几类初等函数的积分

七大积分总结一． 定积分1. 定积分的定义：设函数f(x)在[a,b]上有界，在区间[a,b]中任意插入n －1个分点：a=x 0<x 1<x 2<……<x i-1<x i <x i+1<……<x n-1<x n =b,把区间[a,b]分成n 个小区间：[x 0,x 1]……[x i-1,x i ]……[x n-1,x n ]，记△x i =x i －x i-1(i=1,2,3,……,n)为第i 个小区间的长度，在每个小区间上[x i-1,x i ]上任取一点ξi (x i-1≤ξi ≤i )，作乘积:f(ξi )△x i (i=1,2,3,……,n),并作合式： i i x f ∆=∑-)(S i n1ξ记λ=max{△x 1, △x 2, △x 3……, △x n },若不论对[a,b]怎样分法，也不论在小区间[x i-1,x i ]上点ξi 怎样取法，只要当λ→0时，S 的极限I 总存在，这时我们称I 为函数f(x)在区间[a,b]上定积分（简称积分），记做： ∑⎰=→∆==ni i i ba x f I dx x f 10)()(lim ξλ其中f(x)称为被积函数，f(x)dx 称为被积表达式，x 称为积分变量，a 称为积分下限，b 称为积分上限，[a,b]称为积分区间，∑=∆ni iixf 0)(ξ称为积分和。

如果f(x)在[a,b]上的定积分存在，则称f(x)在[a,b]上可积。

关于定积分的定义，作以下几点说明：（1） 积分值仅与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的字母记法无关，即⎰⎰⎰==bab abadu u f dt t f dx x f )()()(。

（2） 定义中区间的分法与ξi 的取法是任意的。

（3） 定义中涉及的极限过程中要求λ→0，表示对区间[a,b]无限细分的过程，随λ→0必有n →∞，反之n →∞并不能保证λ→0，定积分的实质是求某种特殊合式的极限：例：∑⎰=∞→=ni n n i f dx x f 110n 1)()(lim （此特殊合式在计算中可以作为公式使用） 2. 定积分的存在定理定理一 若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。

初等函数基本积分公式（《应用统计》必备知识，要求记住）(k,C 是常数)(1)C kx kdx +=⎰ (2)C x dx x ++=+⎰111μμμ (3)C x dx x +=⎰||ln 1 (4)C e dx e x x +=⎰ (5)C a a dx a xx+=⎰ln (6)C x xdx +=⎰sin cos (7)C x xdx +-=⎰cos sin (8)C x dx x+=⎰tan cos 12 （9）C x dx x +-=⎰cot sin 12 （10）C x x x dx x +-=⎰ln ln (11))1ln(1122x x dx x ++=+⎰ (12) C a x a x a dx a x ++-=-⎰||ln 21122 (13)C x a x a a dx x a +-+=-⎰||ln 21122 (14)C a x x a x dx+±+=±⎰)ln(2222热身练习：1、=-⎰-dx x x 2221 2、620(1)x dx +⎰= 1(2)e x e dx x -⎰=3．若a ＝⎠⎛02x 2d x ，b ＝⎠⎛02x 3d x ，c ＝⎠⎛02sin x d x ，则a 、b 、c 的大小关系是 4．已知a ∈[0，π2]，则当⎰a 0(cos x －sin x )d x 取最大值时，a ＝________. 5．⎠⎛-a a (2x －1)d x ＝－8，则a ＝________. 6.已知函数f (x )＝3x 2＋2x ＋1，若⎠⎜⎛-11f (x )d x ＝2f (a )成立，则a ＝________. 8．设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则⎠⎜⎛12f (－x )d x 的值等于 9．若等比数列{a n }的首项为23，且a 4＝⎠⎛14 (1＋2x )d x ，则公比等于________． 11.已知f(x)为偶函数且60⎰f (x )d x ＝8，则66-⎰f (x )d x 等于 12.已知f(x)为奇函数且60⎰f (x )d x ＝8，则66-⎰f (x )d x 等于22．(原创题)用S 表示图中阴影部分的面积，则S 的值是( D )A ．⎠⎛ac f (x )d x B ．|⎠⎛ac f (x )d x | C ．⎠⎛a b f (x )d x ＋⎠⎛bc f (x )d xD ．⎠⎛b c f (x )d x －⎠⎛ab f (x )d x 23．如图，函数y ＝－x 2＋2x ＋1与y ＝1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是24.如图，阴影部分的面积是25.如图，求由两条曲线2x y -=，24x y -=及直线y = -1所围成图形的面积．29．如图，设点P 从原点沿曲线y ＝x 2向点A (2,4)移动，记直线OP 、曲线y ＝x 2及直线x ＝2所围成的面积分别记为S 1，S 2，若S 1＝S 2，则点P 的坐标为________．例1（2）。

基本初等函数乘积的不定积分本文从网络收集而来，上传到平台为了帮到更多的人，如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载本文档（有偿下载），另外祝您生活愉快，工作顺利，万事如意！基本初等函数乘积的不定积分【课题论文】湖北省教育科学十二五规划2011年立项课题（项目编号2011B266）一、幂函数与指数函数乘积的不定积分1。

