2015上海中学高三月考数学

2015-2016学年上海市杨浦高级中学高三（下）3月月考数学试卷（理科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）抛物线y2＝x的焦点F坐标为．2．（4分）已知全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，集合，则∁U A ＝．3．（4分）如果＝，那么a的取值范围是．4．（4分）关于x的方程：4x•|4x﹣2|＝3的解为．5．（4分）不等式的解集为．6．（4分）向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若（λ，μ∈R），则＝．7．（4分）已知数列{a n}满足（n∈N*），则a2n＝．8．（4分）在（2x+y+z）10的展开式中，x3y2z5的系数为．9．（4分）在极坐标系中，将圆ρ＝2沿着极轴正方向平移两个单位后，再绕极点逆时针旋转弧度，则所得的曲线的极坐标方程为．10．（4分）5位好朋友相约乘坐迪士尼乐园的环园小火车．小火车的车厢共有4节，设每一位乘客进入每节车厢是等可能的，则这5位好朋友无人落单（即一节车厢内，至少有5人中的2人）的概率是．11．（4分）已知定义在R上的函数y＝f（x）对于任意的x都满足f（x+2）＝f（x）．当﹣1≤x＜1时，f（x）＝x3．若函数g（x）＝f（x）﹣log a|x|至少有6个零点，则a的取值范围是．12．（4分）一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b（a，b≠0），不得分的概率为．若他投篮一次得分ξ的数学期望，则a的取值范围是．13．（4分）在实数集R中，我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”，类似地，我们在复数集C上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“›”．定义如下：对于任意两个复数z1＝a1+b1i，z2＝a2+b2i（a1，b1，a2，b2∈R，i为虚数单位），“z1›z2”当且仅当“a1＞a2”或“a1＝a2且b1＞b2”．下面命题：①1›i›0；②若z1›z2，z2›z3，则z1›z3；③若z1›z2，则对于任意z∈C，z1+z›z2+z；④对于复数z›0，若z1›z2，则z•z1›z•z2．其中真命题是．（写出所有真命题的序号）14．（4分）符号表示数列{a n}的前n项和（即）．已知数列{a n}满足a1＝0，a n≤a n+1≤a n+1（n∈N*），记，若S2016＝0，则当取最小值时，a2016＝．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填写结果，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）在样本的频率分布直方图中，共有9个小长方形，若第1个长方形的面积为0.02，前5个与后5个长方形的面积分别成等差数列且公差互为相反数，若样本容量为160，则中间一组（即第5组）的频数为（）A．12B．24C．36D．4816．（5分）已知F为双曲线C：x2﹣my2＝3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）A．B．3C．m D．3m17．（5分）将函数y＝cos x+sin x（x∈R）的图象向左平移m（m＞0）个长度单位后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）A．B．C．D．18．（5分）在半径为r的球内有一内接正三棱锥，它的底面三个顶点恰好都在同一个大圆上，一个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动，经过其余三点后返回，则经过的最短路程是（）A．2πr B．C．D．三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）如图：已知四棱锥P﹣ABCD，底面是边长为6的正方形，P A＝8，P A⊥面ABCD，点M是CD的中点，点N是PB的中点，连接AM、AN、MN．（1）求证：AB⊥MN；（2）求二面角N﹣AM﹣B的大小．20．（14分）已知向量和向量，且．（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；（2）已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，若有＝1，，求△ABC面积的最大值．21．（14分）某地拟模仿图（1）建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓线如图（2）所示：曲线AB是以点E为圆心的圆的一部分，其中E（0，t）曲线BC是抛物线y＝﹣ax2+30（a＞0）的一部分；CD⊥AD，且CD恰好等于圆E的半径．（1）若要求CD＝20米，AD＝（10+30）米，求t与a值；（2）当0＜t≤10时，若要求体育馆侧面的最大宽度DF不超过45米，求a的取值范围．22．（16分）如图数表：，每一行都是首项为1的等差数列，第m行的公差为d m，且每一列也是等差数列，设第m行的第k项为a mk（m，k＝1，2，3，…，n，n≥3，n∈N*）．（1）证明：d1，d2，d3成等差数列，并用m，d1，d2表示d m（3≤m≤n）；（2）当d1＝1，d2＝3时，将数列{d m}分组如下：（d1），（d2，d3，d4），（d5，d6，d7，d8，d9），…（每组数的个数构成等差数列）．设前m 组中所有数之和为，求数列的前n项和S n；（3）在（2）的条件下，设N是不超过20的正整数，当n＞N时，求使得不等式恒成立的所有N的值．23．（18分）如图，圆O与直线x+y+2＝0相切于点P，与x正半轴交于点A，与直线y ＝x在第一象限的交点为B．点C为圆O上任一点，且满足＝x+y，以x，y 为坐标的动点D（x，y）的轨迹记为曲线Γ．（1）求圆O的方程及曲线Γ的方程；（2）若两条直线l1：y＝kx和l2：y＝﹣x分别交曲线Γ于点E、F和M、N，求四边形EMFN 面积的最大值，并求此时的k的值．（3）根据曲线Γ的方程，研究曲线Γ的对称性，并证明曲线Γ为椭圆．2015-2016学年上海市杨浦高级中学高三（下）3月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）抛物线y2＝x的焦点F坐标为（，0）．【解答】解：抛物线y2＝x的焦点在x轴的正半轴上，且p＝，∴＝，故焦点坐标为（，0），故答案为：（，0）．2．（4分）已知全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，集合，则∁U A ＝{0}．【解答】解：∵x∈Z∴能被2整除的数有﹣2，﹣1，1，2则x＝﹣2，﹣1，1，2即A＝{﹣2，﹣1，1，2}而U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则∁U A＝{0}故答案为：{0}3．（4分）如果＝，那么a的取值范围是（﹣4，2）．【解答】解：＝，可得＝，可得，解得a∈（﹣4，2）．故答案为：（﹣4，2）．4．（4分）关于x的方程：4x•|4x﹣2|＝3的解为x＝log43．【解答】解：令4x＝t，（t＞0）．则当t≥2时，t2﹣2t﹣3＝0，解得t＝3或t＝﹣1（舍）．∴x＝log43．当0＜t＜2时，t（2﹣t）＝3，即t2﹣2t+3＝0，方程无解．故答案为：x＝log43．5．（4分）不等式的解集为．【解答】解：等价于lgx++2＝+2≥0，即，解得0＜x≤或x＞1，故不等式的解集为．故答案为：．6．（4分）向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若（λ，μ∈R），则＝4．【解答】解：以向量、的公共点为坐标原点，建立如图直角坐标系可得＝（﹣1，1），＝（6，2），＝（﹣1，﹣3）∵∴，解之得λ＝﹣2且μ＝﹣因此，＝＝4故答案为：47．（4分）已知数列{a n}满足（n∈N*），则a2n＝2n．【解答】解：由①，得a2＝2，且（n≥2）②，①÷②得：，∴数列{a n}的偶数项构成以2为首项，以2为公比的等比数列，则．故答案为：2n．8．（4分）在（2x+y+z）10的展开式中，x3y2z5的系数为20160．【解答】解：由题意，在（2x+y+z）10的展开式中，含有x3y2z5的项为，所以系数为8××＝20160．故答案为：20160．9．（4分）在极坐标系中，将圆ρ＝2沿着极轴正方向平移两个单位后，再绕极点逆时针旋转弧度，则所得的曲线的极坐标方程为ρ＝4cos（θ﹣）．【解答】解：圆ρ＝2的圆心为（0，0），半径为2；沿着极轴正方向平移两个单位后，圆心为（2，0），半径为2；绕极点按逆时针方向旋转，所得圆的圆心为（2，），半径为2；设p为所求圆上任意一点，则OP＝ρ＝2×2cos（θ﹣）＝4cos（θ﹣）．故答案为：ρ＝4cos（θ﹣）．10．（4分）5位好朋友相约乘坐迪士尼乐园的环园小火车．小火车的车厢共有4节，设每一位乘客进入每节车厢是等可能的，则这5位好朋友无人落单（即一节车厢内，至少有5人中的2人）的概率是．【解答】解：5位好朋友相约乘坐迪士尼乐园的环园小火车．小火车的车厢共有4节，设每一位乘客进入每节车厢是等可能的，则基本事件总数n＝45，这5位好朋友无人落单（即一节车厢内，至少有5人中的2人）包含的基本事件个数：m＝+，∴这5位好朋友无人落单（即一节车厢内，至少有5人中的2人）的概率：p＝＝＝．故答案为：．11．（4分）已知定义在R上的函数y＝f（x）对于任意的x都满足f（x+2）＝f（x）．当﹣1≤x＜1时，f（x）＝x3．若函数g（x）＝f（x）﹣log a|x|至少有6个零点，则a的取值范围是（0，]∪（5，+∞）．【解答】解：根据题意，函数g（x）＝f（x）﹣log a|x|的零点个数，即函数y＝f（x）与y＝log a|x|的交点的个数；f（x+2）＝f（x），函数f（x）是周期为2的周期函数，又由当﹣1＜x≤1时，f（x）＝x3，据此可以做出f（x）的图象，y＝log a|x|是偶函数，当x＞0时，y＝log a x，则当x＜0时，y＝log a（﹣x），做出y＝log a|x|的图象，结合图象分析可得：要使函数y＝f（x）与y＝log a|x|至少有6个交点，则log a5＜1 或log a5≥﹣1，解得a＞5，或0＜a≤．所以a的取值范围是（0，]∪（5，+∞）．故答案为：（0，]∪（5，+∞）．12．（4分）一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b（a，b≠0），不得分的概率为．若他投篮一次得分ξ的数学期望，则a的取值范围是（，）．【解答】解：∵一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b（a，b≠0），不得分的概率为．∴a+b+＝1，∴，∵0＜a＜1，0＜b＜1，∴0＜a＜，∵投篮一次得分ξ的数学期望，∴3a+2b＝3a+2（﹣a）＞，解得a＞，综上，．故答案为：（，）．13．（4分）在实数集R中，我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”，类似地，我们在复数集C上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“›”．定义如下：对于任意两个复数z1＝a1+b1i，z2＝a2+b2i（a1，b1，a2，b2∈R，i为虚数单位），“z1›z2”当且仅当“a1＞a2”或“a1＝a2且b1＞b2”．下面命题：①1›i›0；②若z1›z2，z2›z3，则z1›z3；③若z1›z2，则对于任意z∈C，z1+z›z2+z；④对于复数z›0，若z1›z2，则z•z1›z•z2．其中真命题是①②③．（写出所有真命题的序号）【解答】解：①．∵1＝1+0•i，i＝0+1•i，∵实部1＞0，∴1›i．又0＝0+0•i，∵实部0＝0，虚部1＞0，∴i›0，∴1›i›0，所以①正确．②设z k＝a k+b k i，k＝1，2，3，a k，b k∈R．∵z1›z2，z2›z3，∴a1≥a2，a2≥a3，∴a1≥a3．则当a1＞a3时，可得z1›z3；当a1＝a3时，有b1＞b2＞b3，可得z1›z3，∴②正确；③令z＝a+bi（a，b∈R），∵z1›z2，∴a1≥a2，∴a1+a≥a2+a，当a1＝a2时，b1＞b2，故a1+a＝a2+a，b1+b＞b2+b，可得z1+z›z2+z；当a1＞a2时，a1+a＞a2+a，可得z1+z›z2+z；∴③正确；④取z＝0+i＞0，z1＝a1+b1i，z2＝a2+b2i，（a k，b k∈R，k＝1，2），不妨令a1＝a2，b1＞b2，则z1›z2，此时z•z1＝﹣b1+a1i，z•z2＝﹣b2+a2i，不满足z•z1›z•z2．故④不正确．由以上可知：只有①②③正确．故答案为：①②③．14．（4分）符号表示数列{a n}的前n项和（即）．已知数列{a n}满足a1＝0，a n≤a n+1≤a n+1（n∈N*），记，若S2016＝0，则当取最小值时，a2016＝1007．