一类特殊的一阶常微分方程的初等积分法

常微分方程的初等解法1．常微分方程的基本概况1.1.定义：自变量﹑未知函数及函数的导数（或微分）组成的关系式，得到的便是微分方程，通过求解微分方程求出未知函数，自变量只有一个的微分方程称为常微分方程。

1.2.研究对象：常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和现象运动﹑演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法。

物理﹑化学﹑生物﹑工程﹑航空﹑航天﹑医学﹑经济和金融领域中的许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程。

如牛顿运动规律、万有引力﹑能量守恒﹑人口发展规律﹑生态总群竞争﹑疾病传染﹑遗传基因变异﹑股票的涨伏趋势﹑利率的浮动﹑市场均衡价格的变化等。

对这些规律的描述﹑认识和分析就归结为对相应的常微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学，而且越来越多的应用于社会科学各个领域。

1.3.特点：常微分方程的概念、解法、和其它理论很多，比如，方程和方程组的种类及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理论等等。

下面就方程解的有关几点简述一下，以了解常微分方程的特点。

求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标，一旦求出通解的表达式，就容易从中得到问题所需要的特解。

也可以由通解的表达式，了解对某些参数的依赖情况，便于参数取值适宜，使它对应的解具有所需要的性能，还有助于进行关于解的其他研究。

1.4.应用：现在，常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。

这些问题都可以化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题。

应该说，应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它的现有理论也还远远不能满足需要，还有待于进一步的发展，使这门学科的理论更加完善。

2.一阶的常微分方程的初等解法一阶常微分的初等解法包括变量分离方程与变量变换﹑可以化为变量分离方程的类型﹑线性微分方程与常数变易法﹑恰当微分方程与积分因子，下面我们就具体分析一阶常微分方程的初等解法。

常微分方程小结姓名：邱俊铭学号：2010104506姓名：李林学号：2010104404姓名：曾治云学号: 2010104509初等积分法：变量分离形式一、一阶微分程：dy/dx=h(x)g(y) ，其中函数h(x)在区间(a,b)上连续，g(y)在区间(c,d)上连续且不等于0.经过分离变量得: dy/g(y)=h(x)dx 两端积分得：G(y)=H(x)+c ,其中c任意的常数且G(y)= ∧dy/g(y)，H(x)= ∧h(x)®x，所以G’(y)=1/g(y)不为0，故G存在逆函数，从而得到：y= (H(x)+c).例1. dy /dx=2xy解：当y ≠0时，分离变量后得：dy/ y =2xdx ,两边积分得：ln|y|=x^2+c1 ，此外y=0也是方程的解，从而方程的解为y=Ce^(x^2),g(y)=0,则y=是方程的解，其中C为任意的常数。

初值问题的解，即y取任意一个数得到的结果，代入通解中，求出具体y 值。

例2.y(1+x^2)dy=x(1+y^2)dx,y(0)=1;解：这是变量分离的方程，分离变量后得：y/(1+y^2)dy=x/(1+x^2),两边积分得其通解为：1+y^2=C(1+x^2),其中C为任意常数，代入初值条件得：C=2.。

故所给的初值问题的解为y=.二、常数变易法一阶非线性方程：dy/dx=a(x)y+f(x).（1）当f(x)=0时，方程为齐次线性方程，解法和上述的一样，通解为y=C ,C为任意的常数。

现在求齐次线性方程的通解，常数C换成x的函数c(x),得到：y= c(x)，对x 求导，然后代入（1）中化简，两端积分，得：y=C +f x e ..例3. dy/dx-2xy=x.解：dy/dx=2xy+x ，这里a(x)=2x,f(x).从而可求出原方程的通解为： Y=exp(2 ∧x ®x)(c+ ∧xexp(-2∧x ®x)®x)=-1/2+ce^(x^2),即-1/2+ce^(x^2)，其中c 为任意的常数。

一阶微分方程的初等解法一阶微分方程的初等解法●一阶微分方程的初等解法：方程的通解能够用初等函数或初等函数的积分表示出来。

●一阶微分方程的一般形式y′=f(x,y)也可写成对称形式（全微分形式）P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0在对称形式方程中，变量x与y是对称的，它即可以看作是以x自变量，y为未知函数的方程dy=−P(x,y)() Q(x,y)≠0也可看作是x为自变量，y为未知函数的方程dy dx=−Q(x,y)P(x,y) P(x,y)≠0●一阶微分方程的常见形式：1.可分离变量的一阶微分方程和齐次方程定义：如果一阶微分方程具有形式dy dx=f(x)g(y)则该方程称为可分离变量微分方程。

不妨设g(y)≠0,则可将方程化为dy g(y)=f(x)dx例求微分方程xdy+2ydx=0，满足初始条件y|x=2=1的特解。

解：由∵ xdy+2ydx =0分离变量dy y=−2dx x两边积分lny=−2lnx+lnC ∴ y=Cx−2是通解。

将初始条件代入C=4，即∴ y=Cx−2为方程的一个特解。

例放射性元素铀由于不断地有原子放射出微粒子而变成其它元素，铀的含量就不断减少，这种现象成为衰变。

由于原子物理学告之，铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比。

已知t=0时铀的含量为M0，求在衰变过程中含量M(t)随时间变化的规律。

解：铀的衰变速度就是M(t)对时间t的导数dM dt即dM dt=−λMλ(>0)是衰变常数。

初始条件M|t=0=M0分离变量dM M=−λdt于是M=Ce−λt是方程的通解代入初始条件M=M0e−λt齐次方程：如果一阶微分方程dy dx=f(x,y)中的函数f(x,y)可变形为φ�y x�即dy dx=φ�y x�则称为齐次方程。

