高中理科数学北师大版三角恒等变换作业练习模拟考试历年高考题

第3章 第6课时(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题1．如果α∈⎝⎛⎭⎫π2，π且sin α＝45，那么sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＋cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝( ) A.425B ．－425 C.325 D ．－325解析： ∵sin α＝45，π2＜α＜π，∴cos α＝－35，而sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＋cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝2cos α＝－325. 答案： D2．已知A 、B 为直角三角形的两个锐角，则sin A ·sin B ( )A ．有最大值12和最小值0B ．有最小值12，无最大值C ．既无最大值也无最小值D ．有最大值12，无最小值 解析： ∵A ＋B ＝π2，∴B ＝π2－A ， ∴sin A sin B ＝sin A sin ⎝⎛⎭⎫π2－A＝sin A cos A ＝12sin 2A . ∵0＜A ＜π2，∴2A ∈(0，π)． ∴0＜sin 2A ≤1.∴sin A sin B 有最大值12，无最小值． 答案： D3．已知sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫2π3－2α的值等于( ) A.79 B.13 C ．－79 D ．－13 解析： 由已知23π－2α＝π－2⎝⎛⎭⎫π6＋α，则cos ⎝⎛⎭⎫2π3－2α＝cos ⎣⎡⎦⎤π－2⎝⎛⎭⎫π6＋α＝－cos 2⎝⎛⎭⎫π6＋α＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π6＋α－1＝2×⎝⎛⎭⎫132－1＝－79，故选C. 答案： C4．定义运算⎪⎪⎪⎪a c b d ＝ad －bc ，若cos α＝17，⎪⎪⎪⎪sin αcos α sin βcos β＝3314，0＜β＜α＜π2，则β等于( ) A.π12 B.π6 C.π4 D.π3解析： 依题设得：sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝3314. ∵0＜β＜α＜π2，∴cos(α－β)＝1314， 又∵cos α＝17，∴sin α＝437. sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝437×1314－17×3314＝32， ∴β＝π3，故选D. 答案： D5．设α，β都是锐角，那么下列各式中成立的是( )A ．sin(α＋β)＞sin α＋sin βB ．cos(α＋β)＞cos αcos βC ．sin(α＋β)＞sin(α－β)D ．cos(α＋β)＞cos(α－β)解析： ∵sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，又∵α、β都是锐角，∴cos αsin β＞0，故sin(α＋β)＞sin(α－β)．答案： C6.2cos 10°－sin 20°sin 70°的值是( ) A.12B.32C. 3D. 2 解析： 原式＝2cos (30°－20°)－sin 20°sin 70°＝2(cos 30°·cos 20°＋sin 30°·sin 20°)－sin 20°sin 70°＝3cos 20°cos 20°＝ 3. 答案： C二、填空题7．(2011·天津模拟)若锐角α、β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，则α＋β＝________.解析： 由(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，可得tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，即tan(α＋β)＝ 3. 又α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝π3. 答案： π38．设α是第二象限的角，tan α＝－43，且sin α2＜cos α2，则cos α2＝________. 解析： ∵α是第二象限的角， ∴α2可能在第一或第三象限， 又sin α2＜cos α2，∴α2为第三象限的角， ∴cos α2＜0.∵tan α＝－43， ∴cos α＝－35，∴cos α2＝－1＋cos α2＝－55. 答案： －55 9.3tan 12°－3(4cos 212°－2)sin 12°＝________. 解析： 原式＝3sin 12°cos 12°－32(2cos 2 12°－1)sin 12° ＝23⎝⎛⎭⎫12sin 12°－32cos 12°cos 12°2cos 24°sin 12°＝23sin (－48°)2cos 24°sin 12°cos 12° ＝－23sin 48°sin 24°cos 24°＝－23sin 48°12sin 48°＝－4 3. 答案： －4 3三、解答题10．函数y ＝sin α＋cos α－4sin αcos α＋1，且2sin 2α＋sin 2α1＋tan α＝k ，π4＜α≤π2，把y 表示成k 的函数f (k )． 解析： ∵k ＝2sin 2α＋sin 2α1＋tan α＝2sin 2α＋2sin αcos α1＋sin αcos α＝2sin α(sin α＋cos α)cos α＋sin αcos α＝2sin αcos α， ∴(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋k .∵π4＜α≤π2，∴sin α＋cos α＞0.∴sin α＋cos α＝1＋k . ∴y ＝1＋k －2k ＋1.由于k ＝2sin αcos α＝sin 2α，π4＜α≤π2， ∴0≤k ＜1.∴f (k )＝1＋k －2k ＋1(0≤k ＜1)．11．(2011·潍坊质检)如图，以Ox 为始边作角α与β(0＜β＜α＜π)，它们的终边分别与单位圆相交于点P 、Q ，已知点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－35，45. (1)求sin 2α＋cos 2α＋11＋tan α的值； (2)若OP →·OQ →＝0，求sin(α＋β)的值．【解析方法代码108001041】解析： (1)由三角函数的定义得cos α＝－35，sin α＝45， 则原式＝2sin αcos α＋2cos 2α1＋sin αcos α＝2cos α(sin α＋cos α)sin α＋cos αcos α＝2cos 2α ＝2×⎝⎛⎭⎫－352＝1825. (2)∵OP →·OQ →＝0，∴α－β＝π2，∴β＝α－π2， ∴sin β＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π2＝－cos α＝35， cos β＝cos ⎝⎛⎭⎫α－π2＝sin α＝45.∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝45×45＋⎝⎛⎭⎫－35×35＝725. 12．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在6千元的基础上，按月呈f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价8千元，7月份价格最低为4千元；该商品每件的售价为g (x )(x为月份)，且满足g (x )＝f (x －2)＋2.(1)分别写出该商品每件的出厂价函数f (x )、售价函数g (x )的解析式；(2)问哪几个月能盈利？【解析方法代码108001042】解析： (1)f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ，由题意可得A ＝2，B ＝6，ω＝π4，φ＝－π4， 所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π4＋6(1≤x ≤12，x 为正整数)，g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x －34π＋8(1≤x ≤12，x 为正整数)．(2)由g (x )>f (x )，得sin π4x <22. 2k π＋34π<π4x <2k π＋94π，k ∈Z ， ∴8k ＋3<x <8k ＋9，k ∈Z ，∵1≤x ≤12，k ∈Z ，∴k ＝0时，3<x <9，∴x ＝4,5,6,7,8；k ＝1时，11<x <17，∴x ＝12.∴x ＝4,5,6,7,8,12.答：其中4,5,6,7,8,12月份能盈利．。

一、选择题1．若10,0,cos ,sin 2243423ππππβαβα⎛⎫⎛⎫<<-<<+=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则cos 2βα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A B ．C ． D 2．函数()2cos ||cos 2f x x x =-在[,]x ππ∈-上的单调增区间为（ ） A ．,3ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦和0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦和,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦和,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,6ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦和06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦3．已知tan 2α=，则sin cos 2sin cos αααα+=-（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-4．已知2π()2sin ()1(0)3f x x ωω=+->，给出下列判断： ①若函数()f x 的图象的两相邻对称轴间的距离为π2，则=2ω； ②若函数()f x 的图象关于点π(,0)12对称，则ω的最小值为5； ③若函数()f x 在ππ[,]63-上单调递增，则ω的取值范围为1(0,]2； ④若函数()f x 在[0,2π]上恰有7个零点，则ω的取值范围为4147[,)2424. 其中判断正确的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．45．若πtan 34α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则sin 2α=（ ） A ．2B ．1C ．45D ．35-6．如下图，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点,C B 在圆O 上，且点C 位于第一象限，点B 的坐标为43,,,55AOC α⎛⎫-∠= ⎪⎝⎭若1BC =2sin cos 222ααα-为（ ）A ．45B ．35C ．45-D ．357．函数()()sin 0y x πϕϕ=+>的部分图象如图所示,设P 是图象最高点,,A B 是图象与x 轴的交点,记APB θ∠=,则sin 2θ的值是（ ）A ．1665B ．6365C ．1663-D ．1665-8．已知直线3x −y +1=0的倾斜角为α，则1sin22α= A ．310 B ．35 C ．−310D ．1109．已知函数22()2sin cos ()sin (0)24x f x x x ωπωωω=-->在区间25[,]36ππ-上是增函数，且在区间[0,]π上恰好取得一次最大值，则ω的范围是（ ）A ．3(0,]5B ．13[,]25C ．13[,]24D ．15[,)2210．已知()0,απ∈，()2sin 2cos21παα-=-，则sin α=（ ） A ．15B 5C ．5-D 2511．平面直角坐标系xOy 中，点()00,P x y 在单位圆O 上，设xOP α∠=，若3,44ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且3sin 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则0x 的值为( )A．10B．10C．10-D．10-12．已知cos()63πα+=sin(2)6πα-的值为（ ） AB ．13C ．13-D． 二、填空题13．已知函数2()cos2cos (0)222xxxf x ωωωω=+>的周期为23π，当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()()g x f x k =+恰有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是__________. 14．已知,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，3tan 24α=．则2sin 2cos αα+=______．15．已知tan 2α=，则2sin 2cos αα+=________． 16．sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝________. 17．已知cos 2βα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，cos 2αβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且0,22βπα⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，0,22απβ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，则2αβ+的值为__________. 18．已知cosα17=，cos(α﹣β)1314=，且0<β<α2π<，则sinβ=_____. 19．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右顶点分别是A ,B ,双曲线的右焦点F 为()2,0,点P 在过F 且垂直于x 轴的直线l 上,当ABP ∆的外接圆面积达到最小时,点P 恰好在双曲线上,则该双曲线的方程为________.20．已知角θ的终边经过点(4,3)P -，则22cos sin 12)4--=+θθπθ_____________．三、解答题21．已知函数()222cos f x x x m =++在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为6. （1）求常数m 的值以及函数()f x 当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时的最小值 （2）将函数()f x 的图象向下平移4个单位，再向右平移4π个单位，得到函数()g x 的图象（i ）求函数()g x 的解析式；（ii ）若关于x 的方程2()0g x t -=在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，有两个不同实数解，求实数t 的取值范围.22．已知函数()2sin cos 144f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）若函数()()2g x f x x =-，求函数()g x 的单调增区间.23．已知3sin()(,)424x x πππ-=∈. （1）求sin x 的值； （2）求cos(2)6x π+的值.24．已知1sin cos 5αα+=，其中0απ<<. （1）求11sin cos αα+的值； （2）求tan α的值.25．设函数23()cos 3sin 2f x x x x =+-. （1）求函数的单调递减区间；（2）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在3[,]44ππ-上的值域.26．已知,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，且sin cos 22αα-=. （1）求cos α的值； （2）若()4sin 5αβ-=，,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求cos β的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A【分析】 由cos cos 2442βππβαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦展开计算正余弦值代入可得答案. 【详解】 因为10,cos 243ππαα⎛⎫<<+= ⎪⎝⎭，所以3444πππα<+<，sin +4πα⎛⎫= ⎪⎝⎭因为02πβ-<<，所以4422ππβπ<-<，又因为sin 423πβ⎛⎫-=⎪⎝⎭，所以cos 423πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 而cos cos +2442βππβαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， cos +cos sin +sin 442442ππβππβαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭133339=⨯+=. 故选：A.【点睛】三角函数式的化简要遵循“三看”原则：（1）一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；（2）而看“函数名称”看函数名称之间的差异，从而确定使用公式，常见的有“切化弦”；（3）三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式通分”等.2．