北京市丰台区2016届高三上学期期末考试数学(理)试题【含答案】

2016丰台区高三（上）期末数学（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）复数（1+i）（1+ai）是实数，则实数a等于（）A．2 B．1 C．0 D．﹣12．（5分）x2＞0是x＞0的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也必要条件3．（5分）已知数列{a n}中，，若利用下面程序框图计算该数列的第2016项，则判断框内的条件是（）A．n≤2014 B．n≤2016 C．n≤2015 D．n≤20174．（5分）若点P为曲线（θ为参数）上一点，则点P与坐标原点的最短距离为（）A．B．C．D．25．（5分）函数在区间[0，π]上的零点之和是（）A．B．C．D．6．（5分）若，，，则a，b，c的大小关系是（）A．c＜b＜a B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．a＜b＜c7．（5分）若F（c，0）为椭圆C：的右焦点，椭圆C与直线交于A，B 两点，线段AB的中点在直线x=c上，则椭圆的离心率为（）A． B．C．D．8．（5分）在下列命题中：①存在一个平面与正方体的12条棱所成的角都相等；②存在一个平面与正方体的6个面所成较小的二面角都相等；③存在一条直线与正方体的12条棱所成的角都相等；④存在一条直线与正方体的6个面所成的角都相等．其中真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）在（2x﹣1）7的展开式中，x2的系数等于．（用数字作答）10．（5分）若x，y的满足，则z=2x﹣y的最小值为．11．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S7=42，则a2+a3+a7=．12．（5分）在△ABC中，，点M，N是线段AB上的动点，则的最大值为．13．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．14．（5分）设函数其中a＞﹣1．①当a=0时，若f（x）=0，则x=；②若f（x）在（﹣∞，+∞）上是单调递增函数，则a的取值范围．二、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）如图，在△ABC中，AB=12，，，点D在边BC上，且∠ADC=60°．（Ⅰ）求cosC；（Ⅱ）求线段AD的长．16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，E是AB的中点，AB=AD=PA=PB=2，BC=1，PC=．（Ⅰ）求证：CF∥平面PAB；（Ⅱ）求证：PE⊥平面ABCD；（Ⅲ）求二面角B﹣PA﹣C的余弦值．17．（14分）随着人们社会责任感与公众意识的不断提高，越来越多的人成为了志愿者．某创业园区对其员工是否为志愿者的情况进行了抽样调查，在随机抽取的10位员工中，有3人是志愿者．（Ⅰ）在这10人中随机抽取4人填写调查问卷，求这4人中恰好有1人是志愿者的概率P1；（Ⅱ）已知该创业园区有1万多名员工，从中随机调查1人是志愿者的概率为，那么在该创业园区随机调查4人，求其中恰有1人是志愿者的概率P2；（Ⅲ）该创业园区的A团队有100位员工，其中有30人是志愿者．若在A团队随机调查4人，则其中恰好有1人是志愿者的概率为P3．试根据（Ⅰ）、（Ⅱ）中的P1和P2的值，写出P1，P2，P3的大小关系（只写结果，不用说明理由）．18．（13分）已知函数．（Ⅰ）求函数y=f（x）的极值；（Ⅱ）若存在实数x0∈（﹣1，0），且，使得，求实数a的取值范围．19．（13分）已知定点M（1，0）和直线x=﹣1上的动点N（﹣1，t），线段MN的垂直平分线交直线y=t于点R，设点R的轨迹为曲线E．（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）直线y=kx+b（k≠0）交x轴于点C，交曲线E于不同的两点A，B，点B关于x轴的对称点为点P．点C关于y轴的对称点为Q，求证：A，P，Q三点共线．20．（13分）已知数列{a n}的各项均为正数，满足a1=1，a k+1﹣a k=a i．（i≤k，k=1，2，3，…，n﹣1）（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若{a n}是等比数列，求数列{a n}的通项公式；（Ⅲ）设数列{a n}的前n项和为S n，求证：．参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．【解答】复数（1+i）（1+ai）=1﹣a+（1+a）i，因为复数是实数，所以1+a=0，解得a=﹣1．故选：D．2．【解答】由x2＞0得到：x≠0，而x≠0推不出x＞0，不是充分条件，由x＞0能推出x≠0，是必要条件，∴x2＞0是x＞0的必要不充分条件，故选：B．3．【解答】通过分析，本程序框图为“当型“循环结构，判断框内为满足循环的条件，第1次循环，A=，n=1+1=2，第2次循环，A==，n=2+1=3，…当执行第2016项时，n=2017，由题意，此时，应该不满足条件，退出循环，输出A的值．所以，判断框内的条件应为：n≤2016．故选：B．4．【解答】曲线的普通方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，∴曲线表示以（1，1）为圆心，以1为半径的圆．∴曲线的圆心到原点得距离为，∴点P与坐标原点的最短距离为．故选：A．5．【解答】由=0得sin2x=﹣cos2x，即tan2x=﹣，即2x=kπ﹣，即x=﹣，∵0≤x≤π，∴当k=1时，x=，当k=2时，x=，则函数f（x）的零点之和为+=，故选：C6．【解答】分别作出函数y=2x，（红色曲线），y=x（绿色曲线），y=log2x（蓝色曲线）的图象，则由图象可知当1≤x≤2时，对应的函数2x＞x＞log2x，即对应的平面的面积依次减小，即c＜b＜a，故选：A7．【解答】∵F（c，0）为椭圆C：的右焦点，椭圆C与直线交于A，B两点，∴A（a，0），B（0，b），∵线段AB的中点在直线x=c上，∴，∴椭圆的离心率e===．故选：B．8．【解答】①存在一个平面AB1D1与正方体的12条棱所成的角都相等，故①正确；②存在一个平面AB1D1与正方体的6个面所成较小的二面角都相等，故②正确；．．③存在一条直线AC1与正方体的12条棱所成的角都相等，故③正确；④存在一条直线AC1与正方体的6个面所成的角都相等，故④正确．故选：D．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．【解答】（2x﹣1）7的展开式中，通项公式为T r+1=•（2x）7﹣r•（﹣1）r，令7﹣r=2，解得r=5；所以展开式中x2的系数为•22•（﹣1）5=﹣84．故答案为：﹣84．10．【解答】由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，4），化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z．由图可知，当直线y=2x﹣z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为﹣2．故答案为：﹣2．11．【解答】∵等差数列{a n}的前n项和为S n，S7=42，∴=42，解得a1+a7=12，∴2a1+6d=2（a1+3d）=12，即a1+3d=6，∴a2+a3+a7=a1+d+a1+2d+a1+6d=3（a1+3d）=3×6=18．故答案为：18．12．【解答】在△ABC中，，点M，N是线段AB上的动点，则=CM•CN•cos＜＞≤•=3，故答案为：3．13．【解答】如图，由三视圆得该几何体由直三棱柱ABC﹣A1B1C1与三棱锥B﹣B1C1D组合而成，其中A1B1DC1是边长为2的正方形，AA1=2，∴该几何体的体积为：V====．故答案为：．14．【解答】①当a=0时，f（x）=，由f（x）=0，可得lnx=0，解得x=1．②若f（x）在（﹣∞，+∞）上是单调递增函数，可得f（x）在x＜1为递增，在x≥1为递增函数，可得a＞﹣1；由增函数的定义可得e﹣1≤ln（1+a），解得a≥e e﹣1﹣1．综上可得a的范围是[e e﹣1﹣1，+∞）．故答案为：1，[e e﹣1﹣1，+∞）．二、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．【解答】（Ⅰ）∵AB=12，，，∴根据余弦定理：=．…（6分）（Ⅱ）∵0＜C＜π，∴sinC＞0，．∴根据正弦定理得：，即：=8．…（13分）16．【解答】证明：（Ⅰ）取AP的中点M，连接MF，MB，因为M是AP中点，F是PD中点，所以，又因为，所以四边形BCFM是平行四边形，所以FC∥BM，又FC⊄面ABP，BM⊂面ABP所以FC∥面ABP…（5分）（Ⅱ）连接CE，因为在△ABP中，AB=AP=BP，点E是边AB在的中点，所以PE⊥AB且，在Rt△BEC中，BE=EC=1，EB⊥BC，所以在△PEC中，，，，所以PE⊥EC又因为AB∩EC=E，AB⊂面ABCD，EC⊂面ABCD所以PE⊥面ABCD…（9分）（Ⅲ）取CD中点N，以EB，EN，EP分别为轴x，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，各点坐标为：B（1，0，0），C（1，1，0），B（1，0，0），，A（﹣1，0，0），因为：BC⊥PE，AB⊥BC，所以BC⊥面ABP，面ABP的法向量为设面ABC的法向量为，，，取x0=1，得，由图可知二面角为锐二面角，设锐二面角为θ，cosθ==，二面角B﹣PA﹣C余弦值为．…（14分）17．【解答】（Ⅰ），所以这4人中恰好有1人是志愿者的概率为．（Ⅱ），所以这4人中恰好有1人是志愿者的概率为0.4116．（Ⅲ）由于A团队中，每个人是志愿者的概率为，P3 =•=0.4116，P1＞P3=P2 ．18．【解答】（Ⅰ）f′（x）=ax2+2x，令f′（x）=0得x2=0，．∴函数y=f（x）的极大值为；极小值为f（0）=0．…（8分）（Ⅱ）若存在，使得，则由（Ⅰ）可知，需要（如图1）或（如图2）（图1），（图2），于是可得．…（13分）19．【解答】（Ⅰ）解：由题意可知：RN=RM，即点R到直线x=﹣1和点M的距离相等．根据抛物线的定义可知：R的轨迹为抛物线，其中M为焦点．设R的轨迹方程为：y2=2px，，p=2所以R的轨迹方程为：y2=4x．…（5分）（Ⅱ证明：由条件可知，则．联立，消去y得k2x2+（2bk﹣4）x+b2=0，△=（2bk﹣4）2﹣4b2k2=16（1﹣bk）＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），则P（x2，﹣y2），，．因为，所以k AP=k AQ，所以A，P，Q三点共线．…（13分）20．【解答】（Ⅰ）证明：∵a k+1﹣a k=a i＞0（i≤k，k=1，2，3，…，n﹣1），∴数列{a n}是递增数列，即1＜a2＜a3＜…＜a n．﹣a k=a i≥1（i≤k，k=1，2，3，…，n﹣1），又∵a k+1﹣a k≥1（k=1，2，3，…，n﹣1）．∴a k+1（Ⅱ）解：∵a2﹣a1=a1，∴a2=2a1；∵{a n}是等比数列，∴数列{a n}的公比为2．∵a k﹣a k=a i（i≤k，k=1，2，3，…，n﹣1），∴当i=k时有a k+1=2a k．+1这说明在已知条件下，可以得到唯一的等比数列．∴．（Ⅲ）证明：∵1=a1=1，2=a2=2，，，…，，由上面n个式子相加，得到：，化简得，∴．。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.复数(1i)(1i)a ++是实数，则实数a 等于（ ） A.2 B.1 C.0 D.-1【答案】D. 【解析】试题分析：(1)(1)(1)(1)i ai a a i ++=-++，若是实数，则10a +=，∴1a =-. 考点：复数乘除和乘方．2.“20x >”是“0x >”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】B. 【解析】试题分析：因为由20x >解得：0x >或0x <，∴“0x >或0x <”是“0x >”的必要而不充分条件. 考点：充分必要条件． 3.已知数列{}n a 中，1111,1n na a a +==+，若利用下面程序框图计算该数列的第2016项，则判断框内的条件是（ ）A.2014≤nB.2016n ≤C.2015≤nD.2017n ≤ A.2014≤n B.2016n ≤ C.2015≤n D.）2017n ≤【答案】C. 【解析】试题分析：该数列的第2016项，即2015n =，是，20162015111a a =++，2016n =，否，∴判断框内的条件是2015n ≤.考点：算法与程序框图．4.若点P 为曲线1cos 1sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）上一点，则点P 与坐标原点的最短距离为（ ）1D.2 【答案】A. 【解析】试题分析：222||(1cos )(1sin )32(sin cos )3)4OP πθθθθθ=+++=++=++，所以 2||OP的最小值为：3-，即||OP1=-.考点：曲线参数方程． 5.函数()=sin 22f x x x 在区间[0,]π上的零点之和是（ ）A.23π B.712π C.76π D.43π【答案】C. 【解析】试题分析：()sin 222sin(2)3f x x x x π==+，[0,]x π∈，令()0f x =，得：23x ππ+=或223x ππ+=，即3x π=或56x π=，所以零点之和是57366πππ+=.考点：三角函数的图象和性质． 