【解答】解：S2016＝0，（﹣1）k＝0，即＝，∵a n≤a n+1，（n∈N*），0＜a＜1，∴≥，∴a2k﹣1＝a2k，k∈{1，2，3，4，…，1008}，∵a1＝0，a n≤a n+1≤a n+1（n∈N*），∴当取最小值，∴a2016＝1007，故答案为：1007．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填写结果，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）在样本的频率分布直方图中，共有9个小长方形，若第1个长方形的面积为0.02，前5个与后5个长方形的面积分别成等差数列且公差互为相反数，若样本容量为160，则中间一组（即第5组）的频数为（）A．12B．24C．36D．48【解答】解：设公差为d，那么9个小长方形的面积分别为0.02，0.02+d，0.02+2d，0.02+3d，0.02+4d，0.02+3d，0.02+2d，0.02+d，0.02，而9个小长方形的面积和为1，可得0.18+16d＝1 可以求得d＝∴中间一组的频数为：160×（0.02+4d）＝36．故选：C．16．（5分）已知F为双曲线C：x2﹣my2＝3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）A．B．3C．m D．3m【解答】解：双曲线C：x2﹣my2＝3m（m＞0）可化为，∴一个焦点为（，0），一条渐近线方程为＝0，∴点F到C的一条渐近线的距离为＝．故选：A．17．（5分）将函数y＝cos x+sin x（x∈R）的图象向左平移m（m＞0）个长度单位后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）A．B．C．D．【解答】解：y＝cos x+sin x＝2（cos x+sin x）＝2sin（x+），∴图象向左平移m（m＞0）个单位长度得到y＝2sin[（x+m）+]＝2sin（x+m+），∵所得的图象关于y轴对称，∴m+＝kπ+（k∈Z），则m的最小值为．故选：B．18．（5分）在半径为r的球内有一内接正三棱锥，它的底面三个顶点恰好都在同一个大圆上，一个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动，经过其余三点后返回，则经过的最短路程是（）A．2πr B．C．D．【解答】解：由题意可知，球面上两点之间最短的路径是大圆（圆心为球心）的劣弧的弧长，内接正三棱锥，它的底面三个顶点恰好同在一个大圆上，一个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动，经过其余三点后返回，例如动点从A到S，再到C，到B回到A，∠SOA＝∠SOC＝90°，∠COB＝∠BOA＝60°，则经过的最短路程为：一个半圆一个圆，即：＝故选：B．三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）如图：已知四棱锥P﹣ABCD，底面是边长为6的正方形，P A＝8，P A⊥面ABCD，点M是CD的中点，点N是PB的中点，连接AM、AN、MN．（1）求证：AB⊥MN；（2）求二面角N﹣AM﹣B的大小．【解答】（1）证明：分别以AD、AB、AP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A（0，0，0）、B（0，6，0）、M（6，3，0）、N（0，3，4），得，，∴，∴AB⊥MN．（2）解：取平面AMB的一个法向量为，设平面AMN的法向量，又，，由，取平面AMN的一个法向量，设二面角N﹣AM﹣B为α，则＝，∴二面角N﹣AM﹣B的大小为．20．（14分）已知向量和向量，且．（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；（2）已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，若有＝1，，求△ABC面积的最大值．【解答】解：（1）由题意：可得：⇔f（x）的最小正周期T＝sin x的图象和性质可知：sin（x+）的最大值是1，∴的最大值是2．所以：函数f（x）的最小正周期为2π，最大值为2．（2）由（1）可知．∵＝1，得：，∵0＜A＜π，∴，∴，解得：．又∵，即，∴b2+c2﹣bc＝3，又∵b2+c2≥2bc（当且仅当b＝c时取等号），则有：3+bc≥2bc，∴bc≤3，∴，所以：△ABC面积的最大值为：．21．（14分）某地拟模仿图（1）建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓线如图（2）所示：曲线AB是以点E为圆心的圆的一部分，其中E（0，t）曲线BC是抛物线y＝﹣ax2+30（a＞0）的一部分；CD⊥AD，且CD恰好等于圆E的半径．（1）若要求CD＝20米，AD＝（10+30）米，求t与a值；（2）当0＜t≤10时，若要求体育馆侧面的最大宽度DF不超过45米，求a的取值范围．【解答】解：（1）因为CD＝30﹣t＝20，解得t＝10；…3分此时圆E：x2+（y﹣10）2＝202，令y＝0，得AO＝10，所以OD＝AD﹣AO＝30，将点C（30，20）代入y＝﹣ax2+30（a＞0）中，解得；…7分（2）因为圆E的半径为30﹣t，所以CD＝30﹣t，在y＝﹣ax2+30中，令y＝30﹣t，解得，则由题意知对t∈（0，10]恒成立，…9分所以恒成立，而，当，即t＝15∉（0，10]时，由（）递减，可知：当t＝10取最小值；…12分故，解得．…14分．22．（16分）如图数表：，每一行都是首项为1的等差数列，第m行的公差为d m，且每一列也是等差数列，设第m行的第k项为a mk（m，k＝1，2，3，…，n，n≥3，n∈N*）．（1）证明：d1，d2，d3成等差数列，并用m，d1，d2表示d m（3≤m≤n）；（2）当d1＝1，d2＝3时，将数列{d m}分组如下：（d1），（d2，d3，d4），（d5，d6，d7，d8，d9），…（每组数的个数构成等差数列）．设前m 组中所有数之和为，求数列的前n项和S n；（3）在（2）的条件下，设N是不超过20的正整数，当n＞N时，求使得不等式恒成立的所有N的值．【解答】解：（1）∵每一行都是首项为1的等差数列，∴a1n＝1+（n﹣1）d1，a2n＝1+（n﹣1）d2，a3n＝1+（n﹣1）d3．∵每一列也是等差数列，∴2a2n＝a1n+a3n，∴2+2（n﹣1）d2＝1+（n﹣1）d1+1+（n﹣1）d3，即2d2＝d1+d3∴d1，d2，d3成等差数列．∵a mn＝1+（n﹣1）d m，a mn＝a1n+（m﹣1）（a2n﹣a1n）＝a1n+（m﹣1）（a2n﹣a1n）＝1+（n﹣1）d1+（m﹣1）（n﹣1）（d2﹣d1），∴1+（n﹣1）d m＝1+（n﹣1）d1+（m﹣1）（n﹣1）（d2﹣d1）化简得d m＝（2﹣m）d1+（m﹣1）d2．（2）当d1＝1，d2＝3时，d m＝2m﹣1（m∈N*），按数列{d m}分组规律，第m组中有2m﹣1个数，所以第1组到第m组共有1+3+5+…+（2m﹣1）＝m2个数．则前m组的所有数字和为，∴，∵c m＞0，∴c m＝m，从而，m∈N*，∴S n＝1×2+3×22+5×23+…+（2n﹣1）×2n，∴2S n＝1×22+3×23+…+（2n﹣1）×2n+1，∴﹣S n＝2+23+24+…+2n+1﹣（2n﹣1）×2n+1＝2+23（2n﹣1﹣1）﹣（2n﹣1）×2n+1＝（3﹣2n）×2n+1﹣6．∴．（3）由得（2n﹣3）•2n+1＞50（2n﹣1）．令a n＝（2n﹣3）•2n+1﹣50（2n﹣1）＝（2n﹣3）（2n+1﹣50）﹣100．∴当n≤5时，a n＜0，当n≥6时，a n＞0，所以，满足条件的所有正整数N＝5，6，7，8， (20)23．（18分）如图，圆O与直线x+y+2＝0相切于点P，与x正半轴交于点A，与直线y ＝x在第一象限的交点为B．点C为圆O上任一点，且满足＝x+y，以x，y 为坐标的动点D（x，y）的轨迹记为曲线Γ．（1）求圆O的方程及曲线Γ的方程；（2）若两条直线l1：y＝kx和l2：y＝﹣x分别交曲线Γ于点E、F和M、N，求四边形EMFN 面积的最大值，并求此时的k的值．（3）根据曲线Γ的方程，研究曲线Γ的对称性，并证明曲线Γ为椭圆．【解答】解：由题意：圆O与直线x+y+2＝0相切于点，利用点到直线的距离，即可求出半径，r＝∴圆的方程为：x2+y2＝1圆与x轴的交点A（1，0），与直线y＝x在第一象限的交点B为（，），由＝x+y，可得：，将代入x2+y2＝1得到：x2+y2+xy＝1，（）即为曲线Γ的方程；（2）∵两条直线l1：y＝kx和l2：y＝﹣x分别交曲线Γ于点E、F和M、N．∴联立：⇒解得：点E（，），点F（﹣，﹣）那么：|EF|＝同理：联立⇒解得：点M（，）点N（﹣，﹣）那么：|MN|＝由题意可知：l1⊥l2，所以四边形EMFN面积的为S＝|MN|•|EF|＝2×＝∵．（当且仅k＝±1时等号成立）∴⇒故当k＝±1时，四边形EMFN的面积最大，其最大值为：．（3）由（1）可知：曲线Γ的方程：x2+y2+xy＝1，（）关于直线y＝x，也关于原点对称，同时关于直线y＝﹣x对称证明：设曲线Γ上任一点的坐标为P（x0，y0），则有点P关于直线y＝x的对称点P′（y0，x0），带入方程得：，显然成立．故曲线Γ的方程关于直线y＝x对称．同理：曲线Γ的方程关于原点对称，同时关于直线y＝﹣x对称．证明曲线Γ为椭圆型曲线．证明：曲线Γ的方程：x2+y2+xy＝1和直线x＝y的交点坐标为B1（﹣，﹣），B2（，）曲线Γ的方程：x2+y2+xy＝1和直线x＝﹣y的交点坐标为A1（﹣1，1），A2（1，﹣1）|0A1|＝，|0B1|＝，那么，在y＝﹣x上取F1（﹣，，），F2（，﹣）设P（x，y）在曲线Γ的方程上的任意一点，则|PF1|+|PF2|＝＝＝＝＝＝因为xy≤，∴＝2＝|A1A2|即曲线Γ的方程上的任意一点P到两个定点F1（﹣，，），F2（，﹣）的距离之和为定值2．可以反过来证明：若点P到两个定点F1（﹣，，），F2（，﹣）的距离之和为定值2，可以求得P的轨迹方程，得到为：x2+y2+xy＝1故曲线Γ的方程是椭圆，其焦点坐标为F1（﹣，，），F2（，﹣）．。

上海高三数学第一次月考答案版(答案版)2015届高三数学第一次月考试卷2014. 09. 24时间120分钟满分150分一、填空题(本大题共有14题，满分56分)1、设A 3,4,5 ,B a, 3, a 1 ,若A=B,则实数a=42、若y f x是函数y 2x 1的反函数，则f 1 ___________ 。

3、L A知全集U R,集合A xx2 3x 0 x2x 1,则Cu A= _________ . 3, 02xf(x) (a 1)4、当x〈0时，指数函数的值总大于1,则a的取值范围为. ( 2, 1) (1,2)5、若loga22 1,则a的取值范围是__________________________ . (0,) (1, ) 332 x y 5 0 x 16、“不等式组成立”是“不等式组成立”必要非充分条件.0 xy 42 y 47、若二次函数f(x) x2 ax 4在［T, 2］具有反函数，则实数a的范围是 a 2 或a 48、方程4 29、设xx 3 48 0的解为____________________. x=2上的奇函数，F (x) af (x) bg(x) 2,若f (x), g(x)都是R-7 F(4) 3,则卩(4) ______10、f (x) ax b与y g(x)的图像关于直线y=x对称,P(0, 1)与Q(2, 3)都在y=g(x)上。

贝!］a+b= __________ .11、若f(x) logax在［2, 4］上最大值与最小值之差为2,则实数a= ________________ = 2,2 2,且a 1)的图像恒过定点A,若点A在一次函数12.函数y loga(x 1) 1 (a 0y mx n的图像上，其中m 0, n 0,贝U12的最小值为mnl的取值范围14、设f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区1, 1 上,x 0 ax f x bx1 113 ,其中 a, b R,若 f20 x 1 2 2 x 1f ，则a 2b 的值为10_o、选择题（本大题共有4题，满分2015、设 A -4, 2, a 1, a, B 9, a 5, 1 a ，已知 A B29 ，求a(A) 3 (B) 10 (C) -3 (D)10 和 316、设命题 p:x x 20 0, q:21 0,则 p 是 q（A ）充分非必要（B ）必要非充分（C ）充要（D ）既非充117.记函数y f(x)的反函数为y f(x).如果函数y f(x)的图像过点0,1 ，那么 1函数y f A. (x)1 的图像过点［答］C. (0,0). D. (2,0).( A) (1, 1). B. (0,2).x2 2x 3x 018、函数f x 的零点个数为 (C ) x 0 2 lnxA) 0 B) 1 C) 2 D) 3二、解答题（本大题共有5题，满分19.（本题满分1213+ax+ 2•如果函数y 2,1上有意义，那么实数a解关于x的方程：log29 5 log23 2 2.解：原方程为9x 5 43x 2 3x x x 2 4 3x 3 0 ,则 3 13 3 0 x 0 或x 1经检验是x 1原方程的根。

