5.4.2分式方程

第五章分式与分式方程422分式方程（二）一、教材说明：本节是分式与分式方程的第4节，这是第二课时，本课时主要研究分式方程的解法，只要求会解可化为一元一次方程的分式方程（方程中的分式不超过两个）•解分式方程的关键是把分式方程转化为整式方程，在引导学生探索分式方程的解法时，要注意体现这种转化的思想.二、学生起点分析学生的知识技能基础：学生基本了解分式方程的概念，如何寻找最简公分母，熟悉等式的性质并能利用等式的性质解一元一次方程中，了解一般一元一次方程的解法,去分母,去括号,移项,合并同类项，化系数为1,并理解每一步的根据是什么，从而能通过观察类比的方法，探索分式方程的解法并能理解解题步骤的根据•学生活动经验基础：本节课主要采用观察、类比的方法、讨论的形式，学生比较熟悉，能在二元一次方程组转化为一元一次方程的基础上，再次体会数学转化思想. •三、教学任务分析在上一节课中，学生通过对实际问题的分析，已经感受到分式方程是刻画现实世界的有效模型，本节课安排《分式方程》第二课时，旨在学会解分式方程，能从中体会数学转化思想的深刻含义。

本节课的具体教学目标为：1. 学生掌握解分式方程的基本方法和步骤；2. 经历和体会解分式方程的必要步骤；使学生进一步了解数学思想中的“转化”思想，认识到能将分式方程转化为整式方程，从而找到解分式方程的途径3. 培养学生自觉反思求解过程和自觉检验的良好习惯，培养严谨的治学态度；运用“转化”的思想，将分式方程转化为整式方程，从而获得一种成就感和学习数学的自信四、教学过程分析本节课设计了6个教学环节：复习回顾一一探究新知一一小试牛刀一一感悟升华一—巩固练习一一自主小结第一环节复习回顾活动内容:3、分式 —与 —的最简公分母是 _________________ x -2 x —活动目的：回顾最简公分母，解一元一次方程的解法，着重复习去分母的步骤，为学生 过渡到分式方程去分母.注意事项：着重复习去分母的步骤，为学生过渡到分式方程去分母，提醒学生注意解一 元一次方程每一步易犯的错误，同时老师还应强调检验方程的根，培养学生严谨的作风 并为解分式方程的验根打下基础.第二环节探究新知活动内容：例1.解下列分式方程：1 3 x -2 x活动目的：通过观察，使学生发现可以将分式方程通过去分母转化成一元一次方程来求 解。

4分式方程第2课时分式方程的解法教学目标【知识与技能】1.知道解分式方程的步骤;2.明确分式方程产生增根的原因及分式方程检验的方法；【过程与方法】经历和体会解分式方程的必要步骤；使学生进一步了解数学思想中的“转化”思想.【情感态度】在建立分式方程的数学模型的过程中培养能力和克服困难的勇气，并从中获得成就感，提高解决问题的能力.【教学重点】掌握分式方程的解法【教学难点】掌握分式方程的解法、解分式方程要验根.教学过程一.问题导引，初步认知我们已经学过一元一次方程，你还记得一元一次方程的解法吗？你能想象一下，如何得到分式方程的解吗？二.思考探究，获取新知探究：分式方程的解法1.解下列分式方程：【教学说明】通过观察，使学生发现可以将分式方程通过去分母转化成一元一次方程来求解.通过教师对例题讲解，让学生明确解分式方程的一般步骤.【归纳结论】1.解分式方程的一般步骤：（1）去分母（即在方程的两边都乘以最简公分母），把原分式方程化为_____；（2）解这个整式方程；（3）检验2.下列哪种解法准确？解分式方程解法一：将原方程变形为方程两边都乘以x-2,得：1-x=-1-2解这个方程，得：x=4.解法二：将原方程变形为方程两边都乘以x-2 ,得：1-x=-1-2(x-2)解这个方程，得：x=2你认为x=2是原方程的根？与同伴交流.【归纳结论】增根概念：将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘以一个含未知数的整式，并约去分母，有时可能产生不适合原分式方程的解(或根)，这种根通常称为增根；认识增根：①增根是去分母后所得的根；②增根使最简公分母的值为0；③增根不是原方程的根.三.运用新知，深化理解A．2个 B.3个 C.4个 D.5个答案：B.（）是分式方程,（）是整式方程.答案：B;A、C3.王军同学准备在课外活动时间组织部分同学参加电脑网络培训，按原定的人数估计共需费用300元.后因人数增加到原定人数的2倍，费用享受了优惠，一共只需要480元，参加活动的每个同学平均分摊的费用比原计划少4元，原定的人数是多少？如果设原定是x人，那么x满足怎样的分式方程?解：方程两边都乘以y（y-1），得2y2+y（y-1）=（y-1）（3y-1），2y2+y2-y=3y2-4y+1，3y=1，解得y=1/3.检验：当y=1/3时，y（y-1）=1/3×1/3-1=-2/9≠0，∴y=1/3是原方程的解，∴原方程的解为y=1/3.解：两边同时乘以（x+1）（x-2），得x（x-2）-（x+1）（x-2）=3．解这个方程，得x=-1．检验：x=-1时（x+1）（x-2）=0，x=-1不是原分式方程的解，∴原分式方程无解．（3）解：方程的两边同乘（x-1）（x+1），得3x+3-x-3=0，解得x=0．检验：把x=0代入（x-1）（x+1）=-1≠0．∴原方程的解为：x=0.（4）解：方程的两边同乘（x+2）（x-2），得2-（x-2）=0，解得x=4．检验：把x=4代入（x+2）（x-2）=12≠0．∴原方程的解为：x=4.