新教材高中数学第二章一元二次函数、方程和不等式2.1等式性质与不等式性质讲义新人教A版必修第一册

2．1 等式性质与不等式性质1．会用不等式(组)表示实际问题中的不等关系． 2．掌握不等式的有关性质．3．能利用不等式的性质进行数或式的大小比较或不等式证明．1．两个实数大小的比较如果a －b 是正数，那么a >b ；如果a －b 等于零，那么a ＝b ；如果a －b 是负数，那么a <b .反过来也对．这个基本事实可以表示为：a >b ⇔a －b >0，a ＝b ⇔a －b ＝0，a <b ⇔a －b <0.从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小． 2．等式的基本性质性质1 如果a ＝b ，那么b ＝a ； 性质2 如果a ＝b ，b ＝c ，那么a ＝c ； 性质3 如果a ＝b ，那么a ±c ＝b ±c ； 性质4 如果a ＝b ，那么ac ＝bc ； 性质5 如果a ＝b ，c ≠0，那么a c ＝bc. 3．不等式的性质(1)如果a >b ，那么b <a ；如果b <a ，那么a >b .即a >b ⇔b <a . (2)如果a >b ，b >c ，那么a >c .即a >b ，b >c ⇒a >c . (3)如果a >b ，那么a ＋c >b ＋c .(4)如果a >b ，c >0，那么ac >bc ；如果a >b ，c <0，那么ac <bc . (5)如果a >b ，c >d ，那么a ＋c >b ＋d . (6)如果a >b >0，c >d >0，那么ac >bd . (7)如果a >b >0，那么a n>b n(n ∈N ，n ≥2)．温馨提示：(1)在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件，不可强化或弱化成立的条件．(2)要注意每条性质是否具有可逆性．1．若a >b ，且ab >0，则1a 与1b的大小关系如何？[答案] 因为ab >0，所以a 与b 同号． 而1a －1b ＝b －a ab，又a >b ，所以b －a <0.所以1a －1b <0，即1a <1b2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)a ＝b 是a c ＝bc成立的充要条件．( ) (2)若a >b ，则ac >bc 一定成立．( ) (3)若a ＋c >b ＋d ，则a >b ，c >d .( )(4)同向不等式相加与相乘的条件是一致的．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)×题型一用不等式(组)表示不等关系【典例1】 商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润．已知这种商品的售价每提高1元，销售量就可能相应减少10件．若把提价后的商品售价设为x 元，怎样用不等式表示每天的利润不低于300元？[思路导引] 根据“利润＝销售量×单件利润”，把利润用x 表示出来，“不低于”即“大于或等于”，可列出不等式．[解] 若提价后商品的售价为x 元，则销售量减少x －101×10件，因此，每天的利润为(x －8)[100－10(x －10)]元，则“每天的利润不低于300元”可以表示为不等式(x －8)[100－10(x －10)]≥300.在用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，先通过审题，设出未知量，找出其中的不等关系，再将不等关系用不等式表示出来，即得不等式或不等式组．[针对训练]1．如图所示的两种广告牌，其中图1是由两个等腰直角三角形构成的，图2是一个矩形，则这两个广告牌面积的大小关系可用含字母a ，b (a ≠b )的不等式表示为________．[答案] 12(a 2＋b 2)>ab2．你有过乘坐火车的经历吗？火车站售票处有规定：儿童身高不足1.2 m 的免票，身高1.2～1.5 m 的儿童火车票为半价，身高超过1.5 m 的儿童买全价票．你能用不等式表示这些规定吗？[解] 设身高为h m ， 文字表述 身高不 足1.2 m身高在1.2 ～1.5 m 间 身高超 过1.5 m符号表示 h <1.21.2≤h ≤1.5 h >1.5票价免费半价票全价票【典例2】 比较下列各组中两个代数式的大小： (1)x 2＋3与3x ；(2)已知a ，b 均为正数，且a ≠b ，比较a 3＋b 3与a 2b ＋ab 2的大小．[思路导引] 我们知道，a －b >0⇔a >b ，a －b <0⇔a <b .因此，若要比较两式的大小，只需作差与0作比较即可．[解] (1)(x 2＋3)－3x ＝x 2－3x ＋3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋34≥34>0， ∴x 2＋3>3x .