4-经验分布函数与卡方分布

卡方分布(重定向自卡方分布(Chi-square Distributen))卡方分布(Chi-square Distribution)［编辑］什么是卡方分布卡方分布(x汾布)是概率论与统计学中常用的一种概率分布。

k个独立的标准正态分布变量的平方和服从自由度为k的卡方分布。

卡方分布常用于假设检验和置信区间的计算。

［编辑］卡方分布的数学定义若k个随机变量Z1、……、Zk相互独立，且数学期望为0、方差为1(即服从标准正态分布)，则随机变量XL fl=l被称为服从自由度为k的卡方分布，记作［编辑］卡方分布的特征卡方分布的概率密度函数为:其中x > 0,当x W0时fk(x) = 0。

这里r代表Gamma 函数。

卡方分布的累积分布函数为:其中丫（k,z 为不完全Gamma 函数在大多数涉及卡方分布的书中都会提供它的累积分布函数的对照表。

此外许多表格计算软件如 Calc 和Microsoft Excel 中都包括卡方分布函数。

卡方分布可以用来测试随机变量之间是否相互独立，也可用来检测统计模型是否符合实际要求。

自由度为k 的卡方变量的平均值是k ，方差是2k 。

卡方分布是伽玛分布的一个特例，它的熵为：f(x) ln(/(x))dz = -+ln 7(V2T^/2)『皿)其中(x)是Digamma function ［编辑］卡方变数与Gamma变数的关系迟〔时(U))=E(Y) = ^ = l=U畑（X2（"））=畑⑴）=吕=寺=2UI弓丿卡方变数之期望值=自由度卡方变数之方差=两倍自由度参数k > 0,自由度值域x e [o； +oo).概率密度函数讣）累积分布函数（cdf）7(*/2^/2)F(紂2),期望值k,(Degree of freedom) 当Gamma变数频率（入为1/2时，a的2倍为卡方变数之自由度。

卡方分布(重定向自卡方分布(Chi-square Distribution))卡方分布(Chi-square Distribution)[编辑]什么是卡方分布卡方分布(χ2分布)是概率论与统计学中常用的一种概率分布。

k 个独立的标准正态分布变量的平方和服从自由度为k 的卡方分布。

卡方分布常用于假设检验和置信区间的计算。

[编辑]卡方分布的数学定义若k 个随机变量Z1、……、Zk 相互独立，且数学期望为0、方差为1(即服从标准正态分布)，则随机变量X被称为服从自由度为k 的卡方分布，记作[编辑]卡方分布的特征卡方分布的概率密度函数为：其中x≥0, 当x≤0时fk(x) = 0。

这里Γ代表Gamma 函数。

卡方分布的累积分布函数为：其中γ(k,z)为不完全Gamma函数在大多数涉及卡方分布的书中都会提供它的累积分布函数的对照表。

此外许多表格计算软件如 Calc和Microsoft Excel中都包括卡方分布函数。

卡方分布可以用来测试随机变量之间是否相互独立，也可用来检测统计模型是否符合实际要求。

自由度为k 的卡方变量的平均值是k，方差是2k。

卡方分布是伽玛分布的一个特例，它的熵为：其中ψ(x) 是Digamma function。

[编辑]卡方变数与Gamma变数的关系当Gamma变数频率(λ)为1/2 时，α 的2倍为卡方变数之自由度(Degree of freedom)即:卡方变数之期望值=自由度卡方变数之方差=两倍自由度卡方分布,,,k-2, if,,，,。

常用分布函数及特征函数常用的分布函数及特征函数主要包括正态分布、伯努利分布、二项分布、泊松分布、指数分布和卡方分布等。

下面将分别对这些分布函数及其特征函数进行介绍。

1. 正态分布（Normal Distribution）正态分布是以均值μ和方差σ²为参数的连续概率分布。

其概率密度函数为：f(x)=1/(σ*√(2π))*e^(-(x-μ)²/(2σ²))正态分布的特征函数为：φ(t) = e^(itμ - (σ²t²)/2)，其中i为虚数单位。

