f分布t分布与卡方分布

1.均匀分布（Uniform Distribution）: 这种分布的密度函数是一条平行于坐标轴的直线，表示所有取值的概率相同。

2.正态分布（Normal Distribution）: 这种分布又称高斯分布，是一种对称的分布，其概率密度函数是一个钟形曲线。

3.指数分布（Exponential Distribution）: 这种分布的密度函数是一条指数形的曲线，常用来描述随机事件的发生时间间隔。

4.卡方分布（Chi-square Distribution）: 这种分布常用于统计检验，其概率密度函数是一条单峰曲线。

5.t分布（t Distribution）: 这种分布常用于统计检验，其概率密度函数是一条单峰曲线，但比卡方分布的峰值低。

6.F分布（F Distribution）: 这种分布常用于统计检验，其概率密度函数是一条双峰曲线。

卡方分布t分布和F分布的概念与应用卡方分布、t分布和F分布的概念与应用卡方分布、t分布和F分布是概率统计中常见的三种概率分布。

它们在统计学中有着广泛的应用，能够帮助我们进行假设检验、构建置信区间等分析工作。

本文将分别介绍卡方分布、t分布和F分布的概念，以及它们在实际问题中的具体应用。

一、卡方分布卡方分布是以统计学家Karl Pearson命名的一类概率分布。

卡方分布常用于计算一组独立同分布的随机变量的平方和的分布。

它的概率密度函数取决于自由度参数，自由度越大，卡方分布的形状越接近正态分布。

卡方分布的应用非常广泛。

例如，在假设检验中，我们可以使用卡方分布来判断一个样本是否符合某种理论分布。

同时，卡方分布还可以用于计算观察值与理论值之间的差异，从而评估模型的拟合程度。

此外，卡方分布还可以用于计算置信区间和预测区间。

二、t分布t分布是根据正态分布和卡方分布引出的一种概率分布。

t分布的曲线形状与自由度有关，当自由度较小时，曲线较为平缓，自由度增加时，曲线逐渐接近于标准正态分布。

t分布的一个重要应用是在小样本情况下的假设检验。

当总体标准差未知，并且样本容量较小（通常小于30）时，我们需要使用t分布来估计总体均值的置信区间。

此外，t分布还可以用于对两个样本均值的差异进行比较，判断是否存在显著差异。

三、F分布F分布是以统计学家Ronald Fisher命名的一种概率分布。

F分布常用于方差分析和回归分析等统计方法中。

它是两个独立卡方分布的比值的分布。

F分布的形状取决于两个自由度参数。

F分布在方差分析中起着重要作用。

方差分析可以帮助我们判断不同组之间是否存在显著差异，而F分布可以用于计算F统计量，以确定差异是否显著。

此外，F分布还常用于线性回归分析中，用于比较回归模型的拟合优度。

总结卡方分布、t分布和F分布是统计学中常见的三种概率分布。

它们在假设检验、置信区间估计、拟合优度分析等统计任务中有着广泛的应用。

熟练掌握这些概率分布的概念和特性，对于进行统计分析和研究是非常重要的。

所以 Y ( y1 ,, yn )T 的各分量相互独立.
n 1 由于 x y1 , ( n 1) s 2 yi2 . x与s 2相互独立. n i 2
1 n 1 21 1 A 3 2 1 n( n 1)
n
( n 1) s 2 yi2，
i2
yi N (0, ), i 2,3, , n.
2
y2 ,, yn相互独立.
( n 1)
2
yi 2 s ~ (n 1). i 2
n
2
2
15
定理2：设( X 1 , X 2 ,, X n )是来自正态总体N ( , )的
1 n 1 21 1 3 2 1 n( n 1)
1 n 0