(2)(a 3＋b 3)－(a 2b ＋ab 2)＝a 3＋b 3－a 2b －ab 2＝a 2(a －b )－b 2(a －b ) ＝(a －b )(a 2－b 2) ＝(a －b )2(a ＋b )． ∵a >0，b >0且a ≠b ， ∴(a －b )2>0，a ＋b >0.∴(a 3＋b 3)－(a 2b ＋ab 2)>0， 即a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2.作差法比较两个数大小的步骤及变形方法(1)作差法比较的步骤：作差―→变形―→定号―→结论．(2)变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④分母或分子有理化；⑤分类讨论．[针对训练]3．已知x ，y 均为正数，设m ＝1x ＋1y ，n ＝4x ＋y ，比较m 和n 的大小．[解] ∵m －n ＝1x ＋1y －4x ＋y ＝x ＋y xy －4x ＋y ＝(x ＋y )2－4xy xy (x ＋y )＝(x －y )2xy (x ＋y ).又x ，y 均为正数，∴x >0，y >0，xy >0，x ＋y >0，(x －y )2≥0. ∴m －n ≥0，即m ≥n (当x ＝y 时，等号成立)．4．设x ，y ，z ∈R ，比较5x 2＋y 2＋z 2与2xy ＋4x ＋2z －2的大小． [解] ∵5x 2＋y 2＋z 2－(2xy ＋4x ＋2z －2) ＝4x 2－4x ＋1＋x 2－2xy ＋y 2＋z 2－2z ＋1 ＝(2x －1)2＋(x －y )2＋(z －1)2≥0， ∴5x 2＋y 2＋z 2≥2xy ＋4x ＋2z －2， 当且仅当x ＝y ＝12且z ＝1时取等号.题型三利用不等式的性质判断或证明不等式 【典例3】 (1)对于实数a ，b ，c ，给出下列命题： ①若a >b ，则ac 2>bc 2； ②若a <b <0，则a 2>ab >b 2； ③若a >b ，则a 2>b 2； ④若a <b <0，则a b >b a.其中正确命题的序号是________．(2)已知a >b ，e >f ，c >0.求证：f －ac <e －bc .[思路导引] (1)直接利用不等式的基本性质判断；(2)首先由性质4得到－bc >－ac ，再由性质5证明．[解析] (1)对于①∵c 2≥0， ∴只有c ≠0时才成立，①不正确； 对于②，a <b <0⇒a 2>ab ；a <b <0⇒ab >b 2， ∴②正确；对于③，若0>a >b ，则a 2<b 2，如－1>－2， 但(－1)2<(－2)2，∴③不正确； 对于④，∵a <b <0，∴－a >－b >0， ∴(－a )2>(－b )2，即a 2>b 2.又∵ab >0，∴1ab >0，∴a 2·1ab >b 2·1ab ，∴a b >b a，④正确．(2)证明：∵a >b ，c >0，∴ac >bc ， ∴－ac <－bc .∵f <e ， ∴f －ac <e －bc .[答案] (1)②④ (2)见解析(1)利用不等式判断正误的2种方法①直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可．②特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性．(2)利用不等式的性质证明不等式的注意事项①利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．②应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．[针对训练]5．若bc －ad ≥0，bd >0.求证：a ＋b b ≤c ＋dd.[证明] ∵bc －ad ≥0，∴ad ≤bc ，bd >0， ∴a b ≤c d ，∴a b ＋1≤c d ＋1，∴a ＋b b ≤c ＋dd. 6．若a >b >0，c <d <0，e <0，求证：e(a －c )2>e(b －d )2.[证明] ∵c <d <0，∴－c >－d >0， 又a >b >0，∴a －c >b －d >0， 则(a －c )2>(b －d )2>0，即1(a －c )2<1(b －d )2. 又e <0，∴e(a －c )2>e(b －d )2.题型四利用不等式的性质求取值范围【典例4】 已知1<a <4,2<b <8.试求2a ＋3b 与a －b 的取值范围．[思路导引] 欲求a －b 的范围，应先求－b 的范围，再利用不等式的性质求解． [解] ∵1<a <4,2<b <8，∴2<2a <8,6<3b <24 ∴8<2a ＋3b <32.∵2<b <8，∴－8<－b <－2. 又∵1<a <4，∴1＋(－8)<a ＋(－b )<4＋(－2)， 即－7<a －b <2.