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第一讲数系扩张--有理数（一）一、【问题引入与归纳】1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。
2、有理数的两种分类：3、有理数的本质定义，能表成mn（0,,n m n≠互质）。
4、性质：①顺序性（可比较大小）；②四则运算的封闭性（0不作除数）；③稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。
5、绝对值的意义与性质：①(0)||(0)a aaa a≥⎧=⎨-≤⎩②非负性2(||0,0)a a≥≥③非负数的性质：i）非负数的和仍为非负数。
ii）几个非负数的和为0，则他们都为0。
二、【典型例题解析】：1、若||||||0,a b ababa b ab+-f则的值等于多少？2．如果m是大于1的有理数，那么m一定小于它的（）A.相反数B.倒数C.绝对值D.平方3、已知两数a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值是2，求220062007()()()x a b cd x a b cd-+++++-的值。
4、如果在数轴上表示a、b两上实数点的位置，如下图所示，那么||||a b a b-++化简的结果等于（A.2aB.2a- C.0 D.2b5、已知2(3)|2|0a b-+-=，求b a的值是（）A.2B.3C.9D.66、有3个有理数a,b,c，两两不等，那么,,a b b c c ab c c a a b------中有几个负数？7、设三个互不相等的有理数，既可表示为1，,a b a+的形式式，又可表示为0，ba，b的形式，求20062007a b+。
8、 三个有理数,,a b c 的积为负数，和为正数，且||||||||||||a b c ab bc ac X a b c ab bc ac =+++++则321ax bx cx +++的值是多少？9、若,,a b c 为整数，且20072007||||1a b c a -+-=，试求||||||c a a b b c -+-+-的值。
三、课堂备用练习题。
[超常班学案1]［分析］此题实际是一个不足100的整数，减去5能被8整除，即除以8余5，减去8能被5整除，即除以5余3，求其最大值.13除以8余5，除以5余3，8和5的最小公倍数为40，13＋2×40＝93，为满足条件的整数，即最多有93名同学.[超常班学案2]［分析］逐步构造符合条件的最小自然数，首先求符合后面两个条件的最小自然数，依次用的倍数加，当被加上两个时得到，恰好除以5余3，此时符合后两个条件；再依次用和的最小公倍数的倍数加，当被加上个个，得到，检验符合三个条件．所以所求的最小自然数就是53.对于除以3,5,7余数的问题，也可用中国剩余定理来解.[超常班学案3]［分析］除以3,5,7的余数，直接用中国剩余定理：，因此满足除以3,5,7的余数的数可以表示为.同时满足除以2余1，那么这样的数可以表示为.现在再考虑除以11余5，即，那么的最小值是7，这个数是．[超常班学案4]［分析］先找出两个连续自然数，第一个被3整除，第二个被7整除．例如，找出6和7，下一个连续自然数是8．3和7的最小公倍数是21，考虑8加上21的整数倍，使加得的数能被13整除．，能被13整除，那么258，259，260这三个连续自然数，依次分别能被3，7，13整除，又恰好在200至300之间．由于3，7，13的最小公倍数为273，所以在200至300之间只有258，259，260这三个数满足条件．[超常123班学案1]［分析］去掉3个人后，总数能被3，5，7整除，因而是105的倍数，原人数在90～110之间，因而是105+3=108.[超常123班学案2]［分析］设这个三位数为.理论上余数之和最大为除以7余6，除以11余10，除以13余12.此时余数之和为28，但是此时满足三个条件的最小的自然数为1000；无法实现余数和为28，则考虑余数和为27，此时会出现三种情况：①；满足的最小的自然数为76，满足该两条件的所有自然数为：，现在只需要其满足即可.而，因此76即满足条件.下一个是，都不是三位数，不满足条件.②；74471875181813553()70221315426353mod105⨯+⨯+⨯=≡53105n +53210n +()()532105mod117mod11n n +≡⇒≡n 5321071523+⨯=82112260+⨯=a ()()()6mod710mod1111mod13a ≡≡≡()()6mod710mod11a ≡≡7677n +()11mod13a ≡()7611mod13≡7610011077+=()()()6mod79mod1112mod13a ≡≡≡第十一讲余数问题――物不知数满足的最小的自然数为90，满足该两个条件的所有的自然数为，则有：，对应的的最小值为6，所以满足三个条件的最小的自然数为636，下一个为636+1001=1637，不满足条件.