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东城区2012-2013学年度第一学期期末教学统一检测高三数学 （理科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）设集合{1,2}A =，则满足{1,2,3}AB =的集合B 的个数是（A ）1 (B) 3 (C)4 (D)8 （2）已知a 是实数，i1ia +-是纯虚数，则a 等于 （A ）1- （B ）1 （C（D）（3）已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若36a =，312S =，则公差d 等于（A ）1 （B ）53（C ）2 （D ）3 （4）执行如图所示的程序框图，输出的k 的值为（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7（5）若a ，b 是两个非零向量，则“+=-a b a b ”是“⊥a b ”的 （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（6）已知x ，y 满足不等式组0,0,,2 4.x y x y s y x ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩当35s ≤≤时，目标函数y x z 23+=的最大值的变化范围是（A ）[6,15]（B ）[7,15] （C ）[6,8] （D ）[7,8]（7）已知抛物线22y px =的焦点F 与双曲线22179x y -=的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A在抛物线上且|||AK AF =，则△AFK 的面积为（A ）4 （B ）8 （C ）16 （D ）32（8）给出下列命题：①在区间(0,)+∞上，函数1y x -=,12y x =,2(1)y x =-,3y x =中有三个是增函数；②若log 3log 30m n <<，则01n m <<<；③若函数()f x 是奇函数，则(1)f x -的图象关于点(1,0)A 对称；④已知函数233,2,()log (1),2,x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩则方程1()2f x =有2个实数根，其中正确命题的个数为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
东城区2012-2013学年度第一学期期末教学统一检测高三数学 （理科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。
考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷(选择题 共40分)一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）设集合{1,2}A =，则满足{1,2,3}AB =的集合B 的个数是（A)1 (B) 3(C)4（D ）8 【答案】C【KS5U 解析】因为{1,2,3}A B =，所以3B ∈,所以{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}B =共有4个，选C.(2）已知a 是实数，i1ia +-是纯虚数，则a 等于(A ）1- (B)1 （ （D ）【答案】B【KS5U 解析】因为i 1ia +-是纯虚数，所以设i,0,1ia bib b R +=≠∈-。
所以(1)a i bi i b bi +=-=+，所以1a b ==，选B 。
（3）已知{}na 为等差数列，其前n 项和为nS ，若36a=，312S =，则公差d等于(A)1 (B)53（C ）2 (D ）3【答案】C【KS5U 解析】因为36a =，312S =，所以13133()3(6)1222a a a S ++===，解得12a =，所使用316222aa d d ==+=+，解得2d =，选C 。
(4）执行如图所示的程序框图，输出的k 的值为（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D)7 【答案】A【KS5U 解析】第一次循环得0021,1S k =+==；第二次循环得1123,2S k =+==;第三次循环得33211,3S k =+==，第四次循环得111122059,4S k =+==，但此时100S <，不满足条件，输出4k =，所以选A 。
东城区2012-2013学年度第一学期期末教学统一检测高三数学 〔理科〕学校_____________班级_____________________________考号___________本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。
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第Ⅰ卷〔选择题 共40分〕一、本大题共8小题，每题5分，共40分。
在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
〔1〕设集合{1,2}A =，则满足{1,2,3}AB =的集合B 的个数是〔A 〕1 (B) 3 (C)4 (D)8 〔2〕已知a 是实数，i1ia +-是纯虚数，则a 等于 〔A 〕1- 〔B 〕1 〔C 〕2 〔D 〕2-〔3〕已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，假设36a =，312S =，则公差d 等于〔A 〕1 〔B 〕53〔C 〕2 〔D 〕3 〔4〕执行如下图的程序框图，输出的k 的值为〔A 〕4 〔B 〕5 〔C 〕6 〔D 〕7〔5〕假设a ，b 是两个非零向量，则“+=-a b a b ”是“⊥a b ”的 〔A 〕充分不必要条件 〔B 〕必要不充分条件 〔C 〕充要条件 〔D 〕既不充分也不必要条件〔6〕已知x ，y 满足不等式组0,0,,2 4.x y x y s y x ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩当35s ≤≤时，目标函数y x z 23+=的最大值的变化范围是〔A 〕[6,15]〔B 〕[7,15] 〔C 〕[6,8] 〔D 〕[7,8]〔7〕已知抛物线22y px =的焦点F 与双曲线22179x y -=的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上且||2||AK AF =，则△AFK 的面积为〔A 〕4 〔B 〕8 〔C 〕16 〔D 〕32〔8〕给出以下命题：①在区间(0,)+∞上，函数1y x -=,12y x =,2(1)y x =-,3y x =中有三个是增函数；②假设log 3log 30m n <<，则01n m <<<；③假设函数()f x 是奇函数，则(1)f x -的图象关于点(1,0)A 对称；④已知函数233,2,()log (1),2,x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩则方程1()2f x =有2个实数根，其中正确命题的个数为〔A 〕1 〔B 〕2 〔C 〕3 〔D 〕4第Ⅱ卷〔共110分〕二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分。
北京市东城区2013高三上学期期末考试数学理试卷1 / 11东城区2012-2013学年度第一学期期末教学统一检测高三数学 （理科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
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第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）设集合{1,2}A =，则满足{1,2,3}AB =的集合B 的个数是（A ）1 (B) 3 (C)4 (D)8 （2）已知a 是实数，i1ia +-是纯虚数，则a 等于 （A ）1- （B ）1 （C（D） （3）已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若36a =，312S =，则公差d 等于（A ）1 （B ）53（C ）2 （D ）3 （4）执行如图所示的程序框图，输出的k 的值为（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7（5）若a ，b 是两个非零向量，则“+=-a b a b ”是“⊥a b ”的 （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（6）已知x ，y 满足不等式组0,0,,2 4.x y x y s y x ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩当35s ≤≤时，目标函数y x z 23+=的最大值的变化范围是（A ）[6,15]（B ）[7,15] （C ）[6,8]（D ）[7,8]（7）已知抛物线22y px =的焦点F 与双曲线22179x y -=的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A在抛物线上且|||AK AF =，则△AFK 的面积为（A ）4 （B ）8 （C ）16 （D ）32（8）给出下列命题：①在区间(0,)+∞上，函数1y x -=,12y x =,2(1)y x =-,3y x =中有三个是增函数；②若log 3log 30m n <<，则01n m <<<；③若函数()f x 是奇函数，则(1)f x -的图象关于点(1,0)A 对称；④已知函数233,2,()log (1),2,x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩则方程 1()2f x =有2个实数根，其中正确命题的个数为 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市西城区2011 — 2012学年度第一学期期末试卷高三数学（理科） 2012.