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基于混沌PSO-BP混合算法的神经网络
孟非;潘朋朋
【期刊名称】《计算机仿真》
【年(卷),期】2011(28)2
【摘要】研究神经网络的优化问题,将粒子群优化(PSO)算法同误差反向传播(BP)算法采用两种算法相结合,形成两种混合算法,可用于训练神经网络的优化.提出两种方法,第一种混合算法是在PSO算法优化神经网络权值的同时注入BP算法,第二种混合算法是在PSO算法训练神经网络之后继之以BP算法.同时根据混沌映射的随机性和遍历性,将其引入到混合算法中,进一步提高算法的寻优能力.将这两种混合算法同基于PSO算法和基于BP算法的神经网络训练方法相比较,通过数值仿真实验表明,混合算法的性能优于所比较的两种算法的性能,且第一种混合算法要好于第二种混合算法.
【总页数】4页(P196-199)
【作者】孟非;潘朋朋
【作者单位】江苏科技大学经济管理学院,江苏,镇江,212003;江苏科技大学电子信息学院,江苏,镇江,212003
【正文语种】中文
【中图分类】TP183
【相关文献】
1.基于改进PSO-BP混合算法的电力变压器故障诊断 [J], 杨道武;李海如;向卫东;任卓;李哲文
2.基于混沌振荡PSO-BP算法的电阻率层析成像非线性反演 [J], 戴前伟;江沸菠
3.基于改进PSO-BP混合算法的电力变压器故障诊断 [J], 魏星;舒乃秋;张霖;崔鹏程
4.基于混合算法优化神经网络的混沌时间序列预测 [J], 尹新;周野;何怡刚
5.基于PSO-BP混合算法的短期电力负荷预测 [J], 田丽;夏新运;蒋慧;张淑芳因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
基于差分进化的BP神经网络预测混沌时间序列邬月春;王铁君【期刊名称】《计算机工程与应用》【年(卷),期】2013(000)008【摘要】针对BP神经网络预测模型收敛速度慢和容易陷入局部极小值的缺点，将差分进化算法和神经网络结合起来，提出了一种基于差分进化算法的BP神经网络预测混沌时间序列的方法，利用差分进化算法的全局寻优能力对BP神经网络的权值和阈值进行优化，然后训练BP神经网络预测模型求得最优解，将该预测方法用到3个典型的混沌时间序列进行算法的有效性验证，并与BP算法的预测精度进行了比较，仿真结果表明该方法对混沌时间序列预测具有更好的非线性拟合能力和更高的预测准确性。
%A prediction method for chaotic time series of BP neural based on DE is proposed to overcome the problems such as long computing time and easy to fall into local minimum by incorporating Differential Evolution(DE)and neural network. DE is used to optimize the weights and thresholds of BP neural network, and the BP neural network is used to search for the optimal solution. The efficiency of the proposed prediction method is tested by the simulation of three typical nonlinear systems, and the precision of this algorithm is compared with BP algorithms. The simulation results show that the proposed method has better nonlinear fitting ability and higher forecasting accuracy.【总页数】5页(P160-163,197)【作者】邬月春;王铁君【作者单位】兰州交通大学自动化与电气工程学院，兰州 730070;西北民族大学数学与计算机科学学院，兰州 730030【正文语种】中文【中图分类】TP301【相关文献】1.基于混沌SVM与BP神经网络预测材料价格指数 [J], 刘伟军;胡友良2.基于混沌理论的网络流量BP神经网络预测 [J], 吴文清;赵黎明;刘嘉焜3.基于混沌时间序列的模糊神经网络预测研究 [J], 权鹏宇;车文刚;余任;周志元4.基于混沌理论的马尾松毛虫有虫面积BP神经网络预测 [J], 陈绘画;徐志宏5.基于混沌时间序列的模糊神经网络预测研究 [J], 权鹏宇[1];车文刚[2];余任[1];周志元[1]因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
基于改进PSO-BP神经网络的网络控制系统时延预测
魏天旭;赵燕成;赵景波;胡阵
【期刊名称】《陕西科技大学学报》
【年(卷),期】2024(42)3
【摘要】针对网络控制系统存在的随机时延问题,本文基于BP神经网络(Back Propagation Neural Network, BPNN)建模方法,在PSO(Particle Swarm Optimization)算法的基础上引入遗传算法中交叉和变异的思想,同时对惯性权重和学习因子采用线性递减和异步时变的改进策略,提出了一种性能更优的改进PSO算法,并用该算法优化BP神经网络,构建了一种改进PSO-BP神经网络的时延预测模型;然后运用MATLAB TrueTime2.0工具箱搭建仿真平台,结合获取到的历史时延采样数据对改进PSO-BP时延预测模型和PSO-BP、BP模型进行性能对比测试.实验表明本文所提出模型的预测精度更高,误差更小,能较好的解决网络控制系统的随机时延预测问题.