求解步骤:变量代换法设u=y x，y=ux，得u+x du dx=φ(u)∴ xdu=(φ(u)−u)dx 可分离变量方程duφ(u)−u=dx x=>�duφ(u)−u= �dx x 得到齐次方程的通解。

一阶常微分方程的解法[摘要]微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和现象运动、演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法.而一阶微分方程作为微分方程的基础问题，是解决其他问题的重要环节.本文总体分为两个环节：第一部分介绍了一阶显式微分方程的多种解法，深入讨论了可分离变量的方程，可化为变量可分离方程的齐次方程，一阶线性微分方程，恰当方程，积分因子法这些特殊类型.本文的另一部分介绍了一阶隐式微分方程的多种结合，结合可解出y，结合可解出x，不显含y的隐式方程，不显含x的隐式方程这四类特殊的情况进行探讨.文章的最后一部分则是选取了一阶微分方程的四类非常特殊的微分方程，给出了各种通解.[关键词]显式微分方程，可分离变量，一阶线性微分方程，齐次方程，隐式微分方程The Method for First-order Differential EquationsStudent: Wu Tao , School of Information and MathematicsTutor: Wu Haitao , School of Information and Mathematics[Abstract]Differential equations is the most basic mathematical theory and methods to study the natural sciences and the social sciences things, objects and phenomena movement, evolution and variation.The first order differential equations as a basis for the problem, and is an important part of solving other problems.This paper is divided into two areas overall：The first part introduces many kinds of solutions of differential equations of first-order explicit, it discusses the Variable separable equation in depth,The homogeneous equation can be separated equations for variables,First order linear differential equations,The appropriate equations ,Integral factor method,and so on.Another part of the article describes the combination of a variety of first-order differential equations implicit, Y can be solved in conjunction, X can be solved in conjunction, The implicit equation without Y, The implicit equation without X, These four kinds of special cases are discussed in this paper.The last part of the article is selected four kinds of differential equations of first order differential equation is very special, It gives the general solution.[Keywords]Explicit differential equation,Separable variables,First order linear differential equations,Homogeneous equation,Implicit differential equation.一阶常微分方程的解法1前言微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解.牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解.后来瑞士数学家欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论.常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的.数学的其他分支的新发展，如复变函数都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具.牛顿研究天体力学和机械力学的时候，利用了微分方程这个工具，从理论上得到了行星运动规律.后来，法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星的位置.这些都使数学家更加深信微分方程在认识自然、改造自然方面的巨大力量.2选题背景2.1研究目的与意义一阶常微分方程解法就是把常微分方程的求解问题转化为积分问题，能用这种方法求解的微分方程称为可积方程. 随着常微分方程在实际生产、生活中表现出重要的应用性，因此，研究常微分方程的解题方法也变得十分必要.本文通过对一阶微分方程的初等解法的归纳与总结，以及对变量分离，积分因子，微分方程等各类初等解法的简要分析，同时结合例题把常微分方程的求解问题化为积分问题，进行求解.而且常微分方程就形式种类而言多不胜举，在涉及具体的常微分方程求解问题时应本着抓住特点、拓宽思路、灵活处理的原则, 找出解题的切入点，逐步推进，一举突破.常微分方程因其广泛的应用性而受到科学技术领域的普遍关注和高度重视．但许多常微分方程教材都存在明显的对各类型方程求解的孤立技巧与方法的汇编倾向，许多内容的联系比较松散．面对这种情况，在教学中特别需要把握好教学方法和切实突出课程中的基本思想和方法，使学生在学习中能得到应有思维训练．尤其是一阶常微分方程是非常重要的一类方程，它作为常微分方程的基础内容之一，具有完整的系统理论和丰富的实际背景，学好该内容对提高学生学习后继内容的积极性和思维能力具有重要奠基作用．2.2国内外现状和发展趋势与研究的主攻方向本文讨论的求解一阶常微分方程的，在教材体系和知识逻辑上具有较好的承前性．