广东省肇庆市高中数学 第12课 圆的参数方程(2)学案 新人教A版选修44

2．圆的参数方程[对应学生用书P17]圆的参数方程(1)在t 时刻，圆周上某点M 转过的角度是θ，点M 的坐标是(x ，y )，那么θ＝ωt (ω为角速度)．设|OM |＝r ，那么由三角函数定义，有cosωt ＝x r，sinωt ＝y r，即圆心在原点O ，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝rcosωt y ＝rsinωt(t 为参数)．其中参数t 的物理意义是：质点做匀速圆周运动的时间．(2)若取θ为参数，因为θ＝ωt ，于是圆心在原点O ，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝rcos θy ＝rsin θ(θ为参数)．其中参数θ的几何意义是：OM 0(M 0为t ＝0时的位置)绕点O 逆时针旋转到OM 的位置时，OM 0转过的角度．(3)若圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为R ，则圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x0＋Rcos θy ＝y0＋Rsin θ(0≤θ＜2π)．[对应学生用书P17][例1] 圆(x －r )2＋y 2＝r 2(r ＞0)，点M 在圆上，O 为原点，以∠MOx ＝φ为参数，求圆的参数方程．[思路点拨] 根据圆的特点，结合参数方程概念求解． [解] 如图所示，设圆心为O ′，连O ′M ，∵O ′为圆心， ∴∠MO ′x ＝2φ. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ＋rcos 2φ，y ＝rsin 2φ.(1)确定圆的参数方程，必须根据题目所给条件，否则，就会出现错误，如本题容易把参数方程写成⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ＋rcos φ，y ＝rsin φ.(2)由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程．1．已知圆的方程为x 2＋y 2＝2x ，写出它的参数方程． 解：x 2＋y 2＝2x 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝1， 设x －1＝cos θ，y ＝sin θ，则 参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(0≤θ＜2π)．2．已知点P (2,0)，点Q 是圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝sin θ上一动点，求PQ 中点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．解：设中点M (x ，y )．则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ2，y ＝0＋sin θ2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12cos θ，y ＝12sin θ，(θ为参数)这就是所求的轨迹方程．它是以(1,0)为圆心，以12为半径的圆.[例2] 若x ，y 满足(x －1)2＋(y ＋2)2＝4，求2x ＋y 的最值．[思路点拨] (x －1)2＋(y ＋2)2＝4表示圆，可考虑利用圆的参数方程将求2x ＋y 的最值转化为求三角函数最值问题．[解] 令x －1＝2cos θ，y ＋2＝2sin θ，则有 x ＝2cos θ＋1，y ＝2sin θ－2， 故2x ＋y ＝4cos θ＋2＋2sin θ－2. ＝4cos θ＋2sin θ＝25sin(θ＋φ)． ∴－25≤2x ＋y ≤25.即2x ＋y 的最大值为25，最小值为－25.圆的参数方程突出了工具性作用，应用时，把圆上的点的坐标设为参数方程形式，将问题转化为三角函数问题，利用三角函数知识解决问题．3．已知圆C ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ与直线x ＋y ＋a ＝0有公共点，求实数a 的取值范围．解：法一：∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ消去θ，得x 2＋(y ＋1)2＝1.∴圆C 的圆心为(0，－1)，半径为1. ∴圆心到直线的距离d ＝|0－1＋a|2≤1.解得1－2≤a ≤1＋2.法二：将圆C 的方程代入直线方程，得 cos θ－1＋sin θ＋a ＝0， 即a ＝1－(sin θ＋cos θ)＝1－2sin(θ＋π4)．∵－1≤sin(θ＋π4)≤1，∴1－2≤a ≤1＋2.[对应学生用书P19]一、选择题1．圆的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．则圆的圆心坐标为( )A ．(0,2)B ．(0，－2)C ．(－2,0)D ．(2,0)解析：将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ化为(x －2)2＋y 2＝4，其圆心坐标为(2,0)．答案：D2．直线：x ＋y ＝1与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)的公共点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ化为x 2＋y 2＝4，它表示以(0,0)为圆心，2为半径的圆，由于12＝22<2＝r ，故直线与圆相交，有两个公共点． 答案：C3．直线：3x －4y －9＝0与圆：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝2sin θ，(θ为参数)的位置关系是( )A ．相切B ．相离C ．直线过圆心D ．相交但直线不过圆心解析：圆心坐标为(0,0)，半径为2，显然直线不过圆心，又圆心到直线距离d ＝95<2，故选D.