A解析：A 【分析】先把函数解析式化简，然后令cos t x =，利用复合函数单调性求解即可 【详解】 当[]0,x π∈时，22()2cos ||cos 2=2cos (2cos 1)2cos 2cos 1f x x x x x x x =---=-++，令cos [1,1]t x t =∈-，，则cos t x =在[]0,x π∈上为减函数；而2221y t t =-++ 对称轴为12t =， ∴2221y t t =-++在1[1,]2t ∈-上单增，在1[,1]2t ∈上单减，∴()y f x =在0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上为增函数，在,3x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上为减函数． 又()2cos ||cos 2f x x x =-为偶函数，其图像关于y 轴对称， ∴()y f x =在,3ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上为增函数，在,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为减函数． 故()y f x =的单调增区间为,3ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦和0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 故选：A 【点睛】复合函数的单调性口诀：同增异减，其具体含义为： 内外函数的单调性相同(同),则复合函数为增函数(增)； 内外函数的单调性相反(异),则复合函数为减函数(减).3．A解析：A 【分析】已知正切值要求正余弦值，可以利用商的关系将“弦化切”，代入数值即可. 【详解】原式分子分母同除以cos α得 原=tan 12112tan 141αα++==--故选：A. 【点睛】已知正切值求正余弦值,通常有两种做法：一是将所求式子分子分母同除cos α或2cos α，化为tan α求解； 二是利用sin tan cos ααα=得sin tan cos ααα=代入消元即可. 4．C解析：C 【分析】先将()f x 化简，对于①，由条件知，周期为π，然后求出ω；对于②，由条件可得2()612k k Z ωπππ+=∈，然后求出16()k k Z ω=-+∈，即可求解；对于③，由条件，得2362()22362k k Z k ωππππωππππ⎧-+-+⎪⎪∈⎨⎪++⎪⎩，然后求出ω的范围；对于④，由条件，得74221212πππππωωωω-<-，然后求出ω的范围；，再判断命题是否成立即可． 【详解】解：2π2ππ()2sin ()1=-cos(2)=sin(2)336f x x x x ωωω=+-++， ∴周期22T ππωω==． ①．由条件知，周期为π，1w ∴=，故①错误；②．函数()f x 的图象关于点π(,0)12对称，则2()612k k Z ωπππ+=∈， 16()k k Z ω∴=-+∈，(0)>ω∴ω的最小值为5， 故②正确；③．由条件，ππ[,]63x ∈-，ππ2π236636x πωπωω-+≤+≤+ 由函数()f x 在ππ[,]63-上单调递增得2362()22362k k Z k ωππππωππππ⎧-+-+⎪⎪∈⎨⎪++⎪⎩， 12ω∴≤， 又0>ω，102ω∴<， 故③正确．④．由()sin(2)06f x x πω=+=得2()6x k k Z πωπ+=∈,解得()212k x k Z ππωω=-∈ ()sin(2)6f x x πω=+且()f x 在[0，2]π上恰有7个零点，可得74221212πππππωωωω-<-， ∴41472424ω<， 故④正确； 故选：C 【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质，考查了转化思想和推理能力，属中档题．关键点点睛：利用整体思想，结合正弦函数的图像和性质是根据周期，对称，单调性，零点个数求求解参数的关键.5．C解析：C 【分析】先利用切化弦结合两角和的公式展开，平方后由二倍角正弦公式可得结果. 【详解】∵πsin πsin cos 4tan 3π4cos sin cos 4ααααααα⎛⎫+ ⎪+⎛⎫⎝⎭+===- ⎪-⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭， ∴()()22sin cos 9cos sin αααα+=-，即1sin 291sin 2αα+=-，解得4sin 25α=， 故选：C. 【点睛】本题主要考查了两角和公式以及切化弦思想的应用，等式两边平方是解题的关键，属于中档题.6．B解析：B 【解析】 ∵点B 的坐标为43,55⎛⎫-⎪⎝⎭，设AOB θ∠=， ∴325sinπθ-=-（），425cos πθ-=（）， 即35sin θ=，45cos θ=， ∵AOC α∠=，若1BC =，∴3πθα+=，则3παθ=-，则213sincossin cos cos sin 2222625αααππαααθθ⎛⎫⎛⎫-=-=+=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选B.点睛：本题主要考查三角函数的化简和求值，利用三角函数的定义以及三角函数的辅助角公式是解决本题的关键；利用降幂公式可将所求表达式化简为关于α的表达式，设AOB θ∠=，当角α的终边与单位圆的交点坐标为(),u v 时，sin v α=，cos u α=，可先求出关于θ的三角函数式，结合等边三角形寻找,αθ之间的关系即可.7．A解析：A 【分析】过点P 作x 轴的垂线，垂足为D ，由三角函数性质得2AB =，12AD =，1DP =，32DB =，故1tan 2APD ∠=，3tan 2BPD ∠=，进而得()tan tan 8APD BPD θ=∠+∠=，故2222sin cos 2tan 16sin 22sin cos sin cos tan 165θθθθθθθθθ====++. 【详解】解：根据题意，如图，过点P 作x 轴的垂线，垂足为D ， 由于函数的最小正周期为22T ππ==，最大值为max 1y =，所以2AB =，12AD =，1DP =，32DB =， 所以在直角三角形ADP 和直角三角形BDP 中，1tan 2APD ∠=，3tan 2BPD ∠=， 所以()tan tan tan APB APD BPD θ=∠=∠+∠tan tan 28311tan tan 122APD BPD APD BPD ∠+∠===-∠⋅∠-⨯， 所以2222sin cos 2tan 16sin 22sin cos sin cos tan 165θθθθθθθθθ====++. 故选：A.【点睛】本题考查三角函数的性质，同角三角函数关系，正切的和角公式，考查运算能力，是中档题.8．A解析：A 【分析】由题意利用直线的倾斜角和斜率求出tanα的值，再利用三角恒等变换，求出要求式子的值． 【详解】直线3x-y+1=0的倾斜角为α，∴tanα=3，∴2221133sin222219110sin cos tan a sin cos sin cos tan αααααααα=⋅====+++， 故选A ． 【点睛】本题主要考查直线的倾斜角和斜率，三角恒等变换，属于中档题．9．B解析：B 【分析】先化简函数，根据()f x 在区间25,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，则为函数含有零的增区间的子集，再根据区间[]0,π上恰好取得一次最大值，则取得最大值时对应的最小正数解属于[]0,π，最后取交集.【详解】因为()222sin cos sin 24x f x x x ωπωω⎛⎫=--⎪⎝⎭， ()2sin 1sin sin x x x ωωω=+-，22sin sin sin x x x ωωω=+-，sin x ω=，令22,22k x k k Z πππωπ-+≤≤+∈，则22,22k k x k Z ππππωωωω-+≤≤+∈， 因为()f x 在区间25,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数， 25,23,2262,k k k Z ππππωωωωππ⎡⎤∴-++∈⎢⎥⎣⎦⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦ 所以223562ππωππω⎧-≤-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得35ω≤，令2,2x k k Z πωπ=+∈，因为在区间[]0,π上恰好取得一次最大值， 所以02ππω≤≤，所以12ω≥， 所以ω的取值范围是1325ω≤≤. 故选：B. 【点睛】本题主要考查三角函数的单调性和最值以及二倍角公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.10．D解析：D 【分析】先利用诱导公式化简，再利用正弦、余弦的二倍角公式化简可得结果 【详解】解：由()2sin 2cos21παα-=-，得2sin 2cos21αα=-， 所以24sin cos 12sin 1ααα=--，即22sin cos sin ααα=-， 因为()0,απ∈，所以sin 0α≠， 所以2cos sin αα=-， 因为22sin cos 1αα+=， 所以221sin sin 14αα+=，所以24sin 5α=，因为()0,απ∈，所以sin 0α>，所以sin 5α=， 故选：D 【点睛】此题考查诱导公式的应用，考查二倍角公式的应用，考查同角三角函数的关系，属于中档题11．C解析：C 【分析】利用两角和差的余弦公式以及三角函数的定义进行求解即可． 【详解】3,44ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭， ,42ππαπ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭， 3sin 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，4cos 45πα⎛⎫∴+=- ⎪⎝⎭，则0cos cos cos cos sin sin 444444x ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦43525210=-⨯+⨯=-， 故选C ． 【点睛】本题主要考查两角和差的三角公式的应用，结合三角函数的定义是解决本题的关键．12．B解析：B 【解析】∵cos 6πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭5sin 2sin 2sin 26662ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦][221cos 2[2cos 11]6633ππαα⎛⎫⎛⎫=-+=-+-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选B.二、填空题13．【分析】先利用二倍角公式和辅助角公式结合周期为求得然后将时函数恰有两个不同的零点转化为时恰有两个不同的根在同一坐标系中作出函数的图象利用数形结合法求解【详解】函数因为函数的周期为所以因为时函数恰有两解析：(3,2]--【分析】先利用二倍角公式和辅助角公式，结合周期为23π求得()2sin316f xxπ⎛⎫=++⎪⎝⎭，然后将0,3xπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()()g x f x k=+恰有两个不同的零点，转化为0,3xπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x k=-恰有两个不同的根，在同一坐标系中作出函数(),y f x y k==-的图象，利用数形结合法求解.【详解】函数2()23sin cos2cos222x x xf xωωω=+，3sin cos1x xωω=++，2sin16xπω⎛⎫=++⎪⎝⎭，因为函数()f x的周期为，所以2323πωπ==，()2sin316f x xπ⎛⎫=++⎪⎝⎭因为0,3xπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()()g x f x k=+恰有两个不同的零点，所以0,3xπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x k=-恰有两个不同的根，在同一坐标系中作出函数(),y f x y k==-的图象如图所示：由图象可知：23k≤-<，即2k-3<≤-，所以实数k的取值范围是(3,2]--，故答案为：(3,2]-- 【点睛】方法点睛：函数零点个数问题：若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用．14．【分析】由正切的二倍角公式求得用正弦二倍角公式变形化用1的代换化求值式为关于析二次齐次分式再弦化切后求值【详解】因为所以或（舍）所以故答案为：【点睛】本题考查二倍角公式考查同角间的三角函数解题关键是解析：12-【分析】由正切的二倍角公式求得tan α，用正弦二倍角公式变形化用“1”的代换化求值式为关于sin ,cos αα析二次齐次分式，再弦化切后求值．【详解】 因为22tan 3tan 21tan 4ααα==-，所以tan 3α=-或13（舍）， 所以222222sin cos cos 2tan 11sin 2cos sin cos tan 12ααααααααα+++===-++． 故答案为：12-． 【点睛】本题考查二倍角公式，考查同角间的三角函数．解题关键是由221sin cos αα=+化待求值式为关于sin ,cos αα析二次齐次分式，然后利用弦化切求值．15．1【分析】本题先求出再化简代入求值即可【详解】解：∵∴或①当且时；②当且时故答案为：1【点睛】本题考查了同角三角函数关系二倍角公式是基础题解析：1 【分析】本题先求出sin α、cos α，再化简2sin 2cos αα+代入求值即可. 【详解】解：∵ tan 2α=，sin tan cos ααα=，22sin cos 1αα+=， ∴sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩①当sin 5α=且cos 5α=时，222sin 2cos 2sin cos cos 21ααααα+=⋅+=+=⎝⎭；②当sin 5α=-且cos α=时，222sin 2cos 2sin cos cos 21ααααα⎛⎛⎛+=⋅+=⨯⨯+= ⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故答案为：1. 【点睛】本题考查了同角三角函数关系，二倍角公式，是基础题.16．【分析】首先根据诱导公式将然后结合两角和正弦公式的逆用化简即可求值【详解】sin347°cos148°＋sin77°cos58°＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin77°co解析：2【分析】首先根据诱导公式将sin347cos77︒=-︒、cos148sin58︒=-︒，然后结合两角和正弦公式的逆用化简，即可求值 【详解】sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin 77°cos 58° ＝(－cos 77°)·(－sin 58°)＋sin 77°cos 58° ＝sin 58°cos 77°＋cos 58°sin 77° ＝sin(58°＋77°) ＝sin 135°＝2故答案为：2【点睛】本题考查了利用三角函数的诱导公式、两角和正弦公式化简求值，注意有大角要根据诱导公式将其转化为小角，进而应用三角恒等变换化简求值17．【分析】求出和再由两角和余弦公式求得然后可得角的大小【详解】∵且∴同理∴又由得∴故答案为：【点睛】本题考查已知三角函数值求角一般要求角可先这个角的某个三角函数值最好先确定这个角的范围选用在此范围内三解析：4π． 【分析】求出sin()2βα-和sin()2αβ-，再由两角和余弦公式求得cos 2αβ+，然后可得角的大小． 【详解】∵cos 25βα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，cos 210αβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且0,22βπα⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，0,22απβ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，∴sin()25βα-==sin()2αβ-10=， ∴coscos[()()]cos()cos()sin()sin()2222222αββαβαβααβαβαβ+=-+-=-----5105102=⨯-=， 又由0,22βπα⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，0,22απβ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭得(0,)2αβπ+∈，∴2αβ+4π=． 故答案为：4π． 【点睛】本题考查已知三角函数值求角．一般要求角可先这个角的某个三角函数值，最好先确定这个角的范围，选用在此范围内三角函数是单调的函数求函数值后再确定角的大小．18．【分析】利用同角三角函数的基本关系式求得的值由的值【详解】依题意则所以所以所以故答案为：【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式考查两角差的正弦公式考查化归与转化的数学思想方法属于基础题【分析】利用同角三角函数的基本关系式求得()sin ,sin ααβ-的值，由()sin sin βααβ=--⎡⎤⎣⎦的值. 【详解】 依题意02πβα<<<，则02πβ>->-，所以02παβ<-<，所以sin 7α==，()sin 14αβ-==()sin sin βααβ=--⎡⎤⎣⎦()()sin cos cos sin ααβααβ=---1317147147142=⨯-⨯==⨯.【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查两角差的正弦公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.19．【分析】设点的坐标为由于为定值由正弦定理可知当取得最大值时的外接圆面积取得最小值也等价于取得最大值结合已知即可求得答案【详解】不妨设点的坐标为由于为定值由正弦定理可知当取得最大值时的外接圆面积取得最解析：22122x y -=.