同时，方法的具体运用过程较常数变易法简洁明了，符合学生认知规律．它在思想上很好地体现了变换化归的思想，讲授它对突出课程的思想方法教学具有重要作用．而在方法的功能上，它不仅能解决当前的线性方程问题，而且在解决非线性方程方面同样具有重要作用．讨论这些方法的应用对拓展学生思维能高其数学素养具有很好作用．但在教学实践中，考虑到公共数学课面对的学生基础和教学目的的局限性，当只能讲授常数变易法，其余两法只作说明而不能具体涉及，以此扩大学生知识视野而又不增加教学难度．但对专业教学则可作必要拓展．个人实践是以讲授常数变易法为主，函数变换法为辅，将其列为课堂讨论题目并作具体推导，但讲而不要求．对积分因子法，则只作为学生思考题目给出，并作适当的提示，让有兴趣和学有余力的学生思考．对教材作这样处理，能在不增加教学难度的情况下，既可突出重点又能较好地分化难点，有利于拓展学生知识视野、激发学生学习兴趣和提高学生对数学的理解能力．微分方程的理论逐步完善的时候，利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律，只要列出相应的微分方程，有了解方程的方法.微分方程也就成了最有生命力的数学分支.常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和现象运动、演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法.因此，常微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学，而且越来越多烦人应用于社会科学的各个领域.常微分方程在很多学科领域内有着重要的作用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等等，这些问题都可以化为求微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题.2.3主要研究内容，重点研究的关键问题及解决思路本文主要解决了三个问题：（1）一阶微分方程的基本知识和性质；（2）一阶微分方程的解法；（3）一阶微分方程解法的应用举例.一阶微分方程的解法，关键和解题思路即把微分方程的求解问题化为积分问题，其解的表达式由初等函数或超越函数表示.3 一阶显式微分方程的解法3.1 可分离变量的方程如果微分方程(,)(,)0P x y dx Q x y dy +=中的函数(,)P x y 和(,)Q x y 均可表示为x 的函数与y 的函数的乘积，则称该方程为变量分离的方程.解法 令11(,)()(),(,)()()P x y X x Y y Q x y X x Y y == 于是11()()()()0X x Y y dx X x Y y dy += 若11()()0X x Y y ≠时，有11()()0()()X x Y y dx dy X x Y y += 即11()()()()X x Y y dx dy C X x Y y +=⎰⎰，其中C 为任意常数 当1()0X x =或1()0Y y =时，也是方程的解. 下面结合几种特殊的情况来进行求解[1].1. 形如 )()(y g x f dx dy= 当0)(≠y g 时，得到dx x f y g dy)()(=，两边积分即可得到结果； 当0)(0=ηg 时，则0)(η=x y 也是方程的解.例1 2dy x dx y=解 由2dy x dx y=可知：3220()032x y x dx ydy d -=⇒-=于是321132x y C -=即3223x y C -=，其中C 为常数. 2. 形如0)()()()(=+dy y Q x P dx y N x M当0)()(≠y N x P 时，可有dy y N y Q dx x P x M )()()()(=，两边积分可得结果；当0)(0=y N 时，0y y =为原方程的解，当0(0=）x P 时，0x x =为原方程的解. 例2 22(1)(1)0x y dx xydy +-+=解 当2(1)0x y -≠时，用它除方程的两断，即得等价的方程22101x ydx dy x y ++=- 再积分上式，有2221ln ln 1x x y C ++-=，其中1C 为任意常数即2221x x e y C -=1(0)C C e =≠ 而0x =或1y =±都是方程的解于是方程的解为2221x x e y C -=，C 为任意常数.3.2 可化为变量可分离方程的齐次方程如果微分方程(,)(,)0P x y dx Q x y dy +=中的函数(,)P x y 和(,)Q x y 都是x 和y 的同（例如m 次）齐次函数，即：(,)(,),(,)(,)m m P tx ty t P x y Q tx ty t Q x y == 则称微分方程为齐次方程.其等价定义为()dy yg dx x=解法 令y ux =，其中u 为新的未知函数，x 仍为自变量，则(,)(,)(,),(,)(,)(,).mmP x y P x xu x P x u Q x y Q x xu x Q x u ⎧==⎪⎨==⎪⎩ 于是1[(1,)(1,)](1,)0m m x P u uQ u dx x Q u du +++=这是一个变量分离方程.下面结合几种具体的类型进行求解[3]：1.形如)(xyg dx dy =解 令x yu =，则udx xdu dy +=代入得到)(u g u dx dux =+为变量可分离方程 得到)(0),,(为常数C C x u f =再把u 代入得到)(0),,(为常数C C x xyf =.2.形如)0(),(≠+=ab by ax G dxdy解 令by ax u +=，则bduadx dy +=代入得到)(1u G badx du b =+为变量可分离方程 得到)(0),,(为常数C C x u f =再把u 代入得到)(0),,(为常数C C x by ax f =+. 3.形如)(222111c y b x a c y b x a f dx dy ++++= 解 若02211=b a b a ，则121221120a a a b a b b b λ-=⇒== 于是221222()a x b y c dyf dx a x b y c λ⎛⎫++= ⎪++⎝⎭转化为)(by ax G dxdy+=，下同1； 若02211≠b a b a ，⎩⎨⎧=++=++00222111c y b x a c y b x a 的解为),(00y x 令⎩⎨⎧-=-=00y y v x x u ，则)()()(22112211u v g u v b a u v b a f v b u a v b u a f du dv =++=++=，下同2； 4. ()()0yf xy dx xg xy dy +=只需令u xy =，利用上面类似的方法可求； 5. 