2015-2016学年上海市建平中学高三（上）12月月考数学试卷（理科）一.填空题（本大题共14题，每题4分，共56分）1．若集合A={0，m}，B={0，2}，A∪B={0，1，2}，则实数m=．2．函数y=（x≥﹣1）的反函数为．3．设集合，B={x|log4（x+a）＜1}，若A∩B=∅，则实数a的取值范围是．4．若无穷等比数列{a n}的前n项和为S n，首项为1，公比为a﹣1.5，且=a，则a=．5．直线l过点（3，﹣1），且与向量垂直，直线l的点法向式方程为．6．设一个圆锥的侧面展开图是半径为的半圆，则此圆锥的体积为．7．设f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数，f（x+2）=﹣f（x），当0≤x≤1时，f（x）=4x，=．8．函数f（x）=sinπx+cosπx+|sinπx﹣cosπx|对任意x∈R有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则|x2﹣x1|的最小值为．9．经过P（0，1）的直线l与两直线l1：x﹣3y+10=0和l2：2x+y﹣8=0分别交于P1、P2且满足，则直线l的方程为．10．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是正方体棱上的一点（不包括棱的端点），若满足|PB|+|PD1|=m的点P的个数为6，则m的取值范围是．11．如图，在等腰三角形ABC中，已知AB=AC=2，∠A=120°，E、F分别是边AB、AC上的点，且，，其中m，n∈（0，1），若EF、BC的中点分别为M、N且m+2n=1，则||的最小值是；12．已知函数f（x）=（x∈R）．下列命题：①函数f（x）既有最大值又有最小值；②函数f（x）的图象是轴对称图形；③函数f（x）在区间[﹣π，π]上共有7个零点；④函数f（x）在区间（0，1）上单调递增．其中真命题是．（填写出所有真命题的序号）13．设数列{a n}是首项为0的递增数列，，满足：对于任意的b∈[0，1），f n（x）=b总有两个不同的根，则{a n}的通项公式为．14．对于n∈N*，将n表示为n=a0×2k+a1×2k﹣1+a2×2k﹣2+…+a k﹣1×21+a k×20，i=0时，a i=1，当1≤i≤k时，a i为0或1，记I（n）为上述表示中a i为0的个数；例如4=1×22+0×21+0×20，11=1×23+0×22+1×21+1×20，故I（4）=2，I（11）=1；则2I（1）+2I（2）+…+2I（254）+2I（255）=．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）15．已知l，m，n是空间三条直线，则下列命题正确的是（）A．若l∥m，l∥n，则m∥nB．若l⊥m，l⊥n，则m∥nC．若点A、B不在直线l上，且到l的距离相等，则直线AB∥lD．若三条直线l，m，n两两相交，则直线l，m，n共面16．记方程①x2+a1x+1=0，②x2+a2x+1=0，③x2+a3x+1=0，其中a1，a2，a3是正实数，当a1，a2，a3成等比数列，下列选项中，当方程③有实根时，能推出的是（）A．方程①有实根或方程②无实根B．方程①有实根或方程②有实根C．方程①无实根或方程②无实根D．方程①无实根或方程②有实根17．如图是集合P={（x，y）|（x﹣cosθ）2+（y﹣sinθ）2=4，0≤θ≤π}中的点在平面上运动时留下的阴影，中间形如“水滴”部分的平面面积为（）A．B．C．D．π+218．定义域为[a，b]的函数y=f（x）图象的两个端点为A，B，向量，M（x，y）是f（x）图象上任意一点，其中x=λ+（1﹣λ），λ∈[0，1]．若不等式|MN|≤k恒成立，则称函数f （x）在[a，b]上满足“k范围线性近似”，其中最小的正实数k称为该函数的线性近似阀值．下列定义在[1，2]上函数中，线性近似阀值最小的是（）A．y=x2B．C．D．三.解答题（本大题共5题，共12+14+14+16+18=74分）19．如图，已知矩形ABCD是圆柱O1O2的轴截面，N在上底面的圆周O2上，AC、BD相交于点M；（1）求证：CN⊥平面ADN；（2）已知圆锥MO1和圆锥MO2的侧面展开图恰好拼成一个半径为2的圆，直线BC与平面CAN所成角的正切值为，求异面直线AB与DN所成角的值．20．设a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，，与的夹角为（1）求角C的大小；（2）已知，△ABC的面积，求a+b的值．21．某工厂因排污比较严重，决定着手整治，一个月时污染度为60，整治后前四个月的污染度如表：月数1234…污染度6031130…污染度为0后，该工厂即停止整治，污染度又开始上升，现用下列三个函数模拟从整治后第一个月开始工厂的污染模式：f（x）=20|x﹣4|（x≥1），，，其中x表示月数，f（x）、g（x）、h（x）分别表示污染度．（1）问选用哪个函数模拟比较合理？并说明理由；（2）若以比较合理的模拟函数预测，整治后有多少个月的污染度不超过60？22．已知函数f（x）=a（x+）﹣|x﹣|（x＞0）a∈R．（1）若a=，求y=f（x）的单调区间；（2）若关于x的方程f（x）=t有四个不同的解x1，x2，x3，x4，求实数a，t应满足的条件；（3）在（2）条件下，若x1，x2，x3，x4成等比数列，求t用a表示．23．已知λ，μ为常数，且为正整数，λ≠1，无穷数列{a n}的各项均为正整数，其前n项和为S n，对任意的正整数n，S n=λa n﹣μ．记数列{a n}中任意两不同项的和构成的集合为A．（1）证明：无穷数列{a n}为等比数列，并求λ的值；（2）若2015∈A，求μ的值；（3）对任意的n∈N*，记集合B n={x|3μ•2n﹣1＜x＜3μ•2n，x∈A}中元素的个数为b n，求数列{b n}的通项公式．2015-2016学年上海市建平中学高三（上）12月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.填空题（本大题共14题，每题4分，共56分）1．若集合A={0，m}，B={0，2}，A∪B={0，1，2}，则实数m=1．【考点】并集及其运算．【专题】集合．【分析】已知中集合A={0，m}，B={0，2}，A∪B={0，1，2}，根据集合并集运算的定义，可得实数m 的值．【解答】解：∵A={0，m}，B={0，2}，A∪B={0，1，2}，∴m=1，∴实数m的值为1．故答案为：1．【点评】本题考查的知识点是集合关系中的参数取值问题，并集及其运算，属于基础题．2．函数y=（x≥﹣1）的反函数为y=x2﹣1（x≥0）．【考点】反函数．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由y=解出x，互换变量x，y即可．【解答】解：∵y=（x≥﹣1），∴y≥0，x=y2﹣1，∴y=（x≥﹣1）的反函数为y=x2﹣1，（x≥0）．故答案为y=x2﹣1（x≥0）．【点评】本题考查了反函数解析式求解，注意自变量的取值是关键．3．设集合，B={x|log4（x+a）＜1}，若A∩B=∅，则实数a的取值范围是[1，2]．【考点】对数函数图象与性质的综合应用；交集及其运算．【专题】计算题．【分析】先分别求出集合A和集合B，再由A∩B=∅，求实数a的取值范围．【解答】解：集合={x|x2﹣x﹣6＞0}={x|x＞3或x＜﹣2}，B={x|log4（x+a）＜1}={x|0＜x+a＜4}={x|﹣a＜x＜4﹣a}，∵A∩B=∅，∴，解得1≤a≤2．故答案为：[1，2]．【点评】本题考查集合的运算，解题时要认真审题，先分别求出集合A和集合B，再由A∩B=∅，求实数a的取值范围．4．若无穷等比数列{a n}的前n项和为S n，首项为1，公比为a﹣1.5，且=a，则a=2．【考点】等比数列的前n项和．【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】由已知得=a，由此能求出a．【解答】解：∵无穷等比数列{a n}的前n项和为S n，首项为1，公比为a﹣1.5，∴S n=，∵=a，∴=a，解得a=2．故答案为：2．【点评】本题考查等比数列的公比的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．5．直线l过点（3，﹣1），且与向量垂直，直线l的点法向式方程为2（x﹣3）﹣3（y+1）=0．【考点】直线的点斜式方程．【专题】计算题；规律型；转化思想；直线与圆．【分析】先设直线上任一点的坐标M（x，y），根据法向量的概念，易得⊥，根据向量垂直的条件得点法向式直线方程．【解答】解：设直线上任一点的坐标M（x，y）．直线l过点P（3，﹣1），且与向量垂直，根据法向量的概念，易得：得⊥，根据向量垂直的条件得：，即2（x﹣3）﹣3（y+1）=0，点法向式直线方程为2（x﹣3）﹣3（y+1）=0．故答案为：2（x﹣3）﹣3（y+1）=0；【点评】本题考查两向量垂直的性质，以及用点法向式求直线的方程．6．设一个圆锥的侧面展开图是半径为的半圆，则此圆锥的体积为3π．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】计算题；转化思想；空间位置关系与距离；立体几何．【分析】根据已知，求出圆锥的母线，底面半径和高，代入圆锥体积公式，可得答案．【解答】解：∵圆锥的侧面展开图是半径为的半圆，∴圆锥的母线l=，半径r==，∴圆锥的高h==3，故圆锥的体积V==3π；故答案为：3π【点评】本题考查的知识点是旋转体，圆锥的体积公式，难度不大，属于基础题．7．设f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数，f（x+2）=﹣f（x），当0≤x≤1时，f（x）=4x，=﹣1．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】根据已知可得f（x）是周期为4的周期函数，故=f（﹣），结合f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数，f（﹣）=﹣f（），可得答案．【解答】解：∵f（x+2）=﹣f（x），∴f（x+4）=f[（x+2）+2]=﹣f（x+2）=f（x），即f（x）是周期为4的周期函数，∴=f（﹣），又∵f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数，∴f（﹣）=﹣f（），又由当0≤x≤1时，f（x）=4x，∴f（）=1，∴=f（﹣）=﹣1；故答案为：﹣1【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，熟练掌握函数奇偶性的性质，是解答的关键．8．函数f（x）=sinπx+cosπx+|sinπx﹣cosπx|对任意x∈R有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则|x2﹣x1|的最小值为．【考点】正弦函数的图象．【专题】数形结合；转化法；三角函数的图像与性质．【分析】先将函数写出分段函数，结合三角函数的图象，再确定|x2﹣x1|的最小值为相邻最小值与最大值处横坐标差的绝对值，由此可得结论．【解答】解：由题意可得，f（x）=，若f（x1）≤f（x）≤f（x2）恒成立，则f（x1）为函数的最小值，f（x2）为函数的最大值．|x2﹣x1|的最小值为相邻最小值与最大值处横坐标差的绝对值．由于x=时，函数取得最大值2，x=时，sinπx=cosπx=﹣，函数取得最小值，∴|x2﹣x1|的最小值为﹣=，故答案为：．【点评】本题考查三角函数的性质，确定|x2﹣x1|的最小值为相邻最小值与最大值处横坐标差的绝对值是关键，属于中档题．9．经过P（0，1）的直线l与两直线l1：x﹣3y+10=0和l2：2x+y﹣8=0分别交于P1、P2且满足，则直线l的方程为y=1．【考点】待定系数法求直线方程．【专题】分类讨论；分类法；直线与圆．【分析】先讨论可得当直线l的斜率不存在时，不满足条件，设出直线的斜截式方程，结合，求出直线的斜率，可得直线的方程．【解答】解：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=0，此时直线l与两直线l1：x﹣3y+10=0和l2：2x+y﹣8=0的交点P1、P2的坐标分别为（0，）（0，8），不满足，故直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为：y=kx+1，则直线l与两直线l1：x﹣3y+10=0和l2：2x+y﹣8=0的交点P1、P2的横坐标分别为，，∵，∴0﹣=2（﹣0），解得：k=0，故直线l的方程为：y=1；故答案为：y=1【点评】本题考查的知识点是直线的方程，直线的交点坐标，分类讨论思想，难度中档．10．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是正方体棱上的一点（不包括棱的端点），若满足|PB|+|PD 1|=m的点P的个数为6，则m的取值范围是（，]．【考点】棱柱的结构特征．【专题】空间位置关系与距离．【分析】利用三角形两边之和大于第三边，以及点P的个数为6个时，短半轴长不大于，能求出m的范围．【解答】解：∵|PA|+|PC1|=m＞|AC1|=，∴m＞，∵正方体的棱长为1∴正方体的面的对角线的长为，∵点P的个数为6，∴b≤，∵短半轴长b==，∴，解得m≤，∴m的取值范围是（]．故答案为：（，]．