1 3 2 1 n( n 1)
0 0 1 n( n 1) 1 n
14
(3)
( n 1)
2
s 2 ~ 2 ( n 1).
2 i 1 2 i 2 1 2 2 n 2 n
服从自由度为n的 2分布， 记作 2 ~ 2 (n) . 注：服从 2分布的随机变量取值非负，其密度函数为 n x 1 1 x2 e 2 , x 0 n 2 n 2 ( x; n) 2 ( ) Γ ( s ) x s1e x dx , s 0, 2 0 0, x0
4
n=4
2 分布的性质：
n=6 n=10
1、随n的增大，其偏度越来越小。
2、 2分布表——P425 附表三
2
即是分布函数数值表.
2
n 1 3、 分布是Ga分布的特例，即有 ( n) Ga( , ) . 2 2 4、 2分布具有可加性：

t分布f分布和卡方分布的关系
t分布、F分布和卡方分布是统计学中常用的概率分布，它们之间有着紧密的关系和相互作用。

我们来看看t分布和F分布。

t分布是一种用于小样本推断的概率分布，适用于总体标准差未知的情况。

而F分布是一种用于比较两个样本方差是否显著不同的概率分布。

如果我们将两个相互独立的t分布的平方和进行标准化，就可以得到F分布。

因此，可以说t 分布是F分布的特殊情况。

接下来，我们再来看看卡方分布。

卡方分布是一种用于推断总体方差的概率分布，适用于总体标准差已知的情况。

卡方分布的形状取决于自由度，自由度越大，卡方分布越接近正态分布。

当自由度为1时，卡方分布就是指数分布的特殊情况。

总结一下，t分布、F分布和卡方分布之间的关系是：t分布是F分布的特殊情况，而F分布是卡方分布的特殊情况。

它们在统计学中有着广泛的应用，可以帮助我们进行推断和比较，从而更好地理解数据和总体的特征。

虽然这些概率分布在统计学中有着严格的定义和推导过程，但我们可以简单地理解它们的关系，以便更好地应用于实际问题中。

通过掌握它们的特点和应用场景，我们可以更准确地进行统计推断和数据分析，为决策提供科学依据。

无论是在科学研究、医学诊断还是
经济分析中，这些概率分布都扮演着重要的角色，对于推动人类社会的进步和发展起着不可替代的作用。

简述卡方分布,t分布,f分布的定义
卡方分布也叫卡方检验分布，是常见的概率分布，由英国数学家卡方发现，故称之为卡方分布。

数学家卡方的主要工作是统计学分布的概率期望，他在19世纪20年代发现卡方分布，他还拓展了卡方分布，发现和推导出它的非等距变量的统计分布。

卡方分布的定义：它是一种从n个标准正态分布中自由度为k的独立变量中提取的统计概率分布，其中n个独立变量的平方和服从卡方分布。

二、t分布
t分布也叫t牛顿分布，是一种概率分布，由卡普牛顿在19世纪20年代发现，故称之为t分布。

它是统计学中又一种重要的概率分布。

t分布的全称是Student t分布，因为它主要在学生t检验中使用，故又称之为Student t分布。

t分布的定义：Student t分布是由自由度为k的一组独立变量的统计概率分布。

该分布与卡方分布非常相似，但是它不是一个单位正态分布的统计分布，因此其期望值不是0。

实际上，当自由度很大时，t分布可以趋近于正态分布。

三、F分布
F分布也叫F检验分布，是一种不可能概率分布，由比利时统计学家卡默特在20世纪初发现，故称之为F分布。

F分布的定义：它是由自由度分别为m和n的两组独立样本对比的统计概率分布，m为数据的自由度。

两个样本之间的方差比服从F分布。

总结：
卡方分布是一种从n个标准正态分布中自由度为k的独立变量中提取的统计概率分布，其中n个独立变量的平方和服从卡方分布。

t 分布是由自由度为k的一组独立变量的统计概率分布，而F分布是由自由度分别为m和n的两组独立样本对比的统计概率分布。

0.4
f n ( x)
N(0,1) n = 10 n=5 n=2 n=1
0.3
0.2
0.1
0 -3
-2
-1
0
1
2
x
3
t-分布的概率密度函数
t分布的性质
1．以0为中心，左右对称的单峰分布； 2．t分布是一簇曲线，其形态变化与n（确 切地说与自由度ν）大小有关。自由度ν越 小，t分布曲线越低平；自由度ν越大，t分 布曲线越接近标准正态分布（u分布）曲线
2 2
2
F
X / n1
n n Γ ( 1 2 2 ) n1 n1 n2 f n1 , n 2 ( x ) Γ ( 2 ) Γ ( 2 ) n 2
n1 n 2
x 0,
n1 2
1
n1 1 x n2
t
n (x ) s
~ t ( n 1)来自 结论二：F sx1 , x2 , , x m
sx / 1
2 2 y
2
/
2 2
~ F ( m 1, n 1)
设 的样本，且此两样本相互独立，记
sx
2
2 y N ( 1 , 1 ) 的样本，1 , y 2 , , y n 是来自
sx / 1
2
2
