2015年春季新版华东师大版八年级数学下学期19.4、梯形同步练习2

华师大版八年级下册数学第19章矩形、菱形与正方形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，两个大小相同的正方形，如图放置，点，分别在边，上，若要求出阴影部分的周长，只要知道下列哪条线段的长度即可（）.A. B. C. D.2、下列命题正确的是( )A.三角形的中位线平行且等于第三边B.对角线相等的四边形是等腰梯形 C.四条边都相等的四边形是菱形 D.相等的角是对顶角3、如图，在矩形ABCD中，边AB的长为3，点E、F，分别在AD，BC上，连接BE，DF，EF，BD，若四边形BEDF是菱形，且EF=AE+FC，则边BC的长为（）A.2B.C.6D.34、下列命题是假命题的是( )A.如果a∥b，b∥c，那么a∥cB.锐角三角形中最大的角一定大于或等于60°C.两条直线被第三条直线所截，内错角相等D.矩形的对角线相等且互相平分5、如图，矩形ABCD的面积为16cm2，对交线交于点O；以AB、AO为邻边作平行四边AOC1B，对角线交于点O1，以AB、AO1为邻边作平行四边形AO1C2B，…；依此类推，则平行四边形AO4C5B的面积为（）A. cm 2B.1cm 2C.2cm 2D.4cm 26、已知一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是4：3，则这个菱形的面积是（）A. 12 cm2B. 24 cm2C. 48 cm2D. 96 cm27、如图，已知正方形ABCD的边长为1，连结AC、BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE长（）A. B. C.1 D.1﹣8、如图，在正方形ABCD中，取AD的中点E，连接EB，延长DA至F，使EF=EB，以线段AF为边作正方形AFGH，交AB于点H，则的值是( )A. B. C. D.9、从下列条件中选择一个条件添加后，还不能判定平行四边形ABCD是菱形，则这个条件是（）A.AC⊥BDB.AC=BDC.AB=BCD.AD=CD10、如图，四边形ABCD是轴对称图形，且直线AC是否对称轴，AB∥CD，则下列结论：①AC⊥BD；②AD∥BC；③四边形ABCD是菱形；④△ABD≌△CDB.其中结论正确的序号是（）A.①②③B.①②③④C.②③④D.①③④11、如图，AB为半圆O的直径，，点C为半圆上动点，以BC为边向形外作正方形BCDE，连接OD，则OD的最大值为A.2B.C.D.12、顶点为A（6，6），B（－4，3），C（－1，－7），D（9，－4）的正方形在第一象限的面积是（）A.25B.36C.49D.3013、周长为的正方形对角线的长是（）A. B. C. D.14、如图，菱形ABCD中，点E是AD的中点，连接CE，并延长CE与BA的延长线交于点F，若∠BCF=90°，则∠D的度数为（）A.60°B.55°C.45°D.40°15、如图，ABCD是正方形，E是边CD上（除端点外）任意一点，AM⊥BE于点M，CN⊥BE于点N，下列结论一定成立的有（）个.①△ABM≌△BCN；②△BCN≌△CEN；③AM﹣CN=MN；④M有可能是线段BE的中点.A.1B.2C.3D.4二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，正方形 ABCD 中，AD＝，已知点 E 是边 AB 上的一动点（不与A、B 重合）将△ADE 沿 DE 对折，点 A 的对应点为 P，当△APB 是等腰三角形时，线段 AE= ________.17、如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=12，过A，D两点的⊙O与BC边相切于点E，则⊙O的半径为________．18、如图，在矩形ABCD中，横向阴影部分是矩形，另一阴影部分是平行四边形．依照图中标注的数据，计算图中空白部分的面积，已知a=2b=6c，其面积是________（用含c的代数式表示）19、如图，在平面直角坐标系中，，，，，点在轴上，满足，则点的坐标为________.20、如图，矩形ABCD的周长为20cm，两条对角线相交于O点，过点O作AC的垂线EF，分别交AD、BC于E、F点，连结CE，则△CDE的周长为________cm.21、如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB的两边OA、OC分别在x轴和y轴上，且OA=2，OC=1．在第二象限内，将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的倍，得到矩形A1OC1B1，再将矩形A1OC1B1以原点O为位似中心放大倍，得到矩形A2OC2B2…，以此类推，得到的矩形AnOCnBn的对角线交点的坐标为________．22、如图，过矩形ABCD的对角线BD上一点K分别作矩形两边的平行线MN与PQ，那么图中矩形AMKP的面积S1与矩形QCNK的面积S2的关系是S 1________ S2（填“＞”或“＜”或“＝”）23、如图，菱形OABC的顶点A、B、C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D.若⊙O的半径为1，则AD的长为________.24、如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD 的中点，若AB=6cm，BC=8cm，则△AEF的周长=________cm．25、等腰梯形的一个锐角为60°，一腰长为24cm，一底长为39cm，则另一底长为________．三、解答题(共5题，共计25分)26、四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE=BF，连接AE、AF、EF．若BC=8，DE=3，求△AEF的面积．27、为了保证人们上下楼的安全, 楼梯踏步的宽度和高度都要加以限制, 每节楼梯踏步的宽度相同, 高度也相同中小学楼梯宽度的范围是260 mm 300 mm ( 含300 mm ) , 高度的范围是120 mm 150 mm (含150 mm ). 如图是某中学的楼梯扶手的截面示意图, 测量结果如下: AB, CD分别垂直平分踏步EF, GH, 各踏步互相平行, AB = CD, AC = 900 mm, ∠ACD = 65°, 试问该中学楼梯踏步的宽度和高度是否符合规定? (结果精确到1 mm, 参考数据: sin 65°≈0.906, cos 65°≈ 0.423.)28、如图，CE是△ABC外角∠ACD的平分线，AF∥CD交CE于点F，FG∥AC交CD于点G．求证：四边形ACGF是菱形．29、如图，在长方形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=10cm，将长方形纸片沿AE折叠，使点D落在BC边的点F处．试求折痕AE的长．30、如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AC，点E是BC的中点，AE与BD交于点F，且F是AE的中点.（Ⅰ）求证：四边形AECD是菱形；（Ⅱ）若AC＝4，AB＝5，求四边形ABCD的面积.参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、C2、C3、D4、C5、A6、B7、A8、D9、B10、B11、C12、B13、D14、A15、B二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、。

华东师大版八年级下册数学第19章《长方形' 菱形、正方形》单元测试题得分 卷后分 评价一、选择题（每小题4分，共24分）1.下列说法中，正确的是（）A.同位角相等C.四条边相等的四边形是菱形 B.对角线相等的四边形是平行四边形D.矩形的对角线一定互相垂直2.如图，在菱形A3CQ 中，已知ZA=60°, A3=5,则△A3D 的周长是（ ）A. 10B. 12C. 15第2题图D. 20第3题图3.如图，在正方形ABCD 中，点E 是CQ 边上一点,连结AE,交对角线BQ 于点F,连结CF,则图中全等三角形共有（ ）A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对4.有一张矩形纸片A3CQ, AB=2.5, AD= 1.5,将纸片折叠，使AQ 边落在AB 边上，折痕为AE,再将△•以DE 为折痕向右折叠，AE 与BC 交于点F （如图），则CF 的长为（ ）5.将矩形纸片ABCD 按如图所示方式折叠，得到菱形AECF,若AB=3,则BC 的长为（）6.如图，四边形ABCQ 为正方形，E 是CQ 的中点，F 是BC 边上的点，下列条件中,不能推出APLEP 的是（)A. ZAPB= ZPECC. ZAPB+ZEPC=9Q° B. P 是BC 的中点D. ZPAD+ ZPED= 1SQ°第6题图第8题图二、填空题（每小题4分，共20分）7. 在△ ABC 中，延长至点Z ）,使延长CA 至点E, ft AE=AC,连结CD,DE, BE,则四边形BCDE 是；当四边形BCDE 是矩形时，△ ABC 是 三角形；当四边形BCDE 是菱形时，A ABC M 三角形；当四边形BCDE 是正方形时,△ ABC 是__________三角形.8. 如图，。