2()dyx f xy dx= 只需令v xy =，22),(xyw x y xf dx dy ==，利用上面类似的方法可求； 6. (,)()(,)()0M x y xdx ydy N x y xdy ydx ++-=只需令cos ,sin x r y r θθ==，利用上面类似的方法可求； 例325--+-=y x y x dx dy 解 令2--=y x u ，则du dx dy -=，代入得到uu dx du 71+=-，有所以)(722为常数C C x u +-=把u 代入得到)(7222为常数）（C C x y x =+--例41212+-+-=y x y x dx dy 解 由⎩⎨⎧=+-=+-012012y x y x 得到⎪⎩⎪⎨⎧=-=3131y x令⎪⎩⎪⎨⎧-=+=3131y v x u ，有⎩⎨⎧==du dx dv dy 代入得到uvu v v u v u du dv 21222--=--= 令uvt =，有udt tdu dv +=代入得到ttdu dt u t 212--=+，化简得到 )1(2)1(22221222t t t t d dt t t t u du +-+--=+--= 有)(2)1ln(ln 2为常数C C t t u ++--=所以有)(1121C e C t t C u ±=+-=，故代入得到)0(,31313131131121≠⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-++--=+C x y x y C x3.3 一阶线性微分方程方程()()dyP x y Q x dx+=叫做一阶线性微分方程(因为它对于未知函数及其导数均为一次的).如果()0Q x =，则方程称为齐次的；如果()Q x 不恒等于零，则方程称为非齐次的.解法一（积分因子法） 首先，我们讨论对应的齐次方程()0dyP x y dx+=的通解问题[2].若0y ≠，分离变量得()dyP x dx y=- 两边积分得()P x dxy Ce -⎰=其次，求解非齐次方程()()dyP x y Q x dx+=，则()()dy P x ydx Q x dx += 于是()()()()()P x dxP x dxP x dxe dy e P x ydx e Q x dx ⎰⎰⎰+=则()()()()P x dxP x dxd e y d Q x e dx ⎰⎰=⎰即()()(())P x dxP x dxy e C Q x e dx -⎰⎰=+⎰，其中C 为任意常数解法二（常数变易法） 首先求得齐次方程()0dyP x y dx+=的通解为 ()P x dxy Ce -⎰=于是令()()P x dxy C x e -⎰=为非齐次方程()()dyP x y Q x dx +=的解. 代入得：()()()()()()()()()P x dxP x dx P x dx dC x e C x P x e P x C x e Q x dx---⎰⎰⎰-+= 于是()()()P x dx dC x Q x e dx⎰= 即()()()P x dxC x Q x e dx C -⎰=+⎰于是非齐次方程()()dyP x y Q x dx+=的解为 ()()()()P x dxP x dxP x dxy Ce e Q x edx ---⎰⎰⎰=+⎰，其中C 为任意常数解法三（利用解的性质）设()P x dxh y Ce -⎰=为齐次方程()0dyP x y dx+=的通解，p y 为对应的非齐次方程()()dyP x y Q x dx+=的一个特解，则方程的通解为 h p y y y =+例6 1)1()1(++=-+n x x e ny dxdyx 解 化简方程为：n x x e y x n dx dy )1(1+=+-，则;)1()(,1)(n x x e x Q x nx P +=+-= 代入公式得到n dxx ndxx P x ee x -1)()1()(+=⎰=⎰=+-μ所以)()()1(])1()1([)1()(为常数C C e x C dx x e x x x y x n n x n n ++=++++=⎰- 例7315dyy dx-= 解 易知方程的一个特解为5y =-对应的齐次方程的通解为3x y Ce =于是方程的通解为35x y Ce =-，其中C 为任意常数3.4 恰当方程考虑对称形式的一阶微分方程(,)(,)0P x y dx Q x y dy +=，如果存在一个可微函数(,)x y Φ，使得它的全微分为(,)(,)(,)d x y P x y dx Q x y dy Φ=+ 亦即它的偏导数(,),(,)P x y Q x y x y∂Φ∂Φ==∂∂ 则称该方程为恰当方程或全微分方程.解法 先判断是否是恰当方程： 如果有x y x N y y x M ∂∂=∂∂),(),(恒成立，那么原方程是个恰当方程，找出一个 ),(),(),,(),(.),,(y x N yy x G y X M x y x G ts y x G =∂∂=∂∂, 有)(,),(为常数C C y x G =；例8 0)46()63(3222=+++dy y y x dx xy x解 由题意得到，322246),(,63),(y y x y x N xy x y x M +=+= 由xNxy y M ∂∂==∂∂12得到，原方程是一个恰当方程； 下面求一个),(),(),,(),(.),,(y x N yy x G y X M x y x G t s y x G =∂∂=∂∂ 由2263),(),(xy x y X M xy x G +==∂∂得)(3),(223y y x x y x G ϕ++=，两边对y 求偏导得到32246)(6y y x y y x yG+='+=∂∂ϕ，得到34)(y y ='ϕ，有4)(y y =ϕ， 故42233),(y y x x y x G ++=，由0=dG ， 得到)(,34223为常数C C y y x x =++3.5 积分因子法方程(,)(,)0,(,),..0M x y dx N x y dy x y s t Mdx Ndy μμμ+=∃+=是一个恰当方程，那么称),(y x μ是原方程的积分因子；积分因子不唯一.定理 2.5.1 当且仅当)(x NxNy M ϕ=∂∂-∂∂，原方程有只与x 有关的积分因子，且为⎰=dxx e y x )(),(ϕμ，两边同乘以),(y x μ，化为恰当方程，下同2.4[4].定理2.5.2 当且仅当)(y MxNy M φ=-∂∂-∂∂，原方程有只与y 有关的积分因子，且为⎰=dyy e y x )(),(φμ，两边同乘以),(y x μ，化为恰当方程，下同2.4[4].