( n 1) s
2 2
s /
2 y
2 2
~ F ( m 1, n 1)
所以
结论三：
( x y ) ( 1 2 ) sw 1 m n 1
~ t ( m n 2)
sw
( m 1) s ( n 1) s

§1、4 常用得分布及其分位数1、 卡平方分布卡平方分布、t 分布及F 分布都就是由正态分布所导出得分布，它们与正态分布一起，就是试验统计中常用得分布。

当X 1、X 2、…、Xn 相互独立且都服从N(0,1)时，Z=∑ii X 2 得分布称为自由度等于n 得2χ分布，记作Z ～2χ(n)，它得分布密度p(z )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ--,,00,2212122其他z e x n z n n 式中得⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ2n =u d e u u n ⎰∞+--012，称为Gamma 函数，且()1Γ=1，⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ21=π。

2χ分布就是非对称分布，具有可加性，即当Y 与Z 相互独立，且Y ～2χ(n )，Z ～2χ(m )，则Y+Z ～2χ(n+m )。

证明: 先令X 1、X 2、…、X n 、X n+1、X n+2、…、X n+m 相互独立且都服从N(0,1)，再根据2χ分布得定义以及上述随机变量得相互独立性，令Y=X 21+X 22+…+X 2n ，Z=X 21+n +X 22+n +…+X 2m n +，Y+Z= X 21+X 22+…+X 2n + X 21+n +X 22+n +…+X 2m n +，即可得到Y+Z ～2χ(n +m )。

2、 t 分布 若X 与Y 相互独立，且X ～N(0,1)，Y ～2χ(n )，则Z =n Y X得分布称为自由度等于n 得t 分布，记作Z ～ t (n )，它得分布密度 P(z)=)()(221n nn ΓΓ+2121+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n z 。

请注意：t 分布得分布密度也就是偶函数，且当n>30时，t 分布与标准正态分布N(0,1)得密度曲线几乎重叠为一。

这时， t 分布得分布函数值查N(0,1)得分布函数值表便可以得到。

3、 F 分布 若X 与Y 相互独立，且X ～2χ(n )，Y ～2χ(m )， 则Z=m Y n X得分布称为第一自由度等于n 、第二自由度等于m 得F 分布，记作Z ～F (n , m )，它得分布密度 p(z)=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>++-⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛+Γ•。

抽样分布公式t分布卡方分布F分布抽样分布公式：t分布、卡方分布、F分布抽样分布是统计学中的重要概念，用于推断总体参数以及进行假设检验。

本文将重点介绍三种常见的抽样分布公式：t分布、卡方分布和F分布。

一、t分布公式t分布是用于小样本情况下进行参数估计和假设检验的重要分布。

它的定义如下：假设有一个总体，样本容量为n，总体的均值和标准差未知。

如果从该总体中随机抽取一个样本，计算样本均值与总体均值的差异，用t 值来衡量。

那么，t值的概率分布就是t分布。

t分布的公式如下：t = (x - μ) / (s / √n)其中，x为样本均值，μ为总体均值，s为样本标准差，n为样本容量。

t分布的自由度为n-1。

在实际应用中，可以利用t分布表或统计软件来查找不同自由度下的t值对应的概率。

二、卡方分布公式卡方分布是应用于统计推断的重要分布，主要用于分析分类资料或定类变量的相关性。

它的定义如下：假设有一个总体，样本容量为n，比较观察值与理论值之间的差异。

我们将差异的平方进行求和，并除以理论值，得到统计量，称为卡方统计量。

卡方分布的公式如下：χ^2 = Σ((O - E)^2 / E)其中，O为观察值，E为理论值。

卡方分布的自由度取决于总体参数的个数减去估计的参数个数。

在实际应用中，同样可以利用卡方分布表或统计软件来查找不同自由度下的卡方值对应的概率。

三、F分布公式F分布是应用于统计推断的另一重要分布，主要用于比较两个或多个总体方差是否相等。

它的定义如下：假设有两个总体A、B，分别进行抽样，计算两个样本方差的比值，得到F统计量。

F分布的公式如下：F = (s1^2 / σ1^2) / (s2^2 / σ2^2)其中，s1^2和s2^2分别为样本A和样本B的方差，σ1^2和σ2^2分别为总体A和总体B的方差。

