第三章信号检测与估计理论4

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设N次观测信号xk所构成的N维观测矢量为 xN=(x1,x2,…,xN)T, 其似然比函数为
如果假设各次观测是相互统计独立的，则序 列检测的似然比函数可以表示为：
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进一步写成
下面确定似然检测门限0和1
设P(H1 | H0)与P(H0 | H1)的约束值分别为
P(H1 | H0)＝
P(H0 | H1)＝
则信号的序列似然检验如下
H1成立
H0成立
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根据下一次观测进行检验
下 面 推 导 以 、 表 示 两 个 检 测 门 限 0 和 1 对 于 给 定 的 、 ， 有
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因 为 有 1 － ＝ P (H 1 |H 1 )成 立 ， 由 其 物 理 意 义 知 道 故 必 须 满 足 3 .8 .7 式 ， 即 （ x N ） 1 成 立 ， 代 入 3 .8 .1 1 得
(1) 信号的序列检测的基本概念； (2）信号的序列检测的平均观测次数；
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对于最常用的二元信号的序列检测，其划分问题如下
继续判决
图3.20 序列检测的判决域
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R Ri,Ri Rj，ij
i=0
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Байду номын сангаас
检测门限1 检测门限2
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信号序列检测使用的准则 为了实现信号的序列检测，一般采用修正
的奈曼—皮尔逊准则，在该准则下，信号的序 列检测是在给定的性能指标P(H0|H1)和P(H1|H0) 的条件下，从获得第一个观测量x1开始进行似然 比检验，检验的两个检测门限是由两个错误判 决概率P(H0|H1)和P(H1|H0)的值计算出来的。
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例3.8.1 在二元数字通信系统中,两个假设下的输出
信号分别为 H 0 ： xk nk H1： xk 1 nk 信 号 在 通 信 系 统 传 输 过 程 中 叠 加 了 高 斯 噪 声 n k～ N(0,1)， 各次观测统计独立，且观测是顺序进行的，试确定下
列约束条件下 P ( H 1 | H 0 )＝ 0.1; P ( H 0 | H 1 )＝0.1 (1)序 列 检 测 判 决 表 示 式
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所 以 ,在 n次 观 测 中 ， 对 数 似 然 比 函 数 ln(xn)落 在 ln0和 ln1之 间 的 概 率 ， 即 ln(xk)全 部 落 在 ln0 和 ln1 之 间 的 概 率 为
因 此 ， 当 N n 时 有
这 说 明 ， 当 n 时 ， ln(xn)落 在 ln0和 ln1
3.8 信号的序列检测
总结分析：(1)前面讨论的信号的统计检测问题(2元、
M元)，观测次数N是固定的，在达到规定的观测次数后，
强制作出M个假设中其中一个假设Hj成立的判决，这种判 决方式通常称为硬判决。
(2)信号检测的性能分析表明，功率信噪比与观测次数
N成正比。 d2 NA2 d2 N
n2
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通常情况下，观测是顺序进行的，即各次的 观测信号xk是顺序得到的，这样如果我们事先不 规定观测的次数N，而按照实际情况，采用边观 测边判决的方式，如果观测到第k次还不能作出 满意的判决，则可以不判决，而继续进行k+1次 观测。称之为信号的序列检测。
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信号序列检测的好处 信号的序列检测使所需平均意义上的检测时
间相对于固定观测次数N的检测时间有所减小。 即在给定检测性能指标的情况下，它所用的平均 观测次数最少，平均检测时间最短。
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3.8.1 信号序列检测的基本概念
在进行信号的序列检测时，若不预先规定对信号的检测 次数N，而是在获得第一个观测信号x1时就开始判决所能达 到的指标，如果在满足性能指标要求的前提下能做出判决， 则信号检测过程便结束，否则继续进行下一步观测,进一步 判决。
一般很小，所以可以近似认为终止观测时的对数
似然比函数ln(xN )只取两个值ln1和ln0 因此ln(xN )的条件均值为
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如 果 假 设 在 每 一 个 假 设 条 件 下 ， 观 测 量 x k 都 是 独 立 同 分 布 的 ， 则
（ x ） 是 任 一 次 观 测 的 似 然 比 函 数 ， 因 此 在 假 设 H 1
得 两 检 测 门 限 0和 1
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考 虑 到 上 面 是 以 不 等 式 形 式 给 出 的 ， 我 们 可 以 得 到
近 似 设 计 0 和 1
取上限
取下限
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如 用 对 数 形 式 则
对 应 检 测 门 限 为 l n0 和 l n1
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3.8.2信号序列检测的平均观测次数
信号序列检测的平均观测次数是该 检测方式的一个重要参数，下面计算 E(N|H1)和E(N|H0)，其中N是终止观测的 观测次数，它是个随机变量。
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如果信号序列检测到第N次观测时终 止，即满足
ln(xN)ln1 ln(xN)ln0
判 决 H 1 成 立 判 决 H 0成 立
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可得假设H1为真时 可得假设H0为真时
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由于随着观测次数N的增加，ln(xN－1)到ln(xN )
的每一步增量
ln(xN－1)=ln(xN )-ln(xN－1)
为 真 的 条 件 下 ， 有
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将 3 .8 .2 2 代 入 3 .8 .2 6 式 ， 则 在 假 设 H 1 为 真 下 ， 所 需 的 平 均 观 测 次 数 为
同 理 ， 在 假 设 H 0 为 真 下 ， 所 需 的 平 均 观 测 次 数 为
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对 应 上 图 ， 对 于 信 号 的 序 列 检 测 ln0<ln(xN)ln1 则 不 能 作 出 判 决 ， 需 要 进 行 下 一 次 观 测 ， ln(xk)落 在 ln0和 ln1之 间 的 概 率 一 般 小 于 1 ， 即 有
之 间 而 不 能 判 决 的 概 率 等 于 0,即 信 号 的 序 列 检 测
是 有 终 止 的 。
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注解：虽然信号的序列检测是有终止的，但有时 候观测次数太大，这时候我们需要规定一个观测次数 的上限N* ；超过N*则转为固定观测次数的判决方式， 称为可截断的序列检测。
结论：对于给定的错误判决概率约束条件，这种 序列检测方式所需的平均观测次数E(N|H1)和E(N|H0) 是最少的。
(2)在 各 个 假 设 条 件 下 ， 各 个 观 测 次 数 N的 平 均 值 。
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解 ： （ 1） 若 进 行 到 第 N次 观 测 ， 则 似 然 比 函 数 为