故8<2a ＋3b <32，－7<a －b <2.[变式] (1)在本例条件下，求a b的取值范围．(2)若本例改为：已知1≤a ＋b ≤5，－1≤a －b ≤3，求3a －2b 的范围． [解] (1)∵2<b <8，∴18<1b <12，又1<a <4，∴18<a b<2. (2)设x ＝a ＋b ，y ＝a －b ， 则a ＝x ＋y2，b ＝x －y2，∵1≤x ≤5，－1≤y ≤3，∴3a －2b ＝12x ＋52y .又12≤12x ≤52，－52≤52y ≤152， ∴－2≤12x ＋52y ≤10.即－2≤3a －2b ≤10.同向不等式具有可加性与可乘性，但是不能相减或相除，应用时，要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意变形的等价性．[针对训练]7．已知－12≤α<β≤12，求α＋β2、α－β3的取值范围．[解] ∵－12≤α<β≤12，∴－14≤α2<14，－14<β2≤14.两式相加得－12<α＋β2<12.∵－16≤α3<16，－16≤－β3<16，两式相加得－13≤α－β3<13.又∵α<β，∴α－β3<0，∴－13≤α－β3<0.课堂归纳小结1．作差法比较大小的一般步骤 第一步：作差；第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“积”； 第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0(不确定的要分情况讨论)． 最后得结论．概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键．2．在利用不等式的性质进行证明、判断或者推理过程中，要注意性质成立的条件，不能出现同向不等式相减、相除的情况，要特别注意同向不等式相乘的条件为同为正.1．下列说法正确的为( )A ．若1x ＝1y，则x ＝yB ．若x 2＝1，则x ＝1 C ．若x ＝y ，则x ＝yD ．若x <y ，则x 2<y 2[解析] ∵1x ＝1y，且x ≠0，y ≠0，两边同乘以xy ，得x ＝y .[答案] A2．设a ，b 为非零实数，若a <b ，则下列不等式成立的是( ) A ．a 2<b 2B ．ab 2<a 2bC ．1ab 2<1a 2bD ．b a <a b[解析] 用a ＝－1，b ＝1，试之，易排除A ，D.再取a ＝1，b ＝2，易排除B. [答案] C3．下列命题中正确的个数是( ) ①若a >b ，b ≠0，则a b>1； ②若a >b ，且a ＋c >b ＋d ，则c >d ； ③若a >b ，且ac >bd ，则c >d . A ．0 B ．1 C ．2 D ．3[解析] ①若a ＝2，b ＝－1，则不符合；②取a ＝10，b ＝2，c ＝1，d ＝3，虽然满足a >b 且a ＋c >b ＋d ，但不满足c >d ，故错；③当a ＝－2，b ＝－3，取c ＝－1，d ＝2，则不成立．[答案] A4．若x ≠2或y ≠－1，M ＝x 2＋y 2－4x ＋2y ，N ＝－5，则M 与N 的大小关系为________． [解析] ∵x ≠2或y ≠－1，∴M －N ＝x 2＋y 2－4x ＋2y ＋5＝(x －2)2＋(y ＋1)2>0，∴M >N . [答案] M >N5．若－1≤a ≤3,1≤b ≤2，则a －b 的范围为________． [解析] ∵－1≤a ≤3，－2≤－b ≤－1， ∴－3≤a －b ≤2. [答案] －3≤a －b ≤2课后作业(十)复习巩固一、选择题1．李辉准备用自己节省的零花钱买一台学习机，他现在已存60元．计划从现在起以后每个月节省30元，直到他至少有400元．设x 个月后他至少有400元，则可以用于计算所需要的月数x 的不等式是( )A ．30x －60≥400B ．30x ＋60≥400C ．30x －60≤400D ．30x ＋40≤400[解析] x 月后他至少有400元，可表示成30x ＋60≥400. [答案] B2．已知a >b ，c >d ，且c ，d 不为0，那么下列不等式一定成立的是( ) A ．ad >bc B ．ac >bd C ．a ＋c >b ＋dD ．a －c >b －d[解析] 由a >b ，c >d 得a ＋c >b ＋d ，故选C. [答案] C3．设a ＝3x 2－x ＋1，b ＝2x 2＋x ，则( ) A ．a >b B ．a <b C ．a ≥bD ．a ≤b[解析] a －b ＝(3x 2－x ＋1)－(2x 2＋x ) ＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2≥0， ∴a ≥b . [答案] C4．已知：a ，b ，c ，d ∈R ，则下列命题中必成立的是( ) A ．