再两边同乘以3x-1，得3（3x-1）-1=2，3x-1=1，x=2/3.检验：把x=2/3代入（3x-1）：（3x-1）≠0，∴x=2/3是原方程的根．∴原方程的解为x=2/3．（6）解：方程两边同乘以2（3x-1），得：-2+3x-1=3，解得：x=2，检验：x=2时，2（3x-1）≠0．所以x=2是原方程的解.【教学说明】通过学生的反馈练习，考察学生对分式方程概念的理解；以及解分式方程.使教师能全面了解学生对解分式方程是否清楚，以便教师能及时地进行查缺补漏.四.师生互动,课堂小结1.什么样的方程是分式方程？2.解分式方程的一般步骤：（1）去分母（即在方程的两边都乘以最简公分母），把原分式方程化为_____；（2）解这个整式方程；（3）检验：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母的值不等于零的根是原分式方程的_____，使最简公分母的值等于零的根是原方程的_____.五．作业布置作业:教材“习题5.8”中第1、2、3、4题；作业本本节习题。

分式方程的解（2012•鸡西）若关于x的分式方程无解，则m的值为（）A．﹣1.5B．1C．﹣1.5或2D．﹣0.5或﹣1.5【考点】分式方程的解．【专题】计算题；压轴题．【分析】去分母得出方程①（2m+x）x﹣x（x﹣3）=2（x﹣3），分为两种情况：①根据方程无解得出x=0或x=3，分别把x=0或x=3代入方程①，求出m；②求出当2m+1=0时，方程也无解，即可得出答案．【解答】解：方程两边都乘以x（x﹣3）得：（2m+x）x﹣x（x﹣3）=2（x﹣3），即（2m+1）x=﹣6，分两种情况考虑：①∵当2m+1=0时，此方程无解，∴此时m=﹣0.5，②∵关于x的分式方程无解，∴x=0或x﹣3=0，即x=0，x=3，当x=0时，代入①得：（2m+0）×0﹣0×（0﹣3）=2（0﹣3），解得：此方程无解；当x=3时，代入①得：（2m+3）×3﹣3（3﹣3）=2（3﹣3），解得：m=﹣1.5，∴m的值是﹣0.5或﹣1.5，故选D．【点评】本题考查了对分式方程的解的理解和运用，关键是求出分式方程无解时的x的值，题目比较好，难度也适中．（2015春•泰安校级期中）（2012•齐齐哈尔）若关于x的分式方程=无解，则m的值为（）A．﹣1.5B．1C．﹣1.5或2D．﹣0.5或﹣1.5【考点】分式方程的解．【专题】压轴题．【分析】先把方程两边乘以x（x﹣3）得到x（2m+x）﹣x（x﹣3）=2（x﹣3），整理得（2m+1）x=﹣6，由于关于x的分式方程=无解，则可能有x=3或x=0，然后分别把它们代入（2m+1）x=﹣6，即可得到m的值，然后再讨论方程（2m+1）x=﹣6无解得到m=﹣．【解答】解：去分母得，x（2m+x）﹣x（x﹣3）=2（x﹣3），整理得，（2m+1）x=﹣6，∵关于x的分式方程=无解，∴x=3或x=0，把x=3代入（2m+1）x=﹣6得，（2m+1）×3=﹣6，解得m=﹣1.5；把x=0代入（2m+1）x=﹣6得，（2m+1）×0=﹣6，无解，又∵2m+1=0时，方程（2m+1）x=﹣6无解，∴m=﹣，所以m的值为﹣1.5或﹣0.5．故选：D．【点评】本题考查了分式方程的解：把分式方程转化为整式方程，然后把整式方程的解代入原方程进行检验，若整式方程的解使分式方程的分母不为零，则这个整式方程的解是分式方程的解；若整式方程的解使分式方程的分母为零，则这个整式方程的解是分式方程的增根．（2007•山西）关于x的方程：的解是负数，则a的取值范围是（）A．a＜1B．a＜1且a≠0C．a≤1D．a≤1且a≠0【考点】分式方程的解．【专题】计算题；压轴题．【分析】先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是负数”建立不等式求a的取值范围．【解答】解：去分母得，a=x+1，∴x=a﹣1，∵方程的解是负数，∴a﹣1＜0即a＜1，又a≠0，∴a的取值范围是a＜1且a≠0．故选B．【点评】解题关键是要掌握方程的解的定义，使方程成立的未知数的值叫做方程的解．（2006•黄冈）下列说法正确的是（）A．不等式﹣2x﹣4＞0的解集为x＜2B．点（a，b）关于点（a，0）的对称点为（a，b）C．方程的根为x=﹣3D．中国的互联网上网用户数居世界第二位，用户已超过7800万，用科学记数法表示7800万这个数据为7.8×107万【考点】分式方程的解；科学记数法—表示较大的数；不等式的解集；关于x轴、y轴对称的点的坐标．【专题】综合题；压轴题．【分析】正确根据不等式的性质解一元一次不等式；掌握求已知点的对称点的方法；掌握科学记数法的方法【解答】解：A、根据不等式的性质，两边同除以负数，不等号的方向改变．则﹣2x＞4，x ＜﹣2．故不正确；B、此题即是求点（a，b）关于点（a，0）的对称点，为（a，﹣b），故不正确；C、解得为x=﹣3，故正确；D、7800万=7.8×103万，故不正确．故选C．【点评】正确根据不等式的性质解一元一次不等式；掌握求已知点的对称点的方法；掌握科学记数法的方法．（1999•辽宁）已知方程的两根分别为a，，则方程=a+的根是（）A．a，B．，a﹣1C．，a﹣1D．a，【考点】分式方程的解．【专题】压轴题．【分析】首先观察已知方程的特点，然后把方程=a+变形成具有已知方程的特点的形式，从而得出所求方程的根．