高中数学第三章函数的应用3.2.2.1一次函数二次函数幂函数模型的应用举例课后

3.2.2（1）函数模型的应用实例（教学设计）教学目标：知识与技能能够找出简单实际问题中的函数关系式，初步体会应用一次函数、二次函数模型解决实际问题．过程与方法感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体会一次函数、二次函数模型在数学和其他学科中的重要性．情感、态度、价值观体会运用函数思想和处理现实生活和社会中的简单问题的实用价值．教学重点难点：重点运用一次函数、二次函数模型的处理实际问题．难点运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题．一、新课引入：大约在一千五百年前，大数学家孙子在《孙子算经》中记载了这样的一道题：“今有雏兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雏兔各几何？”这四句的意思就是：有若干只鸡和兔在同一个笼子里，从上面数，有三十五个头；从下面数，有九十四只脚。

求笼中各有几只鸡和兔？你知道孙子是如何解答这个“鸡兔同笼”问题的吗？你有什么更好的方法？原来孙子提出了大胆的设想。

分析解答：介绍孙子的大胆解法：他假设砍去每只鸡和兔一半的脚，则每只鸡和兔就变成了“独脚鸡”和“双脚兔”。

这样，“独脚鸡”和“双脚兔”脚的数量与它们头的数量之差，就是兔子数，即：47－35=12；鸡数就是：35－12=23。

激发学生学习兴趣，增强其求知欲望．用方程的思想解答“鸡兔同笼”问题．二、师生互动，新课讲解：例1(课本P102例3)．一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示．1）写出速度v关于时间t的函数解析式；2）写出汽车行驶路程y关于时间t的函数关系式，并作图象；3）求图中阴影部分的面积，关说明所求面积的实际含义；4）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数s与时间t的函数解析式，并作出相应的图象．h）探索：1）将图中的阴影部分隐去，得到的图象什么意义？2）图中每一个矩形的面积的意义是什么？3）汽车的行驶里程与里程表读数之间有什么关系？它们关于时间的函数图象又有何关系？本例所涉及的数学模型是确定的，需要我们利用问题中的数据及其蕴含的关系建立数学模型．此题的主要意图是让学生用函数模型（分段函数）刻画实际问题．（1）获得路程关于时间变化的函数解析式：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤+-<≤+-<≤+-<≤+-<≤+=.54,2299)4(6543,2224)3(7532,2134)2(9021,2054)1(8010,200450t t t t t t t t t t s（2）根据解析式画出汽车行驶路程关于时间变化的图象．例2（课本P103例4）．人口问题是当今世界各国普遍关注的问题．认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据．早在1798，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型：rt e y y 0=其中t 表示经过的时间，0y 表示t =0时的人口数，r 表示人口的年平均增长率．下表是1950~19591）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；2）如果按表中的增长趋势，大约在哪一年我国的人口将达到13亿？探索：1） 本例中所涉及的数量有哪些？2） 描述所涉及数量之间关系的函数模型是否是确定的，确定这种模型需要几个因素？3） 根据表中数据如何确定函数模型？4） 对于所确定的函数模型怎样进行检验，根据检验结果对函数模型又应作出如何评价？如何根据所确定函数模型具体预测我国某个时期的人口数，实质是何种计算方法？本例中，数学模型n e y y 0=是指数型函数模型，它由0y 与r 两个参数决定，而0y 与r 的值不难得到．本题意在让学生验证问题中的数据与所提供的数学模型是否吻合，并用数学模型解释实际问题，并利用模型进行预测，这也是此题的难点．借助计算器做出函数图象，比较与实际的吻合度．课堂练习（课本P104练习 NO ：1；2）例3：某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2 (0≤x ≤400)80 000 (x >400).其中x 是仪器的月产量． (1)将利润表示为月产量的函数f (x )；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)分析 由题目可获取以下主要信息：①总成本＝固定成本＋100x ；②收益函数为一分段函数．解答本题可由已知总收益＝总成本＋利润，总利润＝总收益－总成本．由于R (x )为分段函数，所以f (x )也要分段求出，将问题转化为分段函数求最值问题．解 (1)设每月产量为x 台，则总成本为20 000＋100x ，从而f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－12x 2＋300x －20 000 (0≤x ≤400)60 000－100x (x >400). (2)当0≤x ≤400时，f (x )＝－12(x －300)2＋25 000， ∴当x ＝300时，有最大值25 000； 当x >400时，f (x )＝60 000－100x 是减函数，f (x )<60 000－100×400<25 000.∴当x ＝300时，f (x )的最大值为25 000.∴每月生产300台仪器时，利润最大，最大利润为25 000元．点评 在函数应用题中，已知的等量关系是解题的依据，像此题中的利润＝总收益－总成本，又如“销售额＝销售价格×销售数量”等．像几何中的面积、体积公式，物理学中的一些公式等，也常用来构造函数关系．三、课堂小结，巩固反思：四、布置作业：A 组：1.一个高为H ，盛水量为V0的水瓶的轴截面如图所示，现以均匀速度往水瓶中灌水，直到灌满为止，如果水深h时水的体积为V ，则函数V=f(h)的图象大致是( )答案 D解析 考察相同的Δh 内ΔV 的大小比较．2用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的34，要使存留的污垢不超过1%，则至少要洗的次数是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6答案 B解析 设至少要洗x 次，则⎝⎛⎭⎫1－34x ≤1100， ∴x ≥1lg 2≈3.32，因此至少要洗4次． 3（课本P107习题3.2 A 组 NO ：2）4（课本P107习题3.2 A 组 NO ：3）5（课本P107习题3.2 A 组 NO ：4）（只列出总造价的表达式，并化简即可）6燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v ＝5log 2Q 10，单位是m/s ，其中Q 表示燕子的耗氧量．(1)计算：燕子静止时的耗氧量是多少个单位？(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？分析 由题目可获取以下主要信息：①已知飞行速度是耗氧量的函数；②第(1)问知v ，求Q ；第(2)问知Q ，求v .解答本题的关键是给变量赋值．解 (1)由题知，当燕子静止时，它的速度v ＝0，代入题给公式可得：0＝5log 2Q 10，解得Q ＝10. 即燕子静止时的耗氧量是10个单位．(2)将耗氧量Q ＝80代入题给公式得：v ＝5log 28010＝5log 28＝15 (m/s)． 即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15 m/s.点评 直接以对数函数为模型的应用问题不是很多．此类问题一般是先给出对数函数模型，利用对数运算性质求解．B 组：1、（课本P107习题3.2 B 组 NO ：2）。