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．复数i1i =+（ ） （A ）1i 22+ （B ）1i 22-（C ）1i22-+ （D ）1i 22-- 2．已知圆的直角坐标方程为2220x y y +-=．在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，该圆的方程为（ ） （A ）2cos ρθ= （B ）2sin ρθ= （C ）2cos ρθ=-（D ）2sin ρθ=-3．已知向量(3,1)=a ，(0,2)=-b .若实数k 与向量c 满足2k +=a b c ，则c 可以是（ ） （A ）(3,1)-（B ）(1,3)--（C ）(3,1)--（D ）(1,3)-4．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ） （A ）3 （B ）6- （C ）10 （D ）15-5．已知点(,)P x y 的坐标满足条件1,2,220,x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩那么22x y +的取值范围是（ ）（A ）[1,4] （B ）[1,5] （C ）4[,4]5（D ）4[,5]56．已知,a b ∈R ．下列四个条件中，使a b >成立的必要而不充分的条件是（ ）（A ）1a b >- （B ）1a b >+ （C ）||||a b >（D ）22a b >7．某几何体的三视图如图所示，该几何体的 体积是（ ） （A ）8 （B ）83（C ）4 （D ）438．已知点(1,1)A --．若曲线G 上存在两点,B C ，使ABC △为正三角形，则称G 为Γ型曲线．给定下列三条曲线：① 3(03)y x x =-+≤≤； ② 22(20)y x x =--≤≤； ③ 1(0)y x x=->．其中，Γ型曲线的个数是（ ） （A ）0 （B ）1（C ）2（D ）3第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9. 函数21()log f x x=的定义域是______．10．若双曲线221x ky -=的一个焦点是(3,0)，则实数k =______．11．如图，PA 是圆O 的切线，A 为切点，PBC 是圆O 的割线．若32PA BC =，则PBBC=______．12. 已知{}n a 是公比为2的等比数列，若316a a -=，则1a = ；22212111na a a +++=L ______．13. 在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若25b =，4B π∠=， 5sin C =，则c = ；a = ．14. 有限集合P 中元素的个数记作card()P .已知card()10M =，A M ⊆，B M ⊆，A B =∅I ，且card()2A =，card()3B =.若集合X 满足A X M ⊆⊆，则集合X 的个数是_____；若集合Y 满足Y M ⊆，且A Y ⊄，B Y ⊄，则集合Y 的个数是_____.（用数字作答）三、解答题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15.（本小题满分13分）已知函数2()3sin sin cos f x x x x =+，π[,π]2x ∈.（Ⅰ）求()f x 的零点； （Ⅱ）求()f x 的最大值和最小值.16.（本小题满分13分）盒中装有7个零件，其中2个是使用过的，另外5个未经使用.（Ⅰ）从盒中每次随机抽取1个零件，每次观察后都将零件放回盒中，求3次抽取中恰有1次抽到使用过的零件的概率；（Ⅱ）从盒中随机抽取2个零件，使用后．．．放回盒中，记此时盒中使用过的零件个数为X ，求X 的分布列和数学期望. 17．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，12AB BC AA ==，90ABC ︒∠=，D 是BC 的中点．（Ⅰ）求证：1A B ∥平面1ADC ； （Ⅱ）求二面角1C AD C --的余弦值；（Ⅲ）试问线段11A B 上是否存在点E ，使AE 与1DC 成60︒角？若存在，确定E 点位置，若不存在，说明理由．18.（本小题满分13分）已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b +=>>的一个焦点是(1,0)F ，且离心率为12.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设经过点F 的直线交椭圆C 于,M N 两点，线段MN 的垂直平分线交y 轴于点0(0,)P y ，求0y 的取值范围.19.（本小题满分14分）已知函数)1ln(21)(2x ax x x f +--=，其中a ∈R . （Ⅰ）若2x =是)(x f 的极值点，求a 的值； （Ⅱ）求)(x f 的单调区间；（Ⅲ）若)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0，求a 的取值范围.20.（本小题满分13分）已知数列12:,,,n n A a a a L .如果数列12:,,,n n B b b b L 满足1n b a =，11k k k k b a a b --=+-， 其中2,3,,k n =L ，则称n B 为n A 的“衍生数列”.（Ⅰ）若数列41234:,,,A a a a a 的“衍生数列”是4:5,2,7,2B -，求4A ；（Ⅱ）若n 为偶数，且n A 的“衍生数列”是n B ，证明：n B 的“衍生数列”是n A ；（Ⅲ）若n 为奇数，且n A 的“衍生数列”是n B ，n B 的“衍生数列”是n C ，….依次将数列n A ，n B ，n C ，…的第(1,2,,)i i n =L 项取出，构成数列:,,,i i i i a b c ΩL . 证明：i Ω是等差数列.北京市西城区2011 — 2012学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准2012.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. A ；2. B ；3. D ；4. C ；5. D ；6. A ；7. D ；8. C .二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9.{|01x x <<，或1}x >； 10.18； 11.12；12.2，1(14)3n--； 13.，6； 14.256，672.注：12、13、14题第一问2分，第二问3分；9题结论正确但表示形式非集合，扣1分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分. 15.（本小题满分13分） 解法一：（Ⅰ）解：令()0f x =，得 sin cos )0x x x ⋅+=， ………………1分所以sin 0x =，或tan 3x =-. ………………3分 由 sin 0x =，π[,π]2x ∈，得πx =； ………………4分由 tan 3x =-，π[,π]2x ∈，得5π6x =. ………………5分 综上，函数)(x f 的零点为5π6或π.（Ⅱ）解：1π()1cos2sin 2sin(2)2232f x x x x =-+=-+（） ………………8分 因为π[,π]2x ∈，所以π2π5π2[]333x -∈,. ………………9分当π2π233x -=，即π2x =时，)(x f ………………11分当π3π232x -=，即11π12x =时，)(x f 的最小值为1-. ………………13分解法二：（Ⅰ）解：1π()1cos2sin 2sin(2)2232f x x x x =-+=-+（）………………3分 令()0f x =，得πsin(2)32x -=-. ………………4分 因为π[,π]2x ∈，所以π2π5π2[]333x -∈,. ………………5分 所以，当π4π233x -=，或π5π233x -=时，()0f x =. ………………7分即 5π6x =或πx =时，()0f x =.综上，函数)(x f 的零点为5π6或π. ………………9分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，当π2π233x -=，即π2x =时，)(x f………………11分 当π3π232x -=，即11π12x =时，)(x f的最小值为1-. ………………13分16.