AB、BB1的中点，则直线
E, F分别为SC、AB 的中点，那么异面直线EF
与SA 所成的角等于（ B ） (A)300 (B)450 (C)600
S E A D
(D)900
S
E
A F
G
C
F
B
4. 在空间四边形ABCD中, AD=BC=2, E、F分别是 AB、CD的中点.且EF= 3 ． 求:异面直线AD和BC所成的角.
相交直线 同在一个平面内 按平面基本性质分 不同在任何一个平面内: 异面直线 平行直线
有一个公共点: 按公共点个数分 无 公 共 点
相交直线 平行直线 异面直线
BACK
NEXT
练习1：在教室里找出几对异面直线的例子 。
合作探究一
分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？ 答：不一定：它们可能异面，可能相交，也可能平行。
o o
思考 : 这个角的大小与O点的位置有关吗 ? 即O点位
置不同时, 这一角的大小是否改变?
b b′
a′ ″

O
如果两条异面直线 a , b 所成的角为直 角，我们就称这两 条直线互相垂直 , 记为a ⊥ b

平行直线与异面直线教案教学目标：1. 学生能够准确区分平行直线和异面直线。

2. 学生能够理解平行直线和异面直线的基本性质。

3. 学生能够应用平行直线和异面直线的性质解决简单的几何问题。

教学重点：1. 平行直线和异面直线的区分。

2. 平行直线和异面直线的基本性质。

教学难点：学生能够应用平行直线和异面直线的性质解决简单的几何问题。

教学准备：教师准备黑板、彩笔、直尺、圆规等教学工具。

教学过程：Step 1 导入新课教师可以通过讲述生活中平行直线和异面直线的例子来引导学生进入新课。

Step 2 学习平行直线和异面直线的定义及特点教师通过黑板和教学工具展示平行直线和异面直线的定义及特点，并结合具体例子帮助学生理解。

平行直线：在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行直线，用符号“||”表示。

异面直线：不在同一个平面内的两条直线叫做异面直线，它们不可能相交。

Step 3 平行直线和异面直线的性质教师通过黑板和教学工具讲解平行直线和异面直线的基本性质，并结合具体例子帮助学生理解。

平行直线的性质：1. 平面内的直线与其平行的直线互相平行。

2. 平面内的两条平行直线，它们的距离相等。

3. 平面内的两条直线，如果与第三条直线分别平行，则这两条直线也平行。

异面直线的性质：1. 两条异面直线没有交点。

2. 两条异面直线之间的最短距离是它们的垂线段。

Step 4 应用平行直线和异面直线的性质教师通过练习题的形式，让学生应用平行直线和异面直线的性质解决简单的几何问题，并引导学生思考和总结。

Step 5 小结和反思教师对本节课所学内容进行小结，并与学生一起总结和归纳本节课的重点和难点，让学生反思和复习。

教学资源：黑板、彩笔、直尺、圆规等教学工具。

《空间的平行直线与异面直线》教案【教学目标】1、理解并掌握异面直线的定义；2、会用图形表示两条直线异面.3、会用两异面直线的判定定理与反证法判断或证明两异面直线；4、了解空间两直线的位置关系。

【教学重点】1、异面直线的定义2、反证法证明两直线是异面直线。

【教学难点】反证法【教学过程】一、复习引入1、复习平行公理和等角定理；空间四边形的概念及简单性质。

2、平面内两直线的位置关系有哪几种？AA与BC的位置关系，它们是否平行？是否相交？3、观察下列正方体中的直线'A'C'D'B'A'CDA B二、 讲解新课（一）异面直线1、异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。

性质：既不相交，也不平行。

2、异面直线的画法问题：右图表示a 、b 异面是否恰当？答：不恰当。

直观上看a ⊂α,b ⊂β，似乎分别在不同的平面内，但从图形上可看出，a 、b 有与两平面α、β的交线都平行的可能，这样a 与b 就平行，它们完全有可能在新的平面γ内，所以这样画容易给人造成误解.异面直线的特征是“不同在任何一个平面内或既不相交又不平行的两条直线”。

画图表示两条直线异面时，为显示它们不共面的特点，常用的方法有下列几种：这三种表示方法有一个共同的特点，就是用平面来衬托，离开平面的衬托，不同在任何一个平面的特征则难以体现.所以画异面直线时，一定要把其特征清楚地显现出来，不能使人产生歧义. 3、空间两直线的位置关系1、空间的两条直线有以下三种位置关系：①相交直线——有且仅有一个公共点. ②平行直线——在同一平面内，没有公共点. ③异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点. 2、找出正方体中的几对异面直线。