是矩形ABCQ 的对角线AC 的中点，M 是AO 的中点，若AB=5, AD=\2,则四边形的周长为.9. 如图，菱形 ABCD 中，AB=4, ZB=60。

新课标华东师大版八年级数学下册新课标华东师大版八年级数学下册19.3 19.3 正方形同步练习正方形同步练习正方形同步练习（含解析）（含解析）知识点知识点 1 正方形的性质正方形的性质1．正方形具有而菱形不一定具有的性质是( )A ．四条边相等．四条边相等B ．对角线互相垂直平分．对角线互相垂直平分C ．对角线平分一组对角．对角线平分一组对角D ．对角线相等．对角线相等2．如图1，在正方形ABCD 的外侧作等边三角形ADE ，则∠AEB 的度数为( ) A ．10° B ．12.5° C ．15°D ．20° 图1图23．如图2，已知正方形ABCD ，点E 在边DC 上，DE ＝3，EC ＝1，则AE 的长为________．4．教材习题第2题变式如图3，四边形ABCD 是正方形，E ，F 分别是边AB ，AD 上的一点，且BF ⊥CE ，垂足为G .求证：BE ＝AF .图3知识点知识点 2 正方形的判定正方形的判定5.图4如图4所示，已知四边形ABCD 是菱形，则只需补充条件：________(用字母表示)就可以判定四边形ABCD 是正方形．(填一个即可)6．如图5，正方形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，分别过点C ，D 作CE ∥BD ，DE ∥AC ，CE 与DE 交于点E .求证：四边形OCED 是正方形．是正方形．图57．2017·东台市期中已知：如图6，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠BAC ，∠ABC 的平分线相交于点D ，DE ⊥BC ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F .求证：四边形CEDF 是正方形．是正方形．图68．如图7，已知在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 边的中点，过点D 作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F .(1)求证：△BED ≌△CFD ；(2)若∠A ＝90°，求证：四边形DF DFAE AE 是正方形．是正方形．图7【提升能力】【提升能力】图89．如图8，正方形ABCD 的边长为9，将正方形折叠，使顶点D 落在BC 边上的点E 处，折痕为GH .若BE ∶EC ＝2∶1，则线段CH 的长是( )A ．3B ．4C ．5D ．6 10．2018·宜昌如图9，正方形ABCD 的边长为1，E ，F 分别是对角线AC 上的点，已知EG ⊥AB ，EI ⊥AD ，FH ⊥AB ，FJ ⊥AD ，垂足分别为G ，I ，H ，J ，则图中阴影部分的面积等于( )A ．1 B.12 C.13 D.14图9图1011．如图10所示，在边长为2的正方形ABCD 中，Q 为BC 边的中点，P 为对角线AC 上一点，连结PB ，PQ ，则△PBQ 周长的最小值为________．12．如图11，P 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，PE ⊥DC ，PF ⊥BC ，E ，F 分别为垂足，连结AP ，若CF ＝3，CE ＝4，求AP 的长．的长．图1113．如图12，在△ABC 中，D 为BC 边上的一动点(点D 不与B ，C 两点重合)，DE ∥AC 交AB 于点E ，DF ∥AB 交AC 于点F .(1)试探索AD 满足什么条件时，四边形AEDF 为菱形，并说明理由；为菱形，并说明理由；(2)在(1)的条件下，△ABC 满足什么条件时，四边形AEDF 为正方形？为什么？为正方形？为什么？图1214．正方形ABCD 中，∠MAN ＝45°，∠MAN 绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB ，DC (或它们的延长线)于点M ，N ，AH ⊥MN 于点H .(1)如图13①，①，当∠当∠MAN 绕点A 旋转到BM ＝DN 时，时，请你直接写出请你直接写出AH 与AB 的数量关系：________．(2)如图②，当∠MAN 绕点A 旋转到BM ≠DN 时，(1)中发现的AH 与AB 的数量关系还成立吗？如果不成立，请说明理由；如果成立，请进行证明．成立吗？如果不成立，请说明理由；如果成立，请进行证明．图1319．3 正方形正方形1．D 2.C3．5 [解析] ∵四边形ABCD 是正方形，是正方形，∴AD ＝DC ，∠D ＝90°90°.. ∵DE ＝3，EC ＝1，∴AD ＝CD ＝4. 在Rt △ADE 中，中，∵∠D ＝90°，AD ＝4，DE ＝3， ∴AE ＝AD 2＋DE 2＝42＋32＝5. 4．证明： ∵四边形ABCD 是正方形，是正方形， ∴AB ＝BC ，∠A ＝∠CBE ＝90°，∴∠ABF ＋∠CBG ＝90°90°.. ∵BF ⊥CE ，∴∠BCE ＋∠CBG ＝90°， ∴∠BCE ＝∠ABF .在△BCE 和△ABF 中，中， îïíïì∠BCE ＝∠ABF ，BC ＝AB ，∠CBE ＝∠A ，∴△BCE ≌△ABF ， ∴BE ＝AF .5．答案不唯一，如∠ABC ＝90°或AC ＝BD 等 6．证明：∵CE ∥BD ，DE ∥AC ， ∴四边形OCED 是平行四边形．是平行四边形． ∵四边形ABCD 是正方形，是正方形，∴OA ＝OC ＝OB ＝OD ，AC ⊥BD ， ∴四边形OCED 是正方形．是正方形．7．证明：过点D 作DN ⊥AB 于点N .∵DE ⊥BC ，DF ⊥AC ，∴∠DFC ＝∠DEC ＝90°90°.. 又∵∠C ＝90°，∴四边形CEDF 是矩形．是矩形．∵∠BAC ，∠ABC 的平分线相交于点D ，DE ⊥BC ，DF ⊥AC ，DN ⊥AB ， ∴DF ＝DN ，DE ＝DN ， ∴DF ＝DE ， ∴四边形CEDF 是正方形．是正方形． 8．证明：(1)∵AB ＝AC ， ∴∠B ＝∠C .∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴∠BED ＝∠CFD ＝90°90°.. ∵D 为BC 边的中点，边的中点，∴BD ＝CD ， ∴△BED ≌△CFD .(2)∵∠BED ＝∠CFD ＝90°，∴∠AED ＝∠AFD ＝90°90°.. 又∵∠A ＝90°，∴四边形DF DFAE AE 是矩形．是矩形．由(1)知△BED ≌△CFD ， ∴DE ＝DF ，∴四边形DF DFAE AE 是正方形．是正方形．9．B [解析] 设CH ＝x ，则EH ＝DH ＝9－x . ∵BE ∶EC ＝2∶1，∴EC ＝13BC ＝3.在Rt △ECH 中，EH 2＝EC 2＋CH 2， 即(9－x )2＝32＋x 2， 解得x ＝4，即CH ＝4. 故选B.10．B [解析] ∵四边形ABCD 是正方形，∴直线AC 是正方形ABCD 的对称轴．的对称轴． ∵EG ⊥AB ，EI ⊥AD ，FH ⊥AB ，FJ ⊥AD ，垂足分别为G ，I ，H ，J ，∴根据对称性可知：四边形EFHG 的面积与四边形EFJI 的面积相等，∴S 阴影＝12S 正方形ABCD ＝12.故选B.11.5＋112．解：连结PC ，EF .∵四边形ABCD 是正方形，是正方形， ∴AD ＝CD ，∠ADP ＝∠CDP .又∵PD ＝PD ，∴△APD ≌△CPD ， ∴AP ＝CP .∵四边形ABCD 是正方形，是正方形，∴∠DCB ＝90°90°.. 又∵PE ⊥DC ，PF ⊥BC ， ∴四边形PFCE 是矩形，是矩形， ∴CP ＝EF .∵∠DCB ＝90°，∴在Rt △CEF 中，EF 2＝CF 2＋CE 2＝32＋42＝25， ∴EF ＝5(负值已舍去)， ∴AP ＝CP ＝EF ＝5.13．解：(1)当AD 平分∠BAC 时，四边形AEDF 为菱形．为菱形． 理由：∵AE ∥DF ，DE ∥AF ，∴四边形AEDF 为平行四边形，∠F AD ＝∠ADE . ∵AD 平分∠BAC ，∴∠EAD ＝∠F AD ，∴∠EAD ＝∠ADE ， ∴AE ＝DE ，∴▱AEDF 为菱形．为菱形． (2)当∠BAC ＝90°时，菱形AEDF 为正方形．理由：为正方形．理由： ∵有一个角是直角的菱形是正方形，∵有一个角是直角的菱形是正方形， ∴菱形AEDF 为正方形．为正方形． 14．解：(1)AH ＝AB(2)AH ＝AB 的数量关系还成立．理由如下：的数量关系还成立．理由如下： 如图，延长CB 至点E ，使BE ＝DN ，连结AE .∵四边形ABCD 是正方形，是正方形，∴AB ＝AD ，∠D ＝∠ABE ＝90°90°.. 在△AEB 和△AND 中，中， îïíïìAB ＝AD ，∠ABE ＝∠D ，BE ＝DN ，∴△AEB ≌△AND ，∴AE ＝AN ，∠EAB ＝∠NAD ，∴∠EAM ＝∠NAM ＝45°45°.. 在△AEM 和△ANM 中，中， îïíïìAE ＝AN ，∠EAM ＝∠NAM ，AM ＝AM ，∴△AEM ≌△ANM ，∴S △AEM ＝S △ANM ，EM ＝MN .∵AB ，AH 分别是△AEM 和△ANM 对应边上的高，对应边上的高， ∴AB ＝AH .。

八年级数学（下）《梯形》同步测试题一、选择题1.等腰梯形上、下底差等于一腰的长，那么腰长与下底的夹角是（ ）.A.5°B.60° .45° D.30°2.等腰梯形的高是腰长的一半,则底角为（ ）.A.30°B.45°C.60°D.90°3.下列命题中，真命题是（ ）.A.有一组对边平行，另一组对边相等的梯形是等腰梯形B.有一组对角互补的梯形是等腰梯形C.有一组邻角相等的四边形是等腰梯形D.有两组邻角分别相等的四边形是等腰梯形4.如图1,在等腰梯形ABCD 中,AD=6cm,BD=9cm,AB=8cm,E 、F 、G 、H 分别是AD 、BD 、BC 、AC 的中点，那么四边形EFGH 的周长是（ ）.A.14cmB.15cmC.16cmD.17cm图1 图2 图35.如图2,等腰梯形ABCD,周长为40,∠BAD=60°,BD 平分∠ABC,则CD 的长为（ ）.A.4B.5C.8D.106.下列四边形中，两条对角线一定不相．．等．的是（ ）. A.正方形 B.矩形 C.等腰梯形 D.直角梯形7．如图3,等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD=BC=8，AB=10，CD=6，则梯形ABCD 的面积是（ ）. A.1516 B.516 C.1532 D.17168.在下列图形中，沿着虚线将长方形剪成两部分，那么由这两部分既能拼成平行四边形，又能拼成三角形和梯形的是 （ ）.A B C D9.在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB>CD ，如果∠D>∠C ，那么AD 和BC 的关系是（ ）A .AD>BCB .AD=BC C .AD<BCD .不能确定10.腰梯形两底之差的一半等于它的高，那么此梯形的一个底角是（ ）A .30°B .45°C .60°D .75°二、填空题11.直角梯形两底之差等于高，则其最大角等于_______.12.如图4，四边形ABCD是等腰梯形，AD//BC，AB=CD，则AC=_______，∠BAD=_____，∠BCD=_____，等腰梯形这个性质用文字语言可表述为_______．ADB C图413.等腰梯形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，那么图中的全等三角形最多有________对.14.在四边形ABCD中AD∥BC，但AD≠BC，若使它成为等腰梯形，则需添加的条件是_____（填一个正确的条件即可）15.如图5,梯形ABCD中,AB//CD,∠ABC=90°,AB=9cm,BC=8cm,CD=7cm,M是AD的中点,过M作AD的垂线交BC于N,则BN等于_____cm.2图5 图616.如图6，梯形ABCD中，AD∥BC，若∠B=60°，AC⊥AB，那么∠DAC= ．3017.如图7，在等腰梯形ABCD中AD//BC，AB=DC，CD=BC，E是BA、CD延长线的交点，∠E=40°，则∠ACD=____________度.15图7 图818.如图8,在等腰梯形ABCD中,AD//BC,AC、BD相交于点O，有如下结论：①∠DAC=∠DCA；②梯形ABCD是轴对称图形；③△AOB≌△AOD；④AC=BD.请把其中正确结论的序号填写在横线上__________.19.等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，BC=BD，则∠A= .20.等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，∠DAB=60°，若梯形周长为8㎝，则AD= .三、解答题21.(12分)如图9,等腰梯形的上下底分别是3cm和5cm,一个角是45°,求等腰梯形的面积.图922.(12分) 如图10，等腰梯形ABCD中，AB//CD，DC=AD=BC，且对角线AC垂直于腰BC，求梯形的各个内角.图1023.(14分) 如图11，梯形ABCD中，AB//CD，AD=BC，延长AB到E，使BE=DC，连结AC、CE.求证AC=CE.图1124.(14分)如图12，等腰梯形ABCD中，AD//BC，AD=3，AB=4，BC=7，求∠B的度数．4．图1225.如图13（尺寸单位：㎜）所示甲、乙两种直角梯形零件，且使两种零件的数量相等，有两种面积相等的矩形铝板可供选用.第一种长500㎜，宽300㎜；第二种长600㎜，宽250㎜.为了充分利用材料，应选第种铝板，这时一块铝板最多能剪甲、乙零件共个.2答案一、1.B 2.A 3.B 4.C 5.C 6.D 7.B 8.D 9. A 10.B二、11. 135°; 12. BD ，∠CDA ，∠ABC ，等腰梯形的对角线相等，等腰梯形同一底上的两个角相等; 13. 3; 14. ∠B=∠C 等; 15.2; 16.30°; 17.15; 18.②④. 19.108°； 20.85㎝ 三、21. 解:因为ABCD 是等腰梯形,AD=3cm,BC=5cm,过点A 作AE ⊥BC 于E, 因为∠B=45°,∠BAE=45°,所以BE=AE,BE=21(5-3)=1,所以AE=1,所以 S 梯形ABCD =21(5+3)×1=4(cm 2). 22. 解：因为AB//CD ，DC=AD=BC ，所以∠1=∠2，∠1=∠3，∠DAB=∠B ， 所以∠1=∠2=∠3，所以∠B=∠DAB=∠2+∠3=2∠2，又AC ⊥BC ，所以∠2+∠B=90°，所以∠B=60°，所以∠DAB=60°，∠ADC=∠BCD=120°.23. 证明:因为AB//CD,BE=DC,且BE 在AB 的延长线上,所以CD//BE,CD=BE,所以四边形DBEC 是平行四边形,所以CE=DB,因为AD=BC,所以梯形ABCD 是等腰梯形,所以AC=BD,所以AC=CE.24.过点A 作AE//DC 交BC 与E,]∵AD//BC ，四边形AEDC 是平行四边形．∴EC=AD=3，DC=AE ，∴BE=BC-CE=7-3=4．∵等腰梯形两腰相等，∴AB=CD=4,∴AE=AB=BE=4，∴△ABE 是等边三角形，∴∠B=60º．25.选第一种铝板，最多能剪甲、乙两种零件2个，共计4个.剩余边角料面积=500×300－（100+300）×200－（100+300）×150=10000㎜2。

