05-4结构力学 第五章 超静定结构的内力和位移计算(5.5节 力矩分配法)ok

j1 (S12 S13 S14 ) M1Fj
j
j1
M 1Fj
3
刚结点 M12 1 M14
S
j
j
1j
设 M M
F 1 j
F 1j
称为刚结点1的不平衡力矩
则
M1F j1 S1 j
j
M13
（3）力矩分配系数
j1已知，则刚结点转角引起的近端弯矩分别为
M1F j1 S1 j
D
3.45 1.7 4.89
M图(kN.m)
-0.5 0.15 0.15 0.2 43.45 3.45 -46.9
-1.0 -0.5 -0.7 24.4 -9.8 -14.6 -4.65 -0.25 -4.90
1.65 0.07 1.72
F
E
例6. 带悬臂段的结构的力矩分配法。
50 20.8
A
B 1m A B
F M13 13 (M1F ) M13
近端弯矩 = 分配弯矩 + 固端弯矩 远端弯矩计算公式
F M 21 C12 12 (M1F ) M 21 F M 41 C14 14 (M1F ) M 41
F M 31 C13 13 (M1F ) M 31
远端弯矩 = 传递弯矩 + 固端弯矩
解：
SAB=4i
AB
SAC=3i
SAD=iAD=2i
AC
4i 4 4i 3i 2i 9
AD
3i 3 4i 3i 2i 9 2i 2 4i 3i 2i 9
结点力偶，顺时针为负。 -90 +90
悬臂段的处理
悬臂段的内力为静定，可切掉。
例3. 用力矩分配法计算图示连续梁，并作M图。 167.2 300 A EI 200kN115.7
D
解： 固定刚结点 计算分配系数
0
AB=4/9
AC=3/9
AD=2/9
0
计算固端弯矩
F M BA 40kN.m F M AD 75kN.m F M AB 40kN.m F M AD 25kN.m
C
力矩分配与传递
结点不平衡力矩
反号
-35 +35
例1. 作力矩分配法求解图示刚架，并作M图。 解： 固定刚结点 计算分配系数 计算固端弯矩 力矩分配与传递 作M图
F M12 F M13 F M14 可查表得到。 (固端弯矩)
因转角产生的弯矩：
F
2 i12 1 i14
q
4
M 12 S12j1
M 1 S13j1 3
M 1 S14j1 4
各杆在1端的弯矩(近端弯矩) ：
F M 12 M12 M12 F M 13 M13 M13 F M 14 M14 M14
B
40 7.8 32.2
1/2
AB AC AD
4/9 40 15.5 55.5 3/9 2/9 0 75 25 11.7 7.8 1 7.8 32.8 11.7 67.2
D
0
0
C
32.2 55.5 67.2 32.8
11.7
结论：.单结点的力矩分配与传递， 只计算一轮，得到精确解
例2. 图示刚架，结点作用一力偶，用力矩分配法求解，并作M图。
(1) B点附加约束，计 算固端弯矩
F M AB 150kN m F M BA 150kN m
B
3m
20kN/m 90 EI 6m M图(kN· m) 20kN/m
C
F M BC 90kN m
3m
(2) 计算分配系数 设i =EI/6 C SBA=4i SBC=3i
4i 4 4i 3i 7 3i 3 4i 3i 7
F M 41 C14 14 (M1F ) M 41
远端弯矩 = 传递弯矩 + 固端弯矩
例1. 用力矩分配法求解图示刚架，并作M图。
解： 固定刚结点
计算分配系数 iAB=EI/4=i SAB=4i iAC=EI/4=i SAC=3i iAD=2EI/4=2i SAD=iAD=2i
AB=4/9
5.5.2 力矩分配法的基本原理
F
2 i12 1 i13 3 力矩分配法计算步骤 固定刚结点 – 附加刚臂约束
计算固端弯矩 计算刚结点不平衡力矩 刚结点不平衡力矩反号进行分配 将分配弯矩传递到远端 求和得到最后的杆端弯矩值 作M图
q i14
4
近端弯矩计算公式
F M12 12 (M1F ) M12
多结点的力矩分配法：每个刚结点上都有不平衡力矩，进 行力矩分配时，每次针对一个结点进行力矩分配与传递，
再针对另一个刚结点进行力矩分配与传递。计算多轮后，
逐渐逼近精确解。达到精度要求后，可停止计算。最后求 和得出各杆端最后的弯矩值。