【点评】本题以正方体为载体，主要考查了椭圆定义的灵活应用，属于综合性试题，解题时要注意空间思维能力的培养．11．如图，在等腰三角形ABC中，已知AB=AC=2，∠A=120°，E、F分别是边AB、AC上的点，且，，其中m，n∈（0，1），若EF、BC的中点分别为M、N且m+2n=1，则||的最小值是；【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；方程思想；向量法；平面向量及应用．【分析】首先将向量用，表示，然后求向量，整理为关于n的二次函数的形式求最小值．【解答】解：∵，，，∴=[（1﹣m）+（1﹣n）]，∵m+2n=1，∴[2n+（1﹣n）]，则，又AB=AC=2，∠A=120°，∴=|AB|×|AC|×cos120°=2=﹣14，∴，n∈（0，1）．∴当n=时，7（7n2﹣4n+1）有最小值为于是3∴的最小值为．故答案为：．【点评】本题考查平面向量数量积运算，着重考查了平面向量数量积公式、平面向量基本定理的应用，考查二次函数的最值求法等知识，是中档题．12．已知函数f（x）=（x∈R）．下列命题：①函数f（x）既有最大值又有最小值；②函数f（x）的图象是轴对称图形；③函数f（x）在区间[﹣π，π]上共有7个零点；④函数f（x）在区间（0，1）上单调递增．其中真命题是①②③．（填写出所有真命题的序号）【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】考虑①时用基本不等式进行放缩；考虑②时，验证f（1﹣x）=f（x）；考虑③时，sinπx=0，故x=k，k为整数，可得零点的个数；考虑④时，验证f（0）=f（1）=0，故无单调性；【解答】解：考虑①：函数f（x）=≤=，当且仅当x=时取等号，故函数由最大值；取x=﹣，有f（﹣）=＜＜，当x＞10时，f（x）＞＞﹣＞f（），当x＜﹣9时，f（x）＞＞﹣＞f（），而f（x）在[﹣9，10]上存在最小值，设此最小值为m，则m≤f（﹣），所以，m亦为f（x）在定义域上的最小值．故①正确；考虑②：因为f（1﹣x）=f（x），所以x=为f（x）的对称轴，故②正确；考虑③：因为f（x）=0，即sinπx=0，故x=k，k为整数，∴区间[﹣π，π]上有﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3共7个零点，故③正确；考虑④：f（0）=f（1）=0，所以f（x）不可能单调递增；故④错误；综上①②③正确，故答案为：①②③【点评】本题主要考查函数的有关性质，要分析函数的表达式，进行合理的变形，同时要验证特殊值．13．设数列{a n}是首项为0的递增数列，，满足：对于任意的b∈[0，1），f n（x）=b总有两个不同的根，则{a n}的通项公式为．【考点】数列与三角函数的综合．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】根据条件确定a n+1﹣a n=nπ，利用叠加可求得{a n}的通项公式．【解答】解：∵a1=0，当n=1时，f1（x）=|sin（x﹣a1）|=|sinx|，x∈[0，a2]，又∵对任意的b∈[0，1），f1（x）=b总有两个不同的根，∴a2=π∴f1（x）=sinx，x∈[0，π]，a2=π又f2（x）=|sin（x﹣a2）|=|sin（x﹣π）|=|cos|，x∈[π，a3]∵对任意的b∈[0，1），f1（x）=b总有两个不同的根，∴a3=3π…又f3（x）=|sin（x﹣a3）|=|sin（x﹣3π）|=|sinπ|，x∈[3π，a4]∵对任意的b∈[0，1），f1（x）=b总有两个不同的根，∴a4=6π…由此可得a n+1﹣a n=nπ，∴a n=a1+（a2﹣a1）+…+（a n﹣a n﹣1）=0+π+…+（n﹣1）π=∴故答案为：【点评】本题考查数列与三角函数的结合，考查学生分析解决问题的能力，具有一定的综合性，属于中档题．14．对于n∈N*，将n表示为n=a0×2k+a1×2k﹣1+a2×2k﹣2+…+a k﹣1×21+a k×20，i=0时，a i=1，当1≤i≤k时，a i为0或1，记I（n）为上述表示中a i为0的个数；例如4=1×22+0×21+0×20，11=1×23+0×22+1×21+1×20，故I（4）=2，I（11）=1；则2I（1）+2I（2）+…+2I（254）+2I（255）=3280．【考点】归纳推理．【专题】计算题；动点型；推理和证明．【分析】将n分为128≤n≤255，64≤n≤127，32≤n≤63，…n=1等7种情况，有组合数的性质，分析其中I（n）的取值情况，与二项式定理结合，可转化为等比数列的前7项和，计算可得答案，【解答】解：255=1×27+1×26+1×25+1×24+1×23+1×22+1×21+1×20，设128≤n≤255，且n为整数；则n=1×27+a1×26+a2×25+a3×24+a4×23+a5×22+a6×21+a7×20，a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7中7个数都为0或1，其中没有一个为1时，有C70种情况，即有C70个I（n）=7；其中有一个为1时，有C71种情况，即有C71个I（n）=6；其中有2个为1时，有C72种情况，即有C72个I（n）=5；…综上可得：2I（n）=C7027+C71×26+C72×25+C73×24+C74×23+C73×22+C76×2+1=（2+1）7=37，同理可得：2I（n）=36，…2I（n）=31，2I（1）=1；则2I（1）+2I（2）+…+2I（254）+2I（255）=1+3+32+…+37==3280；故答案为：3280；【点评】解本题关键在于分析题意，透彻理解I（n）的含义，及2I（n）的运算，注意转化思想，结合二项式定理与等比数列的前n项和公式进行计算．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）15．已知l，m，n是空间三条直线，则下列命题正确的是（）A．若l∥m，l∥n，则m∥nB．若l⊥m，l⊥n，则m∥nC．若点A、B不在直线l上，且到l的距离相等，则直线AB∥lD．若三条直线l，m，n两两相交，则直线l，m，n共面【考点】命题的真假判断与应用；空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】规律型．【分析】由公理4可判断A，利用空间直线之间的位置关系可判断B，C，D的正误，从而得到答案．【解答】解：由公理4可知A正确；若l⊥m，l⊥n，则m∥n或m与n相交或异面，故B错误；若点A、B不在直线l上，且到l的距离相等，则直线AB∥l或AB与l异面，故C错误；若三条直线l，m，n两两相交，且不共点，则直线l，m，n共面，故D错误．故选A．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查空间中直线与直线之间的位置关系，掌握空间直线的位置关系是判断的基础，属于基础题．16．记方程①x2+a1x+1=0，②x2+a2x+1=0，③x2+a3x+1=0，其中a1，a2，a3是正实数，当a1，a2，a3成等比数列，下列选项中，当方程③有实根时，能推出的是（）A．方程①有实根或方程②无实根B．方程①有实根或方程②有实根C．方程①无实根或方程②无实根D．方程①无实根或方程②有实根【考点】等比数列的通项公式；二次函数的性质．【专题】分类讨论；方程思想；分析法；等差数列与等比数列．【分析】当方程③有实根时，≥0，又a3＞0，解得a3≥2．由于a1，a2，a3成等比数列，可得．对于方程①x2+a1x+1=0，△1=；对于方程②x2+a2x+1=0，△2=﹣4．对△2分类讨论即可得出．【解答】解：当方程③有实根时，≥0，又a3＞0，解得a3≥2．∵a1，a2，a3成等比数列，∴．对于方程①x2+a1x+1=0，△1=；对于方程②x2+a2x+1=0，△2=﹣4．假设△2＜0，则0＜a2＜2，则a1=＜2，可得△1＜0，因此方程①无实数根；假设△2≥0，则a2≥2，则a1=与2的大小不确定，因此△1与0大小关系不确定，即方程①可能有实数根也可能无实数根．故选：C．【点评】本题考查了等比数列的通项公式、一元二次方程的实数根与判别式的关系，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．17．如图是集合P={（x，y）|（x﹣cosθ）2+（y﹣sinθ）2=4，0≤θ≤π}中的点在平面上运动时留下的阴影，中间形如“水滴”部分的平面面积为（）A．B．C．D．π+2【考点】圆的标准方程；集合的表示法．【专题】综合题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】“水滴”部分由一个半圆加一个等边三角形ABC加两个弓形和构成，利用公式，即可得出结论．【解答】解：如图，“水滴”部分由一个半圆加一个等边三角形ABC加两个弓形和构成，∴“水滴”部分的面积=S半圆+S△ABC+2S弓形AmB=+2（﹣）=．故选：A．【点评】本题考查集合知识的运用，考查圆的知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．18．定义域为[a，b]的函数y=f（x）图象的两个端点为A，B，向量，M（x，y）是f（x）图象上任意一点，其中x=λ+（1﹣λ），λ∈[0，1]．若不等式|MN|≤k恒成立，则称函数f （x）在[a，b]上满足“k范围线性近似”，其中最小的正实数k称为该函数的线性近似阀值．下列定义在[1，2]上函数中，线性近似阀值最小的是（）A．y=x2B．C．D．【考点】函数恒成立问题．【专题】新定义．【分析】由已知，先得出M、N横坐标相等，将问题转化为求函数的最值问题．【解答】解：由题意，M、N横坐标相等，不等式|MN|≤k对λ∈[0，1]恒成立，最小的正实数k应为|MN|的最大值．①对于函数y=x2，由A、B是其图象上横坐标分别为a、b的两点，则A（1，1），（2，4）∴AB方程为y﹣1=（x﹣1），即y=3x﹣2|MN|=|x2﹣（3x﹣2）|=|（x﹣）2﹣|≤，线性近似阀值为．②同样对于函数，由A（1，2），（2，1），AB方程为y=﹣x+3，|MN|═﹣x+3﹣=3﹣（x+）≤3﹣2，线性近似阀值为3﹣2．③同样对于函数，A（1，），B（2，），AB方程为y=，由三角函数图象与性质可知|MN|≤1﹣，线性近似阀值为1﹣，④同样对于函数，得A（1，0），B（2，），∴直线AB方程为y=（x﹣1）∴|MN|=﹣（x﹣1）=﹣（），线性近似阀值为．由于为＞3﹣2＞1﹣＞．所以线性近似阀值最小的是故选D【点评】本题考查向量知识的运用，考查函数最值求解，解答的关键理解新概念，将已知条件进行转化．三.解答题（本大题共5题，共12+14+14+16+18=74分）19．如图，已知矩形ABCD是圆柱O1O2的轴截面，N在上底面的圆周O2上，AC、BD相交于点M；（1）求证：CN⊥平面ADN；（2）已知圆锥MO1和圆锥MO2的侧面展开图恰好拼成一个半径为2的圆，直线BC与平面CAN所成角的正切值为，求异面直线AB与DN所成角的值．【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定．【专题】证明题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（1）由已知得CN⊥DN，CN⊥AD，由此能证明CN⊥平面ADN．（2）以N为原点，ND为x轴，NC为y轴，过点N垂直于平面CND的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AB与DN所成角的大小．【解答】证明：（1）∵矩形ABCD是圆柱O1O2的轴截面，N在上底面的圆周O2上，∴CN⊥DN，AD⊥平面CDN，∵CN⊂平面CDN，∴CN⊥AD，∵AD∩DN=D，∴CN⊥平面ADN．解：（2）∵圆锥MO1和圆锥MO2的侧面展开图恰好拼成一个半径为2的圆，∴MC=MD=MA=MB=2，设AD=c，则AB=，以N为原点，ND为x轴，NC为y轴，过点N垂直于平面CND的直线为z轴，建立空间直角坐标系，设D（a，0，0），C（0，b，0），则A（a，0，﹣c），B（0，b，﹣c），N（0，0，0），=（a，0，﹣c），=（0，b，0），=（0，0，c），设平面NAC的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，0，），∵直线BC与平面CAN所成角的正切值为，∴直线BC与平面CAN所成角的正弦值为，∴|cos＜＞|===，解得c=2，∴AB==2，a2+b2=AB2=4，∵=（a，﹣b，﹣c），平面NAC的法向量=（1，0，），∴=a﹣1=0，解得a=1，∴b=，∴=（﹣1，，0），=（1，0，0），设异面直线AB与DN所成角为α，则cosα===，∴，∴异面直线AB与DN所成角为．【点评】本题考查线面平行的证明，考查异面直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．20．设a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，，与的夹角为（1）求角C的大小；（2）已知，△ABC的面积，求a+b的值．【考点】正弦定理的应用；平面向量的坐标运算；余弦定理的应用．【专题】计算题．