若a >b ，c >b ，则a >c B ．若a >－b ，则c －a <c ＋b C ．若a >b ，c <d ，则a c >bdD ．若a 2>b 2，则－a <－b[解析] 选项A ，若a ＝4，b ＝2，c ＝5，显然不成立；选项C 不满足倒数不等式的条件，如a >b >0，c <0<d 时，不成立；选项D 只有a >b >0时才可以．否则如a ＝－1，b ＝0时不成立，故选B.[答案] B5．若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是( ) A ．－2<α－β<0 B ．－2<α－β<－1 C ．－1<α－β<0D ．－1<α－β<1[解析] 由－1<α<1，－1<β<1，得－1<－β<1， ∴－2<α－β<2.又∵α<β，故知－2<α－β<0. [答案] A 二、填空题6．武广铁路上，高速列车跑出了350 km/h 的高速度，但这个速度的2倍再加上100 km/h ，还超不过波音飞机的最低时速，可这个速度已经超过了普通客车的3倍，设高速列车速度为v 1，波音飞机速度为v 2，普通客车速度为v 3.则三种交通工具速度的不等关系分别为________________．[答案] 2v 1＋100≤v 2，v 1>3v 37．若x ∈R ，则x 1＋x 2与12的大小关系为________．[解析] ∵x1＋x 2－12＝2x －1－x 22(1＋x 2)＝－(x －1)22(1＋x 2)≤0，∴x1＋x 2≤12. [答案]x1＋x 2≤128．已知不等式：①a <0<b ；②b <a <0；③b <0<a ；④0<b <a ；⑤b <a 且ab >0；⑥a <b 且ab <0.其中能使1a <1b成立的是________．[解析] 因为1a <1b ⇔b －aab<0⇔b －a 与ab 异号，然后再逐个进行验证，可知①②④⑤⑥都能使1a <1b.[答案] ①②④⑤⑥ 三、解答题9．若a >0，b >0，求证：b 2a ＋a 2b≥a ＋b .[证明] ∵b 2a ＋a 2b －a －b ＝(a －b )⎝ ⎛⎭⎪⎫a b －b a ＝(a －b )2(a ＋b )ab .∵(a －b )2≥0恒成立，且a >0，b >0，∴a ＋b >0，ab >0. ∴(a －b )2(a ＋b )ab ≥0.∴b 2a ＋a2b≥a ＋b .10．已知12<a <60,15<b <36，求a －b ，ab的取值范围． [解] ∵15<b <36，∴－36<－b <－15， ∴12－36<a －b <60－15.∴－24<a －b <45. 又136<1b <115，∴1236<a b <6015.∴13<a b<4. 综合运用11．设a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则( )A ．ac >bcB ．1a <1bC ．a 2>b 2D ．a 3>b 3[解析] A 选项中，若c ≤0则不成立；B 选项中，若a 为正数b 为负数则不成立；C 选项中，若a ，b 均为负数则不成立，故选D.[答案] D12．若a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则下列不等式中正确的是( )A ．ab >acB ．ac >bcC ．a |b |>c |b |D ．a 2>b 2>c 2[解析] 由a >b >c 及a ＋b ＋c ＝0知a >0，c <0，又∵a >0，b >c ，∴ab >ac .[答案] A13．已知a 、b 为非零实数，且a <b ，则下列命题成立的是________．①a 2b <ab 2；②1ab 2<1a 2b ；③b a <a b .[解析] 当a <0，b >0时，a 2b >0，ab 2<0，∴a 2b >ab 2，1a 2b >1ab 2，①错，②对；当a ＝－1，b ＝1时，b a ＝a b＝－1，故③错．[答案] ②14．若x >1，－1<y <0，则x ，y ，－y ，－xy 由小到大的顺序是________________(用“<”连接)．[解析] ∵x >1，－1<y <0，∴0<－y <x .∵－y －(－xy )＝y (x －1)<0，∴－y <－xy ，∵x －(－xy )＝x (1＋y )>0，∴－xy <x ，∴y <－y <－xy <x .[答案] y <－y <－xy <x15．已知：－4≤a －c ≤－1，－1≤4a －c ≤5，求：9a －c 的范围． [解] 令⎩⎪⎨⎪⎧ a －c ＝x 4a －c ＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝13(y －x )c ＝13(y －4x ).∴9a －c ＝83y －53x∵－4≤x ≤－1，∴53≤－53x ≤203① ∵－1≤y ≤5，∴－83≤83y ≤403② ①和②相加，得－1≤83y －53x ≤20 ∴－1≤9a －c ≤20.。