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：记“从盒中随机抽取1个零件，抽到的是使用过的零件”为事件A ，则2()7P A =. ………………2分 所以3次抽取中恰有1次抽到使用过的零件的概率12325150C ()()77343P ==. ……5分（Ⅱ）解：随机变量X 的所有取值为2,3,4. ………………7分2227C 1(2)C 21P X ===； 115227C C 10(3)C 21P X ===； 2527C 10(4)C 21P X ===. ………………10分:………………11分11010242342121217EX =⨯+⨯+⨯=. ………………13分 17.（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：连结1A C ，交1AC 于点O ，连结OD .由 111C B A ABC -是直三棱柱，得 四边形11ACC A 为矩形，O 为1A C 的中点. 又D 为BC 中点，所以OD 为1A BC △中位线， 所以 1A B ∥OD ， ………………2分 因为 OD ⊂平面1ADC ，1A B ⊄平面1ADC ， 所以 1A B ∥平面1ADC . ………………4分（Ⅱ）解：由111C B A ABC -是直三棱柱，且90ABC ︒∠=，故1,,BB BC BA 两两垂直.如图建立空间直角坐标系xyz B -. ………………5分 设2=BA ，则)0,0,1(),1,0,2(),0,2,0(),0,0,2(),0,0,0(1D C A C B .所以 (1,2,0)AD =-u u u r ，1(2,2,1)AC =-u u u u r设平面1ADC 的法向量为=()x,y,z n ，则有10,0.n AD n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u u r所以 20,220.x y x y z -=⎧⎨-+=⎩取1=y ，得)2,1,2(-=n . ………………7分易知平面ADC 的法向量为(0,0,1)=v . ………………8分 由二面角1C AD C --是锐角，得 ||2cos ,3⋅〈〉==n v n v n v . ………………9分 所以二面角1C AD C --的余弦值为23. （Ⅲ）解：假设存在满足条件的点E .因为E 在线段11B A 上，)1,2,0(1A ，)1,0,0(1B ，故可设)1,,0(λE ，其中02λ≤≤.所以 (0,2,1)AE λ=-u u u r ，1(1,0,1)DC =u u u u r. ………………11分因为AE 与1DC 成60︒角，所以1112AE DC AE DC ⋅=u u u r u u u u r u u u r u u u u r . ………………12分即2112(2)12λ=-+⋅，解得1λ=，舍去3λ=. ………………13分 所以当点E 为线段11B A 中点时，AE 与1DC 成60︒角. ………………14分 18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设椭圆C 的半焦距是c .依题意，得 1c =. ………………1分 因为椭圆C 的离心率为12， 所以22a c ==，2223b a c =-=. ………………3分故椭圆C 的方程为 22143x y +=. ………………4分 （Ⅱ）解：当MN x ⊥轴时，显然00y =. ………………5分当MN 与x 轴不垂直时，可设直线MN 的方程为(1)(0)y k x k =-≠.由 22(1),3412,y k x x y =-⎧⎨+=⎩消去y 整理得 0)3(48)43(2222=-+-+k x k x k . ………………7分 设1122(,),(,)M x y N x y ，线段MN 的中点为33(,)Q x y ，则 2122834k x x k +=+. ………………8分 所以 212324234x x k x k +==+，3323(1)34ky k x k -=-=+. 线段MN 的垂直平分线方程为)434(1433222kk x k k k y +--=++. 在上述方程中令0=x ，得k kkk y 4314320+=+=. ………………10分当0k <时，34k k +≤-0k >时，34k k+≥所以00y ≤<，或00y <≤. ………………12分综上，0y 的取值范围是[,]1212-. ………………13分19.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：(1)(),(1,)1x a ax f x x x --'=∈-+∞+. ………………2分依题意，令(2)0f '=，解得 13a =. ………………3分经检验，13a =时，符合题意. ………………4分（Ⅱ）解：① 当0=a 时，()1xf x x '=+.故)(x f 的单调增区间是(0,)+∞；单调减区间是)0,1(-. ………………5分 ② 当0a >时，令()0f x '=，得10x =，或211x a=-. 当10<<a 时，()f x 与()f x '的情况如下：所以，()f x 的单调增区间是(0,1)a -；单调减区间是)0,1(-和(1,)a-+∞. …6分 当1=a 时，)(x f 的单调减区间是),1(+∞-. ………………7分当1a >时，210x -<<，()f x 与()f x '的情况如下：所以，()f x 的单调增区间是(1,0)a -；单调减区间是(1,1)a--和(0,)+∞. …8分 ③ 当0<a 时，)(x f 的单调增区间是(0,)+∞；单调减区间是)0,1(-. ……9分 综上，当0a ≤时，)(x f 的增区间是(0,)+∞，减区间是)0,1(-； 当10<<a 时，()f x 的增区间是1(0,1)a -，减区间是)0,1(-和1(1,)a-+∞； 当1=a 时，)(x f 的减区间是),1(+∞-；当1a >时，()f x 的增区间是1(1,0)a -；减区间是1(1,1)a--和(0,)+∞. ………………10分（Ⅲ）由（Ⅱ）知 0a ≤时，)(x f 在(0,)+∞上单调递增，由0)0(=f ，知不合题意. ………………11分当10<<a 时，)(x f 在(0,)+∞的最大值是1(1)f a-， 由1(1)(0)0f f a->=，知不合题意. ………………12分 当1≥a 时，)(x f 在(0,)+∞单调递减，可得)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0)0(=f ，符合题意.所以，)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0时，a 的取值范围是[1,)+∞. …………14分20.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：4:2,1,4,5A . ………………3分 （Ⅱ）证法一：证明：由已知，111()n b a a a =--，212121()n b a a b a a a =+-=+-.因此，猜想1(1)()i i i n b a a a =+--. ………………4分 ① 当1i =时，111()n b a a a =--，猜想成立；② 假设*()i k k =∈N 时，1(1)()k k k n b a a a =+--.当1i k =+时，11k k k k b a a b ++=+-11[(1)()]k k k k n a a a a a +=+-+--11(1)()k k k k n a a a a a +=+----111(1)()k k n a a a ++=+--故当1i k =+时猜想也成立.由 ①、② 可知，对于任意正整数i ，有1(1)()i i i n b a a a =+--. ………………7分设数列n B 的“衍生数列”为n C ，则由以上结论可知111(1)()(1)()(1)()i i i i i n i n n c b b b a a a b b =+--=+--+--，其中1,2,3,,i n =L .由于n 为偶数，所以11(1)()n n n n b a a a a =+--=，所以 11(1)()(1)()i i i i n n i c a a a a a a =+--+--=，其中1,2,3,,i n =L .因此，数列n C 即是数列n A . ………………9分 证法二：因为 1n b a =，1212b b a a +=+，2323b b a a +=+，……11n n n n b b a a --+=+，由于n 为偶数，将上述n 个等式中的第2,4,6,,n L 这2n 个式子都乘以1-，相加得 11223112231()()()()()()n n n n n b b b b b b b a a a a a a a ---+++--+=-+++--+L L 即1n b a -=-，1n b a =. ………………7分由于1n a b =，11(2,3,,)i i i i a b b a i n --=+-=L ，根据“衍生数列”的定义知，数列n A 是n B 的“衍生数列”. ………………9分 （Ⅲ）证法一：证明：设数列n X ,n Y ,n Z 中后者是前者的“衍生数列”.