6.若212x a dx =⎰，21b xdx =⎰，221log c xdx =⎰，则,,a b c 的大小关系是（ ）A.c b a <<B.b c a <<C.c a b << D/a b c << 【答案】A. 【解析】 试题分析：2211222|2ln 2ln 2x xa dx ===>⎰，2221113|22b xdx x ===⎰，∴b a <，排除C ，D ，由图象可知：221log c xdx =⎰表示的面积最小，故c b a <<.考点：定积分的性质．7.若F （c,0）为椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点，椭圆C 与直线1x ya b+=交于A,B 两点，线段AB 的中点在直线x c =上，则椭圆的离心率为（ ）B.12【答案】B. 【解析】试题分析：∵直线1x ya b+=在x,y 轴上的截距分别为（a,0）,(0,b),所以A （a ，0），B （0,b ） 又线段AB 的中点在直线x c =上，所以2a c =即12c e a ==考点：椭圆的标准方程． 8.在下列命题中：①存在一个平面与正方体的12条棱所成的角都相等； ②存在一个平面与正方体的6个面所成较小的二面角都相等； ③存在一条直线与正方体的12条棱所成的角都相等； ④存在一条直线与正方体的6个面所成的角都相等. 其中真命题的个数为（ ）A.1B.2 C3 D.4 【答案】D. 【解析】试题分析：①②都对，平面为：正方体三个相邻平面的面对角线构成的平面； ③④都对，直线为：正方体的体对角线. 考点：立体几何综合．二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，满分30分.把答案填在题中的横线上．） 9.在71)x -（2的展开式中，2x 的系数等于_____.（用数字作答） 【答案】84-. 【解析】试题分析：7(21)x -的通项公式为717(2)(1)r r r r T C x -+=-，令725r r -=⇒=， 所以522267284T C x x =-⨯=-，故2x 的系数等于-84.考点：二项式定理.10.若,x y 的满足30,30,1.x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩则2z x y =-的最小值为 .【答案】2-. 【解析】试题分析：作可行域：A(1，4),B(1，2).当目标函数线过点A 时，目标函数值最小，为2142z =⨯-=- 考点：线性规划.11.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若7=42S ,则237a a a ++= . 【答案】18. 【解析】试题分析：等差数列{}n a 中，1777422a a S +=⨯=，∴1712a a +=，∴46a =， ∴2374318a a a a ++== 考点：等差数列.12.在ABC ∆中，3,1==BC AC ,点,M N 是线段AB 上的动点，则CM CN ⋅的最大值为_______.【答案】3. 【解析】试题分析：cos CM CN CM CN MCN ⋅=⋅⋅∠，所以当M,N 重合时，cos 1MCN ∠=，CM CN ⋅最大，为2CM ， 又设()(1)CM CA AM CA AB CA CB CA CA CB λλλλ=+=+=+-=-+所以222(1)32(1)CM CB CA λλλλ=-++-⋅，显然当1λ=时，2CM 最大为3，故CM CN ⋅的最大值为3.考点：数量积的应用.13.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .俯视图侧视图主视图【答案】163. 【解析】试题分析：该几何体是正方体削去两个三棱锥得到的组合体， 所以3111622222323V =-⨯⨯⨯⨯⨯=考点：空间几何体的表面积与体积空间几何体的三视图与直观图.14.设函数(1),()ln()(1).x a x f x x a x ⎧-<=⎨+≥⎩e 其中1a >-.①当0a =时，若()0f x =，则x =__________；②若()f x 在），（∞+∞-上是单调递增函数，则a 的取值范围________.【答案】1，[1,)e -+∞.考点：导数的综合运用.三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.（本小题13分）如图，在ABC ∆中，=12AB ，AC ，BC ，点D 在边BC 上，且60ADC ∠=. （1）求cos C ； （2）求线段AD 的长.【答案】（1）13；（2）8AD =. 【解析】试题分析：（1）利用余弦定理的变式；（2）在ACD ∆中利用正弦定理即可求解.试题解析：（1）根据余弦定理：222cos 2AC BC AB C AC BC +-=⋅13==；（2）因为0C π<<，所以sin 0C >，sin C ===，根据正弦定理得：sin sin AD ACC ADC =∠，sin sin AC CAD ADC⋅=∠8=．考点：正余弦定理解三角形． 16.（本小题14分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥AD ，E 是AB 的中点，AB=AD=PA=PB=2，BC=1，（1）求证：CF ∥平面PAB ； （2）求证：PE ⊥平面ABCD ； (3)求二面角B-PA-C 的余弦值.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3. 1212cos ||||||n n n n θ⋅==⋅二面角B PA C --余弦值为：1212cos ||||||n n n n θ⋅==⋅考点：平面法向量的求法空间的角垂直平行．17.（本小题14分）随着人们社会责任感与公众意识的不断提高，越来越多的人成为了志愿者.某创业园区对其员工是否为志愿者的情况进行了抽样调查，在随机抽取的10位员工中，有3人是志愿者.（1）在这10人中随机抽取4人填写调查问卷，求这4人中恰好有1人是志愿者的概率1P；（2）已知该创业园区有1万多名员工，从中随机调查1人是志愿者的概率为310，那么在该创业园区随机调查4人，求其中恰有1人是志愿者的概率2P；（3）该创业园区的A团队有100位员工，其中有30人是志愿者. 若在A团队随机调查4人，则其中恰好有1人是志愿者的概率为3P. 试根据（1）、（2）中的1P和2P的值，写出1P，2P，3P的大小关系（只写结果，不用说明理由）.【答案】（1）12；（2）0.4116；（3）132P P P>>.【解析】试题分析：（1）利用古典概型分析所有基本事件的种数以及符合条件的基本事件的种数，即可求解；（2）利用古典概型分析所有基本事件的种数以及符合条件的基本事件的种数，即可求解；（3）根据所有基本事件的种数大小即可知132P P P>>.试题解析：（1）1337141012C CPC⋅==，所以这4人中恰好有1人是志愿者的概率为12；（2）1132437()()0.41161010P C=⋅=，所以这4人中恰好有1人是志愿者的概率为0.4116；（3）132P P P>>．考点：古典概型．18.（本小题13分）已知函数321()(0)3f x ax x a=+>.（1）求函数()y f x=的极值；（2）若存在实数0(1,0)x ∈-，且012x ≠-，使得01()()2f x f =-，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）函数()y f x =的极大值为224()3f aa -=； 极小值为(0)0f =；（2）18(,4)(4,6)7a ∈. 【解析】试题分析：（1）求导列表，分析导函数的取值情况即可求解；（2）分析函数()f x 图象的大致图形，根据图象列出关于a 的不等式组，即可求解.试题解析：（1）/2()2f x ax x =+，令/()0f x =得20x =，32x a=-. ∴函数()y f x =的极大值为32221224()()()33f a a a a a-=⋅-+-=；极小值为(0)0f =；（2）若存在011(1,)(,0)22x ∈---，使得01()()2f x f =-，则由（1）可知，需要21221,1(1)()2a af f ⎧-<-⎪⎪⎪->-⎨⎪⎪-<-⎪⎩（如图1）或3122a a -<-<-（如图2）.（图1） （图2） 于是可得18(,4)(4,6)7a ∈. 考点：导数的运用． 19.（本小题13分）已知定点(1,0)M 和直线1x =-上的动点(1,)N t -，线段MN 的垂直平分线交直线y t = 于点R ，设点R 的轨迹为曲线E . （1）求曲线E 的方程；（2）直线(0)y kx b k =+≠交x 轴于点C ，交曲线E 于不同的两点,A B ，点B 关于x 轴的对称点为点P.点C 关于y 轴的对称点为Q ，求证：A ，P ，Q 三点共线.【答案】（1）；（2）详见解析. 【解析】试题分析：（1）根据抛物线的定义首先可知动点R 的轨迹为抛物线，再根据条件中数据即可求得其轨迹方程；（2）联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理说明AP AQ k k =.试题解析：（1）由题意可知：RN RM =，即点R 到直线1x =-和点M 的距离相等.根据抛物线的定义可知：R 的轨迹为抛物线，其中M 为焦点，设R 的轨迹方程为：22y px =，12p=，2p =，所以R 的轨迹方程为：24y x =. ；（2）由条件可知(,0)b C k -，则(,0)b Q k. 联立24y kx b y x=+⎧⎨=⎩,消去y 得222(24)0k x bk x b +-+=，222(24)416(1)0bk b k bk ∆=--=->.设112212(,),(,)()A x y B x y x x <，则22(,)P x y -，12242bk x x k -+=，1x =，2x. 因为 1212AP y y k x x +===-，11110()AQ y k kx b k b kx b x k -+====--所以 AP AQ k k =,,,A P Q 三点共线 . 考点：抛物线的标准方程及其运用． 20.（本小题13分）已知数列{}n a 的各项均为正数，满足11a =，1k k i a a a +-=.,1,2,i k k ≤=（3,,1)n -（1）求证：111,2,3,,1)k k a a k n +-≥=-（；（2）若{}n a 是等比数列，求数列{}n a 的通项公式； （3）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求证：12)1(21-≤≤+n n S n n . 【答案】（1）详见解析；（2）12n n a -=；（3）详见解析.【解析】试题分析：（1）根据{}n a 递增数列，再根据条件中的不等式递推即可得证；（2）根据数列{}n a 是等比数列以及1,1,2,3,,1)k k i a a a i k k n +-=≤=-（即可得证；（3）证明12n n n a -≤≤，累加即可得证. 试题解析：（1）因为1,1,2,3,,1)k k i a a a i k k n +-=>≤=-0（，所以数列{}n a 是递增数列，即 231n a a a <<<<，又因为11,1,2,3,,1)k k i a a a i k k n +-=≥≤=-（，所以 111,2,3,,1)k k a a k n +-≥=-（；（2）因为211a a a -=，所以212a a =；因为{}n a 是等比数列，所以数列{}n a 的公比为2，因为1,1,2,3,,1)k k i a a a i k k n +-=≤=-（，所以当=i k 时有1=2k k a a +，这说明在已知条件下，可以得到唯一的等比数列，所以12n n a -=；（3）因为11=1a =，22=2a =， 2332a ≤≤，3442a ≤≤， (1)2n n n a -≤≤，由上面n 个式子相加，得到：0121123+2+3++2+2+2++2n n n a a a a -≤++++≤1， 化简得 1231))(21)2n n n n a a a a +<++++<-（（，所以12)1(21-≤≤+n n S n n ． 考点：数列的综合运用．：。