【分析】（1）先根据向量的数量积运算表示出，进而求出cosC的值，再求出C的值．（2）先根据三角形的面积公式求出ab的值，再运用余弦定理可得最终答案．【解答】解：（1）由条件得，又，∴，0＜C＜π，因此．（2），∴ab=6．由余弦定理得，得出：，∴．【点评】本题主要考查三角形的面积公式、余弦定理和向量的数量积运算．向量和三角函数的综合题是高考的热点问题，每年必考要给予重视．21．某工厂因排污比较严重，决定着手整治，一个月时污染度为60，整治后前四个月的污染度如表：月数1234…污染度6031130…污染度为0后，该工厂即停止整治，污染度又开始上升，现用下列三个函数模拟从整治后第一个月开始工厂的污染模式：f（x）=20|x﹣4|（x≥1），，，其中x表示月数，f（x）、g（x）、h（x）分别表示污染度．（1）问选用哪个函数模拟比较合理？并说明理由；（2）若以比较合理的模拟函数预测，整治后有多少个月的污染度不超过60？【考点】函数模型的选择与应用．【专题】应用题．【分析】（1）通过计算f（1），f（2），f（3），f（4）；g（1），g（2），g（3），g（4）和h（1），h（2），h（3），h（4）的值；可知h（x）更接近表中的实际值，用h（x）模拟较为合理．（2）由复合函数的单调性知，函数在x≥4上是增函数；且h （23）≈59.6，h（24）≈60.9，知整治后有23个月的污染度不超过60．【解答】解：（1）∵f（1）=g（1）=h（1）=60；f（2）=40，g（2）≈26.7，h（2）≈27.3；f（3）=20，g （3）≈6.7，h（3）≈10.9；f（4）=g（4）=h（4）=0；由此可得h（x）更接近表中的实际值，所以用h（x）模拟比较合理．（2）因为函数y1=log2x在（x≥4）上是增函数，函数y2=﹣在（x≥4）上是增函数，所以，函数在x≥4上也是增函数；又因为h（23）≈59.6，h（24）≈60.9，故整治后有23个月的污染度不超过60．【点评】本题考查了函数模型的选择与应用问题，选择函数模拟实际问题时，函数值越接近实际值，函数模拟效果越好．22．已知函数f （x ）=a （x+）﹣|x ﹣|（x ＞0）a ∈R ．（1）若a=，求y=f （x ）的单调区间；（2）若关于x 的方程f （x ）=t 有四个不同的解x 1，x 2，x 3，x 4，求实数a ，t 应满足的条件；（3）在（2）条件下，若x 1，x 2，x 3，x 4成等比数列，求t 用a 表示．【考点】分段函数的应用；根的存在性及根的个数判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）将a=代入，结合正比例函数和反比例函数的图象和性质，可得函数的单调区间；（2）利用导数法，分类讨论，不同情况下y=f （x ）的单调性，进而求出满足条件的实数a ，t 的范围；（3）韦达定理可得x 1，x 2，x 3，x 4两两互为倒数，结合等比数列的性质，结合韦达定理，可用a 表示t ．【解答】解：（1）当a=时，函数f （x ）=（x+）﹣|x ﹣|=．故y=f （x ）的单调递增区间为（0，1]，单调递减区间为[1，+∞）；（2）f （x ）=a （x+）﹣|x ﹣|=，f ′（x ）=，当a ≤1时，y=f （x ）的单调递增区间为（0，1]，单调递减区间为[1，+∞），不合题意．当a ＞1时，f （x ）在（0，]上单调递减，在[，1]上单调递增，在[1，]上单调递减，在[，+∞）上单调递增，又由f（）=f（）=，f（1）=2a，∴方程f（x）=t有四个不同的解x1，x2，x3，x4时，a，t应满足的条件为：＜t＜2a，a＞1；（3）f（x）=t即，或，即（a+1）x2﹣tx+a﹣1=0，或（a﹣1）x2﹣tx+a+1=0，由韦达定理可得两方程的根分别互为倒数，设四个解从小到大依次为x1，x2，x3，x4，则x2•x3=1，x1•x4=1，∴x1•x2•x3•x4=1，若x1，x2，x3，x4成等比数列，则x1=x23，∴x1•x2=x24=，x1+x2=，∴x2=，∴+（）3=，解得：t=+（a＞1）【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，根的存在性及判断，函数的单调性，与函数的极值，数列的性质，综合性强，转化困难，属于难题．23．已知λ，μ为常数，且为正整数，λ≠1，无穷数列{a n}的各项均为正整数，其前n项和为S n，对任意的正整数n，S n=λa n﹣μ．记数列{a n}中任意两不同项的和构成的集合为A．（1）证明：无穷数列{a n}为等比数列，并求λ的值；（2）若2015∈A，求μ的值；（3）对任意的n∈N*，记集合B n={x|3μ•2n﹣1＜x＜3μ•2n，x∈A}中元素的个数为b n，求数列{b n}的通项公式．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）S n=λa n﹣μ．当n≥2时，S n﹣1=λa n﹣1﹣μ，可得=为正整数，即可得出正整数λ．（2）由（1）可得：S n=2a n﹣μ，可得a n=μ•2n﹣1，因此A={μ（2i﹣1+2j﹣1）|1≤i＜j，i，j∈N*}，由于2015∈A，可得2015=μ（2i﹣1+2j﹣1）=μ•2i﹣1（1+2j﹣i）=5×13×31，利用2i﹣1为偶数时，上式不成立，因此必有2i﹣1=1，可得i=1，即可得出j，μ．（3）当n≥1时，集合B n={x|3μ•2n﹣1＜x＜3μ•2n，x∈A}，即3μ•2n﹣1＜μ（2i﹣1+2j﹣1）＜3μ•2n，1≤i＜j，i，j∈N*．B n中元素个数，等价于满足3×2n＜2i+2j＜3×2n+1的不同解（i，j），只有j=n+2才成立，利用3×2n ＜21+2n+2＜22+2n+2＜…＜2n+1+2n+2=3×2n+1，即可得出．（n∈N*）．【解答】（1）证明：∵S n=λa n﹣μ．当n≥2时，S n﹣1=λa n﹣1﹣μ，∴a n=λa n﹣λa n﹣1，λ≠1，∴，∴数列{a n}为等比数列，∵各项均为正整数，则公比=为正整数，λ为正整数，∴λ=2．（2）解：由（1）可得：S n=2a n﹣μ，当n=1时，a1=μ，则a n=μ•2n﹣1，∴A={μ（2i﹣1+2j﹣1）|1≤i＜j，i，j∈N*}，∵2015∈A，∴2015=μ（2i﹣1+2j﹣1）=μ•2i﹣1（1+2j﹣i）=5×13×31，∵j﹣i＞0，则1+2j﹣i必为不小于3的奇数，∵2i﹣1为偶数时，上式不成立，因此必有2i﹣1=1，∴i=1，∴μ（1+2j﹣1）=5×13×31，只有j=3，μ=403或j=7，μ=31时，上式才成立，∴μ=31或403．（3）解：当n≥1时，集合B n={x|3μ•2n﹣1＜x＜3μ•2n，x∈A}，即3μ•2n﹣1＜μ（2i﹣1+2j﹣1）＜3μ•2n，1≤i＜j，i，j∈N*．B n中元素个数，等价于满足3×2n＜2i+2j＜3×2n+1的不同解（i，j），若j＞n+2，则2i+2j≥2i+2n+3=2i+4×2n+1＞3×2n+1，矛盾．若j＜n+2，则2i+2j≤2i+2n+1≤2n+2n+1=3×2n，矛盾．∴j=n+2，又∵（21+2n+2）﹣3×2n=2+4×2n﹣3×2n=2+2n＞0，∴3×2n＜21+2n+2＜22+2n+2＜…＜2n+1+2n+2=3×2n+1，即i=1，2，…，n时，共有n个不同的解（i，j），即共有n个不同的x∈B n，∴b n=n（n∈N*）．【点评】本题考查了等比数列的定义及其通项公式、递推式的应用、分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

2014学年第一学期普陀区高三文科数学质量调研卷1.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、考试号填写清楚，并在规定的区域贴上条形码.2.本试卷共有23道题，满分150分.考试时间120分钟.3.本试卷另附答题纸，每道题的解答必须写在答题纸的相应位置，本卷上任何解答都不．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．作评分依据．．．．．. 一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中.每个空格填对得4分，填错或不填在正确的位置一律得零分.1. 若集合}1lg |{<=x x A ，},sin |{R x x y y B ∈==，则=B A .2. 若12lim=+∞→n ann ，则常数=a .3. 若1>x ，则函数11-+=x x y 的最小值为 .4. 函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4tan πx y 的单调递增区间是 .5. 方程6lg )1lg(lg =-+x x 的解=x .6. 如图，正三棱柱的底面边长为1，体积为3，则异面直线A A 1与C B 1 所成的角的大小为 （结果用反三角函数值表示）.7. 若方程132||22=-+-ky k x 表示双曲线，则实数k 的取值范围是 . 8. 函数11)(--=x x f （2≥x ）的反函数是 .9. 在二项式81⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式中，含5x 项的系数为 （结果用数值表示）. 10 .若抛物线mx y 42=（0>m ）的焦点在圆122=+y x 外，则实数m 的取值范围是 .11. 在ABC ∆中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若32=a ，2=c ， 120=A ，则=∆ABC S .12. 若无穷等比数列}{n a 的各项和等于公比q ，则首项1a 的取值范围是 .ABC1C1B1A第6题13. 设a 为大于1的常数，函数⎩⎨⎧≤>=00log )(x ax x x f xa ，若关于x 的方程0)()(2=⋅-x f b x f恰有三个不同的实数解，则实数b 的取值范围是 . 14. 四面体的顶点和各棱中点共有10个点，在其中取四个不共面的点， 不同的取法共有 .二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中. 每题选对得5分，不选、选错或选出的代号超过一个（不论是否都写在空格内），或者没有填写在题号对应的空格内，一律得零分. 15．若<<b a ，则下列不等式中，一定成立的是……………………………………………………（ ）)(A 22b ab a << )(B 22b ab a >> )(C ab b a <<22 )(D ab b a >>2216. “点M 在曲线x y 42=上”是“点M 的坐标满足方程02=+y x ”的…………………………（ ）)(A 充分非必要条件 )(B 必要非充分条件 )(C 充要条件 )(D 既非充分也非必要条件17.要得到函数⎪⎭⎫⎝⎛-=42cos πx y 的图像，只需将函数x y 2sin =的图像………………………………（ ）)(A 向左平移8π个单位 )(B 向右平移8π个单位 )(C 向左平移4π个单位 )(D 向右平移4π个单位18. 若在边长为1的正三角形ABC 的边BC 上有n (∈n N *，2≥n )等分点， 沿向量BC的方向依次为121,,,-n P P P ，记AC AP AP AP AP AB T n n ⋅++⋅+⋅=-1211 ，131-n 2k 第18题第14题若给出四个数值:①429 ②1091 ③18197④33232，则n T 的值不可能的共有…………………（ ）)(A 1个 )(B 2个 )(C 3个 )(D 4个三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤. 19. (本题满分12分)已知P 是椭圆12422=+y x 上的一点，求P 到)0,(m M （0>m ）的距离的最小值.20. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知函数x x b x x f cos sin sin 2)(2+=满足2)6(=πf（1）求实数b 的值以及函数)(x f 的最小正周期；（2）记)()(t x f x g +=，若函数)(x g 是偶函数，求实数t 的值.21. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 如图，在两块钢板上打孔，用钉帽呈半球形、钉身为圆柱形的铆钉（图1）穿在一起，在没有帽的一端锤打出一个帽，使得与钉帽的大小相等，铆合的两块钢板，成为某种钢结构的配件，其截面图如图2.（单位：mm ）（加工中不计损失）. （1）若钉身长度是钉帽高度的2倍，求铆钉的表面积；（2）若每块钢板的厚度为12mm ，求钉身的长度（结果精确到1mm ）.22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第（1）小题5分，第（2）小题6分，第（3）小题5分已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且4=+n n a S ，∈n N *（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）已知32+=n c n （∈n N *），记=n d n C n a c log +(0>C 且1≠C )，是否存在这样的常数C ，使得数列}{n d 是常数列，若存在，求出C 的值；若不存在，请说明理由. （3）若数列}{n b ，对于任意的正整数n ，均有2221123121+-⎪⎭⎫⎝⎛=++++--n a b a b a b a b nn n n n 成立，求证：数列}{n b 是等差数列；23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分已知函数)(x f y =，若在定义域内存在0x ，使得)()(00x f x f -=-成立，则称0x 为函数)(x f 的局部对称点.