xnaxdx=ax ni=0(-1)i1(lna)i+1(xn)(i)+C。

二、幂函数与对数函数乘积的不定积分2。

xnlogaxdx=xn+1(n+1)lnalnx-1n+1+C。

三、幂函数与三角函数乘积的不定积分3。

xncosxdx= ni=0(xn)(i)(sinx)(i)+C。

4。

xnsinxdx=- ni=0(xn)(i)(cosx)(i)+C。

四、幂函数与反三角函数乘积的不定积分5。

xnarcsinxdx=1n+1xn+1arcsinx- xn+11-x2dx。

6。

xnarccosxdx=1n+1xn+1arccosx+ xn+11-x2dx。

其中：In+1= xn+11-x2dx(令x=sint可得)=-xn1-x2n+1+nn+1In-1, ,五、指数函数与对数函数乘积的不定积分7。

axlogbxdx=1lnbax i=0(-1)i1(lna)i+1(lnx)(i)+C。

六、指数函数与三角函数乘积的不定积分8。

eaxcosbxdx=1a2+b2eax(bsinbx+acosbx)+C。

9。

eaxsinbxdx=1a2+b2eax(bsinbx-acosbx)+C。

七、指数函数与反三角函数乘积的不论文联盟http://定积分10。

axarcsinbxdx=ax i=0(-1)i1(lna)i+1(arcsinbx)(i)+C。

11。

axarccosbxdx=ax i=0(-1)i1(lna)i+1(arccosbx)(i)+C。

八、对数函数与三角函数乘积的不定积分12。

cosbxlnxdx= i=01bi+1(sinbx)(i)(lnx)(i)+C。

初等函数基本积分公式在微积分中，函数的积分是一个重要的概念。

积分是反导数的运算，它是微分的逆运算。

通过对函数进行积分，我们可以求得函数的原函数，也可以计算函数在一定区间上的面积或曲线的长度等一些几何问题。

初等函数指的是在初等代数和初等解析几何中常见的、能够用有限次加、减、乘、除、乘方及复合运算得到的函数。

初等函数的基本积分公式是多种基本型的积分公式的总结，可以用来求初等函数的不定积分。

以下是常见的初等函数的基本积分公式：一、幂函数的积分公式：1. 若c不等于-1，则∫x^c dx = (x^(c+1))/(c+1) + C2. 若c等于-1，则∫x^-1 dx = ln，x， + C二、指数函数的积分公式：1. ∫e^x dx = e^x + C2. ∫a^x dx = (a^x)/ln(a) + C三、对数函数的积分公式：1. ∫ln，x， dx = x ln，x， - x + C2. ∫log_a，x， dx = (x log_a，x， - x)/(ln(a)) + C四、三角函数的积分公式：1. ∫sin(x) dx = -cos(x) + C2. ∫cos(x) dx = sin(x) + C3. ∫tan(x) dx = -ln，cos(x)， + C4. ∫cot(x) dx = ln，sin(x)， + C5. ∫sec(x) dx = ln，sec(x) + tan(x)， + C6. ∫csc(x) dx = ln，csc(x) - cot(x)， + C五、反三角函数的积分公式：1. ∫arcsin(x) dx = x arcsin(x) + sqrt(1 - x^2) + C2. ∫arccos(x) dx = x arccos(x) - sqrt(1 - x^2) + C3. ∫arctan(x) dx = x arctan(x) - ln，1 + x^2， + C4. ∫arccot(x) dx = x arccot(x) + ln，1 + x^2， + C5. ∫arcsec(x) dx = x arcsec(x) - ln，sqrt(x^2 - 1) + x， + C6. ∫arccsc(x) dx = x arccsc(x) + ln，sqrt(x^2 - 1) + x， + C六、双曲函数的积分公式：1. ∫sinh(x) dx = cosh(x) + C2. ∫cosh(x) dx = sinh(x) + C3. ∫tanh(x) dx = ln，cosh(x)， + C4. ∫coth(x) dx = ln，sinh(x)， + C5. ∫sech(x) dx = arctan(sinh(x)) + C6. ∫csch(x) dx = ln，tanh(x/2)， + C七、反双曲函数的积分公式：1. ∫arcsinh(x) dx = x arcsinh(x) - sqrt(x^2 + 1) + C2. ∫arccosh(x) dx = x arccosh(x) - sqrt(x^2 - 1) + C3. ∫arctanh(x) dx = x arctanh(x) - ln，1 - x^2，/2 + C4. ∫arccoth(x) dx = x arccoth(x) - ln，x^2 - 1，/2 + C5. ∫arcsech(x) dx = x arcsech(x) - ln，sqrt(1 - x^2) + 1/x，+ C6. ∫arccsch(x) dx = x arccsch(x) - ln，sqrt(1 + x^2) + 1/x，+ C上述是常见的初等函数的基本积分公式，它们可以用来求解各种初等函数的不定积分。

基本初等函数乘积的不定积分不定积分对于正在学习高等数学或者数学分析的大一学生来说确实是一个难点。

主要原因是不定积分不像导数有一套完整的计算规则，只能利用不定积分的性质求解，求解过程中容易出错。

尤其是一些复杂的不定积分，计算方法往往很有技巧，有时在中间过程中，需要使用积分表，避免求导错误。

利用闭校的空余时间，结合所做的习题，笔者选取了一些常用的积分公式，并以华东师范大学出版的《数学分析》教材后的积分表为模板进行分类，从其他一些数学分析教材中整理出一些解题过程中可能需要记忆的不定积分公式。

