数学北师大版九年级下册垂径定理的运用

垂径定理应用例析圆是轴对称图形图形，对称轴是任意一条过圆心的直线，利用这个“对称性”，我们可以得到垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.结合圆的特点，我们体会它们的用处：【例1】在直径为1米的圆柱形油槽内装入一些油后,截面如图1所示,若油面宽AB =0.6米,则油的最大深度为_______.图1分析：本题考查垂径定理和勾股定理.欲求油的最大深度,就是求图1中弓形高CD =OD －OC ,所以关键是求OC ,利用勾股定理在△AOC 中可求出.通过本题可看出图中弦长a ,弦心距d ,半径r ,与弓形高h 四者之间的关系,要特别明确:①r =h +d ; ②r 2=(2a )2+d 2,由两个式子可知对于a 、d 、r 、h 这四个量,已知两个,另外两个一定能求,我们应该熟记.解：作半径OD ⊥AB 于C ,∴AC =21AB =0.6×21=0.3. 在Rt △AOC 中,∵OC =22AC OA -=22)3.0()5.0(-=0.4, ∴CD =OD －OC =0.5－0.4=0.1(米). ∴油的最大深度为0.1米.【例2】在半径为5厘米的圆内有两条互相平行的弦,一条弦长为8厘米,另一条弦长为6厘米,则两弦之间的距离为_______.分析：本题考查垂径定理和勾股定理.根据题意,画出图形,这是与半径、弦长有关的问题,很自然联想到垂径定理,作出垂径,根据弦长a ,圆心到弦的距离d ,半径r 三者之间的关系r 2=(2a )2+d 2可求出弦心距d ,从而问题解决.解答本题时,一定要注意分两种情况讨论,两条平行弦可能在圆心两侧,也可能在圆心同侧.解：①如图2所示,如果两条平行弦在圆心两侧,过O 作EF ⊥AB 于E ,EF ⊥CD 于F ,连结AO 、CO , 在Rt △AOE 中,OE =22AE OA -=2245-=3, 在Rt △COF 中,OF =22CF OC -=2235-=4, ∴EF =OE +OF =7(厘米).E FA BCDOE F ABC D O图2图3②如图3所示,如果两条平行弦在圆心同侧,过O 作OE ⊥AB 于E ,延长OE 交CD 于F . ∵AB ∥CD ,则OF ⊥CD ,连结AO 、CO ,在Rt △AOE 中,OE =22AE OA -=2245-=3, 在Rt △COF 中,OF =22CF OC -=2235-=4, ∴EF =OF －OE =1(厘米).【例3】已知：如图4，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于P ，CD ＝10cm ，AP :PB ＝1:5.求：⊙O 的半径.图3分析：已知直径AB ⊥弦CD ，利用垂径定理可知PC =21CD =5cm ，可设AP =x ，PB =5x ，直径AB =6x ，连结OC ，则OC =3x ，把已知和未知集中在Rt △CPO 中，利用勾股定理可以求解.一个圆的半径有无数条，在解题时要利用好这个条件，并能恰当地增添辅助线.连结OC ，构造出一个直角三角形，利用勾股定理便可以使问题得以解决.在圆中有关弦，弦心距，半径的问题常作的辅助线是连半径或作弦心距，常把垂径定理和勾股定理结合起来解题.解：连结OC ∵ AP :PB ＝1:5.∴ 设AP ＝x ，PB ＝5x ，AB ＝AP ＋PB ＝6x .∵ 直径AB ⊥弦CD . ∴ PC ＝PD ＝21CD ＝5cm . ∵ OC ＋OA ＝3x . ∴ PO ＝2x .在Rt △POC 中，根据勾股定理，得OC 2＝PC 2＋OP 2. ∴ (3x )2＝52＋(2x )2.解方程，得x ＝±5，x ＝－5不合题意，舍去. ∴ ⊙O 的半径为35cm .【例4】“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题,“今有圆材,埋壁中,不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何？”用现在的数学语言表述是:“如图3－2－16所示,CD 为⊙O 的直径,弦AB ⊥CD ,垂足为E , CE =1寸,求直径CD 的长.”分析：本题是考查垂径定理和勾股定理的一道跨学科试题.解决本题的关键是理解题意,把文言文翻译成数学语言,然后画出几何图形,再利用数学知识来解决.解：连结OA .∵AB ⊥CD ,CD 为直径,∴AE =21AB =21×10=5(寸). 在Rt △AEO 中,设OA =x ,则OE =x －1,由勾股定理,得x 2=52+(x －1)2,解得x =13. ∴OA =13,∴CD =2AO =26(寸).。

