(全国版)2019版高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 第11讲 导数在研究函数中的应用增分练

2．10导数的概念及运算［知识梳理]1．变化率与导数（1）平均变化率(2）导数2．导数的运算[诊断自测] 1．概念思辨(1)f ′(x 0）与（f （x 0））′表示的意义相同．( )（2)f ′(x 0)是函数y ＝f （x ）在x ＝x 0附近的平均变化率．（ ) （3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．（ ) （4）曲线y ＝f （x )在点P (x 0，y 0)处的切线与过点P （x 0,y 0)的切线相同．（ ）答案 （1）× （2)× (3）× （4）×2．教材衍化(1）（选修A2－2P 6例1)若函数f (x ）＝2x 2－1的图象上一点（1，1)及邻近一点（1＋Δx,1＋Δy ），则Δy Δx 等于（ ）A ．4B ．4xC ．4＋2ΔxD ．4＋2（Δx ）2答案 C解析 Δy ＝(1＋Δy )－1＝f (1＋Δx ）－f (1）＝2(1＋Δx )2－1－1＝2（Δx )2＋4Δx ，∴错误!＝2Δx ＋4，故选C.（2）（选修A2－2P 18T 7）f （x ）＝cos x 在错误!处的切线的倾斜角为________． 答案错误!解析 f ′（x )＝（cos x )′＝－sin x ，f ′错误!＝－1， tan α＝－1，所以α＝3π4. 3．小题热身（1)（2014·全国卷Ⅱ)设曲线y＝ax－ln (x＋1）在点（0,0）处的切线方程为y＝2x,则a＝（）A．0 B．1 C．2 D．3答案D解析y′＝a－错误!,当x＝0时，y′＝a－1＝2，∴a＝3，故选D.(2）（2017·太原模拟）函数f(x）＝x e x的图象在点(1，f（1))处的切线方程是________．答案y＝2e x－e解析∵f(x)＝x e x,∴f(1)＝e,f′（x)＝e x＋x e x，∴f′（1)＝2e，∴f(x）的图象在点(1，f（1))处的切线方程为y －e＝2e(x－1),即y＝2e x－e.题型1导数的定义及应用错误!已知函数f(x)＝错误!＋1，则错误!错误!的值为（）A．－错误! B.错误! C.错误!D．0用定义法．答案A解析由导数定义，错误!错误!＝－错误!错误!＝－f′(1),而f′（1)＝错误!，故选A。

第11节导数的简单应用课时训练练题感提知能【选题明细表】A组一、选择题1.函数f(x)=4x3-3x2-6x+2的极小值为( B )(A)3 (B)-3 (C)(D)-解析:f′(x)=12x2-6x-6=6(x-1)(2x+1),因此f(x)在（-∞,-）,(1,+∞)上为增函数,在(-,1)上为减函数,所以函数f(x)在x=1处取到极小值f(1)=-3.故选B.2.(2013广东省六校质检)已知y=x3+bx2+(b+2)x+3是R上的单调增函数,则b的取值范围是( D )(A)b<-1或b>2 (B)b≤-1或b≥2(C)-1<b<2 (D)-1≤b≤2解析:函数y=x3+bx2+(b+2)x+3是R上的增函数,即为其导函数y′=x2+2bx+b+2≥0,x∈R恒成立,所以Δ=4b2-4(b+2)≤0,解得-1≤b≤2,故选D.3.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10,则f(2)等于( C )(A)11或18 (B)11(C)18 (D)17或18解析:∵函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10,∴f(1)=10,且f′(1)=0,即解得或而当时,函数在x=1处无极值,故舍去.∴f(x)=x3+4x2-11x+16,∴f(2)=18.故选C.4.函数f(x)=x+2cos x在[0,]上取得最大值时x的值为( B )(A)0 (B)(C)(D)解析:由于f′(x)=1-2sin x,令f′(x)=0得,sin x=,又x∈[0,],所以x=.且f()=+,又f(0)=2,f()=,所以f()为最大值.故选B.5.(2013济宁模拟)若函数h(x)=2x-+在(1,+∞)上是增函数,则实数k的取值范围是( A )(A)[-2,+∞) (B)[2,+∞)(C)(-∞,-2] (D)(-∞,2]解析:因为h′(x)=2+,若h(x)在(1,+∞)上是增函数,则h′(x)≥0在(1,+∞)上恒成立,故2+≥0恒成立,即k≥-2x2恒成立.又x>1,∴-2x2<-2,因此,需k≥-2,故选A.6.(2013湛江毕业班调研)已知函数y=x3-3x+c的图象与x轴恰有两个公共点,则c等于( A )(A)-2或2 (B)-9或3(C)-1或1 (D)-3或1解析:∵y′=3(x+1)(x-1),∴当x=-1或x=1时取得极值,由题意得f(1)=0或f(-1)=0,即c-2=0或c+2=0,解得c=2或c=-2.