2.1 等式性质与不等式性质最新课程标准：梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质．知识点一实数大小比较1．文字叙述如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b等于0，那么a＝b；如果a－b是负数，那么a<b，反之也成立．2．符号表示a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a<b.状元随笔比较两实数a，b的大小，只需确定它们的差a －b与0的大小关系，与差的具体数值无关．因此，比较两实数a，b的大小，其关键在于经过适当变形，能够确认差a －b的符号，变形的常用方法有配方、分解因式等．知识点二不等式的性质}a>b c>0⇒ac>bc}a>b c<0⇒ac<bca>b c>d⇒a＋c>b＋da>b c>d>0⇒ac>bd状元随笔 (1)性质3是移项的依据．不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边．即a ＋b>c ⇒a>c －b.性质3是可逆性的，即a>b ⇔a ＋c>b ＋c.(2)注意不等式的单向性和双向性．性质1和3是双向的，其余的在一般情况下是不可逆的．(3)在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件．不可强化或弱化成立的条件．要克服“想当然”“显然成立”的思维定势．[教材解难]教材P 40思考等式有下面的基本性质： 性质1 如果a ＝b ，那么b ＝a ； 性质2 如果a ＝b ，b ＝c ，那么a ＝c ； 性质3 如果a ＝b ，那么a ±c ＝b ±c ； 性质4 如果a ＝b ，那么ac ＝bc ； 性质5 如果a ＝b ，c ≠0，那么a c ＝bc.[基础自测]1．大桥桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是提示司机要安全通过该桥，应使车和货物的总质量T 满足关系( )A ．T <40B ．T >40C ．T ≤40 D．T ≥40解析：“限重40吨”是不超过40吨的意思． 答案：C2．设M ＝x 2，N ＝－x －1，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M >N B ．M ＝N C ．M <N D ．与x 有关解析：因为M －N ＝x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34>0，所以M >N .答案：A3．已知x <a <0，则一定成立的不等式是( ) A ．x 2<a 2<0 B ．x 2>ax >a 2C ．x 2<ax <0 D ．x 2>a 2>ax解析：因为x<a<0，不等号两边同时乘a，则ax>a2；不等号两边同时乘x，则x2>ax，故x2>ax>a2.答案：B4．若1≤a≤5，－1≤b≤2，则a－b的取值范围为________．解析：因为－1≤b≤2，所以－2≤－b≤1，又1≤a≤5，所以－1≤a－b≤6.答案：－1≤a－b≤6题型一比较大小[教材P38例1]例1 比较(x＋2)(x＋3)和(x＋1)(x＋4)的大小．【解析】因为(x＋2)(x＋3)－(x＋1)(x＋4)＝(x2＋5x＋6)－(x2＋5x＋4)＝2>0，所以(x＋2)(x＋3)>(x＋1)(x＋4)．状元随笔通过考察这两个多项式的差与0的大小关系，可以得出它们的大小关系.教材反思用作差法比较两个实数大小的四步曲跟踪训练1 若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)与g(x)的大小关系是( ) A．f(x)<g(x)B．f(x)＝g(x)C．f(x)>g(x)D．随x值变化而变化解析：f(x)－g(x)＝(3x2－x＋1)－(2x2＋x－1)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0，所以f(x)>g(x)．故选C.作差→变形→判断差的符号→结合差的符号判定大小题型二 不等式的性质[经典例题] 分析条件→利用不等式性质逐一判断例2 对于实数a 、b 、c ，有下列说法： ①若a >b ，则ac <bc ； ②若ac 2>bc 2，则a >b ； ③若a <b <0，则a 2>ab >b 2； ④若c >a >b >0，则ac －a >bc －b；⑤若a >b ，1a >1b，则a >0，b <0.