“垂径定理”与解题思路分析垂径定理及其推论是“圆”一章最先出现的重要定理，它是证明圆内线段、弧、角相等关系及直线垂直关系的重要依据，也是学好本章的基础，在学习中要注意以下几点：一.圆的辆对称是垂径定理的理论基础同学们在小学就已经知道了把圆沿着它的任意一条直径对折，直径两边的两个半圆就会重合在一起。

因此，课本首先通过一张圆形纸片沿着一条直径对折，直径两侧的两个半圆能重合这一事实，指出圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴，然后利用这一性质给出了垂径定理，并利用圆的对称性证明。

所以，圆的轴对称性是垂径定理的理论基础。

二.垂径定理及其推论的题设与结论之间的内在联系在垂径定理(推论)中，一是隐含着一条直线；二是该直线具有以下性质：(1)经过圆心，(2)垂直于弦，(3)平分这条弦，(4)平分这条弦所对的劣弧，(5)平分这条弦所对的优弧。

垂径定理可以简记为：由于垂径定理本身的结论有多个，因此在构造逆命题时也会有多个，这就需要掌握构造逆命题的技巧。

例如：以(1)、(3)为条件的逆命题为：如果过圆心的一条直线平分该圆内的一条弦(不是直径)，那么这条直线垂直于弦，且平分弦所对的弧。

类似地，同学们一定会分别写出以(1)和(4)、(1)和(5)、(2)和(3)、(2)和(4)、(2)和(5)、(3)和(4)、(3)和(5)、(4)和(5)为条件的逆命题。

由于一条直线如果具备上述五条性质中的任何两条时，这条直线唯一确定，所以，上述九个逆命题都是真命题，它们都是垂径定理的推论。

垂径定理连同推论在内共十条定理。

对于这十条定理，同学们切不可死记硬背，关键要抓住它们的特点，即一条直线具有上面所说的五条性质中的任何两性质，就有其余三条性质(具有性质(1)、(3)时，所说的弦不是直径，这是因为如果这里的弦是直径的话，两条直径总是互相平分的，但它们未必垂直)。

三.灵活应用垂径定理及其推论解题垂径定理及其推论，主要应用于研究直径与同圆中的弦、弧之间的垂直平分关系，其内容虽然简单，但要能灵活应用却非易事。

北师大版九年级数学下册：3.3《垂径定理》教学设计一. 教材分析《垂径定理》是北师大版九年级数学下册第3章第3节的内容。

本节主要介绍圆中的垂径定理及其应用。

垂径定理是圆的基本性质之一，对于解决与圆相关的问题具有重要意义。

通过学习垂径定理，学生能够更深入地理解圆的性质，提高解决实际问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了圆的基本概念和性质，具备了一定的观察、分析和推理能力。

但在学习垂径定理时，学生可能对定理的理解和应用还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知水平，引导学生逐步理解并掌握垂径定理。

三. 教学目标1.理解垂径定理的内容及证明过程。

2.能够运用垂径定理解决与圆相关的问题。

3.培养学生的观察能力、推理能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.重点：垂径定理的理解和应用。

2.难点：垂径定理的证明过程。

五. 教学方法1.引导发现法：教师引导学生观察、分析、推理，发现垂径定理。

2.实例讲解法：教师通过具体例子，讲解垂径定理的应用。

3.合作交流法：学生分组讨论，分享学习心得和解决问题的方法。

六. 教学准备1.教学PPT：包含垂径定理的定义、证明和应用。

2.实例图片：用于讲解垂径定理的应用。

3.练习题：巩固所学内容。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾圆的基本性质，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）教师展示PPT，介绍垂径定理的定义、证明和应用。