由于作者水平有限，难免有错误。

请批评指正。

(一)与基本初等函数有关的不定积分(1)\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C ( n\ne-1 )(2) \int\frac{1}{x}dx=ln\left| x \right|+C(3) \int a^{x}dx=\frac{a^{x}}{lna}+C特别地 \int e^{x}dx=e^{x}+C(4) \int lnxdx=xlnx-x+C(5) \int sinxdx=-cosx+C ; \int cosdx=sinx+C(6) \int sec^{2}xdx=tanx+C ; \int csc^{2}xdx=-cotx+C(7) \int secxtanxdx=secx+C ; \int cscxcotxdx=-cscx+C(8) \int tanxdx=-ln\left| cosx \right|+C ; \int cotxdx=ln\left| sinx \right|+C(9) \int secxdx=ln\left| secx+tanx \right|+C ; \int cscxdx=ln\left| cscx-cotx \right|+C(10) \int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}dx=arcsinx+C(11) \int \frac{1}{1+x^{2}}dx=arctanx+C(12) \int arcsinxdx=xarcsinx+\sqrt{1-x^{2}}+C ; \int arccosxdx=xarccosx-\sqrt{1-x^{2}}+C(13) \int arctanxdx=xarctanx-\frac{1}{2}ln(1+x^{2})+C（二）与三角函数有关的不定积分(14) \int sin^{2}xdx=\frac{1}{2}(x-sinxcosx)+C ; \int cos^{2}xdx=\frac{1}{2}(x+sinxcosx)+C(15) \int xsinxdx=sinx-xcosx+C ; \intxcosxdx=cosx+xsinx+C(16) \int \frac{1}{1\pm sinx}dx=tanx\mp secx+C(17) \int \frac{1}{1\pm cosx}dx=-cotx\pm cscx+C(18) \int tan^{2}xdx=-x+tanx+C ; \int cot^{2}xdx=-x-cotx+C（三）与指数函数，对数函数有关的不定积分(19) \int xe^{x}dx=(x-1)e^{x}+C(20) \int \frac{1}{1+e^{x}}dx=x-ln(1+e^{x})+C(21) \int xlnxdx=\frac{x^{2}}{4}(2lnx-1)+C（四）含有 \sqrt{x^2 \pm a^2} , \sqrt{a^2 - x^2} ,以及x^2 \pm a^2 的不定积分(22) \int \frac{1}{x^2 +a^2}dx=\frac{1}{a}arctan\frac{x}{a}+C , \int\frac{1}{x^2 - a^2}dx=\frac{1}{2a}ln\left| \frac{x-a}{x+a} \right|+C(23) \int \frac{1}{\sqrt{x^2\pm a^2}}dx=ln\left|x+\sqrt{x^2 \pm a^2} \right|+C(24) \int \frac{x}{x^{2}\pm a^{2}}dx =\frac{1}{2}ln\left| x^2\pm a^2 \right|+C(25) \int \frac{x^2}{x^2+a^2}dx = x-arctan\frac{x}{a}+C(26) \int \frac{x^2}{x^2-a^2}dx= x+\frac{a}{2}ln\left| \frac{x-a}{x+a} \right|+C(27) \int \sqrt{x^2\pma^2}dx=\frac{1}{2}(x\sqrt{x^2\pm a^2}\pm a^2ln\left| x +\sqrt{x^2 \pm a^2} \right|) +C(28) \int \frac{1}{\sqrt{x^2\pm a^2}}dx= ln\left|x+\sqrt{x^2 \pm a^2}\right|+C(29) \int \sqrt{a^2-x^2}dx=\frac{1}{2}(x\sqrt{a^2-x^2}+a^2arcsin\frac{x}{a})+C(30) \int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=arcsin\frac{x}{a}+C(31) \int \frac{x^2}{\sqrt{x^2 \pma^2}}dx=\frac{1}{2}(x\sqrt{x^2 \pm a^2} \mpa^2ln\left| x+\sqrt{x^2 \pm a^2} \right|)+C(32) \int \frac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=\frac{1}{2}(-x\sqrt{a^2-x^2}+a^2arcsin\frac{x}{a})+C（五）与a+bx有关的不定积分(33) \int \frac{x}{a+bx}dx=\frac{1}{b^2}(bx-aln\left| a+bx \right|)+C(34) \int \frac{1}{a+bx}dx=\frac{1}{b}ln\left| a+bx \right|+C通过日常的训练，笔者总结出了上面的积分表，在以后的学习中我会不定期的更新完善这篇文章。

微积分公式大全导数公式:基本积分表:三角函数的有理式积分:22221sin cos 11u u x x u u -==++, ,一些初等函数:两个重要极限:22(tan )sec (cot )csc (sec )sec tan (csc )csc cot ()ln ()(ln 1)1(log )ln x x x x a x x x x x x x x x x a a a x x x x x a '='=-'=⋅'=-⋅'='=+'=222(arcsin )(arccos )1(arctan )11(arc cot )11()x x x x x x thx ch '='='=+'=-+'=2222sec tan cos csc cot sin sec tan sec csc cot csc ln ln(x xdx xdx x C x dx xdx x Cx x xdx x C x xdx x Ca a dx Ca shxdx chx C chxdx shx C x C==+==-+⋅=+⋅=-+=+=+=+=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰222222tan ln cos cot ln sin sec ln sec tan csc ln csc cot 1arctan 1ln 21ln 2arcsin xdx x C xdx x Cxdx x x C xdx x x Cdx xC a x a a dx x aC x a a x a dx a xC a x a a x xC a=-+=+=++=-+=++-=+-++=+--=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππxxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x xxx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22)双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim0==+=∞→→e xxxx x x三角函数公式:·和差化积公式:·积化和差公式:·和差角公式: ·万能公式、正切代换、其他公式:·倍角公式:·半角公式:sin cos 221cos sin 1cos sin tancot 2sin 1cos 2sin 1cos αααααααααααα==-+=====+-[][][][]1sin cos sin()sin()21cos sin sin()sin()21cos cos cos()cos()21sin sin cos()cos()2αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ= ++-=+--=++-=-+--sin sin 2sin22sin sin 2cos sin22cos cos 2cos cos22cos cos 2sin sin22αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+-+=+--=+-+=+--=-3332sin 33sin 4sin cos34cos 3cos 3tan tan tan 313tan αααααααααα=-=--=-222222sin 22sin cos cos 22cos 112sin cos sin cot 1cot 22cot 2tan tan 21tan αααααααααααα==-=-=--==-2222222222222tan1tan 22sin cos 1tan 1tan 221tan cos sin 1tan 1tan tan sec 1cot csc 1|sin ||||tan |x xx x x xx x x x xx x x x x x x -==++==++=-=-<<, , , sin()sin cos cos sin cos()cos cos sin sin tan tan tan()1tan tan cot cot 1cot()cot cot αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαββα±=±±=±±=⋅⋅±=·正弦定理:R C cB b A a 2sin sin sin ===·余弦定理:C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质:arcsin arccos arctan arccot 2 2x x x xππ=-=-高阶导数公式——莱布尼兹(Leibniz )公式:)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑值定理与导数应用:拉格朗日值定理。

