关于专插本高等数学知识点和例题

专转本高数知识点整理一、函数。

1. 函数的概念。

- 设x和y是两个变量，D是一个给定的非空数集。

如果对于每个数x∈D，变量y按照一定法则总有确定的数值和它对应，则称y是x的函数，记作y = f(x)，x∈ D。

其中x称为自变量，y称为因变量，D称为函数的定义域。

- 函数的两要素：定义域和对应法则。

2. 函数的性质。

- 单调性：设函数y = f(x)在区间(a,b)内有定义，如果对于(a,b)内任意两点x_1和x_2，当x_1时，有f(x_1)（或f(x_1)>f(x_2)），则称函数y = f(x)在区间(a,b)内是单调增加（或单调减少）的。

- 奇偶性：设函数y = f(x)的定义域D关于原点对称，如果对于任意x∈ D，有f(-x)=f(x)，则称y = f(x)为偶函数；如果f(-x)= - f(x)，则称y = f(x)为奇函数。

- 周期性：设函数y = f(x)的定义域为D，如果存在一个不为零的数T，使得对于任意x∈ D有(x± T)∈ D，且f(x + T)=f(x)恒成立，则称函数y = f(x)为周期函数，T称为函数的周期。

3. 反函数。

- 设函数y = f(x)的定义域为D，值域为W。

如果对于W中的每一个y值，在D中有且只有一个x值使得y = f(x)，则在W上定义了一个函数，称为函数y = f(x)的反函数，记作x = f^-1(y)。

习惯上，将y = f(x)的反函数记作y = f^-1(x)。

二、极限。

1. 极限的定义。

- 数列极限：设{a_n}为一数列，如果存在常数a，对于任意给定的正数varepsilon（不论它多么小），总存在正整数N，使得当n > N时，不等式| a_n-a|都成立，那么就称常数a是数列{a_n}的极限，或者称数列{a_n}收敛于a，记作lim_n→∞a_n=a。