③满足的最小的自然数为142，满足条件的所有自然数为：，则有： .n 最小取1.所以满足条件的最小的自然数为：285.所以除以7、11、13的余数之和最大可以取27，共有2个这样的三位数，分别是： 285，636.[超常123班学案3]［分析］首先找到以下3数：9和11的倍数，且被13除余1；9和13的倍数，且被11除余1；11和13的倍数，且被9除余1.①②③那么同时满足3个条件的数是因此满足条件的最小数是849.[超常123班学案4]［分析］除以2、3、4、5、6的余数各不相同，那么只能是0、1、2、3、4、5中的5个.而其中除以2、4、6的余数必然同奇偶，那么可分两种情况讨论.假设这个三位数是，那么：①同偶：，那么这个数加2后能被2、3、4、5、6整除.，这个数为形式的数.这样的三位数最小的几个是…….②同奇：，此时还有两种情况：.或.(i )若，那么这个数加1后能被2、3、4、5、6整除.，这个数为形式的数.这样的三位数最小的几个是119,179,……(ii )若，那么这个数加1后能被2、3、4、6整除.，这个数为形式的数.，这样的三位数最小的几个是155,215……因此，这样的三位数中，最小的三个是118,119,155.1.［分析］根据总结，我们发现三个数中前两个数的除数与余数的和都是，这样我们可以把余数都处理成8，即一个数除以5余3相当于除以5余8，除以7余1相当于除以7余8，所以可以看成这个数除以5、7、9的余数都是8，那么它减去8之后是5、7、()()6mod712mod13a ≡≡9091n +()()90919mod1137mod11n n +≡⇒≡n ()()()5mod710mod1112mod13a ≡≡≡()()10mod1112mod13a ≡≡142143n +()()1421435mod733mod7n n +≡⇒≡[]()()9,11998mod139954951mod13=≡⇒⨯=≡[]()()9,131177mod1111789361mod11=≡⇒⨯=≡[]()()11,131438mod9143811441mod9=≡⇒⨯=≡()49549362114437284849mod1287⨯+⨯+⨯=≡a ()()()()()0mod 22mod 44mod61mod33mod5a ≡≡≡≡≡[]2,3,4,5,660=5860n +118,178,238()()()1mod 23mod 45mod6a ≡≡≡()()2mod34mod5a ≡≡()()2mod30mod5a ≡≡()()()()()1mod 23mod 45mod62mod34mod5a ≡≡≡≡≡[]2,3,4,5,660=5960n +()()()()()1mod 23mod 45mod62mod30mod5a ≡≡≡≡≡[]2,3,4,612=1112n +()()11120mod52mod5n n +≡⇒≡53718+=+=家庭作业9的公倍数．而，所以这个数最小为．2.［分析］这个数与3的差是6的倍数，也就是与3的和是6的倍数，所以这个数加3后，既能被5整除，又能被6整除，所以所求的最小的数就是3.［分析］由于这个数被7，8，9除的余数分别是1，2，3，所以这个数加上后能被7，8，9整除，而，所以这个数加上6后是504的倍数．由于这个数被7，8，9除的三个商数的和是570，那么这个数加上6后被7，8，9除的三个商数的和是， 而504分别除以7、8、9所得的商之和是，由于，所以这个数加上6等于504的3倍，则这个数是．4.［分析］设这个数为，因为它除以19余9，所以， ，，所以所求的自然数最小是.5.［分析］由条件可知，台阶数要满足如下条件：()除以2余1；()除以3余2；()除以5余4；(4)除以6余5；()除以7余0；观察可知如果台阶数加1，那么能被2、3、5、6整除，因此满足前四个条件的数是，为自然数，只需，因此所以这条阶梯最少有级．6.［分析］法一：逐步满足法：首先考虑：一个数除以3,5,7余数是2,3,4.那么它的2倍除以3,5,7余数都是 1.假设这个数是，那么是3,5,7的公倍数.的最小值是.那么这样的数都符合前3个条件.，那么，当时成立.此时法二：对于这种题目，也可以先求满足其中3个余数条件的，比如先求满足除以3、5、7的余数分别是2、3、4的，既可采用中国剩余定理，得到是满足前3个余数条件的，从而其中最小的是；由于53除以11的余数为9，105除以11的余数为6，可知除以11的余数为5，所以是满足条件的最小数．也可以直接观察发现这个数乘以2之后除以3、5、7的余数分别是4、6、8，也就是除以3、5、7的余数都是1，所以满足前三个条件的数最小为，那么这样的数都符合前3个条件.，那么，当时成立.此时7.［分析］，我们可以分别计算除以9和25的余数。
数论问题之余数问题教学目标余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。
余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。