答案：D4．P (x ，y )是曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝sin α(α为参数)上任意一点，则(x －5)2＋(y ＋4)2的最大值为( )A ．36B ．6C ．26D ．25解析：设P (2＋cos α，sin α)，代入得： (2＋cos α－5)2＋(sin α＋4)2 ＝25＋sin 2α＋cos 2α－6cos α＋8sin α ＝26＋10sin(α－φ)．∴最大值为36.答案：A 二、填空题5．x ＝1与圆x 2＋y 2＝4的交点坐标是________． 解析：圆x 2＋y 2＝4的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ，令2cos θ＝1得cos θ＝12，∴sin θ＝±32.∴交点坐标为(1，3)和(1，－3)．答案：(1，3)；(1，－3)6．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ＋4sin φ，y ＝4cos φ－3sin φ表示的图形是________．解析：x 2＋y 2＝(3cos φ＋4sin φ)2＋(4cos φ－3sin φ)2＝25.∴表示圆． 答案：圆7．设Q (x 1，y 1)是单位圆x 2＋y 2＝1上一个动点，则动点P (x 21－y 21，x 1y 1)的轨迹方程是________．解析：设x 1＝cos θ，y 1＝sin θ，P (x ，y )． 则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x21－y21＝cos 2θ，y ＝x1y1＝12sin 2θ.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝12sin 2θ，为所求．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θy ＝12sin 2θ三、解答题8．P 是以原点为圆心，r ＝2的圆上的任意一点，Q (6,0)，M 是PQ 中点 ①画图并写出⊙O 的参数方程；②当点P 在圆上运动时，求点M 的轨迹的参数方程． 解：①如图所示，⊙O 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ.②设M (x ，y )，P (2cos θ，2sin θ)， 因Q (6,0)，∴M 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6＋2cos θ2，y ＝2sin θ2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝sin θ.9．(新课标全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2.(1)求C 的参数方程；(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．解：(1)C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)．可得C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos t ，y ＝sin t(t 为参数，0≤t ≤π)．(2)设D (1＋cos t ，sin t )．由(1)知C 是以G (1,0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同，tan t ＝3，t ＝π3.故D 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋cos π3，sin π3，即⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，32. 10．已知直线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋tcos α，y ＝tsin α(t 为参数)，圆C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．(1)当α＝π3时，求C 1与C 2的交点坐标；(2)过坐标原点O 作C 1的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点．当α变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．解：(1)当α＝π3时，C 1的普通方程为y ＝3(x －1)，C 2的普通方程为x 2＋y 2＝1. 联立方程组错误!解得C 1与C 2的交点为(1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，－32. (2)C 1的普通方程为x sin α－y cos α－sin α＝0. A 点坐标为(sin 2α，－cos αsin α)， 故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12sin2α，y ＝－12sin αcos α，(α为参数)．P 点轨迹的普通方程为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －142＋y 2＝116.故P 点轨迹是圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14，0，半径为14的圆．。