性质2.5.1 齐次方程(,)(,)0P x y dx Q x y dy +=有积分因子1u xP yQ =+证明 作变换y ux =，由(,)(,)0P x y dx Q x y dy +=是齐次方程，则1(,)(,)()[(1,)(1,)](1,)0m m m P x ux dx Q x ux udx xdu x P u ux Q u dx x Q u du +++=++= 两边同乘111[(1,)(1,)]m xP yQ x P u uQ u +=++，则有 1(1,)(1,)ln 0(1,)(1,)(1,)(1,)Q u Q u dx du d x du x P u uQ u P u uQ u ⎛⎫+=+= ⎪++⎝⎭⎰ 显然为全微分例9 02)3(2=++xydy dx y e x解 由xy y x N y e y x M x 2),(,3),(2=+=得y y y xNy M 426=-=∂∂-∂∂且有xx N x Ny M 2)(==∂∂-∂∂ϕ，有22),(x e y x dx x =⎰=μ 原方程两边同乘2x ，得到,02)3(322=++ydy x dx y e x x 化为0))22((232=++-y x e x x d x得到解为)(,)22(232为常数C C y x e x x x =++-例10 0)(3=+-dy y x ydx解 由题意得到，)(),(,),(3y x y x N y y x M +-==，有2)1(1=--=∂∂-∂∂xNy M 有yy M xNy M 2)(-==-∂∂-∂∂φ，有22)(),(--=⎰=⎰=y e e y x dy y dy y φμ原方程两边同乘2-y ，得到0)2()(22=-=--+yy x d dy y y x y dx 得到原方程的解为)(,22为常数C C y y x =- 例11dy x ydx x y+=- 解 ()()0x y dx x y dy +--=为齐次方程 由性质2.5.1可知：积分因子2211()()u x x y y x y x y ==+--+于是22220xdx ydy xdx ydyx y x y+--=++ 即221ln()arctan ln (0)2yx y C C x+-=>arctanyxCe=，其中C 为任意正常数4 一阶隐式微分方程的概念与求解思路4.1 定义没有就dy dx解出的形如(,,)0dyF x y dx =的方程我们称为一阶隐式微分方程.4.2 求解思路如果能从方程(,,)0dy F x y dx =中解出dydx那么求解方程就可以归纳到一个或者几个一显式微分方程，求解这些解，就可以得到方程(,,)0dyF x y dx=的解.一般来说，很难从方程(,,)0dy F x y dx =中解出dy dx ，或者即使解出dydx，而其表达式也是极其复杂的，下面介绍的就是不解出dydx，采用引进参数的方法使之变成导数已解出的方程类型，这里主要有以下四个类型：1.(,)dy y f x dx =2.(,)dyx f y dx =3.(,)0dy F x dx =4.(,)0dyF y dx=4.3 常见类型[6]4.3.1 可解出y 的隐式方程(,)dyy f x dx= 如果从方程(,,)0dyF x y dx=中可以解出y ，那么就可以得到第一种类型 (,)dyy f x dx=在这里假设函数y =(,)dyf x dx有关于,x y 有连续的偏导数.引入参数dyp dx=，则原方程变为y =(,)f x p将上式两边对x 求导数，并以p 代替dydx，这样可以得到()(),,f x p f x p dpP x p dx∂∂=+∂∂ 该方程是关于,x p 的一阶显方程如果求的该方程的通解为(,)p x C ϕ=将它代入(,)y f x p =，这样得到原方程的通解为(,(,))y f x x C ϕ= （C 为任意常数）如果，方程()(),,f x p f x p dpP x p dx∂∂=+∂∂还有解 ()p u x =把上式代入到(,)y f x p =，那么就得到原方程的相应解(,())y f x u x =如果能求得方程()(),,f x p f x p dpP x p dx∂∂=+∂∂的通解 (,,)0F x p C =将它和(,)y f x p =结合，就能得到原方程参数形式的通解(,,)0(,)F x p C y f x p =⎧⎨=⎩其中p 是参数，C 是任意常数，如果方程()(),,f x p f x p dpP x p dx∂∂=+∂∂还有解(,)0G x p =将它和(,)y f x p =结合，这样得到方程相应的参数形式的解(,)0(,)G x p y f x p =⎧⎨=⎩ 其中p 为参数.根据上面讨论，为了求解方程(,)dy y f x dx =,我们引进参数dyp dx=，通过对x 进行求导数，从而消去y ，把问题简化成求解关于x 与p 的一阶显示方程，我们这种方法称为微分法.例1 解方程：1dyx y dx=++ 解 原方程是就dydx解出的一阶线性方程，当然可以按其解法求解.在这里，可以把它当作可就y 解出的方程来求解. 原方程就y 解出可得1dyy x dx=-- 令dyp dx=，则可得：1y p x =-- 对上式两边关于x 求导，用dyp dx =代入则可得1dp p dx =- 也就是1dp p dx=+1.当10p +≠时，分离变量，可得1dpdx p =+ 两边同时积分可得ln 1ln p x C +=+ （C 为不等于0的常数）或 l n 1p x C +=+ （C 为任意常数） 即1ln 1x p Ce x p C =-=+-或将上面两个式子代入到1y p x =--可得(2)x y Ce x =-+ （C 为不等于0的任意常数）或ln 11y p p c =-++- （c 为任意实数） 2.当10p +=有：1p =-把它代入到1y p x =--可得：(2)y x =-+ 根据1、2即可知，原方程通解为：(2)x y Ce x =-+（C 为任意常数）其参数形式的通解可表示为：ln 1ln 11x p Cy p p C ⎧=+-⎪⎨=-++-⎪⎩（1p ≠，参数；C 为任意常数） 及(2)y x =-+ 例2 求解方程''1y xy y =+解 该方程克莱罗方程，''20p xp p =-，'0p =，21x p =所以该方程有通解：1y Cx C =+ 以及特解： 211x p y p x p ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去参数p ，得到原方程的奇解：24y x = 所以该方程通解是直线族：1y Cx C =+，而奇解是通解的包络：24y x =. 4.3.2 可解出x 的隐式方程(,)dy x f y dx= 对于可解出x 的方程的第二种类型(,)dy x f y dx= 该方程的求解方法和方程(,)dyy f x dx=的求解方法基本完全类似，这里，我们可以假定函数(,)dy x f y dx =有关于,dyy dx 的连续偏导数.引进参数dyp dx= ，则原式可变为 (,)x y p =将上式两边对y 求导数， 并以1dx dy p=代入，可得 1f f dp p y p dy∂∂=+∂∂该方程是联系,y p ，并且可以根据dpdy解出的一阶微分方程，因此可以按照前面的方法来求解.