- 函数极限（x→ x_0）：设函数f(x)在点x_0的某一去心邻域内有定义。

专升本高数全知识点一、知识概述《专升本高数全知识点》①基本定义：高等数学就是大学数学，主要研究函数、极限、导数、积分这些东西。

函数就像是一个有输入和输出的“魔法盒子”，你给它一个数，它按照一定规则给你一个结果。

极限有点像你一直朝着一个地方走，快到目的地但还没到那个确切的点时候的情况。

导数呢，就是函数在某一点变化的快慢程度，就像汽车在某个瞬间的速度。

积分和导数相反，就像是知道速度求路程这样。

②重要程度：在专升本学科里那可是相当重要的。

很多专业都要考，而且是筛选人才的重要部分。

高数好的话，在理工科专业学习起来就会很顺利。

③前置知识：你得对基本的代数知识很熟悉，像一元二次方程这些。

还有函数的概念也要清楚，比如一次函数、二次函数的图像性质等。

④应用价值：在工程领域可以用来计算结构强度，在经济领域可以做成本效益分析之类的。

比如说盖房子的时候，通过高数能算出怎么设计结构能承受更大压力。

二、知识体系①知识图谱：整个高数体系像一棵大树，函数是树根，极限是树干，导数和积分就是树枝和树叶。

导数和积分又各自有很多分支。

②关联知识：函数和极限密切相关，有函数才有极限概念。

导数是从极限发展来的，积分又和导数是逆运算关系。

③重难点分析：重难点有极限的计算（有时候要用到很多复杂技巧）、导数的复合函数求导、积分的换元积分法。

关键是要理解概念然后多做练习才能掌握。

④考点分析：在考试里每个部分都可能考。

选择题会考查基本概念，计算题就着重极限、导数、积分的计算等。

应用题可能会把高数知识用在实际场景下考查。

三、详细讲解【理论概念类- 函数】①概念辨析：函数就是一种对应关系，一个自变量x能通过某种法则找到唯一对应的因变量y。

就像每个人（x）对应着自己唯一的身份证号（y）。

②特征分析：主要特征就是有定义域（x能取的值的范围）和值域（y 能取的值的范围）。

单值性是很重要的一点，就是一个x只能对应一个y。

③分类说明：有初等函数像多项式函数（如y = x²+1）、三角函数（如y = sinx）等，还有分段函数，就是在不同区间有不同表达式的函数。

1河北省专接本数学考点知识大全第一部分一、初等代数1. 一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠）， ⑴ 根的判别式24b ac ∆=-当0∆>时，方程有两个相异实根；当0∆=时，方程有两个相等实根； 当0∆<时，方程有共轭复根。

⑵ 求根公式为1,22b x a-±=2⑶ 韦达定理 12b x x a +=-；12c x x a⋅=. 2. 对数运算性质（0a >，1a ≠）⑴ 若ya x =，则log a y x =；⑵ log 1a a =，log 10a =，ln 1e =，ln10=； ⑶ log ()log log a a a x y x y ⋅=+； ⑷ log log log aa a xx y y=-；⑸ log log b a a x b x =； ⑹ log a xax =，ln x e x = ⑺ log log log b a b xx a=. 3. 指数运算性质 ⑴mnm na a a+⋅=， ⑵m m n n a a a-= ⑶()n m n ma a ⋅=；⑷()n n na b a b ⋅=⋅； ⑸nn n a a b b⎛⎫= ⎪⎝⎭；⑹mn a =⑺01a =； ⑻1mm aa-=. 4.常用不等式及其运算性质3⑴若a b >，则①a c b c ±>±， c a c b -<-； ②ac bc >（0c >）， ac bc <（0c <）； ③a b c c >（0c >）， a bc c<（0c <）； ④nna b >（0n >，0a b >>），nna b <（0n <，0a b >>）；>n 为正整数，0a b >>）. ⑵绝对值不等式设a ，b 为任意实数，则 ①||||||||||a b a b a b -≤±≤+；②||a b ≤（0b >）等价于b a b -≤≤，特别||||a a a -≤≤； ③||a b ≥（0b >）等价于a b ≥或a b ≤-； ⑶某些重要不等式①设a ，b 为任意实数，则222a b ab +≥；②设1a ，2a ，…，n a 均为正数，n 为正整数，则412na a a n+++≥5.