卡方分布及其它分布

1。

设X1服从以自由度为m的卡方分布，X2服从以自由度为n的卡方分布，X1与X2独立，则F=（X1/m）/（X2/n）的分布就是自由度为m与n的F分布2。

设随机变量X1，X2独立且X1服从标准正态分布，X2服从以自由度为n的卡方分布，则t=X1/根号（X2/n）的分布就是自由度为n的t分布、在实际工作中，抽取足够多的样本容量进行调查意味着人力、物力和财力的增加，尤其对一些具有破坏性的试验来说也不宜抽取太多的样本容量。

也就是说，对于大样本进行观察受到某些条件的限制。

这里主要讨论t分布、>2分布和F分布。

一、t-分布关于t 分布的早期理论工作，是英国统计学家威廉?西利?戈塞特（WillamSealy Gosset）在1900年进行的。

t分布是小样本分布，小样本分布一般是指n<30。

t分布适用于当总体标准差R未知时用样本标准差s代替总体标准差R，由样本平均数推断总体平均数以及2个小样本之间差异的显著性检验等。

从平均值为L、方差为R2的正态总体中抽取容量为n的一个样本，其样本平均数服从平均值为L，方差为R2/n的正态分布，因此，。

但是总体方差R2总是未知的，从而只能用s2来代替，（1）如果n很大，那么，s2就是R2的一个较好的估计量，仍然是一个近似的标准正态分布；（2）如果n较小，s2常常与R2的差异较大，因此，统计量就不再是一个标准正态分布，而是服从t分布。

（一）t分布的性质1、t分布是对称分布，且其均值为0。

2、当样本容量n较小时，t分布的方差大于1；当n增大到大于或等于30时，t分布的方差就趋近于1，t分布也就趋近于标准正态分布。

3、t分布是一个分布族，对于不同的样本容量都对应不同的分布，且其均值都为0。

4、与标准正态分布相比，t分布的中心部分较低，2个尾部较高。

5、变量t的取值范围在与之间。

t分布与标准正态分布的比较（二）t分布的自由度样本中独立观察值的个数（即样本容量）n减去1（由于样本要估计的总体参数的个数为1，即R2）。

卡方分布和伽马分布卡方分布和伽马分布是常见的概率分布，它们在统计学和概率论中有广泛的应用。

本文将对这两种分布进行详细的介绍。

一、卡方分布卡方分布（Chi-square Distribution）是统计学中最重要的分布之一，它是由卡方检验（Chi-square Test）所产生的。

“卡方”一词原来来自于拉丁文“quadratus”，意为“平方”。

因此，卡方分布用于测量随机变量的平方和的频数在不同条件下的期望和实际值之差异。

二、伽马分布伽马分布（Gamma Distribution）是指一组连续概率分布。

伽马分布的概率密度函数包括两个参数k和θ。

它主要用于计量反应时间、寿命、距离等连续变量的概率分布。

三、卡方分布和伽马分布的关系卡方分布和伽马分布在理论上是可以互相转换的。

当自由度为k的卡方分布X的每一个分量都是服从参数为θ=k/2的伽马分布时，那么X就是服从参数为k的卡方分布。

四、卡方分布和伽马分布的应用1. 卡方分布的应用（1）卡方检验卡方检验是一种用于测量数据差异或特征分布的统计方法。

卡方分布被广泛应用于卡方检验中。

卡方检验的本质是比较观测样本与期望样本之间的偏离程度，以确定样本间是否显著不同。

（2）线性回归卡方分布也可以用于线性回归中的显著性检验。

在线性回归中，卡方检验用于检验总的回归方程是否显著。

如果卡方值越大，与总随机度数的误差越小，即越接近回归线，则回归方程越显著。

2. 伽马分布的应用（1）定义概率密度函数对于一般概率分布，已知它的概率密度函数，可以方便地推导出各种分布参数的解析式和统计分布的长期趋势。

伽马分布就是一个具有丰富解析式的分布。

（2）计算反应时间伽马分布在心理学中的应用十分广泛。

例如，在实验中，如果目标对象出现的时间发生了变化，从而影响了反应时间，那么可以用伽马分布对其进行建模。

思考一个双选实验，当被试者看到一个带有刺激物体的图像时，他们必须立即进行双插选择。

这种选择所需的时间就是反应时间。

布，它们与正态分布一起，是试验统计中常用的分布。

2当X 1、X 2、…、Xn 相互独立且都服从 N(0,1)时，Z=v X i 的i2(n)，它的分分布称为自由度等于 布密度p(z )=n 的1 AnX22- n2 0,n-1.+处 2 -u , 0u 2e du ,2分布，记作Zz _2e其他,称为Gamma 函数，且】1 =1，式中的『-=I2分布是非对称分布，具有可加性，即当丫与Z_I - = n 。