3.2 函数模型及其应用3.2.1 几类不同增长的函数模型一、点击考点1．数学模型为一次函数的问题一次函数也是最常见的一种函数模型，在初中就已经接触过。

［例］某人开汽车以60km/h 的速度从A 地到150km 远的B 地，在B 地停留1h 后，再以50km/h 的速度返回A 地，把汽车离开A 地的距离x (km)表示为时间t (h)（从A 地出发时开始）的函数，并画出函数的图象；再把车速v (km/h)表示为时间t (h)的函数，并画出函数的图象.［解］汽车离开A 地的距离x km 与时间t h 之间的关系是：⎪⎩⎪⎨⎧--=),5.3(50150,150,60t t x ].5.6,5.3(],5.3,5.2(],5.2,0[∈∈∈t t t它的图象右如图所示.速度v km/h 与时间t h 的函数关系是：⎪⎩⎪⎨⎧-,50,0,60x ).5.6,5.3[),5.3,5.2[),5.2,0[∈∈t t它的图象如右图所示2．数学模型为二次函数的问题二次函数为生活中最常见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值（或最小值），故常常最优、最省等最值问题是二次函数的模型。

［例］渔场中鱼群的最大养殖量为m 吨，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留下适当的空闲量，已知鱼群的年增长量y 吨和实际养殖量x 吨与空闲率的乘积成正党组织，比例系数为).0(>k k（1）写出y 关于x 的函数关系式，并指出这个函数的定义域；（2）求鱼群年增长量的最大值；（3）当鱼群的年增长量达到最大值时，求k 的取值范围. ［例］（1）)0)(1(m x m x kx y <<-=；（2）∵.4)2()(22km m x m k mx x m k y +--=--= ∴当2m x =时，y 取得最大值.4km （3）依题意，为保证鱼群留有一定的生长空间，则有实际养殖量与年增长量的和小于最大养殖量，即.0m y x <+<因为当2m x =时，4km y =最大，所以联想到“a y x f y x f <⇔),(),(max ”这一等价转化命题，则有m km m <+<420，解得.22<<-k 但0>k ，从而得.20<<k 思考：本题中空闲养殖量与实际养殖率的关系如何？而实际养殖率与实际养殖量、最大养殖量的关系又是如何？3．数学模型为指数函数的问题一般地，形如)10(≠>=a a a y x 且的函数叫做指数函数，而在生产、生活实际中，以函数k a b y x +•=作为模型的应用问题很常见.［例］某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少31，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？（已知：4771.03lg ,3010.02lg ==） ［分析］每次过滤杂质含量降为原来的32，过滤n 次后杂质含量为n )32(1002•，结合按市场要求杂质含量不能超过0.1%，即可建立数学模型. ［解析］依题意，得10001)32(1002≤•n ，即201)32(≤n .则)2lg 1()3lg 2(lg +-≤-n ，故,4.72lg 3lg 2lg 1≈-+≥n 考虑到N ∈n ，即至少要过滤8次才能达到市场要求。

第三章函数的应用3.2 函数模型及其应用§3.2.2 函数模型的应用举例【学习目标】1.能够运用函数性质，解决某些简单的实际问题。

2.能够根据实际问题构建适当的函数模型，体会函数模型的广泛应用。

【预习提纲】1.函数模型的分类及其建立与应用根据实际应用问题提供的两个变量的数量关系是否确定，可把构建的函数模型分为两大类：第一类是确定函数模型，这类应用题提供的变量关系是确定的，是以现实生活为原型设计的；第二类是近似函数模型，或称拟合函数模型，这类应用题提供的变量关系是不确定的，只是给出了两个变量的几组对应值（是搜集或用实验方法测定的）.根据函数自身的种类，常见函数模型可分为一次函数模型、、、、、等.2.解答应用问题的程序概括为以下几点：（1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；（2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符合语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；（3）求模：求解数学模型，得出数学结论；（4）还原：将数学结论还原为实际问题的意义.【例题精讲】例1．如图表示一位骑自行车者和一位骑摩托车者在相距80 km的两城镇间旅行的函数图象，由图可知：骑自行车者用了6小时，沿途休息了1小时，骑摩托车者用了2小时，根据这个函数图象，推出关于这两个旅行者的如下信息：①骑自行车者比骑摩托车者早出发了3小时，晚到1小时；②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；③骑摩托车者在出发了1.5小时后，追上了骑自行车者．其中正确信息的序号是( )A．①②③B．①③C．②③D．①②例2. 一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示。

（1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004 km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s km与时间t h的函数关系式，并作出相应的图象。

h例3.一种药在病人血液中得量保持在1500 mg 以上，才有疗效；而低于500mg ，病人就有危险。