如果求的方程1f f dpp y p dy∂∂=+∂∂的通解形式： (,)p w y C = （C 为任意常数）则原方程(,)dyx f y dx=的通解为： (,(,))x f y w y C = （C 为任意常数）如果求的方程1f f dpp y p dy∂∂=+∂∂的通解形式为：· (,)y v p C =（p 为参数，C 为常数）则原方程(,)dyx f y dx=的通解为： ((,),)(,)x f v p C p y v p C =⎧⎨=⎩（p 为参数，C 为常数） 如果求的方程1f f dpp y p dy∂∂=+∂∂的通解形式为： (,,)0y p C Φ=则方程(,)x y p =的参数形式的通解为：(,)(,,)0x f y p y p C =⎧⎨Φ=⎩（p 为参数，c 为任意常数） 例3 解方程：3220dy dy y x y dx dx ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭解 在这里我们可以把原方程当作可就x 解出的方程来求解，因此就有.2222dy y y dx x dy dx⎛⎫ ⎪⎝⎭=-令dyp dx=，则可得： 2222y y p x p =-对上式两边关于y 求导，用11dx dy dy pdx ==代入整理可得 3(12)0dp p yp dy y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭由0dp pdy y+=，可以求得上式的通解 C p y=， 将它代入到方程2222y y p x p =-，整理后可得原方程通解 232y Cx C =+再由312yp +=0可得3(12)0dp p yp dy y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭的特解312y p=-原方程的参数表示的特解为433812x p y p ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩4.3.3 不显含y 的隐式方程如果从几何的观点来看，微分方程(,,)0dyF x y dx=的解是平面xOy 的一条曲线，它可以用直角坐标系来表示，同样也可以用参数坐标来表示，微分方程的解也可以用参数坐标来表示.对于方程(,,)0dyF x y dx=，若其左端不显含y ，即第三种类型 (,)0dyF x dx=在方程(,)0dy F x dx =中，记dyp dx=.由于不显含y ，我们不妨把方程看作代表平面'xOy 上的一条曲线，这样就可以用某种适当的参数来表示该曲线：()()x t dyt dxϕψ=⎧⎪⎨=⎪⎩ 这里t 为参数. 而沿方程(,)0dyF x dx=的任意一条积分曲线上均满足积分的基本关系dy dy dx dx =，将()()x t dy t dxϕψ=⎧⎪⎨=⎪⎩代入该基本关系式可得 '()()dy t t dt ψϕ=两边积分可以得到'()()y t t dt C ψϕ=+⎰于是可以得到(,)0dyF x dx=的参数形式通解为 '()()()x t y t t dt Cϕψϕ=⎧⎪⎨=+⎪⎩⎰ 例4 求解方程2330.dy dy x x dx dx ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭解 令dytx dx=，则代入原方程可得 331tx t =+从而可得2331dy t dx t =+ 由dydy dx dx=，可得32339(12)(1)t t dy dt t -=+ 对其积分，可得32333329(12)314(1)2(1)t t t y dt C t t -+==+++⎰ 因此方程的通解的参数形式为3332313142(1)t x t t y C t ⎧=⎪+⎪⎨+⎪=+⎪+⎩4.3.4 不显含x 的隐式方程对于不含x 的隐式方程(,)0dyF y dx= 其求解方法和(,)0dy F x dx =的方法基本类似，在这里记dy p dx=， 引入参数t ，将方程表为适当的参数形式()()y t p t ϕψ=⎧⎨=⎩根据关系式dy pdx =可得'()()t dt t dx ϕψ=由此得''()(),,()()t t dx dt x dt C t t ϕϕψψ==+⎰这样就可以得到方程(,)0dyF y dx=的参数形式通解 '()()()y t t x dt C t ϕϕψ=⎧⎪⎨=+⎪⎩⎰ 此外，容易验证，若(,0)0F y =有实根,y k y k ==则也是方程的解. 例5 求解隐式方程2211dy y dx ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 解法 1 由原方程可解出dydx，有dy dx=± 若210y -≠，分离变量可得dx =对它进行积分，则x C =可得原方程通解为22()1y x C --=同时根据210y -=，可知1y =±也是原方程的解.解法 2 方程是不显含x 的隐式方程，可令cos dyt dx=，将其代入到原方程中可解出csc y t =±，这样在0dy dx ≠的情况下，由'dydx y=可得： 2sec (csccot)csc .dx t dt tdt ==积分可得cot ,x t C =±+原方程通解的参数形式为cot csc x t Cy t =±+⎧⎨=±⎩消去参数t ，则可得方程的隐式解2()1y x C --=. 另外，当0dydx=是，由原方程可得21y =，因此方程的解还有1y =±. 解法 3 令dyp dx=，代入原方程可得y =若0dydx≠，由dy dx dy dx=可得3221.(1)dx dp p =±+-积分可得x C =+,可知原方程同通解的参数方程为x C y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去参数可得隐式解22()1y x C --=，此外根据0dydx=也可得到解 1.y =±解法 4 令21,dy t dx y ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，代入原方程可得1y t =并且同时可以得到dy dx =若0dydx≠， 由dy dx dy dx=可得dx =对其积分可得x C t=±+，则原方程通解为1x C t y t ⎧=±+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 消去参数，则可得到和前面相同两种方法所得到的相同的隐式解.另外，当0dydx=时，有解1y =±.由例题5的几种解法，我们可以知道，根据入参数的方法差异，得到的解的形式一般也有所不同，但他们包含的解却是相同的.通常说来，只需消去参数t 或p ，就可以转化为方法1得到的通解的参数形式.5 几类特殊的一阶微分方程求解5.1 含有周期的一阶线性方程考虑方程()()dyp x y q x dx+=，其中()p x 和()q x 都是以0ω>为周期的连续函数，则1.