F分布的自由度取决于样本容量和总体个数。

在实际应用中，同样可以利用F分布表或统计软件来查找不同自由度下的F值对应的概率。

F分布的分位数
自由度为n, m的F分布的分位数记作 F (n, m ). 1) F ( n, m ) 0, 非对称分布。 2) 当F ~ F (n, m )时，P{F F (n, m )} .
3) 当较小时，表中查不出 F (n, m )， 可先查F1 (m, n)，
知道自由度n和α可查t分布的分位数表。
n 30, t n u
卡方分布的分位数
2 自由度n的 2分布的分位数记作 ( n).
1) ( n) 0, 非对称分布。
2
2) 当Z ~ ( n)时， P{ Z ( n)} .
2
2
自由度n, , 可以从 3) 给出概率和 2 2 中查出 ( n). 分布的分位数表
§5.3 卡方分布，t分布及F分布
与F分布的关系
5.常用分布的分位数
1.卡方分布
什么是卡方分布
设随机变量X 1 , X 2 , , X n相互独立, 且都服从
n i 1 2 i
N (0,1), 则随机变量Z X 服从自由度为n的
分布，记作Z ~ ( n).
3) u u1
0.005 ，u0.995 2.58.
t分布的分位数
自由度为n的t分布的分位数记作 t ( n).
为对称分布，记号方式类似标准正态分布。
1) 当T ~ t (n)时，P{T t ( n)} .
2) 0.5时，t n 0,
3) t (n) t1 (n),
，
又根据 F 分布的定义，
1 ~ F (n, m) ， X
1 P F n , m 所以 X ，
1 F n, m 因此 F1 (m, n)

X分布、t分布和F分布是三种不同的统计分布。

X分布：X分布是一个自由度为n的卡方分布，它通常用于描述一组相互独立的标准正态分布随机变量的平方和。

t分布：t分布是一个自由度为n的t-分布，它通常用于描述小样本情况下样本均值的分布。

在统计推断中，它经常用于估计总体均值或进行假设检验。

F分布：F分布是两个独立卡方分布的比值的分布，它通常用于描述两个方差估计值的比较。

在方差分析和回归分析中，F分布用于检验多个总体方差是否相等。

这些分布在统计学中起着重要的作用，用于推断统计模型、假设检验和参数估计等方面。

四个分布：正态分布卡⽅分布F分布T分布正态分布：正态分布（Normal distribution）⼜名⾼斯分布（Gaussiandistribution），若随机变量X服从⼀个数学期望为µ、⽅差为σ^2的⾼斯分布，记为N(µ，σ^2)。

其概率密度函数为正态分布的期望值µ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。

我们通常所说的标准正态分布是µ = 0,σ= 1的正态分布。

当µ=0，σ=1时，正态分布就成为标准正态分布N（0，1)。

概率密度函数为：正态分布的密度函数的特点是：关于µ对称，并在µ处取最⼤值，在正（负）⽆穷远处取值为0，在µ±σ处有拐点，形状呈现中间⾼两边低，图像是⼀条位于x轴上⽅的钟形曲线。

卡⽅分布：若n个相互独⽴的随机变量ξ₁、ξ₂、……、ξn ，均服从标准正态分布N（0,1）（也称独⽴同分布于标准正态分布），则这n个服从标准正态分布的随机变量的平⽅和构成⼀新的随机变量，其分布规律称为分布（chi-squaredistribution）。