【总页数】9页(P158-165)
【作者】魏天旭;赵燕成;赵景波;胡阵
【作者单位】青岛理工大学信息与控制工程学院
【正文语种】中文
【中图分类】TP273
【相关文献】
1.基于PSO-BP神经网络的网络时延预测算法
2.基于改进PSO-BP神经网络的浅埋隧道围岩变形时序预测研究
3.基于改进PSO-BP神经网络的爆破振动速度峰值预测
4.基于改进PSO-BP神经网络算法的半导体材料带隙宽度预测
5.基于改进PSO-BP神经网络的热采管柱应力预测
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遗传算法改进的BP神经网络在混沌径流时间序列预测中的应
用
遗传算法改进的BP神经网络在混沌径流时间序列预测中的应用
区别于传统的提取混沌时间序列饱和嵌入维数的方法,本文利用人工神经网络成功地对水库混沌径流时间序列的饱和嵌入维数进行了提取,计算了该时间序列里的最大Lyapunov指数,两种方法结果都证明了该时间序列的混沌性.并用遗传算法对BP神经网络进行了改进,利用该模型对三门峡水库混沌径流时间序列进行了预测.实例计算表明该方法解决了BP神经网络收敛速度慢和易于陷入极小值的问题,大大提高了BP神经网络的计算精度和收敛速度.无论在计算精度上还是在收敛次数上都优于没有改进的BP神经网络.
作者：刘媛媛练继建朱云LIU Yuan-yuan LIAN Ji-jian ZHU Yun 作者单位：刘媛媛,LIU Yuan-yuan(中国水利水电科学研究院防洪减灾所,北京,100038)
练继建,LIAN Ji-jian(天津大学建工学院,天津,300072)
朱云,ZHU Yun(宁夏回族自治区水利厅防办,宁夏,银川,750001)
刊名：水文ISTIC PKU英文刊名：JOURNAL OF CHINA HYDROLOGY 年，卷(期)：2007 27(2) 分类号：P338+.9 关键词：混沌径流时间序列 BP神经网络遗传算法 Lyapunov指数。
所谓BP算法，主要有以下两种方式：1. 逐一学习方式每一次取一个训练样本，利用该样本的输出误差调整神经元的阈值和连接值，直至收敛再取下一个训练样本进行调整，重复这一过程，直至对所有样本都满足精度要求。
2.批量学习方式一次性将所有训练样本全部输入，利用其总体的输入误差调整各神经元的阈值和连接权，反复进行直至收敛。
多层网络的BP(BacPkrPogaatino)算法是LMS算法(LaestMenaSquare均方误差算法，是单层网络的算法，对于单层线性网络，反向传播算法退化为LMS算法。
)的推广，其中性能指数是均方误差。
LMS算法和反向传播算法的区别在于它们对于导数的计算方式上。
对单层的线性网络，误差是网络权值的显式函数，其相对于权值的导数较为容易求得。
在具有非线性的传输函数的多层网络中，网络权值的关系十分的复杂。
为了计算导数，需要用微积分的法则。
2.2.3 BP人工神经网络的改进基本的反向传播算法收敛速度很慢，用基本的反向传播算法去进行负荷预测，训练将会花去数天甚至数星期的时间，因此提高算法的收敛速度是关键的问题。
一般提高收敛速度有两种途径：第一类包括使用启发式信息的技术，这是源于对标准反向传播算法误差曲面特定性能的研究，这些启发式技术包括可变的学习速度，使用动量和改变比例变量等；另一类是标准数值优化技术。
其实训练前向神经网络减少均方误差只是一个数值优化的问题。
由于数值优化作为一个重要的研究课题已经有四五十年了，因而从大量已有的数值优化技术中选择快速训练算法是比较合理的。
一、BP算法的启发式改进1．动量BP算法在误差曲面中，当算法开始发散时总是在收敛的极小值附近来回的震荡。
受到它的启发，可以采用平均改变参数的方法对轨迹进行过滤，平滑掉振荡产生一个稳定的轨迹。
另外权值矩阵使用了动量项后，可以在维持算法稳定的前提下使用更高的学习速度。
动量的另一个特征是当轨迹进入某个一致的方向后，它可以加速收敛。
2．可变学习速度的BP算法由误差曲面的形状可以得到启发，在较为平坦的曲面区域可以适当的提高学习速度，而在曲率增大的区域应该适当的减小学习的速度。
基于BP神经网络的预测算法在时间序列分析中的应用基于BP（Back Propagation）神经网络的预测算法在时间序列分析中具有广泛的应用。
时间序列分析是一种研究时间上的观测值如何随时间变化而变化的特定技术。
通过对过去的时间序列数据进行分析，可以预测未来的趋势和模式。