2. 伯努利分布（Bernoulli Distribution）伯努利分布是一种离散概率分布，用于描述只有两种结果（成功或失败）的随机试验。

其概率函数为：P(X=k)=p^k*(1-p)^(1-k)，k=0或1伯努利分布的特征函数为：φ(t) = 1-p + pe^(it)3. 二项分布（Binomial Distribution）二项分布是描述n重伯努利试验中成功次数的离散概率分布。

其概率函数为：P(X=k)=C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)，k=0,1,...,n二项分布的特征函数为：φ(t) = (p*e^(it) + 1-p)^n4. 泊松分布（Poisson Distribution）泊松分布是用于描述单位时间（或单位空间）内随机事件发生次数的离散概率分布。

其概率函数为：P(X=k)=(λ^k*e^(-λ))/k!泊松分布的特征函数为：φ(t) = e^(λ*(e^(it)-1))5. 指数分布（Exponential Distribution）指数分布是描述连续随机事件发生时间间隔的概率分布。

其概率密度函数为：f(x)=λ*e^(-λx)，x>=0指数分布的特征函数为：φ(t) = λ/ (λ-it)6. 卡方分布（Chi-square Distribution）卡方分布是描述标准正态分布随机变量平方和的概率分布。

卡方分布(重定向自卡方分布(Chi-square Distribution))卡方分布(Chi-square Distribution)[编辑]什么是卡方分布卡方分布(χ2分布)是概率论与统计学中常用的一种概率分布。

k 个独立的标准正态分布变量的平方和服从自由度为k 的卡方分布。

卡方分布常用于假设检验和置信区间的计算。

[编辑]卡方分布的数学定义若k 个随机变量Z1、……、Zk 相互独立，且数学期望为0、方差为1(即服从标准正态分布)，则随机变量X被称为服从自由度为k 的卡方分布，记作[编辑]卡方分布的特征卡方分布的概率密度函数为：其中x≥0, 当x≤0时fk(x) = 0。

这里Γ代表Gamma 函数。

卡方分布的累积分布函数为：其中γ(k,z)为不完全Gamma函数在大多数涉及卡方分布的书中都会提供它的累积分布函数的对照表。

此外许多表格计算软件如 Calc和Microsoft Excel中都包括卡方分布函数。

卡方分布可以用来测试随机变量之间是否相互独立，也可用来检测统计模型是否符合实际要求。

自由度为k 的卡方变量的平均值是k，方差是2k。

卡方分布是伽玛分布的一个特例，它的熵为：其中ψ(x) 是Digamma function。

[编辑]卡方变数与Gamma变数的关系当Gamma变数频率(λ)为1/2 时，α 的2倍为卡方变数之自由度(Degree of freedom)即:卡方变数之期望值=自由度卡方变数之方差=两倍自由度卡方分布,,,k-2, if,,，,定义：N个服从正态分布（均值为0，方差为1）的独立随机变量的平方和X服从自由度为N的卡方分布。

问题：证明D(X)=2N二、定义：假设X服从均值为0方差为1的正态分布，Z服从自由度为N的卡方分布，如果X和Z独立，那么T=[X/根号(Z/N)]服从自由度为N的t分布。

问题：证明D(T)=N/(N-2)要求：1.只要有一题证明正确者追加分数！2.请各位兄弟证明不到的不要乱回答，但可以说说自己的想法。

卡方分布(重定向自卡方分布(Chi-square Distribution))卡方分布(Chi-square Distribution)[编辑]什么是卡方分布卡方分布(χ2分布)是概率论与统计学中常用的一种概率分布。

k 个独立的标准正态分布变量的平方和服从自由度为k 的卡方分布。

卡方分布常用于假设检验和置信区间的计算。

[编辑]卡方分布的数学定义若k 个随机变量Z1、……、Zk 相互独立，且数学期望为0、方差为1(即服从标准正态分布)，则随机变量X被称为服从自由度为k 的卡方分布，记作[编辑]卡方分布的特征卡方分布的概率密度函数为：其中x≥0, 当x≤0时fk(x) = 0。