绝密★启用前2016届北京市丰台区高三上学期期末联考文科数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：173分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、某地实行阶梯电价，以日历年(每年1月1日至12月31日)为周期执行居民阶梯电价，即：一户居民用户全年不超过2880度（1度=千瓦时）的电量，执行第一档电价标准，每度电0．4883元；全年超过2880度至4800度之间的电量，执行第二档电价标准，每度电0．5383元；全年超过4800度以上的电量，执行第三档电价标准，每度电0．7883元．下面是关于阶梯电价的图形表示，其中正确的有参考数据：0．4883元/度2880度=1406．30元， 0．5383元/度(4800-2880)度+1406．30元=2439．84元． A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．①②③2、如图，在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足．当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹是椭圆，那么这个椭圆的离心率是（ ）A ．B ．C ．D ．3、函数的一个单调递增区间是（ ）A ．B ．C ．D ．4、已知圆O ：，直线过点（-2，0），若直线上任意一点到圆心距离的最小值等于圆的半径，则直线的斜率为（ ）A ．B ．C ．D ．5、已知向量，，若，则（ ） A ． B ．C ．D ．6、“”是“”的（ ）A ．充分必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分而不必要条件D ．既不充分也不必要条件7、在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8、函数的定义域为（）A． B． C． D．第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）9、已知函数．①当时，若，则_______；②若是上的增函数，则的取值范围是___________．10、已知某几何体的三视图，则该几何体的体积是_______．11、下图是计算的程序框图，判断框内的条件是_______．12、已知下列函数：①；②；③，其中奇函数有_________个．13、设等差数列的前项和为，若,则=_______．三、解答题（题型注释）14、设函数的图象与直线相切于点．（1）求函数的解析式； （2）求函数的单调区间；（3）设函数，对于,，使得，求实数的取值范围．15、已知点为抛物线C:的焦点，过点的动直线与抛物线C 交于,两点，如图．当直线与轴垂直时，．（1）求抛物线C 的方程； （2）已知点,设直线PM 的斜率为，直线PN 的斜率为．请判断是否为定值，若是，写出这个定值，并证明你的结论；若不是，说明理由．16、设数列的前项和为，满足，．（1）求的值；（2）求数列的通项公式,并求数列的前n 项和．17、如图，四棱锥中，底面是边长为 4的菱形，，，为中点．（1）求证：平面； （2）求证：平面平面；（3）若，求三棱锥的体积．18、倡导全民阅读是传承文明、更新知识、提高民族素质的基本途径．某调查公司随机调查了1000位成年人一周的平均阅读时间（单位：小时），他们的阅读时间都在内，将调查结果按如下方式分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，并绘制了频率分布直方图，如图．假设每周平均阅读时间不少于12小时的人，称为“阅读达人”．（1）求这1000人中“阅读达人”的人数； （2）从阅读时间为的成年人中按分层抽样抽取9人做个性研究．从这9人中随机抽取2人，求这2人都不是“阅读达人”的概率．19、如图，在中，点在边上，，，，．（1）求的面积；（2）求线段的长．参考答案1、B．2、D．3、D．4、A．5、C．6、C．7、A．8、B．9、，．10、．11、．12、．13、．14、（1）；（2）的单调递增区间为，；单调递减区间为；（3）记在上的值域为,在上的值域为，分析题意可知，从而即可建立关于的不等式即可求解．15、（1）根据抛物线的性质可将的坐标用含的代数式表示出来，从而即可建立关于的方程；（2）联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理说明的值是常量即可．16、（1）；（2）．17、（1）详见解析；（2）详见解析；（3）．18、（1）；（2）．19、（1）；（2）．【解析】1、试题分析①错，当用电量为超过2880度至4800度之间时，不是所有的单价都是0．5383元，只是超出2800的部分单价为0．5383，不超过2800的部分单价还是0．4883元。

丰台区2013-2014学年度第一学期期末练习高 三 数 学（理科） 2014.1第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的4个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 在复平面内，复数1i i-对应的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限2. 函数11(0)=++>y x x x的最小值为 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）43. 已知命题p: ∀21x x >,22x >12x ，则p ⌝是（A ）∀21x x >,22x ≤12x （B ）∃21x x >,22x ≤12x （C ）∀21x x >,22x <12x （D ）∃21x x >,22x <12x4. 过双曲线221916x y -=的右焦点，且平行其渐近线的直线方程是 （A ） 3(5)4y x =±- （B ） 4(5)3y x =±-（C ） 3(5)4y x =±+ （D ） 3(5)4y x =±+5.如图，已知曲边梯形ABCD 的曲边DC 所在的曲线方程 为1(0)y x x=>，e 是自然对数的底，则曲边梯形的 面积是（A ）1 （B ）e （C ）1e （D ）126. 已知平行四边形ABCD 中，AB=1，AD=2，∠DAB=60o，则且⋅AC AB uuu r uu u r等于（A ）1 （B （C ）2 （D ）7.已知函数()2sin()f x x ωϕ=+(0,||)ωϕπ><的部分图象如图所示,那么()f x 的表达式为（A ）5()2sin(2)6π=+f x x （B ）5()2sin(2)6π=-f x x （C ）()2sin(2)6f x x π=+ （D ）()2sin(2)6f x x π=- 8. 如图，一个底面半径为R 的圆柱被与其底面所成角为θ（00090θ<<）的平面所截，截面是一个椭圆.当θ为30o时，这个椭圆的离心率为 （A ）12 （B）2 （C）3 （D ）23第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

2016-2017学年北京市丰台区高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={x∈Z|（x+2）（x﹣1）＜0}，B={﹣2，﹣1}，那么A∪B 等于（）A．{﹣1}B．{﹣2，﹣1}C．{﹣2，﹣1，0}D．{﹣2，﹣1，0，1}2．（5分）如果a＞b＞0，那么下列不等式一定成立的是（）A．|a|＜|b|B．C．D．lna＞lnb3．（5分）如图，矩形ABCD中，AB=2AD=4，MN=2PQ=2，向该矩形内随机投一质点，则质点落在四边形MNQP内的概率为（）A．B．C．D．4．（5分）已知直线m，n和平面α，如果n⊂α，那么“m⊥n”是“m⊥α”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）平面向量=（x，1），=（1，y），=（2，﹣4），如果∥，且⊥（﹣），那么实数x，y的值分别是（）A．2，﹣2 B．﹣2，﹣2 C．，2 D．，6．（5分）在△ABC中，，AB=2，，则cosB的值为（）A．B．C．或D．或7．（5分）学校计划在周一至周四的艺术节上展演《雷雨》、《茶馆》、《天籁》和《马蹄声碎》四部话剧，每天一部．受多种因素影响，话剧《雷雨》不能在周一和周四上演；《茶馆》不能在周一和周三上演；《天籁》不能在周三和周四上演；《马蹄声碎》不能在周一和周四上演．那么下列说法正确的是（）A．《雷雨》只能在周二上演B．《茶馆》可能在周二或周四上演C．周三可能上演《雷雨》或《马蹄声碎》D．四部话剧都有可能在周二上演8．（5分）已知函数f（x）=ln（x+a）﹣sinx．给出下列命题：①当a=0时，∀x∈（0，e），都有f（x）＜0；②当a≥e时，∀x∈（0，+∞），都有f（x）＞0；③当a=1时，∃x0∈（2，+∞），使得f（x0）=0．其中真命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）i为虚数单位，复数=．10．（5分）设双曲线C ：的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线C上，如果|PF1|﹣|PF2|=10，那么该双曲线的渐近线方程为．11．（5分）若x，y 满足，则z=2x﹣y的最大值为．12．（5分）已知过点P（1，0）的直线l交圆O：x2+y2=1于A，B 两点，，则直线l的方程为．13．（5分）中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则．例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷（guǐ）影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其它节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的．下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中寸表示115寸分（1寸=10分）．节气冬至小寒（大雪）大寒（小雪）立春（立冬）雨水（霜降）惊蛰（寒露）春分（清明（白露）谷雨（处暑）立夏（立秋）小满（大暑）芒种（小暑）夏至秋分）晷影 长 （寸）135.075.516.0已知《易经》中记录的冬至晷影长为130.0寸，夏至晷影长为14.8寸，那么《易经》中所记录的惊蛰的晷影长应为 寸．14．（5分）如图，边长为2的正三角形ABC 放置在平面直角坐标系xOy 中，AC 在x 轴上，顶点B 与y 轴上的定点P 重合．将正三角形ABC 沿x 轴正方向滚动，即先以顶点C 为旋转中心顺时针旋转，当顶点B 落在x 轴上时，再以顶点B 为旋转中心顺时针旋转，如此继续．当△ABC 滚动到△A 1B 1C 1时，顶点B 运动轨迹的长度为 ；在滚动过程中，•的最大值为 ．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（13分）已知函数f （x ）=．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数f （x ）在区间[]上的最值．16．（13分）已知等差数列{a n }满足a 4﹣a 2=4，a 3=8． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）数列{b n }满足，求数列{b n }的前8项和．17．（14分）如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AC=BC ，AB=AA 1，∠A 1AB=60°，D 是AB 的中点．（Ⅰ）求证：BC 1∥平面A 1CD ；（Ⅱ）求证：AB⊥平面A1CD；（Ⅲ）若AB=AC=2，，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．18．（13分）近几年，“互联网+”已经影响了多个行业，在线教育作为现代信息技术同教育相结合的产物，也引发了教育领域的变革．目前在线教育主要包括在线测评、在线课堂、自主学习、线下延伸四种模式．为了解学生参与在线教育情况，某区从2000名高一学生中随机抽取了200名学生，对他们参与的在线教育模式进行调查，其调查结果整理如下：（其中标记“√”表示参与了该项在线教育模式）．在线测评在线课堂自主学习线下延伸教育模式人数（人）25√√√45√40√√30√√√40√√20√√（Ⅰ）试估计该区高一学生中参与在线课堂教育模式的人数；（Ⅱ）在样本中用分层抽样的方法从参与自主学习的学生中抽取5人，现从这5人中随机抽取2人，求这2人都参与线下延伸教育模式的概率．19．（13分）已知椭圆C：的右焦点为F（1，0），离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过F且斜率为1的直线交椭圆于M，N两点，P是直线x=4上任意一点．求证：直线PM，PF，PN的斜率成等差数列．20．（14分）已知函数f（x）=x3﹣3ax（a∈R）．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（﹣1，2）上仅有一个极值点，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若a＞1，且方程f（x）=a﹣x在区间[﹣a，0]上有两个不相等的实数根，求实数a的最小值．2016-2017学年北京市丰台区高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={x∈Z|（x+2）（x﹣1）＜0}，B={﹣2，﹣1}，那么A∪B 等于（）A．{﹣1}B．{﹣2，﹣1}C．{﹣2，﹣1，0}D．{﹣2，﹣1，0，1}【解答】解：∵集合A={x∈Z|（x+2）（x﹣1）＜0}={﹣1，0}，B={﹣2，﹣1}，∴A∪B={﹣2，﹣1，0}．故选：C．2．（5分）如果a＞b＞0，那么下列不等式一定成立的是（）A．|a|＜|b|B．C．D．lna＞lnb【解答】解：根据对数函数的单调性，可得a＞b＞0，lna＞lnb，故选：D．3．（5分）如图，矩形ABCD中，AB=2AD=4，MN=2PQ=2，向该矩形内随机投一质点，则质点落在四边形MNQP内的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵矩形ABCD中，AB=2AD=4，MN=2PQ=2，∴S ABCD=8，S MNQP=3，故满足条件的概率p=，4．（5分）已知直线m，n和平面α，如果n⊂α，那么“m⊥n”是“m⊥α”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若m⊥α，则m⊥n，即必要性成立，当m⊥n时，m⊥α不一定成立，必须m垂直平面α内的两条相交直线，即充分性不成立，故“m⊥n”是“m⊥α”的必要不充分条件，故选：B．5．（5分）平面向量=（x，1），=（1，y），=（2，﹣4），如果∥，且⊥（﹣），那么实数x，y的值分别是（）A．2，﹣2 B．﹣2，﹣2 C．，2 D．，【解答】解：∵平面向量=（x，1），=（1，y），=（2，﹣4），∴=（﹣1，y+4），∵∥，且⊥（﹣），∴，解得x=2，y=﹣2，∴实数x，y的值分别2，﹣2．