.基本初等函数求导公式(1)(C) =0(2) （X ，）-七心⑶ (sin x) = cosx(4)(cosx) - -sinx (5)(tan x)二 sec x(6)(cot x)二- csc 2x⑺(secx) = secxtan x (8) (cscx) = - cscx cot x(9)(a xf-a xln a(10)(e x)—函数的和、差、积、商的求导法则= u （x ），v=v （x ）都可导，则反函数求导法则若函数x= Uy ）在某区间Iy 内可导、单调且（y^"0，则它的反函数y = f （x ）在对应区间Ix内也可导，且(11)DU(12)(ln x)二丄x ， (13) (arcsin x)，=( 1-x 2(14)(arccosx)" =1 - x(15)(arctan x)1 +x(arccot x)=(16)1 1 x 2(1)（U 士 V ）= u 士 V(2)（Cu ）'C 「（ C 是常数）(3)(uv) = u v uv(4)v 2少丄 dx 一 dxdy复合函数求导法则设y= f (u)，而U v (x)且f (u)及(x)都可导，则复合函数 y = f ［「(x)］的导数为、基本积分表(1)kdx=kx ・c ( k 是常数)(2)x'dx 二+ C, (u 」1)."1 1(3) dx = I n | x | C • x dx(4)= arl tan x C ‘1 +x 2(6) cosxdx =s in x C (7) sin xdx = -cosx C1(8) 厂dx = ta n x C ' cos x1(9) 厂 dx = - cot x C ' sin x(10)secxtanxdx^secx Cf (X )二 dy dy_du dx du dx 或 y\f (U)L (x)(5)(11) cscxcot xdx = - cscx C (12)e xdx =e xCx(13) a x dx— C , (a 0,且 a 厂1) In a(14) shxdx 二 chx C (15)chxdx = shx C1 x=—arc tan — C a a1 1 x —a(17)二 ------ 2 dx ln || C x -a 2a x+axdx 二 arc sin — C■ a 2-x 2a(19) J , 1 dx = ln(x + Ja 2 +x 2) + C ，Ja 2 +x 2 (20) J —dx = ln | x + J x 2 _a 2 | +C$ !2 2 1 1.x -a(21) tanxdx 二-ln |cosx | C (22) cotxdx=ln |sinx | C (23) secxdx = l n |secx tanx| C (24) cscxdx = l n|cscx-cotx| C注：1、从导数基本公式可得前15个积分公式，(16)-(24)式后几节证 2、以上公式把x 换成u 仍成立，u 是以x 为自变量的函数。

常用求导与定积分公式(完美)仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢2一．基本初等函数求导公式(1) 0)(='C(2) 1)(-='μμμx x (3) x x cos )(sin ='(4) x x sin )(cos -='(5)x x 2sec )(tan ='(6)x x 2csc )(cot -='(7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9)a a a x x ln )(=' (10) (e )e xx '=(11)a x x a ln 1)(log =' (12)x x 1)(ln ='，(13) 211)(arcsin x x -='(14) 211)(arccos x x --=' (15)21(arctan )1x x '=+(16)21(arccot )1x x '=-+ 函数的和、差、积、商的求导法则 设)(x u u =，)(x v v =都可导，则（1） v u v u '±'='±)( （2） u C Cu '=')(（C 是常数）（3） v u v u uv '+'=')(（4） 2v v u v u v u '-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛反函数求导法则若函数)(y x ϕ=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ϕ，则它的反函数)(x f y =在对应区间x I 内也可导，且)(1)(y x f ϕ'=' 或 dy dx dx dy 1=复合函数求导法则仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢3设)(u f y =，而)(x u ϕ=且)(u f 及)(x ϕ都可导，则复合函数)]([x f y ϕ=的导数为dy dy du dx du dx =或()()y f u x ϕ'''=二、基本积分表（1）kdx kx C =+⎰ （k 是常数）（2）1,1x x dx C μμμ+=++⎰ (1)u ≠- （3）1ln ||dx x C x =+⎰（4）2tan 1dxarl x C x =++⎰（5）arcsin x C =+⎰（6）cos sin xdx x C =+⎰ （7）sin cos xdx x C =-+⎰（8）21tan cos dx x C x =+⎰（9）21cot sin dx x C x=-+⎰（10）sec tan sec x xdx x C =+⎰仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢4（11）csc cot csc x xdx x C =-+⎰ （12）x x e dx e C =+⎰（13）ln xxa a dx C a=+⎰，(0,1)a a >≠且 （14）shxdx chx C =+⎰ （15）chxdx shx C =+⎰（16）2211tan xdx arc C a x a a =++⎰（17）2211ln ||2x adx C x a a x a-=+-+⎰（18）sinxarc C a=+⎰ （19）ln(x C =+（20）ln |x C =+⎰（21）tan ln |cos |xdx x C =-+⎰ （22）cot ln |sin |xdx x C =+⎰ （23）sec ln |sec tan |xdx x x C =++⎰ （24）csc ln |csc cot |xdx x x C =-+⎰注：1、从导数基本公式可得前15个积分公式，(16)-(24)式后几节证。

初等函数是由幂函数(power function)、指数函数(exponential function)、对数函数(logarithmic初等函数function)、三角函数(trigonometric function)、反三角函数(inverse trigonometic function)与常数经过有限次的有理运算（加、减、乘、除、有理数次乘方、有理数次开方）及有限次函数复合所产生、并且能用一个解析式表示的函数。

英文：elementary function它是最常用的一类函数，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数（以上是基本初等函数），以及由这些函数经过有限次四则运算或函数的复合而得的所有函数。

还有一系列双曲函数也是初等函数，如sinh 的名称是双曲正弦或超正弦, cosh 是双曲余弦或超余弦, tanh 是双曲正切、coth 是双曲余切、sech 是双曲正割、csch 是双曲余割。

初等函数在其定义区间内连续。

常数函数初等函数图形对定义域中的一切x对应的函数值都取某个固定常数的函数。

幂函数形如y＝x^a的函数，式中a为实常数。

指数函数形如y＝a^x的函数，式中a为不等于1的正常数。

对数函数指数函数的反函数，记作y＝loga a x，式中a为不等于1的正常数。

指数函数与对数函数之间成立关系式，loga ax＝x。

三角函数即正弦函数y＝sinx ，余弦函数y＝cosx ，正切函数y＝tanx，余切函数y＝cotx ，正割函数y＝secx，余割函数y＝cscx（见三角学）。

反三角函数三角函数的反函数——反正弦函数y ＝ arc sinx ，反余弦函数 y ＝arc cosx （－1≤x≤1，初等函数0≤y≤π），反正切函数 y=arc tanx ，反余切函数 y ＝ arc cotx（－∞＜x＜＋∞，θ＜y＜π）等。