这里Γ代表Gamma 函数。

卡方分布的累积分布函数为：其中γ(k,z)为不完全Gamma函数在大多数涉及卡方分布的书中都会提供它的累积分布函数的对照表。

此外许多表格计算软件如 Calc和Microsoft Excel中都包括卡方分布函数。

卡方分布可以用来测试随机变量之间是否相互独立，也可用来检测统计模型是否符合实际要求。

自由度为k 的卡方变量的平均值是k，方差是2k。

卡方分布是伽玛分布的一个特例，它的熵为：其中ψ(x) 是Digamma function。

[编辑]卡方变数与Gamma变数的关系当Gamma变数频率(λ)为1/2 时，α 的2倍为卡方变数之自由度(Degree of freedom) 即:卡方变数之期望值=自由度卡方变数之方差=两倍自由度卡方分布参数k > 0, 自由度值域,概率密度函数,累积分布函数(cdf),期望值k,中位数大约k− 2 / 3,众数k-2, if,方差2,k,偏态,峰态12/k,熵值动差生成函数(mgf)，2t<1,特征函数,定义：N个服从正态分布（均值为0，方差为1）的独立随机变量的平方和X服从自由度为N的卡方分布。

问题：证明D(X)=2N二、定义：假设X服从均值为0方差为1的正态分布，Z服从自由度为N的卡方分布，如果X和Z独立，那么T=[X/根号(Z/N)]服从自由度为N的t分布。

卡方分布一、 卡方分布的定义：若n 个相互独立的随机变量ξ1，ξ2，…，ξn ，均服从标准正态分布（也称独立同分布于标准正态分布），则这n 个服从标准正态分布的随机变量的平方和∑ξi∧2构成一新的随机变量，其分布规律称为χ2(n)分布（chi-square distribution ），其中参数 n 称为自由度。

二、 卡方分布的性质：:（1） (可加性) 设i Y ~且相互独立，则,,,1,,2k i ii n =λχ这里.,∑∑==i in n λλ（2）,)(2,λχλ+=n E n .42)(2,λχλ+=n V a r n证明 （1）根据定义易得。

（2）设则依定义，,~2,λχn Y可表示为Y 其中且相互独立，于是),1,(~,1,,1),1,0(~λN X n i N X n i -=因为代入（1），第一条结论可得证。

直接计算可得 于是 代入（2）便证明了第二条结论。

三、 卡方分布的概率密度函数：其中Dx 为n 维x 空间内由不等式z x x n 221+所定的区域。

即，Dz 为n 维x 空间内以坐标原点为球心、z 为半径的球面所围成的区域（边界不在内）可以利用极坐标来计算这积分。

令 与这变换相应的函数行列式为：其中括号和Φ都表示1,,1-n θθ 的函数。

因此。

当z>0时， C 是常数。

为了定出C,在上述等式的两端令,∝+→r 得到 从而，在分母内的积分中令μ=221r ，即，用212μ=r 作代换，那么，这个积分等于⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ==∙-∝+------∝+⎰⎰222212212012122121021-n n d d nn n n n μθμμμθμμ因此，()⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ=-222122n C nn π从而，当z>0时，即，2χ的密度函数为称这个密度函数所定的分布为自由度为n 的2χ分布，记作2）（n χ。

它的图像如下：图（一）2χ分布密度函数图四、卡方分布的累积分布函数为：()()()22,2k x k x F k Γ=γ，其中γ(k,z)为不完全Gamma 函数。

[论文]卡方分布及其它分布卡方分布一、卡方分布的定义:若n个相互独立的随机变量ξ1，ξ2，…，ξn ，均服从标准正态分布(也称独立同分布于标准正态分布)，则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和?ξi?2构成一新的随机变量，其分布规律称为χ2(n)分布(chi-square distribution)，其中参数 n 称为自由度。

: 二、卡方分布的性质:2(1) (可加性) 设~ Y,,i,1,？,k,且相互独立，则n,,iii2 Y，？，Y~,,kn,1,这里 n,n,,,,.,,ii22(2) E(,),n，,, Var(,),2n，4,. n,n,,,证明 (1)根据定义易得。

2Y可表示为)设Y~,,则依定义， (2n,,222 Y,X，？，X，X,,1n1n其中X~N(0,1),i,1,？,n,1,X~N(,,1),且相互独立，于是inn2E(Y),E(X),(1),i,1i n2Var(Y),Var(X).(2),i,1i因为1,i,1,？,n,1,,22(),()，(),EXVarXEX ,iii1，,,i,n.,代入(1)，第一条结论可得证。