故选：A．6．（5分）在△ABC中，，AB=2，，则cosB的值为（）A．B．C．或D．或【解答】解：由题意：，c=AB=2，b=，由正弦定理=，则有：sinB==．∴B=或．当B=时，则cosB=当B=时，则cosB=．故选：D．7．（5分）学校计划在周一至周四的艺术节上展演《雷雨》、《茶馆》、《天籁》和《马蹄声碎》四部话剧，每天一部．受多种因素影响，话剧《雷雨》不能在周一和周四上演；《茶馆》不能在周一和周三上演；《天籁》不能在周三和周四上演；《马蹄声碎》不能在周一和周四上演．那么下列说法正确的是（）A．《雷雨》只能在周二上演B．《茶馆》可能在周二或周四上演C．周三可能上演《雷雨》或《马蹄声碎》D．四部话剧都有可能在周二上演【解答】解：由题意，周一上演《天籁》，周四上演《茶馆》，周三可能上演《雷雨》或《马蹄声碎》，故选：C．8．（5分）已知函数f（x）=ln（x+a）﹣sinx．给出下列命题：①当a=0时，∀x∈（0，e），都有f（x）＜0；②当a≥e时，∀x∈（0，+∞），都有f（x）＞0；③当a=1时，∃x0∈（2，+∞），使得f（x0）=0．其中真命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：对于①当a=0时，f（x）=lnx﹣sinx，当x=时，f（）=ln﹣sin＞ln﹣=0，故不正确，对于②a≥e时，∀x∈（0，+∞），ln（x+a）＞lne=1，﹣1≤sinx≤1，则f（x）＞0恒成立，故正确，对于③当a=1时，f（x）=ln（x+1）﹣sinx，当x＞2时，x+1＞3，故ln（x+1）＞1，故f（x）＞0恒成立，故不正确，故选：B．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）i为虚数单位，复数=1+i．【解答】解：==1+i，故答案为：1+i．10．（5分）设双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线C上，如果|PF1|﹣|PF2|=10，那么该双曲线的渐近线方程为y=±x，．【解答】解：由双曲线的定义可得，||PF1|﹣|PF2||=2a=10，∴a=5，由双曲线C：得b=4，∴该双曲线的渐近线方程为y=±x，故答案为：11．（5分）若x，y满足，则z=2x﹣y的最大值为4．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，A（2，0）．化目标函数z=2x ﹣y 为y=2x ﹣z ，由图可知，当直线y=2x ﹣z 过A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最大值为4． 故答案为：4．12．（5分）已知过点P （1，0）的直线l 交圆O ：x 2+y 2=1于A ，B 两点，，则直线l 的方程为 x ﹣y ﹣1=0或x +y ﹣1=0 ．【解答】解：由圆的方程得：圆心（0，0），半径r=1， 设直线AB 的解析式为y=k （x ﹣1），即kx ﹣y ﹣k=0， ∵圆心到直线AB 的距离d=，弦长|AB |=，∴12=（）2+（）2，解得：k=±1，则直线l 方程为x ﹣y ﹣1=0或x +y ﹣1=0． 故答案为：x ﹣y ﹣1=0或x +y ﹣1=013．（5分）中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则．例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷（guǐ）影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其它节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的．下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中寸表示115寸分（1寸=10分）． 节 气冬至 小寒 （大雪） 大寒 （小雪） 立春 （立冬） 雨水 （霜降） 惊蛰 （寒露） 春分 （秋分）清明 （白露） 谷雨 （处暑） 立夏 （立秋） 小满 （大暑） 芒种 （小暑）夏至晷影 长 （寸）135.075.516.0已知《易经》中记录的冬至晷影长为130.0寸，夏至晷影长为14.8寸，那么《易经》中所记录的惊蛰的晷影长应为82寸．【解答】解：设晷影长为等差数列{a n}，公差为d，a1=130.0，a13=14.8，则130.0+12d=14.8，解得d=﹣9.6．∴a6=130.0﹣9.6×5=82.0．∴《易经》中所记录的惊蛰的晷影长是82.0寸．故答案为：82．14．（5分）如图，边长为2的正三角形ABC放置在平面直角坐标系xOy中，AC 在x轴上，顶点B与y轴上的定点P重合．将正三角形ABC沿x轴正方向滚动，即先以顶点C为旋转中心顺时针旋转，当顶点B落在x轴上时，再以顶点B为旋转中心顺时针旋转，如此继续．当△ABC滚动到△A1B1C1时，顶点B运动轨迹的长度为；在滚动过程中，•的最大值为2．【解答】解：根据题意知，点B的轨迹为两个圆心角为所对的圆弧和一个点；且圆弧的半径为2；∴顶点B运动轨迹的长度为；，设B（x，y）；①没滚动前点B坐标；∴；②第一次滚动后B点纵坐标y≤2；∴；③第二次滚动后B点坐标（3，0）；∴；④第三次滚动后B点纵坐标y≤2；∴；∴的最大值为．故答案为：．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数f（x）=．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[]上的最值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，=…（2分）==…（4分）由此可知，．…（6分）（Ⅱ）由可知，，进而，…（8分）当时，，…（9分）所以函数f（x）在区间上的最大值为，最小值为．…（13分）16．（13分）已知等差数列{a n}满足a4﹣a2=4，a3=8．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）数列{b n}满足，求数列{b n}的前8项和．【解答】解：（Ⅰ）∵a4﹣a2=2d=4，∴d=2．又a3=a1+2d=8，可得a1=4，从而a n=2n+2．（Ⅱ）∵，∴数列{b n}的前8项和为S8==4（256﹣1）=1020．17．（14分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC，AB=AA1，∠A1AB=60°，D 是AB的中点．（Ⅰ）求证：BC1∥平面A1CD；（Ⅱ）求证：AB⊥平面A1CD；（Ⅲ）若AB=AC=2，，求三棱柱ABC﹣A 1B1C1的体积．【解答】证明：（Ⅰ）连结AC1，A1C，交于点O，连结OD，∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，ACC1A1是平行四边形，∴O是AC1的中点，∵D是AB的中点，∴OD是△ABC1的中位线，∴OD∥BC1，∵BC1⊄平面A1CD，OD⊂平面A1CD，∴BC1∥平面A1CD．（Ⅱ）连结A1B，∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC，AB=AA1，∠A1AB=60°，D是AB的中点，∴△ABA1是等边三角形，∴A1D⊥AB，DC⊥AB，∵A1D∩CD=D，∴AB⊥平面A1CD．解：（Ⅲ）∵AB=AC=2，，AC=BC，AB=AA 1，∠A1AB=60°，D是AB的中点，∴AD=CD=，∴AD2+CD2=A1C2，∴A1D⊥CD，又A1D⊥AB，AB∩CD=D，∴A1D⊥平面ABC，∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积：V=S△ABC•A1D===3．18．（13分）近几年，“互联网+”已经影响了多个行业，在线教育作为现代信息技术同教育相结合的产物，也引发了教育领域的变革．目前在线教育主要包括在线测评、在线课堂、自主学习、线下延伸四种模式．为了解学生参与在线教育情况，某区从2000名高一学生中随机抽取了200名学生，对他们参与的在线教育模式进行调查，其调查结果整理如下：（其中标记“√”表示参与了该项在线教育模式）．在线测评在线课堂自主学习线下延伸教育模式人数（人）25√√√45√40√√30√√√40√√20√√（Ⅰ）试估计该区高一学生中参与在线课堂教育模式的人数；（Ⅱ）在样本中用分层抽样的方法从参与自主学习的学生中抽取5人，现从这5人中随机抽取2人，求这2人都参与线下延伸教育模式的概率．【解答】（本小题共13分）解：（Ⅰ）因为在样本200人中参与在线课堂教育的共150人…（2分）所以全区2000名高一学生中参与在线课堂的人数为人…（5分）（Ⅱ）记“抽取参加测试的2人都参加了线下延伸”为事件A …（6分）用分层抽样抽取的5人中，有3人参加了自主学习和线下延伸，记为1，2，3；有2人参加了自主学习和在线测评，记为a，b．…（8分）6人中抽取2人，共有（1，2）（1，3）（1，a）（1，b）（2，3）（2，a）（2，b）（3，a）（3，b）（a，b）10种取法…（10分）其中事件A包含3个．…（11分）所以这2人都参与线下延伸教育模式的概率…（13分）19．（13分）已知椭圆C：的右焦点为F（1，0），离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过F且斜率为1的直线交椭圆于M，N两点，P是直线x=4上任意一点．求证：直线PM，PF，PN的斜率成等差数列．【解答】解：（Ⅰ）由已知得：a=2，，所以b2=3所以椭圆的标准方程为…（4分）（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），P（4，n）设直线MN的方程为：y=x﹣1…（6分）由得：7x2﹣8x﹣8=0…（7分），…（8分）…（9分）===因为，所以2k PF=k PM+k PN…（12分）所以直线PM，PF，PN的斜率成等差数列．…（13分）20．（14分）已知函数f（x）=x3﹣3ax（a∈R）．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（﹣1，2）上仅有一个极值点，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若a＞1，且方程f（x）=a﹣x在区间[﹣a，0]上有两个不相等的实数根，求实数a的最小值．【解答】解：（Ⅰ）因为f'（x）=3（x2﹣a），所以f'（0）=﹣3a，因为f（0）=0，所以曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=﹣3ax．…（4分）（Ⅱ）因为f'（x）=3（x2﹣a），所以，当a≤0时，f'（x）≥0在R上恒成立，所以f（x）在R上单调递增，f（x）没有极值点，不符合题意；…（5分）当a＞0时，令f'（x）=0得，当x变化时，f'（x）与f（x）的变化情况如下表所示：x（﹣∞，）（，）（，+∞）f'（x）+0﹣0+f（x）↗极大值↘极小值↗因为函数f（x）在区间（﹣1，2）仅有一个极值点，所以所以1≤a＜4．…（9分）（Ⅲ）令h（x）=f（x）+x﹣a=x3+（1﹣3a）x﹣a，方程f（x）=a﹣x在[﹣a，0]上恰有两个实数根等价于函数h（x）在[﹣a，0]上恰有两个零点．h'（x ）=3x 2+（1﹣3a ）， 因为a ＞1，令h'（x ）=0，得，…（10分）所以所以 ，所以…（12分）因为a ＞1，所以恒成立．所以a ≥2，所以实数a 的最小值为2．…（14分）．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0) nna a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()0,,,mm m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质 （4）指数函数 函数名称指数函数定义函数(0xy a a =>且1)a ≠叫做指数函数图象1a >01a <<定义域R值域 (0,)+∞过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性 非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数xa y =xy(0,1)O1y =xa y =xy (0,1)O 1y =函数值的 变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< a 变化对 图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质函数 名称 对数函数定义 函数log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数图象1a > 01a <<定义域 (0,)+∞ 值域 R过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性 非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的 变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<a 变化对 图象的影响在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．x yO(1,0)1x =log a y x=xyO (1,0)1x =log a y x=。