最新华东师大版八年级数学下册第19章矩形、菱形与正方形单元测试题（附答案）第19章矩形、菱形与正方形一、选择题(每小题4分,共20分)1.如图答案1,菱形ABCD的对角线相交于点O,若AC=8,BD=6,则菱形的周长为()A.40B.30C.28D.202.矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是()A.对边相等B.对角相等C.对角线相等D.对角线互相平分图答案1 图答案23.如图答案2,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,BD=12,∠ACB=30°,则AB的长为()A.9B.6C.12D.244.如图答案3,在?ABCD中,∠BAD的平分线交BC于点E,∠ABC的平分线交AD于点F.若BF=12,AB=10,则AE的长为()A.10B.12C.16D.18图答案3 图答案45.如图答案4,菱形ABOC 中,对角线OA 在y 轴的正半轴上,且OA=4,直线y=23x+43过点C ,则菱形ABOC 的面积是( )A .8B .4C .323D .163二、填空题(每小题5分,共25分)6.菱形ABCD 中,∠A=60°,其周长为24 cm,则菱形的面积为 cm 2.7.如图答案5,在正方形ABCD 中,边长为1,对角线AC ,BD 交于点O ,E 是BC 边上任意一点,过点E 分别向BD ,AC 作垂线,垂足分别为F ,G ,则四边形OFEG 的周长是 .图答案5 图答案68.如图答案6,矩形OBCD 的顶点C 的坐标为(1,3),连结BD ,则线段BD 的长为 . 9.如图答案7,菱形ABCD 的面积为120 cm 2,正方形AECF 的面积为50 cm 2,则菱形ABCD 的边长为 cm .图答案7 图答案810.如图答案8,已知正方形ABCD 的一条对角线长为10√2 cm,矩形EFCG 的3个顶点分别在△BCD 的边上,则矩形EFCG 的周长是 .三、解答题(共55分)11.(10分)如图答案9,在矩形ABCD中,点E在AD上,且BE=BC.(1)EC平分∠BED吗?证明你的结论.(2)若AB=1,∠ABE=45°,求BC的长.图答案912.(10分)在正方形ABCD中,对角线BD所在的直线上有两点E,F 满足BE=DF,连结AE,AF,CE,CF,如图答案10所示.(1)求证:△ABE≌△ADF;(2)试判断四边形AECF的形状,并说明理由.图答案1013.(10分)如图答案11,正方形ABCD的边长为8 cm,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA上的动点,且AE=BF=CG=DH.(1)求证:四边形EFGH是正方形;(2)判断直线EG是否经过某一定点,说明理由.图答案1114.(12分)如图答案12,将?ABCD沿过点A的直线折叠,使点B落到AD边上的点F处,折痕为AE,连结DE.(1)求证:四边形ABEF是菱形;(2)若DE平分∠ADC,则四边形CDFE是菱形吗?请说明理由.图答案1215.(13分)如图答案13①,四边形ABCD是菱形,点M,N分别在AB,AD上,且BM=DN,MG∥AD,NF∥AB,点F,G分别在BC,CD上,MG与NF相交于点E.(1)求证:四边形AMEN是菱形;(2)如图②,连结AC.在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出面积相等的四边形.图答案13答案1.[答案] D2.[答案] C3.[答案] B4.[答案] C5.[答案] B6.[答案] 18√37.[答案] √28.[答案] √109.[答案] 1310.[答案] 20 cm11.解:(1)EC平分∠BED.证明如下:∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∴∠DEC=∠BCE.∵BE=BC,∴∠BEC=∠BCE,∴∠BEC=∠DEC,∴EC平分∠BED.(2)∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=90°.∵∠ABE=45°,∴∠ABE=∠AEB=45°,∴AE=AB=1,由勾股定理得BE=√12+12=√2,∴BC=BE=√2.12.解:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴∠ABD=∠ADB=45°,AB=AD,∴∠ABE=∠ADF=135°.又∵BE=DF,∴△ABE≌△ADF(S.A.S.).(2)四边形AECF是菱形.理由:∵△ABE≌△ADF,∴AE=AF.连结AC交BD于点O.∵四边形ABCD是正方形,∴OA=OC,OB=OD.∵BE=DF,∴OE=OF,∴四边形AECF是平行四边形.又∵AE=AF,∴四边形AECF是菱形.13.解:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴∠A=∠B=90°,AB=DA.∵AE=DH,∴BE=AH.又∵AE=BF,∴△AEH≌△BFE,∴EH=FE,∠AHE=∠BEF.同理:FE=GF=HG,∴EH=FE=GF=HG,∴四边形EFGH是菱形.∵∠A=90°,∴∠AHE+∠AEH=90°,∴∠BEF+∠AEH=90°,∴∠FEH=90°,∴菱形EFGH是正方形.(2)直线EG经过正方形ABCD的中心.理由如下:连结BD交EG于点O.∵四边形ABCD是正方形,∴AB∥DC,AB=DC,∴∠EBD=∠GDB.∵AE=CG,∴BE=DG.又∵∠EOB=∠GOD,∴△EOB≌△GOD,∴BO=DO,即O为BD的中点,∴直线EG经过正方形ABCD的中心.14.解:(1)证明:如图,由折叠的性质可知,∠1=∠2,AB=AF.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC,∴∠2=∠3,∴∠1=∠3,∴AB=BE,∴AF=BE.又∵AF∥BE,∴四边形ABEF是平行四边形.又∵AB=BE,∴?ABEF是菱形.(2)四边形CDFE是菱形.理由:如图,∵DF=AD-AF,CE=BC-BE,由(1)知AD=BC,AF=BE,∴DF=CE.又∵DF∥CE,∴四边形CDFE是平行四边形.∵DE平分∠ADC,∴∠4=∠5.∵AD∥BC,∴∠4=∠6,∴∠5=∠6,∴CD=CE,∴?CDFE是菱形.15.解:(1)证明:∵MG∥AD,NF∥AB,∴四边形AMEN是平行四边形.∵四边形ABCD是菱形,∴AB=AD.又∵BM=DN,∴AB-BM=AD-DN,即AM=AN,∴四边形AMEN是菱形.(2)∵四边形AMEN是菱形,∴S△AEM=S△AEN.同理,四边形CGEF是菱形,∴S△CEF=S△CEG.∵四边形ABCD是菱形,∴S△ABC=S△ADC,∴S四边形MBFE=S四边形DNEG,S四边形MBCE=S四边形DNEC,S四边形MBCG=S四边形DNFC,S四边形ABFE=S四边形ADGE,S=S四边形ADGM.四边形ABFN。

新课标华东师大版八年级数学下册19.1～19.2矩形、菱形同步测试（含解析）一、选择题(每小题4分，共24分)1．下列命题中，是真命题的是( )A．对角线互相平分且相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直且相等的四边形是矩形C．对角线互相平分且相等的四边形是菱形D．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形2．已知▱ABCD，对角线AC，BD相交于点O，要使▱ABCD为矩形，需添加下列的一个条件是( )A．OA＝OB B．∠BAC＝∠DACC．AC⊥BD D．AB＝BC3．如图4－G－1，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中，不一定．．．正确的是( )A．AB＝CDB．AC＝BDC．当AC⊥BD时，它是菱形D．当∠ABC＝90°时，它是矩形4－G－14－G－2.如图4－G－2，矩形的两条对角线的一个交角为60°，两条对角线的长度的和为20 cm，则这个矩形的一条较短边的长度为( )A．10 cm B．8 cm C．6 cm D．5 cm5．如图4－G－3所示，下列条件能使▱ABCD是菱形的是( )①AC⊥BD；②∠BAD＝90°；③AB＝AD；④AC＝BD.A．①③ B．②③ C．③④ D．①②③图4－G－34－G－4.如图4－G－4，在菱形ABCD中，∠ADC＝72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连结CP，则∠CPB的度数是( )A．108° B．100° C．90° D．72°二、填空题(每小题4分，共24分)7．在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若∠AOB＝60°，AC＝10，则AB＝__________．8．已知菱形的边长为5 cm，一条对角线的长为5 cm，则菱形的最大内角的度数是________．9．如果菱形ABCD的周长为40 cm，对角线AC∶BD＝4∶3，那么对角线AC ＝______cm，BD＝______cm.10．如图4－G－5，在矩形ABCD中，BC＝2AB.以点B为圆心，BC长为半径作弧交AD于点E，连结BE.若AB＝1，则AE的长为________．4－G－54－G－611．如图4－G－6所示，在▱ABCD中，AB＝3 cm，AD＝5 cm，当AC＝________时，四边形ABCD是矩形．图4－G－712．如图4－G－7，平移△ABC到△BDE的位置，且点D在边AB的延长线上，连结EC，CD，若AB＝BC，则以下四个结论：①四边形ABEC是平行四边形；②四边形BDEC是菱形；③AC⊥DC；④DC平分∠BDE，正确的是__________(填序号)．三、解答题(共52分)13．(8分)如图4－G－8，四边形ABCD是平行四边形，EB＝EC，EA＝ED，∠AEB＝∠DEC.求证：四边形ABCD是矩形．图4－G－814.(10分)如图4－G－9，在四边形ABCD中，BC＝DC，∠C＝2∠BAD，O是四边形ABCD内一点，且OA＝OB＝OD.求证：(1)∠BOD＝∠C；(2)四边形OBCD是菱形．图4－G－915．(10分)如图4－G－10，在矩形ABCD中，连结对角线AC，BD，将△ABC 沿BC方向平移，使点B移到点C的位置，得到△DCE.(1)求证：△ACD≌△EDC；(2)请探究△BDE的形状，并说明理由．图4－G－1016．(12分)如图4－G－11所示，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC 延长线上一点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F，连结AE，CF.(1)求证：AF＝CE；(2)若AC＝EF，试判断四边形AFCE是什么特殊的四边形，并证明你的结论．图4－G－1117．(12分)如图4－G－12，以△ABC的边AB，AC为边的△ABD和△ACE都是等边三角形，四边形ADFE是平行四边形．(1)当∠BAC满足什么条件时，四边形ADFE是矩形？(2)当∠BAC满足什么条件时，▱ADFE不存在？(3)当△ABC满足什么条件时，▱ADFE是菱形？图4－G－121．A [解析] 因为对角线互相平分的四边形是平行四边形，又因为对角线相等的平行四边形是矩形，所以A选项正确，C选项错误；对角线互相垂直且相等的四边形可能是下图所示的情况，所以B，D两个选项错误．故选A.2．A [解析] 要使▱ABCD变为矩形，可添加的条件是OA＝OB，(对角线相等的平行四边形是矩形)．故选A.3．B 4.D5．A [解析] 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形．6．D [解析] 连结PA，如图所示．∵四边形ABCD是菱形，∴∠ADP＝∠CDP＝12∠ADC＝36°，BD所在直线是菱形的对称轴，∴PA＝PC.∵AD的垂直平分线交对角线BD于点P，∴PA＝PD，∴PD＝PC，∴∠PCD＝∠CDP＝36°，∴∠CPB＝∠PCD＋∠CDP＝72°.故选D.7．5 [解析] 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O, AC＝10，∴OA＝OB＝12AC＝ 5.∵∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OA＝5.8．120°9.16 1210. 3 [解析] ∵四边形ABCD是矩形，BC＝2AB，AB＝1，∴AD＝BC＝2，∠A＝90°，∴BE＝BC＝2，∴AE＝BE2－AB2＝22－12＝ 3.故答案为 3.11.34 cm [解析] 要使▱ABCD为矩形，需要一个角为直角，不妨让∠B＝90°，则在Rt△ABC中，AC＝AB2＋BC2＝32＋52＝34(cm)．12．①②③④13．证明：如图，连结AC ，∵∠AEB ＝∠DEC ，∴∠AEB ＋∠BEC ＝∠DEC ＋∠BEC ， 即∠AEC ＝∠DEB . 在△ACE 和△DBE 中， ⎩⎨⎧EA ＝ED ，∠AEC ＝∠DEB EC ＝EB ，， ∴△ACE ≌△DBE (S.A.S.)， ∴AC ＝BD .∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴四边形ABCD 是矩形．14．证明：(1)延长OA 到点E .∵OA ＝OB ，∴∠ABO ＝∠BAO ，∴∠BOE ＝∠ABO ＋∠BAO ， ∴∠BOE ＝2∠BAO .同理可得∠DOE ＝2∠DAO ，∴∠BOE ＋∠DOE ＝2∠BAO ＋2∠DAO ＝2(∠BAO ＋∠DAO )，即∠BOD ＝2∠BAD . 又∵∠BCD ＝2∠BAD ， ∴∠BOD ＝∠BCD . (2)连结OC .∵OB ＝OD ，BC ＝DC ，OC ＝OC ， ∴△OBC ≌△ODC ，∴∠BOC ＝∠DOC ，∠BCO ＝∠DCO ，∴∠BOC ＝12∠BOD ，∠BCO ＝12∠BCD .又∵∠BOD ＝∠BCD ，∴∠BOC ＝∠BCO ， ∴OB ＝BC .又∵OB ＝OD ，BC ＝DC ，∴OB ＝BC ＝DC ＝DO ，∴四边形OBCD 是菱形． 15．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ＝DC ，AC ＝BD ，AD ＝BC ， ∠ADC ＝∠ABC ＝90°.由平移的性质得：DE ＝AC ，CE ＝BC ，DC ＝AB ， ∠ECD ＝∠ABC ＝90°，∴AD ＝CE .在△ACD 和△EDC 中，⎩⎨⎧AD ＝CE ，∠ADC ＝∠ECD ，CD ＝DC ，∴△ACD ≌△EDC .(2)△BDE 是等腰三角形．理由如下： ∵AC ＝BD ，DE ＝AC ，∴BD ＝DE ， ∴△BDE 是等腰三角形．16．解：(1)证明：∵AF ∥CE ，∴∠FAD ＝∠ECD . ∵D 是AC 的中点，∴AD ＝CD . 又∵∠ADF ＝∠CDE ， ∴△ADF ≌△CDE ， ∴AF ＝CE .(2)若AC ＝EF ，则四边形AFCE 是矩形． 证明：由(1)知AF 綊CE ，∴四边形AFCE 是平行四边形．又∵AC ＝EF ，∴四边形AFCE 是矩形．17．解：(1)当∠BAC ＝150°时，四边形ADFE 是矩形． (2)当∠BAC ＝60°时，▱ADFE 不存在． (3)当AB ＝AC 时，▱ADFE 是菱形．。