2相互独立，且丫2(n )， Z 2(m )，贝y Y+Z 〜2(n+m )。

Y+Z= X+§1.4 常用的分布及其分位数 1.卡平方分布卡平方分布、t 分布及F 分布都是由正态分布所导出的分证明：先令X 1、X 2、…、X n 、X n+1、X n+2、…、X n+m 相互独 立且都服从N(0,1)，再根据 2分布的定义以及上述随机变 量的相互独立性，令 丫=X 2+X 2+…+X -, z=x 备+X 2+2+…+Xn+m ，即可得到丫+Z 〜2(n +m )。

2. t 分布若X 与丫相互独立，且X 〜N(0,1) , 丫〜2(n ),则Z =x . 丫的分布称为自由度等于n的t分布，记作Z〜t (n),它的分布密度；z2 V .n丿n 1 ~Y。

”心LP(z)=―；=时(殳)I请注意：t分布的分布密度也是偶函数，且当n>30时，t分布与标准正态分布 N(0,1)的密度曲线几乎重叠为一。

这时，t 分布的分布函数值查 N(0,1)的分布函数值表便可以得到。

3. F分布若X与丫相互独立，且X〜2(n)，丫〜2(m), 则Z=X丫的分布称为第一自由度等于n、第二自由度等于n mm的F分布，记作Z〜F (n, m)，它的分布密度2P (Z(m nz) 2n mn m------ in——1 z2-,z 0 n m2 20,其他。

请注意：F 分布也是非对称分布，它的分布密度与自由度1的次序有关，当 Z 〜F (n , m )时，刁〜F (m ,n )。

简述卡方分布,t分布,f分布的定义
卡方分布也叫卡方检验分布，是常见的概率分布，由英国数学家卡方发现，故称之为卡方分布。

数学家卡方的主要工作是统计学分布的概率期望，他在19世纪20年代发现卡方分布，他还拓展了卡方分布，发现和推导出它的非等距变量的统计分布。

卡方分布的定义：它是一种从n个标准正态分布中自由度为k的独立变量中提取的统计概率分布，其中n个独立变量的平方和服从卡方分布。

二、t分布
t分布也叫t牛顿分布，是一种概率分布，由卡普牛顿在19世纪20年代发现，故称之为t分布。

它是统计学中又一种重要的概率分布。

t分布的全称是Student t分布，因为它主要在学生t检验中使用，故又称之为Student t分布。

t分布的定义：Student t分布是由自由度为k的一组独立变量的统计概率分布。

该分布与卡方分布非常相似，但是它不是一个单位正态分布的统计分布，因此其期望值不是0。

实际上，当自由度很大时，t分布可以趋近于正态分布。

三、F分布
F分布也叫F检验分布，是一种不可能概率分布，由比利时统计学家卡默特在20世纪初发现，故称之为F分布。

F分布的定义：它是由自由度分别为m和n的两组独立样本对比的统计概率分布，m为数据的自由度。

两个样本之间的方差比服从F分布。

总结：
卡方分布是一种从n个标准正态分布中自由度为k的独立变量中提取的统计概率分布，其中n个独立变量的平方和服从卡方分布。

t 分布是由自由度为k的一组独立变量的统计概率分布，而F分布是由自由度分别为m和n的两组独立样本对比的统计概率分布。

§1、4 常用得分布及其分位数1、 卡平方分布卡平方分布、t 分布及F 分布都就是由正态分布所导出得分布，它们与正态分布一起，就是试验统计中常用得分布。

当X 1、X 2、…、Xn 相互独立且都服从N(0,1)时，Z=∑ii X 2 得分布称为自由度等于n 得2χ分布，记作Z ～2χ(n)，它得分布密度p(z )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ--,,00,2212122其他z e x n z n n 式中得⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ2n =u d e u u n ⎰∞+--012，称为Gamma 函数，且()1Γ=1，⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ21=π。

2χ分布就是非对称分布，具有可加性，即当Y 与Z 相互独立，且Y ～2χ(n )，Z ～2χ(m )，则Y+Z ～2χ(n+m )。

证明: 先令X 1、X 2、…、X n 、X n+1、X n+2、…、X n+m 相互独立且都服从N(0,1)，再根据2χ分布得定义以及上述随机变量得相互独立性，令Y=X 21+X 22+…+X 2n ，Z=X 21+n +X 22+n +…+X 2m n +，Y+Z= X 21+X 22+…+X 2n + X 21+n +X 22+n +…+X 2m n +，即可得到Y+Z ～2χ(n +m )。