故选A.7.若函数f(x)=(a>0)在[1,+∞)上的最大值为,则a的值为( D )(A)(B) (C)+1 (D)-1解析:f′(x)==,当x>时,f′(x)<0,f(x)单调递减,当-<x<时,f′(x)>0,f(x)单调递增,当x=时,令f(x)==,=<1,不合题意.∴f(x)max=f(1)==,a=-1,故选D.二、填空题8.已知f(x)=2x3-6x2+m(m为常数)在[-2,2]上有最大值3,那么此函数在[-2,2]上的最小值为.解析:∵f′(x)=6x2-12x=6x(x-2),∴f(x)在(-2,0)上单调递增,在(0,2)上单调递减,因此,当x=0时,f(x)取得最大值,即f(0)=m=3,然而f(-2)=-37,f(2)=-5,因此f(x)min=f(-2)=-37.答案:-379.已知函数f(x)=(m-2)x2+(m2-4)x+m是偶函数,函数g(x)=-x3+2x2+mx+5在(-∞,+∞)内单调递减,则实数m= . 解析:由已知得,m2-4=0,∴m=±2.若g(x)在(-∞,+∞)内单调递减,则g′(x)≤0恒成立,即-3x2+4x+m≤0恒成立,亦即3x2-4x-m≥0恒成立.∴Δ=16+12m≤0,解得m≤-,故m=-2.答案:-210.函数f(x)=x3+3ax2+3[(a+2)x+1]有极大值又有极小值,则a的取值范围是.解析:∵f′(x)=3x2+6ax+3(a+2),令f′(x)=0得,x2+2ax+a+2=0,若f(x)有极大值和极小值,则方程x2+2ax+a+2=0有两个不等实数根,∴Δ=4a2-4(a+2)>0.解得a>2或a<-1.答案:(-∞,-1)∪(2,+∞)11.做一个圆柱形锅炉,容积为V,两个底面的材料每单位面积的价格为a元,侧面的材料每单位面积的价格为b元,当造价最低时,锅炉的底面直径与高的比为.解析:设圆柱底面半径为R,高为h,则V=πR2h,则总造价y=2πR2a+2πRhb=2πR2a+2πRb·=2πaR2+,故y′=4πaR-,令y′=0得=.故当=时y取最小值.答案:三、解答题12.(2013浙江五校联考)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c(x∈[-1,2]),且函数f(x)在x=1和x=-处都取得极值.(1)求a,b的值;(2)求函数f(x)的单调递增区间.解:(1)由于f′(x)=3x2+2ax+b,依题意知,f′(1)=0且f′(-)=0,所以解得(2)由(1)知,f(x)=x3-x2-2x+c,f′(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1).f′(x)>0得,x>1或x<-.又x∈[-1,2],所以f(x)的单调增区间为[-1,- ),(1,2].13.(2013汕头市金山中学第一学期期中考试)某种商品的成本为5元/ 件,开始按8元/件销售,销售量为50件,为了获得最大利润,商家先后采取了提价与降价两种措施进行试销.经试销发现:实际销售价x(元)每上涨1元每天销售量就减少10件;而降价后,日销售量Q(件)与实际销售价x(元)满足关系:Q=(1)求总利润(利润=销售额-成本)y(元)与实际销售价x(元)的函数关系式;(2)试问:当实际销售价为多少元时,总利润最大.解:(1)依题意得y==(2)由(1)得,当5<x<7时,y=39·(2x3-39x2+252x-535)y′=234(x2-13x+42)=234(x-6)(x-7),当5<x<6时,y′>0,y=f(x)为增函数,当6<x<7时,y′<0,y=f(x)为减函数,所以f(x)max=f(6)=195.当7≤x<8时,y=6(33-x)∈(150,156],当8≤x≤13时,y=-10(x-9)2+160,当x=9时,y max=160.综上知,当x=6时,总利润最大,最大值为195元.14.设函数f(x)=a2ln x-x2+ax,a>0.(1)求f(x)的单调区间;(2)求所有的实数a,使e-1≤f(x)≤e2对x∈[1,e]恒成立.(注:e为自然对数的底数)解:(1)因为f(x)=a2ln x-x2+ax,其中x>0,所以f′(x)=-2x+a=-.由于a>0,所以f(x)的单调增区间为(0,a),单调减区间为(a,+∞).(2)由题意得f(1)=a-1≥e-1,即a≥e.由(1)知f(x)在[1,e]内单调递增,要使e-1≤f(x)≤e2对x∈[1,e]恒成立.只要解得a=e.B组15.(2013潮州市质检)定义域为R的奇函数f(x),当x∈(-∞,0)时,f(x)+xf′(x)<0恒成立,若a=3f(3),b=(logπ3)·f(logπ3),c=-2f(-2),则( A )(A)a>c>b (B)c>b>a(C)c>a>b (D)a>b>c解析:设g(x)=xf(x),依题意得g(x)是偶函数.