三大余数定理：1、余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.2、余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.3.同余定理若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a ≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。
同余式读作：a同余于b，模m。
由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a－b)三、弃九法原理而我们在求一个自然数除以9所得的余数时，常常不用去列除法竖式进行计算，只要计算这个自然数的各个位数字之和除以9的余数就可以了，在算的时候往往就是一个9一个9的找并且划去，所以这种方法被称作“弃九法”。
各种与余数有关的整数问题,其中包括求方幂的末位数字,计算具有规律的多位数除以小整数的余数，以及用逐步试算法找出满足多个余数条件的最小数等．1.号码分别为101,126,173,193的4个运动员进行乒乓球比赛,规定每两人比赛的盘数是他们号码的和被3除所得的余数.那么打球盘数最多的运动员打了多少盘?【分析与解】 因为两个数和的余数同余与余数的和．有101,126,173,193除以3的余数依次为2,0,2,1．则101号运动员与126,173,193号运动员依次进行了2,1,0盘比赛,共3盘比赛；126号运动员与101,173,193号运动员依次进行了2,2,l 盘比赛,共5盘比赛；173号运动员与101,126,193号运动员依次进行了1,2,0盘比赛,共3盘比赛；193号运动员与101,126,173号运动员依次进行了0,1,0盘比赛,共1盘比赛．所以,打球盘数最多的运动是126号,打了5盘．评注:两个数和的余数,同余与余数的和；两个数差的余数,同余与余数的差；两个数积的余数,同余与余数的积.2.自然数672222...21⨯⨯⨯⨯-个的个位数字是多少? 【分析与解】 我们先计算672222...2⨯⨯⨯⨯个的个数数字,再减去1即为所求.(特别的如果是O,那么减去1后的个位数字因为借位为9)将一个数除以10,所得的余数即是这个数的个位数字.而积的余数,同余余数的积．有2除以10的余数为2,2×2除以10的余数为4,2×2×2除以10的余数为8,2×2×2×2除以i0的余数为6；2×2×2×2×2除以i0的余数为622,22...2⨯⨯⨯ 个除以10的余数为4,222...2⨯⨯⨯7个除以10的余数为8,222...2⨯⨯⨯8个除以10的余数为6；…… …… 也就是说,n 个2相乘所得的积除以10的余数每4个数一循环．因为67÷4=16……3，所以222 2...2⨯⨯⨯67个除以10的余数同余与2×2×2,即余数为8,所以2222...21⨯⨯⨯-67个除以10的余数为7． 即222 2...21⨯⨯⨯-67个的个位数字为7． 评注：n 个相同的任意整数相乘所得积除以10的余数每4个数一循环．3.算式7+7×7+…+1990777...7⨯⨯⨯个计算结果的末两位数字是多少? 【分析与解】 我们只用算出7+7×7+…+71990777...7⨯⨯⨯个的和除以100的余数,即为其末两位数字． 7除以100的余数为7,7×7除以100的余数为49,7×7×7除以100的余数为43,7 ×7 ×7×7除以100的余数等于43×7除以100的余数为1；而777...7⨯⨯⨯ 5个除以100的余数等于777...77⨯⨯⨯⨯4个的余数,即为7,…… 这样我们就得到一个规律777...7⨯⨯⨯n 个除以100所得的余数,4个数一循环,依次为7,49,43,1． 1990÷4=497......2,所以7+7×7+...+7×7× (7)77...7+⨯⨯⨯1990个的和除以100的余数同余． 497×(7+49+43+1)+7+49=49756,除以100余56． 所以算式7+7×7+…+777...7⨯⨯⨯1990个计算结果的末两位数字是56．4.1990…1990除以9的余数是多少?【分析与解】 能被9整除的数的特征是其数字和能被9整除,如果这个数的数字和除以9余a,那么再减去a 而得到的新数一定能被9整除,因而这个新数加上a 后再除以9,所得的余数一定为a,即一个数除以9的余数等于其数字和除以9的余数．2019901990 (1990)个的数字和为20×(1+9+9+0)＝380，380的数字和又是3+8=11,11除以9的余数为2,所以2019901990 (1990)个除以9的余数是2．5.将1,2,3，…,30从左往右依次排列成一个51位数,这个数被11除的余数是多少?