直接计算可得4EX,3,i,1,？,n,1,i 42EX,,，6,，3.n于是2422Var(X),EX,(EX),3,1,2,i,1,？,n,1, iii2422 Var(X),EX,(EX),2，4,.nnn代入(2)便证明了第二条结论。

三、卡方分布的概率密度函数:nx,1,,122,当,0xex,n,n,,2 ,，，fx2,2,,,x2,,,,0，其他,设随机变量X1,....Xn相互独立且都服从N(0，1)。

现在来推导随机变数,^2,,^2，.....，,^2的分布。

1n11，，，，,，？,的密度函数为,^,x^2，？，x^21n1nn2，，2n^ 2222,当z,0时，P,z,P,，？，X,z,0,,，，,,，，1n1xx-，，^2，？，^2 11n2222,,，，,,当z,o时，P,，，,z,P,，？X,z,Dz？ed,x1n,,n2，，2n22其中Dx为n维x空间内由不等式所定的区域。

卡方分布一、 卡方分布的定义：假设n 个相互独立的随机变量ξ1，ξ2，…，ξn ，均服从标准正态分布〔也称独立同分布于标准正态分布〕，那么这n 个服从标准正态分布的随机变量的平方和∑ξi∧2构成一新的随机变量，其分布规律称为χ2(n)分布〔chi-square distribution 〕，其中参数 n 称为自由度。

二、 卡方分布的性质：:〔1〕 (可加性) 设i Y ~且相互独立，则,,,1,,2k i ii n =λχ,~2,1λχn k Y Y ++这里.,∑∑==iin n λλ〔2〕 ,)(2,λχλ+=n E n .42)(2,λχλ+=n Var n证明 〔1〕根据定义易得。

〔2〕设则依定义，,~2,λχn Y 可表示为Y ,22121n n X X X Y +++=-其中且相互独立，于是),1,(~,1,,1),1,0(~λN X n i N X n i -=)2(.)()()1(,)()(1212∑∑====ni i ni i X Var Y Var X E Y E因为⎩⎨⎧+=+=,1,1)()()(22λi i i X E X Var X E .,1,,1n i n i =-= 代入〔1〕，第一条结论可得证。

直接计算可得.36,1,,1,3244++=-==λλn i EX n i EX于是,1,,1,213)()(2242-==-=-=n i EX EX X Var i i i.42)()(2242λ+=-=n n n EX EX X Var代入〔2〕便证明了第二条结论。

三、 卡方分布的概率密度函数：()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥⎪⎭⎫⎝⎛Γ=--，其他当00,22121222x e x n x f x n nx 数）。

现在来推导随机变，（相互独立且都服从设随机变量10n ,....1N X X的分布。

2^.....2^2^1n X ++X =χ()()()2^x 2^x 21^2n ^n 21n 1n 1++-X X θ的密度函数为，[]()[]()[]()[]()()()xx x d D X P P o z z X P P n σχχ2^2^21-2n2n 2122n 2121e n 21z z z 0z 0z ++⎰⎰=+X==++X =≤ 时，当时，当其中Dx 为n 维x 空间由不等式z x x n 221+所定的区域。

卡方分布(重定向自卡方分布(Chi-square Distribution))卡方分布(Chi-square Distribution)[编辑]什么是卡方分布卡方分布(χ２分布)是概率论与统计学中常用的一种概率分布。

k 个独立的标准正态分布变量的平方和服从自由度为k 的卡方分布。

卡方分布常用于假设检验和置信区间的计算。

[编辑]卡方分布的数学定义若k 个随机变量Z1、……、Zk 相互独立，且数学期望为0、方差为1(即服从标准正态分布)，则随机变量X被称为服从自由度为k 的卡方分布，记作[编辑]卡方分布的特征卡方分布的概率密度函数为：其中x≥0, 当x≤０时fk(x) = 0。