引导学生观察、分析，理解垂径定理的意义。

3.操练（10分钟）教师提出几个与垂径定理相关的问题，让学生分组讨论，共同解决问题。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）学生独立完成几道练习题，巩固所学内容。

教师选取部分题目进行讲解，分析解题思路。

5.拓展（10分钟）教师提出一些拓展问题，引导学生运用垂径定理解决实际问题。

学生分组讨论，分享解题方法。

6.小结（5分钟）教师引导学生总结本节课所学内容，回顾学习过程，分享学习心得。

课题：垂径定理【学习目标】1．经历探索圆的对称性及相关性质的过程，理解并掌握垂径定理及推论，并能够灵活应用．2．在对圆的对称性和垂径定理的探索中，对其各组量之间的推导能够融会贯通．【学习重点】垂径定理及其推论的发现、记忆和证明．【学习难点】垂径定理的推导及应用．情景导入 生成问题旧知回顾：1．圆心角、弧、弦、弦心距的关系是怎样的？答：(1)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；(2)在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．2．圆是轴对称图形吗？答：圆是轴对称图形，其对称轴是经过圆心的直线．自学互研 生成能力知识模块一 垂径定理及其推论阅读教材P 74～P 75，完成下面的内容：1．垂径定理的内容是什么？有哪些推论？答：垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对弧．2．如图，根据垂径定理，将此圆形分为五个要素：①CD 过圆心；②CD ⊥AB ；③AM ＝BM ；④AC ︵＝BC ︵；⑤AD ︵＝BD ︵.将其中任意两个要素组合，都能推出其他三个要素．试举例说明．解：如②③⇒①④⑤，连接CA ，CB ，AD ，BD 可证明．过程略．范例1：如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为M ，下列结论不成立的是( D )A ．CM ＝DMB .CB ︵＝BD ︵C ．∠ACD ＝∠ADC D ．OM ＝MD,(范例1题图)) ,(仿例1题图))仿例1：(长沙中考)如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上的一点，若BC ＝6，AB ＝10，OD ⊥BC 于点D ，则OD 的长为4． 仿例2：在半径为4的圆中，垂直平分半径的弦长为( D )A . 3B ．2 3C ．3 3D ．4 3仿例3：过⊙O 内的点M 最长的弦长为6cm ，最短的弦长是4cm ，则OM 的长是( B )A .3cmB .5cmC ．2cmD ．3cm仿例4：⊙O 内两条平行弦长为16cm 和12cm ，⊙O 半径为10cm ，则这两条平行弦的距离是14cm 或2cm ． 知识模块二 垂径定理的应用阅读教材P 74～P 75，完成下面的内容：范例2：(衢州中考)一排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA ＝1m .水面宽AB ＝1.2m ，某天下雨后，水管水面上升了0.2m .则此时排水管水面宽CD 等于1.6m .仿例：如图，某地有一座圆弧形的拱桥，桥下的水面宽度为7.2m ，拱桥高出水面2.4m ，现有一艘宽3m ，船舱顶部为长方形并高出水面2m 的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗？解：设圆心为O ，作OC ⊥MN ，交MN 于点H ，交AB 于点D ，交圆于点C ，连接ON ，OB ，∵OC ⊥AB ，∴BD ＝12AB ＝3.6m ，∵CD ＝2.4m ， 设OB ＝OC ＝ON ＝r ，则OD ＝(r －2.4)m ，在Rt △BOD 中，r 2＝(r －2.4)2＋3.62，r ＝3.9，∵CD ＝2.4m ，ME ＝NF ＝2m ，∴CH ＝2.4－2＝0.4m ，OH ＝r －CH ＝3.5m ，在Rt △OHN 中，HN 2＝ON 2－OH 2＝3.92－3.52＝2.96，∴HN ＝ 2.96m ，MN ＝2HN ≈3.44m >3m ，∴此货船能顺利通过拱桥．交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一垂径定理及其推论知识模块二垂径定理的应用检测反馈达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________。