19.3梯形
梯形问题中经常用到的辅助线
1．下列说法中正确的是(
) A ． 等腰梯形两底角相等 B ． 等腰梯形的一组对边相等且平行
C ． 等腰梯形同一底上的两个角都等于90°
D ． 等腰梯形的四个内角中不可能有直角
2．已知等腰梯形的周长25cm ，上、下底分别为7cm 、8cm ，则腰长为_____cm ．
3．等腰梯形中一个锐角为70°，则另外三个角分别为____， ____， ____．
4.5. 已知：如图，在等腰梯形ABCD 高DF =2，求腰DC 如果将本题改为 (1)已知下底、腰、高，求上底；
(2)已知上底、下底、腰，求高．你能解决这个问题吗？
说出你的思路．
B
C A B C
D F
6已知：如图，四边形ABCD 是等腰梯形，AD =BC ，AD =5，CD =2，AB =8，求梯形ABCD 的面积．
7.已知：如图，等腰梯形ABCD ，AD ∥BC ，对角线AC ⊥BD ，AD =3cm ，BC =7cm ． 求梯形的面积．
8. 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A =90°，
∠D =150°，CD =8cm ，则AB = ．
D A B C
F A B
D A B D C。

第19章矩形、菱形、正方形单元检测题时间：120分钟满分：120分一、选择题(每小题3分，共30分)1．下列命题中正确的是( B )A．有一组邻边相等的四边形是菱形 B．有一个角是直角的平行四边形是矩形C．对角线垂直的平行四边形是正方形 D．一组对边平行的四边形是平行四边形2．如图，在矩形ABCD中，AC与BD相交于点O，若∠DBC＝30°，则∠AOB等于( D )A．120° B．15° C．30° D．60°3．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作EF⊥AC交BC于点E，交AD于点F，连结AE，CF，则四边形AECF是( C )A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形,第2题图),第3题图),第5题图),第6题图) 4．一个菱形的周长为8 cm，高为1 cm，则这个菱形的两邻角的度数之比为( D )A．2∶1 B．3∶1 C．4∶1 D．5∶15．如图，在△ABC中，点E，D，F分别在边AB，BC，CA上，且DE∥CA，DF∥BA.下列四个判断中不正确的是( D )A ．四边形AEDF 是平行四边形B ．如果∠BAC ＝90°，那么四边形AEDF 是矩形C ．如果AD 平分∠BAC ，那么四边形AEDF 是菱形D ．如果AD ⊥BC 且AB ＝AC ，那么四边形AEDF 是正方形6．如图，矩形纸片ABCD 中，AB ＝4，BC ＝8，将纸片沿EF 折叠，使点C 与点A 重合，则下列结论错误的是( D )A ．AF ＝AEB ．△ABE ≌△AGFC ．EF ＝2 5D ．AF ＝EF7．如图，一个矩形被分成不同的4个三角形，其中绿色三角形的面积占矩形面积的15%，黄色的三角形的面积是21 cm 2，则该矩形的面积为( A )A ．60 cm 2B ．70 cm 2C ．120 cm 2D ．140 cm 28．如图，正方形ABCD 的边长为1，点E 在对角线BD 上，且∠BAE ＝22.5°，EF ⊥AB ，垂足为F ，则EF 的长为( C )A ．1 B. 2 C ．1－22D.2－4 ,第7题图),第8题图),第9题图),第10题图)9．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABOC 的顶点O 在坐标原点，边BO 在x 轴的负半轴上，∠BOC ＝60°，顶点C 的坐标为(m ，32)，反比例函数y ＝k x的图象与菱形对角线AO 交于D 点，连结BD ，当DB ⊥x轴时，k的值是( D )A．1 B．－1 C. 3 D．－ 310．如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE.将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG，CF.则下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝CG；③AG∥CF；④S△EGC＝S△AFE；⑤∠AGB＋∠AED＝145°.其中正确的个数是( C )A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题(每小题3分，共24分)11．如图，在矩形ABCD中，E为BC的中点，且∠AED＝90°，AD＝10，则AB的长为__5__．,第11题图) ,第13题图),第14题图) ,第15题图) 12．在菱形ABCD中，对角线AC，BD的长分别是6和8，则菱形的周长是__20__．13．如图，▱ABCD的顶点B在矩形AEFC的边EF上，点B与点E，F不重合，已知△ACD的面积为3，则图中阴影部分两个三角形的面积和为__3__．14．如图，▱ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，AB＝5，AC＝4，BD＝2，小明说：“这个四边形是菱形．”他说这话的根据是__对角线互相垂直的平行四边形是菱形__．15．▱ABCD中，给出下列四个条件：①AC⊥BD；②∠ADC＝90°；③BC＝CD；④AC＝BD.其中选两个条件能使▱ABCD是正方形的有__①②、①④、②③、③④__．(填上所有正确结果的序号)16．如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝12，BC ＝5，点E 在AB 上，将△DAE 沿DE 折叠，使点A 落在对角线BD 上的点A ′处，则AE 的长为__103__． ,第16题图) ,第17题图),第18题图)17．如图，将菱形纸片ABCD 折叠，使点A 恰好落在菱形的对称中心O 处，折痕为EF ，若菱形ABCD 的边长为2 cm ，∠A ＝120°，则EF ＝18．正方形A 1B 1C 1O ，A 2B 2C 2C 1，A 3B 3C 3C 2，…按如图所示的方式放置，点A 1，A 2，A 3，…和点C 1，C 2，C 3，…分别在直线y ＝kx ＋b(k ＞0)和x轴上，已知点B 1(1，1)，B 2(3，2)，则点B n 的坐标为__(2n －1，2n －1)__．三、解答题(共66分)19．(8分)如图，在矩形ABCD 中，两条对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是AC 上的一点，且BO ＝2AE ，∠AOD ＝120°，求证：BE ⊥AC.解：∵四边形ABCD 是矩形，∴OB ＝OA ，又∵OB ＝2AE ，∴AE ＝OE ，又∵∠AOD ＝120°，∴∠AOB ＝60°，∴△ABO 是等边三角形．又∵AE ＝OE ，∴BE ⊥AO ，即BE ⊥AC20．(8分)如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别是边BC，AD的中点．(1)求证：△ABE≌△CDF；(2)若∠B＝60°，AB＝2，求线段AE的长．解：(1)用SAS证△ABE≌△CDF (2)∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴BE＝CE＝1，AE⊥BC，∴AE＝AB2－BE2＝22－12＝ 321．(10分)如图，在正方形ABCD中，E是CD边的中点，AC与BE相交于点F，连结DF.(1)在不增加点和线的前提下，直接写出图中所有的全等三角形；(2)连结AE，试判断AE与DF的位置关系，并说明理由．解：(1)△ADC≌△ABC，△ADF≌△ABF，△CDF≌△CBF (2)AE ⊥DF.理由如下：设AE与DF相交于点H，易证△ADF≌△ABF，∴∠ADF＝∠ABF，再证△ADE≌△BCE，∴∠DAE＝∠CBE，∵∠ABF＋∠CBE ＝90°，∴∠ADF＋∠DAE＝90°，∴∠DHA＝90°，∴AE⊥DF22．(9分)如图，CE是△ABC外角∠ACD的平分线，AF∥CD交CE 于点F，FG∥AC交CD于点G.求证：四边形ACGF是菱形．解：易证四边形ACGF是平行四边形，再证AC＝AF，故四边形ACGF 是菱形23．(9分)如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F.(1)求证：四边形AFDE是菱形；(2)当∠ABC等于多少度时，四边形AFDE是正方形？请说明理由．解：(1)易证四边形AFDE是平行四边形，∵D为BC中点，DE∥AB，DF∥AC，∴DE＝12AB，DF＝12AC，∵AB＝AC，∴DE＝DF，∴四边形AFDE是菱形(2)当∠ABC＝45°时，四边形AFDE是正方形，理由略24.(10分)如图，△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连结DO并延长到点E，使OE＝OD，连结AE，BE.(1)求证：四边形AEBD是矩形；(2)当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．解：(1)∵OA＝OB，OE＝OD，∴四边形AEBD为平行四边形，∵AB ＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，即∠ADB＝90°，∴四边形AEBD为矩形(2)当∠BAC＝90°时，四边形AEBD为正方形，理由如下：∵∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，AD⊥BC，∴∠DAB＝∠DBA＝45°，∴BD＝AD，∴矩形AEBD为正方形25．(12分)已知，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，∠ABC ＝45°，点D 为直线BC 上一动点(点D 不与点B ，C 重合)．以AD 为边作正方形ADEF ，连结CF.(1)如图①，当点D 在线段BC 上时，求证：CF ＋CD ＝BC ；(2)如图②，当点D 在线段BC 的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF ，BC ，CD 三条线段之间的关系；(3)如图③，当点D 在线段BC 的反向延长线上时，且点A ，F 分别在直线BC 的两侧，其他条件不变：①请直接写出CF ，BC ，CD 三条线段之间的关系；②若正方形ADEF 的边长为2，对角线AE ，DF 相交于点O ，连结OC ，求OC 的长度．解：(1)∵∠BAC ＝90°，∠ABC ＝45°，∴∠ACB ＝∠ABC ＝45°，∴AB ＝AC ，可证△BAD ≌△CAF(SSS)，∴BD ＝CF ，∵BC ＝BD ＋CD ，∴CF ＋CD ＝BC (2)BC ＝CF －CD (3)①CD －CF ＝BC ②由题知，∠BAC ＝90°，∠ABC ＝45°，∵四边形ADEF 是正方形，∴AD ＝AF ，∠DAF ＝90°，∵∠BAD ＝90°－∠BAF ，∠CAF ＝90°－∠BAF ，∴∠BAD ＝∠CAF ，又∵AB ＝AC ，∴△BAD ≌△CAF(SAS)，∴∠ACF ＝∠ABD ，∵∠ABC ＝45°，∴∠ABD ＝135°，∴∠ACF ＝∠ABD ＝135°，∴∠FCD ＝90°，∴△FCD 为直角三角形，∵DE ＝2，∴DF ＝2DE ＝22，∴OC ＝12DF ＝ 2四边形测试题一、选择题(本大题共5小题，每小题5分，共25分；在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题意)1．若菱形的周长为48 cm，则其边长是()A．24 cmB．12 cmC．8 cmD．4 cm2．如图3－G－1，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB的大小为()图3－G－1A．30°B．60°C．90°D．120°3.如图3－G－2所示，在菱形ABCD中，不一定成立的是()图3－G－2A．四边形ABCD是平行四边形B．AC⊥BDC．△ABD是等边三角形D．∠CAB＝∠CAD4．如图3－G－3，在矩形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，点E，F分别是OD，OC的中点．如果AC＝10，BC＝8，那么EF的长为()A．6 B．5 C．4 D．3图3－G－35．如图3－G－4，菱形ABCD的周长为16，∠ABC＝120°，则AC的长为()图3－G－4A．4 3B．4C．2 3D．2二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)6．在菱形ABCD中，若对角线AC＝8 cm，BD＝6 cm，则边长AB＝________ cm.7．矩形两对角线的夹角为120°，矩形的宽为3，则矩形的面积为__________．8．如图3－G－5所示，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F，AB＝2，BC＝3，则图中阴影部分的面积为________．图3－G－59．已知菱形ABCD的面积为24 cm2，若对角线AC＝6 cm，则这个菱形的边长为________cm.10．如图3－G－6，在△ABC中，点D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，且DE＝DF.给出下列条件：①BE⊥EC；②BF∥CE；③AB＝AC.从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，你认为这个条件是________(只填写序号)．图3－G－6三、解答题(本大题共5小题，共50分)11．(6分)如图3－G－7所示，已知四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O，AB＝5，AO＝4，求BD的长．图3－G－712．(8分)如图3－G－8，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD是BC边上的中线，四边形ADBE是平行四边形．(1)求证：四边形ADBE是矩形；(2)求矩形ADBE的面积．图3－G－813.(12分)如图3－G－9①，在△ABC和△EDC中，AC＝CE＝CB＝CD，∠ACB＝∠DCE ＝90°，AB与CE交于点F，ED与AB，BC分别交于M，H.(1)求证：CF＝CH；(2)如图②，△ABC不动，将△EDC绕点C旋转到∠BCE＝45°时，试判断四边形ACDM 是什么四边形？并证明你的结论．图3－G－914．(12分)如图3－G－10，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC＋∠ADC＝180°.(1)求证：四边形ABCD是矩形．(2)若∠ADF∶∠FDC＝3∶2，DF⊥AC，则∠BDF的度数是多少？图3－G－1015．(12分)如图3－G－11，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BD＝12 cm，AC ＝6 cm，点E在线段BO上从点B以1 cm/s的速度运动，点F在线段OD上从点O以2 cm/s 的速度运动．(1)若点E，F同时运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，四边形AECF是平行四边形？(2)在(1)的条件下，①当AB为何值时，四边形AECF是菱形？②四边形AECF可以是矩形吗？为什么？图3－G－111．B 2．B3．C [解析] 灵活掌握菱形的性质定理即可判断． 4．D [解析] ∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ，∠ABC ＝90°.∵AC ＝10，BC ＝8，由勾股定理得AB ＝102－82＝6，∴CD ＝AB ＝6.∵点E ，F 分别是OD ，OC 的中点，∴EF ＝12CD ＝3.故选D . 5．A [解析] 设AC 与BD 交于点E ，则∠ABE ＝60°.根据菱形的周长求出AB ＝16÷4＝4.在Rt △ABE 中，求出BE ＝2，根据勾股定理求出AE ＝42－22＝2 3，故可得AC ＝2AE ＝4 3.6．5 [解析] 如图，∵在菱形ABCD 中，对角线AC ＝8 cm ，BD ＝6 cm ，∴AO ＝12AC＝4 cm ，BO ＝12BD ＝3 cm .∵菱形的对角线互相垂直，∴在Rt △AOB 中，AB ＝AO 2＋BO 2＝42＋32＝5(cm )．7．9 3 [解析] 根据勾股定理求得矩形的另一边长为3 3，所以面积是9 3.8．3 [解析] 可证得△AOE ≌△COF ，所以阴影部分的面积就是△BCD 的面积，即矩形面积的一半．9．5 [解析] 菱形ABCD 的面积＝12AC·BD.∵菱形ABCD 的面积是24 cm 2，其中一条对角线AC 长6 cm ，∴另一条对角线BD 的长为8 cm .边长＝32＋42＝5 (cm )．10．③ [解析] 由题意得BD ＝CD ，ED ＝FD ，∴四边形EBFC 是平行四边形．①BE ⊥EC ，根据这个条件只能得出四边形EBFC 是矩形；②BF ∥CE ，根据EBFC 是平行四边形已可以得出BF ∥CE ，因此不能根据此条件得出▱EBFC 是菱形；③AB ＝AC ，∵⎩⎨⎧AB ＝AC ，DB ＝DC ，AD ＝AD ，∴△ADB ≌△ADC(SSS)，∴∠BAD ＝∠CAD ，∴△AEB ≌△AEC(SAS)，∴BE ＝CE ，∴四边形BECF 是菱形． 11．解：∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC ⊥BD ，DO ＝BO. ∵AB ＝5，AO ＝4，∴BO ＝AB 2－AO 2＝52－42＝3， ∴BD ＝2BO ＝6.12．解：(1)证明：∵AB ＝AC ，AD 是BC 边上的中线，∴AD ⊥BC ， ∴∠ADB ＝90°.∵四边形ADBE 是平行四边形， ∴▱ADBE 是矩形．(2)∵AB ＝AC ＝5，BC ＝6，AD 是BC 边上的中线，∴BD ＝DC ＝6×12＝3.在Rt △ACD 中，AD ＝AC 2－DC 2＝52－32＝4， ∴S 矩形ADBE ＝BD·AD ＝3×4＝12.13．解：(1)证明：∵AC ＝CE ＝CB ＝CD ，∠ACB ＝∠ECD ＝90°， ∴∠A ＝∠B ＝∠D ＝∠E ＝45°. 在△BCF 和△ECH 中， ⎩⎨⎧∠B ＝∠E ，BC ＝EC ，∠BCF ＝∠ECH ，∴△BCF ≌△ECH(ASA)， ∴CF ＝CH.(2)四边形ACDM 是菱形．证明：∵∠ACB ＝∠DCE ＝90°，∠BCE ＝45°， ∴∠ACE ＝∠DCH ＝45°.∵∠E ＝45°，∴∠ACE ＝∠E ，∴AC ∥DE ， ∴∠AMH ＝180°－∠A ＝135°＝∠ACD. 又∵∠A ＝∠D ＝45°，∴四边形ACDM 是平行四边形． ∵AC ＝CD ，∴四边形ACDM 是菱形．14．解：(1)证明：∵AO ＝CO ，BO ＝DO ， ∴四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠ABC ＝∠ADC.∵∠ABC ＋∠ADC ＝180°， ∴∠ABC ＝∠ADC ＝90°， ∴四边形ABCD 是矩形．(2)∵∠ADC ＝90°，∠ADF ∶∠FDC ＝3∶2， ∴∠FDC ＝36°.∵DF ⊥AC ，∴∠DCO ＝90°－36°＝54°. ∵四边形ABCD 是矩形，∴OC ＝OD ，∴∠ODC ＝54°， ∴∠BDF ＝∠ODC －∠FDC ＝18°.15．解：(1)若四边形AECF 是平行四边形， 则AO ＝OC ，EO ＝OF.∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴BO ＝OD ＝6 cm ， ∴EO ＝6－t ，OF ＝2t ， ∴6－t ＝2t ，∴t ＝2，∴当t ＝2时，四边形AECF 是平行四边形． (2)①若四边形AECF 是菱形， ∴AC ⊥BD ，∴AO 2＋BO 2＝AB 2，∴AB ＝36＋9＝3 5， 即当AB ＝3 5时，四边形AECF 是菱形． ②不可以．理由：若四边形AECF 是矩形，则EF ＝AC ， ∴6－t ＋2t ＝6，∴t ＝0，则此时点E 在点B 处，点F 在点O 处， 显然四边形AECF 不可以是矩形．四边形全章综合测试1.如图，E F 、是ABCD 对角线AC 上两点，且AE CF =，连结DE 、BF ，则图中共有全等三角形的对数是（ ）Ａ．1对Ｂ．2对Ｃ．3对Ｄ．4对2.如图，在在平行四边形ABCD 中，对角线AC BD ，相交于点O ，E F ，是对角线AC 上的两点，当E F ，满足下列哪个条件时，四边形DEBF 不一定是是平行四边形（ ） Ａ．OE OF = Ｂ．DE BF = Ｃ．ADE CBF ∠=∠ Ｄ．ABE CDF ∠=∠ABF ECD3.在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是（ ）．A ．测量对角线是否相互平分B ．测量两组对边是否分别相等C ．测量一组对角线是否都为直角D ．测量其中三角形是否都为直角4.如果一个四边形绕对角线的交点旋转90，所得的图形与原来的图形重合，那么这个四边形一定是（ ） Ａ．平行四边形Ｂ．矩形Ｃ．菱形Ｄ．正方形5. 已知点(20)A ，、点B （12-，0）、点C （0，1），以A 、B 、C 三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在 （ ）Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限6.如图，在平行四边形ABCD 中，AC BD ，相交于点O ．下列结论：①OA OC =，②BAD BCD ∠=∠，③AC BD ⊥，④180BAD ABC ∠+∠=．其中，正确的个数有（ ） Ａ．1个Ｂ．2个Ｃ．3个Ｄ．4个7.如图，平行四边形ABCD 中，AB3=，5BC =，AC 的垂直平分线交AD 于E ，则CDE △的周长是（） Ａ．6Ｂ．8Ｃ．9Ｄ．108.把长为10cm 的矩形按虚线对折，按图中的虚线剪出一个直角梯形，打开得到一个等腰梯形，如果剪掉．．部分的面积为12cm 2，则打开后梯形的周长是 （ ）A 、（10+25）cmB 、（12+25）cmC 、22cmD 、20cm9.如图，正方形ABCD 的边长为2，点E 在AB 边上，四边形EFGB 也为正方形，设AFC △的面积为S ，则（ ）Ａ．2S =Ｂ． 2.4S = Ｃ．4S =Ｄ．S 与BE 长度有关10.梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 、F 为BC 上点，且DE ∥AB ，AF ∥DC ，DE ⊥AF 于G ，若AG =3，DG =4，四边形ABED 的面积为36，则梯形ABCD 的周长为（ ）A ．49B ．43C ．41D ．4611. 已知：如图，正方形ABCD ，AC 、BD 相交于点O ，E 、F 分别为BC 、CD 上的两点，BE=CF ，AE 、BF 分别交BD 、AC 于M 、N 两点， 连结OE 、OF.下列结论，其中正确的是（ ）.①AE=BF ；②AE ⊥BF ；③OM=ON=12DF ；④CE+CF=22AC .（A ）①②④ （B ）①②（C ）①②③④（D ）②③④12.已知菱形ABCD 的边长为6，∠A =60°，如果点P 是菱形内一点，且PB =PD =23，那么AP 的长为 ．13.（7分）如图，在ABC △中，AB BC =，Ｄ、Ｅ、Ｆ分别是BC 、AC 、AB 边上的中点．(1) 求证：四边形BDEF 是菱形；(2) 若12AB =cm ，求菱形BDEF 的周长．AFBDCEGBF A E ABCDOMENFACE GF EDCBA14.（7分）如图，将一张矩形纸片A B C D ''''沿EF 折叠，使点B '落在A D '' 边上的点B 处；沿BG 折叠，使点D '落在点D 处，且BD 过F 点.⑴试判断四边形BEFG 的形状，并证明你的结论. ⑵当∠BFE 为多少度时，四边形BEFG 是菱形.15.（7分）如图，四边形ABCD 为平行四边形，E 为AD 上的一点，连接EB 并延长，使BF=BE ，连接EC 并延长，使CG=CE ，连接FG ．H 为FG 的中点，连接DH ． （1） 求证：四边形AFHD 为平行四边形；（2）若CB=CE ，∠BAE=600 ,∠DCE=200 求∠CBE 的度数．16.（7分）如图，梯形ABCD 中，120AD BC AB DC ADC =∠=∥，，，对角线CA平分DCB ∠，E 为BC 的中点，试求DCE △与四边形ABED 面积的比．17.（8分）在矩形纸片ABCD 中，33AB =，6BC =，沿EF 折叠后，点C 落在AB 边上的点P处，点D 落在点Q 处，AD 与PQ 相交于点H ，30BPE ∠=．AＤＢEC（1）求BE 、QF 的长； （2）求四边形PEFH 的面积．18.（本题12分）如图，四边形ABCD 位于平面直角坐标系的第一象限，B 、C 在x 轴上，A 点函数xy 2上，且AB ∥CD ∥y 轴，AD ∥x 轴，B （1，0）、C （3，0）。