这里Γ代表Gamma 函数。

卡方分布的累积分布函数为：其中γ(k,z)为不完全Gamma函数在大多数涉及卡方分布的书中都会提供它的累积分布函数的对照表。

此外许多表格计算软件如 Calc和Microsoft Excel中都包括卡方分布函数。

卡方分布可以用来测试随机变量之间是否相互独立，也可用来检测统计模型是否符合实际要求。

自由度为k 的卡方变量的平均值是k，方差是2k。

卡方分布是伽玛分布的一个特例，它的熵为：其中ψ(x) 是Digamma function。

[编辑]卡方变数与Gamma变数的关系当Gamma变数频率(λ）为1/2 时，α　的2倍为卡方变数之自由度(Degree of freedom) 即:卡方变数之期望值=自由度卡方变数之方差=两倍自由度卡方分布参数k > 0, 自由度值域,概率密度函数,累积分布函数(cdf),期望值k,中位数大约k- 2 / 3,众数k-2, if,方差2,k,偏态,峰态12/k,熵值动差生成函数(mgf)，2t<1,特征函数,一、定义：N个服从正态分布（均值为0，方差为1）的独立随机变量的平方和X服从自由度为N的卡方分布。

问题：证明D(X)=2N二、定义：假设X服从均值为0方差为1的正态分布，Z服从自由度为N的卡方分布，如果X和Z独立，那么T=[X/根号(Z/N)]服从自由度为N的t分布。

卡方分布
(重定向自卡方分布(Chi-squareDistribution))
卡方分布(Chi-squareDistribution)
[编辑]
什么是卡方分布
卡方分布(χ2分布)是概率论与统计学中常用的一种概率分布。

k个独立的标准正态分布变量的平方和服从自由度为k的卡方分布。

卡方分布常用于假设检验和置信区间的计算。

[编辑]
卡方分布的数学定义
若k个随机变量Z1、……、Zk相互独立，且数学期望为0、方差为1(即服从标准正态分布)，则随机变量X
被称为服从自由度为k的卡方分布，记作
[编辑]
卡方分布的特征
卡方分布的概率密度函数为：
其中x≥0,当x≤0时fk(x)=0。

这里Γ代表Gamma函数。

卡方分布的累积分布函数为：
其中γ(k,z)为不完全Gamma函数
在大多数涉及卡方分布的书中都会提供它的累积分布函数的对照表。

此外许多表格计算软件如Calc和MicrosoftExcel中都包括卡方分布函数。

卡方分布可以用来测试随机变量之间是否相互独立，也可用来检测统计模型是否符合实际要求。

自由度为k的卡方变量的平均值是k，方差是2k。

卡方分布是伽玛分布的一个特例，它的熵为：
其中ψ(x)是Digammafunction。

[编辑]
卡方变数与Gamma变数的关系
当Gamma变数频率(λ)为1/2时，α的2倍为卡方变数之自由度(Degreeoffreedom) 即:
卡方变数之期望值=自由度卡方变数之方差=两倍自由度
卡方分布
,
,
,
k-2,if,
,
，
,。

