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卡方分布(重定向自卡方分布(Chi-square Distributen))卡方分布(Chi-square Distribution)［编辑］什么是卡方分布卡方分布(x汾布)是概率论与统计学中常用的一种概率分布。
k个独立的标准正态分布变量的平方和服从自由度为k的卡方分布。
卡方分布常用于假设检验和置信区间的计算。
［编辑］卡方分布的数学定义若k个随机变量Z1、……、Zk相互独立，且数学期望为0、方差为1(即服从标准正态分布)，则随机变量XL fl=l被称为服从自由度为k的卡方分布，记作［编辑］卡方分布的特征卡方分布的概率密度函数为:其中x > 0,当x W0时fk(x) = 0。
这里r代表Gamma 函数。
卡方分布的累积分布函数为:其中丫（k,z 为不完全Gamma 函数在大多数涉及卡方分布的书中都会提供它的累积分布函数的对照表。
此外许多表格计算软件如 Calc 和Microsoft Excel 中都包括卡方分布函数。
卡方分布可以用来测试随机变量之间是否相互独立，也可用来检测统计模型是否符合实际要求。
自由度为k 的卡方变量的平均值是k ，方差是2k 。
卡方分布是伽玛分布的一个特例，它的熵为：f(x) ln(/(x))dz = -+ln 7(V2T^/2)『皿)其中(x)是Digamma function ［编辑］卡方变数与Gamma变数的关系迟〔时(U))=E(Y) = ^ = l=U畑（X2（"））=畑⑴）=吕=寺=2UI弓丿卡方变数之期望值=自由度卡方变数之方差=两倍自由度参数k > 0,自由度值域x e [o； +oo).概率密度函数讣）累积分布函数（cdf）7(*/2^/2)F(紂2),期望值k,(Degree of freedom) 当Gamma变数频率（入为1/2时，a的2倍为卡方变数之自由度。
卡方分布(重定向自卡方分布(Chi-square Distribution))卡方分布(Chi-square Distribution)[编辑]什么是卡方分布卡方分布(χ2分布)是概率论与统计学中常用的一种概率分布。
k 个独立的标准正态分布变量的平方和服从自由度为k 的卡方分布。
卡方分布常用于假设检验和置信区间的计算。
[编辑]卡方分布的数学定义若k 个随机变量Z1、……、Zk 相互独立，且数学期望为0、方差为1(即服从标准正态分布)，则随机变量X被称为服从自由度为k 的卡方分布，记作[编辑]卡方分布的特征卡方分布的概率密度函数为：其中x≥0, 当x≤0时fk(x) = 0。
这里Γ代表Gamma 函数。
卡方分布的累积分布函数为：其中γ(k,z)为不完全Gamma函数在大多数涉及卡方分布的书中都会提供它的累积分布函数的对照表。
此外许多表格计算软件如 Calc和Microsoft Excel中都包括卡方分布函数。
卡方分布可以用来测试随机变量之间是否相互独立，也可用来检测统计模型是否符合实际要求。
自由度为k 的卡方变量的平均值是k，方差是2k。
卡方分布是伽玛分布的一个特例，它的熵为：其中ψ(x) 是Digamma function。
[编辑]卡方变数与Gamma变数的关系当Gamma变数频率(λ)为1/2 时，α 的2倍为卡方变数之自由度(Degree of freedom)即:卡方变数之期望值=自由度卡方变数之方差=两倍自由度卡方分布,,,k-2, if,,，,。
常用分布函数及特征函数常用的分布函数及特征函数主要包括正态分布、伯努利分布、二项分布、泊松分布、指数分布和卡方分布等。
下面将分别对这些分布函数及其特征函数进行介绍。
1. 正态分布（Normal Distribution）正态分布是以均值μ和方差σ²为参数的连续概率分布。
其概率密度函数为：f(x)=1/(σ*√(2π))*e^(-(x-μ)²/(2σ²))正态分布的特征函数为：φ(t) = e^(itμ - (σ²t²)/2)，其中i为虚数单位。
2. 伯努利分布（Bernoulli Distribution）伯努利分布是一种离散概率分布，用于描述只有两种结果（成功或失败）的随机试验。
其概率函数为：P(X=k)=p^k*(1-p)^(1-k)，k=0或1伯努利分布的特征函数为：φ(t) = 1-p + pe^(it)3. 二项分布（Binomial Distribution）二项分布是描述n重伯努利试验中成功次数的离散概率分布。
其概率函数为：P(X=k)=C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)，k=0,1,...,n二项分布的特征函数为：φ(t) = (p*e^(it) + 1-p)^n4. 泊松分布（Poisson Distribution）泊松分布是用于描述单位时间（或单位空间）内随机事件发生次数的离散概率分布。
其概率函数为：P(X=k)=(λ^k*e^(-λ))/k!泊松分布的特征函数为：φ(t) = e^(λ*(e^(it)-1))5. 指数分布（Exponential Distribution）指数分布是描述连续随机事件发生时间间隔的概率分布。
其概率密度函数为：f(x)=λ*e^(-λx)，x>=0指数分布的特征函数为：φ(t) = λ/ (λ-it)6. 卡方分布（Chi-square Distribution）卡方分布是描述标准正态分布随机变量平方和的概率分布。
卡方分布(重定向自卡方分布(Chi-square Distribution))卡方分布(Chi-square Distribution)[编辑]什么是卡方分布卡方分布(χ2分布)是概率论与统计学中常用的一种概率分布。
k 个独立的标准正态分布变量的平方和服从自由度为k 的卡方分布。
卡方分布常用于假设检验和置信区间的计算。