常用二项式展开及因式分解公式⑴ ()2222a b a ab b +=++； ⑵ ()2222a b a ab b -=-+；⑶ ()3322333a b a a b ab b +=+++；⑷ ()3322333a b a a b ab b -=-+-；⑸ ()()22a b a b a b -=+-； ⑹ ()3322()a b a b a ab b -=-++；⑺ ()3322()a b a b a ab b +=+-+；⑻ ()123221()nnn n n n n a b a b aa b a b ab b ------=-+++++；5. 牛顿二项式展开公式（n 为正整数）01122211())n n n n k n k k n n n n n n n n n n a b C a C a b C a b C a b C ab C b -----+=+++++++.其中组合系数(1)(2)(1)!kn n n n n k C k ---+=，01n C =，1nn C =.56. 常用数列公式⑴等差数列：1a ，1a d +，1a 2d +，…，1a (1)n d +-.首项为1a ，第n 项为1(1)n a a n d =+-，公差为d ，前n 项的和为1111()(2)[(1)]n s a a d a d a n d =+++++++-1()(1)22n a a nn n na +⋅-=+=. ⑵等比数列：1a ，1a q ，21a q ，…，11n a q-.首项为1a ，公比为q ，前n 项的和为2111111(1)1n n n a q s a a q a q a qq--=++++=-.7. 一些常见数列的前n 项和⑴(1)1232n n n +++++=； ⑵2135(21)n n ++++-=；⑶2222(1)(21)1232n n n n ++++++=；6⑷23333(1)1232n n n +⎡⎤++++=⎢⎥⎣⎦； ⑸111111122334(1)1n n n ++++=-⋅⋅⋅++.8.阶乘!(1)(2)21n n n n =--⋅.二、平面三角1.基本关系⑴22sin cos 1x x +=； ⑵221tan sec x x +=； ⑶221cot csc x x +=； ⑷sin tan cos x x x =； cos cot sin x x x =； 1sec cos x x =；1csc sin x x=. 2.倍角公式⑴sin 22sin cos x x x =；⑵2222cos 2cos sin 12sin 2cos 1x x x x x =-=-=-； ⑶22tan tan 21tan xx x=-.73.半角公式⑴21cos sin22x x-=； ⑵21cos cos 22x x +=； ⑶1cos tan 2sin x x x-=.4.和角公式⑴sin()sin cos cos sin x y x y x y +=+； ⑵sin()sin cos cos sin x y x y x y -=-； ⑶cos()cos cos sin sin x y x y x y +=-； ⑷cos()cos cos sin sin x y x y x y -=-；⑸tan tan tan()1tan tan x yx y x y++=-.5.和差化积公式⑴sin sin 2sincos 22x y x yx y +-+=； ⑵sin sin 2cos sin 22x y x yx y +--=；8⑶cos cos 2cos cos22x y x yx y +-+=； ⑷cos cos 2sin sin22x y x yx y +--=-. 6.积化和差公式⑴1sin cos [sin()sin()]2x y x y x y =++-； ⑵1cos sin [sin()sin()]2x y x y x y =+--；⑶1cos cos [cos()cos()]2x y x y x y =++-；⑷1sin sin [cos()cos()]2x y x y x y =-+--.9三、初等几何下面初等几何公式中，字母r 表示圆半径，h 表示高，l 表示斜高，θ表示角度。