2016-2017学年北京市丰台区高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={x∈Z|（x+2）（x﹣1）＜0}，B={﹣2，﹣1}，那么A∪B 等于（）A．{﹣1}B．{﹣2，﹣1}C．{﹣2，﹣1，0}D．{﹣2，﹣1，0，1}2．（5分）如果a＞b＞0，那么下列不等式一定成立的是（）A．|a|＜|b|B．C．D．lna＞lnb3．（5分）如图，矩形ABCD中，AB=2AD=4，MN=2PQ=2，向该矩形内随机投一质点，则质点落在四边形MNQP内的概率为（）A．B．C．D．4．（5分）已知直线m，n和平面α，如果n⊂α，那么“m⊥n”是“m⊥α”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）平面向量=（x，1），=（1，y），=（2，﹣4），如果∥，且⊥（﹣），那么实数x，y的值分别是（）A．2，﹣2 B．﹣2，﹣2 C．，2 D．，6．（5分）在△ABC中，，AB=2，，则cosB的值为（）A．B．C．或D．或7．（5分）学校计划在周一至周四的艺术节上展演《雷雨》、《茶馆》、《天籁》和《马蹄声碎》四部话剧，每天一部．受多种因素影响，话剧《雷雨》不能在周一和周四上演；《茶馆》不能在周一和周三上演；《天籁》不能在周三和周四上演；《马蹄声碎》不能在周一和周四上演．那么下列说法正确的是（）A．《雷雨》只能在周二上演B．《茶馆》可能在周二或周四上演C．周三可能上演《雷雨》或《马蹄声碎》D．四部话剧都有可能在周二上演8．（5分）已知函数f（x）=ln（x+a）﹣sinx．给出下列命题：①当a=0时，∀x∈（0，e），都有f（x）＜0；②当a≥e时，∀x∈（0，+∞），都有f（x）＞0；③当a=1时，∃x0∈（2，+∞），使得f（x0）=0．其中真命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）i为虚数单位，复数=．10．（5分）设双曲线C ：的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线C上，如果|PF1|﹣|PF2|=10，那么该双曲线的渐近线方程为．11．（5分）若x，y 满足，则z=2x﹣y的最大值为．12．（5分）已知过点P（1，0）的直线l交圆O：x2+y2=1于A，B 两点，，则直线l的方程为．13．（5分）中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则．例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷（guǐ）影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其它节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的．下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中寸表示115寸分（1寸=10分）．已知《易经》中记录的冬至晷影长为130.0寸，夏至晷影长为14.8寸，那么《易经》中所记录的惊蛰的晷影长应为寸．14．（5分）如图，边长为2的正三角形ABC放置在平面直角坐标系xOy中，AC 在x轴上，顶点B与y轴上的定点P重合．将正三角形ABC沿x轴正方向滚动，即先以顶点C为旋转中心顺时针旋转，当顶点B落在x轴上时，再以顶点B为旋转中心顺时针旋转，如此继续．当△ABC滚动到△A1B1C1时，顶点B运动轨迹的长度为；在滚动过程中，•的最大值为．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数f（x）=．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[]上的最值．16．（13分）已知等差数列{a n}满足a4﹣a2=4，a3=8．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）数列{b n}满足，求数列{b n}的前8项和．17．（14分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC，AB=AA1，∠A1AB=60°，D是AB的中点．（Ⅰ）求证：BC1∥平面A1CD；（Ⅱ）求证：AB⊥平面A1CD；（Ⅲ）若AB=AC=2，，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．18．（13分）近几年，“互联网+”已经影响了多个行业，在线教育作为现代信息技术同教育相结合的产物，也引发了教育领域的变革．目前在线教育主要包括在线测评、在线课堂、自主学习、线下延伸四种模式．为了解学生参与在线教育情况，某区从2000名高一学生中随机抽取了200名学生，对他们参与的在线教育模式进行调查，其调查结果整理如下：（其中标记“√”表示参与了该项在线教育模式）．（Ⅰ）试估计该区高一学生中参与在线课堂教育模式的人数；（Ⅱ）在样本中用分层抽样的方法从参与自主学习的学生中抽取5人，现从这5人中随机抽取2人，求这2人都参与线下延伸教育模式的概率．19．（13分）已知椭圆C：的右焦点为F（1，0），离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过F且斜率为1的直线交椭圆于M，N两点，P是直线x=4上任意一点．求证：直线PM，PF，PN的斜率成等差数列．20．（14分）已知函数f（x）=x3﹣3ax（a∈R）．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（﹣1，2）上仅有一个极值点，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若a＞1，且方程f（x）=a﹣x在区间[﹣a，0]上有两个不相等的实数根，求实数a的最小值．2016-2017学年北京市丰台区高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={x∈Z|（x+2）（x﹣1）＜0}，B={﹣2，﹣1}，那么A∪B 等于（）A．{﹣1}B．{﹣2，﹣1}C．{﹣2，﹣1，0}D．{﹣2，﹣1，0，1}【解答】解：∵集合A={x∈Z|（x+2）（x﹣1）＜0}={﹣1，0}，B={﹣2，﹣1}，∴A∪B={﹣2，﹣1，0}．故选：C．2．（5分）如果a＞b＞0，那么下列不等式一定成立的是（）A．|a|＜|b|B．C．D．lna＞lnb【解答】解：根据对数函数的单调性，可得a＞b＞0，lna＞lnb，故选：D．3．（5分）如图，矩形ABCD中，AB=2AD=4，MN=2PQ=2，向该矩形内随机投一质点，则质点落在四边形MNQP内的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵矩形ABCD中，AB=2AD=4，MN=2PQ=2，∴S ABCD=8，S MNQP=3，故满足条件的概率p=，故选：B．4．（5分）已知直线m，n和平面α，如果n⊂α，那么“m⊥n”是“m⊥α”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若m⊥α，则m⊥n，即必要性成立，当m⊥n时，m⊥α不一定成立，必须m垂直平面α内的两条相交直线，即充分性不成立，故“m⊥n”是“m⊥α”的必要不充分条件，故选：B．5．（5分）平面向量=（x，1），=（1，y），=（2，﹣4），如果∥，且⊥（﹣），那么实数x，y的值分别是（）A．2，﹣2 B．﹣2，﹣2 C．，2 D．，【解答】解：∵平面向量=（x，1），=（1，y），=（2，﹣4），∴=（﹣1，y+4），∵∥，且⊥（﹣），∴，解得x=2，y=﹣2，∴实数x，y的值分别2，﹣2．故选：A．6．（5分）在△ABC中，，AB=2，，则cosB的值为（）A．B．C．或D．或【解答】解：由题意：，c=AB=2，b=，由正弦定理=，则有：sinB==．∵0＜B＜π∴B=或．当B=时，则cosB=当B=时，则cosB=．故选：D．7．（5分）学校计划在周一至周四的艺术节上展演《雷雨》、《茶馆》、《天籁》和《马蹄声碎》四部话剧，每天一部．受多种因素影响，话剧《雷雨》不能在周一和周四上演；《茶馆》不能在周一和周三上演；《天籁》不能在周三和周四上演；《马蹄声碎》不能在周一和周四上演．那么下列说法正确的是（）A．《雷雨》只能在周二上演B．《茶馆》可能在周二或周四上演C．周三可能上演《雷雨》或《马蹄声碎》D．四部话剧都有可能在周二上演【解答】解：由题意，周一上演《天籁》，周四上演《茶馆》，周三可能上演《雷雨》或《马蹄声碎》，故选：C．8．（5分）已知函数f（x）=ln（x+a）﹣sinx．给出下列命题：①当a=0时，∀x∈（0，e），都有f（x）＜0；②当a≥e时，∀x∈（0，+∞），都有f（x）＞0；③当a=1时，∃x0∈（2，+∞），使得f（x0）=0．其中真命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：对于①当a=0时，f（x）=lnx﹣sinx，当x=时，f（）=ln﹣sin＞ln﹣=0，故不正确，对于②a≥e时，∀x∈（0，+∞），ln（x+a）＞lne=1，﹣1≤sinx≤1，则f（x）＞0恒成立，故正确，对于③当a=1时，f（x）=ln（x+1）﹣sinx，当x＞2时，x+1＞3，故ln（x+1）＞1，故f（x）＞0恒成立，故不正确，故选：B．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）i为虚数单位，复数=1+i．【解答】解：==1+i，故答案为：1+i．10．（5分）设双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线C上，如果|PF1|﹣|PF2|=10，那么该双曲线的渐近线方程为y=±x，．【解答】解：由双曲线的定义可得，||PF1|﹣|PF2||=2a=10，∴a=5，由双曲线C：得b=4，∴该双曲线的渐近线方程为y=±x，故答案为：11．（5分）若x，y满足，则z=2x﹣y的最大值为4．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，A（2，0）．化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，由图可知，当直线y=2x﹣z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为4．故答案为：4．12．（5分）已知过点P（1，0）的直线l交圆O：x2+y2=1于A，B 两点，，则直线l的方程为x﹣y﹣1=0或x+y﹣1=0．【解答】解：由圆的方程得：圆心（0，0），半径r=1，设直线AB的解析式为y=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k=0，∵圆心到直线AB的距离d=，弦长|AB|=，∴12=（）2+（）2，解得：k=±1，则直线l方程为x﹣y﹣1=0或x+y﹣1=0．故答案为：x﹣y﹣1=0或x+y﹣1=013．（5分）中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则．例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷（guǐ）影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其它节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的．下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中寸表示115寸分（1寸=10分）．已知《易经》中记录的冬至晷影长为130.0寸，夏至晷影长为14.8寸，那么《易经》中所记录的惊蛰的晷影长应为 82 寸．【解答】解：设晷影长为等差数列{a n }，公差为d ，a 1=130.0，a 13=14.8， 则130.0+12d=14.8，解得d=﹣9.6． ∴a 6=130.0﹣9.6×5=82.0．∴《易经》中所记录的惊蛰的晷影长是82.0寸． 故答案为：82．14．（5分）如图，边长为2的正三角形ABC 放置在平面直角坐标系xOy 中，AC 在x 轴上，顶点B 与y 轴上的定点P 重合．将正三角形ABC 沿x 轴正方向滚动，即先以顶点C 为旋转中心顺时针旋转，当顶点B 落在x 轴上时，再以顶点B 为旋转中心顺时针旋转，如此继续．当△ABC 滚动到△A 1B 1C 1时，顶点B 运动轨迹的长度为；在滚动过程中，•的最大值为 2．【解答】解：根据题意知，点B 的轨迹为两个圆心角为所对的圆弧和一个点；且圆弧的半径为2； ∴顶点B 运动轨迹的长度为；，设B（x，y）；①没滚动前点B坐标；∴；②第一次滚动后B点纵坐标y≤2；∴；③第二次滚动后B点坐标（3，0）；∴；④第三次滚动后B点纵坐标y≤2；∴；∴的最大值为．故答案为：．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数f（x）=．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[]上的最值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，=…（2分）==…（4分）由此可知，．…（6分）（Ⅱ）由可知，，进而，…（8分）当时，，…（9分）所以函数f（x）在区间上的最大值为，最小值为．…（13分）16．（13分）已知等差数列{a n}满足a4﹣a2=4，a3=8．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）数列{b n}满足，求数列{b n}的前8项和．【解答】解：（Ⅰ）∵a4﹣a2=2d=4，∴d=2．