【解答】解：方程=a+可以写成x﹣1+=a﹣1+的形式，∵方程的两根分别为a，，∴方程x﹣1+=a﹣1+的两根的关系式为x﹣1=a﹣1，x﹣1=，即方程的根为x=a或，∴方程=a+的根是a，．故选D．【点评】观察出已知方程的特点是解答本题的前提，把方程=a+变形成具有已知方程的特点的形式是解答本题的关键．（2013•绥化）若关于x的方程=+1无解，则a的值是2或1．【考点】分式方程的解．【专题】压轴题．【分析】把方程去分母得到一个整式方程，把方程的增根x=2代入即可求得a的值．【解答】解：x﹣2=0，解得：x=2．方程去分母，得：ax=4+x﹣2，即（a﹣1）x=2当a﹣1≠0时，把x=2代入方程得：2a=4+2﹣2，解得：a=2．当a﹣1=0，即a=1时，原方程无解．故答案是：2或1．【点评】首先根据题意写出a的新方程，然后解出a的值．（2012•资阳）观察分析下列方程：①，②，③；请利用它们所蕴含的规律，求关于x的方程（n为正整数）的根，你的答案是：x=n+3或x=n+4．【考点】分式方程的解．【专题】压轴题；规律型．【分析】首先求得分式方程①②③的解，即可得规律：方程x+=a+b的根为：x=a或x=b，然后将x+=2n+4化为（x﹣3）+=n+（n+1），利用规律求解即可求得答案．【解答】解：∵由①得，方程的根为：x=1或x=2，由②得，方程的根为：x=2或x=3，由③得，方程的根为：x=3或x=4，∴方程x+=a+b的根为：x=a或x=b，∴x+=2n+4可化为（x﹣3）+=n+（n+1），∴此方程的根为：x﹣3=n或x﹣3=n+1，即x=n+3或x=n+4．故答案为：x=n+3或x=n+4．【点评】此题考查了分式方程的解的知识．此题属于规律性题目，注意找到规律：方程x+=a+b的根为：x=a或x=b是解此题的关键．（2012•深圳模拟）阅读材料：的解为；则方程的解x1=2009，x2=﹣．【考点】分式方程的解．【专题】计算题；压轴题．【分析】根据题中的阅读材料可知：把所求方程两边加上1，变为的形式，得到相应的m和c的值，与阅读材料中解的特点即可求出方程的两个解．【解答】解：把方程变为：（x+1）+=2010+，根据题意可知：m=﹣1，c=2010，即x+1=c或x+1=，则原方程的解为：x1=c﹣1=2009，x2=﹣1=﹣．故答案为：﹣【点评】本题属于阅读理解型的题，学生作此类题应注意从阅读材料中提取有价值的结论，同时利用题中的结论类比得到所求方程的解．做此题时注意所求方程的未知数是x+1．（2011•黑龙江）已知关于x的分式方程﹣=0无解，则a的值为0、或﹣1．【考点】分式方程的解．【专题】计算题；压轴题．【分析】根据题意得出方程无解时x的值，注意多种情况，依次代入得出a的值．【解答】解：去分母得ax﹣2a+x+1=0．∵关于x的分式方程﹣=0无解，（1）x（x+1）=0，解得：x=﹣1，或x=0，当x=﹣1时，ax﹣2a+x+1=0，即﹣a﹣2a﹣1+1=0，解得a=0，当x=0时，﹣2a+1=0，解得a=．（2）方程ax﹣2a+x+1=0无解，即（a+1）x=2a﹣1无解，∴a+1=0，a=﹣1．故答案为：0、或﹣1．【点评】本题主要考查了分式方程无解的情况，需要考虑周全，不要漏解，难度适中．（2010•双鸭山）已知关于x的分式方程=1的解是非正数，则a的取值范围是a≤﹣1且a≠﹣2．【考点】分式方程的解．【专题】压轴题．【分析】先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是非正数”建立不等式求a的取值范围．【解答】解：去分母，得a+2=x+1，解得：x=a+1，∵x≤0，x+1≠0，∴a+1≤0，x≠﹣1，∴a≤﹣1，a+1≠﹣1，∴a≠﹣2，∴a≤﹣1且a≠﹣2．故答案为：a≤﹣1且a≠﹣2．【点评】解答本题时，易漏掉a≠﹣2，这是因为忽略了x+1≠0这个隐含的条件而造成的，这应引起同学们的足够重视．（2010•海南模拟）（2009•鸡西）若关于x的分式方程无解，则a=1或﹣2．【考点】分式方程的解．【专题】计算题；压轴题．【分析】分式方程无解，即化成整式方程时无解，或者求得的x能令最简公分母为0，据此进行解答．【解答】解：方程两边都乘x（x﹣1）得，x（x﹣a）﹣3（x﹣1）=x（x﹣1），整理得，（a+2）x=3，当整式方程无解时，a+2=0即a=﹣2，当分式方程无解时：①x=0时，a无解，②x=1时，a=1，所以a=1或﹣2时，原方程无解．故答案为：1或﹣2．【点评】分式方程无解分两种情况：整式方程本身无解；分式方程产生增根．（2009•辽宁）关于x的方程=1的解是负数，则m的取值范围是m＜2且m≠0．【考点】分式方程的解；解一元一次不等式．【专题】计算题；压轴题．【分析】先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是负数”建立不等式求m的取值范围．【解答】解：方程去分母得m=x+2即x=m﹣2∵分母x+2≠0∴x≠﹣2∴m﹣2≠﹣2∴m≠0又∵x＜0∴m﹣2＜0解得m＜2，则m的取值范围是m＜2且m≠0．【点评】由于我们的目的是求m的取值范围，根据方程的解列出关于m的不等式，另外，解答本题时，易漏掉m≠0，这是因为忽略了x+2≠0这个隐含的条件而造成的，这应引起同学们的足够重视．（2015•遵义）若x=3是分式方程﹣=0的根，则a的值是（）A．5B．﹣5C．3D．