第一章函数、极限、连续第一节函数考点1：判断函数是否为同一函数方法：定义域和对应法则都相同的函数为同一函数。

1.下列函数()f x 与()g x 为同一函数的是（）.A ()f x x =，()g x x =.B ()f x x =，()g x =.C ()f x =()g x =D.()()3ln ,3ln f x x g x x==【答案】D【考点】函数的三要素：定义域、值域、解析式【解析】解：判断函数是否是同一函数，需要定义域与解析式一样，D 选项定义域和解析式都一样，是同一函数。

A 选项解析式不一样。

考点2：求函数定义域（1）具体函数求定义域,00log ,0arcsin ,arccos ,11a ax x x x x x x x ⎧≠⎪⎪⎪≥⎨⎪>⎪-≤≤⎪⎩（2）抽象函数求定义域：()(),,f g x f h x ⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦要使得()(),g x h x 值域要相同，求出x 的范围即可。

1.函数y =的定义域为.【答案】(][),43,-∞-+∞ 【考点】考察函数的定义域。

【解析】解：()()(][)2120340,,43,x x x x x +-≥-+≥∈-∞-+∞ ，2.设函数()y f x =的定义域为[]2,2-，求函数()24f x -的定义域.【答案】[]1,3x ∈【考点】考察函数的定义域。

【解析】解：[]2242,13,1,3x x x -≤-≤≤≤∈考点3：函数的解析式、反函数的求法函数的解析式：配凑法，换元法反函数：解出()x y ϕ=1.已知()11f x x =-则()f f x =⎡⎤⎣⎦（）.A 1x -.B 11x -.C 1x -.D 11x-【答案】D【考点】求函数的解析式。

【解析】解：()11111111x f f x x xx=-=-=⎡⎤⎣⎦---2.已知函数y =，求反函数()1f x -.【答案】()21211x fx x --=+【考点】求解反函数。