北师大版数学九年级下册3.3《垂径定理》说课稿一. 教材分析北师大版数学九年级下册3.3《垂径定理》是本节课的主要内容。

这一节内容是在学生已经学习了直线、圆的基本概念和性质的基础上进行教学的。

教材通过引入垂径定理的概念，让学生了解并掌握圆中的一些重要性质，为学生后续学习圆的其它性质和解决与圆相关的问题打下基础。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识基础，对直线、圆的基本概念和性质有一定的了解。

但是，对于垂径定理的理解和运用还需要通过本节课的学习来提高。

此外，学生的空间想象能力和逻辑思维能力还需要进一步培养。

三. 说教学目标1.知识与技能：让学生理解和掌握垂径定理，并能够运用垂径定理解决一些与圆相关的问题。

2.过程与方法：通过观察、分析、推理等方法，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和自主学习能力。

四. 说教学重难点1.教学重点：理解和掌握垂径定理。

2.教学难点：如何引导学生运用垂径定理解决实际问题。

五. 说教学方法与手段在本节课的教学中，我将采用问题驱动法、合作交流法和直观演示法等教学方法。

问题驱动法能够激发学生的思考，培养学生的逻辑思维能力；合作交流法能够培养学生的团队合作意识；直观演示法能够帮助学生更好地理解垂径定理。

六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引导学生思考圆中的一些性质，激发学生的学习兴趣。

2.新课导入：介绍垂径定理的定义和性质，让学生通过观察和分析来理解垂径定理。

3.案例分析：通过一些具体的例子，让学生学会如何运用垂径定理解决实际问题。

4.巩固练习：设计一些练习题，让学生进一步巩固对垂径定理的理解和运用。

5.课堂小结：引导学生总结本节课的学习内容，加深对垂径定理的理解。

6.课后作业：布置一些相关的作业，让学生在课后继续巩固和提高。

七. 说板书设计板书设计主要包括垂径定理的定义、性质和运用。

通过板书，让学生一目了然地了解垂径定理的主要内容。

垂径定理一、教学目标1．利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理； 2．运用垂径定理及其逆定理解决问题． 二、教学重点和难点重点：利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理．难点：垂径定理及其逆定理的证明，以及应用时如何添加辅助线 三、教学过程 （一）情境引入：1．如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径CD ，使CD ⊥AB ，垂足为M ． （1）该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）你能图中有哪些等量关系？（3）你能给出几何证明吗？（写出已知、求证并证明）（二）知识探究：【探究一】通过上面的证明过程，我们可以得到：1.垂径定理_____________________________________________________2.注意：①条件中的“弦”可以是直径；②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弧。

③定理中的两个条件缺一不可——______________，______________． 3.给出几何语言如图，已知在⊙O 中，AB 是弦，CD 是直径，如果CD ⊥AB,垂足为E, 那么AE=_______,⋂AC =______,⋂BD =________4．辨析：判断下列图形，能否使用垂径定理？【探究二】 1.，作一条平分AB 的直径CD ，交AB 于点M .（1）下图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）图中有哪些等量关系？说一说你的理由.O E CBAO C DB A OCDE O CD BO DB AC2.垂径定理的推论：______________________________________________________________ 3．辨析：“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧．”如果该定理 少了“不是直径”，是否也能成立？ 反例：4.如图，在⊙O 中，AB 是弦（不是直径），CD 是直径， （1）如果AE=BE 那么CD____AB,⋂AC =____⋂BD =____ (2)如果⋂AC =⋂BC 那么CD____AB ，AE______BE ，⋂BD =____ （3）如果⋂AD =⋂BD 那么CD____AB ，AE_____BE ，⋂AC =______ （三）典例讲解：1．例：如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中⌒CD ,点0是⌒CD 所在圆的圆心），其中CD =600m ，E 为⌒CD 上的一点，且OE ⊥CD ，垂足为F ，EF =90m.求这段弯路的半径．2.如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么？（四）巩固训练： 题组一1.如图，在⊙O 中，AB 为弦，OC ⊥AB 于C ，若AO=5,OC=3,求弦AB 的长。