（1）若∈a R 且0≠a ，证明：函数a x ax x f -+=2)(必有局部对称点； （2）若函数b x f x+=2)(在区间]2,1[-内有局部对称点，求实数b 的取值范围； （3）若函数324)(21-+⋅-=+m m x f x x在R 上有局部对称点，求实数m 的取值范围.2014学年第一学期普陀区高三文科数学质量调研卷参考答案一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中.每个空格填对得4分，填错或不填在正确的位置一律得零分.1. ]1,0(2.13.34.⎪⎭⎫⎝⎛+-43.4ππππk k （Z k ∈）5.36.41arctan7.),3()2,2(+∞- 8.)0(22)(21<+-=-x x x x f 9.28 10.10<<m 11.3 12.]41,0()0,2( - 13. 10≤<b 14. 141二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中. 每题选对得5分，不选、选错或选出的代号超过一个（不论是否都写在空格内），或者没有填写在题号对应的空格内，一律得零分.三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤. 19. (本题满分12分)【解】设),(y x P ，其中22≤≤-x ……………………2分则222)(||y m x PM +-==2221212)(2222++-=-+-m mx x x m x ……5分 222)2(21m m x -+-=，对称轴m x 2=0>……7分 （1） 若220<<m ，即10<<m ，此时当m x 2=时，2min 2||m PM -=；……9分（2） 若22≥m ，即1≥m ，此时当2=x 时，|2|44||2min -=+-=m m m PM ；……11分综上所述，⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<-=1|,2|10,2||2min m m m m PM …………12分20. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 【解】 （1）由26=⎪⎭⎫⎝⎛πf ，得22321412=⨯⨯+⨯b ……2分，解得32=b ……3分 将32=b 代入xx x x f cos sin 32sin 2)(2+=得x x x x f cos sin 32sin 2)(2+=所以)(x f x x 2sin 32cos 1+-=……4分)62sin(21π-+=x …………5分所以函数)(x f 的最小正周期ππ==22T …………6分（2）由（1）得，1]6)(2sin[2)(+-+=+πt x t x f ，所以1622sin 2)(+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=πt x x g ……8分函数)(x g 是偶函数，则对于任意的实数x ，均有)()(x g x g =-成立。

上海市十二校2015届高三12月联考数学（理）试题学校：上海市朱家角中学学校：三林中学 南汇一中 2014年12月一、填空题 （本大题满分56分，每题4分）1．设集合21{|2},{1}2A x xB x x =-<<=≤，则A B =_______.2. 已知{}n a 为等差数列，1a +3a +5a =9，246a a a ++=15，则=+43a a ．3．在行列式3541113a --中，元素a 的代数余子式值为 ．4. 如果函数⎩⎨⎧<>-=)0( )()0( 32　x x f x x y 是奇函数，则=-)2(f5．设()f x 的反函数为1()f x -，若函数()f x 的图像过点(1,2)，且1(21)1f x -+=，则x = ．6．方程cos2x+sinx=1在),0(π上的解集是_______________．7.1，则此三棱锥的体积为 ． 8. 函数()x x x f 2cos 222cos 3-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=π在区间2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的取值范围是 ．92==， 与的夹角为3π，则+在上的投影为 ． 10. 在锐角ABC ∆中，角B 所对的边长10=b ，ABC ∆的面积为10，外接圆半径13=R ，则AB C ∆的周长为 ．11. 已知等比数列{}n a 的首项11=a ，公比为)0(>q q ，前n 项和为n S ，若1lim1=+∞→nn n S S ，则公比q的取值范围是 ． 12．已知函数()sin()(0)3f x x πωω=+>，若()(3)g x f x =在(0 )3π，上是增函数，则ω的最大值 ．13. 记数列{}n a 是首项1a a =，公差为2的等差数列；数列{}n b 满足2(1)n n b n a =+，若对任意*n N ∈都有5n b b ≥成立，则实数a 的取值范围为 ．14．若平面向量i a )4,3,2,1(1==i 且)3,2,1(01==⋅+i a a i i 32a a +++可能的值有 个．二、选择题（本大题满分20分，每题5分）15． 设,p q 是两个命题，1:0,:|21|1,x p q x p q x+≤+<则是 （ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件16. 数列{a n }中，已知S 1 =1， S 2=2 ，且S n +1－3S n +2S n －1 =0(2≥n ，n ∈N*)，则此数列为（ ） A ．等差数列 B ．等比数列 C ．从第二项起为等差数列 D ．从第二项起为等比数列17.关于函数31)212()(x x f x x⋅-=和实数n m 、的下列结论中正确的是（ ）A ．若n m <<-3，则)()(n f m f <B ．若0<<n m ，则)()(n f m f <C ．若)()(n f m f <，则22n m < D ．若)()(n f m f <，则33n m < 18. 函数()⎩⎨⎧>≤+=0,ln 0,1x x x kx x f ,下列关于函数()[]1+=x f f y 的零点个数的判断正确的是（ ）A ．无论k 为何值,均有2个零点B ．无论k 为何值,均有4个零点C ．当0k >时,有3个零点；当0k <时,有2个零点D ．当0k >时,有4个零点；当0k <时,有1个零点三、简答题 (本大题满分74分)19．(本题满分12分) 本题共有2个小题,第1小题满分6分, 第2小题满分6分. 如图，四棱锥ABCD S -中，底面ABCD 为正方形，⊥SA 平面ABCD ，AB=3，SA=4 （1）求直线SC 与平面SAB 所成角；（2）求SAB ∆绕棱SB 旋转一圈形成几何体的体积。

2015年上海市杨浦区高考二模（理）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1．（4分）（2015•杨浦区二模）函数f（x）=的定义域是﹣2＜x≤1．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】只需被开方数为非负数、分母不为零同时成立即可．【解析】解：根据题意，只需，即，解得﹣2＜x≤1，故答案为：﹣2＜x≤1．【点评】本题考查函数的定义域，属于基础题．2．（4分）（2015•杨浦区二模）若集合A=，则A∩B的元素个数为2．【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】集合A表示长轴为，短轴为1的椭圆内部的点集，B表示整数集，画出相应的图形，如图所示，找出A∩B的元素个数即可．【解析】解：如图所示，由图形得：A∩B={（﹣1，0），（1，0）}，共2个元素．故答案为：2．【点评】此题考查了交集及其运算，利用了数形结合的思想，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3．（4分）（2015•杨浦区二模）若，则x的值是log23．【考点】二阶矩阵；有理数指数幂的化简求值．【专题】矩阵和变换．【分析】根据矩阵的定义直接计算即可．【解析】解：∵，∴4x﹣2×2x=3，化简得（2x）2﹣2×2x﹣3=0，解得2x=3或﹣1（舍），从而，解得x=log23，故答案为：log23．【点评】本题考查矩阵的计算，解对数方程，弄清矩阵的涵义是解题的关键，属于基础题．4．（4分）（2x﹣）6展开式中常数项为60（用数字作答）．【考点】二项式定理．【分析】用二项展开式的通项公式得展开式的第r+1项，令x的指数为0得展开式的常数项．【解析】解：（2x﹣）6展开式的通项为=令得r=4故展开式中的常数项．故答案为60【点评】二项展开式的通项公式是解决二项展开式中特殊项问题的工具．5．（4分）（2015•杨浦区二模）某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为：9.7，9.9，10.1，10.2，10.1，则这组数据的方差为0.032．【考点】极差、方差与标准差．【专题】概率与统计．【分析】先计算数据的平均数后，再根据方差的公式计算．【解析】解：数据9.7，9.9，10.1，10.2，10.1的平均数==10，方差=（0.09+0.01+0.01+0.04+0.01）=0.032．故答案为：0.032．【点评】本题考查方差的定义．一般地设n个数据，x1，x2，…x n的平均数为，则方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．6．（4分）（2015•杨浦区二模）对数不等式（1+log3x）（a﹣log3x）＞0的解集是，则实数a的值为2．【考点】指、对数不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】先解出不等式，再结合已知解集，可得结果．【解析】解：将对数不等式两边同时乘以﹣1，得（log3x+1）（log3x﹣a）＜0，即（log3x﹣）（log3x﹣）＜0，所以此不等式的解为：或，∵其解集为解集是，∴=2，故答案为：2．【点评】本题考查对数不等式的解法，属于中档题．7．（4分）（2015•杨浦区二模）极坐标方程所表示的曲线围成的图形面积为．【考点】简单曲线的极坐标方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】利用把极坐标方程化为直角坐标方程，利用圆的面积计算公式即可得出．【解析】解：化为，∴，配方为+=．因此极坐标方程所表示的曲线为圆心为，半径r=的圆．其围成的图形面积S=πr2=．故答案为：．【点评】本题考查了圆的极坐标方程化为直角坐标方程、圆的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8．（4分）（2015•杨浦区二模）如图，根据该程序框图，若输出的y为2，则输入的x的值为4．【考点】程序框图．【专题】图表型；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序框图，得其功能是求分段函数y=的值，由输出的y为2，分情况讨论即可得解．【解析】解：模拟执行程序框图，可得其功能是求分段函数y=的值，若输出的y为2，则x＞0时，有=2，解得：x=4．当x≤0时，有2x=2，解得x=1（舍去）．故答案为：4．【点评】本题考查了分支结构的程序框图，根据框图的流程分析得到程序的功能是解题的关键，属于基础题．9．（4分）若正数a，b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是[9，+∞）．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【专题】计算题；压轴题．【分析】先根据基本不等式可知a+b≥2，代入题设等式中得关于不等式方程，进而求得的范围，则ab的最大值可得．【解析】解：∵a+b≥2，ab=a+b+3，∴ab﹣2﹣3≥0∴≥3或≤﹣1（空集）∴ab≥9故答案为：[9，+∞）【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．考查了学生对基本不等式的整体把握和灵活运用．10．（4分）（2015•杨浦区二模）已知是不平行的向量，设，则与共线的充要条件是实数k等于±1．【考点】平行向量与共线向量；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】平面向量及应用．【分析】利用向量共线定理、共面向量基本定理即可得出．