【分析与解】 1,2,3,...,30这30个数从左往右依次排列成一个51位数为：123456...910 (15)...19202l...25 (2930)记个位为第l 位,十位为第2位,那么：它的奇数位数字和为:0+9+8+7+6+…+l+9+8+7+6+…+1+9+7+5+3+l=115：它的偶数位数字和为:3+10222...2++++ 个+10111...1++++个+8+6+4+2=53； 它的奇数位数字和与偶数位数字和的差为115—53：62．而62除以1l 的余数为7．所以将原来的那个51位数增大4所得到的数123456…910…15…192021…25…2934就是1l 倍数,则将123456…910…15…192021…25…2934减去4所得到数除以11的余数为7．即这个51位数除以11的余数是7．评注:如果记个位为第1位,十位为第2位,那么一个数除以11的余数为其奇数位数字和A 减去偶数位数字和B 的差A-B=C,再用C 除以1l 所得的余数即是原来那个数的余数.(如果减不开可将偶数位数字和B 减去奇数位数字和A,求得B-A=C,再求出C 除以1l 的余数D,然后将11-D 即为原来那个数除以11的余数)．如:123456的奇数位数字和为6+4+2=12,偶数位数字和为5+3+1=9,奇数位数字和与偶数位数字和的差为12-9=3,所以123456除以11的余数为3．又如:654321的奇数位数字和为1+3+5=9,偶数位数字和为2+4+6=12,奇数位数字和减不开偶数位数字和,那么先将12-9=3,显然3除以11的余数为3,然后再用11-3=8,这个8即为654321除以11的余数．6.一个1994位的整数,各个数位上的数字都是3.它除以13,商的第200位（从左往右数)数字是多少?商的个位数字是多少?余数是多少?【分析与解】 这个数即为19943333 (3)个，而整除13的数的特征是将其后三位与前面的数隔开而得到两个新数，将这两个新数做差，这个差为13的倍数．显然有33333336个能够被13整除,而1994÷6=332……2，即333263333...3333...333⨯ 1994个个＝ 2333个＝33263333...33333⨯+ 个而33263333...33300⨯ 个是13的倍数，所以3333 (3)1994个除以13的余数即为33除以13的余数为7． 有333333313÷ 6个25641=,而3333...331325*********÷= 12个,所以3333 (33)k 个除以13所得的商每6个数一循环,从左往右依次为2、5、6、4、1、0．200÷6=33……2,所以除以3333...3 1994个所得商的第200位为5．3333 (3)1994个除以13的个位即为33除以13的个位，为2．即商的第200位(从左往右数)数字是5,商的个位数字是2,余数是7．7.己知：a=19911991199119911991 (1991)个.问:a 除以13的余数是几? 【分析与解】 因为199119911991能被13整除,而1991÷3=663……2．有a=19911991199119911991 (1991)个=199119911991×1 796412000...0－个+199119911991×1 796412000...0－个+199119911991× 000...07964-36个+199119911991×1 000...07964-48个+…+199119911991×100...0 24个+19911991 所以a 除以13的余数等于19911991除以13的余数8．8.有一个数,除以3余数是2,除以4余数是1.问这个数除以12余数是几?【分析与解】 我们将这个数加上7,则这个数能被3整除,同时也能被4整除,显然能被12整除,所以原来这个数除以12的余数为12-7=5．9.某个自然数被247除余63,被248除也余63.那么这个自然数被26除余数是多少?【分析与解】 我们将这个数减去63,则得到的新数能被247整除,也能被248整除,而相邻的两个整数互质,所以得到的新数能被247×248整除,显然能被26整除．于是将新数加上63除以26的余数等于63除以26的余数为11．所以这个自然数被26除余数是11．10.一个自然数除以19余9,除以23余7.那么这个自然数最小是多少?【分析与解】 这个自然数可以表达为19m+9,也可以表达为23n+7,则有19m+9=23n+7，即23n-19m=2，将未知数系数与常数对19取模,有4n ≡2(mod 19)．n 最小取10时,才有4n ≡2(mod 19).所以原来的那个自然数最小为23×lO+7=237．评注：有时往往需要利用不定方程来清晰的表示余数关系,反过来不定方程往往需要利用余数的性质来求解．11.如图15-l,在一个圆圈上有几十个孔(少于100个).小明像玩跳棋那样从A 孔出发沿着逆时针方向，每隔几个孔跳一步,希望一圈以后能跳回到A孔.他先试着每隔2孔跳一步,结果只能跳到B孔.他又试着每隔4孔跳一步，也只能跳到B孔.最后他每隔6孔跳一步,正好回到4孔.问这个圆圈上共有多少个孔?【分析与解】设这个圆圈有n个孔,那么有n除以3余1,n除以5余1.n能被7整除．