其中正确的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【解析】 对于①，令c ＝0，则有ac ＝bc .①错． 对于②，由ac 2>bc 2，知c ≠0， ∴c 2>0⇒a >b .②对． 对于③，由a <b <0， 两边同乘以a 得a 2>ab ， 两边同乘以b 得ab >b 2， ∴a 2>ab >b 2.③对． 对于④，⎭⎪⎬⎪⎫c >a >b >0⇒c －a >0，c －b >0a >b ⇒－a <－b ⇒c －a <c －b ⇒0<c －a <c －b⇒⎭⎪⎬⎪⎫1c －a >1c －b >0a >b >0⇒a c －a >b c －b .④对．对于⑤，⎭⎪⎬⎪⎫a >b ⇒a －b >01a >1b ⇒b －a ab >0⇒⎭⎪⎬⎪⎫ab <0a >b⇒a >0，b <0.⑤对．答案：C 方法归纳(1)首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不凭想当然随意捏造性质． (2)解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．跟踪训练2 (1)已知a <b ，那么下列式子中，错误的是( ) A.4a <4b B ．－4a <－4b C ．a ＋4<b ＋4 D ．a －4<b －4(2)对于任意实数a ，b ，c ，d ，下列命题中正确的是( ) A ．若a >b ，c ≠0，则ac >bc B ．若a >b ，则ac 2>bc 2C ．若ac 2>bc 2，则a >b D ．若a >b ，则1a <1b解析：(1)根据不等式的性质，a <b,4>0⇒4a <4b ，A 项正确；a <b ，－4<0⇒－4a >－4b ，B 项错误；a <b ⇒a ＋4<b ＋4，C 项正确；a <b ⇒a －4<b －4，D 项正确．利用不等式的性质，解题关键找准使不等式成立的条件．(2)对于选项A ，当c <0时，不正确；对于选项B ，当c ＝0时，不正确；对于选项C ，∵ac 2>bc 2，∴c ≠0，∴c 2>0，∴一定有a >b .故选项C 正确；对于选项D ，当a >0，b <0时，不正确．答案：(1)B (2)C题型三 利用不等式性质求范围[经典例题]例3 已知－2<a ≤3,1≤b <2，试求下列代数式的取值范围： (1)|a |；(2)a ＋b ；(3)a －b ；(4)2a －3b . 【解析】 (1)|a |∈[0,3]；(2)－1<a ＋b <5；(3)依题意得－2<a ≤3，－2<－b ≤－1，相加得－4<a －b ≤2； (4)由－2<a ≤3得－4<2a ≤6 ①， 由1≤b <2得－6<－3b ≤－3 ②， 由①②得，－10<2a －3b ≤3.状元随笔 运用不等式性质研究代数式的取值范围，关键是把握不等号的方向.方法归纳利用不等式性质求范围的一般思路(1)借助性质，转化为同向不等式相加进行解答； (2)借助所给条件整体使用，切不可随意拆分所给条件； (3)结合不等式的传递性进行求解．跟踪训练3 已知实数x ，y 满足：1<x <2<y <3， (1)求xy 的取值范围； (2)求x －2y 的取值范围．解析：(1)∵1<x <2<y <3，∴1<x <2,2<y <3，则2<xy <6，则xy 的取值范围是(2,6)． (2)由(1)知1<x <2,2<y <3，从而－6<－2y <－4，则－5<x －2y <－2，即x －2y 的取值范围是(－5，－2)．状元随笔 (1)根据不等式的性质6可直接求解；(2)求出－2y 的取值范围后，利用不等式的性质5即可求x －2y 的取值范围.课时作业 7一、选择题1．若A ＝a 2＋3ab ，B ＝4ab －b 2，则A 、B 的大小关系是( ) A ．A ≤B B ．A ≥B C ．A <B 或A >B D ．A >B解析：因为A －B ＝a 2＋3ab －(4ab －b 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 22＋34b 2≥0，所以A ≥B .答案：B2．已知：a ，b ，c ，d ∈R ，则下列命题中必成立的是( ) A ．若a >b ，c >b ，则a >c B ．若a >－b ，则c －a <c ＋b C ．若a >b ，c <d ，则a c >bdD ．若a 2>b 2，则－a <－b解析：选项A ，若a ＝4，b ＝2，c ＝5，显然不成立；选项C 不满足倒数不等式的条件，如a >b >0，c <0<d 时，不成立；选项D 只有a >b >0时才可以．否则如a ＝－1，b ＝0时不成立．答案：B3．若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是( ) A ．－2<α－β<0 B ．－2<α－β<－1 C ．－1<α－β<0 D ．