2、 t 分布 若X 与Y 相互独立，且X ～N(0,1)，Y ～2χ(n )，则Z =n Y X得分布称为自由度等于n 得t 分布，记作Z ～ t (n )，它得分布密度 P(z)=)()(221n nn ΓΓ+2121+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n z 。

请注意：t 分布得分布密度也就是偶函数，且当n>30时，t 分布与标准正态分布N(0,1)得密度曲线几乎重叠为一。

这时， t 分布得分布函数值查N(0,1)得分布函数值表便可以得到。

3、 F 分布 若X 与Y 相互独立，且X ～2χ(n )，Y ～2χ(m )， 则Z=m Y n X得分布称为第一自由度等于n 、第二自由度等于m 得F 分布，记作Z ～F (n , m )，它得分布密度 p(z)=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>++-⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛+Γ•。

抽样分布公式t分布卡方分布F分布抽样分布公式：t分布、卡方分布、F分布抽样分布是统计学中的重要概念，用于推断总体参数以及进行假设检验。

本文将重点介绍三种常见的抽样分布公式：t分布、卡方分布和F分布。

一、t分布公式t分布是用于小样本情况下进行参数估计和假设检验的重要分布。

它的定义如下：假设有一个总体，样本容量为n，总体的均值和标准差未知。

如果从该总体中随机抽取一个样本，计算样本均值与总体均值的差异，用t 值来衡量。

那么，t值的概率分布就是t分布。

t分布的公式如下：t = (x - μ) / (s / √n)其中，x为样本均值，μ为总体均值，s为样本标准差，n为样本容量。

t分布的自由度为n-1。

在实际应用中，可以利用t分布表或统计软件来查找不同自由度下的t值对应的概率。

二、卡方分布公式卡方分布是应用于统计推断的重要分布，主要用于分析分类资料或定类变量的相关性。

它的定义如下：假设有一个总体，样本容量为n，比较观察值与理论值之间的差异。

我们将差异的平方进行求和，并除以理论值，得到统计量，称为卡方统计量。

卡方分布的公式如下：χ^2 = Σ((O - E)^2 / E)其中，O为观察值，E为理论值。

卡方分布的自由度取决于总体参数的个数减去估计的参数个数。

在实际应用中，同样可以利用卡方分布表或统计软件来查找不同自由度下的卡方值对应的概率。

三、F分布公式F分布是应用于统计推断的另一重要分布，主要用于比较两个或多个总体方差是否相等。

它的定义如下：假设有两个总体A、B，分别进行抽样，计算两个样本方差的比值，得到F统计量。

F分布的公式如下：F = (s1^2 / σ1^2) / (s2^2 / σ2^2)其中，s1^2和s2^2分别为样本A和样本B的方差，σ1^2和σ2^2分别为总体A和总体B的方差。

F分布的自由度取决于样本容量和总体个数。

在实际应用中，同样可以利用F分布表或统计软件来查找不同自由度下的F值对应的概率。

卡方分布一、 卡方分布的定义：若n 个相互独立的随机变量ξ1，ξ2，…，ξn ，均服从标准正态分布（也称独立同分布于标准正态分布），则这n 个服从标准正态分布的随机变量的平方和∑ξi∧2构成一新的随机变量，其分布规律称为χ2(n)分布（chi-square distribution ），其中参数 n 称为自由度。

二、 卡方分布的性质：:（1） (可加性) 设i Y ~且相互独立，则,,,1,,2k i iin =λχ这里.,∑∑==i i n n λλ（2） ,)(2,λχλ+=n E n .42)(2,λχλ+=n Var n证明 （1）根据定义易得。

（2）设则依定义，,~2,λχn Y 可表示为Y 其中且相互独立，于是),1,(~,1,,1),1,0(~λN X n i N X n i -=因为代入（1），第一条结论可得证。

直接计算可得 于是 代入（2）便证明了第二条结论。

三、 卡方分布的概率密度函数：其中Dx 为n 维x 空间内由不等式z x x n 221+所定的区域。

即，Dz 为n 维x 空间内以坐标原点为球心、z 为半径的球面所围成的区域（边界不在内）可以利用极坐标来计算这积分。

令与这变换相应的函数行列式为：其中括号和Φ都表示1,,1-n θθ 的函数。

因此。

当z>0时， C 是常数。

为了定出C,在上述等式的两端令,∝+→r 得到 从而，在分母内的积分中令μ=221r ，即，用212μ=r 作代换，那么，这个积分等于⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ==•-∝+------∝+⎰⎰222212212012122121021-n n d d nn n n n μθμμμθμμ因此，()⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ=-222122n C n nπ从而，当z>0时，即，2χ的密度函数为称这个密度函数所定的分布为自由度为n 的2χ分布，记作2）（n χ。