若()0q x =，则方程()()dyp x y q x dx+=的任一非零解以ω为周期，当且仅当函数 ()p x 的平均值01()0dp p x dx ωω==⎰；2.若()q x 不恒为零，则方程()()dyp x y q x dx+=有唯一的ω周期解，当且仅当0p ≠，且此解可求[7].证明1.当()0q x ≡时，此时方程的任一非零解为0()()(0)xx p s dsy x CeC -⎰=≠以ω为周期，当且仅当00()()()()()x xx x p s dsp s dsy x y x Ce y x Ceωω+--⎰⎰=+===当且仅当000()()()()()x x x xx x x xx xp s dsp s ds p s dsp s dsp s dseeee ωωω+++-----⎰⎰⎰⎰⎰==⋅当且仅当0()()()()()1x x xxp s dsp s ds p s ds p s dsp s dse e e ωωωωω++-----⎰⎰⎰⎰⎰===当且仅当01()0dp p x dx ωω==⎰2.由题可知：方程的通解为0()()0()xxs x p s ds p t dt y Ce q s e ds --⎰⎰=+⎰ 选择常数C 使得()y x 成为ω周期函数，即()()y x y x ω+=下证：对任意的x ，()()y x y x ω+=只需()(0)y y ω= 事实上，由于()y x 是方程的解，且()(),()()p x p x q x q x ωω+=+= 于是()y x ω+是方程的解因此，函数()()()u x y x y x ω=+-是相应齐次方程()0dup x u dx+=的解 由于()(0)y y ω=则(0)0u = 由性质可知：()0u x ≡ 即()()y x y x ω+= 又由于()(0)y y ω=，则0()0()1()1sp t dtp s dsC q s e ds e ωωω--⎰=⎰-⎰则00()()()0()()()1xxss p s ds xp t dtp t dtp s dse y q s e ds q s e ds e ωωω----⎰⎰⎰=+⎰-⎰⎰⇐若0p ≠，令0()0()1()1sp t dtp s dsC q s e ds e ωωω--⎰=⎰-⎰于是00()()()0()()()1xxss p s dsxp t dtp t dtp s dse y q s e ds q s e ds e ωωω----⎰⎰⎰=+⎰-⎰⎰为方程的ω周期解若1y 也是方程的ω周期解，令1z y y =-于是z 为()0dzp x z dx+=的ω周期解 若0z ≠，则z 为()0dzp x z dx+=的非零ω周期解由1可知：0p =矛盾 于是方程的ω周期解的唯一性⇒若0p =，则()0()0sp t dtq s e ds ωω-⎰=⇒⎰C 可以任选于是ω周期解不唯一；()0()0sp t dtq s e ds ωω-⎰≠⇒⎰C 无解于是ω周期解不存在5.2 Bernoulli 方程定义：形如n y x Q y x P dxdy)()(=+称为Bernoulli 方程. 解法：令ny u -=1，有dy y n du n --=)1(，代入得到)()1()()1(x Q n u x P n dxdu-=-+，这是关于u 的一阶线性方程. 例1 26xy xy dx dy -=解 令1-=y u ，有dy y du 2--=，代入得到x u x dx du =+6，则x x Q xx P ==)(,6)(， 有6)()(x e x dx x P =⎰=μ，)(,8][)(6266为常数C x C x C xdx x x x u +=+⋅=⎰-，把u 代入得到)(,8162为常数C x C x y +=5.3 Clairaut 方程定义：一般我们把形如：''()y xy y ϕ=+的方程称为克莱罗方程，它是关于y 可以解出的一阶隐式方程，其中()z ϕ二阶连续可微，且"()0z ϕ≠.解法：可以利用微分法求解该方程，令'y p =，并对x 求导数可得'()dp dp p p xp dx dxϕ=++ 即('())0dpx p dxϕ+= 当0dpdx =时，有p C =，因此通解为 ()y Cx C ϕ=+当'()0x p ϕ+=时，可得克莱罗方程一个特解''()()()x p y p p p ϕϕϕ⎧=-⎪⎨=-+⎪⎩通解()y Cx C ϕ=+是一族直线5.4 里卡蒂方程定义：)()()(2x R y x Q y x P dxdy++= 解法：先找出一个特解)(0x y ，那么令z y y 10+=，有dxdz z dx dy dx dy 201-=，代入原方程得到)()1)(()1)((102020x R z y x Q z y x P dx dz z dx dy ++++=-， 化简得到0)())()(2(0=+++x P z x Q y x P dxdz为一阶线性微分方程，解出为常数C C x x z ),,()(ϕ=那么原方程的通解为为常数C C x y y ,),(10ϕ+=例2 0)2(22=-+'xy y x解 我们可以找到一个特解xy 10=，验证：201x y -='，代入满足原方程.令z x y 11+=，dxdz z x y 2211--=' 代入有0)2)11(()11(2222=-++--zx x dx dz z x x ， 化简得到，12=+z xdx dz ，所以有 为常数C xCx C dx eex z dxx dxx ,3][1)(222+=+⎰⎰=⎰ 所以原方程的解为为常数C xC x x y ,3112++=几类特殊的一阶微分方程求解或 xy 1参考文献[1]张谋，舒永录，张万雄主编.常微分方程[M].重庆市：重庆大学出版社.2011. [2]张晓梅，张振宇，迟东璇主编.常微分方程[M].上海市：复旦大学出版社.2010. [3]张伟年，杜正东，徐冰编.常微分方程[M].北京市：高等教育出版社.2006. [4]肖淑贤.常微分方程[M].武汉市：华中科技大学出版社.2008. [5]王兴涛编.常微分方程[M].哈尔滨市：哈尔滨工业大学出版社.2003. [6]潘家齐主编.常微分方程[M].北京市：中央广播电视大学出版社.2002. [7]丁同仁，李承治编.常微分方程教程[M].北京市：高等教育出版社.2004.[8]黄公瑾.应用变量代换的思想解一阶微分方程[J].课程教育研究(新教师教学),2013,(第2期).[9]白福梅.一类一阶微分方程初等解法的分析研究[J].山西农业大学学报(自然科学版),2012,(第5期).[10]于烊.一阶微分方程的应用研究[J].新课程学习(下),2011,(第2期).[11]何莲花.一阶微分方程的周期解[J].贵州师范大学学报：自然科学版,2011,(第3期). [12]刘连福.一类一阶微分方程的通解及应用[J].黄石理工学院学报,2011,(第4期).。