其中参数n称为⾃由度（通俗讲，样本中独⽴或能⾃由变化的⾃变量的个数，称为⾃由度），正如正态分布中均值或⽅差不同就是另⼀个正态分布⼀样，⾃由度不同就是另⼀个分布。

记为。

分布的均值为⾃由度 n，记为 E( ) = n；分布的⽅差为2倍的⾃由度(2n)，记为 D( ) = 2n。

从卡⽅分布图可以看出：卡⽅分布在第⼀象限内，卡⽅值都是正值，呈正偏态（右偏态），随着参数 n 的增⼤；卡⽅分布趋近于正态分布；随着⾃由度n的增⼤，卡⽅分布向正⽆穷⽅向延伸（因为均值n越来越⼤），分布曲线也越来越低阔（因为⽅差2n越来越⼤）。

t分布：⾸先要提⼀句u分布，正态分布（normal distribution）是许多统计⽅法的理论基础。

正态分布的两个参数µ和σ决定了正态分布的位置和形态。

正态分布卡方分布t分布f分布的特点正态分布（Normal Distribution）是统计学中最重要的概率分布之一，也是最常见的概率分布之一。

它的形状类似于一个钟形曲线，两头低，中间高，呈对称分布。

正态分布具有许多独特的特点，其中一些特点包括对称性、峰度和偏度的性质、标准正态分布等。

首先，正态分布的最重要特点之一是它的对称性。

这意味着分布的左侧和右侧是镜像对称的。

换句话说，正态分布的均值（mean）、中位数（median）和众数（mode）是相等的，这是它对称性的一个基本特征。

这也意味着在正态分布中，随机变量的概率密度在均值处达到最大值，并且向两侧逐渐减小，形成了典型的钟形曲线。

其次，正态分布具有一个重要的特点是其峰度（kurtosis）和偏度（skewness）的性质。

峰度描述了分布曲线的尖锐程度，它是描述分布形态的重要指标之一。

正态分布的峰度为3，这意味着它的尖峰程度与标准正态分布相当。

偏度则描述了分布曲线的偏斜程度，正态分布的偏度为0，这意味着它是对称的。

这些特点使得正态分布在统计学中有着广泛的应用，特别是在假设检验和统计推断中被广泛使用。

另外，正态分布还有一个重要的特点是标准正态分布。

标准正态分布是均值为0，标准差为1的正态分布。

它是统计学中非常重要的一种分布，因为许多统计量都服从于标准正态分布，比如t值、z值等。

正态分布的重要性在于中心极限定理，它指出了当随机变量的数量足够大时，它们的总和或者平均值会接近于正态分布，这使得正态分布在实际问题中有着广泛的应用。

除了正态分布外，卡方分布（Chi-square Distribution）也是统计学中重要的概率分布之一。

卡方分布是以卡方统计量为基础的分布，它在统计学中有着重要的应用。

卡方分布的特点包括其形状、参数和性质等。

首先，卡方分布的形状是非对称的。

它是一个正偏分布，即分布的右侧长尾较长，左侧短尾较短。

这与正态分布的对称性形成了鲜明的对比。

简述卡方分布、t分布、f分布的定义
卡方分布（χ2分布）是一种统计分布，它可以用来检验实际发生的概率是否与预期概率一致。

这种分布的几何特征是一条“S”形曲线。

它以X2来衡量概率偏差，与自由度有关。

卡方分布也可以用来衡量两个分布相似性，它可以帮助科学家和统计学家评估相关性、拟合模型和分类的正确性。

此外，它还可以用于研究设计，帮助设计者发现数据中的可能偏差。

t分布是一种用于描述离散值的分布，主要用于统计学中的假设检验。

它是基于卡方分布的，形状上表示为一个“U”形曲线。

t分布的自由度受到样本容量的限制，即自由度越高，t值越大。

它有助于精确确定数据集中离散值的平均偏差，从而可以精确地分析数据。

f分布是一种描述比例之比的分布，也称为F比或F系数。

它的几何特征是一条双“S”形曲线，可以帮助研究者比较两组数据之间的标准偏差差异。

此外，它还可以用于分析多调和因子分析中发现的差异。

F分布的自由度由样本的数量决定，自由度越高，F值越大。

总之，卡方分布是一种检验发生概率与预期概率是否一致的统计分布；T分布是一种用于描述离散值的分布，主要用于假设检验；F 分布是一种比例之比的分布，可以用来比较两组数据之间的标准偏差差异。