华东师大版八年级数学下册第19章矩形、菱形与正方形19．1矩形同步练习题1．如图，矩形ABCD的顶点A，C分别在直线a，b上，且a∥b，∠1＝60°，则∠2的度数为()A．30°B．45°C．60°D．75°2．如图，在矩形ABCD中，E为BC边的中点，∠AEC的平分线交AD边于点F，若AB＝3，AD＝8，则FD的长为()A．1 B．2 C．3 D．43 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC＝2∠CAD，则∠BAE＝____度．4. 如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE＝CF，EF⊥DF，求证：BF＝CD.5 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB的大小为()A．30°B．60°C．90°D．120°6．如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD相交于点O，则图中等腰三角形的个数是____个．7．如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连结AE，如果∠ADB＝30°，则∠E ＝____度．8．如图，在矩形ABCD中，AC与BD交于点O，若点E是AO的中点，点F是OD的中点．求证：BE＝CF.9．如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠EFB＝65°，则∠AED′等于()A．70°B．65°C．50°D．25°10．如图，点A，D，G，M在半圆上，四边形ABOC，DEOF，HMNO均为矩形，设BC＝a，EF＝b，NH＝c，则下列各式中正确的是()A．a＞b＞c B．a＝b＝c C．c＞a≥b D．b＞c＞a11．如图，在矩形ABCD中(AD＞AB)，点E是BC上一点，且DE＝DA，AF⊥DE，垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是()A．△AFD≌△DCEB．AF＝12ADC．AB＝AFD．BE＝AD－DF12．(如图，四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，点Q在矩形内．(1)求∠PCQ的度数；(2)求证：∠APB＝∠QPC.13．如图，四边形ABCD是矩形，∠EDC＝∠CAB，∠DEC＝90°.(1)求证：AC∥DE；(2)过点B作BF⊥AC于点F，连结EF，试判断四边形BCEF的形状，并说明理由．14．如图，在矩形ABCD中，BC＝10，CD＝5，若点M，N分别是线段BD，BC上的两个动点，则CM＋MN的最小值为____．15．如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处．(1)求证：四边形AECF是平行四边形；(2)若AB＝6，AC＝10，求四边形AECF的面积．答案：1. C2. C3. 22.54. 易证△BEF≌△CFD(ASA)，∴BF＝CD5. B6. 47. 158. 易证△OBE≌△OCF(SAS)，∴BE＝CF9. C10. B11. B12. (1)∵△PBC是等边三角形，∴∠PCB＝60°，又∵四边形ABCD是矩形，∴∠DCB＝90°，∴∠DCP＝30°，同理∠QCB＝30°，∠ABP＝30°，∴∠PCQ＝30°(2)易证△PBA≌△PCQ(SAS)，∴∠APB＝∠QPC13. (1)∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠ACD＝∠CAB，∵∠EDC＝∠CAB，∴∠EDC＝∠ACD，∴AC∥DE(2)四边形BCEF是平行四边形．理由：∵BF⊥AC，四边形ABCD是矩形，∴∠DEC＝∠AFB＝90°，DC＝AB，∵∠EDC＝∠CAB，∴△CDE≌△BAF(AAS)，∴CE＝BF，DE＝AF，∵AC∥DE，DE＝AF，∴四边形ADEF是平行四边形，∴AD＝EF，∵AD＝BC，∴EF＝BC，∵CE＝BF，∴四边形BCEF是平行四边形14. 8 点拨：如图，过C作CE⊥BD，交BD于E，延长CE到F使EF＝CE，过F作FN⊥BC，交BD于M，交BC于N，此时CM＋MN的值最小15. 点拨：如图，过C作CE⊥BD，交BD于E，延长CE到F使EF＝CE，过F作FN⊥BC，交BD于M，交BC于N，此时CM＋MN的值最小初中数学试卷桑水出品。