欲证i Ω成等差数列，只需证明,,i i i x y z 成等差数列，即只要证明2(1,2,3,,)i i i y x z i n =+=L 即可. ……10分由（Ⅱ）中结论可知 1(1)()i i i n y x x x =+--，1(1)()i i i n z y y y =+--11(1)()(1)()i i i n n x x x y y =+--+--11(1)()(1)[(1)()]i i n i n n n n x x x x x x x =+--+-----11(1)()(1)()i i i n n x x x x x =+--+--12(1)()i i n x x x =+--，所以，122(1)()2i i i i n i x z x x x y +=+--=，即,,i i i x y z 成等差数列，所以i Ω是等差数列. ………………13分证法二：因为 11(2,3,4,,)i i i i b a a b i n --=+-=L ，所以 11()(2,3,4,,)i i i i b a b a i n ---=--=L .所以欲证i Ω成等差数列，只需证明1Ω成等差数列即可. ………………10分 对于数列n A 及其“衍生数列”n B ，因为 1n b a =，1212b b a a +=+，2323b b a a +=+，……11n n n n b b a a --+=+，由于n 为奇数，将上述n 个等式中的第2,4,6,,1n -L 这12n -个式子都乘以1-，相加得11223112231()()()()()()n n n n n b b b b b b b a a a a a a a ---+++-++=-+++-++L L即112n n n n b a a a a a =-+=-.设数列n B 的“衍生数列”为n C ，因为 1n b a =，112n n c b a a ==-，所以 1112b a c =+， 即111,,a b c 成等差数列.同理可证，111111,,;,,,b c d c d e L 也成等差数列.即 1Ω是等差数列.所以 i Ω成等差数列. ………………13分。
2012北京市东城区高三一模（数学理）一、选择题（共8小题；共40分）1. 若a，b∈R，i是虚数单位，且a+b−2i=1+i，则a+b的值为 ( )A. 1B. 2C. 3D. 42. 若集合A=0,m2，B=1,2，则" m=1 "是" A∪B=0,1,2 "的 ( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3. 若实数x，y满足不等式组y+x≤1,y−x≤2,y≥0,则z=x−2y的最小值为 ( )A. −72B. −2 C. 1 D. 524. 如图给出的是计算12+14+16+18+⋯+1100的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是 ( )A. i<50B. i>50C. i<25D. i>255. 某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为 ( )A. 16B. 18C. 24D. 326. 已知x,y,z∈R，若−1，x，y，z，−3成等比数列，则xyz的值为 ( )A. −3B. ±3C. −33D. ±337. 在直角梯形ABCD中，已知BC∥AD，AB⊥AD，AB=4，BC=2，AD=4，若P为CD的中点，则PA⋅PB的值为 ( )A. −5B. −4C. 4D. 58. 已知函数f x=2−x−1,x≤0f x−1,x>0，若方程f x=x+a有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是 ( )A. −∞,1B. −∞ , 1C. 0 , 1D. 0 , +∞二、填空题（共6小题；共30分），tan x0>sin x0＂的否定是．9. 命题＂∃x0∈0,π210. 在极坐标系中，圆ρ=2的圆心到直线ρcosθ+ρsinθ=2的距离为．11. 在如图所示的茎叶图中，乙组数据的中位数是；若从甲、乙两组数据中分别去掉一个最大数和一个最小数后，两组数据的平均数中较大的一组是组．12. 如图，AB是⊙O的直径，直线DE切⊙O于点D，且与AB延长线交于点C，若CD=3，CB=1，则∠ADE=．13. 抛物线y2=x的准线方程为；经过此抛物线的焦点和点M1,1，且与准线相切的圆共有个．14. 如图，在边长为3的正方形ABCD中，点M在AD上，正方形ABCD以AD为轴逆时针旋转θ到AB1C1D的位置，同时点M沿着AD从点A运动到点D，MN1=DC1，点Q 角0≤θ≤π3在MN1上，在运动过程中点Q始终满足QM=1，记点Q在面ABCD上的射影为Q0，则在cosθ运动过程中向量BQ0与BM夹角α的正切的最大值为．三、解答题（共6小题；共78分）15. 已知函数f x=sin2x+cos2x2−2sin22x．（1）求f x的最小正周期；个单位长度，再向上平移1个单（2）若函数y=g x的图象是由y=f x的图象向右平移π8时，求y=g x的最大值和最小值．位长度得到的，当x∈0,π416. 某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%．生产1件甲产品，若是一等品，则获利4万元，若是二等品，则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品，则获利6万元，若是二等品，则亏损2万元．两种产品生产的质量相互独立．（1）设生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润为X（单位：万元），求X的分布列；（2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率．17. 如图1，在边长为3的正三角形ABC中，E，F，P分别为AB，AC，BC上的点，且满足AE=FC=CP=1．将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使二面角A1−EF−B成直二面角，连接A1B，A1P．（如图2）（1）求证：A1E⊥平面BEP；（2）求直线A1E与平面A1BP所成角的大小．18. 已知函数f x=12x2+2e x−3e2ln x−b在x0,0处的切线斜率为零．（1）求x0和b的值；（2）求证：在定义域内f x≥0恒成立；（3）若函数F x=fʹx+ax有最小值m，且m>2e，求实数a的取值范围．19. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率是12，其左、右顶点分别为A1，A2，B为短轴的端点，△A1BA2的面积为23．（1）求椭圆C的方程；（2）F2为椭圆C的右焦点，若点P是椭圆C上异于A1，A2的任意一点，直线A1P，A2P与直线x=4分别交于M，N两点，证明：以MN为直径的圆与直线PF2相切于点F2．20. 若对于正整数k，g k表示k的最大奇数因数，例如g3=3,g10=5．设S n=g1+g2+g3+g4+⋯+g2n．（1）求g6,g20的值；（2）求S1,S2,S3的值；（3）求数列S n的通项公式．答案第一部分1. D2. A3. A4. B 【解析】提示：输出时，n=102，i=51．5. C【解析】提示：把4个车位看成一个整体，与3辆车一起全排列即可．6. C7. D 【解析】提示：由题意可得cos∠PDA=5，再由PA⋅PB= PD+2CB⋅ −PD+CB，5利用两向量的数量积的定义运算求解即可．其他方法：也可建立直角坐标系进行求解．8. A 【解析】f x图象如图所示：当a<1时，y=x+a和y=f x图象总有两个交点．第二部分,tan x≤sin x9. ∀x∈0,π210. 211. 84；乙12. 60∘13. x=−1；24【解析】由抛物线的定义知，满足条件的圆的圆心在抛物线上，如图，F是焦点，M1,1，则满足题意的圆的圆心是FM的垂直平分线和抛物线的交点，所以有两个．14. 612【解析】如图，延长MQ0交BC于点T，由QM=1cosθ，得MQ0=1．则tanα=tan∠MBT−∠Q0BT.设BT=x0≤x≤3，由两角差的正切公式，得tanα=3x−2x 1+3x⋅2x=1x+6x≤26=6.当且仅当x=6时取等号．第三部分15. （1）f x=sin2x+cos2x2−2sin22x=sin4x+cos4x=2sin4x+π4所以f x的最小正周期为π2．（2）依题意y=g x=4 x−π8+π4+1=2sin4x−π4+1．因为0≤x≤π4，所以−π4≤4x−π4≤3π4．当4x−π4=π2，即x=3π16时，g x取最大值2+1；当4x−π4=−π4，即x=0时，g x取最小值0．16. （1）由题设知，X的可能取值为10，5，2，−3．P X=10=0.8×0.9=0.72,由此得X的分布列为（2）设生产的4件甲产品中一等品有n件，则二等品有4−n件．由题设知4n−4−n≥10，解得n≥145，又n∈N∗且n≤4，得n=3或n=4．所求概率为P=C43×0.83×0.2+0.84=0.8192.答：生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率为0.8192．（或写成512625）17. （1）如图，取BE中点D，连接DF．因为AE=CF=1，DE=1，所以AF=AD=2，而∠A=60∘，即△ADF是正三角形．又因为AE=ED=1，所以EF⊥AD．所以在题图2中有A1E⊥EF，BE⊥EF．又二面角A1−EF−B为直二面角，即平面A1EF⊥平面BEP，且平面A1EF∩平面BEP=EF，A1E⊂平面A1EF，所以A1E⊥平面BEP．（2）由（1）可知A1E⊥平面BEP，BE⊥EF，如图，以E为原点，建立空间直角坐标系E−xyz，则E0,0,0，A10,0,1，B2,0,0，F 0 ,3,0．在题1图中，连接DP．因为CFFA =CPPB=12，所以PF∥BE，且PF=12BE=DE．