【分析】设点P 的坐标为()()2,0m m >,由于AB 为定值,由正弦定理可知当sin APB ∠取得最大值时,APB ∆的外接圆面积取得最小值,也等价于tan APB ∠取得最大值,结合已知,即可求得答案. 【详解】不妨设点P 的坐标为()()2,0m m >,由于AB 为定值,由正弦定理可知当sin APB ∠取得最大值时,APB ∆的外接圆面积取得最小值,也等价于tan APB ∠取得最大值,2tan a APF m +∠=,2tan aBPF m-∠=, ∴()2222tan tan 221a aa a m m APB APF BPF a ab b m m m m +--∠=∠-∠==≤=+-+⋅+, 当且仅当()20b m m m=>,即当m b =时,等号成立,此时APB ∠最大,即APB ∆的外接圆面积取最小值.点P 的坐标为()2,b ,代入22221x y a b-=,可得a =b =∴双曲线的方程为22122x y -=.故答案为:22122x y -=.【点睛】本题主要考查了求双曲线的方程,解题关键是掌握双曲线基础知识和灵活使用均值不等式,考查了分析能力和计算能力,属于难题.20．7【分析】根据角终边定义得将所求分式用倍角公式和差公式化简化为齐次式代化简即可【详解】解：由角的终边经过点得所以故答案为：7【点睛】任意角的三角函数值：（1）角与单位圆交点则；（2）角终边任意一点则；解析：7 【分析】根据角终边定义得3tan 4θ=-，将所求分式用倍角公式、和差公式化简，化为齐次式，代3tan 4θ=-化简即可.【详解】解：由角θ的终边经过点(4,3)P -得3tan 4θ=-所以222cos sin 1(2cos 1)sin cos sin 22sin cos )coscos sin )444-----==+++θθθθθθπππθθθθθ31cos sin 1tan 473sin cos tan 114θθθθθθ⎛⎫-- ⎪--⎝⎭====++-+.故答案为：7 【点睛】任意角的三角函数值：（1）角α与单位圆交点(,)P x y ，则sin ,cos ,tan (0)yy x x xααα===≠； （2）角α终边任意一点(,)P x y，则sin tan (0)yx xααα===≠； 三、解答题21．（1）3, 3（2）（i ）()2sin(2)3g x x π=-（ii）4t ≤<【分析】（1）化简函数解析式，根据自变量范围求函数最值即可；（2）先由平移变换得到函数()g x 解析式，再由数形结合求t 的取值范围. 【详解】 （1）2()3sin 22cos 3sin 2cos 212sin(2)16f x x x m x x m x m π=++=+++=+++，又72666x πππ≤+≤6x π∴=时，max ()216f x m =++=，解得3m =，当x π=时，min 1()2()3132f x =⨯-++=. （2）（i ）()f x 的图象向下平移4个单位，再向右平移4π个单位得函数 ()2sin[2()]442sin(2)463g x x x πππ=-++-=-，（ii ）由2()0g x t -=可得()2tg x =， 在同一直角坐标系内作出(),2ty g x y ==的图象，322t≤<时，即234t ≤<时，图象有2个交点， 即2()0g x t -=有2个根. 【点睛】关键点点睛：求方程2()0g x t -=在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时有2个根，可转化为(),2t y g x y ==有2个不同的交点，数形结合求解即可，属于中档题. 22．（1）最小正周期为π；（2）5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，. 【分析】（1）由三角函数恒等变换化简函数得()sin 2f x x =，由三角函数的周期公式可得答案；（2）由余弦的二倍角公式和辅助角公式得()g x 2sin23x π=-（），再由正弦函数的性质可求得函数的单调增区间. 【详解】 解：（1）函数()22sin cos 12cos 1cos 2sin 24444f x x x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--=--=⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以函数()f x 的最小正周期为22ππ=.（2）()()22sin 22cos 1sin 2g x f x x x x x x =-=-=）2sin 23x π=-（），令222232k x k k Z πππππ-≤-≤+∈，，得51212k x k k Z ππππ-≤≤+∈，， 所以函数()g x 的单调增区间为51212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，，. 【点睛】方法点睛：解决三角函数的周期和单调性等相关问题，先利用三角函数的恒等变换化简函数为一个角一个三角函数，再运用整体思想代入是常用的方法.23．（1）45；（2）2450-. 【分析】（1）)先求出cos()4x π-，再由两角和的正弦公式计算；（2）根据同角关系求得cos x ，二倍角公式得sin 2,cos 2x x ，再由两角和的余弦公式求值． 【详解】 解：（1）因为3,24x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以442x πππ<-<，所以cos 4x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭10=， 所以sin sin 44x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦sin cos cos sin 4444x x ππππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭102102=+ 4.5= （2）因为3,24x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，由（1）知4sin 5x =， 所以3cos 5x =-， 所以24sin 22sin cos 25x x x ==- 2167cos 212sin 122525x x =-=-⨯=-， 所以cos 2cos 2cos sin 2sin 666x x x πππ⎛⎫+=⋅-⋅ ⎪⎝⎭7241252252⎛⎫=-⨯--⨯ ⎪⎝⎭2450-= 【点睛】思路点睛：本题考查三角函数的求值．解题关键是选用恰当的公式进行计算．解题时先观察“已知角”和“未知角”的关系，然后确定选用的公式及顺序进行计算求值．在应用平方关系求值时还要注意角的范围，以便确定函数值的正负．24．（1）115sin cos 12αα+=-；（2）4tan 3α=-. 【分析】（1）将等式1sin cos 5αα+=两边平方，可求出sin cos αα的值，进而可求得11sin cos αα+的值； （2）法一：利用同角三角函数的基本关系可求得sin cos αα-的值，结合已知条件可得出关于sin α、cos α的方程组，解出sin α、cos α的值，进而可求得tan α的值； 法二：由弦化切可得出222sin cos tan 12sin cos tan 125αααααα==-++，可得出关于tan α的二次方程，由已知条件可得出tan 1α<-，由此可求得tan α的值.【详解】（1）由1sin cos 5αα+=①，得()21sin cos 12sin cos 25αααα+=+=. 12sin cos 25αα∴=-，所以，111sin cos 5512sin cos sin cos 1225αααααα++===--； （2）法一：由（1）知12sin cos 25αα=-， 0απ<<，sin 0α>，cos 0α<，sin cos 0αα∴->.()249sin cos 12sin cos 25αααα∴-=-=，7sin cos 5αα∴-=②. 由①②得，4sin 5α，3cos 5α=-，sin 4tan cos 3∴==-ααα； 法二：由（1）知12sin cos 25αα=-，22sin cos 1αα+=，22sin cos 12sin cos 25αααα∴=-+. 2222sin cos 12cos sin cos 25cos αααααα∴=-+，即2tan 12tan 125αα=-+，整理可得212tan 25tan 120αα++=，得4tan 3α=-或3tan 4α=-. 因为0απ<<，所以sin 0α>，cos 0α<， 又1sin cos 05αα+=>，所以sin cos αα>，tan 1α∴<-，所以4tan 3α=-. 【点睛】方法点睛：在利用同角三角函数的基本关系求值时，可利用以下方法求解：（1）应用公式时注意方程思想的应用，对于sin cos αα+、sin cos αα-、sin cos αα这三个式子，利用()2sin cos 12sin cos αααα±=±可以知一求二；（2）关于sin α、cos α的齐次式，往往化为关于tan α的式子．25．（1）511[,] ()1212k k k Z ππππ++∈；（2）3[2-. 【分析】（1）由二倍角公式，两角差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后结合正弦函数的单调区间求解．（2）由图象变换得出()g x ，由整体法可求值域．【详解】解：（1）()23()22sin 122f x x x =+-=32cos222x x -23x π⎫⎛=- ⎪⎝⎭ 因为：3222232k x k πππππ+≤-≤+5111212k x k ππππ⇔+≤≤+. 所以函数的单调递减区间是511[,] ()1212k k k Z ππππ++∈（2）由题可知， ()))4312g x x x πππ=+-=-. 因为1344x ππ-≤≤⇔123123x πππ-≤-≤，所以sin()1212x π-≤-≤.故()g x 在3[,]44ππ-上的值域为3[2-. 【点睛】 方法点睛：本题考查两角差的正弦公式，二倍角公式，考查正弦函数的性质．此类问题的解题方法是：利用二倍角公式降幂，利用诱导公式、两角和与差的正弦（余弦）公式展开与合并，最终把函数化为()sin()f x A x m ωϕ=++形式，然后结合正弦函数性质求解． 如果求函数值域，则可由x 的范围求出x ωϕ+的范围，然后由正弦函数性质得值域．26．（1）；（2. 【分析】（1）将已知条件两边平方，求得sin α的值，进而求得cos α的值.（2）先求得()cos αβ-的值，然后利用cos cos[()]βααβ=--，结合两角差的余弦公式，求得cos β的值.【详解】（1）将sin cos 22αα-=两边同时平方，得11sin 2α-=，则1sin 2α=，又2παπ∈（，），所以cos α==.（2）由（1）知，1sin ,cos 22αα==-， 因为2παπ∈（，），2βπ∈π（，），所以22ππαβ-<-<.又因为4sin()5αβ-=，所以3cos()5αβ-， 所以cos cos[)]βααβ=--（ cos cos()sin sin()ααβααβ=-+-314=+⨯，525【点睛】关键点点睛：对于三角函数给值求值的问题，关键在于运用已知角的和，差，二倍的运算表示待求的角，再选择相关公式得以求值．。

一、选择题1．已知sin 410πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，02πα<<，则tan α的值为（ ） A ．12-B ．12C ．2D ．12-或2 2．已知函数()sin cos f x a x b x =+，其中,a b ∈R ，且0ab ≠，若()π4f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立，则（ ）. A ．ππ56f f ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()5π2f x f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．π4f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭是偶函数D ．π4f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是奇函数3．已知,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin α=（ ）A B ．6C ．D ．164．已知α，β均为锐角，5cos()13αβ+=-，3sin()35πβ+=，则sin()3πα-=（ ）A ．3365B ．3365-C ．6365D ．56655．角α的终边与单位圆的交点坐标为1,)22，将α的终边绕原点顺时针旋转34π，得到角β，则cos()αβ+=（ ）A B C D ．06．已知α为锐角，且3cos()65πα+=，则sin α=（ ）A B C D7．已知αβ、均为锐角，满足sin cos αβ==，则αβ+=（ ） A ．6πB ．4π C ．3π D ．34π 8．已知函数22()2sin cos ()sin (0)24x f x x x ωπωωω=-->在区间25[,]36ππ-上是增函数，且在区间[0,]π上恰好取得一次最大值，则ω的范围是（ ）A ．3(0,]5B ．13[,]25C ．13[,]24D ．15[,)229．已知直线524x π=是函数21()sin 8)22x f x x ωωω=+<≤图象的一条对称轴，则ω=（ ） A ．2B ．4C ．6D ．810．已知cos()63πα+=sin(2)6πα-的值为（ ）A B ．13C ．13-D ． 11．已知()1sin 30cos 3αα︒+=+，则()sin 230α+︒=（ ）A ．79-B ．79C D ．12．已知()0,απ∈，sin cos 3αα+=cos2=α（ ）A ．BC ．9-D ．9二、填空题13．在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭范围内,函数tan y x =与函数sin y x =的图象交点有_______个.14．若cos()3πα-=-,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则tan α的值是____________．15．求值：sin 50sin 30sin10cos50cos30sin10︒+︒︒︒-︒︒=_______16．已知1sin cos 5αα-=，0απ≤≤，则sin(2)4απ-=__________；17．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知b =22cos c a b A -=，则a c +的取值范围为______.18．若函数()()()sin cos 2f x x x πϕϕϕ⎛⎫=+++<⎪⎝⎭为偶函数，则ϕ=______. 19．若角α的终边与单位圆的交点为1,()3m m R ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos2=α______.20．已知α，()0,βπ∈，且()tan 3αβ-=，tan 11β=-，2αβ-的值为_______.三、解答题21．已知函数()23sin 22cos f x x x m =++在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为6. （1）求常数m 的值以及函数()f x 当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时的最小值 （2）将函数()f x 的图象向下平移4个单位，再向右平移4π个单位，得到函数()g x 的图象 （i ）求函数()g x 的解析式；（ii ）若关于x 的方程2()0g x t -=在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，有两个不同实数解，求实数t 的取值范围.22．函数2()sin 3sin cos (0)f x x x x ωωωω=+⋅>且满足___________. ①函数()f x 的最小正周期为π；②已知12x x ≠，()()1212f x f x ==，且12x x -的最小值为2π，在这两个条件中任选一个，补充在上面横线处，然后解答问题. （1）确定ω的值并求函数()f x 的单调区间；（2）求函数()f x 在0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的值域. 23．如图，角θ的顶点与平面直角坐标系xOy 的原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P ，若点P 的坐标为04(,)5y -.（1）求tan sin 2θθ-的值；（2）若将OP 绕原点O 按逆时针方向旋转40︒，得到角α，设tan m α=，求()tan 85θ+︒的值.24．设函数2()cos 22sin 3f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的最大值及取得最大值时x 的集合； （2）若,42⎛⎫∈⎪⎝⎭ππα，且2()5f α=，求sin 2α.25．已知函数2()22cos 1f x x x =--，x ∈R ．（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）设ABC 的内角A 、B 、C ，满足()0f C =且sin 2sin B A =，求角A ，B 的值． 26．已知关于x 的方程21204x bx -+=的两根为sin θ和cos θ，3,44θππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． （1）求实数b 的值； （2）求2sin cos 1cos sin θθθθ+-的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由同角间的三角函数关系先求得cos()4πα-，再得tan()4πα-，然后由两角和的正切公式可求得tan α． 