3、两条直线相交或平行时，确定一个平面，但三条直线交于一点或两两平行时，它们不一定共面。

例如上图中，直线AA 1、AB 、AD 三直线相交于点A ，它们不共面。

直线AA 1、BB 1、CC 1两两平行，它们也不共面。

同理可得四边形CC1M1M为平行四边形,
所以C1M1=CM.
又因为B1C1=BC,所以△BCM≌△B1C1M1,
所以∠BMC=∠B1M1C1.
【类题通法】
平行线的传递性的应用
1.空间两条直线平行的证明
一是定义法:即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点;
二是利用平面图形的有关平行的性质,如三角形中位线,梯形,平行四边形等关
2
所以四边形MNA1C1是梯形.
(2)由(1)可知MN∥A1C1,又因为ND∥A1D1,
所以∠DNM与∠D1A1C1相等或互补.
而∠DNM与∠D1A1C1均是直角三角形的一个锐角,
所以∠DNM=∠D1A1C1.
探究点二
空间直线位置关系的判定
【典例2】(1)在正方体ABCD A1B1C1D1中,棱所在直线与直线BA1是异面直线的
【解析】(1)在△ABD中,
因为E,H分别是AB,AD的中点,所以EH∥BD.
同理FG∥BD,则EH∥FG.
故E,F,G,H四点共面;
(2)由(1)知EH∥BD,同理AC∥GH.
又因为四边形EFGH是矩形,
所以EH⊥GH.故AC⊥BD.
【补偿训练】
已知棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱CD,AD的中点.求证:
11.3 空间中的平行关系
11.3.1 平行直线与异面直线
基础预习初探
1.在同一平面内,两条直线有几种位置关系?
2.观察如图正方体ABCD-A1B1C1D1,回答下面的问题:
(1)图中∠C1A1B1和∠CAB有什么关系?
(2)图中A1C1∥AC,则“直线A1C1与直线BC1所成的角”与“直线AC与直线BC1所

(1)直线D1D与直线D1C的位置关系是
.
(2)直线AB与直线B1C的位置关系是
.
【答案】(1)相交 (2)异面
知识点三：空间四边形 空间四边形可以看成由一个四面体的4条棱构成的图形.
微练习 如图,空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点.求证:四边形 EFGH是平行四边形.
变式训练 1 空间中有一个∠A的两边和另一个∠B的两边分别平行,∠A=70°,
则∠B=
.
【答案】70°或110° 【解析】因为∠A的两边和∠B的两边分别平行, 所以∠A=∠B或∠A+∠B=180°. 又∠A=70°,所以∠B=70°或110°.
探究三 异面直线的判断 例3 如图,已知正方体ABCD-A'B'C'D'.哪些棱所在直线与直线BA'是异面直线?
知识点二：异面直线 1.异面直线指的是空间中既不平行也不相交的直线. 2.异面直线的画法： 为了表示异面直线a,b不共面的特点,作图时,通常用一个或两个平面来衬托, 如图所示.
3.异面直线的一种判断方法:与一个平面相交于一点的直线与这个平面内不经 过交点的直线异面.
微练习
如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,判断下列直线的位置关系:
A.平行或异面 B.相交或异面
面
D.相交
【答案】B
【解析】由直观想象知,它和另一条直线相交或异面.
3.长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有
对.
【答案】6
【解析】如图所示,
在长方体AC1中,与体对角线AC1成异面直线的是A1D1,BC,BB1,DD1,A1B1,DC, 所以组成6对异面直线.

平行直线与异面直线【教学目标】1．能认识和理解空间直线平行的传递性，了解等角定理．(重点)2．了解空间两条直线间的位置关系，理解异面直线的定义.(难点)3．了解空间四边形的概念.【教学重难点】异面直线的判断。