例4. 图示多跨等截面连续梁，用力矩分配法作其弯矩图。
80kN i=2 3m 3m 30kN/m i=1 10m 3m 160kN i=1 5m
M13 13 (M1F )
3）传递系数
远端弯矩与近端弯矩的比值称为传递系数，用C表示。
jA=1
4i A B 2i
C=1/2=0.5
jA=1
3i A
C=0
B
0
jA=1
i A
C= 1
B i
5.5.2 力矩分配法的基本原理
F
2 i12 1 i13 3
q
i14
4
近端弯矩
F M 12 M12 M12 F M 13 M13 M13 F M 14 M14 M14
i13
3
（2）由刚结点的平衡条件确定刚结点的转角
根据平衡条件
F
2
q 1 i13 i14
M
1
0
M12 M13 M14 0
4
F F F M12 M12 M13 M13 M14 M14 0
i12
F F F 即：M12 M13 M14 M12 M13 M14 0
MB=31.25－20.83=10.42
A ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ 4EI B
20 20kN20kN
i=4
4EI i=4 2EI i=2.5
C
2EI i=2.5
F
MC=20.83－20－2.2=－1.37 5m 结点 杆端 μ A AB 0 E EB B BA 0.316
E
5m
1m
BE 0.263
0.02 0.29
－0.05 －0.10 －0.14 －0.18 －0.09
0.03 －0.01 －0.01 －0.01 M 0 －1.42 －2.85 27.80 －24.96 19.94 0.06
200kN
A -150 150
B -90
BA
BC
4/7 A -150
-17.2 150 -34.3
3/7
B -90 -25.7 0 C
(3) 力矩分配与传递
60 - 60
-167.2
115.7
-115.7
0
(4) 作M图
5.5.3 多结点力矩分配法
力矩分配法适用范围：连续梁与无侧移刚架。
M12 12 (M1F ) M13 13 (M1F )
M14 14 (M1F )
F F F M1F M1Fj M12 M13 M14 0
近端弯矩计算公式
F M12 12 (M1F ) M12
j
刚结点1的不平衡力矩
F M14 14 (M1F ) M14
j
S12 M 12 S12j1 ( M 1F ) S1 j

j
M 12 S12j1
M 13 S13j1
M 14 S14j1
M 14 S14j1
M 13 S13j1
S13 ( M 1F ) S1 j
j
S14 ( M 1F ) S1 j
0
jA=1
B A
远端悬臂：SAB=0
2）力矩分配系数 （1）由转角产生的杆端弯矩
设荷载作用下1结点产生的转角为j1，则12 13 14杆的转角在1结点 处均为j1。它们的转动刚度分别为S12=4i12、S13=i13、S14=3i14，各杆 在1端因转角产生的弯矩记为 M12 M13 M14 荷载产生的弯矩记为
计算固端弯矩
F M BA 40kN.m F M AB 40kN.m
AC=3/9
AD=2/9
F M DA 25kN.m
F M AD 75kN.m
例1. 作力矩分配法求解图示刚架，并作M图。
B
40 7.8 32.2
1/2
AB AC AD
4/9 40 15.5 55.5 3/9 2/9 0 75 25 11.7 7.8 1 7.8 32.8 11.7 67.2
分配系数 固端弯矩
分配 与 传递
0.6 0.4 90 -250 96 64 → - 23.6 ← 14.2 9.4 → -1.2 0.7 0.5 200.9 -200.9
120
0.5 0.5 250 -187.5 112.5 32 -47.3 -47.3 → -23.6 4.7 -2.3 0.3 -0.1 -2.3 -0.2 87.7
5.5
5.5.1 基本概念
力矩分配法
1 力矩分配法的特点
1）位移法中派生出的一种方法，属于近似解法，无需解联立方程； 2）工程应用广，结果精度随计算轮次增加而提高，且收敛于精确解； 3）适用于分析连续梁和结点无线位移的超静定刚架。