【详解】 ∵02πα<<，∴444πππα-<-<，∴cos 4πα⎛⎫-=⎪⎝⎭ ∴sin 14tan 43cos 4παπαπα⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭-== ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭， ∴tan tan 44ππαα⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1tan 11432111tan 34παπα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭===⎛⎫--- ⎪⎝⎭.故选：C ． 【点睛】思路点睛：本题考查三角函数的求值．考查同角间的三角函数关系，两角和的正切公式．三角函数求值时首先找到“已知角”和“未知角”之间的联系，选用恰当的公式进行化简求值．注意三角公式中“单角”与“复角”的区别与联系，它们是相对的．不同的场景充当的角色可能不一样．如题中4πα-在tan tan4tan 41tan tan 4παπαπα-⎛⎫-=⎪⎝⎭+作为复角，但在tan tan 44ππαα⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦中充当“单角”角色．2．B解析：B 【分析】利用辅助角公式可得()()f x x ϕ=+，又()π4f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立知π422f a ⎛⎫=+=⎪⎝⎭a b =，整理得()sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用正弦函数的单调性可判断A ，利用诱导公式以及三角函数的奇偶性可判断选项BCD ，进而可得正确选项. 【详解】由0ab ≠知0a ≠且0b ≠，利用辅助角公式可得()()sin cos f x a x b x x ϕ=+=+，其中tan baϕ=， 又()π4f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立，知π4f ⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最值，所以πππsin cos 444f b a ⎛⎫=+=+= ⎝⎪⎭， 即22221122a b ab a b +++=，所以2211022a b ab +-=，即()2102a b -=， 所以a b =，tan 1b a ϕ==，可得4πϕ=， 所以()sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于选项A：9sin sin 55420f ππππ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，5sin sin 66412f ππππ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为5912202πππ<<，则59sin sin 1220ππ<，当0a >时，ππ56f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当0a <时，ππ56f f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选项A 不正确； 对于选项B ：sin sin 5π5π11π3π2244sin 4f x x x x π⎛⎫-=--- ⎪⎝⎛⎫⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭()ππ4sin sin 4x f x x π⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--+，故选项B 正确；对于选项C ：sin sin ππ444x x f x π⎛⎫--⎛⎫=+= ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭是奇函数，故选项C 不正确；对于选项D ：si πππ442n sin cos 4f x x x x π⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎛⎫+++ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭⎝是偶函数，故选项D 不正确， 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是从已知条件()π4f x f ⎛⎫≤⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立，知π4f ⎛⎫ ⎪⎝⎭是()f x 的最值，π422f a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，从而得()sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，属于中档题.3．D解析：D 【分析】结合同角三角函数基本关系计算sin 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，再利用两角差的正弦公式进行求解即可.【详解】 由,22ππα⎛⎫∈-⎪⎝⎭可得2,633πππα⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭， 又11cos cos 6323ππα⎛⎫+=<= ⎪⎝⎭，所以2,633πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭所以sin 63πα⎛⎫+== ⎪⎝⎭， sin sin sin cos cos sin 666666ππππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11332=-⨯=故选:D 【点睛】本题主要考查两角和与差的正余弦公式与同角三角函数基本关系，解题的关键是熟练运用公式.4．B解析：B 【分析】由所给三角函数值利用同角三角函数的关系求出()sin αβ+、cos 3πβ⎛⎫+⎪⎝⎭，3πα-记为()3παββ⎛⎫+-+⎪⎝⎭，利用两角差的正弦公式展开代入相应值计算即可.【详解】α，β均为锐角，5cos()013αβ+=-<，,2παβπ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，∴()12sin 13αβ+==，β均为锐角，5,336πππβ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，则1cos 32πβ⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，4cos 35πβ⎛⎫∴+==- ⎪⎝⎭或45（4152>，舍去），()sin()sin 33ππααββ⎡⎤⎛⎫∴-=+-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()sin cos cos sin 33ππαββαββ⎛⎫⎛⎫=+⋅+-+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭124533313513565⎛⎫⎛⎫=⨯---⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：B 【点睛】本题考查同角三角函数的关系、两角差的正弦公式、三角函数在各象限的符号，属于中档题.5．A解析：A 【分析】先求α的正余弦三角函数，再求β的正余弦三角函数，然后根据余弦的两角和与差的公式计算即可得到答案. 【详解】由角α的终边经过点1)22，得1sin ,cos 22αα==， 因为角β的终边是由角α的终边顺时针旋转34π得到的，所以3331sin sin()sin cos cos sin (4442πππβααα=-=-=⨯=3331cos cos()cos cos sin sin (4442πππβααα=-=+=+=1cos()cos cos sin sin 2αβαβαβ+=-==， 故选：A. 【点睛】本题主要考查了三角函数的定义以及两角和与差的正余弦公式的应用，属于中档题.6．B解析：B 【分析】由同角三角函数可得in （α6π+）4=5，再利用两角差的正弦公式展开sinα＝sin[（α6π+）6π-]即可. 【详解】∵cos （α6π+）3=5（α为锐角），∴α6π+为锐角，∴sin （α6π+）4=5，∴sinα＝sin[（α6π+）6π-]＝sin （α6π+）cos 6πcos （α6π+）sin 6π4313525210=⋅-⋅=， 故选:B ． 【点睛】本题考查了三角函数的同角公式和两角差的正弦公式，考查了计算能力和逻辑推理能力，属于基础题目.7．B解析：B 【分析】依题意，求cos （α+β），结合角的范围可求得α+β的值． 【详解】由已知α、β均为锐角，sin αβ==，cos 510αβ∴==又cos （α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ＝2， ∵0＜α+β＜π，∴α+β＝4π． 故选B ． 【点睛】解答给值求角问题的一般思路：①求角的某一个三角函数值，此时要根据角的范围合理地选择一种三角函数；②确定角的范围，此时注意范围越精确越好；③根据角的范围写出所求的角．8．B解析：B 【分析】先化简函数，根据()f x 在区间25,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，则为函数含有零的增区间的子集，再根据区间[]0,π上恰好取得一次最大值，则取得最大值时对应的最小正数解属于[]0,π，最后取交集.【详解】因为()222sin cos sin 24x f x x x ωπωω⎛⎫=--⎪⎝⎭， ()2sin 1sin sin x x x ωωω=+-，22sin sin sin x x x ωωω=+-，sin x ω=，令22,22k x k k Z πππωπ-+≤≤+∈，则22,22k k x k Z ππππωωωω-+≤≤+∈， 因为()f x 在区间25,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数， 25,23,2262,k k k Z ππππωωωωππ⎡⎤∴-++∈⎢⎥⎣⎦⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦ 所以223562ππωππω⎧-≤-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得35ω≤，令2,2x k k Z πωπ=+∈，因为在区间[]0,π上恰好取得一次最大值， 所以02ππω≤≤，所以12ω≥， 所以ω的取值范围是1325ω≤≤. 故选：B. 【点睛】本题主要考查三角函数的单调性和最值以及二倍角公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.9．B解析：B 【分析】首先通过三角函数关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的性质的应用求出结果． 【详解】解：函数211()sin cos )sin sin()2223xf x x x x x ωπωωωω=+=-+=-， 令：5()2432k k Z πππωπ-=+∈，解得244()5kk Z ω=+∈， 由于08ω<， 所以4ω=． 故选：B ． 【点睛】本题考查三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，10．B解析：B 【解析】∵cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5sin 2sin 2sin 26662ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦][221cos 2[2cos 11]6633ππαα⎛⎫⎛⎫=-+=-+-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选B.11．B解析：B【分析】根据条件展开化简得到()1sin 303α-︒=，再利用角的变换，得到()()()sin 230sin 26090cos 260ααα+︒=-︒+︒=-︒，再利用二倍角公式化简求值.【详解】由()1sin 30cos 3αα︒+=+，得11cos cos 223ααα+=+， 化简得()1sin 303α-︒=； ()()()sin 230sin 26090cos 260ααα+︒=-︒+︒=-︒ ()21712sin 301299α=--︒=-⨯=故选:B ． 【点睛】本题考查三角恒等变换，重点考查转化的思想，计算能力，属于基础题型.12．A解析：A 【分析】在等式sin cos 3αα+=两边同时平方可求得cos sin αα-的值，然后利用二倍角的余弦公式可求得cos2α的值. 【详解】()0,απ∈，sin cos 3αα+=，两边平方后得：112sin cos 3αα+=，即1sin cos 3αα=-，sin 0α∴>，cos 0α<，()215cos sin 12sin cos 1233αααα⎛⎫-=-=-⨯-= ⎪⎝⎭，cos sin 3αα∴-=-，则()()22cos 2cos sin cos sin cos sin ααααααα=-=-+== 故选：A. 【点睛】本题考查利用二倍角的余弦公式求值，同时也考查了同角三角函数平方关系的应用，考查计算能力，属于中等题.二、填空题13．1【分析】将函数图象交点个数等价于方程在根的个数即可得答案【详解】∵函数图象交点个数等价于方程在根的个数∴解得：∴方程只有一解∴函数与函数的图象交点有1个故答案为：1【点睛】本题考查函数图象交点个数解析：1 【分析】将函数图象交点个数等价于方程tan sin x x =在,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭根的个数，即可得答案. 【详解】∵函数图象交点个数等价于方程tan sin x x =在,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭根的个数， ∴sin 1tan sin sin 0sin (1)0cos cos x x x x x x x=⇔-=⇔-=，解得：0x =， ∴方程只有一解，∴函数tan y x =与函数sin y x =的图象交点有1个. 故答案为：1. 【点睛】本题考查函数图象交点个数与方程根个数的等价性，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.14．【分析】由诱导公式化简再利用同角三角函数间的关系和角的范围可得答案【详解】由且得故答案为：【点睛】本题考查三角函数的诱导公式和同角三角函数间的关系在运用公式时注意角的范围属于基础题解析： 【分析】由诱导公式化简cos()πα-，再利用同角三角函数间的关系和角的范围可得答案. 【详解】由cos()3πα-=-，且,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，得cos tan332ααα===-==-．故答案为：2-. 【点睛】本题考查三角函数的诱导公式和同角三角函数间的关系，在运用公式时，注意角的范围，属于基础题.15．【分析】根据代入原式利用正余弦的和差角公式求解即可【详解】故答案为：【点睛】本题主要考查了非特殊角的三角函数化简与求值需要根据所给的角度与特殊角的关系并利用三角恒等变换进行求解属于中档题【分析】根据506010︒=︒-︒，代入原式利用正余弦的和差角公式求解即可. 【详解】()()sin 6010sin 30sin10sin 50sin 30sin10cos50cos30sin10cos 6010cos30sin10︒-︒+︒︒︒+︒︒=︒-︒︒︒-︒-︒︒sin 60cos10cos60sin10sin 30sin10cos60cos10sin 60sin10cos30sin10︒︒-︒︒+︒︒=︒︒+︒︒-︒︒sin 60cos10tan 60cos60cos10︒︒==︒=︒︒【点睛】本题主要考查了非特殊角的三角函数化简与求值，需要根据所给的角度与特殊角的关系，并利用三角恒等变换进行求解.属于中档题.16．【分析】由题意和同角三角函数基本关系可得和进而由二倍角公式可得和代入两角差的正弦公式计算可得【详解】又故解得故答案为：【点睛】本题考查两角和与差的三角函数公式涉及同角三角函数的基本关系和二倍角公式属解析：50【分析】由题意和同角三角函数基本关系可得sin α和cos α，进而由二倍角公式可得sin 2α和cos2α，代入两角差的正弦公式计算可得． 【详解】221sin cos ,sin cos 15αααα-=+=又0απ≤≤，sin 0α∴≥，故解得4sin 53cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，24sin 22sin cos 25ααα∴==， 227cos 2cos sin 25ααα=-=-，sin(2)sin 22422πααα∴-=-247()22525=+50=.故答案为：50. 【点睛】本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及同角三角函数的基本关系和二倍角公式，属中档题．17．【分析】将已知等式化边为角结合两角和的正弦公式化简可得已知由余弦定理和基本不等式求出的最大值结合即可求解【详解】由正弦定理及得因为所以化简可得因为所以因为所以由已知及余弦定理得即因为所以得所以当且仅解析：【分析】将已知等式化边为角，结合两角和的正弦公式化简可得B ，已知b ，由余弦定理和基本不等式，求出a c +的最大值，结合a c b +>，即可求解. 【详解】由正弦定理及22cos c a b A -=， 得2sin sin 2sin cos C A B A -=. 因为()C A B π=-+，所以()2sinsin 2sin cos A B A B A +-=.化简可得()sin 2cos 10A B -=.因为sin 0A ≠，所以1cos 2B =. 因为0B π<<，所以3B π=.由已知及余弦定理，得2223b a c ac =+-=， 即()233a c ac +-=，因为0a >，0c >，所以()22332a c a c +⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭，得()212a c +≤，所以a c +≤，当且仅当a c ==.又因三角形任意两边之和大于第三边，所以a c +>，a c <+≤故a c +的取值范围为.