又a3=a1+2d=8，可得a1=4，从而a n=2n+2．（Ⅱ）∵，∴数列{b n}的前8项和为S8==4（256﹣1）=1020．17．（14分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC，AB=AA1，∠A1AB=60°，D 是AB的中点．（Ⅰ）求证：BC1∥平面A1CD；（Ⅱ）求证：AB⊥平面A1CD；（Ⅲ）若AB=AC=2，，求三棱柱ABC﹣A 1B1C1的体积．【解答】证明：（Ⅰ）连结AC1，A1C，交于点O，连结OD，∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，ACC1A1是平行四边形，∴O是AC1的中点，∵D是AB的中点，∴OD是△ABC1的中位线，∴OD∥BC1，∵BC1⊄平面A1CD，OD⊂平面A1CD，∴BC1∥平面A1CD．（Ⅱ）连结A1B，∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC，AB=AA1，∠A1AB=60°，D是AB的中点，∴△ABA1是等边三角形，∴A1D⊥AB，DC⊥AB，∵A1D∩CD=D，∴AB⊥平面A1CD．解：（Ⅲ）∵AB=AC=2，，AC=BC，AB=AA1，∠A1AB=60°，D是AB的中点，∴AD=CD=，∴AD2+CD2=A1C2，∴A1D⊥CD，又A1D⊥AB，AB∩CD=D，∴A1D⊥平面ABC，∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积：V=S△ABC•A1D===3．18．（13分）近几年，“互联网+”已经影响了多个行业，在线教育作为现代信息技术同教育相结合的产物，也引发了教育领域的变革．目前在线教育主要包括在线测评、在线课堂、自主学习、线下延伸四种模式．为了解学生参与在线教育情况，某区从2000名高一学生中随机抽取了200名学生，对他们参与的在线教育模式进行调查，其调查结果整理如下：（其中标记“√”表示参与了该项在线教育模式）．（Ⅰ）试估计该区高一学生中参与在线课堂教育模式的人数；（Ⅱ）在样本中用分层抽样的方法从参与自主学习的学生中抽取5人，现从这5人中随机抽取2人，求这2人都参与线下延伸教育模式的概率．【解答】（本小题共13分）解：（Ⅰ）因为在样本200人中参与在线课堂教育的共150人…（2分）所以全区2000名高一学生中参与在线课堂的人数为人…（5分）（Ⅱ）记“抽取参加测试的2人都参加了线下延伸”为事件A …（6分）用分层抽样抽取的5人中，有3人参加了自主学习和线下延伸，记为1，2，3；有2人参加了自主学习和在线测评，记为a，b．…（8分）6人中抽取2人，共有（1，2）（1，3）（1，a）（1，b）（2，3）（2，a）（2，b）（3，a）（3，b）（a，b）10种取法…（10分）其中事件A包含3个．…（11分）所以这2人都参与线下延伸教育模式的概率…（13分）19．（13分）已知椭圆C：的右焦点为F（1，0），离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过F且斜率为1的直线交椭圆于M，N两点，P是直线x=4上任意一点．求证：直线PM，PF，PN的斜率成等差数列．【解答】解：（Ⅰ）由已知得：a=2，，所以b2=3所以椭圆的标准方程为…（4分）（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），P（4，n）设直线MN的方程为：y=x﹣1…（6分）由得：7x2﹣8x﹣8=0…（7分），…（8分）…（9分）===因为，所以2k PF=k PM+k PN…（12分）所以直线PM，PF，PN的斜率成等差数列．…（13分）20．（14分）已知函数f（x）=x3﹣3ax（a∈R）．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（﹣1，2）上仅有一个极值点，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若a＞1，且方程f（x）=a﹣x在区间[﹣a，0]上有两个不相等的实数根，求实数a的最小值．【解答】解：（Ⅰ）因为f'（x）=3（x2﹣a），所以f'（0）=﹣3a，因为f（0）=0，所以曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=﹣3ax．…（4分）（Ⅱ）因为f'（x）=3（x2﹣a），所以，当a≤0时，f'（x）≥0在R上恒成立，所以f（x）在R上单调递增，f（x）没有极值点，不符合题意；…（5分）当a ＞0时，令f'（x ）=0得，当x 变化时，f'（x ）与f （x ）的变化情况如下表所示：，，因为函数f （x ）在区间（﹣1，2）仅有一个极值点， 所以所以1≤a ＜4．…（9分）（Ⅲ） 令h （x ）=f （x ）+x ﹣a=x 3+（1﹣3a ）x ﹣a ，方程f （x ）=a ﹣x 在[﹣a ，0]上恰有两个实数根等价于函数h （x ）在[﹣a ，0]上恰有两个零点．h'（x ）=3x 2+（1﹣3a ）， 因为a ＞1，令h'（x ）=0，得，…（10分）所以所以 ，所以…（12分）因为a ＞1，所以恒成立．所以a ≥2，所以实数a 的最小值为2．…（14分）．。

北京市丰台区高三数学上学期期末考试试题 理第一部分 （选择题 共40分）一、 选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知集合{1,0,1,2,3}A =-，{|22}B x x =-≤≤，那么A B =I （A ）{1,0,1}- （B ）{1,0,1,2}- （C ）{1,0,1,2,3}- （D ）{|22}x x -≤≤答案：B考点：集合的运算。

解析：取集合A ，B 的公共部分即可，所以，A B =I {1,0,1,2}- 2．若复数(2i)(i)a -+的实部与虚部互为相反数，则实数a = （A ）3 （B ）13（C ）13-（D ）3-答案：D考点：复数的概念及其运算。

解析：(2i)(i)a -+＝21(2)a a i ++-，实部与虚部互为相反数， 所以，21(2)a a ++-=0，解得：3a =-3．执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为（A ）34（B ）45（C ）56（D ）67答案：B考点：程序框图。

解析：第1步：S ＝12，k ＝1＜4，k ＝k+1＝2第2步：S ＝23，k ＝2＜4，k ＝k+1＝3第3步：S ＝34，k ＝3＜4，k ＝k+1＝4 第4步：S ＝45，k ＝4＜4，否，退出循环，所以，S ＝45。

4．已知等差数列{}n a 中，13a =，26a =.若2n n b a =，则数列{}n b 的前5项和等于 （A ）30 （B ）45（C ）90（D ）186答案：C考点：等差数列的通项公式，前n 项和。

解析：公差d ＝6－3＝3，3(1)33n a n n =+-⨯=，26n n b a n ==，数列{}n b 是以6为首项，6为公差的等差数列，前5项和为：S ＝545662´??＝90 5．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的棱中，最长的棱的长度为 （A ）2（B（C）（D）俯视图侧（左）视图正（主）视图答案：D 考点：三视图。

北京市2015—2016学年度第一学期期末练习高三数学（文科） 2016.01第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.函数0.5()log (1)f x x =-的定义域为（A ）(1,)-+∞ （B ）(1,)+∞ （C ）(0,)+∞ （D ）(,0)-∞ 2.在复平面内，复数(1i)(2i)z =+-对应的点位于（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限3．“1x =”是“210x -=”的（A ）充分必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分而不必要条件 （D ）既不充分也不必要条件4.已知向量(3,-4)a = ，(,)b x y = ，若a //b，则（A ）340x y -= （B ）340x y += （C ）430x y += （D ）430x y -=5.已知圆O ：221x y +=，直线l 过点（-2，0），若直线l 上任意一点到圆心距离的最小值等于圆的半径，则直线l 的斜率为 （A ）33±（B ）3± （C ）2± （D ）1±6. 函数()=sin2cos 2f x x x -的一个单调递增区间是 （A ）3[,]44ππ-（B ）3[,]44ππ- （C ）3[,]88ππ- （D ）3[,]88ππ- 7.如图，在圆224x y +=上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足.当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M的轨迹是椭圆，那么这个椭圆的离心率是（A ）12 （B ）14（C ）22（D ）328. 某地实行阶梯电价，以日历年(每年1月1日至12月31日)为周期执行居民阶梯电价，即：一户居民用户全年不超过2880度（1度=千瓦时）的电量，执行第一档电价标准，每度电0.4883元；全年超过2880度至4800度之间的电量，执行第二档电价标准，每度电0.5383元；全年超过4800度以上的电量，执行第三档电价标准，每度电0.7883元.下面是关于阶梯电价的图形表示，其中正确的有电费（元/年）年用电量（度）480028802439.841406.30B AO① ②③ 参考数据：0.4883元/度⨯2880度=1406.30元，0.5383元/度⨯(4800-2880)度+1406.30元=2439.84元.(A) ①② (B) ②③ (C) ①③ (D)①②③第二部分 （非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

丰台区2016—2017学年度第一学期期末练习高三数学（理科）2017.01 第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知集合{(2)(1)0}A x x x =∈+-<Z ，{2,B =-1}-，那么A B U 等于（A ）{2101}，，，-- （B ）{210}，，-- （C ）{21}，-- （D ）{1}-2．已知0a b >>，则下列不等式一定成立的是（A ）a b <（B ）11a b> （C ）11()()22ab>（D ）ln ln a b >3．如果平面向量(20)，=a ，(11)，=b ，那么下列结论中正确的是 （A ）=a b （B）⋅=a b （C ）()-⊥a b b（D ）//a b4．已知直线m ，n 和平面α，如果n α⊂，那么“m n ⊥”是“m α⊥”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件5．在等比数列}{n a 中，31=a ，123+=a a a +9，则456+a a a +等于（A ）9（B ）72（C ）9或72（D ） 9或-726．如果函数()sin f x x x ωω=的两个相邻零点间的距离为2，那么(1)(2)(3)(9)f f f f ++++L 的值为 （A ）1（B ）-1（C（D）7.中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则．例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷(guǐ)影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其它节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的．下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中4115.16寸表示115寸416分（1寸=10分）．已知《易经》中记录的冬至晷影长为130.0寸，夏至晷影长为14.8寸，那么《易经》中所记录的惊蛰的晷影长应为（A ）72.4寸 （B ）81.4寸 （C ）82.0寸 （D ）91.6寸8.对于任何集合S ，用|S |表示集合S 中的元素个数，用()n S 表示集合S 的子集个数. 若集合A ，B 满足条件：|A|=2017，且()()()n A n B n A B +=U ，则|A B |I 等于（A ）2017（B ）2016（C ）2015（D ）2014第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9. i 是虚数单位，复数2i1i-= ． 10. 设椭圆C ：222+1(0)16x y a a =>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆C 上，如果12||+||10PF PF =，那么椭圆C 的离心率为 ．11．在261()x x-的展开式中，常数项是 （用数字作答）．12．若，x y 满足202200，，，x y x y y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩+则=2z x y -的最大值为 ．13．如图，边长为2的正三角形ABC 放置在平面直角坐标系xOy 中，AC 在x 轴上，顶点B 与y 轴上的定点P重合．将正三角形ABC 沿x 轴正方向滚动，即先以顶点C 为旋转中心顺时针旋转，当顶点B 落在x 轴上时，再以顶点B 为旋转中心顺时针旋转，如此继续．