它的图像如下：图（一）2χ分布密度函数图四、卡方分布的累积分布函数为：()()()22,2k x k x F k Γ=γ，其中γ(k,z)为不完全Gamma 函数。

卡方分布与泊松分布的关系一、卡方分布的定义和性质1.1 定义卡方分布（Chi-square distribution）是概率论和统计学中常用的一种概率分布。

卡方分布是指若n个相互独立的随机变量X1、X2、…、Xn，且这些随机变量都服从标准正态分布N(0,1)，则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和构成一新的随机变量Y，该随机变量Y服从自由度为n的卡方分布，记为Y~χ²(n)。

1.2 性质•卡方分布的随机变量只能取非负值，即Y ≥ 0。

•卡方分布的期望值为自由度n。

•卡方分布的方差为2n。

•当自由度n趋近于无穷大时，卡方分布趋近于正态分布。

二、泊松分布的定义和性质2.1 定义泊松分布（Poisson distribution）是一种离散概率分布，它描述了在一定时间或空间范围内，事件发生的次数的概率分布。

泊松分布的随机变量X表示在一个固定时间或空间范围内，事件发生的次数。

2.2 性质•泊松分布的随机变量只能取非负整数值。

•泊松分布的期望值和方差均为λ，即E(X) = Var(X) = λ。

三、卡方分布与泊松分布的关系卡方分布与泊松分布之间存在一定的数学关系，下面将从两个方面进行探讨。

3.1 关系一：泊松分布的卡方近似当泊松分布的参数λ较大时，可以使用卡方分布来近似计算泊松分布的概率。

具体而言，当泊松分布的参数λ较大时，可以使用以下公式来近似计算P(X = k)：P(X = k) ≈ χ²(2k; 2λ)其中，χ²(2k; 2λ)表示自由度为2k的卡方分布的概率密度函数。

3.2 关系二：卡方分布的泊松化在一些特定的情况下，卡方分布可以被看作是泊松分布的极限情况。

具体而言，当自由度n趋近于无穷大时，卡方分布趋近于正态分布。

而正态分布又可以通过中心极限定理与泊松分布建立联系。

根据中心极限定理，当n趋近于无穷大时，n个独立同分布的随机变量的和的分布趋近于正态分布。

而泊松分布可以看作是一系列独立同分布的伯努利试验的和，因此可以将卡方分布看作是泊松分布的极限情况。

卡方分布和伽马分布卡方分布和伽马分布是统计学中常用的概率分布函数。

它们在数据分析、假设检验以及回归分析等领域具有重要的应用。

本文将分别介绍卡方分布和伽马分布的定义、性质以及应用。

一、卡方分布卡方分布是一种特殊的概率分布，常用于统计推断中的假设检验。

它的概率密度函数为：f(x) = (1/(2^(k/2) * Γ(k/2))) * (x^(k/2-1) * e^(-x/2))其中，k为自由度，Γ为伽马函数。

卡方分布的特点是非负且右偏，其形状由自由度k决定。

随着自由度的增加，卡方分布逐渐接近正态分布。

卡方分布的期望值为k，方差为2k。

卡方分布在假设检验中起着重要的作用。

例如，在卡方拟合优度检验中，我们可以利用卡方分布来判断观察到的数据与理论模型是否存在显著差异。

另外，在卡方独立性检验中，我们可以利用卡方分布来评估两个变量之间的独立性。

二、伽马分布伽马分布是一种连续概率分布，常用于描述正态分布的倒数。

它的概率密度函数为：f(x) = (1/(Γ(α) * β^α)) * (x^(α-1) * e^(-x/β))其中，α为形状参数，β为尺度参数，Γ为伽马函数。

伽马分布的特点是非负且右偏，其形状由形状参数α和尺度参数β决定。

随着形状参数的增加，伽马分布的峰值向左移动，尾部变得更长。

伽马分布的期望值为αβ，方差为αβ^2。

伽马分布在许多领域中都有广泛的应用。

例如，在可靠性分析中，我们可以利用伽马分布来描述产品的寿命分布。

另外，在金融领域中，伽马分布也常用于建模收益率的分布。

三、卡方分布与伽马分布的关系卡方分布和伽马分布之间有着密切的关系。

事实上，当自由度k为整数时，卡方分布可以表示为k个独立标准正态分布的平方和，而标准正态分布的平方可以看作是伽马分布。

因此，卡方分布可以看作是伽马分布的特殊情况。

在实际应用中，我们经常将卡方分布用于估计总体方差、检验两个样本的方差是否相等等问题。

而伽马分布则常用于建模正偏的数据分布。