《高等数学基础》专转本复习资料一、单项选择题1.设函数f(x)的定义域为，则函数f(x)+f(-x)的图形关于(C)对称.A.y=xB.x轴C.y轴D.坐标原点2.函数在x=0处连续，则k=(C）.A.1B.5D.03.下列等式中正确的是(C).4.若F(x)是4.f(x)的一个原函数，则下列等式成立的是(A).5.下列无穷限积分收敛的是(D).6.设函数f (x)的定义域为，则函数f(x)- f(-x)的图形关于( D)对称.A.y=xB.x轴C.y轴D.坐标原点7.当时，下列变量中( A)是无穷大量.8.设f (x)在点x=1处可导，则 =(B).9.函数在区间(2,4)内满足(A).A.先单调下降再单调上升B.单调上升C.先单调上升再单调下降D.单调下降10.=(B).A.0B. ПC.2ПD. П/211.下列各函数对中，(B)中的两个函数相等.12.当，变量(C)是无穷小量.13.设f(x)在点x=0处可导，则=(A).14.若f(x)的一个原函数是，则=（D）.15.下列无穷限积分收敛的是(C).16.设函数f(x)的定义域为，则函数的图形关于(A)对称.A.坐标原点B.x轴C.y轴D. y=x17.当时，变量(D)是无穷小量.18.设f(x)在x。

可导，则=（C）.19.若则=（B）.20. =（A）.21.下列各函数对中，(B)中的两个函数相等.22.当k=（C）时，在点x=0处连续.A. -1B. 0c.1 D.223. 函数在区间(2,4)内满足(B).A. 先单调下降再单调上升B.单调上升C. 先单调上升再单调下降D.单调下降24 若,则= (D).A. sinx十CB. -sinx十cC. -cosx+cD. cosx 十C25. 下列无穷积分收敛的是(A).26.设函数f(x) 的定义域为，则函数f(x)- f（-x)的图形关于(D)对称.A.y=xB.x轴C.y轴D.坐标原点27. 当x→0时，变量(C)是无穷小量.28. 函数在区间(-5，5) 内满足(B).A. 单调下降B.先单调下降再单调上升C先单调上升再单调下降 D.单调上升29. 下列等式成立的是(A).30.下列积分计算正确的是(D).31. 函数的定义域是（D）.32.若函数，在x=0处连续，则k=（B）.A .1 B.2C.-1D.33.下列函数中，在内是单调减少的函数是（A）.34.若f(x) 的一个原函数是，则=（C）.A. cosx +cB. - sinx十CC. sinx十CD. - cosx十C35. 下列无穷限积分收敛的是（C）.36.下列各函数对中，(C)中的两个函数相等.37.37.在下列指定的变化过程中， (A)是无穷小量.38. 设f(x)在可导，则= (C).39. =(A).40. 下列无穷限积分收敛的是(C).41.下列函数中为奇函数的是(A).42. 当x→0时，变量(C)无穷小量.43.下列等式中正确的是（B）.44 若f(x)的一个原函数是，则=(D).45.=(A).46.函数的图形关于(D)对称.A.y=xB.x轴c.y轴 D.坐标原点47. 在下列指定的变化过程中，(A)是元穷小量.48.函数在区间(-5，5)内满足(C).A. 先单调上升再单调下降B.单调下降C. 先单调下降再单调上升D.单调上升49. 若f(x) 的一个原函数是，则 = (B).50.下列无穷限积分收敛的是(B).二、填空题1.函数的定义域是（3,5） .2.已知，当时，f(x)为无穷小量.3.曲线f(x)=sinx在处的切线斜率是 -1 .4.函数的单调减少区间是 .5.= 0 .6.函数的定义域是（2，6） .7.函数的间断点是 x=0 .8.函数的单调减少区间是 .9.函数的驻点是 x= - 2 .10.无穷积分当时p >1 时是收敛的.11..若，则f(x)= .12.函数的间断点是 x=0 .13.已知，则= 0 .14.函数的单调减少区间是 .15.= .16.函数的定义域是 (-5,2) .17. .18.曲线在点(1,3)处的切线斜率是 2 .19.函数的单调增加区间是 .20.若则f(x）= .21.若则f(x）= .22 已知当时，f(x）为无穷小量.23. 曲线在(l ,2) 处的切线斜率是 .24. = .25 若,则= .26.函数的定义域.27. 函数的间断点是 x=0 .28. 曲线在x=2处的切线斜率是 .29. 函数的单调增加区间是 .30.= .31. 函数，则f(x)= .32. 函数的间断点是 x=3 .33. 已知则 = 0 .34. 函数的单调减少区间 .35. 若f(x) 的一个原函数为lnx，则 f(x) = .36. 若函数，则f(O)= -3 .37.若函数在x=O处连续,则k=e .38.曲线在(2，2)处的切线斜率是 .39.函数的单调增加区间是 .40.= .41. 函数的定义域是(-2，2) .42. 函数的间断点是 x=3 .43. 曲线在(0，2)处的切线斜是 1 .44. 函数的单调增加区间是 .45. 若,则f(x)= .46.函数的定义域是.47.若函数，在x=O处连续，则k= e .48. 已知f(x) =ln2x ，则= 0 .49. 函数的单调增加区间是 .50. ，则= .三、计算题1.计算极限.解：2..解:由导数四则运算法则和复合函数求导法则得3.计算不定积分.解:由换元积分法得4.计算定积分.解:由分部积分法得5.计算极限.解：6.设,求.解：由导数四则运算法则和复合函数求导法则得7.计算不定积分.解:由换元积分法得8.计算定积分.解:由分部积分法得9.计算极限解:10.设，求dy.解:由微分四则运算法则和一阶微分形式不变性得11.计算不定积分.解:由换元积分法得12.计算定积分.解:由分部积分法得13.计算极限.解：14.设，求. 解：15.计算不定积分·解:由换元积分法得16.计算定定积分. 解:由分部积分法得17.计算极限. 解：18.设求dy. 解：19.计算不定积分.解：由换元积分法得20.计算定积分.解：由分部积分法得21.计算极限.22.设求 .解：由导数四则运算法则和导数基本公式得23.计算不定积分.解：由换元积分法得24.计算定积分.解：由分部积分法得25.计算极限.26.设，求.解: 由导数四则运算法则和复合函数求导法则得27.计算不定积分.解：由换元积分法得28.计算定积分.解：由分部积分法得29. 计算极限.30.设,求.解:由导数运算法则和导数基本公式得31.计算不定积分.解：由换元积分法得32. 计算定积分.解：由分部积分法得33. 计算极限.34设，求dy.解: 由微分运算法则和微分基本公式得35.计算不定积分.解：由换元积分法得36.计算定积分.解：由分部积分法得37. 计算极限38.设，求dy.解: 由微分运算法则和微分基本公式得39.计算不定积分.解：由换元积分法得40. 计算定积分.解：由分部积分法得四、应用题1.求曲线上的点，使其到点A(0,2)的距离最短.解:曲线上的点到点A(0,2)的距离公式为d与在同一点取到最大值，为计算方便求最大值点，将代人得求导得令得，并由此解出，即曲线上的点和点到点A(0,2)的距离最短。