﹣3【考点】分式方程的解．【分析】首先根据题意，把x=3代入分式方程﹣=0，然后根据一元一次方程的解法，求出a的值是多少即可．【解答】解：∵x=3是分式方程﹣=0的根，∴，∴，∴a﹣2=3，∴a=5，即a的值是5．故选：A．【点评】（1）此题主要考查了分式方程的解，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．（2）此题还考查了一元一次方程的求解方法，要熟练掌握．（2015•广西自主招生）已知关于x的分式方程﹣=1的解为负数，则k的取值范围是（）A．k＞或k≠1B．k＞且k≠1C．k＜且k≠1D．k＜或k≠1【考点】分式方程的解．【专题】计算题．【分析】首先根据解分式方程的步骤，求出关于x的分式方程﹣=1的解是多少；然后根据分式方程的解为负数，求出k的取值范围即可．【解答】解：由﹣=1，可得（x+k）（x﹣1）﹣k（x+1）=x2﹣1，解得x=1﹣2k，∵1﹣2k＜0，且1﹣2k≠1，1﹣2k≠﹣1，∴k＞且k≠1．故选：B．【点评】此题主要考查了分式方程的解，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．（2015•黄石模拟）若关于x的方程=+1无解，则a的值为（）A．1B．2C．1或2D．0或2【考点】分式方程的解．【分析】分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．【解答】解：方程去分母得：ax=4+x﹣2解得：（a﹣1）x=2，∴当a﹣1=0即a=1时，整式方程无解，分式方程无解；当a≠1时，x=x=2时分母为0，方程无解，即=2，∴a=2时方程无解．故选：C．【点评】本题考查了分式方程无解的条件，是需要识记的内容．（2015•重庆模拟）（2015•杭州模拟）关于x的分式方程=1，下列说法正确的是（）A．方程的解是x=a﹣3B．当a＞3时，方程的解是正数C．当a＜3时，方程的解为负数D．以上答案都正确【考点】分式方程的解．【分析】先按照一般步骤解方程，用含有a的代数式表示x，然后根据x的取值讨论a的范围，即可作出判断．【解答】解：方程两边都乘以x+3，去分母得：a=x+3，解得：x=a﹣3，∴当x+3≠0，把x=a﹣3代入得：a﹣3+3≠0，即a≠0，方程有解，故选项A错误；当x＞0，即a﹣3＞0，解得：a＞3，则当a＞3时，方程的解为正数，故选项B正确；当x＜0，即a﹣3＜0，解得：a＜3，则a＜3且a≠0时，方程的解为负数，故选项C错误；显然选项D错误．故选：B．【点评】考查了分式方程的解，解题关键是要掌握方程的解的定义，使方程成立的未知数的值叫做方程的解．本题在判断方程的解是负数时，容易忽视a≠0的条件．（2015•泰兴市校级模拟）已知关于x的分式方程=1的解是负数，则a的取值范围是（）A．a＜﹣1B．a＜﹣1且a≠﹣2C．a＞﹣1D．a＞﹣1且a≠﹣2【考点】分式方程的解．【分析】先求得分式方程的解，然后再解不等式即可，需要注意分式方程的分母不为0．【解答】解：去分母得：x+1=a+2．∵分式的分母不为0，∴a+2≠0．解得：a≠﹣2．由x+1=a+2得；x=a+1．∵方程的解为负数，∴a+1＜0．∴a＜﹣1．∴a的取值范围是a＜﹣1且a≠﹣2．故选：B．【点评】本题主要考查的是解分式方程、解一元一次不等式，明确分式的分母不为0是解题的关键．（2015春•泗阳县期末）已知关于x的方程=3的解是正数，那么m的取值范围为（）A．m＞﹣6且m≠﹣2B．m＜6C．m＞﹣6且m≠﹣4D．m＜6且m≠﹣2【考点】分式方程的解．【分析】先求得分式方程的解（含m的式子），然后根据解是正数可知m+6＞0，从而可求得m＞﹣6，然后根据分式的分母不为0，可知x≠2，即m+6≠2．【解答】解：将分式方程转化为整式方程得：2x+m=3x﹣6解得：x=m+6．∵方程得解为正数，所以m+6＞0，解得：m＞﹣6．∵分式的分母不能为0，∴x﹣2≠0，∴x≠2，即m+6≠2．∴m≠﹣4．故m＞﹣6且m≠﹣4．故选：C．【点评】本题主要考查的是解分式方程和一元一次不等式的应用，求得方程的解，从而得到关于m的不等式是解题的关键．（2015春•甘肃校级期中）（2014•陆川县校级模拟）已知分式方程=1的解是非负数，则m的值是（）A．m≤﹣1B．m≤﹣1且m≠﹣2C．m≥﹣1D．m≥﹣1且m≠2【考点】分式方程的解．【分析】先解方程，再根据分式方程=1的解是非负数，求得a的取值范围即可．【解答】解：∵此方程是分式方程，∴x﹣1≠0，方程两边乘以x﹣1得，2x+m=x﹣1，解得x=﹣1﹣m，∵关于x的分式方程=1的解是非负数，∴﹣1﹣m≥0，∴m≤﹣1，∵当﹣1﹣m﹣1=0，即m=﹣2时，原分式方程无解，∴m≠﹣2故答案为：m≤﹣1且m≠﹣2，故选：B．【点评】此题考查了分式方程的解法、分式方程的解以及不等式组的解法．此题难度适中，注意不要漏掉分式方程无解的情况．（2013秋•招远市期末）若关于x的方程+1=无解，则m的值是（）A．1B．2C．1或2D．任意实数【考点】分式方程的解．【分析】根据解分式方程的一般步骤，可得分式方程的曾根，根据分式方程的曾根，可得m 的值．【解答】解：方程两边同乘（x﹣2），得4+（x﹣2）=mx（1﹣m）x=﹣2，1﹣m=0时，整式方程无解，m=1x=，x=是增根，=2m=2，故选：C．