梯形 同步练习一、填空题1．等腰梯形ABCD 的对角线相交于O 点，∠BOC ＝120°，∠BDC ＝80°，则∠DAB ＝________．2．若等腰梯形的上底与一条腰长的和等于下底的长，则腰长与上底的夹角为________．3．一梯形是上底为4cm ，过上底的一顶点，作—直线平行于一腰，并与下底相交组成一个三角形，若三角形的周长为12cm ，则梯形的周长是________．4．等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A ＝120°，两底分别为15cm 和49cm ，则其腰长为________．5．梯形ABCD 的面积是24，AD ∥BC ，且AD ＝5，BC ＝7，那么梯形的高是________．6．在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝50°，∠C ＝80°，BC ＝5，AC ＝3，则CD ＝________．7．在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝3，AB ＝4，BC ＝5，那么腰CD 的取值X 围是________．8．在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，AD ＝1，△DBC 是等边三角形，则BC ＝________．9．在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝60°，则∠D ＝________．二、选择题10．下列结论正确的是( )．A ．四边形可以分成平行四边形和梯形两类B ．梯形可分为直角梯形和等腰梯形两类C ．平行四边形是梯形的特殊形式D ．直角梯形和等腰梯形都是梯形的特殊形式11．四边形ABCD 中，若∠A ︰∠B ︰∠C ︰∠D ＝2︰2︰1︰3，那么这个四边形是( )．A ．梯形B ．等腰梯形C ．直角梯形D ．任意四边形12．一等腰梯形上底为9cm ，下底为17cm ，一底角为60°，则它的腰长为( )．A ．8cmB ．9cmC ．cm 28D ．8.5cm13．等腰梯形ABCD 中，对角线AC ＝BC ＋AD ，则∠DBC 的度数是( )．A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°三、解答题14．如图12-3-11，已知△ABC中，∠B＝∠C，点D、E分别在边AB、AC上，且AD ＝AE，试说明四边形BCED是等腰梯形．15．如图12-3-12，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝40°，∠C＝70°，试说明AB＋AD＝BC．16．梯形ABCD中，AB∥CD，AB>CD，CE∥DA，交AB于E，且△BCE的周长为7cm，CD为3cm，求梯形ABCD的周长．17．如图12-3-13所示，在梯形ABCD中，上底AD＝1 cm，下底BC＝4cm，对角线BD ⊥AC，且BD＝3cm，AC＝4cm．求梯形ABCD的面积．参考答案一、1．110°2．120°3．20 cm4．34 cm 5．4 6．27．2<CD<6 8．2 9．120°二、10．D 11．C 12．A 13．C14．略．15．过A作AE∥DC交BC于E，EC＝AD，AB＝BE．BE＋EC＝BC，所以AB＋AD＝BC．16．周长为13cm．17．解：过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E．因为在梯形ABCD中，AD∥BC，所以四边形ACED是平行四边形，则AC＝DE，AD＝CE．又因为AC⊥BD．所以BD⊥DE，即△BDE是直角三角形．因为△BDE与梯形ABCD同高，且梯形ABCD中(AD＋BC)＝BC＋CE＝BE，所以)cm(64321SS2BDEABCD=⨯⨯==∆梯形．。

第19章矩形、菱形与正方形一、选择题1.如图，在平行四边形ABCD中，AC平分∠DAB ，AB＝2，则平行四边形ABCD的周长为（）.A. 4B. 6C. 8D. 122.在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O ，则下列说法不正确的是（）.A. AO⊥BOB. ∠ABD＝∠CBDC. AO＝BOD. AD＝CD3.菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为（）A. 3：1B. 4：1C. 5：1D. 6：14.下列性质中，矩形、菱形、正方形都具有的是（）A. 对角线相等B. 对角线互相垂直C. 对角线平分一组对角D. 对角线互相平分5.如图，菱形ABCD的两条对角线相交于点O，若AC=6，BD=4，则菱形ABCD的周长是（）A. 24B. 16C. 2D. 46.（如图，菱形ABCD的周长为24cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE 的长等于（）A. 3cmB. 4cmC. 2.5cmD. 2cm7.如图，在矩形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，若OB=4，则BD的长为（）A. 4B. 6C. 8D. 108.下列条件中，不能判定四边形ABCD为菱形的是（）A. AC⊥BD，AC与BD互相平分B. AB=BC=CD=DAC. AB=BC，AD=CD，AC⊥BDD. AB=CD，AD=BC，AC⊥BD9.已知四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AD∥BC，下列判断中错误的是（）A. 如果AB=CD，AC=BD，那么四边形ABCD是矩形B. 如果AB∥CD，AC=BD，那么四边形ABCD是矩形C. 如果AD=BC，AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形D. 如果OA=OC，AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形10.如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，已知下列6个条件：①AB∥DC；②AB=DC；③AC=BD；④∠ABC=90°；⑤OA=OC；⑥OB=OD.则不能使四边形ABCD成为矩形的是( )A. ①②③B. ②③④C. ②⑤⑥D. ④⑤⑥二、填空题11.已知菱形的一条对角线长为6cm，面积为24cm2，则菱形的周长是________ cm．12.矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠AOD=120°，AC+BD=16，则该矩形的面积为________13.如图，正方形CEGF的顶点E、F在正方形ABCD的边BC、CD上，且AB=5，CE=3，连接BG、DG，则图中阴影部分的面积是________14.如图，在△ABC中，点D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，使四边形AFDE为菱形，应添加的条件是________ （添加一个条件即可）．15.如图，顺次连接矩形ABCD四边的中点得到四边形A1B1C1D1，然后顺次连接四边形A1B1C1D1的中点得到四边形A2B2C2D2，再顺次连接四边形A2B2C2D2四边的中点得到四边形A3B3C3D3，…，已知AB=6，BC=8，按此方法得到的四边形A5B5C5D5的周长为________．16.如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点0，E，F分别为OB，OD上的点，且OE=OF，则由OA=________可以得到四边形AECF是平行四边形，理由是________．17.如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E、F，AB=2，BC=3，则图中阴影部分的面积为________．18.如图，边长为a的正方形ABCD和边长为b的正方形BEFG排放在一起，O1和O2分别是这两个正方形的中心，则阴影部分的面积为________．三、解答题19.如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，CE=CF，∠FDC=30°，求∠BEF的度数．20.已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，若MA=MC，∠BAN=90°，求证：四边形ADCN是矩形．21.已知，如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动．当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，求点P 的坐标．22.如图，在□ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，AE⊥BF于点O，交BC于点E，连接EF．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）连接CF，若∠ABC=60°，AB= 4，AF =2DF，求CF的长．23.已知：如图，菱形花坛ABCD周长是80m，∠ABC=60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，相交于O点．（1）求两条小路的长AC、BD．（结果可用根号表示）（2）求花坛的面积．（结果可用根号表示）24.如图，在矩形纸片ABCD中，AD=5，AB=3，点为上一点，沿着AE剪下，将它平移至的位置，拼成四边形．（1）当点E与点B的距离是多少时，四边形是菱形？并说明理由；（2）在（1）的条件下，求菱形的两条对角线的长．25.如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点F处，FC交AD于E．（1）求证：△AFE ≌△CDF；（2）若AB=4，BC=8，求图中阴影部分的面积．参考答案一、选择题1. C2. C3. C4. D5. D6. A7. C8. C9.A 10.C二、填空题11.20 12.16 13.8 14.AF=AE 15.516.OC；对角线互相平分的四边形是平行四边形17.3 18.ab三、解答题19.解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD=∠DCF=90°，BC=CD，∵CE=CF，∠FDC=30°，∴△BCE≌△DCF，∴∠EBC=∠FDC=30°，∴∠BEC=60°，∵∠DCF=90°，CE=CF，∴∠FEC=45°，∴∠BEF=∠BEC+∠FEC=60°+45°=105°．20.证明：∵CN∥AB，∴∠DAC=∠NCA，在△AMD和△CMN中，∵，∴△AMD≌△CMN（ASA），∴AD=CN．又∵AD∥CN，∴四边形ADCN是平行四边形．又∵∠BAN=90度，∴四边形ADCN是矩形21.解：过P作PM⊥OA于M．（1）当OP=OD时，OP=5，CO=4，∴易得CP=3，∴P（3，4）；（2）当OD=PD时，PD=DO=5，PM=4，∴易得MD=3，从而CP=2或CP'=8，∴P（2，4）或（8，4）；综上，满足题意的点P的坐标为（3，4）、（2，4）、（8，4），22.（1）证明：∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠CBF，∵□ABCD，∴AD∥B，∴∠AFB=∠CBF，∴∠ABF=∠AFB，∴AB=AF，∵AE⊥BF，∴∠ABF+∠BAO=∠CBF+∠BEO=90°，∴∠BAO=∠BEO，∴AB=BE，∴AF=BE，∴四边形ABEF是平行四边形，∴□ABEF是菱形（2）解：∵AD=BC，AF=BE，∴DF=CE，∴BE=2CE，∵AB=4，∴BE=4，∴CE=2，过点A作AG⊥BC于点G，∵∠ABC=60°，AB=BE，∴△ABE是等边三角形，∴BG=GE=2，∴AF=CG=4，∴四边形AGCF是平行四边形，∴□AGCF是矩形，∴AG=CF，在△ABG中，∠ABC=60°，AB=4，∴AG=2 。