所以四边形EFPD为平行四边形．所以EF∥DP，且EF=DP．故点P的坐标为1,3,0．所以A1B=2,0,−1，BP= −1,3,0，EA1=0,0,1．设平面A1BP的法向量n=x,y,z，则A1B⋅n=0,BP⋅n=0.即2x−z=0,x−3y=0.令y=3，得n=3,3,6，所以cos n,EA1=n⋅EA1n⋅EA1=1×43=3.故直线A1E与平面A1BP所成角的大小为π3．18. （1）fʹx=x+2e−3e2x，由题意有fʹx0=0，即x0+2e−3e2=0,解得x0=e 或 x0=−3e舍去.所以f e=0，即12e2+2e2−3e2lne−b=0,解得b=−12e2．（2）由（1）知f x=12x2+2e x−3e2ln x+e22x>0,fʹx=x+2e−3e2=x−e x+3ex>0.在区间0,e上，有fʹx<0；在区间e,+∞上，有fʹx>0．故f x在0,e单调递减；在e,+∞单调递增，于是函数f x在0,+∞上的最小值是f e=0．故当x>0时，有f x≥0恒成立．（3）F x=fʹx+ax=x+a−3e2x+2e x>0.当a>3e2时，则F x=x+a−3e2x+2e≥2a−3e+2e,当且仅当x= a−3e2时等号成立，故F x的最小值m=2 a−3e2+2e>2e，符合题意；当a=3e2时，函数F x=x+2e在区间0,+∞上是增函数，不存在最小值，不合题意；当a<3e2时，函数F x=x+a−3e2x+2e在区间0,+∞上是增函数，不存在最小值，不合题意．综上，实数a的取值范围是3e2,+∞．19. （1）由已知c =1 ,ab=23,a2=b2+c2.解得a=2,b= 3.故所求椭圆方程为x24+y23=1．（2）由（1）知A1−2,0，A22,0，F21,0．设 P x 0,y 0 x 0≠±2 ，则3x 02+4y 02=12.于是直线 A 1P 方程为y =y 00 x +2 , 令 x =4，得 y M =6y 0x+2，所以 M 4,6y 0x 0+2．同理 N 4,2y 0x 0−2．所以F 2M = 3,6y 0x 0+2 ,F 2N = 3,2y 0x 0−2. 所以F 2M ⋅F 2N= 3,6y 0x 0+2 ⋅ 3,2y 0x 0−2 =9+6y 0x 0+2×2y 0x 0−2=9+12y 02x 02−4=9+3 12−3x 02 x 02−4=9−9 x 02−4x 02−4=0. 所以 F 2M ⊥F 2N ，点 F 2 在以 MN 为直径的圆上． 设 MN 的中点为 E ，则 E 4,4y 0 x 0−1x 02−4 ．又F 2E = 3,4y 0 x 0−1x 02−4 ,F 2P = x 0−1,y 0 , 所以F 2E ⋅F 2P= 3,4y 0 x 0−102⋅ x 0−1,y 0 =3 x 0−1 +4y 02 x 0−1x 02−4=3 x 0−1 + 12−3x 02 x 0−102=3 x 0−1 −3 x 0−1 =0.所以 F 2E ⊥F 2P ．因为 F 2E 是以 MN 为直径的圆的半径，E 为圆心，F 2E ⊥F 2P ． 故以 MN 为直径的圆与直线 PF 2 相切于右焦点 F 2． 20. （1） g 6 =3,g 20 =5． （2）S 1=g 1 +g 2 =1+1=2;S 2=g 1 +g 2 +g 3 +g 4=1+1+3+1=6;S 3=g 1 +g 2 +g 3 +g 4 +g 5 +g 6 +g 7 +g 8 =1+1+3+1+5+3+7+1=22.（3） 由（1）、（2）不难发现：对 m ∈N ∗，有g 2m =g m .所以，当 n ≥2 时，S n=g 1 +g 2 +g 3 +g 4 +⋯+g 2n −1 +g 2n= g 1 +g 3 +g 5 +⋯+g 2n −1 + g 2 +g 4 +⋯+g 2n = 1+3+5+⋯+ 2n −1 + g 2×1 +g 2×2 +⋯+g 2×2n−1= 1+2n −1 ×2n−12+ g 1 +g 2 +⋯+g 2n−1=4n−1+S n−1,于是 S n −S n−1=4n−1,n ≥2,n ∈N ∗.所以S n= S n −S n−1 + S n−1−S n−2 +⋯+ S 2−S 1 +S 1=4n−1+4n−2+⋯+42+4+2=4 1−4n−11−4+2=4n 3+23n ≥2,n ∈N ∗ . 又 S 1=2，满足上式，所以，当 n ∈N ∗ 时，S n =13 4n +2 ．。
东城区2012-2013学年度第一学期期末教学统一检测高三数学 （理科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）设集合{1,2}A =，则满足{1,2,3}AB =的集合B 的个数是（A ）1 (B) 3 (C)4 (D)8 （2）已知a 是实数，i1ia +-是纯虚数，则a 等于 （A ）1- （B ）1 （C（D） （3）已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若36a =，312S =，则公差d 等于（A ）1 （B ）53（C ）2 （D ）3 （4）执行如图所示的程序框图，输出的k 的值为（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7（5）若a ，b 是两个非零向量，则“+=-a b a b ”是“⊥a b ”的 （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（6）已知x ，y 满足不等式组0,0,,2 4.x y x y s y x ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩当35s ≤≤时，目标函数y x z 23+=的最大值的变化范围是（A ）[6,15]（B ）[7,15] （C ）[6,8]（D ）[7,8]（7）已知抛物线22y px =的焦点F 与双曲线22179x y -=的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A在抛物线上且|||AK AF =，则△AFK 的面积为 （A ）4 （B ）8 （C ）16 （D ）32（8）给出下列命题：①在区间(0,)+∞上，函数1y x -=,12y x =,2(1)y x =-,3y x =中有三个是增函数；②若log 3log 30m n <<，则01n m <<<；③若函数()f x 是奇函数，则(1)f x -的图象关于点(1,0)A 对称；④已知函数233,2,()log (1),2,x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩则方程 1()2f x =有2个实数根，其中正确命题的个数为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市西城区2011 — 2012学年度第一学期期末试卷高三数学（文科） 2012.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．复数i (1i)⋅+=（ ） （A ）1i + （B ）1i -（C ）1i -+（D ）1i --2．若向量=a ，(0,2)=-b ，则与2+a b 共线的向量可以是（ ） （A）1)- （B）(1,-（C）(1)-（D）(-3.下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的函数是（ ） （A ）1y x=-（B ）||e x y = （C ）23y x =-+ （D ）cos y x =4．“直线l 的方程为0x y -=”是“直线l 平分圆221x y +=的周长”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分又不必要条件5．一个几何体的主视图和左视图如图所示，则这个几何体的俯视图不可能．．．是（ ） （A ） （B ）（C ）（D ）6．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ） （A ）3 （B ）6- （C ）10 （D ）15-7．已知0a b >>，给出下列四个不等式： ① 22a b >； ② 122a b ->； ③ a b a b ->-； ④ 3322a b a b +>．其中一定成立的不等式为（ ） （A ）①、②、③ （B ）①、②、④ （C ）①、③、④ （D ）②、③、④8．有限集合P 中元素的个数记作card()P .已知card()10M =，A M ⊆，B M ⊆，A B =∅I ，且card()2A =，card()3B =.若集合X 满足X M ⊆，且A X ⊄，B X ⊄，则集合X 的个数是（ ）（A ）672 （B ）640（C ）384（D ）352第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9．函数()f x =______.10．双曲线221169x y -=的一个焦点到其渐近线的距离是______．11．若曲线3y x ax =+在原点处的切线方程是20x y -=，则实数a =______．12．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c．若b =4B π∠=， tan 2C =，则c =______．13．已知{}n a 是公比为2的等比数列，若316a a -=，则1a = ；22212111na a a +++=L ______． 14．