－1<α－β<1 解析：∵－1<β<1，∴－1<－β<1. 又－1<α<1，∴－2<α＋(－β)<2，又α<β，∴α－β<0，即－2<α－β<0.故选A. 答案：A4．有四个不等式：①|a |>|b |；②a <b ；③a ＋b <ab ；④a 3>b 3.若1a <1b<0，则不正确的不等式的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：由1a <1b<0可得b <a <0，从而|a |<|b |，①不正确；a >b ，②不正确；a ＋b <0，ab >0，则a ＋b <ab 成立，③正确；a 3>b 3，④正确．故不正确的不等式的个数为2.答案：C 二、填空题5．已知a ，b 均为实数，则(a ＋3)(a －5)________(a ＋2)(a －4)(填“>”“<”或“＝”)．解析：因为(a ＋3)(a －5)－(a ＋2)(a －4)＝(a 2－2a －15)－(a 2－2a －8)＝－7<0，所以(a ＋3)(a －5)<(a ＋2)(a －4)．答案：<6．如果a >b ，那么c －2a 与c －2b 中较大的是________． 解析：c －2a －(c －2b )＝2b －2a ＝2(b －a )<0. 答案：c －2b 7．给定下列命题：①a >b ⇒a 2>b 2；②a 2>b 2⇒a >b ；③a >b ⇒b a<1；④a >b ，c >d ⇒ac >bd ；⑤a >b ，c >d ⇒a －c >b－d .其中错误的命题是________(填写相应序号)．解析：由性质7可知，只有当a >b >0时，a 2>b 2才成立，故①②都错误；对于③，只有当a >0且a >b 时，b a<1才成立，故③错误；由性质6可知，只有当a >b >0，c >d >0时，ac >bd 才成立，故④错误；对于⑤，由c >d 得－d >－c ，从而a －d >b －c ，故⑤错误．答案：①②③④⑤三、解答题8．已知x <1，比较x 3－1与2x 2－2x 的大小． 解析：x 3－1－(2x 2－2x )＝x 3－2x 2＋2x －1 ＝(x 3－x 2)－(x 2－2x ＋1)＝x 2(x －1)－(x －1)2＝(x －1)(x 2－x ＋1)＝(x －1)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34，因为x <1，所以x －1<0，又因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，所以(x －1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34<0， 所以x 3－1<2x 2－2x .9．若bc －ad ≥0，bd >0.求证：a ＋b b ≤c ＋dd. 证明：因为bc －ad ≥0，所以ad ≤bc ， 因为bd >0，所以a b ≤cd， 所以a b ＋1≤c d ＋1，所以a ＋b b ≤c ＋dd. [尖子生题库]10．设f (x )＝ax 2＋bx,1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，求f (－2)的取值范围． 解析：方法一 设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1)(m ，n 为待定系数)， 则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )＝(m ＋n )a ＋(n －m )b ， 于是得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4n －m ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1)． 又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4. ∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10， 故f (－2)的取值范围是[5,10]．方法二 由⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝a －bf (1)＝a ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12[f (－1)＋f (1)]b ＝12[f (1)－f (－1)]，∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)．又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故f(－2)的取值范围是[5,10].。