BP神经网络是一种机器学习算法，可以通过训练将输入和输出之间的关系学习出来，从而可以用于时间序列预测。
BP神经网络的预测算法在时间序列分析中的应用主要有以下几个方面：1.股票市场预测：BP神经网络可以通过学习历史的股票市场数据，来预测未来股票价格的走势。
通过输入历史的股票价格、成交量等指标，可以训练BP神经网络模型，并使用该模型来预测未来的股票价格。
2.经济数据预测：BP神经网络可以通过学习历史的经济数据，来预测未来的经济趋势。
例如，可以使用过去的GDP、消费指数等数据作为输入，来预测未来的经济增长率或通货膨胀率。
3.交通流量预测：BP神经网络可以通过学习历史的交通流量数据，来预测未来的交通状况。
通过输入历史的交通流量、天气状况等数据，可以训练BP神经网络模型，并使用该模型来预测未来的交通流量，从而可以提前采取交通管理措施。
4.气象预测：BP神经网络可以通过学习历史的天气数据，来预测未来的气象变化。
例如，可以使用过去的温度、湿度、风向等数据作为输入，来预测未来的天气情况，从而为农业、旅游等行业提供预测参考。
5.能源需求预测：BP神经网络可以通过学习历史的能源需求数据，来预测未来的能源需求量。
通过输入历史的经济发展状况、人口增长等数据，可以训练BP神经网络模型，并使用该模型来预测未来的能源需求，从而指导能源生产和供应。
总体而言，基于BP神经网络的预测算法在时间序列分析中具有较强的预测能力。
通过学习历史的数据，BP神经网络可以发现数据中的规律和模式，并将其用于预测未来的趋势和变化。
然而，需要注意的是，BP 神经网络也有一些局限性，例如对于较大规模的数据集，训练时间可能较长。
基于PSO ⁃BP 神经网络的网络时延预测算法DOI :10.19557/ki.1001-9944.2020.07.001时维国,雷何芬(大连交通大学电气信息工程学院,大连116028)摘要:针对网络控制系统时延的随机、时变、非线性等特性,提出了基于粒子群优化的BP 神经网络的预测方法。
对实测时延数据样本进行归一化处理,以BP 神经网络误差的平方和作为粒子群优化算法的适应值函数;采用粒子群算法优化BP 神经网络的初始权值和阈值;将粒子群算法中全局最优值输出作为BP 神经网络的初始权值和阈值对时延样本数据进行训练预测。
仿真表明,该时延预测算法的迭代次数减少,同时避免算法陷入极值点,预测精度更好。
关键词:粒子群优化;BP 神经网络;网络控制;时延预测中图分类号:TP273文献标志码:A文章编号:1001⁃9944(2020)07⁃0001⁃05Algorithm Prediction of Network Delay Using BP Neural Network Based on Particle Swarm OptimizationSHI Wei ⁃guo ,LEI He ⁃fen(School of Electrical Information Engineering ,Dalian Jiaotong University ,Dalian 116028,China )Abstract :Aiming at the random ,time ⁃varying and nonlinear characteristics of network control system delay ,a predic ⁃tion method of BP neural network based on particle swarm optimization is proposed.Normalize the collected timedelay data samples ,and use the squared sum of the errors of the BP neural network as the fitness value function in the PSO e the PSO algorithm to optimize the initial weight and threshold of the BP neural network.The PSO algorithm The global optimal value output is used as the initial weight and threshold of the BP neural networkto train and predict the delay sample data.The simulation results