【点评】本题考查了分式方程的解，注意检验是解分式方程的必要步骤．（2014秋•乐清市校级月考）方程x2﹣x﹣1=的解的情况是（）A．仅有一正根B．仅有一负根C．一正根一负根D．两个不相等的实数根【考点】分式方程的解．【分析】去分母化为整式方程，解整式方程求出x的值，再检验．【解答】解：去分母得：（x﹣1）（x2﹣x﹣1）=1，整理得：x3﹣2x2=0，解得：x=0或x=2，检验：当x=0时，x﹣1≠0；当x=2时，x﹣1≠0；因此原方程的解为x=0，或x=2．故选D．【点评】考查了分式方程的解，去分母化成整式方程，容易求出x的值，注意检验．（2013•滕州市校级模拟）关于x的分式方程=1，下列说法正确的是（）A．m＜﹣5时，方程的解为负数B．m＞﹣5时，方程的解是正数C．方程的解是x=m+5D．无法确定【考点】分式方程的解．【分析】先将分式方程转化为整式方程，然后求得整式方程的解，然后根据m的取值讨论即可．【解答】解：去分母得：m=x﹣5．解得：x=m+5．当m＜﹣5时，x=m+5＜0，故A正确；当m=0时，x=5，最简公分母为x﹣5=0，原方程无解，故B、C错误．根据上述判定可知：D错误．故选：A．【点评】本题主要考察的是解分式方程，明确当m=0时，x=5为方程的增根是解题的关键．（2013秋•曲阜市期末）若关于x的分式方程=1无解，则m的值为（）A．0B．1C．﹣2D．1或﹣2【考点】分式方程的解．【分析】分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．【解答】解：方程去分母得：x（x﹣m）﹣3（x﹣1）=x（x﹣1），解得：x=，∴当m+2=0，解得m=﹣2，方程无解；当x=0时分母为0，方程无解，即=0，m无解；当x=1时分母为0，方程无解，即=1，解得m=1，方程无解．故选：D．【点评】考查了分式方程的解，分式方程无解分两种情况：整式方程本身无解；分式方程产生增根．（2012•梧州）关于x的分式方程无解，则m的值是（）A．1B．0C．2D．﹣2【考点】分式方程的解．【分析】先去分母得出整式方程x﹣2（x﹣1）=m，根据分式方程无解得出x﹣1=0，求出x，把x的值代入整式方程x﹣2（x﹣1）=m，求出即可．【解答】解：，方程两边都乘以x﹣1得：x﹣2（x﹣1）=m，∵关于x的分式方程无解，∴x﹣1=0，∴x=1，把x=1代入方程x﹣2（x﹣1）=m得：1﹣2×（1﹣1）=m，m=1，故选A．【点评】本题考查了分式方程的解，关键是能根据题意得出方程x﹣1=0．（2012•牡丹江模拟）若关于x的分式方程无解，则m的值为（）A．2B．4C．2或0D．﹣2或0【考点】分式方程的解．【专题】计算题．【分析】理解方程无解即是分母为0，由此可得x=4，再按此进行计算．【解答】解：关于x的分式方程无解即是x=4，又∵方程可转化为2=m（x﹣4）﹣m，当x=4时，m=﹣2．当m=0时，原方程变为，此时分式方程无解．故选D．【点评】本题考查了分式方程的无解的情况．关于x的方程=1的解是正数，则a的取值范围是（）A．a＞﹣1B．a＞1且a≠2C．a＜﹣1D．a＜﹣1且a≠﹣2【考点】分式方程的解．【分析】首先求出关于x的方程=1的解是多少，然后根据x＞0且x﹣1≠0，求出a 的取值范围即可．【解答】解：去分母得2x﹣a=x﹣1，解得x=a﹣1，∵关于x的方程=1的解是正数，∴x＞0且x≠1，∴a﹣1＞0且a﹣1≠1，解得a＞1且a≠2，∴a的取值范围是a＞1且a≠2．故选：B．【点评】此题主要考查了分式方程的解，要熟练掌握，解答此类问题的关键是“转化思想”的应用，并要明确：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．若关于x的方程=kx2有四个不同的实数解，则k的取值范围为（）A．（0，1）B．（，1）C．（，+∞）D．（1，+∞）【考点】分式方程的解．【分析】首先判断出x=0是方程的一个实数解，所以=kx2有三个不同的非零实数解；然后判断出g（x）==，根据其函数图象，要使=kx2有三个不同的非零实数解，则0＜，据此求出k的取值范围即可．【解答】解：∵=kx2，∴x=0是方程的一个实数解，又∵关于x的方程=kx2有四个不同的实数解，∴=kx2有三个不同的非零实数解．（1）当x＞0时，由，可得=x（x+4）；（2）当x＜0时，由﹣，可得=﹣x（x+4）；∴g（x）==如图1，要使=kx2有三个不同的非零实数解，则0＜，∴k＞．故选：C．【点评】此题主要考查了分式方程的解，要熟练掌握，注意数形结合方法的应用，解答此题的关键是判断出：g（x）==．关于x的方程=3有负根，则k的取值范围是（）A．k不等于2B．k＞3或k＜1C．﹣3＜k＜1D．1＜k＜3且k不等于2【考点】分式方程的解．【分析】化为整式方程，求得x的值然后根据解的情况进行分析，注意还应考虑分母1+x≠0即x≠﹣1．【解答】解：去分母得：4x+k（1﹣x）=3（1+x）．化简，得（1﹣k）x=3﹣k．故x=．欲使方程的根为负数，必须＜0，得或，且x≠﹣1即3﹣k≠﹣1+k．解得1＜k＜3且k不等于2，故选：D．【点评】本题考查了分式方程的解．需注意在任何时候都要考虑分母不为0．（1999•辽宁）已知方程的两根分别为a，，则方程=a+的根是（）A．a，B．，a﹣1C．，a﹣1D．a，【考点】分式方程的解．【专题】压轴题．