以上这些函数常统称为基本初等函数。

双曲正弦或超正弦sinh x =(e^x- e^（-x)）/2双曲余弦或超余弦cosh x =(e^x + e^(－x))/2双曲正切tanh x =sinh x / cosh x双曲余切coth x = 1 / tanh x双曲正割sech x = 1 / cosh x双曲余割csch x = 1 / sinh x一个初等函数，除了可以用初等解析式表示以外，往往还有其他表示形式，例如，三角函数 y＝sinx 可以用无穷级数表为初等函数可以按照解析表达式分类为：初等函数是最先被研究的一类函数，它与人类的生产和生活密切相关，并且应用广泛。

一．基本初等函数求导公式(1) 0)(='C(2) 1)(−='μμμx x(3)x x cos )(sin ='(4)x x sin )(cos −='(5) x x 2sec )(tan =' (6)x x 2csc )(cot −=' (7) x x x tan sec )(sec ='(8)x x x cot csc )(csc −='(9)a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '=(11)a x x a ln 1)(log ='(12)x x 1)(ln ='，(13)211)(arcsin x x −='(14)211)(arccos x x −−='(15)21(arctan )1x x '=+(16)21(arccot )1x x '=−+函数的和、差、积、商的求导法则设)(x u u =，)(x v v =都可导，则（1） v u v u '±'='±)( （2）u C Cu '=')(（C 是常数）（3）v u v u uv '+'=')(（4） 2v v u v u v u '−'='⎪⎭⎫ ⎝⎛反函数求导法则若函数)(y x ϕ=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ϕ，则它的反函数)(x f y =在对应区间xI 内也可导，且)(1)(y x f ϕ'=' 或 dy dx dx dy 1=复合函数求导法则 设)(u f y =，而)(x u ϕ=且)(u f 及)(x ϕ都可导，则复合函数)]([x f y ϕ=的导数为dy dy du dx du dx =或()()y f u x ϕ'''=二、基本积分表（1）kdx kx C =+⎰ （k 是常数）（2）1,1x x dx C μμμ+=++⎰ (1)u ≠− （3）1ln ||dx x C x =+⎰（4）2tan 1dxarl x C x =++⎰ （5）arcsin x C =+（6）cos sin xdx x C =+⎰ （7）sin cos xdx x C =−+⎰（8）21tan cos dx x C x =+⎰（9）21cot sin dx x C x=−+⎰（10）sec tan sec x xdx x C =+⎰ （11）csc cot csc x xdx x C =−+⎰ （12）x x e dx e C =+⎰（13）ln xxa a dx C a=+⎰，(0,1)a a >≠且 （14）shxdx chx C =+⎰ （15）chxdx shx C =+⎰（16）2211tan xdx arc C a x a a =++⎰（17）2211ln ||2x adx C x a a x a−=+−+⎰ （18）sin xarc C a =+（19）ln(x C =++（20）ln ||x C =+（21）tan ln |cos |xdx x C =−+⎰（22）cot ln |sin |xdx x C =+⎰ （23）sec ln |sec tan |xdx x x C =++⎰ （24）csc ln |csc cot |xdx x x C =−+⎰注：1、从导数基本公式可得前15个积分公式，(16)-(24)式后几节证。

第1讲函数函数的初等性质一、计划学时：2节二、内容第一章函数第一节实例与关系第二节函数的概念、记号、表示法、几何意义第三节函数分类一常见的16种基本函数二函数之间的运算--运算函数1．和差积商运算2. 复合运算--复合函数3. 函数的逆运算--反函数4.初等函数三.分段函数及几种特殊分段函数四.由参数方程确定的函数五.隐函数--由方程确定的函数六.常见超越函数幂指函数、不定积分（函数簇）、变限积分（函数）、变终点积分函数第四节函数的性质、性质之间关系及简单应用一、初等性质第一条有界性第二条单调性第三条奇偶性第四条周期性第五条极值性第六条最值性第七条凹凸性第八条渐进性二、分析性质第一条敛散性第二条连续性第三条可导性第四条可微性第五条可积性三、要求1、深刻理解、掌握函数的有关概念。

主要是函数、反函数、复合函数、初等函数的概念。

2、熟练掌握基本初等函数的性质及其图形。

会求反函数,能熟练地分解\合成复合函数.3、掌握分段函数.4. 明确构建函数模型的步骤和方法，并会建立一些各专业常用的函数模型（简单实际问题中的函数关系式）（如：单利、复利模型，纳税模型，商品的需求、供给模型、人口增长模型等）.四、重点五、难点（ • ）六、教学过程：第一节 实例与关系25s t = 0≥t221gt s = gh t 20≤≤ 客观世界处在永恒的运动、发展和变化中。

对各种变化过程和变化过程中的量与量的依赖关系的研究，产生了函数的概念。

函数概念就是对运动过程中量与量的依赖关系的抽象描述，是刻划运动变化中变量之间相依关系的数学模型。

第二节 函数的概念、记号、表示法一、预备知识 集合 变量1.集合实例：一个班级、一群羊等。

定义：具有某种特性的对象的全体。

集合记号-大写英文字母，如：A 、B 、D 、R 、Z 、φ空集 元素记号-小写英文字母，如：a 、b 、m 、n 。

表示法：列举法、描述法。

性质：关系---元素与集合之间：属于∈、不属于∉集合与集合之间：包含⊃、包含于⊂、相等=运算：两个集合之间的（+-*/）--并⋃、交⋂、差-、补A （和差积商）多个集合之间的运算—运算律（交换律、结合律、分配律）特殊集合—数集：不等式表示--{}x a x b <<区间表示---()[)(][],,,,,,,a b a b a b a b邻域表示--(,)U a δ区间与邻域中学学过区间的概念，如有限区间：闭区间 [b a ,]= {b x a x ≤≤|}，开区间 (b a ,) ={b x a x <<|}，半开半闭区间 [ a , b ] 等；还有无限区间：( a , +∞ ) = { x │ a < x }等。