20.5 等腰梯形的判定A卷一、选择题1．下列结论中，正确的是（）A．等腰梯形的两个底角相等 B．两个底角相等的梯形是等腰梯形C．一组对边平行的四边形是梯形 D．两条腰相等的梯形是等腰梯形2．如图所示，等腰梯形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则图中全等三角形有（）A．2对 B．3对 C．4对 D．5对3．课外活动课上，•老师让同学们制作了一个对角线互相垂直的等腰梯形形状的风筝，其面积为450cm，则两条对角线所用的竹条长度之和至少为（）A．．30cm C．60cm D．二、填空题4．等腰梯形上底，下底和腰分别为4，•10，•5，•则梯形的高为_____，•对角线为______． 5．一个等腰梯形的上底长为5cm，下底长为12cm，一个底角为60°，则它的腰长为____cm，周长为______cm．6．在四边形ABCD中，AD∥BC，但AD≠BC，若使它成为等腰梯形，则需要添加的条件是__________（填一个正确的条件即可）．三、解答题7．如图所示，AD是∠BAC的平分线，DE∥AB，DE=AC，AD≠EC．求证：•四边形ADCE是等腰梯形．四、思考题8．如图所示，四边形ABCD中，有AB=DC，∠B=∠C，且AD<BC，四边形ABCD是等腰梯形吗？为什么？参考答案一、1．D 点拨：梯形的底角分为上底上的角和下底上的角，•因此在等腰梯形的性质和判别方法中必须强调同一底上的两个内角（•指上底上的两个内角或下底上的两个内角），否则就会出现错误，因此A，B选项都不正确，而C选项中漏掉了限制条件另外一组对边不平行，若平行该四边形就形成了平行四边形了，因此应选D．2．B 点拨：因为△ABC≌△DCB，△BAD≌△CDA，△AOB≌△DOC，所以共有3对全等的三角形．3．C 点拨：设该等腰梯形对角线长为Lcm，因为两条对角线互相垂直，•所以梯形面积为12L2=450，解得L=30，所以所用竹条长度之和至少为2L=2×30=60（cm）．二、4．4点拨：如图所示，连结BD，过A，D分别作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F．易知△BAE≌△CDF，在四边形AEFD为矩形，所以BE=CF=3，AD=EF=4．在Rt△CD F中，FC2+DF2=CD2，即32+DF2=52，所以DF=4，在Rt△BFD中，BF2+DF2=BD2，即72+42=BD2，所以．5．7；31点拨：如图所示，过点D作DE∥AB交BC于E．因为AD∥BC，AB ∥DE，所以四边形ABED是平行四边形．所以BE=AD=5（cm），AB=DE．又因为AB=CD，所以DE=•DC，又因为∠C=60°，所以△DEC是等边三角形，所以DE=DC=EC=7（cm），所以周长为5+•12+7+7=31（cm）．6．AB=CD（或∠A=∠D，或∠B=∠C，或AC=BD，或∠A+∠C=180°，或∠B+∠D=180°）三、7．证明：因为AB∥ED，所以∠BAD=∠ADE．又因为AD是∠BAC的平分线，所以∠BAD=∠CAD，所以∠CAD=∠ADE，所以OA=OD．又因为AC=DE，所以AC-OA=DE-OD即OC=OE，•所以∠OCE=∠OEC，又因为∠AOD=∠COE，所以∠CAD=∠OCE．所以AD∥CE，而AD≠CE，故四边形ADCE是梯形．又因为∠CAD=∠ADE，AD=DA，AC=DE，所以△DAC≌△ADE，所以DC=•AE，所以四边形ADCE是等腰梯形．点拨：证明一个四边形是等腰梯形时，应先证其是梯形而后再证两腰相等或同一底上的两个角相等．四、8．解：四边形ABCD是等腰梯形．理由：延长BA，CD，相交于点E，如图所示，由∠B=∠C，可得EB=EC．又AB=DC，所以EB-AB=EC-DC，即AE=DE，所以∠EAD= ∠EDA．因为∠E+∠EAD+∠EDA=180°，∠E+∠B+∠C=180°，所以∠EAD=∠B．故AD∥BC．•又AD<BC，所以四边形ABCD是梯形．又AB=DC，所以四边形ABCD是等腰梯形．点拨：由题意可知，只要推出AD∥BC，再由AD<BC就可知四边形ABCD为梯形，再由AB=DC，即可求得此四边形是等腰梯形，由∠B=∠C联想到延长BA，CD，即可得到等腰三角形，从而使AD∥BC．20.5 等腰梯形的判定B卷一、七彩题1．（一题多解题）如图所示，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=•12cm，•上底AD=15cm，∠BAD=120°，求下底BC的长．二、知识交叉题2．（科内交叉题）如图所示，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，E，•F•分别是OA，OD的中点，且EF≠AD，试判断四边形EBCF的形状，并说明你的理由．三、实际应用题3．如图所示，小军将两根长度相等的木条AC，BD•交叉摆放，•并使木条AC，BD分别与水平线所成的夹角∠1，∠2相等，然后在交点O处钉一个钉子固定，OA<OC，•再用一根彩带沿AD，DC，CB，BA围起来，小军得到的四边形ABCD是等腰梯形吗？请说明你的理由．四、经典中考题4．（连云港，）如图所示，在直角梯形纸片ABCD中，AB ∥DC， ∠A=90°，CD>AD，将纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在边CD上的点E，折痕为DF，连结EF并展开纸片．（1）求证：四边形ADEF是正方形；（2）取线段AF的中点G，连结EG，结果BG=CD，试说明四边形GBCE是等腰梯形．五、探究学习篇1．（翻折变换题）如图20-5-8所示，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠DBC=45°，翻折梯形ABCD，使点B重合于点D，折痕分别交边AB，BC于点F，E，若AD=2，BC=8，求BE 的长．2．如图所示，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，M，N分别为AD，BC的中点，E，F•分别是BM，CM的中点．（1）试说明△ABM≌△DCM；（2）四边形MENF是什么图形？请说明理由．（3）若四边形MENF是正方形，则梯形的高与底边BC的长有何数量关系？请说明理由．3．阅读：下面是某同学解一道有关等腰梯形的问题的过程．已知：•在四边形ABCD 中，AB=D C，AC=BD，AD≠BC．试说明四边形ABCD是等腰梯形．解：过点D作DE∥AB，交BC于点E，如图20-5-10所示．则∠ABE=∠1 ①．•因为AB=DC，AC=DB，BC=CB ②，所以△ABC≌△DCB，所以∠ABC=∠DCB ③，所以∠1=∠DCB ④，所以AB=DC=DE ⑤，所以四边形ABCD是平行四边形⑥，所以AD∥BC ⑦．又因为AD≠BC，所以四边形ABCD是梯形⑧．因为AB=CD，所以四边形ABCD是等腰梯形⑨．•阅读填空：（1）说明过程是否有错误？错在第几步？答：_______．（2）有人认为第⑧步是多余的，你认为呢？为什么？答：___________．（3）若题目中没有AD ≠BC，•那么四边形ABCD•一定是等腰梯形吗？•为什么？• 答：___________．参考答案一、1．解法一：如图1所示，过A，D分别作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，•F，在梯形ABCD中，因为AD∥BC，所以∠B+∠BAD=180°，因为∠BAD=120°，所以∠B= 60°．在Rt△ABE中，∠BAE=90°-∠B=30°，所以BE=12AB=6cm．因为梯形ABCD是等腰梯形，所以∠C=∠B=60°，所以CF=12CD=6cm．因为四边形AEFD是矩形，所以EF=AD=15cm，所以BC=BE+EF+CF=27cm．图1 图2 图3 解法二：如图2所示，过A作AE∥CD交BC于E点，因为AD ∥BC，•所以四边形AECD是平行四边形．所以EC=AD=15cm，AE=CE．又因为AD∥BC，所以∠B+∠BAD=180°，•因为∠BAD=120°，所以∠B=60°，因为AB=CD，所以AB=AE，所以△ABE是等边三角形，•所以BE=A B=12cm，所以BC=BE+EC=15+12=27（cm）．解法三：如图3所示，延长BA和CD交于点P，在梯形ABCD中，AB=CD，所以∠B=∠C，因为AD∥BC，所以∠PAD=∠B，∠PDA=∠C，∠BAD+∠B=180°．因为∠BAD=120 °，所以∠B=∠PAD=∠C=∠PDA=60°，所以△PAD和△PBC都是等边三角形．所以PA=AD=•15cm，PB=PA+AB=12+15=27（cm），所以BC=PB=27cm．点拨：以上三种辅助线的方法在梯形中运用相当广泛，•通过它们把梯形的问题转化为平行四边形，三角形等的问题来解决，体现了“转化”的数学思想．二、2．解：四边形EBCF是等腰梯形．理由如下：因为四边形ABCD是矩形，所以AC=•BD，AD=BC．又因为AO=OC，OB=OD，所以OA=OD=OC=OB．又因为E，F分别是OA，OD的中点，所以OE=OF，所以∠OEF=∠OFE．因为OB=OC，所以∠OBC=∠OCB．又因为∠EOF=∠BOC，所以∠OEF+∠OFE=∠OBC+∠OCB，即2∠OFE=2∠OBC，所以∠OFE=∠OBC，所以EF∥BC．•因为EF≠AD，所以EF≠BC．所以四边形EBCF是梯形．因为OE=OF，OB=OC，∠EOB=∠FOC，•所以△OEB≌△OFC，所以BE=CF，所以四边形EBCF是等腰梯形．点拨：本题是等腰梯形的判定与矩形的性质的知识交叉题．要说明一个四边形为等腰梯形，需先说明这个四边形为梯形（这一条很容易被忽略），再说明这个梯形为等腰梯形．三、3．解：小军得到的四边形ABCD是等腰梯形，理由如下：如图所示，延长DA，CB交于点E，因为AC=BD，∠1=∠2，CD=DC．所以△ADC≌△BCD（S．A．S．），所以AD=•BC，∠ADC=∠BCD．所以ED=EC，所以ED-AD=EC-BC，即EA=EB．所以∠3=∠4，因为∠3+∠4+∠E=180°，∠ADC+∠BCD+∠E=180°，所以∠3=1802E︒-∠，∠ADC=1802E︒-∠，所以∠3=∠ADC．所以AB∥CD，又因为OA<OC，故四边形ABCD必不为平行四边形，所以四边形ABCD是等腰梯形．点拨：要想使四边形ABCD是等腰梯形，关键是求得AB∥DC和AD=BC，可通过同位角相等和三角形全等分别求出．四、4．证明：如图所示，（1）因为∠A=90°，AB∥DC，所以∠ADE=90°．由沿DF折叠后△DAF与△DEF重合，知AD=DE，∠DEF=90°．所以四边形ADEF是矩形，且邻边AD，DE相等．所以四边形ADEF是正方形．（2）因为CE∥BG，且CE≠BG，所以四边形GBCE是梯形，因为四边形ADEF是正方形，•所以AD=FE，∠A=∠GFE=90°，又点G为AF的中点，所以AG=FG，连结DG．在△AGD 与△FGE中，因为AD=FE，∠A=∠GFE，AG=FG，所以△AGD≌△FGE，所以∠DGA=∠EGB．因为BG=•CD，BG∥CD，所以四边形BCDG是平行四边形．所以DG∥CD．所以∠DGA=∠B．所以∠EGB= ∠B．所以四边形GBCE是等腰梯形．五、探究学习1．解：因为△BFE与△DFE关于EF对称，所以△BFE≌△DFE．所以BE=DE．•又因为∠DBC=45°，所以∠EBD=∠ED B=45°，所以∠BED=90°．过A作AH⊥BC于H，•如图所示．因为AD∥BC，所以∠BED=∠ADE=90°．又因为∠AHE=90°，•所以四边形ADEH是矩形．所以AD=HE，AH=DE．在Rt△ABH和Rt△DCE中，因为AB=DC，AH=DE，所以Rt △ABH≌Rt△DCE，所以BH=EC．所以EC=12×（BC-AD）=12×（8-2）=3，所以BE=BC-EC=8-3=5．点拨：要求BE的长，因为BC已知，只需求EC的长，由已知条件可得∠DEC=90°，•故联系梯形常作辅助线，易求EC的长．2．解：（1）因为四边形ABCD为等腰梯形，所以AB=CD，∠A=∠D．因为M是AD的中点，所以AM=DM，所以△ABM≌△DCM．（2）四边形MENF是菱形．理由：由△ABM≌△DCM，得MB=MC．连结MN，因为N是BC的中点，所以MN⊥BC，而E，F分别是MB，MC的中点，所以ME=12MB，MF=12MC，NE=12MB，NF=12MC（直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半），所以ME=MF=•NF=NE，所以四边形MENF是菱形．（3）梯形的高等于底边BC的长的一半；理由：•因为四边形MENF是正方形，所以∠BMC=90°．由（2）知MN是梯形的高，因为N是中点，所以MN=12 BC．点拨：在（2）的解答过程中，易只判断出是平行四边形的情况，出现说理不彻底不全面的错误，这也是解此类题的难点．3．解：（1）没有错误；（2）第⑧步不是多余的，•因为如果没有第⑧步就不符合梯形的定义；（3）不一定，因为当AD=BC时，四边形ABCD是矩形．点拨：•做这种阅读材料的题时，一定要耐心，仔细地一步步读题．。