2024专插本考试高数考点
在2024年专插本考试中，高等数学科目的考点主要包括：
1. 函数的概念、性质和图像，包括单调性、奇偶性和周期性等。

2. 极限和连续性，包括极限的运算法则、无穷小和有界函数的极限、洛必达法则等。

3. 导数和微分，包括导数的定义和性质、导数的计算和应用等。

4. 一元函数积分学，包括不定积分和定积分的计算和应用等。

5. 多元函数微积分，包括多元函数的微分和积分、偏导数和全微分等。

6. 微分方程，包括一阶和高阶微分方程的解法、线性微分方程等。

7. 无穷级数，包括数列的极限、无穷级数的性质和收敛性等。

8. 线性代数，包括行列式、矩阵和向量等基本概念和性质，以及线性方程组的解法等。

9. 概率论与数理统计，包括随机事件和概率、随机变量及其分布、参数估计和假设检验等。

这些考点只是高等数学科目中的一部分内容，具体考试内容可能会根据不同省份的要求而有所不同。

因此，考生在备考时应该全面系统地复习，掌握各个考点的基本概念和解题方法，以便在考试中取得好成绩。

x + 1x + 1] ]| 1 3考点 1. 求函数的定义域 4x - 1 1、函数 f (x ) = arccos 3的定义域为.1ϑ 1 ]解：由 1 得 4 x - 1 3 → - 2 x 1 ．即它的定义域为| - 2,1| ．2、函数 f (x ) =1 x - 3 + ln( x - 1)的定义域是 （ ）A （ - 1,+ )B （1,+ ）C (-1,3) υ (3,+)D (1,3) υ (3,+)解：选D .由题意：x - 3 σ 0 ，x - 1 > 0 ， x + 1 > 0 ，所以得到函数 y = 1x - 3 + ln( x - 1)的定义域为(1,3) υ (3,+) ．3、设 f ( x ) =11 + x，则 f ϑ f ( x )]] 的定义域为 1 1x σ -1 1 + x 解： ∵ f ϑ f ( x )]] = 1 + f ( x ) =1 +1 1 + x= 2 + x∴ f ϑ f ( x )]] 定义域为(- , -2) υ (-2, -1) υ (-1, + ) .4、 f (x ) 的定义域是[0,1]， ϕ(x ) = f (x - 4) + f (x + 4) 的定义域是（）A ． [0,1]B ． ϑ- 1 , 1 ]C ．ϑ 1 , 3 ]D ．ϑ 1 ]| 4 4 |] | 4 4 |] | 4 ,1| { 1 { 15 |0 x - 4 1 x 4 4解：定义域 D : { |0 x + →{ 1 1 |- 1 4 4 x3 → D :4 x 4 ，因此选C ． 45、如果函数 f (ln x ) 的定义域为[e , +) ，则函数 f (x ) 的定义域为（ ）A 、[e , +)B 、[1, +)C 、[1, e )D 、(0, e ]解：由e x < + → 1 ln x < + ，可知定义域为[1, +) .选 B. 考点 2 求复合函数或函数或复合函数的外层函数 6、已知 f (x ) =x1 + x，则 f [ f (x )] = .4x - 132 1 1 x解：根据复合函数可知： f [ f ( x )] = 1+ x = x.1+ x 1+ x2x + 1 7、设 f (x + 2) = x 2+1, 则 f (x -1) =解：令 x + 2 = t , f (t ) = t 2- 4t + 5f ( x ) = x 2 - 4x + 5 ；f ( x -1) = (x -1)2 -4(x -1)+5= x 2 -6x +10.8、设 y = f (sin x ) = cos 2x + 2 ，求 f ( x ) ．解：因为 f (sin x ) = 1 - sin 2 x + 2 = 3 - sin 2 x ，所以 f ( x ) = 3 - x 2．9、设函数 f (x ) = 1- 2x ， g [ f ( x )] =1- x ，则 g{ 1= .| | x解： 由题意知， g [ f (x )] = g (1 - 2 x ) = 1 - x，题目让求 x x = 1 ，代入 g (1 - 2x ) = 1 - x 即可得到结果 3.g ( 1 ) 2，即已知1 - 2x = ，得24 x 10、设 f (x ) = 2x +5 ，则 f [ f (x ) -1] = .