【教学过程】一、基础铺垫1．平行直线基本性质文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行．这一性质叫做空间平行线的传递性．符号表述：⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b b ∥c ⇒a ∥c ． 2．等角定理如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等． 思考：空间中如果两个角的两边分别对应平行，这两个角具有什么关系？[提示] 相等或互补．3．异面直线①定义：把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线；②画法：(通常用平面衬托)4．空间四边形①定义：顺次连接不共面的4点所构成的图形称为空间四边形，其中4个点都是空间四边形的顶点，连接相邻顶点间的线段称为空间四边形的边，连接不相邻顶点间的线段称为空间四边形的对角线.；②画法：二、合作探究1．平行直线基本性质、等角定理的应用【例1】如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点．（1）求证：四边形BB1M1M为平行四边形；（2）求证：∥BMC＝∥B1M1C1．[思路探究]（1）欲证四边形BB1M1M是平行四边形，可证其一组对边平行且相等；（2）可结合（1）利用等角定理证明或利用三角形全等证明．[证明]（1）∥ABCD­A1B1C1D1为正方体．∥AD＝A1D1，且AD∥A1D1，又M、M1分别为棱AD．A1D1的中点，∥AM＝A1M1且AM∥A1M1，∥四边形AMM1A1为平行四边形，∥MM1＝AA1且MM1∥AA1．又AA1＝BB1且AA1∥BB1，∥MM1＝BB1且MM1∥BB1，∥四边形BB1M1M为平行四边形．（2）法一：由（1）知四边形BB1M1M为平行四边形，∥B1M1∥BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，∥C1M1∥CM.∥∥BMC和∥B1M1C1方向相同，∥∥BMC＝∥B1M1C1．法二：由（1）知四边形BB1M1M为平行四边形，∥B1M1＝BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，∥C1M1＝CM.又∥B1C1＝BC，∥∥BCM∥∥B1C1M1，∥∥BMC＝∥B1M1C1．【教师小结】（1）空间两条直线平行的证明一是定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点；二是利用平面图形的有关平行的性质，如三角形中位线，梯形，平行四边形等关于平行的性质；三是利用平行直线基本性质：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行．（2）求证角相等一是用等角定理；二是用三角形全等或相似．2．异面直线与空间四边形【例2】如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：①直线A1B与直线D1C的位置关系是________；②直线A1B与直线B1C的位置关系是________；③直线D1D与直线D1C的位置关系是________；④直线AB与直线B1C的位置关系是________．【解析】经探究可知直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中，且没有交点，则两直线平行，所以∥应该填“平行”；点A1．B．B1在平面A1BB1内，而C不在平面A1BB1内，则直线A1B 与直线B1C异面．同理，直线AB与直线B1C异面．所以∥∥应该填“异面”；直线D1D与直线D1C相交于D1点，所以∥应该填“相交”．【答案】∥平行∥异面∥相交∥异面【教师小结】判定两条直线是异面直线的方法：①定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内；②重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为A∥α，B∈α，l∥α，B∥l∥AB与l是异面直线(如图)．【例3】如图所示，A，B，C，D为不共面的四点，E，F，G，H分别在线段AB，BC，CD，DA上．（1）如果EH∩FG＝P，那么点P在直线________上．（2）如果EF∩GH＝Q，那么点Q在直线________上．【解析】（1）BD（2）AC[（1）若EH∩FG＝P，那么点P∥平面ABD，P∥平面BCD，而平面ABD∩平面BCD＝BD，所以P∥BD．（2）若EF∩GH＝Q，则点Q∥平面ABC，Q∥平面ACD，而平面ABC∩平面ACD＝AC，所以Q∥AC．]三、课堂检测1．思考辨析（1）若直线与平面不相交，则直线与平面平行．()（2）过一点有且只有一条直线与已知直线平行．()（3）直线l上有无数多个点在平面α外，则l∥α.()（4）过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行．()[解析]（1）错误．若直线与平面不相交，则直线在平面内或直线与平面平行．（2）错误．当点在已知直线上时，不存在过该点的直线与已知直线平行，故（2）错．（3）错误．直线l也可能与平面α相交．（4）错误．在棱柱的上底面内，过一点任意作一条直线都与棱柱的下底面平行，所以过平面外一点与已知平面平行的直线有无数条，故（4）错．[答案]（1）×（2）×（3）×（4）×2．如图所示，在三棱锥S­MNP中，E、F、G、H分别是棱SN、SP、MN、MP的中点，则EF与HG的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．平行或异面A[∥E、F分别是SN和SP的中点，∥EF∥PN.同理可证HG∥PN，∥EF∥HG.]3．已知角α和角β的两边分别平行且一组边方向相同，另一组边的方向相反，若α＝45°，则β＝________.135°[由等角定理可知β＝135°.]4．证明：若两个相交平面分别过两条平行直线，则它们的交线和这两条平行直线平行．[解]已知：a∥b，a⊂α，b⊂β，α∩β＝l.求证：a∥b∥l.证明：如图所示，∥a∥b，b⊂β，∥a∥β，又a⊂α，α∩β＝l，∥a∥l，又a∥b，∥a∥b∥l.。