show that the number of iterations of the algorithm is reduced ,and the algorithm can avoid falling into the extreme point ,so the prediction accuracy is better.Key words :particle swarm optimization (PSO );BP neural network ;network control ;delay prediction收稿日期:2020-03-27;修订日期:2020-05-25基金项目:辽宁省自然科学基金项目(20170540141)作者简介:时维国(1973—),男,博士,副教授,研究方向为网络控制技术、智能优化调度算法;雷何芬(1990—),男,硕士,研究方向为网络控制。
基于混沌时间序列和BP神经网络的短期负荷预测【摘要】混沌时间序列法是至今发展最为成熟的电力短期负荷预测方法之一，它可以预测时间序列的微小起伏波动和精细结构。
神经网络法是一种智能化的算法，处理非线性问题的能力非常强。
两种方法都有各自的优势，为了将两种算法的优势结合起来以提高电力负荷预测的精度，本文建立了混沌时间序列和BP神经网络相结合的预测模型，并利用此模型进行预测，得到了令人满意的预测效果。
【关键字】混沌时间序列；BP神经网络；负荷预测引言短期负荷预测工作是电力系统运行计划的一个重要组成部分，是电力系统分析系统安全、安排生产计划、进行实时调度的重要参考依据之一，其预测精度直接影响着电力系统的经济效益。
1 电力负荷的混沌特性分析1.1重构相空间电力系统负荷数据是按照固定的时间间隔取样而得到的离散时间序列。
对于这样的时间序列，Pakark和Takens等人提出了重构相空间的思想，该理论的基本思想：系统中全部分量的变化都是由与之相互作用着的其它分量的变化所决定的，所以全部分量的隐含信息就包含在与其相关联的其它分量里。
假设负荷序列为：，将该序列嵌入到m维相空间中，会得到m维相空间下的相点如下：（1）式中，为延迟时间，表示由N个X点构成m维的相空间的点数为n。
这样就将单变量时间序列嵌入到了m维空间。
1.2延迟时间和嵌入维数m的确定延迟时间和嵌入维数m的选取非常重要。
的选取既不能太小也不能太大，其意义在于不仅要保持相空间轨迹的连续性，又要让参加系统重构的相点尽可能的不相关。
延迟时间选取的方法有很多种，自相关函数法是选取延迟时间的最主要的方法。
对于时间序列，N是序列的长度，自相关函数为：（2）当自相关函数出现到第一个极小值时，所得到的即为所求的最佳延迟时间，以某市2011年1-3月份的负荷数据作为历史负荷数据，计算得延迟时间。
计算嵌入维数的一个非常简单易行的方法是G-P算法。
首先定义嵌入时间序列的关联积分函数为：是一个累积式的分布函数，当取某个定值之后，表示相空间中全部吸引子两点之间的距离小于的概率。
PSO优化BP神经网络的混沌时间序列预测卢辉斌;李丹丹;孙海艳【摘要】BP neural network for forecasting has low speed of convergence, low precision and easily falling into the local minimum state. An improved prediction method of optimized BP neural network based on Improved Particle Swarm Opti-mization algorithm(IPSO)is proposed. The IPSO algorithm adopts modified adaptive inertia weight and adaptive acceler-ation coefficients to optimize the weights and thresholds of BP neural network. Then BP neural network is trained to search for the optimal solution. This experiment is done with several typical nonlinear systems. The results demonstrate that the improved method has faster convergence speed, higher accuracy and not easily falling into the local minimum state.%针对于BP神经网络预测模型，收敛速度慢，精度较低，容易陷入局部极小值等缺点，提出了一种改进粒子群优化BP神经网络预测模型的算法。