当x∈(-∞,0)时,f(x)+xf′(x)<0恒成立,即g′(x)<0恒成立,故g(x)在(-∞,0)上单调递减,则g(x)在(0,+∞)上单调递增,a=3f(3)=g(3),b=(logπ3)·f(logπ3)=g(logπ3),c=-2f(-2)=g(-2)=g(2).又logπ3<1<2<3,故a>c>b.故选A.16.(2013中山市期末统考)已知函数f(x)的导数f′(x)=a(x+1)(x-a), 若f(x)在x=a处取得极大值,则a的取值范围为.解析:若a>0时,则x∈(-1,a)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;x∈(a,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增,所以f(x)在x=a处取得极小值,不适合题意,舍去.若-1<a<0时,则x∈(-1,a)时,f′(x)>0,f(x)单调递增;x∈(a,+∞)时,f′(x)<0,f(x)单调递减,所以f(x)在x=a 处取得极大值,适合题意.若a=-1时,函数没有极值点,不适合题意.若a<-1时,则x∈(-∞,a)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;x∈(a,-1)时,f′(x)>0,f(x)单调递增,所以f(x)在x=a处取得极小值,不适合题意.故适合题意的a的取值范围是-1<a<0.答案:(-1,0)。

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第11讲导数在研究函数中的应用板块一知识梳理·自主学习［必备知识］考点1 函数的导数与单调性的关系函数y＝f（x)在某个区间内可导:(1)若f′(x）＞0，则f（x）在这个区间内单调递增；(2）若f′(x)＜0，则f(x)在这个区间内单调递减;(3）若f′(x）＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数．考点2 函数的极值与导数1．函数的极小值与极小值点若函数f（x)在点x＝a处的函数值f(a）比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，且f′（a）＝0，而且在x＝a附近的左侧f′（x）＜0，右侧f′(x）＞0,则点a叫做函数的极小值点，f(a）叫做函数的极小值;2．函数的极大值与极大值点若函数f(x)在点x＝b处的函数值f（b）比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，且f′(b)＝0，而且在x＝b附近的左侧f′(x）＞0，右侧f′(x）＜0,则点b叫做函数的极大值点,f(b)叫做函数的极大值．考点3 函数的最值与导数1．函数f(x）在［a，b］上有最值的条件如果在区间[a，b］上函数y＝f（x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值．2．求y＝f（x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤(1)求函数y＝f(x)在（a，b）内的极值．(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a），f（b)比较,其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．［必会结论]1．若函数f(x)的图象连续不断，则f(x）在[a，b］内一定有最值．2．若函数f（x）在[a,b］内是单调函数,则f（x)一定在区间端点处取得最值．3．若函数f(x)在开区间（a,b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点．[考点自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√"，错误的打“×")(1)函数y＝错误!x2－ln x的单调减区间为（－1，1）．（)(2)在函数y＝f（x）中，若f′(x0）＝0，则x＝x0一定是函数y＝f(x）的极值．（）(3)函数的极大值不一定比极小值大．( ）（4）函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．（)答案(1)×(2)×(3）√(4）√2．[课本改编］函数y＝x2（x－3）的单调递减区间是( ）A．（－∞，0) B．(2，＋∞）C．（0，2）D．(－2，2）答案C解析y′＝3x2－6x,由y′＜0，得0＜x＜2。