则将n-1是3、5的倍数,即是15的倍数,所以n=15t+1,又因为凡是7的倍数,即15t+1=7A,将系数与常数对7取模,有t+1≡0(mod7),所以t取6或6与7的倍数和.对应孔数为15×6+l=91或91与105的倍数和，满足题意的孔数只有91．即这个圆圈上共有91个孔．12.某住宅区有12家住户，他们的门牌号分别是1,2,3，…,12.他们的电话号码依次是12个连续的六位自然数,并且每家的电话号码都能被这家的门牌号码整除.已知这些电话的首位数字都小于6,并且门牌号码是9的这一家的电话号码也能被13整除,问这一家的电话号码是什么数?【分析与解】设这12个连续的自然数为n+1,n+2,n+3,…,n+12,那么有它们依次能被1,2,3,…,12整除,显然有凡能同时被1,2,3,…,12整除.即n为1,2,3,…,12的公倍数．[1,2,3,…,12]=23×32×5×7×11=27720,所以n是27720的倍数,设为27720k.则有第9家的门牌号码为27720k+9为13的倍数,即27720k+9=13A.将系数与常数对13取模有:4k+9≡0(mod 13),所以后可以取l或1与13的倍的和.有要求n+1,n+2,n+3,…,n+12,为六位数,且首位数字都小于6,所以k只能取14,有7n=27720×14= 388080．那么门牌号码是9的这一家的电话号码是388080+9=388089．13.有5000多根牙签,可按6种规格分成小包.如果10根一包,那么最后还剩9根.如果9根一包,那么最后还剩8根.第三、四、五、六种的规格是,分别以8,7,6,5根为一包,那么最后也分别剩7,6,5,4根.原来一共有牙签多少根?【分析与解】设这包牙签有n根,那么加上1根后为n+1根此时有n+1根牙签即可以分成10根一包，又可以分成9根一包,还可以分成8、7、6、5根一包.所以,n+1是10、9、8、7、6、5的倍数,即它们的公倍数．[10,9,8,7,6,51=23×32×5×7=2520,即n+1是2520的倍数,在满足题下只能是2520×2=5040,所以n=5039．即原来一共有牙签5039根．14.有一个自然数,用它分别去除63,90,130都有余数,3个余数的和是25.这3个余数中最大的一个是多少?【分析与解】设这个除数为M,设它除63,90,130所得的余数依次为a,b,c,商依次为A,B,C．63÷M=A……a 90÷M=B……b 130÷M=C……ca+b+c=25,则(63+90+130)-(a+b+c)=(A+B+C)×M,即283-25=258=(A+B+C)×M．所以M是258的约数.258=2×3×43,显然当除数M为2、3、6时,3个余数的和最大为3×(2-1)=3，3×(3-1)=6,3×(6-1)=15,所以均不满足．而当除数M为43×2,43×3,43×2×3时,它除63的余数均是63,所以也不满足．那么除数M只能是43,它除63,90,130的余数依次为20,4,1,余数的和为25,满足．显然这3个余数中最大的为20．15.一个数去除551,745,1133,1327这4个数,余数都相同.问这个数最大可能是多少?【分析与解】这个数A除55l,745,1133,1327,所得的余数相同,所以有551,745,1133,1327两两做差而得到的数一定是除数A的倍数．1327-1133=194,1133-745=388,745-551=194,1327-745=582,1327-551=776,1133-551=582．这些数都是A的倍数,所以A是它们的公约数,而它们的最大公约数(194，388，194，582，776，582)=194．所以,这个数最大可能为194．。
2024年学而思培优中考数学一模试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知实数，则实数a 的倒数为( )A. 2024B.C.D.2.下列图形中，属于轴对称图形的是( )A.B.C.D.3.近来，中国芯片技术获得重大突破，7nm 芯片已经量产，一举打破以美国为首的西方世界的技术封锁，已知，则用科学记数法表示为( )A.B.C.D.4.下列说法中不正确的是( )A. 数据4，9，5，7，5的平均数是6B. 任意画一个多边形，其外角和等于是必然事件C. 了解某市中学生50米跑的成绩，应采用抽样调查D. 某幼树在一定条件下移植成活的概率是，则种植10棵这种树，结果一定有9棵成活5.一副三角板如图所示摆放．若，则的度数是( )A. B. C. D.6.如图，在菱形ABCD 中，点E 是BC 的中点，以C 为圆心、CE 为半径作弧，交CD 于点F ，连接AE 、若，，则阴影部分的面积为( )A. B.C. D.7.从1、2、3、4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为a、c，则关于x的一元二次方程有实数解的概率为( )A. B. C. D.8.的图象平移或翻折后经过坐标原点有以下4种方法：①向右平移1个单位长度；②向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度；③向上平移1个单位长度；④沿x轴翻折，再向下平移1个单位长度.