2.基本积分公式表(1)∫ 0dx=C(2)=ln|x|+C(3)(m≠ -1， x>0)(4)(a>0,a≠ 1)(5)(6)∫ cosxdx=sinx+C(7)∫ sinxdx=-cosx+C(8)∫ sec2xdx=tanx+C(9)∫ csc2xdx=-cotx+C(10)∫ secxtanxdx=secx+C(11)∫ cscxcotxdx=-cscx+C(12)=arcsinx+C(13)=arctanx+C注． (1)不是在m=-1的特例．(2)=ln|x|+C，ln后面真数x要加绝对值，原因是(ln|x|)' =1/x．事实上，对 x>0， (ln|x|)' =1/x；若 x<0，则(ln|x|)' =(ln(- x))' =.(3)要特别注意与的区别：前者是幂函数的积分，后者是指数函数的积分．下面我们要学习不定积分的计算方法，首先是四则运算．6.复合函数的导数与微分大量初等函数含有复合函数的成分，它们的导数与微分计算法则具有特别重要的意义．定理 .(链锁法则 )设 z=f(y)，y= (x)分别在点 y0= (x0)与 x0可导，则复合函数 z=f[ (x)] 在x0可导，且或(f o )' (x0)=f '(y0) '(x0)．证．对应于自变量 x0处的改变量x，有中间变量 y 在 y00y 及因= (x )处的改变量变量 z 在 z0=f(y0) 处的改变量 z，（注意y 可能为 0）．现z=f (y0) y+v， y= (x0) x+u，且令，则v=y，（注意，当y=0 时， v=y 仍成立）． y 在 x0可导又蕴含y 在 x0连续，即y=0．于是=f '(y0) '(x0 )+0 '(x0)=f '(y0 ) '(x0)为理解与记忆链锁法则，我们作几点说明：(1)略去法则中的 x=x 0与 y=y0，法则成为公式，其右端似乎约去 dy 后即得左端，事实上，由前面定理的证明可知，这里并不是一个简单的约分过程．(2) 计算复合函数的过程：x y z复合函数求导的过程：z y x：各导数相乘例 2.3.15 求y=sin5x的导数．解．令 u=5x，则精品文档精品文档y' ==cosu 5=5cos5x．例 2.3.16 求y=lncosx的导数．解．令 u=cosx，则 y=lnu．于是y'．=例 2.3.17 求幂函数y=x m的导数，m为任意实数．解．因 y=，令u=mlnx，则y=e u．y' ==e u mm 是正整数 n 时，即例 2.3.2．(3)链锁法则可以推广到多层次中间变量的复合函数：复合函数的求值：x y z u⋯v w复合函数的求导：w v⋯u z y x：各导数相乘(4)在熟练掌握链锁法则以后，为简便写法，中间变量 v，u， z， y 等可不必写出，只要做到心中有数．例 2.3.18 求的导数解．=．(5) 链锁法则的微分形式是：df( (x))= f ( (x))d (x)例 2.3.19 求函数y=的微分解． dy =dsin2x=2sinxdsinx精品文档思考题 .请你仔细研究例 2.3.18 的解题过程，函数的构成除由基本初等函数复合之外还包含四则运算，因此求导的过程也应遵循四则运算与链锁法则，两个方面必须同时考虑.5.导数与微分的四则运算设 u=u(x)， v=v(x) 为可导函数， c 是常数，则有公式 (1) (u v)' = u' v'， d(u v) = du dv．公式 (2) (uv)' = u' v+uv'，d(uv) = vdu+udv．公式 (3) (cu)' = cu'， d(cu) = cdu．公式 (4)，(v 0)．点击此处看公式 (1)－ (4)的证明．例 2.3.11 求y=tanx的导数解． (tanx)' ===sec2x．同理可得 (cotx)' = csc2x．例 2.3.12 求y=secx的导数．解． (secx)' ==secx tanx．同理可得 (cscx)' = cscx cotx．例 2.3.13 求y=(1+4 x)(2x23x3)的导数．解一． y' =(1+4 x) (2x2 3x3)+(1+4x)(2x2 3x3)'=4(2x2 3x3)+(1+4 x)(2 2x 3 3x2)=8x2 12x3+4x 9x2 +16x2 36x3=4x+15x2 48x3解二．因 y =2x2+5x3 12x4，故y' =2 2x+5 3x2 12 4x3=4x+15x2 48x3．例 2.3.14 求函数y=(x+sinx)lnx的微分．解． dy=ln xd(x+sinx)+(x+sinx)dln x=ln x(dx+dsinx)+(x+sinx)dx=ln x (dx+cosxdx)+dx=dx．2.导数的定义从曲线的切线斜率以及其他有关函数变化速度问题，我们抽象出函数的导数概念.定义 .设函数y=f(x)在包含点x0的一个开区间X(这样的开区间称为x0的邻域 )内有定义， y000，我们称 x=x x0=f(x )．如果 x X x0( 读作 delta)为自变量的改变量，y=f(x) f(x0)为函数的(对应)改变量，比值为函数的差商或平均变化率．如果极限存在，则称函数y=f(x) 在点x0可导(或可微 )，该极限称为函数y=f(x)在x0点关于自变量x 的导数 (或微商 )．记作．因 x=x x0，x=x0+ x，故还有．此时，曲线 y=f(x)在点 (x0， f(x0))的切线方程是．注意 . x 可正可负，依x 大于或小于x0而定．根据定义求已知函数y=f(x)在给定点 x0的导数的步骤是：(1)计算函数在自变量 x0+ x 处的函数值 f(x0+ x)；(2)计算函数的改变量 y=f(x0+ x) f(x0 )；(3) 写出函数的差商；(4)计算极限，即导数值．例 2.3.1 求常数函数y=c 的导数．解．因 y=y(x+ x) y(x)=c c=0，差商=0，故=0．此处 x 可为任意实数，即常数函数y=c 在任意点 x 处的导数为 0．例 2.3.2 设n是正整数，求幂函数y=x n在点 x 处的导数．解．因y(x+ x)=( x+ x)n =x n+，y=y(x+ x) y(x)=，故=．特别，当 n=1 时，函数 y=x 在任意点 x 处的导数为1．例 2.3.3 求曲线y=x3在点(2,8)处的切线方程．解．在上例中取n=3 可知函数 y=x3在点 x 处的导数为3x2，于是在点 (2， 8)处的切线斜率是： y'(2)=322=12，故曲线 y=x3在 (2,8)处的切线方程是y 8=12 (x 2)12x y 6=0．注．(1)从上述例子我们看到，一般情况下，给定函数y=f(x)在某个区间 X 内每一点都可导，这样可求出X 内每一点的导数y'(x)， x X ．于是 y'(x)成为 X 内有定义的一个新函数，我们称它为给定函数y=f(x) 的导函数，且常常省略定义中的字样“在x 点处关于自变量的”，甚至简称f(x)的导数．例如我们说常数函数y=c 的导数是 0， y=x 的导数是1，y=x n的导数是等等，分别记作c' =0，x' =1，(x n)' =等等．(2)关于改变量的记号，应把它与其后面的变量x 或 y 看作一个整体量，就象sinx 中的 sin 一样，绝不能把x 看成与x的乘积，特别，为避免误解，我们用(x)2来表示x 的平方而不写x2．从导数的定义我们还可以导出其它一些初等函数的导数公式:(点击此处看例 2.3.4，例 2.3.5，例 2.3.6 证明 )例 2.3.4 y=sinx的导数是(sinx)' =cosx，y=cosx 的导数是 (cosx)' = sinx ．例 2.3.5 y=log a x(0<a 1)的导数是(log a x)' =．特别， (ln x)' = 1/x ．例 2.3.6 指数函数y=a x(0<a 1)的导数是(a x)' =a x lna．特别， ( e x)' =e x．8.