解： f (x ) - 1 = 2x + 5 - 1 = 2x + 4, 则f [ f (x ) - 1] = f (2x + 4) = 2(2x + 4) + 5 = 4x + 13考点 3 函数的奇偶性、有界性等性质的题目 11、函数 y =1 在定义域内是（）xA 、周期函数B 、单调函数C 、有界函数D 、无界函数解：根据函数 y =的图像可知是无界函数.选 D.x12、下列函数时奇函数的是 （）A 、 y = sin 2x • cos xB 、 y = cos 2x • s in x2x + 2- xC 、 y =D 、 y = x 2- x +13解：A 、C 是偶函数，Ｂ是奇函数，Ｄ为非奇非偶．故选Ｂ． 13、以下结论中正确的是 （）Ａ、函数 y = x 3+ 1是奇函数B 、函数 y = sin x2在定义域内有界Ｃ、函数 y = - ln x 在定义域内是单调增加的 D 、函数 y = tan 2x 的周期是νν 解：Ａ选项是非奇非偶的，Ｃ在定义域内是单调减少的，Ｄ的周期为 214、下列函数中，图形关于 y 轴对称的是（）．故选Ｂ．A 、 y = x cos xB 、y = x 3+ x +1 2x - 2- xC 、 y =D 、 y =2 2x + 2- x215、若 f (x ) 的定义域关于原点对称，则下列函数的图像一定关于 y 轴对称的是（）A 、 f (x )B 、 f (-x )C 、 f (x ) + f (-x )D 、 f (x ) - f (- x )解：此题实质也是确定函数奇偶性，利用奇偶函数定义只有 f (x ) + f (-x ) 一定是偶函数， 图像关于 y 轴对称； f (x ) - f (- x ) 奇函数，图像关于原点对称；另两个无法确定.应选 C. 16、若 f (x ) (x χ R ) 为奇函数，则下列函数一定为偶函数的是 A ． f (2x )B． f (-x + 2) C ． f (| x |) D ． 2 f (x )解：由奇偶函数的定义易得 f (| x |) 是偶函数， f (2x ) ， 2 f (x ) 为奇函数， f (-x + 2) 为非奇非偶函数，应选 C. 考点 4 无穷小量阶的比较 17、当n → 时， sin 21与 1为等价无穷小，则k = （）nnkA1 B 1C 2D -22sin 2 1 1 解： lim n = lim n 2 =1， k = 2选 Cn → 1n → 1 n k n k18、当 x → 0 时， ln(1+ x 2) 是比1 - cos x 的 （ ）Ａ、低阶无穷小Ｂ、高阶无穷小Ｃ、等价无穷小Ｄ、同阶但不等价无穷小219、当 x → 0 时，与ｘ不等价的无穷小量是 （）Ａ、2xB 、sin xＣ、e x-1解：根据常用等价关系知，只有2x 与 x 比较不是等价的．故选Ａ． 20、当 x → 0 时， x 2- sin x 是 x 的（）D 、ln(1+ x )A 、高阶无穷小B 、低阶无穷小C 、同阶但非等价无穷小D 、等价无穷小21、当 x → 0 时， f (x )与1- cos x 等价，则lim f (x ) =.考点 5 简单函数求极限或极限的反问题x →0x sin x| 22、若lim {1 + n →5- k n|= e-10, 则 k = .lim 5 (-kn ) 解：左式= en → nf (2x ) = e -5k= e -10 x故k = 2 .23、若lim x →0 x= 2 ，则lim x →0 f (3x ) =（）A ．3B ． 132 tC ．2D ． 12解： lim x →0 x f (3x ) 3x = 2t limt →0 3 f (2t ) = 2 lim 3 t →0 1 f (2t ) t= 2 • 1 = 1 ，∴ 选 B3 2 324、lim nn →-n - 2 )=解：原式有理化lim n → = 3.225、已知lim x →1 x 2 + ax + 61- x存在，则a =解： lim (1 - x ) = 0 ∴ lim (x 2+ ax + 6) = 0 ，1 + a + 6 = 0, a = -7x →126、若 limx 2 ln (1+ x 2 ) x →1= 0 且limsin n x= 0 ,则正整数n = x →0 sin n x x →0 1- c os xx 2 ln (1 + x 2 )x 2 • x 2 n < 4 x n n > 2解： lim = lim0, lim 0 ∴ n > 2, n < 4, 故n = 3 . x →0 sin n x2 x →0 x nx →0 x 2 227、lim(1 + x ) x=（）x →0Ａ、１Ｂ、eＣ、2eＤ、e22 ϑ 1 ]2解： lim(1+ x ) x= |lim(1+ x ) x | = e 2．