设0λ>，不等式组 2,0,20x x y x y λλ≤⎧⎪-≥⎨⎪+≥⎩所表示的平面区域是W ．给出下列三个结论：① 当1λ=时，W 的面积为3； ② 0λ∃>，使W 是直角三角形区域； ③ 设点(,)P x y ,对于P W ∀∈有4yx λ+≤．其中，所有正确结论的序号是______．三、解答题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分13分）已知函数2()3sin sin cos f x x x x =+，π[,π]2x ∈.（Ⅰ）求2π()3f 的值； （Ⅱ）求()f x 的最大值和最小值.16.（本小题满分13分）某种零件按质量标准分为5,4,3,2,1五个等级.现从一批该零件中随机抽取20个，对其等 级进行统计分析，得到频率分布表如下：等级 1 23 4 5频率0.05m0.150.35n（Ⅰ）在抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，求n m ,；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，从等级为3和5的所有零件中，任意抽取2个，求抽取的2个零件等级恰好相同的概率. 17．（本小题满分14分）如图，正三棱柱111C B A ABC -的侧棱长和底面边长均为2，D 是BC 的中点． （Ⅰ）求证：AD ⊥平面11B BCC ； （Ⅱ）求证：1A B ∥平面1ADC ； （Ⅲ）求三棱锥11ADB C -的体积．18.（本小题满分13分）已知函数21()ln 2f x ax x =+，其中a ∈R . （Ⅰ）求)(x f 的单调区间；（Ⅱ）若)(x f 在(0,1]上的最大值是1-，求a 的值.19.（本小题满分14分）已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b +=>>的一个焦点是(1,0)F ，且离心率为12.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设经过点F 的直线交椭圆C 于,M N 两点，线段MN 的垂直平分线交y 轴于点0(0,)P y ，求0y 的取值范围.20.（本小题满分13分）已知数列12:,,,n n A a a a L .如果数列12:,,,n n B b b b L 满足1n b a =，11k k k k b a a b --=+-， 其中2,3,,k n =L ，则称n B 为n A 的“衍生数列”. （Ⅰ）写出数列4:2,1,4,5A 的“衍生数列”4B ；（Ⅱ）若n 为偶数，且n A 的“衍生数列”是n B ，证明：1n b a =；（Ⅲ）若n 为奇数，且n A 的“衍生数列”是n B ，n B 的“衍生数列”是n C ，….依次将数列n A ，n B ，n C ，…的首项取出，构成数列111:,,,a b c ΩL . 证明：Ω是等差数列.北京市西城区2011 — 2012学年度第一学期期末高三数学（文科）参考答案及评分标准2012.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. C ；2. D ；3. B ；4. A ；5. D ；6. C ；7. A ；8. A .二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. {|1}x x ≥； 10.3； 11.2；12. ； 13.2，1(14)3n--； 14. ①、③.注：13题第一问2分，第二问3分；14题多选、少选、错选均不给分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分. 15.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：22π2π2π2π()sin cos 3333f =+==. ………………4分（Ⅱ）解：1π()1cos2sin 2sin(2)23f x x x x =-+=-） ………………8分 因为π[,π]2x ∈，所以π2π5π2[]333x -∈,. ………………9分当π2π233x -=，即π2x =时，)(x f ………………11分当π3π232x -=，即11π12x =时，)(x f 的最小值为1-. ………………13分16.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由频率分布表得 0.050.150.351m n ++++=，即 0.45m n +=. ………………2分 由抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个， 得 1.0202==n . ………………4分 所以0.450.10.35m =-=. ………………5分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得，等级为3的零件有3个，记作123,,x x x ；等级为5的零件有2个，记作12,y y .从12312,,,,x x x y y 中任意抽取2个零件，所有可能的结果为：12131112232122313212(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)x x x x x y x y x x x y x y x y x y y y共计10种. ………………9分 记事件A 为“从零件12312,,,,x x x y y 中任取2件，其等级相等”.则A 包含的基本事件为12132312(,),(,),(,),(,)x x x x x x y y 共4个. ………………11分 故所求概率为 4()0.410P A ==.………………13分17.（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为111C B A ABC -是正三棱柱，所以 1CC ⊥平面ABC . 又 AD ⊂平面ABC ，所以 AD CC ⊥1. ………………3分 因为 △ABC 是正三角形，D 是BC 的中点，所以 AD BC ⊥， ………………4分 所以 AD ⊥平面11B BCC . ………………5分 （Ⅱ）证明：连结1A C ，交1AC 于点O ，连结OD .由 111C B A ABC -是正三棱柱，得 四边形11ACC A 为矩形，O 为1A C 的中点. 又D 为BC 中点，所以OD 为1A BC △中位线，所以 1A B ∥OD ， ………………8分 因为 OD ⊂平面1ADC ，1A B ⊄平面1ADC ，所以 1A B ∥平面1ADC . ………………10分 （Ⅲ）解：因为 1111DC B A ADB C V V --=， ………………12分所以 1111Δ12333C ADB B DC V S AD -=⋅=. ………………14分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：21(),(0,)ax f x x x+'=∈+∞. ………………3分 当0≥a 时，()0f x '>，从而函数)(x f 在),0(+∞上单调递增. ………………4分当0<a 时，令()0f x '=，解得x =x =………………5分 此时，()f x 与()f x '的情况如下：所以，()f x 的单调增区间是；单调减区间是),1(∞+-a.…………7分 （Ⅱ）① 当0≥a 时，由（Ⅰ）得函数)(x f 在]1,0(上的最大值为(1)2af =. 令12a=-，得2a =-，这与0≥a 矛盾，舍去2a =-. ………………9分 ② 当10a -≤<时，11≥-a ，由（Ⅰ）得函数)(x f 在]1,0(上的最大值为(1)2a f =. 令12a=-，得2a =-，这与10a -≤<矛盾，舍去2a =-. ………………10分③ 当1-<a 时，01<<，由（Ⅰ）得函数)(x f 在]1,0(上的最大值为f .令1f =-，解得e a =-，适合1-<a . ………………12分 综上，当)(x f 在(0,1]上的最大值是1-时，e a =-. ………………13分19.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：设椭圆C 的半焦距是c .依题意，得 1c =. ………………1分 因为椭圆C 的离心率为12， 所以22a c ==，2223b a c =-=. ………………3分故椭圆C 的方程为 22143x y +=. ………………4分 （Ⅱ）解：当MN x ⊥轴时，显然00y =. ………………5分当MN 与x 轴不垂直时，可设直线MN 的方程为(1)(0)y k x k =-≠.由 22(1),3412,y k x x y =-⎧⎨+=⎩消去y 整理得 0)3(48)43(2222=-+-+k x k x k .………………7分 设1122(,),(,)M x y N x y ，线段MN 的中点为33(,)Q x y .则 2122834k x x k +=+. ………………8分 所以 212324234x x k x k +==+，3323(1)34ky k x k -=-=+. 线段MN 的垂直平分线方程为)434(1433222kk x k k k y +--=++. 在上述方程中令0=x ，得k kkk y 4314320+=+=. ………………10分当0k <时，34k k +≤-0k >时，34k k+≥所以0012y -≤<，或0012y <≤. ………………12分综上，0y 的取值范围是[,]1212-. ………………13分20.