导数的导数 -- 二阶导数一般来说，函数y=f(x) 的导数还是以x 为自变量的函数：y' =f '(x)，如果它还可导，我们又可得 f ' (x) 的导数： (y' )' =[ f ' (x)] ' ，称为 y=f(x)的二阶导数，记作y'' =f '' (x) ，或=．如果它还可导，我们就可继续逐次求三阶，四阶，⋯的导数，对任意正整数n ，n 阶导数被定义为y(n)=(y(n 1))' ，n=2， 3，⋯统称为函数y 的高阶导数．例 2.3.22 求y=sin x的n阶导数．解． y' =cosx=sin，用归纳法不难求出y(n)=sin．例 2.3.23若s =s(t)为质点运动的路程函数，则s' (t)= v(t)是运动速度．又,二阶导数s''(t)=v' (t)=a(t) 则是运动的加速度．例 2.3.24求y =arc tanx的二阶导数y'' ．解． y' =，y'' = (1+x2)2(1+x2)' =．思考题 .对于可导函数y=f(x)来说，导数f ' (x)表示曲线的切线斜率，请你考虑，如果f ' (x)还可导，那么 f '' (x)的正或负，反映函数 y=f(x) 的图像的什么性态 .实验题 .选择不同的函数，使二阶导数取正或负值，然后作出函数的图像，观察二阶导数对函数图像的影响 .7.基本初等函数的导数与微分公式求导公式求微分公式(1)c' =0dc= 0(2)( x m)' =mx m-1dx m=mx m-1dx， m R(3)(a x)' =a x lnada x=a x lnadx，0 <a 1( e x )' = e x d e x= e x dx(4) ( a x)' = d a x=，0<a 1log log精品文档(ln x)' =dlnx=(5) (x)' =x d x=xdxsin cos sin cos(6) (x)' =x d x=xdxcos sin cos sin(7) (x)' =2x d x=2xdxtan sec tan sec(8) (x)' =csc2x d x=2xdxcot cot csc(9) (x)' =x x d x=x xdxsec sec tan sec sec tan(10) (x)' = cscx cotx d x=x cotxdxcsc csc csc(11) (arc x)' =darc x=sinsindarc x=cos (12) (arc x)' =cosdarc x=tan(13) (arc x)' =darccotx= tan(14) (arccot x)' =例 2.3.20求 y=arcsin的微分．解．．例 2.3.21 求y=+arctan e x的导数．解．．12.二元函数的导数与微分 ( 选学）设 z=f(x， y)是两个自变量x 与 y 的函数， x 与 y 的变化都会引起函数z 的变化，实际问题中有时需考虑单个自变量的变化引起的函数变化，即将另一自变量固定不变，看作常数，此时函数就像一元函数了．函数z 关于一个变量x 的导数就称为 z 关于 x 的偏导数．记作，事实上，按导数定义，应该是=，同理， z 关于变量 y 的偏导数是=．我们也记．若 z=f(x， y)有连续的偏导数 f x(x，y)， f y(x，y)，则自变量x 与 y 的改变量x 与 y 的线性表达式f x(x，y) x+f y(x， y) y称为 z=f(x， y)在 (x，y) 处对应于x，y 的全微分，记作dz=f x(x，y) x+f y(x， y)y．由于自变量的微分等于自变量的改变量：dx= x，dy= y，于是二元函数的微分公式是dz=．例 2.3.30设f(x，y)=xy+x2 2 y3，求．解．=y+2x (把 y 看作常数，对x 求导数 )．=x 6y2 ( 把 x 看作常数，对y 求导数 )．例 2.3.31 求z= e x siny的全微分．解． dz=siny d e x+e x dsiny=siny e x dx+e x cosy dy=e x(sinydx+cosy dy)．例 2.3.32 设x+2y+2z 2=0 确定二元函数 z=z(x，y)，求．解．对方程 x+2y+2z 2=0 两边求微分，则左端得dx+2dy+2dz 2d右端的微分是0，于是解得dz =，由此得，．13.分段函数的导数 ( 选学）我们通过分段函数在衔接点处导数的研究，了解函数的可导性与连续性的关系．函数 y=f(x)在点 x0的导数被定义为极限，这等价于=0 ，记，则=0 ，由此f(x0+ x)-f(x0)=[ u( x)+f’(x0)] x，于是[f(x000+ x)-f(x )]=[u( x)+f’(x)] x=0，即f(x0+ x) = f(x0) ．如果记 x=x0+ x，则得f(x)= f(x0) ．这表明函数f(x)在 x0连续．因此有定理．若函数 y=f(x)在 x0可导，则 f(x)在 x0连续．因此，连续性是函数可导性的必要条件．但上述命题的逆是不正确的．请看下例．例 2.3.33 讨论函数在点 x=0 的连续性与可导性．解．因,,故,且 f(0)=e0=1．由此可见f(x)在 x=0 连续．其次，为讨论 f '(0)，我们需计算极限．为方便计，用x 代替x，为此我们研究极限．现在，，．由此可见，极限不存在，即f(x)在x=0不可导．你能看到，在函数y =f(x)的图像上点 (1，0)处没有切线，因为在其左边有一条“半切线”，斜率是1，但在其右边有一条“半切线”，斜率是0定义．设函数 y =f(x) 定义在区间 (a,b)内， x0(a,b)，如果极限存在，则称此极限为f(x)在点 x0处的右导数，记作f+'(x0)=．类似地，f(x)在点 x0的左导数是f-'(x0)=.只有 f+' (x0)与 f-' (x0)都存在且相等时，f(x)在点 x0才可导，且 f '(x0)=f+'(x0)=f-'(x0) ．即有定理．设函数 f(x)在区间 (a,b)内有定义， x0(a,b)．则f '( x0)存在f-' ( x0)与 f+'( x0)都存在且相等．左导数与右导数统称为单侧导数.例 2.3.34 讨论函数在 x=0 的可导性．解．首先讨论 f(x)在 x=0 的连续性．因，，f(0)=0 ，故 f(x)在 x=0 连续．其次，因，，故 f(x)在 x=0 可导，且 f '(0)=-1．注.上例中求左右导数或讨论分段函数衔接点处可导性的方法，必须首先研究函数在该点的连续性，在连续的前提下才可使用此方法，否则会出现错误．例如考虑函数此时 g(x)在 x=0 不连续，更不可导．如果你用上例方法求左右导数： g'+(0)=-1，g'-(0)=-1，得出 g'(0)=-1，那就大错特错了．事实上 , 上图中的原点并不属于函数 g(x)的图像 ,因此 ,原点右侧的“半切线”是不存在的 ,也就是说 ,原点处的右导数是不存在的．1.曲线的切线斜率我们知道，圆的切线定义为与圆相交于唯一点的直线．但对于一般曲线，切线是不能这样定义的．例如右下图中曲线在P 点处的切线 , 除 P 点外还交曲线于Q 点．为确切表达切线的含义，需应用极限的思想．请看下面的动画．说明：点 P(x0,f(x0))=P(x0,y0)是曲线 y=f(x) 上的给定点．点 Q(x,y)=Q(x,f(x))是曲线上的动点 , 可在 P 的两侧：在右侧时 x>x0；在左侧时 x<x0．动直线 PQ 是曲线的割线．如果动点 Q 无限地逼近定点 P 时 , 动直线 PQ 有一个极限位置 T, 即极限则称 PT 为曲线在 P 点的切线．为确定切线 PT 的位置 , 或建立 PT 的方程 , 只需确定其斜率．由于 PT 是 PQ 的极限 , 从而 PT 的斜率是 PQ 斜率的极限 , 极限过程是由 Q→ P 产生的．而Q→ P 即 x→ x0．设 PT 对于 x 轴的倾角 (即 x 轴正向逆时针旋转至PT 经过的角 )为 , PT 的斜率为k=tan ．现在割线 PQ 的斜率为：．而切线 PT 的斜率为：(PQ 的斜率 )=,由此得切线PT 的方程是： y f(x0)=k( x x0)．。