【分析】首先观察已知方程的特点，然后把方程=a+变形成具有已知方程的特点的形式，从而得出所求方程的根．【解答】解：方程=a+可以写成x﹣1+=a﹣1+的形式，∵方程的两根分别为a，，∴方程x﹣1+=a﹣1+的两根的关系式为x﹣1=a﹣1，x﹣1=，即方程的根为x=a或，∴方程=a+的根是a，．故选D．【点评】观察出已知方程的特点是解答本题的前提，把方程=a+变形成具有已知方程的特点的形式是解答本题的关键．（2015春•萧山区月考）已知关于x的分式方程无解，则a的值是1或0．【考点】分式方程的解．【分析】首先根据，可得x=；然后根据关于x的分式方程无解，求出a的值是多少即可．【解答】解：∵，∴x=，∵关于x的分式方程无解，∴a=1或a=0，即a的值是1或0．故答案为：1或0．【点评】此题主要考查了分式方程的解，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解，所以一定要验根．（2015春•达州校级月考）关于x的方程的解为负数，那么a的取值范围是a＜1，且a≠﹣．【考点】分式方程的解．【分析】首先解此分式方程，可得x=，再利用＜0，且≠﹣2求解即可．【解答】解：方程两边同时乘x+2，得ax﹣1=x+2，解得x=，∵x的方程的解为负数，∴＜0，且≠﹣2，解得a＜1，且a≠﹣．故答案为：a＜1，且a≠﹣．【点评】此题考查了分式方程的解法、分式方程的解以及不等式组的解法．解题的关键是正确的求出x．（2014•宝应县二模）已知关于x的方程的解是负数，则m的取值范围为m＞﹣8且m≠﹣4．【考点】分式方程的解．【分析】求出分式方程的解x=﹣，得出﹣＜0，求出m的范围，根据分式方程得出﹣≠﹣2，求出m，即可得出答案．【解答】解：，2x﹣m=4x+8，﹣2x=8+m，x=﹣，∵关于x的方程的解是负数，∴﹣＜0，解得：m＞﹣8，∵方程，∴x+2≠0，即﹣≠﹣2，∴m≠﹣4，故答案为：m＞﹣8且m≠﹣4．【点评】本题考查了分式方程的解和解一元一次不等式，关键是得出﹣＜0和﹣≠﹣2，题目具有一定的代表性，但是有一定的难度．（2014•牡丹江二模）若关于x的方程﹣1=无解，则a的值是2或1．【考点】分式方程的解．【分析】把方程去分母得到一个整式方程，把方程的增根x=2代入即可求得a的值．【解答】解：x﹣2=0，解得：x=2．方程去分母，得：ax﹣x+2=4，即（a﹣1）x=2把x=2代入方程得：2a=4+2﹣2，解得：a=2．当a﹣1=0，即a=1时，原方程无解．故答案是：2或1．【点评】本题主要考查了分式方程的增根问题，分式方程的增根就是方程的最简公分母等于0的未知数的值，代入进行计算即可求解．首先根据题意写出a的新方程，然后解出a的值．。

分式方程的解法（二）教学设计教学目标（一）教学知识点1.解分式方程的一般步骤.2.了解解分式方程验根的必要性.（二）能力训练要求1.通过具体例子，让学生独立探索方程的解法，经历和体会解分式方程的必要步骤.2.使学生进一步了解数学思想中的“转化”思想，认识到能将分式方程转化为整式方程，从而找到解分式方程的途径.（三）情感与价值观要求1.培养学生自觉反思求解过程和自觉检验的良好习惯，培养严谨的治学态度.2.运用“转化”的思想，将分式方程转化为整式方程，从而获得一种成就感和学习数学的自信.教学重点1.解分式方程的一般步骤，熟练掌握分式方程的解决.2.明确解分式方程验根的必要性.教学难点明确分式方程验根的必要性.教学方法探索发现法学生在教师的引导下，探索分式方程是如何转化为整式方程，并发现解分式方程验根的必要性.教学过程Ⅰ.提出问题，引入新课［师］在上节课的几个问题，我们根据题意将具体实际的情境，转化成了数学模型——分式方程.但要使问题得到真正的解决，则必须设法解出所列的分式方程.这节课，我们就来学习分式方程的解法.我们不妨先来回忆一下我们曾学过的一元一次方程的解法，也许你会从中得到启示，寻找到解分式方程的方法.解方程213-x+325+x=2－624-x［师生共解］（1）去分母，方程两边同乘以分母的最小公倍数6，得3（3x －1）+2（5x +2）=6×2－（4x －2）.（2）去括号，得9x －3+10x +4=12－4x +2,（3）移项，得9x +10x +4x =12+2+3－4,（4）合并同类项，得23x =13,（5）使x 的系数化为1，两边同除以23，x =2313. Ⅱ.讲解新课，探索分式方程的解法［师］刚才我们一同回忆了一元一次方程的解法步骤.下面我们来看一个分式方程.［生］解这个方程，能不能也像解含有分母的一元一次方程一样去分母呢？［师］同学们说他的想法可取吗？［生］可取.［师］同学们可以接着讨论，方程两边同乘以什么样的整式（或数），可以去掉分母呢？ ［生］乘以分式方程中所有分母的公分母.［生］解一元一次方程，去分母时，方程两边同乘以分母的最小公倍数，比较简单.解分式方程时，我认为方程两边同乘以分母的最简公分母，去分母也比较简单.［师］我觉得这两位同学的想法都非常好.那么这个分式方程的最简公分母是什么呢？ ［生］x （x －2）.［师生共析］方程两边同乘以x （x －2）,得x （x －2）·21-x =x （x －2）·x 3, 化简，得x =3（x －2）. （2） 我们可以发现，采用去分母的方法把分式方程转化为整式方程，而且是我们曾学过的一元一次方程.［生］再往下解，我们就可以像解一元一次方程一样，解出x .