卡方分布函数
卡方分布函数是统计学中常用的一种分布函数，它是描述一组给定的观察值与期望值之间的差异程度的统计量。

卡方分布函数的值依赖于自由度数量，自由度是指样本中独立变量的数量。

卡方分布函数经常被用于检验两个或多个样本之间的差异，它可以帮助我们确定样本之间是否有显著差异。

卡方分布函数也可以用于构建置信区间，这个区间表示了一个未知的总体参数的可能取值范围。

卡方分布函数在统计学中的应用非常广泛，它可以用于分析生物学数据、医学数据、金融数据等各种类型的数据。

对于统计学研究和数据分析工作来说，了解卡方分布函数的基本概念和使用方法是非常重要的。

- 1 -。

卡方分布的概念
卡方分布（Chi-square distribution）是统计学中常用的概率分布之一，用于描述一组独立标准正态分布随机变量的平方和的概率分布。

卡方分布的特点包括：
1.非负性：卡方分布的取值范围为非负数。

2.偏斜性：卡方分布呈正偏斜，即右侧尾部较长。

3.自由度影响形状：随着自由度的增加，卡方分布的形状逐渐趋
近于正态分布。

卡方分布在统计推断中有广泛的应用，常见的应用包括：
•假设检验：卡方分布可用于计算卡方检验的统计量，用于检验两个或多个分类变量之间的关联性。

•参数估计：卡方分布可用于计算置信区间和假设检验中的拟合优度。

•回归分析：卡方分布可用于构建广义线性模型（Generalized Linear Models, GLMs）中的似然比检验。

总之，卡方分布是一种重要的概率分布，广泛应用于统计学和相关领域的假设检验、参数估计和回归分析等方面。

卡方分布（chi-square distribution）是一种常见的概率分布，它常用于统计学中的假设检验和回归分析等方面。

卡方分布有一个概率密度函数（probability density function，简称PDF），用于表示卡方分布的概率分布情况。

卡方分布的PDF公式为：f(x) = (1/2^(k/2)) * (x^((k/2)-1)) * e^(-x/2)其中，f(x)表示卡方分布的PDF，x表示卡方分布的取值，k表示卡方分布的自由度（degrees of freedom），e为自然常数（约为2.718）。

卡方分布的自由度k决定了卡方分布的形状。

当k较小时，卡方分布呈现出钟形的分布；当k较大时，卡方分布呈现出偏正态分布的形状。

例如，当k=1时，卡方分布的PDF为：f(x) = (1/2) * x^(1/2) * e^(-x/2)当k=3时，卡方分布的PDF为：f(x) = (1/4) * x * e^(-x/2)注意：卡方分布的PDF仅适用于正数取值，对于负数取值，PDF值的值为0。

这是因为卡方分布的取值是针对某些统计指标的平方值的分布情况，而平方值不可能是负数。

此外，卡方分布的PDF还有一些其他注意事项：1.卡方分布的自由度k必须为正整数，不能是小数或负数。

2.卡方分布的取值x必须大于等于0，不能是负数。

3.卡方分布的PDF是一个无上限的函数，随着x的增大，PDF值会越来越小。

4.卡方分布的PDF是一个对称函数，当x=0时，PDF值取到最大。

5.卡方分布的PDF是一个单峰函数，在x=k时取到最小值。

卡方分布的PDF是用于表示卡方分布的概率分布情况的常用方法之一。

通过计算卡方分布的PDF值，可以求出某一取值在卡方分布中的概率。

这对于统计学中的假设检验和回归分析等方面是非常有用的。

卡方分布一、 卡方分布的定义：若n 个相互独立的随机变量ξ1，ξ2，…，ξn ，均服从标准正态分布（也称独立同分布于标准正态分布），则这n 个服从标准正态分布的随机变量的平方和∑ξi∧2构成一新的随机变量，其分布规律称为χ2(n)分布（chi-square distribution ），其中参数 n 称为自由度。

二、 卡方分布的性质：:（1） (可加性) 设i Y ~且相互独立，则,,,1,,2k i ii n这里., i in n（2）,)(2, n E n .42)(2, n Var n证明 （1）根据定义易得。

（2）设则依定义，,~2, n Y可表示为Y 其中且相互独立，于是),1,(~,1,,1),1,0(~ N X n i N X n i因为代入（1），第一条结论可得证。

直接计算可得 于是代入（2）便证明了第二条结论。

三、 卡方分布的概率密度函数：其中Dx 为n 维x 空间内由不等式z x x n 221 所定的区域。

即，Dz 为n 维x 空间内以坐标原点为球心、z 为半径的球面所围成的区域（边界不在内）可以利用极坐标来计算这积分。

令 与这变换相应的函数行列式为：其中括号和 都表示1,,1 n 的函数。

因此。

当z>0时， C 是常数。

为了定出C,在上述等式的两端令, r 得到从而，在分母内的积分中令 221r ，即，用212 r 作代换，那么，这个积分等于•222212212012122121021-n n d d nn n n n因此，222122n C nn从而，当z>0时，即，2 的密度函数为称这个密度函数所定的分布为自由度为n 的2 分布，记作2）（n 。

它的图像如下：图（一）2分布密度函数图四、卡方分布的累积分布函数为：22,2k x k x F k，其中γ(k,z)为不完全Gamma 函数。

其图像如下：图（二）2 分布的分布函数图五、 卡方分布的特征函数及其推导：特征函数： ψ(t)= E （e itξ） = ∫e itξ+∞−∞ f(x)dx=12n 2p(n 2)∫(costx+isintx)en−x−22+∞0dx=1(1−2it)n2六、 论证过程中的心得体会：首先通过对卡方的研究和证明，提高了我们对数学的兴趣。