这三种分布都是统计学中非常重要的东西，有助于科学家和统计学家更好地分析数据。

- 1 -。

单侧t0.05，9＝1.833 双侧t0.01/2，9＝3.250
＝单侧t0.005，9 单侧t0.01，9＝2.821 双侧t0.05/2，∞＝1.96
＝单侧t0.025，∞ 单侧t0.05，∞ ＝1.64
三、 F 分布
令 2 (1) 和 2 ( 2 ) 分别为服从自由度为 1 和 2 的
独立变量的卡方分布，则称 F 2 (1) 1 服从分子自由度
• （1）随机变量、概率分布、抽样分布 是统计学推断的基础。
• （2） 二项分布描述二项分类变量两种 观察结果的出现规律。泊松分布是二项 分布的特例，常用于事件发生率很小， 样本含量很大的情况。
• （3）正态分布是其他分布的极限分布， 许多统计方法的理论基础。不少医学 现象也服从正态分布或近似服从正态 分布。
分布，且其均数为μ，标准差为 s
n
• 不论总体的分布形式如何，只要样本含
量n足够大时，样本均数的分布就近似正
态分布 ，此称为中心极限定理。 （下章通过抽样实验证实）
常用的三种抽样分布
• 一、 2 分布
• 二、t分布 • 三、F 分布
均为连续型随
机变量分布，分布 只与自由度，即样 本含量有关
2 0.05(1)
常用的抽样分布
如果总体服从正态分布N（m，s2），
则从该正态总体中抽取样本，得到的
样本均数也服从正态分布，但该分布
为N（m，s2/n ），此时的方差是总 体的1/n倍，即有
mx m,
sx
s
n
中心极限定理
• 如果总体不是正态总体，但其均数和标
准差分别为μ和σ，则当样本含量n不断
增大时，样本均数的分布也趋近于正态
自由度：n-1
f(t)

卡方分布t分布和F分布的概念与应用卡方分布、t分布和F分布是统计学中常用的概率分布，被广泛应用于假设检验、置信区间估计和回归分析等领域。

本文将介绍这些概念的基本原理和应用，并探讨它们在实际问题中的具体应用场景。

一、卡方分布的概念与应用卡方分布是一种特殊的概率分布，常用于分析分类数据和检验随机事件的独立性或拟合优度。

它的定义是基于自由度的度量，自由度决定了卡方分布的形状和位置。

在实际应用中，卡方分布常用于以下场景：1. 独立性检验：用于检验两个变量之间是否独立。

例如，我们可以利用卡方分布来检验男女性别与是否抽烟的关系，从而判断两者是否存在关联。

2. 拟合优度检验：用于检验观测值与理论模型之间的拟合程度。

例如，在假设人群的某一特征符合某种理论分布的情况下，我们可以利用卡方分布来检验观测结果与理论分布是否存在显著差异。

二、t分布的概念与应用t分布是一种常用的概率分布，广泛应用于小样本数据分析和参数估计。

与正态分布相比，t分布更适用于样本量较小或总体标准差未知的情况。

t分布的主要应用包括以下几个方面：1. 参数估计：用于估计总体均值的区间。

当总体标准差未知且样本量较小时，通常采用t分布进行区间估计。

例如，通过样本数据建立一个平均值的置信区间，这时就需要利用t分布。

2. 小样本假设检验：用于检验两个样本平均值之间是否存在显著差异。

当总体标准差未知且样本量较小时，可以利用t分布进行假设检验。

例如，比较两组学生在某门考试成绩上的差异，就可以使用t分布进行假设检验。

三、F分布的概念与应用F分布是一种用于比较两个或更多总体差异的概率分布。

它常用于方差的比较和回归分析中。

F分布的主要应用包括以下几个方面：1. 方差分析：用于比较两个或多个总体方差是否相等。

例如，在农业实验中，我们可能需要比较不同施肥方法对庄稼产量的影响，这时可以利用F分布进行方差分析。

2. 回归分析中的显著性检验：用于检验回归模型的显著性。

在回归分析中，我们可以利用F分布检验回归模型的整体拟合程度。