即x =3x －6（去括号） 2x =6（移项，合并同类项）.x =3（x 的系数化为1）.［师］x =3是方程（2）的解吗？是方程（1）的解吗？为什么？同学们可以在小组内讨论.（教师可参与到学生的讨论中，倾听学生的说法）［生］x =3是由一元一次方程x =3（x －2） （2）解出来的，x =3一定是方程（2）的解.但是不是原分式方程（1）的解，需要检验.把x =3代入方程（1）的左边=231-=1，右边=33=1，左边=右边，所以x =3是方程（1）的解. ［师］同学们表现得都很棒！相信同学们也能用同样的方法解出例2.［例2］解方程：x 300－x2480=4 （由学生在练习本上试着完成，然后再共同解答）解：方程两边同乘以2x ，得600－480=8x解这个方程，得x =15检验：将x =15代入原方程，得左边=4，右边=4，左边=右边,所以x =15是原方程的根.［师］很好！同学们现在不仅解出了分式方程的解，还有了检验结果的好习惯. 我这里还有一个题，我们再来一起解决一下（先隐藏小亮的解法） 3-x x-3（可让学生在练习本上完成，发现有和小亮同样解法的同学，可用实物投影仪显示他的解法，并一块分析）［师］我们来看小亮同学的解法：32--x x =x-31－2 解：方程两边同乘以x －3,得2－x =－1－2（x －3）解这个方程，得x =3.［生］小亮解完没检验x =3是不是原方程的解.［师］检验的结果如何呢？［生］把x =3代入原方程中，使方程的分母x －3和3－x 都为零，即x =3时，方程中的分式无意义，因此x =3不是原方程的根.［师］它是去分母后得到的整式方程的根吗？［生］x =3是去分母后的整式方程的根.［师］为什么x =3是整式方程的根，它使得最简公分母为零，而不是原分式方程的根呢？同学们可在小组内讨论.（教师可参与到学生的讨论中，倾听同学们的想法）［生］在解分式方程时，我们在分式方程两边都乘以最简公分母才得到整式方程.如果整式方程的根使得最简公分母的值为零，那么它就相当于分式方程两边都乘以零，不符合等式变形时的两个基本性质，得到的整式方程的解必将使分式方程中有的分式分母为零，也就不适合原方程了.［师］很好！分析得很透彻，我们把这样的不适合原方程的整式方程的根，叫原方程的增根.在把分式方程转化为整式方程的过程中会产生增根.那么，是不是就不要这样解？或采用什么方法补救？［生］还是要把分式方程转化成整式方程来解.解出整式方程的解后可用检验的方法看是不是原方程的解.［师］怎样检验较简单呢？还需要将整式方程的根分别代入原方程的左、右两边吗？ ［生］不用，产生增根的原因是这个根使去分母时的最简公分母为零造成的.因此最简单的检验方法是：把整式方程的根代入最简公分母.若使最简公分母为零，则是原方程的增根；若使最简公分母不为零，则是原方程的根.是增根，必舍去.［师］在解一元一次方程时每一步的变形都符合等式的性质，解出的根都应是原方程的根.但在解分式方程时，解出的整式方程的根一定要代入最简公分母检验.小亮就犯了没有检验的错误.Ⅲ.应用，升华1.解方程：（1）13-x =x 4;（2）1210-x +x215-=2. ［分析］先总结解分式方程的几个步骤，然后解题. 解：（1）13-x =x 4 去分母，方程两边同乘以x （x －1），得3x =4（x －1）解这个方程，得x =4检验：把x =4代入x （x －1）=4×3=12≠0，所以原方程的根为x =4.（2）1210-x +x215-=2 去分母，方程两边同乘以（2x －1），得10－5=2（2x －1）解这个方程，得x =47 检验：把x =47代入原方程分母2x －1=2×47－1=25≠0. 所以原方程的根为x =47. 2.回顾，总结［师］同学们可根据例题和练习题的步骤，讨论总结.［生］解分式方程分三大步骤：（1）方程两边都乘以最简公分母，约去分母，化分式方程为整式方程；（2）解这个整式方程；（3）把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否为零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，应舍去.使最简公分母不为零的根才是原方程的根.3.补充练习［分析］强调解分式方程的三个步骤：一去分母；二解整式方程；三验根. 解：（1）去分母，方程两边同时乘以x （x +3000）,得9000（x +3000）=15000x 解这个整式方程，得x =4500检验：把x =4500代入x （x +3000）≠0.所以原方程的根为4500（2）x h 2=xa a -（a ,h 是常数且都大于零） 去分母，方程两边同乘以2x （a －x ），得h （a －x ）=2ax解整式方程，得x =ha ah +2（2a +h ≠0）检验：把x =ha ah +2代入原方程中，最简公分母2x （a －x ）≠0，所以原方程的根为 x =ha ah +2. Ⅳ.课时小结［师］同学们这节课的表现很活跃，一定收获不小.［生］我们学会了解分式方程，明白了解分式方程的三个步骤缺一不可. ［生］我明白了分式方程转化为整式方程为什么会产生增根.［生］我又一次体验到了“转化”在学习数学中的重要作用，但又进一步认识到每一步转化并不一定都那么“完美”，必须经过检验，反思“转化”过程.……Ⅴ.课后作业习题3.7Ⅵ.活动与探究若关于x 的方程31--x x =932-x m 有增根，则m 的值是____________. ［过程］首先增根是分式方程转化为整式方程时整式方程的根，但却使最简公分母为零.［结果］关于x 的方程31--x x =932-x m 有增根，则此增根必使3x －9=3（x －3）=0，所以增根为x =3.去分母，方程两边同乘以3（x －3），得3（x －1）=m 2.根据题意，得x =3是上面整式方程的根，所以3（3－1）=m 2,则m =±6. 板书设计x 3000+x 二、探求分式方程解法［例1］解方程21-x =x3。