故选Ｄ．x →0x →0 ]考点 6 函数的连续性问题n +1 n + 1 + n - 2 n (| x ( ) = → {{{ sin bx {1sin x (x < 0) | |0(x = 0) 28、设 f x { |x sin 1 + a (x > 0) 且lim f ( x ) 存在，则a = （ ）x 0| x |A ．-1B ．0C ．1D ．2解： lim =sin x= 1, lim ϑ{ x sin 1 + a ]= o + a ∴ a = 1选 C .x →0xx →0 x| |] { - 1 29、函数 f (x ) = |e x-1 , x σ 1，在点 x = 1 处 （）| 0, x = 1Ａ、连续Ｂ、不连续，但右连续Ｃ、不连续，但左连续 Ｄ、左右都不连续解： f (1) = 0, lim ex →1--1 x -1= , lim ex →1+-1x -1= 0 = f (1) ，所有不连续，但是右连续．选Ｂ．{x 2 - 2, x 1 30、设 f (x ) = {在 x = 1 连续，则a = （）Ａ、-2a , x > 1 Ｂ、-1Ｃ、１Ｄ、２解：根据连续的定义有： a = lim(x 2- 2) = -1．故选Ｂ．x →1-{sin ν (x -1) , x < 131、如果函数 f (x ) = |x -1 处处连续，则k = （ ）| arcsin x + k , x 12 2 ν νA 、 - νB 、νC 、 2sin ν (x -1)D 、- 2解：因为函数处处连续，所以在 x = 1 处也连续，又 lim x →1-x -1= ν ，lim (arcsin x + k ) = ν + k ，从而可知k = ν.选 C. x →1+2 2{a + bx 2 , x 0 32、 f (x ) = |, x > 0在x = 0 处连续，a 与 b 的关系为 . |2x考点 7 函数间断点的类型判定 33、 x = 0 是函数 f (x ) = arctan 1的（）xＡ、连续点Ｂ、可去间断点Ｃ、跳跃间断点Ｄ、第二类间断点解： lim arctan 1= ν， lim arctan 1ν= -→ C ．故选Ｃ．x →0+x 2x →0-x2||+= =34、 x = 0 是 f (x ) = x 2sin 1 x2的（）A 、连续点B 、跳跃间断点C 、可去间断点D 、第二类间断点解：函数 f (x ) 在 x = 0 处无定义，又lim x 2sin 1x →0x 2= 0 ，极限存在，故为可取间断点．选Ｃ．{x - 2, x 035、设 f (x ) = {x + 2, x > 0 ，则 x = 0 是 f (x ) 的（）A 、连续点B 、可去间断点C 、无穷间断点D 、跳跃间断点解： lim ( x - 2) = -2 ， lim (x + 2) = 2 ，根据间断点的分类，可知 x = 0 是跳跃间断点.选 x →0-D.x →0+{x ln x , x > 036、设 f (x ) = {1, x 0 ，则 x = 0 是 f (x ) 的（）A 、连续点B 、可去间断点C 、无穷间断点D 、跳跃间断点1ln x解： lim x ln x lim lim x = - lim x = 0 ， lim 1 = 1，根据间断点的分类，可知 x →0+ x →0+ 1 x →0+ - 1 x →0+x →0-x x 2x = 0 是跳跃间断点.选 D.137、 x = 0 是函数 f (x ) = 2 x-1的（）A 、连续点B 、可去间断点C 、跳跃间断点D 、第二类间断点考点 8 零点定理确定方程根的存在性38、方程 x 3 + x -1 = 0 在区间(0,1) 内的实根的个数为 （）A 、0B 、1Ｃ、2Ｄ、3解：构造函数 f (x ) = x 3+ x -1 ， f (0) = -1 < 0 ， f (1) = 1 > 0 ，根据零点定理知，在(0,1)内至少有一个实根；又 f '(x ) = 3x 2+1 > 0 ，即函数 f (x ) 是单调的。