[编辑]卡方分布的数学定义若k 个随机变量Z1、……、Zk 相互独立，且数学期望为0、方差为1(即服从标准正态分布)，则随机变量X被称为服从自由度为k 的卡方分布，记作[编辑]卡方分布的特征卡方分布的概率密度函数为：其中x≥0, 当x≤0时fk(x) = 0。
这里Γ代表Gamma 函数。
卡方分布的累积分布函数为：其中γ(k,z)为不完全Gamma函数在大多数涉及卡方分布的书中都会提供它的累积分布函数的对照表。
此外许多表格计算软件如 Calc和Microsoft Excel中都包括卡方分布函数。
卡方分布可以用来测试随机变量之间是否相互独立，也可用来检测统计模型是否符合实际要求。
自由度为k 的卡方变量的平均值是k，方差是2k。
卡方分布是伽玛分布的一个特例，它的熵为：其中ψ(x) 是Digamma function。
[编辑]卡方变数与Gamma变数的关系当Gamma变数频率(λ)为1/2 时，α 的2倍为卡方变数之自由度(Degree of freedom)即:卡方变数之期望值=自由度卡方变数之方差=两倍自由度卡方分布,,,k-2, if,,，,定义：N个服从正态分布（均值为0，方差为1）的独立随机变量的平方和X服从自由度为N的卡方分布。
问题：证明D(X)=2N二、定义：假设X服从均值为0方差为1的正态分布，Z服从自由度为N的卡方分布，如果X和Z独立，那么T=[X/根号(Z/N)]服从自由度为N的t分布。
问题：证明D(T)=N/(N-2)要求：1.只要有一题证明正确者追加分数！2.请各位兄弟证明不到的不要乱回答，但可以说说自己的想法。
卡方分布(重定向自卡方分布(Chi-square Distribution))卡方分布(Chi-square Distribution)[编辑]什么是卡方分布卡方分布(χ2分布)是概率论与统计学中常用的一种概率分布。
k 个独立的标准正态分布变量的平方和服从自由度为k 的卡方分布。
卡方分布常用于假设检验和置信区间的计算。
[编辑]卡方分布的数学定义若k 个随机变量Z1、……、Zk 相互独立，且数学期望为0、方差为1(即服从标准正态分布)，则随机变量X被称为服从自由度为k 的卡方分布，记作[编辑]卡方分布的特征卡方分布的概率密度函数为：其中x≥0, 当x≤0时fk(x) = 0。
这里Γ代表Gamma 函数。
卡方分布的累积分布函数为：其中γ(k,z)为不完全Gamma函数在大多数涉及卡方分布的书中都会提供它的累积分布函数的对照表。
此外许多表格计算软件如 Calc和Microsoft Excel中都包括卡方分布函数。
卡方分布可以用来测试随机变量之间是否相互独立，也可用来检测统计模型是否符合实际要求。
自由度为k 的卡方变量的平均值是k，方差是2k。
卡方分布是伽玛分布的一个特例，它的熵为：其中ψ(x) 是Digamma function。
[编辑]卡方变数与Gamma变数的关系当Gamma变数频率(λ)为1/2 时，α 的2倍为卡方变数之自由度(Degree of freedom) 即:卡方变数之期望值=自由度卡方变数之方差=两倍自由度卡方分布参数k > 0, 自由度值域,概率密度函数,累积分布函数(cdf),期望值k,中位数大约k− 2 / 3,众数k-2, if,方差2,k,偏态,峰态12/k,熵值动差生成函数(mgf)，2t<1,特征函数,定义：N个服从正态分布（均值为0，方差为1）的独立随机变量的平方和X服从自由度为N的卡方分布。
问题：证明D(X)=2N二、定义：假设X服从均值为0方差为1的正态分布，Z服从自由度为N的卡方分布，如果X和Z独立，那么T=[X/根号(Z/N)]服从自由度为N的t分布。
卡方分布一、 卡方分布的定义：若n 个相互独立的随机变量ξ1，ξ2，…，ξn ，均服从标准正态分布（也称独立同分布于标准正态分布），则这n 个服从标准正态分布的随机变量的平方和∑ξi∧2构成一新的随机变量，其分布规律称为χ2(n)分布（chi-square distribution ），其中参数 n 称为自由度。
二、 卡方分布的性质：:（1） (可加性) 设i Y ~且相互独立，则,,,1,,2k i ii n =λχ这里.,∑∑==i in n λλ（2）,)(2,λχλ+=n E n .42)(2,λχλ+=n V a r n证明 （1）根据定义易得。
（2）设则依定义，,~2,λχn Y可表示为Y 其中且相互独立，于是),1,(~,1,,1),1,0(~λN X n i N X n i -=因为代入（1），第一条结论可得证。
直接计算可得 于是 代入（2）便证明了第二条结论。
三、 卡方分布的概率密度函数：其中Dx 为n 维x 空间内由不等式z x x n 221+所定的区域。
即，Dz 为n 维x 空间内以坐标原点为球心、z 为半径的球面所围成的区域（边界不在内）可以利用极坐标来计算这积分。
令 与这变换相应的函数行列式为：其中括号和Φ都表示1,,1-n θθ 的函数。
因此。
当z>0时， C 是常数。
为了定出C,在上述等式的两端令,∝+→r 得到 从而，在分母内的积分中令μ=221r ，即，用212μ=r 作代换，那么，这个积分等于⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ==∙-∝+------∝+⎰⎰222212212012122121021-n n d d nn n n n μθμμμθμμ因此，()⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ=-222122n C nn π从而，当z>0时，即，2χ的密度函数为称这个密度函数所定的分布为自由度为n 的2χ分布，记作2）（n χ。
它的图像如下：图（一）2χ分布密度函数图四、卡方分布的累积分布函数为：()()()22,2k x k x F k Γ=γ，其中γ(k,z)为不完全Gamma 函数。