课 题：9．2空间的平行直线与异面直线(一)教学目的：1.会判断两条直线的位置关系.2.理解公理四,并能运用公理四证明线线平行.3.掌握等角定理,并能运用它解决有关问题.4.了解平移的概念，初步了解平几中成立的结论哪些在立几中成立5. 掌握空间两直线的位置关系，掌握异面直线的概念，会用反证法和异面直线的判定定理证明两直线异面；6.掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念，能求出一些较特殊的异面直线所成的角教学重点：公理4及等角定理的运用异面直线所成的角. 教学难点：公理4及等角定理的运用异面直线所成的角. 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：本节共有两个知识点，平行直线、异面直线以平行公理和平面基本性质为基础进一步学习平行直线的性质，把平行公理和平行线的传递性推广到空间并引出平移概念，了解了平移的初步性质在这一节还由直线平行的性质学习异面直线及其夹角的概念要求学生正确掌握空间平行直线性质和异面直线及其夹角的概念，这样就为学生学习向量和空间图形的性质打下了基础 教学过程：一、复习引入：把一张纸对折几次，为什么它们的折痕平行？（答：把一张长方形的纸对折两次，打开后得4个全等的矩形，每个矩形的竖边是互相平行的，再应用平行公理，可得知它们的折痕是互相平行的）你还能举出生活中的相关应用的例子吗？ 二、讲解新课：1 空间两直线的位置关系（1）相交——有且只有一个公共点；（2）平行——在同一平面内，没有公共点； （3）异面——不在任何．．一个平面内，没有公共点； 2 平行直线（1）公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行推理模式：//,////a b b c a c ．说明：（1）公理4表述的性质叫做空间平行线的传递性；（2）几何学中，通常用互相平行的直线表示空间里一个确定的方向；（3）如果空间图形F 的所有点都沿同一个方向移动相同的距离到F '的位置，则就说图形F 作了一次平移（2）空间四边形：顺次连结不共面的四点A,B,C,D 所组成的四边形叫空间四边形，相对顶点的连线AC,BD 叫空间四边形的对角线（3）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等分析：在平面内，这个结论我们已经证明成立了．在空间中，这个结论是否成立，还需通过证明．要证明两个角相等，常用的方法有：证明两个三角形全等或相似，则对应角相等；证明两直线平行，则同位角、内错角相等；证明平行四边形，则它的对角相等，等等．根据题意，我们只能证明两个三角形全等或相似，为此需要构造两个三角形，这也是本题证明的关键所在．已知：BAC ∠和B A C '''∠的边//,//AB A B AC A C ''''，并且方向相同， 求证：BAC B A C '''∠=∠．证明：在BAC ∠和B A C '''∠的两边分别截取,AD A D AE A E ''''==， ∵//,AD A D AD A D ''''=， ∴A D DA ''是平行四边形，∴//,AA DD AA DD ''''=，同理//,AA EE AA EE ''''=， ∴//,EE DD EE DD ''''=，即D E ED ''是平行四边形，∴ED E D ''=，∴ADE A D E '''∆≅∆， 所以，BAC B A C '''∠=∠．(4)等角定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等.指出:等角定理及其推论,说明了空间角通过任意平行移动具有保值性,因而成为异面直线所成角的基础. 3.空间两条异面直线的画法ab1A C AA4．异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线推理模式：,,,A B l B l ααα∉∈⊂∉⇒AB 与l 是异面直线证明 ：（反证法）假设 直线AB 与l 共面，∵,,B l B l αα∈⊂∉，∴点B 和l 确定的平面为α， ∴直线AB 与l 共面于α，∴A α∈，与A α∉矛盾， 所以，AB 与l 是异面直线．5．异面直线所成的角：已知两条异面直线,a b ，经过空间任一点O 作直线//,//a a b b ''，,a b ''所成的角的大小与点O 的选择无关，把,a b ''所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角（或夹角）．为了简便，点O 通常取在异面直线的一条上异面直线所成的角的范围：2,0(π6．异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直．两条异面直线,a b 垂直，记作a b ⊥．7．求异面直线所成的角的方法：（1）通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线；（2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求 三、讲解范例：例1 已知四边形ABCD 是空间四边形，E 、H 分别是AB 、AD的中点，F 、G 分别是边CB 、CD 上的点，且32==CD CG CB CF ，求证：四边形EFGH 是梯形 分析：梯形就是一组对边平行且不相等的四边形考虑哪组对边会平行呢？为什么？（平行公理）证明对边不相等可以利用平行线分线段成比例 证明：如图，连接BD∵EH 是△ABD 的中位线，∴EH//BD,EH=21BD. 又在△BCD 中，32==CD CGCB CF，∴FG//BD,FG=32BD.根据公理4，EH//FG又FG ＞EH,∴四边形EFGH 的一组对边平行但不相等例2 如图，A 是平面BCD 外的一点,G H 分别是,ABC ACD ∆∆的重心， 求证：//GH BD ．证明：连结,AG AH 分别交,BC CD 于,M N ，连结MN ， ∵,G H 分别是,ABC ACD ∆∆的重心， ∴,M N 分别是,BC CD 的中点，∴//MN BD ，又∵23AG AH AM AN ==， ∴//GH MN ，由公理4知//GH BD ．例3 如图，已知不共面的直线,,a b c 相交于O 点，,M P 是直线a 上的两点，,N Q 分别是,b c 上的一点求证：MN 和PQ 是异面直线证（法一）：假设MN 和PQ 不是异面直线， 则MN 与PQ 在同一平面内，设为α，∵,,,M P a M P α∈∈，∴a α⊂，又o a ∈，∴o α∈， ∵,,N O b N b α∈∈∈， ∴b α⊂，同理c α⊂，∴,,a b c 共面于α，与已知,,a b c 不共面相矛盾， 所以，MN 和PQ 是异面直线（法二）：∵a c O = ，∴直线,a c 确定一平面设为β，∵,P a Q c ∈∈，∴,P Q ββ∈∈，∴PQ β⊂且,M M PQ β∈∉，D B又,,a b c 不共面，N b ∈，∴N β∉，所以，MN 与PQ 为异面直线例4 正方体ABCD A B C D ''''-中．