故答案为： 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角恒等变换解三角形，利用基本不等式求最值，属于中档题.18．【分析】先用辅助角公式函数化简为由偶函数的条件可知是函数的对称轴则又由求得的值【详解】由得因为是偶函数故为其对称轴则又因为所以故答案为：【点睛】本题考查了三角函数的恒等变换三角函数的奇偶性对称性属于解析：4π【分析】先用辅助角公式函数化简为())4f x x πϕ=++，由偶函数的条件可知，0x =是函数的对称轴，则()42k k Z ππϕπ+=+∈，又由2πϕ<求得ϕ的值.【详解】由()()()sin cos ()2f x x x πϕϕϕ=+++<得())4f x x πϕ=++，因为()f x 是偶函数，故0x =为其对称轴，()42k k Z ππϕπ+=+∈，则()4k k ϕπ=π+∈Z ， 又因为2πϕ<，所以4πϕ=.故答案为：4π. 【点睛】本题考查了三角函数的恒等变换，三角函数的奇偶性，对称性，属于中档题.19．【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义求得再利用二倍角公式求得的值【详解】由题意角的终边与单位圆的交点为可得解得即又由故答案为：【点睛】本题主要考查了任意角的三角函数的定义二倍角的正弦公式的应用其解析：79【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义求得cos α，再利用二倍角公式求得cos2α的值. 【详解】由题意，角α的终边与单位圆的交点为1,()3m m R ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得2119m +=，解得3m =±，即cos 3α=±，又由287cos 22cos 12199αα=-=⋅-=. 故答案为：79. 【点睛】本题主要考查了任意角的三角函数的定义，二倍角的正弦公式的应用，其中解答中熟记三角函数的定义，结合余弦的倍角公式求解是解答的关键，属于基础题.20．【分析】根据正切差角公式代入可求得将角配凑后可求得根据及可得的范围即可求得的范围进而求得的值【详解】因为由正切差角公式展开可得代入化简可求得则因为所以即所以则所以故答案为:【点睛】本题考查了正切差角 解析：23π-【分析】根据正切差角公式,代入tan 11β=-可求得tan 9α=.将角配凑后可求得()tan 2αβ-=根据tan 19α=<及tan 011β=-<可得,αβ的范围,即可求得2αβ-的范围,进而求得2αβ-的值.【详解】 因为()tan 3αβ-=,tan 11β=- 由正切差角公式展开可得()tan tan tan 1tan tan 3αβαβαβ--==+⋅代入tan 11β=-tan 311α=⎝⎭化简可求得tan 9α=则()()tan 2tan αβααβ-=+-⎡⎤⎣⎦()()tan tan 1tan tan ααβααβ+-=-⋅-93+==因为tan 19α=< 所以04πα<<,即022πα<<tan 0β=< 所以2πβπ<<则20παβ-<-<所以223παβ-=- 故答案为: 23π- 【点睛】本题考查了正切差角与和角公式的应用,配凑角的形式求正切值,根据三角函数值判断角的取值范围,属于中档题.三、解答题21．（1）3, 3（2）（i ）()2sin(2)3g x x π=-（ii ）4t ≤<【分析】（1）化简函数解析式，根据自变量范围求函数最值即可；（2）先由平移变换得到函数()g x 解析式，再由数形结合求t 的取值范围. 【详解】 （1）2()22cos 2cos 212sin(2)16f x x x m x x m x m π=++=+++=+++，又72666x πππ≤+≤ 6x π∴=时，max ()216f x m =++=，解得3m =，当x π=时，min 1()2()3132f x =⨯-++=. （2）（i ）()f x 的图象向下平移4个单位，再向右平移4π个单位得函数 ()2sin[2()]442sin(2)463g x x x πππ=-++-=-，（ii ）由2()0g x t -=可得()2t g x =， 在同一直角坐标系内作出(),2ty g x y ==的图象，322t≤<时，即234t ≤<时，图象有2个交点， 即2()0g x t -=有2个根. 【点睛】关键点点睛：求方程2()0g x t -=在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时有2个根，可转化为(),2t y g x y ==有2个不同的交点，数形结合求解即可，属于中档题. 22．条件选择见解析；（1）1ω=，单调增区为,()63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，单调减区间为5,()36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【分析】化简()f x 1sin 262x πω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. （1）若选① ，根据周期公式可得ω；若选②，由12min22T x x π-==，可得周期和ω，再根据正弦函数的单调性可得()f x 单调区间； （2）由x 的范围求出26x π-及1sin 262x π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的范围可得答案. 【详解】1cos 2()3cos 2xf x x x ωωω-=+ 3112cos 2222x x ωω=-+1sin 262x πω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.（1）若选① ，则有T π=，222πωπ∴==，即1ω=，若选②，则有12min22T x x π-==， 222πωπ∴==，即1ω=，综上1()sin 262f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 于是由222()262πππππ-+≤-≤+∈k x k k Z ，解得()63ππππ-+≤≤+∈k x k k Z ，即()f x 单调增区为,()63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，由3222()262k x k k Z πππππ+≤-≤+∈， 解得5()36k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 所以()f x 单调减区间为5,()36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.（2）1()sin 262f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，若0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则2,662x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 则13sin 20,622x π⎛⎫⎡⎤-+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 所以()f x 值域为30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了()()sin f x A x b ωϕ=++的性质，有关三角函数的解答题，考查基础知识、基本技能和基本方法，且难度不大，主要考查以下四类问题；（1）与三角函数单调性有关的问题；（2）与三角函数图象有关的问题；（3）应用同角三角函数的基本关系和诱导公式求三角函数值及化简和等式证明的问题；（4）与周期、对称性有关的问题，考查了计算能力. 23．（1）21100；（2）11m m+-.【分析】（1）由三角函数定义求得cos θ，再由同角间三角函数关系求得sin θ，tan θ，用二倍角公式得sin 2θ后可得结论；（2）由角的关系得8545θα+︒=+︒，利用两角和的正切公式可求得tan(85)θ+︒． 【详解】解：（1）由题意得：4cos 5θ=-，且角θ为第二象限的角则3sin 5θ==，3tan 4θ=- ∴tan sin 2tan 2sin cos θθθθθ-=-334324212455425100⎛⎫=--⨯⨯-=-+= ⎪⎝⎭（2）由题意知40αθ=+︒，则40θα=-︒ 则()()tan 85tan 45θα+︒=+︒tan tan 451tan tan 45αα+︒=-︒11m m +=-． 【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的定义，两角和与差的正切公式，二倍角公式，同角韹三角函数关系．解题确定角的关系是关键．由旋转得40αθ=+︒，则40θα=-︒，从而有8545θα+︒=+︒，再结合已知条件柯得结论．确定已知角和未知角的关系选用恰当的公式也是解题关键．24．（1）,3x xx k k Z ππ⎧⎫∈=-+∈⎨⎬⎩⎭∣时，max ()2f x =；（2. 【分析】（1）利用两角和的余弦展开和正弦的降幂公式化简，再利用两角和的正弦写成()()sin f x A x ωϕ=+形式可求最值及对应的x 的值；（2）由3sin 265πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭和α的范围利用平方关系求出cos 26πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再利用凑角sin 2sin 266ππαα⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦可得答案.【详解】（1）1()cos 221cos 22f x x x x =+-1sin 26x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，当2262x k πππ+=-+，即,3x xx k k Z ππ⎧⎫∈=-+∈⎨⎬⎩⎭∣时，max ()2f x =.（2）21sin 265πα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，3sin 265πα⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭， ,42ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，272,636πππα⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，4cos 265πα⎛⎫∴+==- ⎪⎝⎭341sin 2sin 266552ππαα⎡⎤-⎛⎫=+-=-⨯= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 【点睛】本题考查了三角函数的性质、三角函数的化简求值，关键点是正用两角和的余弦、正弦公式和逆用两角和的正弦公式，利用凑角求三角函数值，考查了学生的基础知识、基本运算能力.25．（1）,63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，；（2）,62A B ππ==. 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式将函数转化为()2sin 226f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，令222,262k x k k Z πππππ-≤-≤+∈求解. （2）由()2sin 2206f C C π⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，求得3C π=，再由sin 2sin B A =，利用两角和的正弦公式，由sin 2sin 3A A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭求解. 【详解】（1）因为函数2()22cos 1f x x x =--，2cos22x x =--，2sin 226x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 令222,262k x k k Z πππππ-≤-≤+∈，解得 ,63k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以函数()f x 的单调递增区间是,63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，； （2）由()2sin 2206f C C π⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，得sin 216C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 所以22,62C k k Z πππ-=+∈，即,3C k k Z ππ=+∈， 因为()0,C π∈， 所以3C π=， 又sin 2sin B A =， 所以sin 2sin 3A A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即1sin 2sin 2A A A =，所以tan 3A =， 因为()0,A π∈， 所以,62A B ππ==.【点睛】 方法点睛：1．讨论三角函数性质，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式． 2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2T ωπ=，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为T πω=. 3．对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t ＝ωx ＋φ，将其转化为研究y ＝sin t 的性质．26．（1）b =2）． 【分析】 ()1根据题意,利用韦达定理列出关系式，利用完全平方式和同角三角函数的基本关系化简求出b 的值，利用3,44θππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭对b 的值进行取舍即可. ()2由()1可知sin cos θθ+的值,利用()2sin cos 12sin cos θθθθ-=-，求出sin cos θθ-的值，代入原式即可.【详解】（1）∵sin ,cos θθ为关于x 的方程21204x bx -+=的两根，∴220sin cos 21sin cos 8b b θθθθ⎧⎪∆=-≥⎪⎪+=⎨⎪⎪⋅=⎪⎩， 所以()221sin cos 1+2sin cos 1+44b θθθθ+===，即21144b =+，解得b =520∆=->， 又3,44θππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴sin cos 0θθ+>，∴b = （2）由（1），得sin cos θθ+=,又3,44θππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin cos θθ>， ∴sin cos 2θθ-===，∴12+12sin cos 1cos sin 6θθθθ⨯+==--. 【点睛】关键点点睛：本题考查同角三角函数的基本关系与一元二次方程中的韦达定理相结合，通过利用韦达定理得到sin cos θθ+和cos sin θθ的表达式，再结合()2sin cos 12sin cos θθθθ+=+是求解本题的关键；其中由3,44θππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭对取值进行取舍是本题的易错点.。