在该算法中，粒子群采用改进自适应惯性权重和改进自适应加速因子优化BP神经网络预测模型的初始权值和阈值，然后训练BP神经网络预测模型并预测。
将该算法应用到几个典型的混沌时间序列预测。
实验结果表明，该算法明显提高BP神经网络预测模型的收敛速度和预测模型的精度，减少陷入局部极小的可能。
【期刊名称】《计算机工程与应用》【年(卷),期】2015(000)002【总页数】7页(P224-229,264)【关键词】混沌时间序列;混沌预测;反向传播(BP)神经网络;粒子群算法【作者】卢辉斌;李丹丹;孙海艳【作者单位】燕山大学信息科学与工程学院，河北秦皇岛 066004; 河北省特种光纤与光纤传感实验室，河北秦皇岛 066004;燕山大学信息科学与工程学院，河北秦皇岛 066004; 河北省特种光纤与光纤传感实验室，河北秦皇岛 066004;河北建材职业技术学院机电工程系，河北秦皇岛 066004【正文语种】中文【中图分类】TP183混沌现象是指在确定系统中出现的一种貌似无规则，类似随机的现象，普遍存在于现实世界中。
随着混沌动力学的发展，混沌科学在数学，物理学，生命科学，信息科学，经济学等得到广泛应用。
混沌系统的建模、预测、控制也成为当代混沌研究的热点。
而构建混沌动力系统模型，预测系统未来状态，为混沌的控制奠定了基础。
混沌系统预测的思想是通过混沌系统的状态构建混沌系统的模型。
其主要方法包括全局预测[1]、局部预测[2-4]和自适应预测[5]。
神经网络是非线性系统逼近和建模的有效工具，不仅可以实现全局预测，而且可以实现局域预测，借助于神经网络建立混沌系统的模型[6-8]已经成为现今的热点研究问题之一。
因此，本文采用BP神经网络预测模型，该模型具有较强的非线性拟合能力，但是该模型收敛速度慢，预测精度不高，易陷入局部极小值，文中采用粒子群算法优化BP神经网络预测模型。
粒子群算法[9]（Particle Sw arm Optim ization，PSO）是一种有效的全局寻优算法，最初由学者Kennedy和Eberhart提出。
它是基于群体智能理论的优化算法，通过群体中粒子间的合作与竞争产生的群体智能优化搜索。
该算法收敛速度快，容易实现和具有全局收敛的特点，非常适用于求解非线性模型参数优化问题[10]，许多文献利用粒子群算法优化神经网络，如文献[11-12]等。
因此，本文提出改进PSO算法，并用改进的PSO算法优化BP神经网络预测模型的初始权值和阈值，然后对混沌时间序列预测。
相空间重构理论是研究混沌理论的基础。
Takens和Packard等人[13-14]认为系统中任意一分量的演化都是由与之相互作用的其他分量所决定的。
因此，这些相关分量的信息隐含在任意一个分量的发展过程中，重构系统相空间只需考察一个分量。
设X表示观测到的混沌时间序列，x(t)，t=1，2，…，n，根据Takens定理，进行相空间重构，则在状态空间中重构后的状态矢量可以表示为：式中，M=n-(m-1)τ是重构相空间中的相点个数，τ延迟时间，m是嵌入维数。
Takens证明了可以找到一个合适的嵌入维数，即如果延迟坐标的维数m≥2d+1，d是动力系统的维数，在这个嵌入维空间里就可以把吸引子恢复出来。
即在重构Rm空间中的轨线上，原动力系统保持微分同胚，从而为混沌时间序列的预测奠定了坚实的理论基础。
混沌时间序列的预测实质是一个动力系统的逆向问题，通过动力系统的状态来重构系统的动力学模型。
BP神经网络具有较强的非线性拟合能力，是构造混沌时间序列非线性预测模型的很好方法。
典型的三层BP神经网络是由输入层，隐含层和输出层组成，其核心是通过一边向后传递误差，一边修正误差的方法来不断调整网络的权值和阈值，以实现或逼近所希望的输入，输出映射关系。
用三层BP神经网络预测混沌时间序列，输入层神经元数一般取m，与嵌入维数相同，隐层神经元数多为靠经验选取，这里记为p，输出层神经元数为1，即完成f:Rm→R1。
BP神经网络传递函数采用Sigmoid函数，输出为线性单元。
隐层节点的输入：式中，wij是输入层到隐层的连接权值，θj是隐层节点的阈值。
隐层节点的输出：式中，vj是隐层到输出层的连接权值，γ是输出层的阈值。