当△ABC 滚动到△111A B C 时，顶点B 运动轨迹的长度为 ；在滚动过程中，OB OP ⋅uu u r uu u r的最大值为 ．14．已知()f x 为偶函数，且0≥x 时，][)(x x x f -=（][x 表示不超过x 的最大整数）．设()()()g x f x kx k k =--∈R ，若1k =，则函数()g x 有____个零点；若函数()g x 三个不同的零点，则k 的取值范围是____．DCBA三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题共13分）如图，在△ABC 中，D 是BC 上的点，3AC =，2CD =，AD =sin B . （Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）求边AB 的长.16.（本小题共14分）如图所示的多面体中，面ABCD 是边长为2的正方形，平面PDCQ ⊥平面ABCD ，PD DC ^，E F G ，，分别为棱，，BC AD PA 的中点.（Ⅰ）求证：EG ‖平面PDCQ ； （Ⅱ）已知二面角P BF C --求四棱锥P ABCD -的体积．17.（本小题共14分）数独游戏越来越受人们喜爱，今年某地区科技馆组织数独比赛，该区甲、乙、丙、丁四所学校的学生积极参赛，参赛学生的人数如下表所示：为了解参赛学生的数独水平，该科技馆采用分层抽样的方法从这四所中学的参赛学生中抽取30名参加问卷调查．（Ⅰ）问甲、乙、丙、丁四所中学各抽取多少名学生？（Ⅱ）从参加问卷调查的30名学生中随机抽取2名，求这2名学生来自同一所中学的概率；（Ⅲ）在参加问卷调查的30名学生中，从来自甲、丙两所中学的学生中随机抽取2名，用X 表示抽得甲中学的学生人数，求X 的分布列．CBPGF DE QA18.（本小题共13分）已知函数()e x f x x =与函数21()2g x x ax =+的图象在点(00)，处有相同的切线. （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）设()()()()h x f x bg x b =-∈R ，求函数()h x 在[12]，上的最小值.19.（本小题共13分）已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，且经过点(12)，A ，过点F 的直线与抛物线C 交于P ，Q 两点.（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）O 为坐标原点，直线OP ，OQ 与直线2px =-分别交于S ，T 两点，试判断FS FT ⋅uu r uu u r 是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.20.（本小题共13分）已知无穷数列{}n c 满足1112n n c c +=--. （Ⅰ）若117c =，写出数列{}n c 的前4项； （Ⅱ）对于任意101c ≤≤，是否存在实数M ，使数列{}n c 中的所有项均不大于M ？若存在，求M 的最小值；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）当1c 为有理数，且10c ≥时，若数列{}n c 自某项后是周期数列，写出1c 的最大值.（直接写出结果，无需证明）丰台区2016~2017学年度第一学期期末练习高三数学（理科）参考答案及评分参考2017．01 一、选择题共二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．1i -+ 10．5311． 15 12．4 13．83π； 14．2；1111,,3432⎛⎤⎡⎫-- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U 三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分）解：（Ⅰ）在△ADC 中，由余弦定理，得CD AC AD CD AC C ⋅-+=2cos 222 ……………….2分2123272322=⨯⨯-+=……………….4分因为0C <<π，所以3C π=. ……………….6分 （Ⅱ）因为3C π=，所以23sin =C . ……………….8分 在△ABC 中，由正弦定理，得CABB AC sin sin =， ……………….10分 即2213=AB ，所以边AB 的长为2213. ……………….13分 16.（本小题共14分）证明：（Ⅰ）取PD 中点H ，连接GH ，HC ，因为ABCD 是正方形，所以AD ‖BC ，AD BC =. 因为G,H 分别是PA ,PD 中点，所以GH ‖AD ,12GH AD =. 又因为EC ‖AD 且12EC AD =， 所以GH ‖EC ，GH EC =，所以四边形GHCE 是平行四边形, ………….3分 所以EG ‖HC .又因为EG Ë平面PDCQ ，HC Ì平面PDCQ所以EG ‖平面PDCQ ． ……………….5分 （Ⅱ）因为平面PDCQ ⊥平面ABCD ， 平面PDCQ I 平面ABCD CD =， P D D C ^，PD Ì平面PDCQ ，所以PD ^平面ABCD ． ……………….6分 如图，以D 为原点，射线DA ，DC ，DP 分别为x ,y ,z 轴正方向，建立空间直角坐标系．设PD a =，则 ()()()00002201 P ,,a F ,,B ,,，，．………………7分因为PD ⊥底面ABCD ，所以平面ABCD 的一个法向量为(0,0,1)=m . ……………….8分设平面PFB 的一个法向量为(,,)x y z =n ，()10 PF ,,a u u u r =- ()120 FB ,,u u r=,则0,=0.PF FB ⎧⋅=⎪⎨⋅⎪⎩uu u ruur n n即0+2=0x az x y -=⎧⎨⎩令x =1，得11,2z y a ==-，所以11(1,,)2a=-n ． ……………….10分由已知，二面角P BF C --所以得cos <,>||||⋅===m nm n m n ……………….11分 解得a =2,所以2PD =． ……………….13分因为PD 是四棱锥P ABCD -的高，所以其体积为182433P ABCD V -=⨯⨯=． ……………….14分17．（本小题共14分） 解：（Ⅰ）由题意知，四所中学报名参加数独比赛的学生总人数为100名， 抽取的样本容量与总体个数的比值为30310010=， 所以甲、乙、丙、丁四所中学各抽取的学生人数分别为9，12，6，3. ………………3分（Ⅱ）设“从30名学生中随机抽取两名学生，这两名学生来自同一所中学”为事件A ，从30名学生中随机抽取两名学生的取法共有230435C =种， ………………5分来自同一所中学的取法共有222291263120C C C C +++=． ………………7分所以1208()43529P A ==． 答：从30名学生中随机抽取两名学生来自同一所中学的概率为829． ………………8分 （Ⅲ）由（Ⅰ）知，30名学生中，来自甲、丙两所中学的学生人数分别为9，6．依题意得，X 的可能取值为0,1,2， ………………9分262151(0)7C P X C === ，119621518(1)35C C P X C === ，2921512(2)35C P X C ===． ……………12分 所以……………….14分18．（本小题共13分）解：（Ⅰ）因为()e e x x f x x '=+，所以(0)1f '=. ……………….2分因为()g x x a '=+，所以(0)g a '=. ……………….4分 因为()f x 与()g x 的图象在（0,0）处有相同的切线，所以(0)(0)f g ''=，所以1a =. …….5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知, 21()2g x x x =+, 令21()()()e 2xh x f x bg x x bx bx =-=--，[1,2]x ∈，则()e e (1)(1)(e )x x x h x x b x x b '=+-+=+-． ……………….6分(1)当0b ≤时，[1,2]x ∀∈，()0h x '>，所以()h x 在[1,2]上是增函数，故()h x 的最小值为3(1)=e 2h b -； ……………….7分 (2)当0b >时，由()=0h x '得，ln x b =， ……………….8分①若ln 1b ≤，即0e b <≤，则[1,2]x ∀∈，()0h x '>，所以()h x 在[1,2]上是增函数，故()h x 的最小值为3(1)=e 2h b -. ……………….9分 ②若1ln 2b <<，即2e e b <<，则(1,ln )x b ∀∈，()0h x '<，(ln 2)x b ∀∈，，()0h x '>， 所以()h x 在(1,ln )b 上是减函数，在(ln 2)b ，上是增函数， 故()h x 的最小值为21(ln )=ln 2h b b b -； ……………….11分 ③若ln 2b ≥，即2e b ≥，则[1,2]x ∀∈，()0h x '<，所以()h x 在[1,2]上是减函数，故()h x 的最小值为2(2)=2e 4h b -. ……………….12分 综上所述，当e b ≤时，()h x 的最小值为3(1)=e 2h b -， 当2e e b <<时，()h x 的最小值为21ln 2b b -， 当2e b ≥时，()h x 的最小值为22e 4b -. ……………….13分19.（本小题共13分）解：（Ⅰ）把点(1,2)A 代入抛物线C 的方程22y px =，得42p =，解得2p =，所以抛物线C 的方程为24y x =. ……………….4分（Ⅱ）因为2p =，所以直线2px =-为1x =-，焦点F 的坐标为(1,0) 设直线PQ 的方程为1x ty =+，211(,)4y P y ，222(,)4y Q y ， 则直线OP 的方程为14y x y =,直线OQ 的方程为24y x y =. ……………….5分 由14,1,y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩得14(1,)S y --，同理得24(1,)T y --． ……………….7分 所以14(2,)FS y =--uu r ，24(2,)FT y =--uu u r ，则12164FS FT y y ⋅=+uu r uu u r ． ……………….9分由21,4,x ty y x =+⎧⎨=⎩得2440y ty --=，所以124y y =-， ……………….11分 则164(4)FS FT ⋅=+-uu r uu u r 440=-=． 所以，FS FT ⋅u u r u u u r的值是定值，且定值为0. ……………….13分20．（本小题共13分） 解：（Ⅰ）12462,,,,77777……………….4分 （Ⅱ）存在满足题意的实数M , 且M 的最小值为1.解法一：猜想10≤≤n c ，下面用数学归纳法进行证明. （1）当1n =时,101c ≤≤，结论成立.（2）假设当)(*N k k n ∈=时结论成立，即10≤≤k c ， 当1+=k n 时,022k c ≤≤ ,所以1121k c -≤-≤, 即0121k c ≤-≤,所以01121k c ≤--≤, 故01121k c ≤--≤. 又因为+1=112k k c c --, 所以+101k c ≤≤,所以1+=k n 时结论也成立.综上,由（1）,（2）知,10≤≤n c 成立 所以1M ≥,当112c =时,可得当2n ≥时, 1n c =,此时, M 的最小值为1 故M 的最小值为1.解法二：当2≥n 时，若存在2,3,4...,k =满足11k c -<,且1k c >. 显然1,21,01≠-k c ，则1211<<-k c 时，1221<-=-k k c c 与1>k c 矛盾； 2101<<-k c 时，121<=-k k c c 与1>k c 矛盾；所以01(2)n c n ≤≤≥ 所以1M ≥,当112c =时,可得当2n ≥时, 1n c =,此时, M 的最小值为1 故M 的最小值为1. ……………………10分（Ⅲ）2 ………………13分（若用其他方法解题，请酌情给分）。