你认为小郑的4种方法中正确的个数有( )A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个9.如图，在正五边形ABCDE中，若，则( )A. 2B.C.D.10.如图，在等腰中，，点P在以AB为直径的半圆上，M为PC的中点，当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是( )A.B.C.D.二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.因式分解：______.12.一次函数满足，则它的图象必经过一定点，这定点的坐标是______13.如图菱形ABCD的边长为4，，将菱形沿EF折叠，顶点C恰好落在AB边的中点G处，则______.14.规定：表示a，b之间的一种运算．现有如下的运算法则：，例如：，，则______.15.如图，在中，，射线AB分别交y轴于点D，交双曲线于点B，C，连接OB，OC，当OB平分时，AO与AC满足，若的面积为4，则______.三、计算题：本大题共2小题，共12分。
学而思_小升初专项训练__数论篇(1)_教师版名校真题（数论篇）1 （2023人大附中考题）有____个四位数满足下列条件：它的各位数字都是奇数；它的各位数字互不相同；它的每个数字都能整除它自身。
2 （2023101中学考题）假如在一个两位数的两个数字之间添写一个零，那么所得的三位数是本来的数的9倍，问这个两位数是＿＿。
3 （2023首师附中考题）1 21+2023121++1=（）4 （2023人大附中考题）甲、乙、丙代表互不相同的3个正整数，并且满足：甲×甲=乙+乙=丙×135．那么甲最小是____。
5 (2023人大附中考题)下列数不是八进制数的是( )A、125B、126C、127D、128 【附答案】1 【解】：62 【解】：设本来数为ab，这样后来的数为a0b,把数字展开我们可得：100a+b=9×(10a+b),所以我们可以知道5a=4b,所以a=4,b=5,所以本来的两位数为45。
3 【解】：周期性数字，每个数约分后为1 21+221+521+1321=14 【解】：题中规定丙与135的乘积为甲的平方数，并且是个偶数（乙+乙），这样我们分解135=5×3×3×3，所以丙最小应当是2×2×5×3，所以甲最小是：2×3×3×5=90。
5 【解】：八进制数是由除以8的余数得来的，不也许出现8，所以答案是D。
小升初专项训练数论篇基本公式1）已知b|c,a|c,则[a,b]|c,特别地，若(a,b)=1,则有ab|c。
[讲解练习]：若3a75b能被72整除，问a=＿＿,b=＿＿.（迎春杯试题）2）已知c|ab，(b,c)=1,则c|a。
3）唯一分解定理：任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即n= p11a×p22a×...×pkak（#)其中p1<p2<...<pk为质数，a1,a2,....ak为自然数，并且这种表达是唯一的。
学而思培优学科部1数论专题练习——余数问题【例1】一个小于200的数，它除以11余8，除以13余10，这个数是多少？【解析】我们发现这两个除数与余数的差都等于11- 8 =13 -10 = 3 ，可知这个数加上3 后就能同时被11和13整除，而[11,13]=143，这个数又要在200以内，所以这个数是143 - 3 =140．【例2】有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数.【解析】由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．51-39 =12，147-39=108，(12,108)=12，12的约数是1,2,3,4,6,12 ，因为余数为3 要小于除数，这个数是4,6,12．【例3】三个不同的自然数的和为2001，它们分别除以19,23,31所得的商相同，所得的余数也相同，这三个数是_______，_______，_______。
【解析】设所得的商为a，除数为b．(19a+b)+(23a+b)+(31a+b)=2001，73a+3b=2001，由b <19，可求得a=27，b=10．所以，这三个数分别是19a+b=523，23a+b=631，31a+b=847。
【例4】在小于1000的自然数中，分别除以18及33所得余数相同的数有多少个?(余数可以为0)【解析】我们知道18，33的最小公倍数为[18，33]=198，所以每198个数一次．1～198之间只有1，2，3，…，17，198(余0)，这18个数除以18及33所得的余数相同，而999÷198=5……9，所以共有5×18+9=99个这样的数．【例5】在1995，1998，2000，2001，2003中，若其中几个数的和被9除余7，则将这几。