那些棱所在的直线与直线BA '是异面直线？求BA '与CC '夹角的度数．那些棱所在的直线与直线AA '垂直？ 解：（1）由异面直线的判定方法可知，与直线BA '成异面直线的有直线,,,,,B C AD CC DD DC D C ''''''，（2）由//BB CC ''，可知B BA ''∠等于异面直线BA '与CC '的夹角，所以异面直线BA '与CC '的夹角为45．（3）直线,,,,,,,AB BC CD DA A B B C C D D A ''''''''与直线AA '都垂直例5 两条异面直线 的公垂线指的是 ( ) (A)和两条异面直线都垂直的直线 (B)和两条异面直线都垂直相交的直线(C)和两条异面直线都垂直相交且夹在两交点之间的线段(D)和两条异面直线都垂直的所有直线答案：B例6 在棱长为a 的正方体中，与AD 成异面直线且距离等于a 的棱共有 ( ) (A)2条 (B)3条 (C)4条 (D)5条 答案：BB 1, CC 1, A 1B 1, C 1D 1共四条故选C. 例7若a 、b 是两条异面直线，则下列命题中，正确的是 ( ) (A)与a 、b 都垂直的直线只有一条 (B)a 与b 的公垂线只有一条 (C)a 与b 的公垂线有无数条(D)a 与b 的公垂线的长就是a 、b 两异面直线的距离答案：B 例8已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，则棱A 1B 1所在直线与面对角线BC 1所在直线间的距离是 ( )（A ）a 22（B ）a （C ）a 2 （D 2答案：A四、课堂练习：〖课堂小练习〗1 判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打“×”（1）平行于同一直线的两条直线平行 . （ ） （2）垂直于同一直线的两条直线平行 . （ ）A ′CA C 1C A（3）过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 . （ ） （4）与已知直线平行且距离等于定长的直线只有两条. （ ） （5）若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等（ ） （6）若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等. （ ） （7）向量与11B A ，与11C A 是两组方向相同的共线向量，那么111BAC B AC ∠=∠． （ ）答案：（1）√（2）×（3）√（4）×（5）×（6）√（7）√ 2．选择题 （1）“a ，b 是异面直线”是指 ① a ∩b =Φ且a 不平行于b ；② a ⊂ 平面α，b ⊂ 平面β且a ∩b =Φ③ a ⊂ 平面α，b ⊄ 平面α ④ 不存在平面α，能使a ⊂ α且b ⊂ α成立 上述结论中，正确的是 （ ） （A ）①② （B ）①③ （C ）①④ （D ）③④（2）长方体的一条对角线与长方体的棱所组成的异面直线有 （ ） （A ）2对 （B ）3对 （C ）6对 （D ）12对 （3）两条直线a ,b 分别和异面直线c ,d 都相交，则直线a ，b 的位置关系是（ ） （A ）一定是异面直线 （B ）一定是相交直线 （C ）可能是平行直线 （D ）可能是异面直线，也可能是相交直线 （4）一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它和另一条的位置关系是( ) （A ）平行 （B ）相交 （C ）异面 （D ）相交或异面 答案：（1）C （2）C （3）A （4）D3．两条直线互相垂直，它们一定相交吗？ 答：不一定，还可能异面．4.垂直于同一直线的两条直线，有几种位置关系？ 答：三种：相交，平行，异面．5．画两个相交平面，在这两个平面内各画一条直线使它们成为（1）平行直线；（2）相交直线；（3）异面直线． 解：6．选择题（1）分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是 （ ） （A ）异面 （B ）平行 （C ）相交 （D ）以上都有可能（2）异面直线a ,b 满足a ⊂α,b ⊂β,α∩β=l ，则l 与a ,b 的位置关系一定是（ ） （A ）l 至多与a ，b 中的一条相交（B ）l 至少与a ，b 中的一条相交 （C ）l 与a ，b 都相交 （D ）l 至少与a ，b 中的一条平行 （3）两异面直线所成的角的范围是 （） （A ）（0°,90°）（B ）[0°,90°) （C ）（0°,90°] （D ）[0°,90°] 答案（1）D （2）B （3）：C7．判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打“×”（1）两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行 （ ） （2）和两条异面直线都垂直的直线是这两条异面直线的公垂线 （ ） （3）平行移动两条异面直线中的任一条，它们所成的角不变 （ ） （4）四边相等且四个角也相等的四边形是正方形 （ ） 答案：×，×，√，×五、小结 ：这节课我们学习了两条直线的位置关系（平行、相交、异面），平行公理和等角定理及其推论．异面直线的概念、判断及异面直线夹角的概念； 证明两直线异面的一般方法是“反证法”或“判定定理”；求异面直线的夹角的一般步骤是：“作—证—算—答” 六、课后作业：1．如图，有哪些直线和直线D 1C 是异面直线，它们所成的角分别是什么？并求出这些角的大小2．如图正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别为D 1C 1和B 1C 1的中点，P 、Q 分别为A 1C 1与EF 、AC 与BD 的交点，（1）求证：D 、B 、F 、E 四点共面；（2）若A 1C 与面DBFE 交于点R ，求证：P 、Q 、R 三点共线提示：（1）证明四点共面，也就是证明什么？有什么公理或定理可用？ （2）证明三点共线的方法是什么？想一想前面我们证明过没有？ 关键是引导学生自己动手，逐步建立学生的空间立体感3．如图，空间四边形ABCD 中，E 、F 分别为BC 、CD 的中点，G 、H 分别为AB 、AD 上的点，且AG ：GB ≠AH ：HD 证明：GH 与EF 为异面直线提示：什么叫异面直线？其相对的线线位置关系是什么？ 考虑：（1）如果直接证明，就必须证明GH 和EF 不在同一平面内，有这样的定理或公理吗？ （2）从（1）知，正面证明是不可取，那么我们可以考虑从反而来考虑——平行或相交七、板书设计（略）八、课后记：1A CAE1A 1C A。