梯形【学习目标】掌握梯形的概念，探索并了解等腰梯形的有关性质，并会运用分解梯形为平行四边形与三角形的方法解决一些简单的问题．【基础知识概述】 1．梯形的有关概念：(1)梯形的定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形． 注意：定义需满足三个条件：①四边形；②一组对边平行；③一组对边不平行． (2)梯形的相关定义：①梯形的底：梯形中平行的两边叫做梯形的底．注意：通常把较短的底叫做上底，较长的底叫做下底，梯形的上下底则是以长短区分的，不是指位置定的．②梯形的腰：梯形中不平行的两边叫做梯形的腰． ③梯形的高：梯形两底的距离叫做梯形的高． (3)特殊梯形的定义：①等腰梯形：两腰相等的梯形．②直角梯形：一腰垂直于底的梯形． 2．梯形的分类：⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧等腰梯形直角三角形特殊梯形一般梯形梯形3．梯形的识别：(1)定义法判定，四边形中①一组对边平行；②另一组对边不平行． (2)有一组对边平行且不相等的四边形是梯形．注意：此识别方法可由梯形定义和一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出． 4．等腰梯形的特征：(1)等腰梯形两腰相等、两底平行． (2)等腰梯形在同一底上的两个角相等． (3)等腰梯形的对角线相等．(4)等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，底的垂直平分线是它的对称轴．注意：等腰梯形在同一底上的两个角相等，不能说成：(1)等腰梯形两底上的角相等；(2)等腰梯形同一底上的两底角相等．这两种说法都是错误的．5．等腰梯形的识别：(1)两腰相等的梯形是等腰梯形．(2)在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形． (3)对角线相等的梯形是等腰梯形． 6．等腰梯形特征及识别的作用：可以证明角、线段相等，直线平行及判定四边形为等腰梯形等． 7．解决梯形问题的基本思路：题三角形或平行四边形问分割、拼接转化 梯形问题−−−−−−→−．这种思路常通过平移或旋转来实现． 8．梯形的面积(如图12-3-1)：DE )AB CD (21S ⋅+=梯．【例题精讲】例1 已知如图12-3-2，四边形ABCD 中，AB ＝DC ，AC ＝BD ，AD ≠BC ，试说明四边形ABCD 是等腰梯形．分析：由条件知只需证明四边形ABCD 为梯形， 即证AD ∥BC ，可转证∠BAD ＋∠ABC ＝180°． 解：∵AB ＝CD ，BC ＝CB ，AC ＝DB ， ∴△ABC 与△DCB 重合，∴∠ABC ＝∠DCB ．同理可证∠BAD ＝∠CDA ． ∵∠ABC ＋∠DCB ＋∠BAD ＋∠CDA ＝360°， ∴∠ABC ＋∠BAD ＝180°， ∴AD ∥BC ．∵AD ≠BC ，AB ＝DC ， ∴四边形ABCD 为等腰梯形．思考：如此题不给AD ≠BC 这个条件，这还是等腰梯形吗？ (提示：不一定，它还可能为矩形)注意：所以证明四边形为梯形时，一定要考虑平行边是否相等(另一对边是否平行)．例2 如图12-3-3，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ＝DC ，BD ⊥CD ．求∠C 的大小．分析：这是一个等腰梯形．所以∠ABC ＝∠C ．其中又有△ABD 是等腰三角形，所以有∠ABD ＝∠ADB ．当平行线与等腰三角形在一起，常常能把角进行迁移，可以推得∠ADB ＝∠DBC ＝∠ABD ，即∠C ＝∠ABC ＝2∠DBC ，在Rt △BCD 中便可容易地求得∠C ＝60°．解：因为在梯形ABCD中，AB＝DC，所以∠ABC＝∠C．又因为AD＝AB，则∠ABD＝∠ADB．又AD∥BC，所以∠ADB＝∠DBC．因此∠C＝∠ABC＝2∠DBC．在Rt△BCD中，∠C＋∠DBC＝3∠DBC＝90°，则∠DBC＝30°，∠C＝60°．例3 如图12-3-4，梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝8，BC＝17，∠C＝70°，∠B＝55°，求DC的长．分析：要求DC的长，设法将DC放到一个三角形内去解决，这个三角形与已知条件AD＝8，BC＝17，∠C＝70°，∠B＝55°相联系，可过D作DE∥BA，在△DEC中求出DC．解：过D作DE∥AB交BC于E．∴∠1＝∠B＝55°．∵∠C＝70°，∴∠2＝55°，∴DC＝EC＝BC—BE．∵AD∥BC，DE∥AB，∴BE＝AD＝8．∵BC＝17，∴DC＝17—8＝9．说明：作梯形一腰的平行线，把梯形分成一个平行四边形和一个三角形是常用的引辅助线的方法．例4如图12-3-5，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥CD，AB＝BC，又AE⊥BC于E，试说明CD＝CE．分析：题设中有AB＝BC，AE⊥BC，故可联想连结AC，以构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质证题．解：连结AC，∵AB ＝BC ， ∴∠BAC ＝∠1． 又∵AB ∥CD ， ∵∠BAC ＝∠2， ∴∠1＝∠2．又AD ⊥CD ，AE ⊥BC ， ∴∠D ＝∠AEC ＝90°， ∴△ADC 与△AEC 重合， ∴CD ＝CE ．例5 如图12-3-6，已知等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ⊥BD ，AD ＋BC ＝10，DE ⊥BC 于E ，求DE 的长．分析：由等腰梯形知AC ＝BD ，又AC ⊥BD ，AD ＋BC ＝10，如过D 作DF ∥AC ，交BC 的延长线于F ，则△BDF 为等腰直角三角形，BF ＝BC ＋AD ＝2DE ．解：过D 点作DF ∥AC ，交BC 的延长线于F ，则四边形ACFD 为平行四边形． ∴AC ＝DF ，AD ＝CF ． ∵四边形ABCD 为等腰梯形， ∴AC ＝DB ， ∴BD ＝FD ． ∵DE ⊥BC ，∴51021)AD BC (21)CF BC (21BF 21EF BE =⨯=+=+===． ∵AC ∥DF ，BD ⊥AC ， ∴BD ⊥DF ． ∵BE ＝FE ，∴5BF 21EF BE DE ====．例6 已知如图12-3-7，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD<BC ，E 、F 分别为AD 、BC 的中点，且EF ⊥BC ．试说明∠B ＝∠C ．分析：要证∠B ＝∠C ，可把它们移到同一个三角形中，利用等腰三角形有关性质，证明这个问题．解：过E 作EM ∥AB ，EN ∥CD ，交BC 于M 、N ，得．∴AE ＝BM ，AB 平行且等于EM ，DE ＝CN ，CD 平行且等于NE ． ∵AE ＝DE ， ∴BM ＝CN ． 又∵BF ＝CF ， ∴FM ＝FN ． 又∵EF ⊥BC ， ∴EM ＝EN ， ∴∠1＝∠2．∵AB ∥EM ，CD ∥EN ， ∴∠1＝∠B ，∠2＝∠C ， ∴∠B ＝∠C ．例7 如图12-3-8，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝CD ，对角线AC ⊥BD ，AD ＝4cm ，BC ＝10cm ．求梯形的面积．解：过A 作AE ⊥BC 于E ，过D 作DF 上BC 于F ， ∴32410CF BE =-==， ∴BF ＝7．∵AB ＝CD ，∠ABC ＝∠DCB ， ∴△ABC 与△DCB 重合， ∴∠ACB ＝∠DBC ． ∵AC ⊥BD ，∴∠ACB ＝∠DBC ＝45°， 在△DBF 中，DF ＝BF ＝7，∴)cm (4972104S 2=⨯+=． 说明：梯形引辅助线的方法很多，本文只举几种，希望大家自己能认真理解、总结、完善自己的知识系统．【中考考点】①会利用梯形特征与识别方法解决相关问题． ②会把梯形问题转化为三角形和平行四边形问题．【命题方向】本节多以填空题、计算题出现，还常和三角形、平行四边形一起以综合证明题的形式出现．【常见错误分析】什么叫做梯形？错解：一组对边平行的四边形叫做梯形．分析：因为一组对边平行的四边形，当它的另一组对边还平行时，这样的四边形是平行四边形，因而上述梯形的定义犯了定义过宽的错误，这样定义的方法把平行四边形的概念也包括进去了，实际上梯形和平行四边形是两个并列的概念．正解：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫梯形．【学习方法指导】(1)类似平行四边形的学法，把梯形的性质与识别用表格列出来，进行对比． (2)学会利用分割、拼补的办法解决梯形问题．【同步达纲练习】 一、填空题1．等腰梯形ABCD 的对角线相交于O 点，∠BOC ＝120°，∠BDC ＝80°，则∠DAB ＝________． 2．若等腰梯形的上底与一条腰长的和等于下底的长，则腰长与上底的夹角为________．3．一梯形是上底为4cm ，过上底的一顶点，作—直线平行于一腰，并与下底相交组成一个三角形，若三角形的周长为12cm ，则梯形的周长是________．4．等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A ＝120°，两底分别为15cm 和49cm ，则其腰长为________． 5．梯形ABCD 的面积是24，AD ∥BC ，且AD ＝5，BC ＝7，那么梯形的高是________． 6．在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝50°，∠C ＝80°，BC ＝5，AC ＝3，则CD ＝________． 7．在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝3，AB ＝4，BC ＝5，那么腰CD 的取值范围是________． 8．在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，AD ＝1，△DBC 是等边三角形，则BC ＝________． 9．在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝60°，则∠D ＝________．二、选择题10．下列结论正确的是( )．A ．四边形可以分成平行四边形和梯形两类B ．梯形可分为直角梯形和等腰梯形两类C ．平行四边形是梯形的特殊形式D ．直角梯形和等腰梯形都是梯形的特殊形式11．四边形ABCD 中，若∠A ︰∠B ︰∠C ︰∠D ＝2︰2︰1︰3，那么这个四边形是( )． A ．梯形 B ．等腰梯形 C ．直角梯形 D ．任意四边形 12．一等腰梯形上底为9cm ，下底为17cm ，一底角为60°，则它的腰长为( )． A ．8cmB ．9cmC ．cm 28D ．8.5cm13．等腰梯形ABCD 中，对角线AC ＝BC ＋AD ，则∠DBC 的度数是( )． A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°14．如图12-3-11，已知△ABC中，∠B＝∠C，点D、E分别在边AB、AC上，且AD＝AE，试说明四边形BCED是等腰梯形．15．如图12-3-12，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝40°，∠C＝70°，试说明AB＋AD＝BC．16．梯形ABCD中，AB∥CD，AB>CD，CE∥DA，交AB于E，且△BCE的周长为7cm，CD为3cm，求梯形ABCD的周长．17．如图12-3-13所示，在梯形ABCD中，上底AD＝1 cm，下底BC＝4cm，对角线BD⊥AC，且BD ＝3cm，AC＝4cm．求梯形ABCD的面积．【同步达纲练习】 一、 1．110° 2．120° 3．20 cm 4．34 cm 5．4 6．2 7．2<CD<6 8．29．120°二、10．D 11．C 12．A 13．C 14．略．15．过A 作AE ∥DC 交BC 于E ， EC ＝AD ，AB ＝BE ．BE ＋EC ＝BC ，所以AB ＋AD ＝BC ． 16．周长为13cm ．17．解：过点D 作DE ∥AC 交BC 的延长线于点E ． 因为在梯形ABCD 中，AD ∥BC ， 所以四边形ACED 是平行四边形， 则AC ＝DE ，AD ＝CE ． 又因为AC ⊥BD ． 所以BD ⊥DE ，即△BDE 是直角三角形． 因为△BDE 与梯形ABCD 同高，且梯形ABCD 中(AD ＋BC)＝BC ＋CE ＝BE ， 所以)cm (64321S S 2BDE ABCD =⨯⨯==∆梯形．。

等腰梯形的判定同步练习目标与方法1．会证明等腰梯形的性质定理与判定定理．2．能运用等腰梯形的性质定理和判定定理进行简单的计算与证明．基础与巩固1．如图1，请写出等腰梯形ABCD（AD∥BC，AB=CD）特有而一般梯形不具备的3个特殊性质：（1）_________________；（2）_________________；（3）_________________．B ACDBACD(1) (2) (3)2．如图2，在梯形ABCD中，AD∥BC．•若再加上一个条件：•________，•则可得到梯形ABCD是等腰梯形．3．等腰梯形的一角为120°，两底分别为10和30，则它的腰长为（）．A．10 B．20 C．3 D．34．已知：如图3，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD⊥DC，且BD平分∠ABC，∠C=60°，求证：•梯形ABCD是等腰梯形．拓展与延伸5．若等腰梯形的三条边长分别为3、4、11，则这个等腰三角形的周长为（）．A．21 B．29 C．21或29 D．21或22或296．已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AD=BC，点E在边AB延长线上，且BE=DC．求证：AC=CE．后花园BACE D智力操已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AE⊥DC，BD⊥AC，AE=12，•BD=•15，AC=20，求梯形ABCD的面积．参考答案:1．（1）∠A=∠D；（2）∠B=∠C；（3）AC=BD．BACED2．AB=CD或∠ABC=∠DCB或∠BAD=∠ADC．3．B4．∵BD⊥DC，∴∠BDC=90°．在△BCD中，∵∠C=60°，∴∠DBC=30°．又∵BD平分∠ABC，∴∠ABC=2∠DBC=60°．∴∠C=∠ABC．在梯形ABCD中，AD∥BC，且∠C=∠ABC，∴梯形ABCD是等腰梯形．5．B6．在梯形ABCD中，∵AB∥DC，AD=BC，∴∠ADC+∠DAB=180°，∠DAB=∠CBA．又∵∠CBA+∠CBE=180°，∴∠ADC=∠CBE．又∵BE=DC，AD=BC，∴△ADC≌△CBE．∴AC=CE．智力操 150．提示：过点B作BF∥AC，交DC的延长线于点F，则CF=AB．在Rt△DBF中，求得DF=25，于是DC+AB=25，代入梯形面积公式即可．。