一．基本初等函数求导公式(1) 0)(='C(2) 1)(-='μμμx x(3) x x cos )(sin ='(4) x x sin )(cos -='(5)x x 2sec )(tan =' (6)x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec ='(8) x x x cot csc )(csc -='(9)a a a x x ln )(='(10) (e )e xx '=(11)a x x a ln 1)(log ='(12)x x 1)(ln ='，(13)211)(arcsin x x -=' (14)211)(arccos x x --=' (15)21(arctan )1x x '=+(16)21(arccot )1x x '=-+函数的和、差、积、商的求导法则 设)(x u u =，)(x v v =都可导，则（1） v u v u '±'='±)( （2） u C Cu '=')(（C 是常数）（3） v u v u uv '+'=')(（4） 2v v u v u v u '-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛反函数求导法则若函数)(y x ϕ=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ϕ，则它的反函数)(x f y =在对应区间xI 内也可导，且)(1)(y x f ϕ'=' 或 dy dx dx dy 1=复合函数求导法则设)(u f y =，而)(x u ϕ=且)(u f 及)(x ϕ都可导，则复合函数)]([x f y ϕ=的导数为dy dy du dx du dx =或()()y f u x ϕ'''=二、基本积分表（1）kdx kx C =+⎰ （k 是常数）（2）1,1x x dx C μμμ+=++⎰ (1)u ≠- （3）1ln ||dx x C x =+⎰（4）2tan 1dxarl x C x=++⎰ （5）arcsin x C =+⎰（6）cos sin xdx x C =+⎰ （7）sin cos xdx x C =-+⎰（8）21tan cos dx x C x =+⎰（9）21cot sin dx x C x=-+⎰（10）sec tan sec x xdx x C =+⎰ （11）csc cot csc x xdx x C =-+⎰ （12）x x e dx e C =+⎰（13）ln xxa a dx C a=+⎰，(0,1)a a >≠且 （14）shxdx chx C =+⎰ （15）chxdx shx C =+⎰（16）2211tan xdx arc C a x a a =++⎰（17）2211ln ||2x adx C x a a x a-=+-+⎰（18）sinxarc C a=+⎰（19）ln(x C =+（20）ln |x C =+⎰（21）tan ln |cos |xdx x C =-+⎰ （22）cot ln |sin |xdx x C =+⎰ （23）sec ln |sec tan |xdx x x C =++⎰（24）csc ln |csc cot |xdx x x C =-+⎰注：1、从导数基本公式可得前15个积分公式，(16)-(24)式后几节证。