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：4:5,2,7,2B -. ………………3分 （Ⅱ）证明： 因为 1n b a =，1212b b a a +=+， 2323b b a a +=+，……11n n n n b b a a --+=+，由于n 为偶数，将上述n 个等式中的第2,4,6,,n L 这2n个式子都乘以1-，相加得 11223112231()()()()()()n n n n n b b b b b b b a a a a a a a ---+++--+=-+++--+L L 即1n b a -=-，1n b a =. ………………8分（Ⅲ）证明：对于数列n A 及其“衍生数列”n B ，因为 1n b a =，1212b b a a +=+， 2323b b a a +=+，……11n n n n b b a a --+=+，由于n 为奇数，将上述n 个等式中的第2,4,6,,1n -L 这12n -个式子都乘以1-， 相加得11223112231()()()()()()n n n n n b b b b b b b a a a a a a a ---+++-++=-+++-++L L 即112n n n n b a a a a a =-+=-.设数列n B 的“衍生数列”为n C ， 因为 1n b a =，112n n c b a a ==-，所以 1112b a c =+， 即111,,a b c 成等差数列. ………………12分 同理可证，111111,,;,,,b c d c d e L 也成等差数列. 从而Ω是等差数列. ………………13分。
北京东城区普通校2012—2013学年高三第一学期联考数学（理）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．选出符合题目要求的一项填在机读卡上． 1． 若集合{}0A x x =≥，且A B B =，则集合B 可能是A ．{}1,2B ．{}1x x ≤ C ．{}1,0,1- D ．R 【答案】A 【解析】因为AB B =，所以B A ⊆，因为{}1,2A⊆，所以答案选A.2． 复数11i+在复平面上对应的点的坐标是A ．），（11B ．），（11-C ．）（1,1--D ．）（1,1-【答案】D 【解析】复数111i i+=-，所以对应的点位(1,1)-,选D. 3． 已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是 A ．,,αγβγαβ⊥⊥若则‖ B ．,,m n m n αα⊥⊥若则‖C ．,,m n m n αα若则‖‖‖D ．,,m m αβαβ若则‖‖‖【答案】B【解析】根据线面垂直的性质可知，B 正确。
4． 一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m ）， 则该棱锥的体积是A ．34B ．8C ．4D ．38【答案】A5．设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+-≥-+01042022x y x y x ，则目标函数x y z 32-=的最大值为A ．3-B ．2C ．4D ．5【答案】C【解析】做出约束条件对应的可行域如图，，由23z y x=-得322z y x =+。
做直线32y x =，平移直线得当直线322zy x =+经过点(0,2)B 时，直线322zy x =+的截距最大，此时z 最大，所以最大值234z y x =-=，选C.6．已知数列}{n a 为等比数列，274=+a a ，865-=⋅a a ，则101a a +的值为 A ．7B ．5-C ．5D ．7-【答案】D【解析】在等比数列中，56478a a a a ==-，所以公比0q <，又472a a +=，解得4724a a =-⎧⎨=⎩或4742a a =⎧⎨=-⎩。
北京市东城区2011-2012学年度高三数第一学期期末教学统一检测数学（理科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合{}0≥=x x A ，{}2,1,0=B ，则（A ）B A ⊆ （B ）A B ⊆ （C ）B B A = （D ）∅=B A （2）在复平面内，复数ii21--对应的点位于 (A )第一象限 （B ） 第二象限 （C ） 第三象限 （D ） 第四象限 （3）下列命题中正确的是（A ）如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线互相平行 （B ）过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直（C ）如果一条直线平行于一个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面 （D ）如果两条直线都垂直于同一平面，那么这两条直线共面（4）一个几何体的三视图如图所示，其中正(主)视图中△ABC 是边长为2的正三角形，俯视图的边界为正六边形，那么该几何体的侧(左) 视图的面积为 （A ）21 （B ）1 （C ）23（D ） 2（5）在平面直角坐标系内，若曲线C ：04542222=-+-++a ay ax y x 上所有的点均在第二象限内，则实数a 的取值范围为 （A ）()2,-∞- （B ） ()1,-∞- （C ）()+∞,1 （D ）()+∞,2（6）如图所示，点P 是函数)sin(2ϕω+=x y )0,(>∈ωR x 的图象的最高点，M ，N 是该图象与x 轴的交点，若0=⋅PN PM ，则ω的值为（A ）8π （B ）4π （C ）4（D ）8（7）对于函数(lg 21f x x =-+），有如下三个命题：①)2(+x f 是偶函数；②)(x f 在区间)2,(-∞上是减函数，在区间()∞+,2上是增函数； ③)()2(x f x f -+在区间()∞+,2上是增函数．其中正确命题的序号是（A ）①② （B ）①③ （C ）②③ （D ）①②③（8）已知函数1)(2+=x x f 的定义域为[]b a ,)(b a <，值域为[]5,1，则在平面直角坐标系内，点),(b a 的运动轨迹与两坐标轴围成的图形的面积为 （A ）8 （B ）6 （C ）4 （D ）2第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）已知sin 2cos =αα，那么tan 2α的值为 ．（10）若非零向量a ，b 满足b a b a -==，则a 与b a +的夹角为 ．（11）已知函数sin ,0,()(1),0,x x f x f x x π≤⎧=⎨->⎩那么)65(f 的值为 ．（12）在等差数列{}n a 中，若475=+a a ，286-=+a a ，则数列{}n a 的公差等于 ； 其前n 项和n S 的最大值为 ．（13）如图，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为A ，左焦点为F ， 上顶点为B ，若90=∠+∠BFO BAO ，则该椭圆的离心率是 .(14)已知不等式xy ≤222y ax +，若对任意[]2,1∈x 且[]3,2∈y ，该不等式恒成立，则实 数a 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（15）（本小题共13分）已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos 1B B -=，1=b ．（Ⅰ）若125π=A ，求c ； （Ⅱ）若c a 2=，求△ABC 的面积．（16）（本小题共13分）在等差数列{}n a 中，31=a ，其前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的各项均为正数，11=b ，公比为q ，且1222=+S b ， 22b S q =． （Ⅰ）求n a 与n b ； （Ⅱ）证明：31≤3211121<+++n S S S ．Q MDCAPB如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为菱形，60BAD ︒∠=，Q 为AD 的中点，2PA PD AD ===． （Ⅰ）求证：AD ⊥平面PQB ；（Ⅱ）点M 在线段PC 上，PM tPC =，试确定t 的值，使//PA 平面MQB ；（Ⅲ）若//PA 平面MQB ，平面PAD ⊥平面ABCD ， 求二面角M BQ C --的大小．（18）（本小题共13分）已知函数32()23f x ax x =-，其中0>a ．（Ⅰ）求证：函数)(x f 在区间(,0)-∞上是增函数；（Ⅱ）若函数[]()()()(0,1)g x f x f x x '=+∈在0x =处取得最大值，求a 的取值范围．（19）（本小题共13分）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点为)0,1(F ，M 为椭圆的上顶点，O 为坐标原点，且△OMF 是等腰直角三角形． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）是否存在直线l 交椭圆于P ，Q 两点， 且使点F 为△PQM 的垂心（垂心：三角形三边高线的交点）？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．