课时规范练30三角恒等变换基础巩固练1.(2024·河北邢台模拟)1+tan22.5°=()A.22.(2024·广东梅州模拟)已知cos(θ+π)=-2sinθ,则sin2-2cos2r1=()A.-34B.54C.74D.23.(2024·湖北荆州模拟)化简()A.2B.22C.3D.3-14.(2024·广西南宁模拟)已知3sinα-sin(α+π6)=45,则cos(π3-2α)=()A.-125B.-725C.2425D.9255.(2024·山西吕梁模拟)已知sin37°≈35,()A.34B.436.已知α,β∈(0,π)且tanα=12,cos则α+β=()A.π4B.3π4C.5π6D.5π47.(2024·广东揭阳模拟)已知sinα-3cosα=1,则sin(7π6-2α)的值为.8.已知函数f(x)=sin2rcos2-2sin(π-)cos(π+)sin(9π2-p-cos(13π2+p.(1)求f(π12)的值;(2)已知f(α)求sin2α的值.综合提升练9.(2024·九省适应性测试,7)已知θ∈(3π4,π),tan2θ=-4tan(θ+π4),则1+sin22cos2rsin2=()A.14B.34C.1D.3210.(2024·江苏无锡模拟)已知tanβ=cos1-sin,tan(α+β)=1+sin cos,若β∈(0,π2),则β=()A.π12B.π6C.π4D.π311.(2024·安徽铜陵模拟)已知非零实数m,n满足m sinα+n cosα=tan3π8(m cosα-n sinα),当α=π8时,=.12.对于锐角θ,给出下列条件:①0<θ<π4;②π4<θ<π2;③sin21+cos2=cos-sin cosrsin;④tanθ=2cos5+sin;⑤cos(θ+π4)能使tan2θ>0的条件有(要求从①②,③④⑤两组中分别选择一个).创新应用练13.(2024·重庆模拟)写出一个使等式(3-tan10°)·cosα=1成立的角α的值为.课时规范练30三角恒等变换1.A 解析由tan 45°=2tan22.5°1-tan 222.5°=1,得2tan 22.5°=1-tan 222.5°,即(tan 22.5°+1)2=2,又tan 22.5°>0,所以1+tan 22.5°= 2.2.A 解析因为-2sin θ=cos(θ+π)=-cos θ,即2sin θ=cos θ,若cos θ=0,则sin θ=0,这与sin 2θ+cos 2θ=1矛盾,所以cos θ≠0,则tanθ=12,所以sin2-2cos2r1=2sinvos -2sin 2-2cos 22cos 2-1+1=tan θ-tan 2θ-1=12−14-1=-34.3.A 解析==2.4.B 解析由题意可得3sin α-sin(α+π6)=3sin α-α+12cos α)α-12cos α=sin(α-π6)=45,则cos(π3-2α)=cos(2α-π3)=cos 2(α-π6)=1-2sin 2(α-π6)=1-2×1625=-725.5.B 解析因为sin 37°≈35,所以cos 37°=1-sin 237°≈45,==sin (53°-45°)+sin45°cos53°cos (53°-45°)-sin45°sin53°=sin53°cos45°-cos53°sin45°+sin45°cos53°cos53°cos45°+sin53°sin45°-sin45°sin53°=sin53°cos53°=sin (90°-37°)cos (90°-37°)=cos37°sin37°≈4535=43.6.B 解析(方法一)由α,β∈(0,π)且tan α=12,cos α∈(0,π2),β∈(π2,π),故sinβ=1-cos 2=又α+β∈(π2,3π2),所以sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin (-×=故α+β=3π4,故选B .(方法二)由α,β∈(0,π)且tan α=12,cos α∈(0,π2),β∈(π2,π),故sin β>0,sin β=1-cos 2=31010,tan β=sin cos =-3,又α∈(0,π2),β∈(π2,π),所以α+β∈(π2,3π2),所以tan(α+β)=tanrtan1-tanMan=12+(-3)1-12×(-3)=-1,所以α+β=3π4,故选B .7.12解析已知sin α-3cos α=1,则2(12sin α)=2sin(α-π3)=1,所以sin(α-π3)=12,令β=α-π3,则α=β+π3,即sin β=12,所以sin(7π6-2α)=sin(7π6-2β-2π3)=sin(π2-2β)=cos 2β=1-2sin 2β=12.8.解(1)f (x )=sin 2rcos 2r2sinvoscosrsin (sinrcos )2sinrcos=sin x+cos x=2sin(x+π4).所以f (π12)=2sin(π12+π4)=2sin π3=(2)由f (α)得sin(α+π4)=13.所以sin 2α=-cos(π2+2α)=-cos[2(α+π4)]=-(1-2sin 2(α+π4))=-(1-2×19)=-79.9.A 解析因为θ∈)3π4,π),tan 2θ=-4tan(θ+π4),所以2tan1-tan 2=-4(tanr1)1-tan,即-4(tan θ+1)2=2tan θ,所以(2tan θ+1)(tan θ+2)=0,解得tan θ=-2或tan θ=-12,因为θ∈(3π4,π),tan θ∈(-1,0),所以tanθ=-12,1+sin22cos 2rsin2=sin 2rcos 2r2sinvos 2cos 2r2sinvos=tan 2r1+2tan2+2tan=14+1-12+(-1)=14.故选A .10.C 解析tan α=tan(α+β-β)=tan (r )-tan1+tan (r )·tan ,因为tan β=cos1-sin ,tan(α+β)=1+sincos,所以tan α=1+sin cos -cos1-sin 1+1+sin cos ·cos 1-sin =(1+sin )·(1-sin )-cos ·cos cos (1-sin )cos ·(1-sin )+cos ·(1+sin )cos (1-sin ),所以tan α=(1+sin )·(1-sin )-cos ·cos cos ·(1-sin )+cos ·(1+sin )=1-sin 2-cos 22cos.因为sin 2α+cos 2α=1,所以tan α=0,所以α=k π,k ∈Z ,当k 为奇数时,cos α=-1,sin α=0,当k 为偶数时,cos α=1,sin α=0,因为tan β=cos1-sin ,所以tan β=±1,因为β∈(0,π2),所以β=π4.11.1解析tan 3π8=sin3π8cos 3π8=sin(π2-π8)cos(π2-π8)=cos π8sin π8=1tan π8,即tan 3π8tan π8=1.tan(3π8−π8)=tan 3π8-tan π81+tan 3π8tan π8,即tan3π8-tan π81+tan 3π8tan π8=tan π4=1,所以tan 3π8-tan π8=1+tan 3π8tan π8=2.当α=π8时,m sin π8+n cos π8=tan 3π8·(m cos π8-n sin π8),等式两边同时除以cos π8得,m tan π8+n=tan 3π8(m-n tan π8),整理得m tan π8+n=m tan 3π8-n ,2n=m (tan 3π8-tan π8),所以=tan3π8-tan π82=1.12.①③或①④解析tan 2θ>0⇔2tan1-tan 2>0,因为θ为锐角,所以tan θ>0,则1-tan 2θ>0,解得0<tan θ<1,故0<θ<π4,若①成立,则能使tan 2θ>0,若②成立,则不能使tan 2θ>0,在①②中选择①;条件③:sin21+cos2=2sinvos 2cos 2=cos -sincosrsin ,即tan θ=1-tan 1+tan ,解得tan θ=2-1或tan θ=-2-1(舍去),可得tan2θ=2tan 1-tan 2=1>0,满足题意;条件④:由tan θ=2cos5+sin ,可得sin 2θ+5sin θ=2cos 2θ,即3sin 2θ+5sin θ-2=0,解得sin θ=13或sin θ=-2(舍去),故cos θ=1-sin 2=则tan 所以tan 2θ=2tan1-tan 2=0,满足题意;条件⑤:由cos(θ+π4)可得cos θ-sin θ=-15,结合sin 2θ+cos 2θ=1,解得sin θ=45或sin θ=-35(舍去),cos θ=35或cos θ=-45(舍去),所以tan θ=43,tan 2θ=2tan1-tan 2=-247<0,不满足题意.故满足题意的一组序号为①③或①④.13.50°(答案不唯一)解析因为(3-tan 10°)cos α=(tan 60°-tan 10°)·cos α=(sin60°cos60°−sin10°cos10°)cosα=sin60°cos10°-sin10°cos60°cos60°cos10°·cos α=sin (60°-10°)cos60°cos10°·cos α=2sin50°cos10°·cosα=sin100°cos50°cos10°·cos α=sin (90°+10°)cos50°cos10°·cosα=cos10°cos50°cos10°·cos α=coscos50°=1,所以cos α=cos 50°,则α=50°+k·360°或α=-50°+k·360°,k ∈Z .可取α=50°。

课时规范训练[A 级 基础演练]1．(2016·山西期中适应性训练)sin 20°cos 20°cos 50°＝( ) A ．2 B.22 C. 2 D.12 解析：sin 20°cos 20°cos 50°＝12sin 40°cos 50°＝12sin 40°sin 40°＝12，选D. 答案：D2．(2016·贵阳监测)若sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝25，则sin 2α等于( ) A ．－825B.825 C ．－1725 D.1725解析：sin 2α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝2 sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α－1＝2×⎝⎛⎭⎫252－1＝－1725. 答案：C3．(2016·银川模拟)已知α，β都是锐角，若sin α＝55，sin β＝1010，则α＋β＝( ) A.π4B.3π4C.π4和3π4 D ．－π4和－3π4 解析：由α，β都是锐角，所以cos α＝1－sin 2α＝255，cos β＝1－sin 2β＝31010. 所以cos(α＋β)＝cos α·cos β－sin α·sin β＝22. 又α＋β∈(0，π)，且在(0，π)上，只有cos π4＝22， 所以α＋β＝π4. 答案：A4.cos 2α1＋sin 2α·1＋tan α1－tan α的值为________．解析：原式＝cos 2α－sin 2α＋2·1＋sin αcos α1－sin αcos α＝cos α－sin αsin α＋cos α·sin α＋cos αcos α－sin α＝1. 答案：15．已知x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，cos x ＝45，则tan 2x 等于( ) A.724B ．－724 C.247 D ．－247解析：∵x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，cos x ＝45.∴sin x ＝－35， ∴tan x ＝－34. ∴tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x＝2×⎝⎛⎭⎫－341－⎝⎛⎭⎫－342＝－247. 答案：D6．(2016·太原模拟)已知sin α＋cos α＝12，则cos 4α＝__________. 解析：∵sin α＋cos α＝12，∴(sin α＋cos α)2＝14，即sin 2α＝－34，∴cos 4α＝1－2 sin 22α＝1－2×⎝⎛⎭⎫－342＝－18. 答案：－187．已知函数f(x)＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π12，x ∈R. (1)求f ⎝⎛⎭⎫－π6的值； (2)若cos θ＝35，θ∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，求f ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3. 解：(1)因为f(x)＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π12， 所以f ⎝⎛⎭⎫－π6＝2cos ⎝⎛⎭⎫－π6－π12 ＝2cos ⎝⎛⎭⎫－π4＝2cos π4＝2×22＝1. (2)因为θ∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，cos θ＝35，所以sin θ＝－1－cos 2θ＝－1－⎝⎛⎭⎫352＝－45， cos 2θ＝2cos 2θ－1＝2×⎝⎛⎭⎫352－1＝－725， sin 2θ＝2sin θcos θ＝2×35×⎝⎛⎭⎫－45＝－2425. 所以f ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3＝2cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3－π12 ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π4 ＝2×⎝⎛⎭⎫22cos 2θ－22sin 2θ ＝cos 2θ－sin 2θ＝－725－⎝⎛⎭⎫－2425＝1725. 8．已知函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋7π4＋cos ⎝⎛⎭⎫x －3π4，x ∈R. (1)求f(x)最小正周期和最小值；(2)已知cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45，0<α<β≤π2， 求证：[f(β)]2－2＝0.解：(1)f(x)＝sin xcos 7π4＋cos xsin 7π4＋cos xcos 3π4＋sin xsin 3π4＝2sin x －2cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，∴f(x)的最小正周期T ＝2π，最小值f(x)min ＝－2. (2)证明：由已知得cos αcos β＋sin αsin β＝45， cos αcos β－sin αsin β＝－45，两式相加得2cos αcos β＝0. ∵0<α<β≤π2， ∴cos β＝0，则β＝π2， ∴[f(β)]2－2＝4sin 2π4－2＝0. [B 级 能力突破]1．(2016·江门质检)已知sin 10°＝a ，则sin 70°等于( )A ．1－2a 2B ．1＋2a 2C ．1－a 2D ．a 2－1解析：sin 70°＝sin(90°－20°)＝cos 20°＝1－2sin 210°＝1－2a 2.答案：A2．(2016·河北质检)计算tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α·cos 2α2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α的值为( )A ．－2B ．2C ．－1D ．1解析：tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α·cos 2α2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α·cos 2α2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝cos 2αsin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α＝cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝cos 2αcos 2α＝1，选D.答案：D3．(2016·河南省实验中学质检)已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝17，那么sin α＋cos α的值为( )A ．－15B.75 C ．－75 D.34解析：tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝17>0，α＋π4∈⎝⎛⎭⎫3π4，5π4，则α＋π4∈⎝⎛⎭⎫π，5π4，sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－152，所以sin α＋cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－15，故选A. 答案：A4．已知α为第三象限的角，cos 2α＝－35，则tan ⎝⎛⎭⎫π4＋2α＝________. 解析：∵α为第三象限角，cos 2α＝－35， ∴sin 2α＝45，∴tan 2α＝－43. ∴tan ⎝⎛⎭⎫π4＋2α＝tan π4＋tan 2α1－tan π4tan 2α＝1－431＋43＝－17. 答案：－175．化简2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝⎛⎭⎫π4－x sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x 的结果等于________．解析：原式＝2cos 22x －＋122tan ⎝⎛⎭⎫π4－x sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝12－12sin 22x 2sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4·tan ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝12cos 22x·tan ⎝⎛⎭⎫π4＋x 2sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4 ＝12cos 22x 2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4·cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝12cos 22x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝12cos 22x cos 2x ＝12cos 2x. 答案：12cos 2x 6．(2016·襄阳模拟)已知sin α－cos α＝12，且α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫a －π4的值为________． 解析：由条件可得，2sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝12， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝24. 由sin α－cos α＝12得1－2sin αcos α＝14， ∴2sin αcos α＝34. ∴(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝74， ∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴sin α＋cos α＝72. ∴sin 2α－cos 2α＝74， 故原式＝cos 2α－sin 2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－7424＝－142. 答案：－1427．已知6sin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝0，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3的值． 解：由已知得：(3sin α＋2cos α)(2sin α－cos α)＝0. ∴3sin α＋2cos α＝0或2sin α－cos α＝0.由已知条件可知tan α<0，∴tan α＝－23. sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝sin 2αcos π3＋cos 2αsin π3＝sin αcos α＋32(cos 2α－sin 2α) ＝sin αcos αcos 2α＋sin 2α＋32·cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝tan α1＋tan 2α＋32·1－tan 2α1＋tan 2α. 将tan α＝－23，代入上式得 sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－231＋⎝⎛⎭⎫－232＋32×1－⎝⎛⎭⎫－2321＋⎝⎛⎭⎫－232 ＝－613＋5326＝53－1226.。