重点强化课（一）函数的图像与性质（对应学生用书笫26页）［复习导读］函数是中学数学的核心概念，函数的图像与性质既是中学数学教学的重点，又 是高考考查的重点与热点，题型以选择题、填空题为主，既重视三基，又注重思想方法的考 查，备考时，要透彻理解函数，尤其是分段函数的概念，切实掌握函数的性质，并加强函数 与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想的应用意识.重点1函数图像的应用1 COS n X. 0, ~»例11己知为偶函数，当时，f^x ）=< 2x —L 十 gfd —的解集为（）I 3 当 X>-时，令 f\x ） =2x — 1W ㊁，解得-1 Q故有§£/0才因为心是偶函数，所以的解集为一扌，—扣片，彳，故 心一1）諾的解集为［母题探究1］在本例条件下，若关于X 的方程fg=k 有2个不同的实数解，求实数斤的则不等式当0WxW*时，令f3=cos “W ，解得是€；取值范围.［解］由函数代力的图像(图略)可知，当Q0或Q1时，方程fXx) =k 有2个不同的实 数解，即实数&的取值范圉是或Q1.［母题探究2］在本例条件下，若函数y=f(x)~k\x\恰有两个零点，求实数£的取值范围. ［解］函数y= f^x) —k\x\恰有两个零点，即函数y= f(x)的图像与y=k\x\的图像恰有 两个交点，借助函数图像(图略)可知斤$2或斤=0,即实数斤的取值范围为斤=0或k22. ［规律方法］1.利用函数的图像研究函数的性质，一定要注意其对应关系，如：图像的左 右范围对应定义域，上下范围对应值域，上升、下降趋势对应单调性，对称性对应奇偶性.2. 有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数图像的交点个数；利用此法也可市 解的个数求参数值或范圉.3. 有关不等式的问题常常转化为两个函数图像的上、下关系来解.［对点训练］已知函数/U)的图像是圆/+/=2上的两段弧，如图1所示，则不等式 f(x) >/'(-%) 一2/ 的解集是 ___________________ .【导学号：00090046］(-l,0)U (l,、但］［由图像可知，函数玖方为奇函数，故原不等式可等价转化为fg_x,在同一直角坐标系中分别画出y=f{x)与尸一JV 的 图像，由图像可知不等式的解集为(-1,0) U (l,、但］.］重点2两数性质的综合应用⑴(2017・石家庄质检(二))下列函数屮，既是偶函数又在(0, +oo)上单调递增的是(B. y=lg %C. y=\x\—l (2)已知fd)是定义在R 上的偶函数，且在区问(一g, 0)上单调递增.若实数々满足代2“角度1 单调性与奇偶性结合A. y=~)>f(—德)，则日的取值范围是()(1)C (2)C ［(1)函数丄是奇函数，排除A ；函数y=lg%既不是奇函数，也不是偶函X1是偶函数，且在(0, +8)上单调递增，故选C. ⑵因为是定义在R 上的偶函数，且在区间(一IO)上单调递增，所以 且 f(0 在(0, + oo)上单调递减.由 f(2“H) > f(—£), f(-y/2) = f(y/2)可得 2ia -11<V2,1 1 Q即 | a~ 1 | 所以7；V a<~ ] 角度2奇偶性与周期性结合若函数 f(x) =asin 2x+ Man x+1,且 f( —3)=5,则 f (兀+3)= _.—3 [令g(x)=wsin 2x+ Z?tan x,则g(x)是奇函数，且最小正周期是兀，由/( —3)= g(_3) + l=5,得 &(一3)=4,则 &(3) = —&(一3) = —4,则 f(兀+3) =g5+3)+1 = g(3)+l = _4+l = _3.] 角度3单调性、奇他性与周期性结合已知定义在R 上的奇函数代劝满足f(x —4)= —f(x),且在区间［0,2］上是增函 数，贝虹 )【导学号：00090047】A. f(—25) Vf(ll) Vf(80)B. /(80)</(11)</(-25)C. f(ll) Vf(80) Vf(—25)D. /(-25)<A8O)</'(11)D [因为 f(x)满足 f(x —4) = — /(%),所以fO-8) =/U)，所以函数fd)是以8为周期的周期函数，则代一25) =f( — l), A80) =f(o), All) = A3).由fd)是定义在R 上的奇函数，且满足fd —4)= —f(0,得A11)=A3)=-A-1) = Al).因为代方在区间［0, 2］上是增函数，f(0在R 上是奇函数，所以fd)在区间［一2, 2］上是增函数，所以 A-lXAOXAl),即 /(-25)</(80)</(11).］数,排除B ； 当 xG (0, + °°)时，排除D ；函数y=\x\ — 2-2 2-3 函数y= ”单调递减,［规律方法］函数性质综合应用问题的常见类型及解题方法(1)函数单调性与奇偶性结合.注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图像的对称性.(2)周期性与奇偶性结合.此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.(3)周期性、奇偶性与单调性结合.解决此类问题通常先利用周期性转化口变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.。