已知M 是由满足下述条件的函数构成的集合：对任意M x f ∈)(，①方程0)(=-x x f 有实数根；②函数)(x f 的导数)(x f '满足1)(0<'<x f ． （Ⅰ）判断函数4sin 2)(xx x f +=是否是集合M 中的元素，并说明理由； （Ⅱ）集合M 中的元素)(x f 具有下面的性质：若)(x f 的定义域为D ，则对于任意[]D n m ⊆,，都存在()n m x ,0∈，使得等式)()()()(0x f m n m f n f '-=-成立．试用这一性质证明：方程0)(=-x x f 有且只有一个实数根；（Ⅲ）对任意M x f ∈)(，且(),x a b ∈，求证：对于()f x 定义域中任意的1x ，2x ，3x ，当112<-x x ，且113<-x x 时，2)()(23<-x f x f .东城区2011-2012学年度第一学期期末教学统一检测高三数学参考答案及评分标准 （理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）（1）B （2）A （3）D （4）C （5）D （6）B （7）A （8）C二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9）34-（10）30 （11）21- （12）3- 57 （13）215-（14）a ≥1-注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分． 三、解答题（本大题共6小题，共80分） （15）（共13分）解：（Ⅰ）由已知1cos sin 3=-B B ，整理得21)6sin(=π-B ． ………………2分 因为π<<B 0，所以π<π-<π-6566B . 故66π=π-B ，解得3π=B . ……………4分 由512A π=，且π=++C B A ，得4π=C . 由Bb Cc sin sin =，即3sin 14sin π=πc ，解得36=c . ………………7分 （Ⅱ）因为B ac c a b cos 2222-+=，又32π==B c a ，， 所以21442222⨯-+=c c c b ，解得c b 3=. ………………10分 由此得222c b a +=，故△ABC 为直角三角形，2π=A ，31=c ．其面积6321==bc S ． ………………13分 （16）（共13分）解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，因为⎪⎩⎪⎨⎧==+,,122222b S q S b 所以⎪⎩⎪⎨⎧+==++．，q d q d q 6126 解得 3=q 或4-=q （舍），3=d ．故33(1)3n a n n =+-= ，13-=n n b ． ……………6分（Ⅱ）因为2)33(n n S n +=， 所以)111(32)33(21+-=+=n n n n S n ． ………9分 故12111n S S S +++21111111(1)()()()3223341n n ⎡⎤=-+-+-++-⎢⎥+⎣⎦)111(32+-=n ． ………11分 因为n ≥1，所以110+<n ≤21，于是21≤1111<+-n ， 所以31≤32)111(32<+-n ． 即31≤3211121<+++n S S S ． ……………13分（17）（共14分） 证明：（Ⅰ）连接BD ．因为四边形ABCD 为菱形，60=∠BAD ，所以△ABD 为正三角形．又Q 为AD 中点， 所以AD BQ ⊥．因为PD PA =,Q 为AD 的中点，PQ MD CABN所以AD PQ ⊥． 又Q PQ BQ = ，所以AD ⊥平面PQB ． ………………4分 （Ⅱ）当31=t 时，PA ∥平面MQB ． 下面证明：连接AC 交BQ 于N ，连接MN ． 因为AQ ∥BC ， 所以12AN AQ NC BC ==． 因为PA ∥平面MQB ，PA ⊂平面PAC ，平面MQB平面PAC MN =，所以MN ∥PA .所以12PM AN MC NC ==． 所以PC PM 31=，即31=t ．因为PC PM 31=，所以12PM MC =． 所以12PM AN MC NC ==， 所以MN ∥PA .又⊂MN 平面MQB ，⊄PA 平面MQB ，所以PA ∥平面MQB ． …………9分 （Ⅲ）因为AD PQ ⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD ，交线为AD ， 所以⊥PQ 平面ABCD ．以Q 为坐标原点，分别以QP QB QA ，， 线为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系xyz Q -． 由PA =PD =AD =2，则有)0,0,1(A ，)0,3,0(B ，)3,0,0(P ．设平面MQB 的法向量为n =),,(z y x ， 由)3,0,1(-=PA ，)0,3,0(=QB且PA ⊥n ，QB ⊥n ， 可得⎩⎨⎧==-.03,03y z x令,1=z 得03==y x ，．所以n =)1,0,3(为平面MQB 的一个法向量．取平面ABCD 的法向量m =)1,0,0(， 则cos ⋅==m nm,n m n 21121=⨯， 故二面角C BQ M --的大小为60°． …………14分（18）（共13分）证明：（Ⅰ）)1(666)(2-=-='ax x x ax x f ． 因为0>a 且0<x ，所以0)(>'x f ．所以函数)(x f 在区间()0,∞-上是增函数． …………6分（Ⅱ）由题意[]32()2(63)6,0,1g x ax a x x x =+--∈.则22()62(63)66(21)1g x ax a x ax a x '⎡⎤=+--=+--⎣⎦. …………8分令0)(='x g ，即2(21)10ax a x +--=. ①由于0142>+=∆a ，可设方程①的两个根为1x ，2x ， 由①得ax x 121-=， 由于，0>a 所以021<x x ，不妨设210x x <<，12()6()()g x a x x x x '=--．当102<<x 时，)(2x g 为极小值，所以在区间[]1,0上，()g x 在0=x 或1=x 处取得最大值；当2x ≥1时，由于)(x g 在区间[]1,0上是单调递减函数，所以最大值为)0(g ， 综上，函数)(x g 只能在0=x 或1=x 处取得最大值． …………10分 又已知)(x g 在0=x 处取得最大值，所以)0(g ≥)1(g ， 即0≥98-a ，解得a ≤89，又因为0>a ， 所以∈a （89,0］． ………13分（19）（共13分）解：（Ⅰ）由△OMF 是等腰直角三角形，得1=b ，22==b a ，故椭圆方程为1222=+y x ． …………5分 （Ⅱ）假设存在直线l 交椭圆于P ，Q 两点，且F 为△PQM 的垂心，设),(11y x P ，),,(22y x Q因为)1,0(M ，)0,1(F ，故1=PQ k ． …………7分 于是设直线l 的方程为m x y +=，由⎩⎨⎧=++=,22,22y x m x y 得0224322=-++m mx x ． 由0>∆，得32<m ， 且3421m x x -=+,322221-=m x x ． ……9分由题意应有0=⋅FQ MP ，又1122(,1),(1,)MP x y FQ x y =-=-， 故0)1()1(1221=-+-y y x x ，得0)1)(()1(1221=-+++-m x m x x x ． 即0)1)((222121=-+-++m m m x x x x ．整理得0)1(34322222=-+---⨯m m m m m ． 解得34-=m 或1=m ． …………12分 经检验，当1=m 时，△PQM 不存在，故舍去1=m ． 当34-=m 时，所求直线l 存在，且直线l 的方程为34-=x y ． …………13分（20）（共14分）解：（Ⅰ）因为①当0=x 时，0)0(=f ，所以方程0)(=-x x f 有实数根0； ②x x f cos 4121)(+='， 所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈'43,41)(x f ，满足条件1)(0<'<x f ； 由①②，函数4sin 2)(x x x f +=是集合M 中的元素. …………5分 （Ⅱ）假设方程0)(=-x x f 存在两个实数根α，β()αβ≠，则()0f αα-=，()0f ββ-=.不妨设βα<，根据题意存在),(βα∈c ，满足)()()()(c f αβαf βf '-=-.因为()f αα=，ββ=)(f ，且βα≠，所以1)(='c f .与已知1)(0<'<x f 矛盾.又0)(=-x x f 有实数根，所以方程0)(=-x x f 有且只有一个实数根. …………10分 （Ⅲ）当32x x =时，结论显然成立；当32x x ≠，不妨设23a x x b <<<.因为(),x a b ∈,且,0)(>'x f 所以)(x f 为增函数，那么)()(32x f x f <. 又因为01)(<-'x f ，所以函数x x f -)(为减函数，所以3322)()(x x f x x f ->-. 所以2323)()(0x x x f x f -<-<，即2323)()(x x x f x f -<-. 因为112<-x x ，所以1211x x -<-<， （1） 又因为113<-x x ，所以3111x x -<-<， （2）（1）+（2）得2232<-<-x x 即223<-x x . 所以2323)()(x x x f x f -<-2<. 综上，对于任意符合条件的1x ,23,x x 总有2)()(23<-x f x f 成立.……14分。