双基限时练(二十九) 二倍角的三角函数(二)一、选择题1．cos 2π8－12的值为( )A ．1 B.12 C.22D.24解析 cos 2π8－12＝2cos 2π8－12＝cos π42＝24. 答案 D2.1＋cos100°－1－cos100°＝( ) A ．－2sin5° B ．2sin5° C ．－2cos5°D ．2cos5°解析 原式＝1－sin10°－1＋sin10°＝|cos5°－sin5°|－|cos5°＋sin5°|＝－2sin5°.答案 A3．若tan θ＋1tan θ＝4，则sin2θ＝( ) A.15 B.14 C.13D.12解析 方法一：∵tan θ＋1tan θ＝1＋tan 2θtan θ＝4， ∴4tan θ＝1＋tan 2θ， ∴sin2θ＝2sin θcos θ＝2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θ1＋tan 2θ＝2tan θ4tan θ＝12.方法二：∵tan θ＋1tan θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝1cos θsin θ＝2sin2θ. ∴4＝2sin2θ，故sin2θ＝12. 答案 D4．已知向量a ＝(2，sin x )，b ＝(cos 2x,2cos x )，则函数f (x )＝a·b 的最小正周期是( )A.π2 B ．π C ．2πD ．4π解析 ∵f (x )＝a·b ＝2cos 2x ＋2sin x cos x ＝1＋cos2x ＋sin2x ＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4， ∴f (x )＝a·b 的最小正周期是π. 答案 B5．函数f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4是( )A ．周期为π的偶函数B ．周期为π的奇函数C ．周期为2π的偶函数D ．周期为2π的奇函数解析 f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4 ＝cos 2⎝⎛⎭⎪⎫π2－x －π4－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin2x .∴f (x )为奇函数，且周期为π. 答案 B6．若θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，sin2θ＝378，则sin θ＝( )A.35 B.45 C.74D.34解析 ∵θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，∴2θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，故2cos2θ≤0，∴cos2θ＝－1－sin 22θ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫3782＝－18. 又cos2θ＝1－2sin 2θ，∴sin 2θ＝1－cos2θ2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－182＝916，∴sin θ＝34，故选D.答案 D 二、填空题7．已知tan α＝13，则sin2α＋cos 2α＝__________.解析 sin2α＋cos 2α＝2sin αcos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan α＋1tan 2α＋1＝2×13＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋1＝32. 答案 328．若f (sin x )＝3－cos2x ，则f (cos x )＝__________.解析 f (sin x )＝3－cos2x ＝3－(1－2sin 2x )＝2＋2sin 2x ，f (cos x )＝2＋2cos 2x ＝2＋1＋cos2x ＝3＋cos2x .答案 3＋cos2x9．若sin α2＝1＋sin α－1－sin α，0≤α≤π，则tan α的值是________．解析 两边平方得sin 2α2＝2－21－sin 2α， ∴1－cos α2＝2－2|cos α|.①当0≤α≤π2时，①式为1－cos α2＝2－2cos α， ∴cos α＝1，∴α＝0，∴tan α＝0.当π2<α≤π时，①式为1－cos α2＝2＋2cos α， ∴cos α＝－35，∴sin α＝45. ∴tan α＝－43 答案 0或－43 三、解答题10．已知cos θ＝－35，并且180°<θ<270°，求tan θ2.解 解法一：因为180°<θ<270°，所以90°<θ2<135°，即θ2是第二象限角，所以tan θ2<0，∴tan θ2＝－1－cos θ1＋cos θ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－351＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－2.解法二：因为180°<θ<270°，即θ是第三象限角， ∴sin θ＝－1－cos 2θ＝－1－925＝－45，∴tan θ2＝1－cos θsin θ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－45＝－2，或tan θ2＝sin θ1＋cos θ＝－451＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－2.11．化简：(1＋sin α＋cos α)⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α22＋2cos α(180°<α<360°)．解 原式＝⎝⎛⎭⎪⎫2cos 2α2＋2sin α2cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α22|cos α2|∵180°<α<360°，∴90°<α2<180°，故cos α2<0， ∴上式＝2cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α2－2cos α2 ＝cos 2α2－sin 2α2＝cos α.12．已知函数f (x )＝2a cos 2x ＋b sin x cos x －32，且f (0)＝32，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝12，(1)求f (x )的解析式；(2)写出f (x )的单调增区间．解 (1)由题意得⎩⎨⎧2a －32＝32，a ＋b 2－32＝12，得⎩⎨⎧a ＝32，b ＝1.∴f (x )＝3cos 2x ＋sin x cos x －32＝3·1＋cos2x 2＋12sin2x －32 ＝32cos2x ＋12sin2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.(2)由2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )， 得－512π＋k π≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )．∴f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－512π，k π＋π12(k ∈Z )． 13．已知向量a ＝(1＋sin2x ，sin x －cos x )，b ＝(1，sin x ＋cos x )，函数f (x )＝a ·b .(1)求f (x )的最大值及相应的x 值；(2)若f (θ)＝85，求cos2⎝⎛⎭⎪⎫π4－2θ的值．解 (1)因为a ＝(1＋sin2x ，sin x －cos x )， b ＝(1，sin x ＋cos x )，所以f (x )＝1＋sin2x ＋sin 2x －cos 2x ＝1＋sin2x －cos2x ＝ 2 s in(2x －π4)＋1.因此，当2x －π4＝2k π＋π2，即x ＝k π＋3π8(k ∈Z )时，f (x )取得最大值2＋1.(2)由f (θ)＝1＋sin2θ－cos2θ及f (θ)＝85得sin2θ－cos2θ＝35，两边平方得1－sin4θ＝925，即sin4θ＝1625.因此，cos2(π4－2θ)＝cos(π2－4θ)＝sin4θ＝1625.。

双基限时练(二十五) 同角三角函数的基本关系(二)一、选择题1.1－sin 260°＝( ) A ．±32 B ．±12 C ．－32 D.12解析1－sin 260°＝cos 260°＝|cos60°|＝12.答案 D2．已知α为第三象限角，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为( )A ．3B ．－3C ．1D ．－1解析 ∵α为第三象限角，∴cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α＝cos α－cos α＋2sin α－sin α＝－3. 答案 B3．若tan α＝2，则2sin α－cos αsin α＋2cos α的值为( )A ．0 B.34 C ．1D.54 解析 原式＝2tan α－1tan α＋2＝34，故选B.答案 B4．计算sin 4θ＋cos 2θ＋sin 2θcos 2θ的结果为( ) A.14 B.12 C.32D ．1解析 原式＝sin 2θ(sin 2θ＋cos 2θ)＋cos 2θ＝sin 2θ＋cos 2θ＝1，故选D.答案 D5.sin A1＋cos A ＋1＋cos A sin A 化简后的最简结果为( ) A.sin A 2 B ．sin A C.2sin A D.1sin A解析sin A 1＋cos A＋1＋cos A sin A ＝1－cos A sin A ＋1＋cos A sin A ＝2sin A .答案 C6．已知sin(π－α)＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α，则sin α·cos α等于( )A.25 B ．－25 C.25或－25D ．－15解析 由sin(π－α)＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α得sin α＝－2cos α.∵sin 2α＋cos 2α＝1， ∴(－2cos α)2＋cos 2α＝1. ∴cos 2α＝15.∴sin α·cos α＝(－2cos α)·cos α＝－2cos 2α＝－2×15＝－25.答案 B7．若sin α－2cos α3sin α＋5cos α＝－5，则tan α的值为( )A ．－2B ．2 C.2316D ．－2316解析 由sin α－2cos α3sin α＋5cos α＝－5，得tan α－23tan α＋5＝－5，得tan α＝－2316. 答案 D 二、填空题8.1－2sin40°cos40°sin40°－1－sin 240°＝________. 解析 原式＝(sin40°－cos40°)2sin40°－cos40°＝cos40°－sin40°sin40°－cos40°＝－1.答案 －19．已知2sin α＝cos α，则2cos 2α＋2sin αcos αcos 2α的值是________． 解析 2cos 2α＋2sin αcos αcos 2α＝2＋2tan α1＝2＋2×12＝3. 答案 310.sin θ1＋sin θ－sin θ1－sin θ的值为________． 解析sin θ1＋sin θ－sin θ1－sin θ＝sin θ(1－sin θ)－sin θ(1＋sin θ)1－sin 2θ＝－2sin 2θcos 2θ＝－2tan 2θ.答案 －2tan 2θ 三、解答题 11．化简下列各式．(1)1－2sin α·cos αcos 2α－sin 2α·1＋2sin α·cos α1－2sin 2α； (2)1cos 2α1＋tan 2α－ 1＋sin α1－sin α(α为第二象限角)．解 (1)原式＝(sin α－cos α)2cos 2α－sin 2α·(sin α＋cos α)2cos 2α－sin 2α＝cos α－sin αcos α＋sin α·sin α＋cos αcos α－sin α＝1. (2)原式＝1cos 2αsin 2α＋cos 2αcos 2α－(1＋sin α)21－sin 2α＝－1cos α＋1＋sin αcos α＝sin αcos α＝tan α.12．已知tan αtan α－1＝－1，求下列各式的值：(1)sin α－3cos αsin α＋cos α；(2)sin 2α＋sin αcos α＋2. 解 由已知，tan α＝12，所以， (1)sin α－3cos αsin α＋cos α＝tan α－3tan α＋1＝12－312＋1＝－53； (2)sin 2α＋sin αcos α＋2＝sin 2α＋sin αcos α＋2(cos 2α＋sin 2α)＝3sin 2α＋sin αcos α＋2cos 2αsin 2α＋cos 2α＝3tan 2α＋tan α＋2tan 2α＋1＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋12＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋1＝135.13．求证：2(1－sinα)(1＋cosα)＝(1－sinα＋cosα)2.解∵右边＝2－2sinα＋2cosα－2sinαcosα＝2(1－sinα＋cosα－sinαcosα)＝2(1－sinα)(1＋cosα)＝左边，∴原式成立．。

双基限时练(二十四) 同角三角函数的基本关系(一)一、选择题1．已知α为第四象限角，且cos α＝1213，则sin α等于( ) A.513 B ．－513 C.512D ．－512解析 ∵α为第四象限角， ∴sin α＝－1－cos 2α＝－513. 答案 B2．下列等式中正确的是( ) A ．sin 2α2＋cos 2α2＝12B ．若α∈(0,2π)，则一定有tan α＝sin αcos α C ．sin π8＝±1－cos 2π8D ．sin α＝tan α·cos α(α≠k π＋π2，k ∈Z )解析 选项A 中，sin 2α2＋cos 2α2＝1，所以选项A 不正确；利用同角的三角函数基本关系时一定要注意其隐含条件，对于选项B 中cos α≠0，也即α≠k π＋π2(k ∈Z )，因而选项B 不正确；因为0<π8<π2，所以sin π8>0，所以选项C 不正确．答案 D3．若tan α＝3，π<α<32π，则cos α－sin α的值为( ) A ．－3＋12 B.1－32 C.3－12D.3＋12解析 ∵π<α<32π，tan α＝3， ∴sin α＝－32，cos α＝－12. ∴cos α－sin α＝3－12. 答案 C4．设A 为△ABC 的一个内角，且sin A ＋cos A ＝23，则这个三角形是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形 解析 由sin A ＋cos A ＝23，得1＋2sin A cos A ＝49，∴sin A cos A ＝－518<0，又0<A <π，∴sin A >0，cos A <0，∴A ∈(π2，π)，故△ABC 为钝角三角形．答案 B5．已知sin α·cos α＝18，且π4<α<π2，则cos α－sin α的值是( ) A.32 B.34 C ．－32D ．±32解析 ∵π4<α<π2，∴cos α－sin α＝ －1－2sin αcos α＝－32. 答案 C6．若sin θ＋sin 2θ＝1，则cos 2θ＋cos 4θ等于( ) A ．－1 B ．1 C ．－2D ．2解析 由sin θ＋sin 2θ＝1，解sin θ＝1－sin 2θ，即cos 2θ＝sin θ， 所以cos 2θ＋cos 4θ＝sin θ＋sin 2θ＝1. 答案 B 二、填空题7．已知f (sin α)＝cos 2α，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝________.解析 f (sin α)＝cos 2α＝1－sin 2α，∴f (x )＝1－x 2，故f (12)＝1－14＝34.答案 348．若α为锐角，且tan α是方程4x 2＋x －3＝0的根，则sin α＝________.解析 由4x 2＋x －3＝0，得x ＝－1，或x ＝34，又α为锐角，∴tan α＝34，∴sin α＝35.答案 359．设α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，则1－2sin αcos α＋1＋2sin αcos α＝________.解析 ∵－π4≤α≤π4， ∴sin α<cos α，sin α＋cos α>0，故原式＝(sin α－cos α)2＋(sin α＋cos α)2 ＝cos α－sin α＋sin α＋cos α ＝2cos α. 答案 2cos α10．已知α是第二象限的角，tan α＝－12，则cos α＝________. 解析 ∵α是第二象限的角， ∴cos α<0.又sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝sin αcos α＝－12，∴cos α＝－255. 答案 －255 三、解答题11．已知A 是△ABC 的内角，且tan A ＝－54，求sin A ，cos A . 解 ∵tan A ＝－54，A 为△ABC 内角∴A 为钝角． 又tan A ＝sin A cos A ＝－54，代入sin 2A ＋cos 2A ＝1中， 解得sin A ＝54141，cos A ＝－44141.12．已知cos α＝m (m ≠0，m ≠±1)，求α的其他三角函数值． 解 因为cos α＝m (m ≠0，m ≠±1)， 所以sin α＝±1－m 2.若α在第一、二象限，则sinα＝1－m2，tanα＝1－m2 m.若α在第三、四象限，则sinα＝－1－m2，tanα＝－1－m2 m.13．若θ为锐角，且tanθ＋1tanθ＝2，求：(1)sinθ·cosθ的值；(2)求sinθ＋cosθ的值．解(1)由tanθ＋1tanθ＝2，得sinθcosθ＋cosθsinθ＝2，即sin2θ＋cos2θsinθcosθ＝2，sinθ·cosθ＝12.(2)∵(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ＝2，又θ为锐角，∴sin＋cosθ＝ 2.。