目 录摘 要 .............................................................. I 关键词 ............................................................. I Abstract ............................................................. I Key words ........................................................... I 1.前 言 ............................................................ 1 2.常微分方程的求解方法 .............................................. 1 2.1常微分方程变量可分离类型解法 ................................... 1 2.1.1直接可分离变量的微分方程 ................................... 2 2.1.2可化为变量分离方程 ......................................... 2 2.2常数变易法 ..................................................... 7 2.2.1一阶线性非齐次微分方程的常数变易法 ......................... 7 2.2.2一阶非线性微分方程的常数变易法 ............................. 8 2.3积分因子法 .................................................... 13 3.实例分析说明这几类方法间的联系及优劣 ............................ 14 3.1几个重要的变换技巧及实例 .. (15)3.1.1变dx dy 为dy dx................................................15 3.1.2分项组合法组合原则 ........................................ 16 3.1.3积分因子选择 .............................................. 17 参考文献 .......................................................... 18 致 谢 (19)常微分方程初等解法及其求解技巧摘要常微分方程是微积分学的重要组成部分，广泛用于具体问题的研究中.求解常微分的问题，常常通过变量分离、两边积分，如果是高阶的则通过适当的变量代换，达到降阶的目的来解决问题.本文就是对不同类型的常微分方程的解法及其求解技巧的系统总结：先介绍求解常微分方程的几种初等解法，如变量分离法，常数变易法，积分因子法等，在学习过程中，通过对不同类型的方程求解，揭示常微分方程的求解规律.然后介绍几类方程求解中的变换技巧及规律，并通过实例来分析这几类方法之间的联系及优劣，从而能快速的找到最佳解法.关键词变量分离法常数变易法积分因子变换技巧Elementary Solution and Solving Skills of Ordinary DifferentialEquationAbstractOrdinary differential equations are important components of calculus and used extensively for the studies on specific issues. Ordinary differential equations are often resolved by the means of variable separation and both sides integral. If they are higher-order ones, we can reduce their order by proper variable substitution to solve this problem. This essay aims at concluding systematically the methods of different types of differential equations and its resoling skills. First of all, I’d would like to introduce several basic resolutions of differential equations, such as variable separation, constant threats, points factor, etc. In the process of learning, I’d like to reduce the law of resolving ordinary differential equations by resolving different types of equations. Then, we describe several equations resolutions and for transformation techniques and its laws, and we also analyze the advantages and disadvantages and connections by using the examples of these methods to be able to find the best solution quickly.Key wordsVariable separation; constant threats; points factor; transform techniques1.前 言数学发展的历史告诉我们，300年来数学分析是数学的首要分支，而微分方程又是数学分析的心脏，它还是高等分析里大部分思想和理论的根源.人所共知，常微分方程从它产生的那天起, 就是研究自然界变化规律、研究人类社会结构、生态结构和工程技术问题的强有力工具.它的发展历史也是跟整个科学发展史大致同步的.现在，常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性质的研究、化学反应稳定性的研究等.这些问题都可以转化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题.常微分方程具有广泛的社会实践性，无论是在各类学科领域上，还是在实际生产生活中，都有举足轻重的作用．它所涉及范围之广，致使前人对它做了很深入的研究．应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它现有的理论也还远远不能满足需要，还有待进一步的发展，使这门学科的理论更加完善.微分方程是表达自然规律的一种自然的数学语言.它从生产实践与科学技术中产生，而又成为现代科学技术中分析问题与解决问题的一个强有力的工具.人们在探求物质世界某些规律的过程中，一般很难完全依靠实验观测认识到该规律，反而是依照某种规律存在的联系常常容易被我们捕捉到，而这种规律用数学语言表达出来，其结果往往形成一个微分方程，而一旦求出方程的解，其规律则一目了然.所以我们必须能够求出它的解.常微分方程的初等解法,既是常微分方程理论中有自身特色的部分，也与实际问题密切相关；恰当对初等解法进行归类，能正确而又敏捷地判断一个给定的方程属于何种类型，从而能按照所介绍的方法进行分解.总之，常微分方程属于数学分析或基础数学的一个组成部分，在整个数学大厦中占据这重要位置，学好常微分方程基本理论与方法对进一步学习研究数学理论与实际应用均非常重要，因此本文对常微分方程的初等解法进行了简要归纳和分析，主要讨论变量分离方程，非恰当微分方程，线性微分方程，同时结合具体的实例，展示了初等解法在解题过程中的应用及其求解过程中的变换技巧和律. 2.常微分方程的求解方法2.1常微分方程变量可分离类型解法定义 1 如果一阶微分方程具有形式)()(y g x f dx dy=，则该方程称为可分离变量微分方程.若设0)(≠y g ，则可将方程化为dx x f y g dy)()(=.即将两个变量分离在等式两端.其特点是：方程的一端只含有y 的函数与dy ，另一端只含有x 的函数与dx .对于该类程，我们通常采用分离变量的方法来处理。