【解析】解：与共线的充要条件是存在实数λ使得，∴=λ=+，∵是不平行的向量，∴，解得k=±1．故答案为：±1．【点评】本题考查了向量共线定理、共面向量基本定理，属于基础题．11．（4分）（2015•杨浦区二模）已知方程x2﹣px+1=0（p∈R）的两根为x1、x2，若|x1﹣x2|=1，则实数p的值为±或±．【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】根据所给的方程，当判别式不小于0时和小于0时，用求根公式表示出两个根的差，根据差的绝对值的值做出字母p的值．【解析】解：当△=p2﹣4≥0，即p≥2或p≤﹣2，由求根公式得|x1﹣x2|==1，得p=±，当△=p2﹣4＜0，即﹣2＜p＜2，由求根公式得|x1﹣x2|==1，得p=±．综上所述，p=±或p=±．故答案为：±或±．【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，本题解题的关键是对于判别式与0的关系的讨论，方程有实根和没有实根时，两个根的表示形式不同，本题是一个易错题．12．（4分）（2015•杨浦区二模）已知从上海飞往拉萨的航班每天有5班，现有甲、乙、丙三人选在同一天从上海出发去拉萨，则他们之中正好有两个人选择同一航班的概率为．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】概率与统计．【分析】根据乘法原理得出甲、乙、丙三人选5班航班的总共事件为53，利用排列组合知识得出：他们之中正好有两个人选择同一航班”的有60个，再运用概率知识求解即可．【解析】解：设“他们之中正好有两个人选择同一航班”的事件为B，根据题意得出甲、乙、丙三人选5班航班的总共事件为53，∵B事件的基本事件的个数为=60．∴P（B）==，故答案为：【点评】本题考查了古典概率问题的事件的求解，关键是确定基本事件的个数，难度不大，属于容易题．13．（4分）（2015•杨浦区二模）已知n∈N*，在坐标平面中有斜率为n的直线l n与圆x2+y2=n2相切，且l n交y轴的正半轴于点P n，交x轴于点Q n，则的值为．【考点】极限及其运算；直线与圆的位置关系．【专题】直线与圆．【分析】设切线l n的方程为：y=nx+m，由于直线l n与圆x2+y2=n2相切，可得=n，取m=n．可得切线l n的方程为：y=nx+n，可得P n，Q n，可得|P n Q n|．再利用数列极限的运算法则即可得出．【解析】解：设切线l n的方程为：y=nx+m，∵直线l n与圆x2+y2=n2相切，∴=n，取m=n．∴切线l n的方程为：y=nx+n，∴P n，Q n．∴|P n Q n|==1+n2．∴===．故答案为：．【点评】本题考查了直线的方程、直线与圆的相切性质、点到直线的距离公式、两点之间的距离公式，数列极限的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．（4分）（2015•杨浦区二模）对于自然数N*的每一个非空子集，我们定义“交替和”如下：把子集中的元素从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数，例如{1，2，4，6，9}的交替和是9﹣6+4﹣2+1=6；则集合{1，2，3，4，5，6，7}的所有非空子集的交替和的总和为7×26．【考点】集合的表示法；进行简单的合情推理．【专题】新定义；集合．【分析】根据“交替和”的定义：求出S2、S3、S4，并根据其结果猜测集合N={1，2，3，…，n}的每一个非空子集的“交替和”的总和S n即可．【解析】解：由题意，S2表示集合N={1，2}的所有非空子集的“交替和”的总和，又{1，2}的非空子集有{1}，{2}，{2，1}，∴S2=1+2+2﹣1=4；S3=1+2+3+（2﹣1）+（3﹣1）+（3﹣2）+（3﹣2+1）=12，S4=1+2+3+4+（2﹣1）+（3﹣1）+（4﹣1）+（3﹣2）+（4﹣2）+（4﹣3）+（3﹣2+1）+（4﹣2+1）+（4﹣3+1）+（4﹣3+2）+（4﹣3+2﹣1）=32，∴根据前4项猜测集合N={1，2，3，…，n}的每一个非空子集的“交替和”的总和S n=n•2n﹣1，所以S7=7×27﹣1=7×26，故答案为：7×26．【点评】本题主要考查了数列的应用，同时考查了归纳推理的能力．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15．（5分）（2015•杨浦区二模）“a≤﹣2”是“函数f（x）=x2+ax+1（x∈R）只有一个零点”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】函数的性质及应用；简易逻辑．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合一元二次函数的性质进行判断即可．【解析】解：若函数f（x）=x2+ax+1（x∈R）只有一个零点，则判别式△=a2﹣4=0，解得a=2或a=﹣2，则“a≤﹣2”是“函数f（x）=x2+ax+1（x∈R）只有一个零点”的既非充分又非必要条件，故选：D．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用一元二次函数的性质是解决本题的关键．16．（5分）（2015•杨浦区二模）在复平面中，满足等式|z+1|﹣|z﹣1|=2的z所对应点的轨迹是（）A．双曲线B．双曲线的一支C．一条射线D．两条射线【考点】轨迹方程．【专题】计算题；数系的扩充和复数．【分析】利用复数的几何意义，即可判断出等式|z+1|﹣|z﹣1|=2的z所对应点的轨迹．【解析】解：复数z满足|z+1|﹣|z﹣1|=2，则z对应的点在复平面内表示的是到两个定点F1（﹣1，0），F2（1，0）的距离之差为常数2，所以z对应的点在复平面内表示的图形为以F2（1，0）为起点，方向向右的一条射线．故选：C．【点评】熟练掌握复数的几何意义是解题的关键．17．（5分）（2015•杨浦区二模）设反比例函数f（x）=与二次函数g（x）=ax2+bx的图象有且仅有两个不同的公共点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1＜x2，则=（）A．2或B．﹣2或C．2或D．﹣2或【考点】二次函数的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据已知条件可以画出f（x），g（x）的图象，由图象可得到方程，即方程ax3+bx2﹣1=0有两个二重根，和一个一重根，所以可设二重根为c，另一根为d．所以上面方程又可表示成：a（x﹣c）2（x﹣d）=ax3﹣（ad+2ac）x2+（2acd+ac2）x﹣ac2d=0，所以便得到2acd+ac2=0，所以c=﹣2d．所以再根据图象可得．【解析】解：根据题意可画出f（x），g（x）可能的图象：A，B两点的横坐标便是方程即ax3+bx2﹣1=0的解；由上面图象知道A，B两点中有一个点是f（x），g（x）图象的切点，反应在方程上是方程的二重根；所以可设二重根为c，另一根为d，则上面方程可变成：a（x﹣c）2（x﹣d）=0；将方程展开：ax3﹣（ad+2ac）x2+（2acd+ac2）x﹣ac2d=0；∴2acd+ac2=0；由图象知a，c≠0；∴由上面式子得：c=﹣2d；；∴；∴由图象知x1=c，x2=d，或x1=d，x2=c；∴．故选：B．【点评】考查曲线的公共点和两曲线方程形成方程组的解的关系，以及方程二重根的概念，知道了方程的根会把方程表示成因式乘积的形式，两多项式相等时对应系数相等．18．（5分）（2015•杨浦区二模）如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从A出发在圆上按逆时针方向转一周，点P所旋转过的弧的长为l，弦AP的长为d，则函数d=f（l）的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】正弦函数的图象．【专题】压轴题；数形结合．【分析】根据题意和图形取AP的中点为D，设∠DOA=θ，在直角三角形求出d的表达式，根据弧长公式求出l的表达式，再用l表示d，根据解析式选出答案．【解析】解：如图：取AP的中点为D，设∠DOA=θ，则d=2|OA|sinθ=2sinθ，l=2θ|OA|=2θ，∴d=2sin，根据正弦函数的图象知，C中的图象符合解析式．故选：C．【点评】本题考查了正弦函数的图象，需要根据题意和弧长公式，表示出弦长d和弧长l 的解析式，考查了分析问题和解决问题以及读图能力．三.解答题（本大题满分74）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（14分）（2015•杨浦区二模）如图，一条东西走向的大江，其河岸A处有人要渡江到对岸B处，江面上有一座大桥AC，已知B在A的西南方向，C在A的南偏西15°，BC=10公里．现有两种渡江方案：方案一：开车从大桥AC渡江到C处，然后再到B处；方案二：直接坐船从A处渡江到对岸B处．若车速为每小时60公里，船速为每小时45公里（不考虑水流速度），为了尽快到达B处，应选择哪个方案？说明理由．【考点】向量的三角形法则．【专题】计算题．【分析】分别计算两种方案的时间即可．【解析】解：如图，过A作AD垂直BC交于D，根据题意知∠CAD=15°，∠BAD=45°，设CD为x公里，则有AD=，由于tan15°=tan（45°﹣30°）====，故AD===（2）x，∵BC=10公里，∠BAD=45°，∴BD=AD，即（2）x=x+10，解得x=CD=，从而AD=（2）×（）=5+，AC===10≈14.14，AB==（5+）=≈19.32，下面分别计算两种方案所要花费的时间：方案一：≈≈0.4023（时）；方案二：≈0.4293（时）；显然选择方案一．【点评】本题考查速度、路程、时间之间的关系，属于基础题．20．（15分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点．（I）试确定点F的位置，使得D1E⊥平面AB1F；（II）当D1E⊥平面AB1F时，求二面角C1﹣EF﹣A的大小（结果用反三角函数值表示）．【考点】直线与平面垂直的性质；反三角函数的运用；与二面角有关的立体几何综合题．【专题】证明题；综合题；压轴题；探究型；向量法．【分析】（I）法一：几何法：要D1E⊥平面AB1F，先确定D1E⊥平面AB1F内的两条相交直线，由三垂线定理易证D1E⊥AB1，同理证明D1E⊥AF即可．法二：代数法：建立空间直接坐标系，运用空间向量的数量积等于0，来证垂直．（II）法一：求二面角C1﹣EF﹣A的大小，转化为求C1﹣EF﹣C的大小，利用三垂线定理方法：E、F都是所在线的中点，过C连接AC，设AC与EF交于点H，则CH⊥EF，连接C1H，则CH是C1H在底面ABCD 内的射影．∠C1HC是二面角C1﹣EF﹣C的平面角．求解即可．法二：找出两个平面的法向量，运用空间向量数量积公式求出二面角的余弦值，再求其角．【解析】解法一：（I）连接A1B，则A1B是D1E在面ABB1A；内的射影∵AB1⊥A1B，∴D1E⊥AB1，于是D1E⊥平面AB1F⇔D1E⊥AF．连接DE，则DE是D1E在底面ABCD内的射影．∴D1E⊥AF⇔DE⊥AF．∵ABCD是正方形，E是BC的中点．∴当且仅当F是CD的中点时，DE⊥AF，即当点F是CD的中点时，D1E⊥平面AB1F．（6分）（II）当D1E⊥平面AB1F时，由（I）知点F是CD的中点．又已知点E是BC的中点，连接EF，则EF∥BD．连接AC，设AC与EF交于点H，则CH⊥EF，连接C1H，则CH是C1H在底面ABCD内的射影．C1H⊥EF，即∠C1HC是二面角C1﹣EF﹣C的平面角．在Rt△C1CH中，∵C1C=1，CH=AC=，∴tan∠C1HC=．∴∠C1HC=arctan，从而∠AHC1=π﹣arctan2．故二面角C1﹣EF﹣A的大小为．解法二：以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系（1）设DF=x，则A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，1，0），A1（0，0，1），B（1，0，1），D1（0，1，1），E，F（x，1，0）∴∴=1﹣1=0，即D1E⊥AB1于是D1E⊥平面AB1F⇔D1E∪AF⇔即x=．故当点F是CD的中点时，D1E⊥平面AB1F（2）当D1E⊥平面AB1F时，F是CD的中点，又E是BC的中点，连接EF，则EF∥BD．连接AC，设AC与EF交于点H，则AH⊥EF．连接C1H，则CH是C1H在底面ABCD内的射影．∴C1H⊥EF，即∠AHC1是二面角C1﹣EF﹣A的平面角．∵，∵．∴，=，即．故二面角C1﹣EF﹣A的大小为π﹣arccos．【点评】本小题主要考查线面关系和正方体等基础知识，考查空间想象能力和推理运算能力．空间向量计算法容易出错．21．（15分）（2015•杨浦区二模）已知函数f（x）=是奇函数．（1）求t的值；（2）求f（x）的反函数f﹣1（x）；（3）对于任意的m＞0，解不等式：f﹣1（x）＞log3．【考点】反函数；函数奇偶性的性质；其他不等式的解法．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）由函数f（x）=是奇函数，可得f（0）=0，解得t，并验证是否满足条件即可．