3.3 垂径定理教学目标【知识与能力】1．利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理；2．运用垂径定理及其逆定理解决问题．【过程与方法】经历运用圆的轴对称性探索圆的相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法．【情感态度价值观】1. 培养学生类比分析，猜想探索的能力．2. 通过学习垂径定理及其逆定理的证明，使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生学习实事求是的科学态度和积极参与的主动精神．教学重难点【教学重点】利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理．【教学难点】垂径定理及其逆定理的证明，以及应用时如何添加辅助线．课前准备多媒体实物投影三角板圆规纸片剪刀铅笔教学过程本节课设计了四个教学环节：类比引入，猜想探索，知识应用，归纳小结.第一环节类比引入活动内容：1.等腰三角形是轴对称图形吗？2.如果将一等腰三角形沿底边上的高对折，可以发现什么结论？3.形是否是轴对称图形呢？活动目的：通过等腰三角形的轴对称性向圆的轴对称性过渡，引导学生思考，培养学生类比分析的能力．第二环节猜想探索活动内容：1．如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M．（1）该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）你能图中有哪些等量关系？说一说你的理由．条件：① CD 是直径；② CD ⊥AB结论（等量关系）：③AM =BM ；④⌒AC =⌒BC ；⑤⌒AD =⌒BD .证明：连接OA ,OB ,则OA =OB .在Rt △OAM 和Rt △OBM 中,∵OA =OB ，OM =OM ，∴Rt △OAM ≌Rt △OBM .∴AM =BM .∴点A 和点B 关于CD 对称.∵⊙O 关于直径CD 对称,∴当圆沿着直径CD 对折时, 点A 与点B 重合,⌒AC 和⌒BC 重合, ⌒AD 和⌒BD 重合.∴ ⌒AC =⌒BC ，⌒AD =⌒BD .2．证明完毕后，让学生自行用文字语言表述这一结论，最后提炼出垂径定理的内容——垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．3．辨析：判断下列图形，能否使用垂径定理？通过以上辨析，让学生对垂径定理的两个条件的必要性有更充分的认识．4．垂径定理逆定理的探索如图，AB 是⊙O 的弦（不是直径），作一条平分AB 的直径CD ，交AB 于点M .（1）下图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）图中有哪些等量关系？说一说你的理由.条件：① CD 是直径；② AM =BM结论（等量关系）：③CD ⊥AB ；④⌒AC =⌒BC ；⑤⌒AD =⌒BD .让学生模仿垂径定理的证明过程，自行证明逆定理，并表述逆定理的内容——平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.5．辨析：“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧．”如果该定理少了“不是直径”，是否也能成立？反例：活动1类比、探索和证明获得新知，从A而得到研究数学的多种方法的体会，获取经验；活动 2 的主要目的是让学生通过对定理表述反复的语言提炼，锻炼学生的归纳能力和严谨的表述能力，并对定理的条件和结论有更深刻的理解和认识；活动3的主要目的是通过反例使学生对定理的严谨性有更深的认识；活动4的主要目的与活动1相似，并让学生与活动1类比，提高探索能力；活动5的主要目的与活动3相似．实际教学效果：在活动1中的证明时，学生对如何证明平分弦，可能会有一定困难，此时应引导学生类比等腰三角形，通过连接OA 、OB ，构造等腰三角形，并利用三角形全等的知识来证明；另外，在证明直径平分弦所对的弧，也是一个难点，学生会觉得比较难表述，这时应类比等腰三角形的轴对称性，运用圆的轴对称性启发引导；在活动2中，学生的说法可能不够准确、精炼，但教师应该鼓励学生坚持勇于尝试，让学生互相指出说法的不足和缺陷，互相加以修正，在反复的语言提炼中对定理的条件和结论有更深刻的理解和认识，这也是一个自主构建的过程；活动3是通过反例说明定理的条件的必要性和严谨性，要注意让学生学会通过反例找出对应缺失的条件，提高学生对定理的理解；在活动4中，学生已经有了活动1的经验，教师应放手让学生去猜想、类比、探索和证明，增加学生对数学知识的探索的领悟和经验；活动5与活动3相似．第三环节 知识应用活动内容：讲解例题及完成随堂练习．1．例：如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中⌒CD ,点0是⌒CD 所在圆的圆心），其中CD =600m ，E 为⌒CD 上的一点，且OE⊥CD ，垂足为F ，EF =90m.求这段弯路的半径．解：连接OC ，设弯路的半径为R m,则OF =(R -90)m ．∵OE ⊥CD3006002121=⨯==∴CD CF 根据勾股定理，得OC ²=CF ² +OF ²即 R ²=300²+(R -90)².解这个方程，得R =545.所以，这段弯路的半径为545m.2．随堂练习1．1400年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米，拱高（即弧的中点到弦的距离）为7.2米，求桥拱所在圆的半径．（结果精确到0.1米）．3．随堂练习2．如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么？ 有三种情况：（1）圆心在平行弦外；（2）圆心在其中一条弦上；（3）圆心在平行弦内．活动1、2的主要目的是让学生应用新知识构造直角三角形，并通过方程的方法去解决几何问题；活动3的主要目的是让学生通过作垂线段构造符合定理使用的条件，从而运用定理解决问题，以及培养学生解题中的分类思想．实际教学效果：在活动4中，对于例题和随堂练习1教师要引导学生如何够造可以应用垂径定理的几何构图，让学生积累如何添加辅助线的经验，以及体会到构造直角三角形并利用勾股定理列方程在解决几何问题中的作用，培养数形结合的思想．对于随堂练习2，教师要引导学生通过自行画图，探索分析符合条件图形有多少种情况：圆心在平行弦外，在其中一条弦上、在平行弦内，并通过添加辅助线构造可以应用垂径定理的条件，以及比较三种构图的共同点，得出说理的思路都是一样的结论．第四环节 归纳小结活动内容：学生交流总结1．利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其逆定理.2．解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连接半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.活动目的：通过回顾本节课的各个环节，鼓励学生交流自己的收获和感想，加深对本节课知识和探索方法的理解和掌握，培养学生养成归纳反思的学习习惯．实际教学效果：学生在互相交流中，对于归纳出来的内容，会有各种表述，大多都是围绕知识本身，教师应引导学生对探索知识的方法也能归纳反思．。