高一数学三角函数综合训练（三角恒等变形）一、选择题1.sin105cos105的值为( )Ａ．14 Ｂ．14- Ｃ．34 Ｄ．34- 2．已知θ为第四象限角，3sin 2θ=-，则tan θ等于( ) A.33 B ．33- C ．33± D ．3- 3．sin163sin223+sin253sin313等于( )A ．12-B.12 C ．32- D.324．已知θ为第三象限角，且445sin cos 9θθ+=，则sin2θ的值为( ) A.223 B ．223- C.23 D ．23-5.已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，则tan()4πα+等于( ) Ａ．16 Ｂ．1322 Ｃ．322 Ｄ．13186．在ABC ∆中，如果sin 2sin cos A C B =，那么这个三角形是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形7.设(tan )cos 2f x x =，则(2)f 的值等于( ) A.4 B.45 C ．23- D ．35- 8．函数22cos ()14y x π=--是( )A.最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 C.最小正周期为π的偶函数 D ．最小正周期为2π的偶9.化简1cos 2tancot22ααα+-，其结果是( )Ａ．1sin 22α-Ｂ．1sin 22α Ｃ．2sin 2α- Ｄ．2sin 2α10．已知sinα＝55，则sin 4α－cos 4α的值为 A ．－15 B ．－35 C.15 D.3511．若α＋β＝3π4，则(1－tanα)(1－tanβ)的值是A.12 B ．1 C.32 D ．2 12．已知cos2θ＝23，则sin 4θ＋cos 4θ的值为 A.1318 B.1118 C.79 D ．－1 13．已知cos(α－π6)＋sinα＝453，则sin(α＋7π6)的值是A ．－235 B.235 C ．－45 D.4514.2＋2cos8＋21－sin8的化简结果是A ．4cos4－2cos4B ．2sin4C ．2sin4－4cos4D ．－2sin4 15．函数y ＝2sin(π3－x)－cos(π6＋x)(x ∈R)的最小值等于A ．－3B ．－2C ．－1D ．－ 5 16．函数y ＝1－tan 22x1＋tan 22x的最小正周期是A.π4B.π2 C ．π D ．2π 17．已知θ为第二象限角，sin(π－θ)＝2425，则cos θ2的值为A.35B.45 C ．±35 D ．±45 18．若α∈(0，π)，且cosα＋sinα＝－13，则cos2α等于A.179 B ．±179 C ．－179 D.17319．已知tan2α＝－22，且满足π4<α<π2，则2cos 2α2－sinα－12sin (π4＋α)的值为A. 2 B ．－ 2 C ．－3＋2 2 D ．3－2 2 20．若f(x)＝2tanx －2sin 2x 2－1sin x 2cos x 2，则f(π12)的值是A ．－433B ．8C ．4 3D ．－4 321．若角α的终边落在直线x ＋y ＝0上，则sinα1－sin 2α＋1－cos 2αcosα的值等于A ．2B ．－2C ．－2或2D ．0 22．已知x ∈(－π2,0)，cosx ＝45，则tan2x 等于 ( )A ．724B ．－724C ．247D ．－247 23.若ABC ∆的内角A 满足2sin 23A =，则sin cos A A += ( ) A.153 B ．153- C ．53 D ．53- 24．等式sin α＋3cos α＝4m －64－m 有意义，则m 的取值范围是 ( )A ．(－1,73)B ．[－1,73]C ．[－1,73]D ．[―73,―1]25．在△ABC 中，已知tan A ＋B2＝sinC ，则以下四个命题中正确的是 ( )(1)tanA ·cotB ＝1．(2)1＜sinA ＋sinB ≤2．(3)sin 2A ＋cos 2B ＝1．(4)cos 2A ＋cos 2B ＝sin 2C ．A ．①③B ．②④C ．①④D ．②③26．已知α∈(0,π)，且sin α＋cos α＝15，则tan α的值为 ( )A ．－43B ．－43 或－34C ．－34D ．43 或－34二、填空题 27.cos 21tan 1sin 21tan αααα+⋅+-的值为 ；28.若α是第三象限角，且5sin()cos sin cos()13αβββαβ+-+=-，则t a n 2α＝ .29．cos10cot 20(3tan 201)-= . 30. ABC ∆中，35sin ,cos 513A B ==，则cos C = .31.设2()2cos 3sin 2f x x x a =++，当[0,]2x π∈时，()f x 有最大值4，则a ＝ .32．设f(x)＝2cos 2x ＋3sin2x ＋a.当x ∈[0，π2]时，f(x)有最大值4，则a ＝__________.33．函数y ＝(sinx ＋cosx)2的最小正周期为__________． 34．若sin(π2＋θ)＝35，则cos2θ＝__________.35．已知cosαcos(α＋β)＋sinαsin(α＋β)＝－35，β是第二象限角，则tan2β＝_________36.若x ＝π3是方程2cos(x ＋α)＝1的解，α∈(0,2π)，则α＝ ．一、解答题37．(本小题满分10分)已知α∈(π2，π)，且sinα＝35.(1)求cos(α－π4)的值；(2)求sin 2α2＋sin4αcos2α1＋cos4α的值．38. 已知5sin(),(0,)4134ππαα-=∈，求cos 2cos()4απα+的值.39．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以O 为顶点，Ox 轴为始边作两个锐角,αβ，它们的终边分别与单位圆交于,A B 两点，已知,A B 的横坐标分别为225,105. (1)求tan()αβ+的值； (2)求2αβ+的值.40.设12cos(),sin()2923βααβ-=--=，其中(,),(0,)22ππαπβ∈∈， 求cos()αβ+的值.41．设cos(α－β2)＝－19，sin(α2－β)＝23，且π2＜α＜π，0＜β＜π2，求cos （α＋β）．42．已知6sin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝0，α∈[π2,π]，求sin(2α＋π3)的值．43．(本小题满分12分)(2009山东高考)设函数f(x)＝cos(2x ＋π3)＋sin 2x.(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期；(2)设A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，若cosB ＝13，f(C 2)＝－14，且C 为锐角，求sinA.44．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2sin 2(π4＋x)－3cos2x ，x ∈[π4，π2]．(1)求f(x)的最大值和最小值；(2)若不等式－2<f(x)－m<2，在x ∈[π4，π2]上恒成立，求实数m 的取值范围．45．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝sin(ωx ＋π6)＋sin(ωx －π6)－2cos 2ωx2，x ∈R(其中ω>0)．(1)求函数f(x)的值域；(2)若函数y ＝f(x)的图象与直线y ＝－1的两个相邻交点间的距离为π2，求函数y ＝f(x)的单调增区间．46.已知函数2()2cos2sin 4cos f x x x x =+-(1)求()3f π值的； (2)求()f x 的最大值和最小值。

课时作业(二十) 简单的三角恒等变换A 级1．如果α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin α＝45，那么sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( ) A.425 B ．－425C.325D ．－3252．(2012·山东卷)若θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，sin 2θ＝378，则sin θ＝( ) A.35 B.45 C.74D.343．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝12，且－π2<α<0，则2sin 2α＋sin 2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4等于( ) A ．－255B ．－3510C ．－31010D.2554．(2012·中山模拟)已知角A 为△ABC 的内角，且sin 2A ＝－34，则sin A －cos A ＝( )A.72B ．－72C ．－12D.125．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，若cos α＝17，⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α sin βcos α cos β＝3314，0<β<α<π2，则β等于( )A.π12B.π6 C.π4D.π36．化简tan 45°－α1－tan 245°－α·sin αcos αcos 2α－sin 2α＝________. 7．已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α＝________. 8．若锐角α、β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，则α＋β＝________.9．化简1＋sin 2θ－cos 2θ1＋sin 2θ＋cos 2θ＝________.10．设sin α＝－35，sin β＝1213，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求sin(α－β)，cos 2α，tan β2的值．11．求证：tan α＋1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α2＝1cos α.B 级1．已知实数a ，b 均不为0，a sin α＋b cos αa cos α－b sin α＝tan β，且β－α＝π6，则ba等于( )A. 3B.33 C ．－ 3D ．－332．计算：cos 10°＋3sin 10°1－cos 80°＝________.3．设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋sin 2x .(1)求函数f (x )的最大值；(2)设A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，若cos B ＝13，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2＝－14，且C 为锐角，求sin A .详解答案课时作业(二十)A 级1．D ∵sin α＝45，π2＜α＜π，∴cos α＝－35，而sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝2cos α＝－325. 2．D ∵θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，∴2θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π. ∴cos 2θ＝－1－sin 22θ＝－18，∴sin θ＝1－cos 2θ2＝34. 3．A 由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝12， 得tan α＝－13.又－π2<α<0，所以sin α＝－1010. 故2sin 2α＋sin 2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝2sin αsin α＋cos α22sin α＋cos α＝22sin α＝－255.4．A ∵A 为△ABC 的内角且sin 2A ＝2sin A cos A ＝－34<0，∴sin A >0，co s A <0，∴sin A －cos A >0.又(sin A －cos A )2＝1－2sin A cos A ＝74.∴sin A －cos A ＝72. 5．D 依题意有sin αcos β－cos αsin β＝sin ()α－β＝3314， 又0<β<α<π2，∴0<α－β<π2，故cos(α－β)＝1－sin2α－β＝1314，而cos α＝17，∴sin α＝437，于是sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝437×1314－17×3314＝32，故β＝π3，选D.6．解析： 原式＝12tan(90°－2α)·12sin 2αcos 2α＝12sin 90°－2αcos 90°－2α·12sin 2αcos 2α＝12cos 2αsin 2α·12sin 2αcos 2α＝14. 答案： 147．解析： 根据已知条件：cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsinβ，cos β(cos α－sin α)＋sin β(cos α－sin α)＝0，即(cos β＋si n β)(cos α－sin α)＝0. 又α、β为锐角，则sin β＋cos β>0， ∴cos α－sin α＝0，∴tan α＝1. 答案： 18．解析： 由(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4， 可得tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，即tan(α＋β)＝ 3.又α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝π3.答案：π39．解析： 原式＝1＋2sin θ·cos θ－1－2sin 2θ1＋2sin θ·cos θ＋2cos 2θ－1＝2sin θ·cos θ＋2sin 2θ2sin θ·cos θ＋2cos 2θ＝2sin θ·cos θ＋sin θ2cos θ·sin θ＋cos θ＝tan θ. 答案： tan θ10．解析： ∵sin α＝－35，sin β＝1213，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， ∴cos α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝－45，cos β＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12132＝－513，∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513－⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×1213＝6365； cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝725，tan β2＝sin β1＋cos β＝12131－513＝32.11．证明： 左边＝sin αcos α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α2＝sin αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α2＋cos αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α2cos αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α2－αcos αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α2cos αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α2cos αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α2＝1cos α＝右边．∴原式得证．B 级1．B 由β－α＝π6得β＝α＋π6，∴tan β＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝tan α＋331－33tan α＝3tan α＋33－3tan α＝3sin α＋3cos α3cos α－3sin α与已知比较可设a ＝3t ，b ＝3t ，t ≠0，故b a ＝33，选B.2．解析： cos 10°＋3sin 10°1－cos 80°＝2sin 30°cos 10°＋cos 30°sin 10°2sin 240°＝2sin 40°2sin 40°＝ 2.答案：23．解析： (1)f (x )＝cos 2x cos π3－sin 2x sin π3＋1－cos 2x2＝12cos 2x －32sin 2x ＋12－12cos 2x ＝12－32sin 2x . 所以，当2x ＝－π2＋2k π，k ∈Z ，即x ＝－π4＋k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值，f (x )max ＝1＋32. (2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2＝－14，即12－32sin C ＝－14， 解得sin C ＝32，又C 为锐角，所以C ＝π3. 由cos B ＝13求得sin B ＝223.因此sin A ＝sin[π－(B ＋C )]＝sin(B ＋C ) ＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝223×12＋13×32＝22＋36.。