【人教B版】平行直线与异面直线学习目标 1.掌握空间中两条直线的位置关系.2.理解并掌握空间平行线的传递性及等角定理．知识点一空间两直线的位置关系1．平行直线的定义在同一平面内不相交的两条直线称为平行直线．2．异面直线的定义(1)定义：空间中既不平行也不相交的直线．(2)异面直线的画法(衬托平面法)如图①②③所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托．(3)判断两直线为异面直线的方法①定义法；②与一个平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线异面．3．空间两条直线的三种位置关系相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点平行直线：在同一平面内，没有公共点异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点知识点二空间平行线的传递性文字语言平行于同一条直线的两条直线互相平行图形语言符号语言直线a，b，c，a∥b，b∥c⇒a∥c作用证明两条直线平行知识点三空间中的等角定理1．定理文字语言如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等符号语言OA∥O′A′，OB∥O′B′⇒∠AOB＝∠A′O′B′图形语言作用判断或证明两个角相等2.推广如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等．知识点四空间四边形顺次连接不共面的4点所构成的图形称为空间四边形．其中4个点都是空间四边形的顶点；连接相邻顶点间的线段称为空间四边形的边；连接不相邻顶点间的线段称为空间四边形的对角线．空间四边形用表示顶点的四个字母表示．1．若AB∥A′B′，AC∥A′C′，则∠BAC＝∠B′A′C′.()2．没有公共点的两条直线是异面直线．()3．若a，b是两条直线，α，β是两个平面，且a⊂α，b⊂β，则a，b是异面直线．()一、平行直线与异面直线例1如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么NC，DE，AF，BM这四条线段所在的直线是异面直线的有多少对？试以其中一对为例进行证明．跟踪训练1分别在两个相交平面内的两条直线间的位置关系是()A．异面B．平行C．相交D．以上都有可能二、空间平行线的传递性的应用例2在正方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F，E′，F′分别是AB，BC，A′B′，B′C′的中点，求证：EE′∥FF′.跟踪训练2如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E，F，G，H分别为PA，PB，PC，PD的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形．三、空间四边形的认识例3如图，设E，F，G，H分别是四面体A－BCD的棱AB，BC，CD，DA上的点，且AEAB＝AHAD＝λ，CFCB＝CGCD＝μ，求证：(1)当λ＝μ时，四边形EFGH是平行四边形；(2)当λ≠μ时，四边形EFGH是梯形．跟踪训练3已知空间四边形ABCD中，AB≠AC，BD＝BC，AE是△ABC的边BC上的高，DF是△BCD 的边BC上的中线，判定AE与DF的位置关系．1．(多选)直线a∥b，直线b与c相交，则直线a，c的位置关系可能是()A．相交B．平行C．异面D．在同一平面内2．(多选)下列四个结论中说法正确的是()A．垂直于同一直线的两条直线互相平行B．平行于同一直线的两直线平行C．若直线a，b，c满足a∥b，b⊥c，则a⊥cD．若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线3．下列结论正确的是()A．若两个角相等，则这两个角的两边分别平行B．空间四边形的四个顶点可以在一个平面内C．空间四边形的两条对角线可以相交D．空间四边形的两条对角线不相交4．一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是()A．平行或异面B．相交或异面C．异面D．相交5．对角线互相垂直的空间四边形ABCD各边中点分别为M，N，P，Q，则四边形MNPQ是________．1．知识清单：(1)平行直线与异面直线．(2)空间平行线的传递性和等角定理．(3)空间四边形．2．方法归纳：分类讨论．3．常见误区：不能把平面知识转化到空间中．1．空间两条互相平行的直线指的是()A．在空间没有公共点的两条直线B．分别在两个平面内的两条直线C．在两个不同的平面内且没有公共点的两条直线D．在同一平面内且没有公共点的两条直线2．(多选)已知AB∥PQ，BC∥QR，若∠ABC＝30°，则∠PQR可以等于()A．30°B．60°C．150°D．120°3．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是()A．一定平行B．一定相交C．一定异面D．相交或异面4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是平面AA1D1D、平面CC1D1D的中心，G，H分别是线段AB，BC的中点，则直线EF与直线GH的位置关系是()A．相交B．异面C．平行D．垂直5．(多选)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论，其中正确的结论为()A．直线AM与CC1是相交直线B．直线AM与BN是平行直线C ．直线BN 与MB 1是异面直线D ．直线AM 与DD 1是异面直线6.如图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面是梯形，AB ∥CD ，则所有与∠A 1AB 相等的角是________．7．a ，b ，c 是空间中三条直线，下面给出几个说法：①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；②若a 与b 相交，b 与c 相交，则a 与c 也相交；③若a ，b 分别在两个相交平面内，则这两条直线不可能平行．则上述说法中正确的为________．(仅填序号)8．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，判断下列直线的位置关系：(1)直线A 1B 与直线D 1C 的位置关系是________；(2)直线A 1B 与直线B 1C 的位置关系是________；(3)直线D 1D 与直线D 1C 的位置关系是________；(4)直线AB 与直线B 1C 的位置关系是________．9．如图所示，E ，F 分别是长方体A 1B 1C 1D 1－ABCD 的棱A 1A ，C 1C 的中点．求证：四边形B 1EDF 是平行四边形．10.如图所示，△ABC 和△A ′B ′C ′的对应顶点的连线AA ′，BB ′，CC ′交于同一点O ，且OA OA ′＝BO OB ′＝CO OC ′＝23.(1)求证：A ′B ′∥AB ，A ′C ′∥AC ，B ′C ′∥BC ；(2)求S △ABCS △A ′B ′C ′的值．11．若直线a ，b 与直线l 所成的角相等，则a ，b 的位置关系是()A．异面B．平行C．相交D．相交、平行、异面均可能12．如图，四棱锥C－ABED中，底面ABED是梯形，AB∥DE，DE＝2AB，且F是CD的中点，P是CE 的中点，则AF与BP的位置关系是________．13．在空间四边形ABCD中，E，H分别是AB，AD的中点，F，G分别是CB，CD上的点，且CFCB＝CGCD＝23，那么四边形EFGH的形状是________；若BD＝6cm.四边形EFGH的面积为28cm2，则EH与FG之间的距离为________cm.14．已知三棱锥A－BCD中，M，N分别是△ABC和△ACD的重心，若BD＝6，则MN＝________.15．设△ABC和△A1B1C1的三对对应顶点所在直线AA1，BB1，CC1相交于一点O，且OAAA1＝OBBB1＝OCCC1＝23.若设△ABC的面积为S1，△A1B1C1的面积为S2，则S1S2＝________.16.如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD四条边AB，BC，CD，DA的中点．