（2）由（1）可得：y=f（x）==1﹣，可得y∈（﹣1，1）．化为3x=（y≠1），把x与y互换可得，两边取对数即可得出反函数．（3）对于任意的m＞0，解不等式：f﹣1（x）＞log3．（x∈（﹣1，1））．化为＞，又x∈（﹣1，1））．化为m＞1﹣x，对m分类讨论即可得出．【解析】解：（1）∵函数f（x）=是奇函数，∴f（0）==0，解得t=1，经过验证满足条件，∴t=1．（2）由（1）可得：y=f（x）==1﹣，可得y∈（﹣1，1）．解得3x=（y≠1），把x与y互换可得，∴y=，（x∈（﹣1，1））．∴f（x）的反函数f﹣1（x）=，（x∈（﹣1，1））．（3）对于任意的m＞0，解不等式：f﹣1（x）＞log3．（x∈（﹣1，1））．即＞log3．∴＞，又∵x∈（﹣1，1））．∴m＞1﹣x，当0＜m≤2时，解得1＞x＞1﹣m．当m＞2时，解得1＞x＞﹣1．∴不等式：f﹣1（x）＞log3的解集为：当0＜m≤2时，解集为（1﹣m，1）；当m＞2时，解集为（﹣1，1）．【点评】本题考查了反函数的求法、指数函数与对数函数的单调性、不等式的解法，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22．（15分）（2015•杨浦区二模）数列{a n}满足a1=1，a2=r（r＞0），令b n=a n•a n+1，{b n}是公比为q（q≠0，q≠﹣1）的等比数列，设c n=a2n﹣1+a2n．（1）求证：c n=（1+r）•q n﹣1；（2）设{c n}的前n项和为S n，求的值；（3）设{c n}前n项积为T n，当q=﹣时，T n的最大值在n=8和n=9的时候取到，求n为何值时，T n取到最小值．【考点】等比数列的前n项和；极限及其运算；数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）根据题意得出=q（n≥2），判断出奇数项，偶数项分别成等比数列，运用等比数列的通项公式求解即可．（2）运用等比数列的求和公式得出q=1时，S n=（1+r）n，=0，q≠1时，S n=，=，分类讨论求解即可（3）利用条件得出（1+r）8（﹣）28=（1+r）9（﹣）36，r=28﹣1=255，T n=（256）n•（﹣2）=（﹣1）•2，再根据函数性质得出最小项，注意符号即可．【解析】解：（1）b n=a n•a n+1，{b n}是公比为q（q≠0，q≠﹣1）的等比数列，因为数列{a n a n+1}是一个以q（q＞0）为公比的等比数列因此=q，所以=q（n≥2），即=q（n≥2），∴奇数项，偶数项分别成等比数列∵设c n=a2n﹣1+a2n．∴c n=1•q n﹣1+r•q n﹣1=（1+t）•q n﹣1∴bn=（1+r）•qn﹣1（2）q=1时，S n=（1+r）n，=0q≠1时，S n=，=若0＜q＜1，=若q＞1，=0∴=（3）设{c n}前n项积为T n，当q=﹣时，T n=（1+r）n∵T n的最大值在n=8和n=9的时候取到，∴（1+r）8（﹣）28=（1+r）9（﹣）36，r=28﹣1=255，∴T n=（256）n•（﹣2）=（﹣1）•2，根据数列的函数性质得出n=7，n=10时，T n的最小值为﹣235．【点评】本题主要考查了利用数列的递推公式构造等比数列求通项公式，等比数列求和公式的应用，数列极限的求解，要注意等比数列求和公式应用时对公比q的讨论，根据函数的性质解析式确定最值．23．（15分）（2015•杨浦区二模）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F，线段PQ为抛物线C的一条弦．（1）若弦PQ过焦点F，求证：为定值；（2）求证：x轴的正半轴上存在定点M，对过点M的任意弦PQ，都有为定值；（3）对于（2）中的点M及弦PQ，设，点N在x轴的负半轴上，且满足，求N点坐标．【考点】抛物线的简单性质．【专题】平面向量及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）设出直线PQ的方程，与抛物线方程联立消去y，根据韦达定理求得x1x2的值，由抛物线的定义分别表示出|FP|，|FQ|，代入整理得到定值，最后验证斜率不存在时的情况；（2）设出直线PQ的方程，联立抛物线方程，运用韦达定理和两点的距离公式，化简整理，即可求得定点M和定值；（3）运用向量共线的坐标表示和向量垂直的条件，化简整理即可求得定点N．【解析】（1）证明：抛物线的焦点为F（，0），设直线PQ的方程为y=k（x﹣）（k≠0），代入抛物线方程，消去y，得k2x2﹣p（k2+2）x+=0，由根与系数的关系，得x1x2=，x1+x2=p+，由抛物线的定义，知|FP|=x1+，|FQ|=x2+．+=+===为定值．当PQ⊥x轴时，|FA|=|FB|=p，上式仍成立；（2）证明：设M（m，0），当PQ⊥x轴时，令x=m，可得y2=2pm，|MP|=|MQ|=，有+为定值．当PQ斜率存在时，设PQ：x=ty+m，代入抛物线方程可得，y2﹣2pty﹣2pm=0，设P（，y1），Q（，y2）则y1+y2=2pt，y1y2=﹣2pm．即有|MP|2=（m﹣）2+y12=+y12=（1+t2）y12，同理|MQ|2=（m﹣）2+y22=（1+t2）y22．即有+=•，存在m=p即有定点M（p，0）时，上式为•=为定值；（3）解：，可得=，，可得（+λ）•（﹣λ）=0，即为NP2=λ2NQ2，由P（，y1），Q（，y2），M（p，0），设，则y1=﹣λy2，①p﹣=λ（﹣p），②又设N（n，0）（n＜0），则（n﹣）2+y12=λ2[（﹣n）2+y22]，即为﹣n=λ（﹣n），③将①平方可得，y12=λ2y22，④，将④代入②③，化简可得n=﹣p．则N（﹣p，0）．【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质，直线与抛物线的关系．同时考查向量垂直的条件和向量共线的坐标表示，注意运用韦达定理和抛物线的定义是解题的关键，具有一定的运算量，属于中档题．。

虹口区2015学年第一学期10月份考试高三数学 试卷(A)考生注意：1.本试卷共4页，23道试题，满分150分，考试时间120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸. 作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.一、填空题（本大题满分56分）本大题共14题，只要求在答题纸相应题号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1.已知{}2,A x x x N =≥∈，则N A =ð ．2.已知{}162<=x x A ，{}2>=x x B ，则=⋂B A ． 3. 若α：2x ≤4≤是β：3+≤≤m x m 的充分条件，则实数m 的取值范围是_________．4.若复数))(3(log )43(22R m m i m m z ∈-⋅+--=是纯虚数，则m 的值为 ．5.用一个到球心距离为1的平面去截球，若所得截面的面积为π，则球的体积为 ．6.在65(2x+的二项展开式中，常数项为 ．7.数据5，7，7，8，10，11的标准差是 ．8.100辆汽车通过某一段公路时，时速的频率分布直方图如图所示，则时速在[)7050，的汽车大约有 辆．9.连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量(,)a m n = ，向量(1,2)b =- ，则a b ⊥ 的概率是 ．10.校团委组织“中国梦，我的梦”演讲比赛，有4名选手进入决赛；若每位选手都可从4个备选题目中任选一个进行演讲，则恰有一个题目没有被选中的情况有 种．11.已知直线10(,0)ax by c b c ++-=>经过圆05222=--+y y x 的圆心，则c b 14+的最小值是 ．12.若不等式012≥++ax x 对一切⎥⎦⎤ ⎝⎛∈210，x 成立，则a 的最小值为 ．13.设集合{}n S n ，，，，⋯=321，若n S X ⊆，把X 的所有元素的乘积称为X 的容量（若X中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0）．若X 的容量为奇（偶）数，则称X 为n S 的奇（偶）子集．若n = 4，则n S 的所有偶子集的容量之和为 ．14.设集合X 是实数集R 的子集，如果实数0x 满足：对任意0>a ,都存在X x ∈，使得a x x <-<00，则称0x 为集合X 的聚点．用Z 表示整数集，则在下列集合中：①⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥∈+01n Z n n n ，；②{}0≠∈x R x x ，；③⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠∈01n Z n n ，；④整数集Z 以0为聚点的集合是_________.二、选择题（本大题共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应题号上，将所选答案的代号涂黑，选对得 5分，否则一律零分.15.已知a ＞b ，ab ≠0，则下列不等式中：① a 2＞b 2；② 11a b<；③ a 3＞b 3；④ a 2+b 2＞2ab ， 恒成立的不等式的个数是 ( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个16.设,l m 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是( )A ．若m ∥l ，m ∥α，则l ∥αB ．若,m l m α⊥⊥，则l ∥αC ．若α∥β，l α⊥，m ∥β，则l m ⊥D ．若m α⊆，m ∥β，l β⊆，l ∥α，则α∥β 17.若非空数集A 满足：①0A ∉，②若对任意x A ∈，都有1A x∈，则称数集A 为“互倒集”.给出三个数集： {}2110,A x x a x x R =++=∈, {}22410,A x x x x R =-+<∈[)[]322,0,151,1,2x x A y y x x x ⎧⎫⎧+∈⎪⎪⎪⎪⎪⎪==⎨⎨⎬⎪⎪⎪+∈⎪⎪⎪⎩⎩⎭． 其中“互倒集”的个数是 ( )A ．3B ． 2C ．1D ． 018.如图,长方形的边AB = 2, BC =1,O 是AB 的中点,点P 沿着边BC ,CD 与DA 运动,记BOP x ∠= ,将动点P 到A ,B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ,则的图像大致为 （ ）A ．B ．C ．D ．三、解答题（本大题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤.19．(本题满分12分) 本题共2个小题，每小题6分. 已知{}2340A x x x =+-<，11{|24}2x B x -=<<，{}0222<-+=m mx x x C ， （1）求A B ； （2）若()A B C ⊆ ，求实数m 的取值范围.20．(本题满分14分) 本题共2个小题，每小题7分.如图，在三棱锥ABC P -中，PA ⊥底面ABC ，底面ABC 是边长为2的正三角形，且PB与底面ABC 所成的角为3π， M 是BC 的中点，求：（1）三棱锥ABC P -的体积；（2）异面直线PM 与AC 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．21．(本题满分15分) 本题共3个小题，每小题5分.某中学高中学生900名，学校要从中选出9名同学作为国庆庆祝活动的志愿者.已知高一有400名学生，高二有300名学生，高三有200名学生，为了保证每名同学都有参与的资格，学校采用分层抽样的方法抽取.(1)求高一、高二、高三分别抽取学生的人数；(2)若再从这9名同学中随机抽取2人作为活动负责人，求抽到的这2名同学都是高一学生的概率；（3）在（2）的条件下，求抽到的这2名同学不是同一年级的概率.22. (本题满分16分) 本题共3个小题，第1小题5分，第2小题5分，第3小题6分. 对于函数)(x f ，我们把使得x x f =)(成立的x 称为函数)(x f 的“不动点”；把使得x x f f =))((成立的x 称为函数)(x f 的“稳定点”，函数)(x f 的“不动点”和“稳定点” 构成的集合分别记为A 和B ，即{}x x f x A ==)(，{}x x f f x B ==))((．（1）若12)(-=x x f ，求集合B ；（2）求证：A ⊆B ；（3）若a x x f -=2)(，且A =B ≠∅，求实数a 的取值范围．23. (本题满分17分) 本题共3个小题，第1小题5分，第2小题6分，第3小题6分. 已知集合},,,,{321n a a a a A =，其中)2,1(>≤≤∈n n i R a i ，)(A l 表示和)1(n j i a a j i ≤<≤+中所有不同值的个数．（1）设集合}8,6,4,2{=P ，}16,8,4,2{=Q ，分别求)(P l 和)(Q l ；（2）若集合}2,,8,4,2{n A =，求证：2)1()(-=n n A l ； （3）)(A l 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由?。