垂径定理---垂径定理的应用一、教学目标运用垂径定理及其逆定理解决问题．二、教学重点和难点重点：运用垂径定理及其逆定理解决问题．难点：运用垂径定理及其逆定理解决问题，以及应用时如何添加辅助线三、教学过程（一）复习回顾：1. 复述垂径定理和推论垂径定理_____________________________________________________垂径定理的推论：______________________________________________________________2.概念辨析：①垂直于弦的直线平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. （ ）②平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧.（ ）③经过弦的中点的直径一定垂直于弦. （ ）④圆的两条平行弦所夹的弧相等. （ ）⑤弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （ ）（二）典型例题例1. 如图,一条公路的转弯处是一段圆弧,点O 是这段弧的圆心,AB=300m,C 是弧AB 上一点,OC ⊥AB,垂足为D,CD=45, 求这段弯路的半径。

解：连接OA例2：如图是两个同心圆，AB 是大圆的弦，与小圆交于C 、D 两点，则AC=BD 试说明理由例3：如图，直径AB 与弦CD 交于E 点，且E 是CD 中点，CD=8, AE=2,求直径ABO D CB A O E D C（三）、课堂练习：1.某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB=16m，半径OA=10m，则中间柱CD 的高度为多少米？2.在直径为1000mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，若油面宽AB=800mm，则油的最大深度为多少mm？3.如图，某花园小区一圆形管道破裂，修理工准备更换一段新管道，现在量得污水水面宽度为80cm，水面到管道顶部距离为20cm，则修理工应准备内直径是多少 cm的管道？4.如图是一单位拟建的大门示意图，上部是一段直径为10米的圆弧形，下部是矩形ABCD ，其中AB=3.7米，BC=6米，则弧AD 的中点到BC 的距离是多少米？5. 一跨河桥，桥拱是圆弧形，跨度(AB)为16米，拱高(CD)为4米，求：⑴桥拱半径⑵若大雨过后，桥下河面宽度(EF)为12米，求水面涨高了多少？A B F M C D O E。

垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧。

垂径定理逆定理:平分弦(不就是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧。

一、如何运用垂径定理:垂径定理及其逆定理反映了圆的重要性质,就是在圆中证明线段相等、角相等、弧相等及判定两直线的垂直关系的重要依据。

在解有关弦的问题时,常常需要作“垂直于弦的直径”作为辅助线,以构成垂径定理的基本图形(而实际中,往往只需要从圆心作一条与弦垂直的线段即弦心距就可以)。

在运用垂径定理时,涉及弦长a、弦心距d、半径r及弓形高(弦所对的弧的中点到弦的距离)h这四者之间的关系,如图所示,它们的关系就是:222)2(adr+=,hdr+=,根据这两个公式,在a,d,r,h四个量中,知道任意两个量便可求出其她两个量。

典型中考题讲解:1、(2014•盘锦三模)如图,CD为⊙O的直径,CD⊥AB,垂足为点F,AO⊥BC,垂足为E,,(1)求AB的长;(2)求⊙O的半径.2、(2014•浦东新区二模)已知:如图,∠PAQ=30°,在边AP上顺次截取AB=3cm,BC=10cm,以BC为直径作⊙O交射线AQ于E、F两点,求:(1)圆心O到AQ的距离;(2)线段EF的长.3、(2014•金山区一模)如图,已知AB就是⊙O的弦,点C在线段AB上,OC=AC=4,CB=8.求⊙O的半径.4、(2014•槐荫区一模)如图,在⊙O中,点C就是的中点,弦AB与半径OC相交于点D,AB=12,CD=2.求⊙O半径的长.5、.(2014•天河区二模)如图,AB就是⊙O的弦,半径OA=20cm,∠AOB=120°,求线段AB的长.二、圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系定理及其推论:(1)定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等。

(2)推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

垂径定理在实际问题中的应用垂径定理是《圆》中的一个重要的定理，由垂径定理可解决一些实际问题．现举例说明．一、实际计算问题例1如图1，在直径为130mm的圆铁片上切去一块高为32mm的弓形铁片．求这个弓形铁片弦AB的长．解：将实物图转化为几何图形，如图2，则有CD=32mm，1OA=⨯=，OC⊥AB于D，130mm65mm2因为OC⊥AB，根据垂径定理，得AB=2AD．在Rt△ADO中，∠ADO=90°，OA=OC=65mm，OD=OC-CD=65-32=33(mm)，所以2222=-=-=(mm)，AD OA OD653356(mm)所以弦AB的长为56×2=112(mm)．二、弧形物体平分问题例3如图5，是一自行车内胎的一部分，如何将它平均分给两个小朋友做玩具？分析：根据实物画出几何图形，利用垂径定理解决问题．作法：如图6，用表示自行车内胎的一部分．（1）连接AB．（2）作AB的垂直平分线CD，交于点E，则点E为的中点．从点E处将内胎剪开后，即可分给两个小朋友．三、判断问题例4某地方有一座弧形的拱桥，桥下的水面宽度为7.2米，拱顶高出水面2.4米，现由一艘宽3米，船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱形桥吗?分析：判断货船能否通过这座拱桥，关键是看船舱顶部两角是否会被拱桥顶部挡住．用表示拱桥，画出如图7几何图形，实际问题就转化为求FN的长度．解：设圆心为O，连接OA、0B，作OD⊥AB于D，交圆于点C，交MN 于点H，由垂径定理可知，D为AB的中点．设OA=r，则OD=OC-DC=r-2.4，13.62AD AB==，在Rt△AOD中，OA2=AD2+OD2，即r2=3.62+（r-2.4）2，解得r=3.9，在Rt△OHN中，22223.9 1.5 3.6OH ON NH=-=-=．所以FN=DH=OH-OD=3.6-（3.9-2.4）=2.1，因为2.1米>2米．所以货船可以通过这座拱桥．。