(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；(2)若BD＝2，AC＝6，求EG2＋HF2的值．参考答案1．(×)2．(×)3．(×)一、平行直线与异面直线例1解将展开图还原为正方体(如图)．NC与DE，NC与AF，NC与BM，DE与AF，DE与BM，AF与BM，都是异面直线，共有6对．以NC与AF是异面直线为例证明如下：连接BE交AF于点O，若NC∥AF，则由NC∥BE，可知AF∥BE，这与AF与BE相交矛盾．故NC与AF不平行．若NC与AF相交，则平面ABFE与平面CDNM有公共点，这与正方体的性质矛盾．故NC与AF不相交．所以NC与AF异面．反思感悟判定两条直线是异面直线的方法(1)证明两条直线既不平行又不相交．(2)重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为A∉α，B∈α，l⊂α，B∉l⇒AB与l是异面直线(如图)．跟踪训练1答案D 解析如图(1)所示，直线a 与b 互相平行；如图(2)所示，直线a 与b 相交；如图(3)所示，直线a 与b 异面．二、空间平行线的传递性的应用例2证明因为E ，E ′分别是AB ，A ′B ′的中点，所以BE ∥B ′E ′，且BE ＝B ′E ′.所以四边形EBB ′E ′是平行四边形，所以EE ′∥BB ′，同理可证FF ′∥BB ′.所以EE ′∥FF ′.反思感悟证明两条直线平行的两种方法(1)利用平行线的定义：证明两条直线在同一平面内且无公共点．(2)利用空间平行线的传递性：寻找第三条直线，然后证明这两条直线都与所找的第三条直线平行，根据空间平行线的传递性，显然这两条直线平行．若题设条件中含有中点，则常利用三角形的中位线性质证明直线平行．跟踪训练2解在△PAB 中，因为E ，F 分别是PA ，PB 的中点，所以EF ∥AB ，EF ＝12AB ，同理GH ∥DC ，GH ＝12DC .因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AB ∥CD ，AB ＝CD .所以EF ∥GH ，EF ＝GH .所以四边形EFGH 是平行四边形．三、空间四边形的认识例3证明(1)∵AE AB ＝AH AD ＝λ，∴EH ∥BD ，∴EH BD＝λ.同理，GF ∥BD ，GF BD＝μ.又∵λ＝μ，∴EH ＝GF ，且EH ∥GF .∴四边形EFGH 是平行四边形．(2)由(1)知EH ∥GF ，又∵λ≠μ，∴EH ≠GF .∴四边形EFGH 是梯形．反思感悟因空间图形往往包含平面图形，故在解答与空间四边形有关的问题时，常借助平面几何中的有关性质或定理．跟踪训练3解由已知，得E，F不重合．设△BCD所在平面为α，则DF⊂α，A∉α，E∈α，E∉DF，所以AE与DF异面．1．答案ACD解析如图，a与c相交或异面．2．答案BC解析AD均为假命题．A项可举反例，如a，b，c三线两两垂直．D项，如图甲时，c，d与异面直线l1，l2交于四个点，此时c，d异面；当点A在直线l1上运动(其余三点不动)时，会出现点A与B重合的情形，如图乙所示，此时c，d共面相交．3．答案D解析空间四边形的四个顶点不在同一平面上，所以它的对角线不相交，否则四个顶点共面，故选D. 4．答案B解析如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AA1与BC是异面直线，又AA1∥BB1，AA1∥DD1，显然BB1∩BC ＝B，DD1与BC是异面直线，故选B.5．答案矩形解析如图所示．∵点M ，N ，P ，Q 分别是四条边的中点，∴MN ∥AC ，且MN ＝12AC ，PQ ∥AC 且PQ ＝12AC ，即MN ∥PQ 且MN ＝PQ ，∴四边形MNPQ 是平行四边形．又∵BD ∥MQ ，AC ⊥BD ，∴MN ⊥MQ ，∴平行四边形MNPQ 是矩形．1．答案D 2．答案AC 解析由等角定理可知∠PQR 与∠ABC 相等或互补，故答案为AC.3．答案D 解析可能相交也可能异面，但一定不平行(否则与条件矛盾)．4．答案C 解析如图，连接AD 1，CD 1，AC ，则E ，F 分别为AD 1，CD 1的中点．由三角形的中位线定理知，EF ∥AC ，GH ∥AC ，所以EF ∥GH ，故选C.5．答案CD 解析结合图形，由异面直线的定义知AM 与CC 1，AM 与BN ，BN 与MB 1，AM 与DD 1都是异面直线，故CD 正确，故选CD.6.答案∠D 1DC ，∠D 1C 1C ，∠A 1B 1B 解析因为在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1∥DD 1，AB ∥CD ，所以∠A 1AB 与∠D 1DC 相等．又由于侧面A 1ABB 1，D 1DCC 1为平行四边形，所以∠A 1AB 与∠A 1B 1B ，∠D 1C 1C 也相等．7．答案①解析由空间平行线的传递性知①正确．若a 与b 相交，b 与c 相交，则a 与c 可能平行，也可能相交或异面，②错误；若平面α∩β＝l ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥l ，b ∥l ，则a ∥b ，③错误．8．答案(1)平行(2)异面(3)相交(4)异面9．证明设Q 是DD 1的中点，连接EQ ，QC 1.∵E 是AA 1的中点，∴EQ ∥A 1D 1且EQ ＝A 1D 1.又在矩形A 1B 1C 1D 1中，A 1D 1∥B 1C 1且A 1D 1＝B 1C 1，∴EQ ∥B 1C 1且EQ ＝B 1C 1.∴四边形EQC 1B 1为平行四边形，∴B 1E ∥C 1Q 且B 1E ＝C 1Q .又∵Q ，F 是DD 1，C 1C 的中点，∴QD ∥C 1F 且QD ＝C 1F ，∴四边形QDFC 1为平行四边形．∴C 1Q ∥DF 且C 1Q ＝DF ，∴B 1E ∥DF 且B 1E ＝DF ，∴四边形B 1EDF 为平行四边形．10.(1)证明∵AA ′∩BB ′＝O ，且AO A ′O ＝BO B ′O ＝23，∴AB ∥A ′B ′，同理AC ∥A ′C ′，BC ∥B ′C ′.(2)解∵A ′B ′∥AB ，A ′C ′∥AC 且AB 和A ′B ′，AC 和A ′C ′方向相反，∴∠BAC ＝∠B ′A ′C ′.同理∠ABC ＝∠A ′B ′C ′，∠ACB ＝∠A ′C ′B ′，∴△ABC ∽△A ′B ′C ′且AB A ′B ′＝AO OA ′＝23，∴S △ABC S △A ′B ′C ′＝＝49.11．答案D 12．答案AF ∥BP 解析连接FP ，因为F 是CD 的中点，P 是CE 的中点，所以FP ∥DE ，且FP ＝12DE ，又因为AB ∥DE ，AB ＝12DE ，所以AB ∥FP 且AB ＝FP ，所以四边形ABPF 是平行四边形，所以AF ∥BP .13．答案梯形8解析由E ，H 分别是AB ，AD 的中点，且CF CB ＝CG CD ＝23，知EH ∥BD ∥GF ，又EH ≠FG ，得四边形EFGH 是梯形，若BD ＝6cm ，则FG ＝4cm ，EH ＝3cm.设EH 与FG 间的距离为h ，因为梯形面积为12(EH ＋FG )h ＝28cm 2，所以h ＝8cm ，则EH 与FG 之间的距离为8cm.14．答案2解析如图，延长AM ，AN 分别交BC ，CD 于点E ，F ，连接EF ，因为M ，N 分别是△ABC 和△ACD 的重心，所以AE ，AF 分别为△ABC 和△ACD 的中线，且AM AE ＝AN AF ＝23，所以MN ∥EF 且MN ＝23EF ，因为EF 为△BCD 的中位线，所以EF ＝12BD ，所以MN ＝13BD ＝13×6＝2.15．答案425或4解析若O在△ABC与△A1B1C1的同侧，因为OAAA1＝OBBB1＝OCCC1＝23，所以ABA1B1＝ACA1C1＝BCB1C1＝25，从而S1S2＝＝425；若O在△ABC与△A1B1C1的中间，因为OAAA1＝OBBB1＝OCCC1＝23，所以ABA1B1＝ACA1C1＝BCB1C1＝21，从而S1S2＝＝41＝4.综上可知S1S2＝425或4.16.(1)证明因为E，F是△ABC的边AB，BC上的中点，所以EF∥AC.同理，HG∥AC，所以EF∥GH，同理，FG∥EH，所以四边形EFGH是平行四边形．(2)解由(1)知四边形EFGH为平行四边形．因为BD＝2，AC＝6，所以EF＝12AC＝3，EH＝12BD＝1.由cos∠EFG＝－cos(π－∠EFG)＝－cos∠FEH，结合余弦定理得EF2＋FG2－EG22EF·FG＝－EF2＋EH2－HF22EF·EH，EG2＋HF2＝2(EF2＋EH2)＝20.。