输出层节点的输出：输入混沌时间序列，训练BP神经网络，得到训练好的网络，然后进行预测。
但是，BP神经网络开始训练之前的各层连接权值和阈值都是随机初始化的，这种随机初始化的值往往会使BP神经网络的收敛速度慢，精度低，容易陷入局部最小。
采用PSO算法可以对初始权值和阈值进行优化，优化后的初始权值和阈值能使BP 神经网络具有更好的收敛速度和更高的预测精度。
4.1 基本粒子群算法在PSO算法[9]中，每一个优化问题的解被看作是搜索空间中的一只鸟，即“粒子”。
算法首先生成初始解，即在D维可行解空间中随机初始化N个粒子组成种群z={z1，z2，…，zN}，每个粒子所对应两个向量，位置和速度，即zi={zi1，zi2，…，ziD}和vi={vi1，vi2，…，viD}，然后根据目标函数计算粒子的适应度值，在S维解空间中进行迭代搜索。
迭代时，粒子将跟踪两个“极值”来更新自己，一个是粒子本身搜索到的最好的解pid，另一个是种群目前搜索到的最优解pgd。
每个粒子根据下式来更新自己的位置和速度：式中，vid(t+1)表示第i个粒子在t+1次迭代中第d维上的速度，ω为惯性权重，c1，c2为加速常数，r1，r2为0～1之间的随机数。
文中基本粒子群算法，ω取线性递减惯性权重[15]，加速因子取常数。
线性递减惯性权重算法ω为：式中，iter表示当前迭代次数，itermax表示最大迭代次数，ωmax表示惯性权重初值，ωmin表示惯性权重终值。
首先，线性递减惯性权重算法，ω的变化完全依赖于当前迭代次数和最大的迭代次数，尤其在迭代后期，收敛速度慢，很难跳出局部最优解。
其次，常数学习因子，由于粒子是根据自身经验和全体粒子经验向着最优解的方向“飞行”，在较大学习因子作用下，粒子很有可能错过最优解，使算法收敛速度慢或不能收敛[16]。
另外，在算法收敛时，由于所有的粒子朝着最优解的方向搜索，种群中粒子趋向一致，失去解的多样性，使算法收敛速度慢，精度低或容易陷入局部最优。
4.2 改进粒子群算法4.2.1 基于混沌的改进粒子群算法（IPSO）混沌时间序列具有随机性、遍历性、和规律性，文献[17]中粒子群采用混沌初始化，文献[18]中粒子群采用混沌变异，混沌这些特点在粒子群算法中得到很好的应用。
因此本文提出一种新的基于混沌的改进粒子群算法。
该算法中，利用混沌自适应的调整粒子的搜索能力ω和学习能力c1，c2，使粒子跳出局部最优。
算法中采用典型Logistic混沌时间序列：同时该算法将粒子按适应度值区分为两部分，适应度值是衡量粒子质量的标准，通过比较单个粒子适应度值和群体粒子平均适应度值，区分出粒子质量的优劣，合理调整粒子的搜索能力ω和学习能力c1，c2，有利于粒子群快速收敛。
式中，0＜ω0＜1，1＜c10＜2，1＜c20＜2，k1，k2，k3是0～1之间常量，μ=4，x是0～1之间的随机数，f是第iter代的第i个粒子的适应度值，favg是第iter代的所有粒子的平均适应度值。
当f＞favg时，粒子质量较差，式（10）通过增强粒子的全局搜索能力ω和社会学习能力c2，减小自我学习能力c1，使粒子迅速向最优解方向“飞行”，改善粒子质量。
当f＜favg时，粒子质量较好，式（11）通过增强粒子的局部搜索能力ω和自我学习能c1，减小社会学习能力c2，保护质量较好的粒子，避免所有粒子趋向同一，保护解的多样性。
该算法有利于寻找全局最优解，提高粒子的收敛速度，减少陷入局部最优的可能。
4.2.2 IPSO算法收敛性分析记φ1=c1 r1，φ2=c2 r2，为便于表达，把问题简化为一维，则粒子i运动状态方程式（6）（7）可化为：由式（16）可知粒子的速度变化是一个二阶差分方程。
由此类似可得粒子的位置变化过程，即可见粒子的位置变化过程也是一个二阶差分方程。
将式（16）进行Z变换，可得：假设φ1，φ2是一常数，那么式（18）可看成是一个线性系统，其特征方程为：对式（19）作双线性变换，将z=(μ+1)/(μ-1)代入上式化简得：由Routh判据可知，二阶线性系统稳定的充要条件是特征方程各项系数均为正值，于是可得式（16）的稳定条件为：由于φ1，φ2为正数，因此，在不考虑随机量，局部最优值和全局最优值位置不变的情况下，单个粒子速度变化过程稳定的条件是由上式的后两个不等式决定的，且两个条件不能同时取等号。
同理可得粒子位置变化过程稳定的条件：通过对以上粒子群算法收敛性分析，并观察式（11），式（12），可知，当式（11）满足式（22）条件时，式（10）显然也满足。