丰台区2016—2017学年度第一学期期末练习高三数学（理科）第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知集合{(2)(1)0}A x x x =∈+-<Z ，{2,B =-1}-，那么AB 等于（A ）{2101}，，，--（B ）{210}，，--（C ）{21}，--（D ）{1}-2．已知0a b >>，则下列不等式一定成立的是（A ）a b <（B ）11a b> （C ）11()()22ab>（D ）ln ln a b >3．如果平面向量(20)，=a ，(11)，=b ，那么下列结论中正确的是（A ）=a b （B）⋅=a b （C ）()-⊥a b b（D ）//a b4．已知直线m ，n 和平面α，如果n α⊂，那么“m n ⊥”是“m α⊥”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件5．在等比数列}{n a 中，31=a ，123+=a a a +9，则456+a a a +等于（A ）9（B ）72（C ）9或72（D ） 9或-726．如果函数()sin f x x x ωω=的两个相邻零点间的距离为2，那么(1)(2)(3)(9)f f f f ++++的值为 （A ）1（B ）-1（C（D）7.中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则．例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷(guǐ)影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其它节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的．下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中4115.16寸表示115寸416分（1寸=10分）．已知《易经》中记录的冬至晷影长为130.0寸，夏至晷影长为14.8寸，那么《易经》中所记录的惊蛰的晷影长应为 （A ）72.4寸（B ）81.4寸（C ）82.0寸（D ）91.6寸8.对于任何集合S ，用|S |表示集合S 中的元素个数，用()n S 表示集合S 的子集个数. 若集合A ，B 满足条件：|A|=2017，且()()()n A n B n A B +=，则|A B |等于（A ）2017（B ）2016（C ）2015（D ）2014第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9. i 是虚数单位，复数2i1i-= ． 10. 设椭圆C ：222+1(0)16x y a a =>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆C 上，如果12||+||10PF PF =，那么椭圆C 的离心率为 ．11．在261()x x-的展开式中，常数项是 （用数字作答）．12．若，x y 满足202200，，，x y x y y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩+则=2z x y -的最大值为 ．13．如图，边长为2的正三角形ABC 放置在平面直角坐标系xOy 中，AC 在x 轴上，顶点B 与y 轴上的定点P 重合．将正三角形ABC 沿x 轴正方向滚动，即先以顶点C 为旋转中心顺时针旋转，当顶点B 落在x 轴上时，再以顶点B 为旋转中心顺时针旋转，如此继续．当△ABC 滚动到△111A B C 时，顶点B 运动轨迹的长度为 ；在滚动过程中，OB OP ⋅的最大值为 ．14．已知()f x 为偶函数，且0≥x 时，][)(x x x f -=（][x 表示不超过x 的最大整数）．设()()()g x f x kx k k =--∈R ，若1k =，则函数()g x 有____个零点；若函数()g x 三个不同的零点，则k 的取值范围是DCBA____．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题共13分）如图，在△ABC 中，D 是BC 上的点，3AC =，2CD =，AD =sin B = （Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）求边AB 的长.16.（本小题共14分）如图所示的多面体中，面ABCD 是边长为2的正方形，平面PDCQ ⊥平面ABCD ，PD DC ，E F G ，，分别为棱，，BC AD PA 的中点.（Ⅰ）求证：EG ‖平面PDCQ ； （Ⅱ）已知二面角P BF C， 求四棱锥PABCD 的体积．17.（本小题共14分）数独游戏越来越受人们喜爱，今年某地区科技馆组织数独比赛，该区甲、乙、丙、丁四所学校的学生积极参赛，参赛学生的人数如下表所示：为了解参赛学生的数独水平，该科技馆采用分层抽样的方法从这四所中学的参赛学生中抽取30名参加问卷调查．CBPGF DE QA（Ⅰ）问甲、乙、丙、丁四所中学各抽取多少名学生？（Ⅱ）从参加问卷调查的30名学生中随机抽取2名，求这2名学生来自同一所中学的概率；（Ⅲ）在参加问卷调查的30名学生中，从来自甲、丙两所中学的学生中随机抽取2名，用X 表示抽得甲中学的学生人数，求X 的分布列．18.（本小题共13分）已知函数()e x f x x =与函数21()2g x x ax =+的图象在点(00)，处有相同的切线. （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）设()()()()h x f x bg x b =-∈R ，求函数()h x 在[12]，上的最小值.19.（本小题共13分）已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，且经过点(12)，A ，过点F 的直线与抛物线C 交于P ，Q 两点.（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）O 为坐标原点，直线OP ，OQ 与直线2px =-分别交于S ，T 两点，试判断FS FT ⋅是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.20.（本小题共13分）已知无穷数列{}n c 满足1112n n c c +=--. （Ⅰ）若117c =，写出数列{}n c 的前4项； （Ⅱ）对于任意101c ≤≤，是否存在实数M ，使数列{}n c 中的所有项均不大于M ？若存在，求M 的最小值；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）当1c 为有理数，且10c ≥时，若数列{}n c 自某项后是周期数列，写出1c 的最大值.（直接写出结果，无需证明）丰台区2016~2017学年度第一学期期末练习 高三数学（理科）参考答案及评分参考2017．01 一、选择题共二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．1i -+ 10．5311． 15 12．4 13．83π；．2；1111,,3432⎛⎤⎡⎫-- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分）解：（Ⅰ）在△ADC 中，由余弦定理，得CDAC AD CD AC C ⋅-+=2cos 222 ……………….2分2123272322=⨯⨯-+=……………….4分因为0C <<π，所以3C π=. ……………….6分 （Ⅱ）因为3C π=，所以23sin =C . ……………….8分 在△ABC 中，由正弦定理，得CABB AC sin sin =， ……………….10分 即2213=AB ，所以边AB 的长为2213. ……………….13分 16.（本小题共14分）证明：（Ⅰ）取PD 中点H ，连接GH ，HC ， 因为ABCD 是正方形，所以AD ‖BC ，ADBC .因为G,H 分别是PA ,PD 中点，所以GH ‖AD ,12GH AD . 又因为EC ‖AD 且12EC AD ， 所以GH ‖EC ，GHEC ，所以四边形GHCE 是平行四边形, ………….3分 所以EG ‖HC . 又因为EG平面PDCQ ，HC平面PDCQ所以EG ‖平面PDCQ ． ……………….5分 （Ⅱ）因为平面PDCQ ⊥平面ABCD ， 平面PDCQ平面ABCDCD ，PDDC ，PD 平面PDCQ ，所以PD 平面ABCD ． ……………….6分如图，以D 为原点，射线DA ，DC ，DP 分别为x ,y ,z 轴正方向，建立空间直角坐标系．设PDa ，则 00002201P ,,a F ,,B ,,，，．………………7分因为PD ⊥底面ABCD ，所以平面ABCD 的一个法向量为(0,0,1)=m . ……………….8分 设平面PFB 的一个法向量为(,,)x y z =n ，10 PF ,,a 120 FB ,,,则0,=0.PF FB ⎧⋅=⎪⎨⋅⎪⎩n n即0+2=0x az x y -=⎧⎨⎩令x =1，得11,2z y a ==-，所以11(1,,)2a=-n ． ……………….10分由已知，二面角PBF C， 所以得cos <,>||||⋅==m nm n m n (11)分解得a =2,所以2PD ． ……………….13分因为PD 是四棱锥PABCD 的高，所以其体积为182433P ABCD V -=⨯⨯=． ……………….14分17．（本小题共14分） 解：（Ⅰ）由题意知，四所中学报名参加数独比赛的学生总人数为100名， 抽取的样本容量与总体个数的比值为30310010=， 所以甲、乙、丙、丁四所中学各抽取的学生人数分别为9，12，6，3. ………………3分（Ⅱ）设“从30名学生中随机抽取两名学生，这两名学生来自同一所中学”为事件A ，从30名学生中随机抽取两名学生的取法共有230435C =种， ………………5分 来自同一所中学的取法共有222291263120C C C C +++=． ………………7分所以1208()43529P A ==． 答：从30名学生中随机抽取两名学生来自同一所中学的概率为829． ………………8分 （Ⅲ）由（Ⅰ）知，30名学生中，来自甲、丙两所中学的学生人数分别为9，6．依题意得，X 的可能取值为0,1,2， ………………9分262151(0)7C P X C === ，119621518(1)35C C P X C === ，2921512(2)35C P X C ===． ……………12分 所以X 的分布列为：……………….14分18．（本小题共13分）解：（Ⅰ）因为()e e xxf x x '=+，所以(0)1f '=. ……………….2分因为()g x x a '=+，所以(0)g a '=. ……………….4分 因为()f x 与()g x 的图象在（0,0）处有相同的切线，所以(0)(0)f g ''=，所以1a =. …….5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知, 21()2g x x x =+, 令21()()()e 2xh x f x bg x x bx bx =-=--，[1,2]x ∈，则()e e (1)(1)(e )xxxh x x b x x b '=+-+=+-． ……………….6分(1)当0b ≤时，[1,2]x ∀∈，()0h x '>，所以()h x 在[1,2]上是增函数，故()h x 的最小值为3(1)=e 2h b -； ……………….7分 (2)当0b >时，由()=0h x '得，ln x b =， ……………….8分①若ln 1b ≤，即0e b <≤，则[1,2]x ∀∈，()0h x '>，所以()h x 在[1,2]上是增函数，故()h x 的最小值为3(1)=e 2h b -. ……………….9分 ②若1ln 2b <<，即2e e b <<，则(1,ln )x b ∀∈，()0h x '<，(ln 2)x b ∀∈，，()0h x '>，所以()h x 在(1,ln )b 上是减函数，在(ln 2)b ，上是增函数， 故()h x 的最小值为21(ln )=ln 2h b b b -； ……………….11分 ③若ln 2b ≥，即2e b ≥，则[1,2]x ∀∈，()0h x '<，所以()h x 在[1,2]上是减函数，故()h x 的最小值为2(2)=2e 4h b -. ……………….12分 综上所述，当e b ≤时，()h x 的最小值为3(1)=e 2h b -， 当2e e b <<时，()h x 的最小值为21ln 2b b -， 当2e b ≥时，()h x 的最小值为22e 4b -. ……………….13分19.（本小题共13分）解：（Ⅰ）把点(1,2)A 代入抛物线C 的方程22y px =，得42p =，解得2p =，所以抛物线C 的方程为24y x =. ……………….4分（Ⅱ）因为2p =，所以直线2px =-为1x =-，焦点F 的坐标为(1,0) 设直线PQ 的方程为1x ty =+，211(,)4y P y ，222(,)4y Q y ， 则直线OP 的方程为14y x y =,直线OQ 的方程为24y x y =. ……………….5分 由14,1,y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩得14(1,)S y --，同理得24(1,)T y --． ……………….7分所以14(2,)FS y =--，24(2,)FT y =--，则12164FS FT y y ⋅=+． ……………….9分 由21,4,x ty y x =+⎧⎨=⎩得2440y ty --=，所以124y y =-， ……………….11分 则164(4)FS FT ⋅=+-440=-=． 所以，FS FT ⋅的值是定值，且定值为0. ……………….13分20．（本小题共13分） 解：（Ⅰ）12462,,,,77777……………….4分 （Ⅱ）存在满足题意的实数M , 且M 的最小值为1. 解法一：猜想10≤≤n c ，下面用数学归纳法进行证明. （1）当1n =时,101c ≤≤，结论成立.（2）假设当)(*N k k n ∈=时结论成立，即10≤≤k c ，当1+=k n 时,022k c ≤≤ ,所以1121k c -≤-≤, 即0121k c ≤-≤,所以01121k c ≤--≤, 故01121k c ≤--≤. 又因为+1=112k k c c --, 所以+101k c ≤≤,所以1+=k n 时结论也成立.综上,由（1）,（2）知,10≤≤n c 成立 所以1M ≥,当112c =时,可得当2n ≥时, 1n c =,此时, M 的最小值为1 故M 的最小值为1.解法二：当2≥n 时，若存在2,3,4...,k =满足11k c -<,且1k c >.aa 显然1,21,01≠-k c ，则 1211<<-k c 时，1221<-=-k k c c 与1>k c 矛盾； 2101<<-k c 时，121<=-k k c c 与1>k c 矛盾； 所以01(2)n c n ≤≤≥所以1M ≥,当112c =时,可得当2n ≥时, 1n c =,此时, M 的最小值为1 故M 的最小值为1.……………………10分 （Ⅲ）2 ………………13分（若用其他方法解题，请酌情给分）欢迎您的下载，资料仅供参考！。