教案
α,A
=B
与直线AB异面
α
边,,,
AB AD CB CD的中点.
（1）判断四边形EFGH是空间四边形还是平面四边形，并说明理由.
（2）若AC BD
=,四边形EFGH是什么图形？证明你的结论.
总结：空间四边形的中点四边形
（1）任何空间四边形的中点四边形都是平行四边形. （2）若空间四边形对角线等，则中点四边形为菱形.
加强对空间四边形定义的理解，培养空间意识.归纳中点四边形的性质.
总结1.学习了平行直线、异面直线和空间四边形.
2.运用了类比、降维和反证等思想方法解决问题.
3.经历了从直观感知到推理论证过程.
帮助学生梳理本节
课所学知识和方法，
作业1.判断下列命题的真假.
（1）4条边相等的空间四边形是菱形.
（2）空间中，与同一条直线异面的两条直线一定异面.
（3）空间中，如果
111
BAC B AC
∠=∠且
11
//
AB A B，则
11
//
AC AC.
2.画出两个相交平面，在这两个平面内各画一条直线，
使这两条直线分别成为
（1）相交直线（2）平行直线（3）异面直线
3.直线AB与直线CD是异面直线，那么直线AC与直
线BD一定是异面吗？为什么？
巩固本节课所学核
心知识和方法，学以
致用.。