§5.4.2 分式方程的解法安徽省灵璧第一中学王振孝掌握解分式方程的基本方法和步骤.经历和体会解分式方程的基本步骤,使学生进一步了解“转化”思想,能将分式方程转化为整式方程,从而找到解分式方程的方法.培养学生养成自觉反思、求解和自觉检验的良好习惯,运用“转化”的思想,将分式方程转化为整式方程,从而获得一种成就感和学习数学的自信心.【重点】1.掌握解分式方程的基本方法和步骤.2.掌握将分式方程转化为整式方程的方法及其中的转化思想.【难点】1.解分式方程的基本方法和步骤.2.检验分式方程的解.【教师准备】复习分式方程的定义和讲解教材例题的课件.【学生准备】复习分式方程的定义.导入一:【问题1】写出1x2-4与x4-2x的最简公分母.【问题2】解一元一次方程2x3-1=x+14.[设计意图]通过回顾找最简公分母、解一元一次方程的步骤,引导学生过渡到解分式方程.提醒学生注意解一元一次方程每一步易犯的错误,同时老师还应强调检验方程的根的重要性,并为解分式方程的验根打下基础.导入二:【问题】什么是方程的解?你能设法求出分式方程1400x -14002.8x=9的解吗?生1:使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解.生2:解法1:1400x -500x=9,900x=9,x=100.生3:解法2:1400×2.8-14002.8x =9,1.8×14002.8x =9,900x=9,x =100. 生4:解法3:1400-500=9x ,9x =900,x =100.生5:解法4:1400×2.8-1400=2.8x ×9,2.8×9x =1.8×1400,x =100.[设计意图] 由复习的内容引出本节内容,激发学生的求解欲望,引导学生利用不同的方式解决这个问题.(教材例1)解方程1x -2=3.〔解析〕 根据等式的基本性质,方程两边都乘x (x -2),化分式方程为整式方程.解:方程两边都乘x (x -2),得x =3(x -2).解这个方程,得x =3.检验:将x =3代入原方程,得左边=1,右边=1,左边=右边.所以,x =3是原方程的根.[设计意图] 通过观察,使学生发现可以将分式方程通过去分母转化成一元一次方程来求解.通过教师对例题的讲解,让学生明确解分式方程的一般步骤.通过观察类比,学生容易发现只要方程两边同时乘最简公分母,可以约去分母,使方程转化为学过的一元一次方程,从而解决问题.(教材例2)解方程480x -6002x=45. 解:方程两边都乘2x ,得960-600=90x.解这个方程,得x =4.经检验,x =4是原方程的根.[设计意图] 使学生进一步体会并熟悉分式方程的解法,并强调一定要检验.[教学注意] 让学生规范书写过程.在解题过程中,要提醒学生可先化简原方程,从而达到简便运算的目的.(教材议一议)在解方程1-xx -2=12-x -2时,小亮的解法如下:方程两边都乘x -2,得1-x =-1-2(x -2).解这个方程,得x =2.你认为x =2是原方程的根吗?与同伴交流.〔解析〕 在这里,x =2不是原方程的根,因为它使得原分式方程的分母为零,我们称它为原方程的增根. 产生增根的原因是,我们在方程的两边同乘了一个使分母为零的整式.因为解分式方程可能产生增根,所以解分式方程必须检验.通常只需检验所得的根是否使原方程中分式的分母的值等于零,有时也要看是否符合实际意义.[设计意图] 让学生通过解这个方程,展开讨论,了解分式方程会产生增根的原因,体会分式方程检验的必要性.[知识拓展] 1.把分式方程化为整式方程的方法是去掉分式方程中的分母.如何去掉分式方程中的分母是解分式方程的“关键”步骤.2.用分式方程中各式的最简公分母分别乘方程的两边,从而约去分母.但要注意用最简公分母乘方程两边的每一项,切勿漏项.3.解分式方程可能产生使最简公分母为零的增根,因此检验是解分式方程必要的步骤.解分式方程的一般步骤: 1.在方程的两边都乘最简公分母,约去分母,化为整式方程.2.解这个方程.3.把整式方程的根代入最简公分母,看结果是否为零;使最简公分母为零的根不是原方程的解,必须舍去.1.(2014·重庆中考)关于x 的方程2x -1=1的解是 ( )A.x =4 B .x =3C.x =2D.x =1答案:B 2.(2014·湘潭中考)分式方程5=3的解为 ( ) A.x =1 B .x =2C.x =3D.x =4答案:C 3.(2015·温州中考)方程2x =3x +1的根是 .解析:方程两边同乘最简公分母x (x +1),得3x =2x +2,解这个方程,得x =2,经检验,x =2是原方程的根.所以方程2x =3x +1的根是x =2.故填x =2.4.教材第128页随堂练习的1,2题.§5.4.2 分式方程的解法例题讲解教材第128页习题5.8第1题.。