第2课时 圆的参数方程[核心必知]如图，设圆O 的半径是r ，点M 从初始位置M 0(t ＝0时的位置)出发，按逆时针方向在圆O 上作匀速圆周运动，点M 绕点O 转动的角速度为ω，以圆心O 为原点，OM 0所在的直线为x 轴，建立直角坐标系．(1)在t 时刻，M 转过的角度是θ，点M 的坐标是(x ，y )，那么θ＝ωt (ω为角速度)．设|OM |＝r ，那么由三角函数定义，有cos ωt ＝x r ，sin ωt ＝yr，即圆心在原点O ，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos ωt ，y ＝r sin ωt (t 为参数)．其中参数t 的物理意义是：质点做匀速圆周运动的时刻．(2)若取θ为参数，因为θ＝ωt ，于是圆心在原点O ，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数)．其中参数θ的几何意义是：OM 0(M 0为t ＝0时的位置)绕点O 逆时针旋转到OM 的位置时，OM 0转过的角度．[问题思考]1．方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝R cos θ，y ＝R sin θ(θ为参数，0≤θ<2π)是以坐标原点为圆心，以R 为半径的圆的参数方程，能否直接由圆的普通方程转化得出？提示：以坐标原点为圆心，以R 为半径的圆的标准方程为x 2＋y 2＝R 2，即(x R )2＋(yR)2＝1，令⎩⎨⎧xR ＝cos θ，y R＝sin θ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝R cos θ，y ＝R sin θ.2．若圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为R ，则圆的参数方程是什么？提示：圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋R cos θ，y ＝y 0＋R sin θ.(0≤θ<2π)点M 在圆(x －r )2＋y 2＝r 2(r >0)上，O 为原点，x 轴的正半轴绕原点旋转到OM 形成的角为φ，以φ为参数．求圆的参数方程．[精讲详析] 本题考查圆的参数方程的求法，解答此题需要借助图形分析圆上点M (x ，y )的坐标与φ之间的关系，然后写出参数方程．如图所示，设圆心为O ′，连接O ′M①当M 在x 轴上方时，∠MO ′x ＝2φ.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ＋r cos 2φ，y ＝r sin 2φ. ②当M 在x 轴下方时，∠MO ′x ＝－2φ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ＋r cos （－2φ），y ＝－r sin （－2φ）. 即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ＋r cos 2φ，y ＝r sin 2φ. ③当M 在x 轴上时，对应φ＝0或φ＝±π2.综上得圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ＋r cos 2φ，y ＝r sin 2φ.(φ为参数且－π2≤φ≤π2)(1)由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程．一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，因此得到的参数方程也可以有不同的形式，形式不同的参数方程表示的曲线却可以是相同的，另外在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围．(2)确定圆的参数方程，必须根据题目所给条件，否则，就会出现错误，如本题如果把参数方程写成⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ＋r cos φ，y ＝r sin φ.φ的意义就改变了．1．设y ＝tx (t 为参数)，则圆x 2＋y 2－4y ＝0的参数方程是________． 解析：把y ＝tx 代入x 2＋y 2－4y ＝0 得x ＝4t 1＋t 2，y ＝4t 21＋t 2，∴参数方程为⎩⎨⎧x ＝4t1＋t 2，y ＝4t 21＋t 2.答案：⎩⎨⎧x ＝4t 1＋t 2，y ＝4t21＋t2(t 为参数)已知点P (2，0)，点Q 是圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)上一动点，求PQ 中点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线？[精讲详析] 本题主要考查圆的参数方程的应用及轨迹的求法．解答本题需设出PQ 的中点M 的坐标为(x ，y )，然后利用已知条件中的参数分别表示x ，y ，从而求出轨迹方程，根据方程说明轨迹的形状．设中点为M (x ，y )，⎩⎨⎧x ＝2＋cos θ2，y ＝0＋sin θ2，即⎩⎨⎧x ＝1＋12cos θ，y ＝12sin θ.它是圆的参数方程，表示以(1，0)为圆心，以12为半径的圆．解决此类问题的关键是利用已知圆的参数方程中所含的参数表示出所求点的坐标，求得参数方程，然后根据参数方程说明轨迹所表示的曲线．2．设点M (x ，y )在圆x 2＋y 2＝1上移动，求点Q (x (x ＋y )，y (x ＋y ))的轨迹的参数方程． 解：设M (cos θ，sin θ)(0≤θ＜2π)，点Q (x 1，y 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝cos θ（cos θ＋sin θ），y 1＝sin θ（cos θ＋sin θ），(θ为参数) 即为所求的参数方程．已知点P (x ，y )是圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ(θ为参数)上的动点，(1)求3x ＋y 的取值范围；(2)若x ＋y ＋a ≥0恒成立，求实数a 的取值范围．[精讲详析] 本题考查圆的参数方程的求法及不等式的恒成立问题，解决本题需要正确求出圆x 2＋y 2＝2y 的参数方程，然后利用参数方程求解问题(1)、(2)．(1)∵P 在圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ上，∴3x ＋y ＝3cos θ＋sin θ＋1＝2sin (θ＋π3)＋1∴－2＋1≤3x ＋y ≤2＋1.即3x ＋y 的取值范围为[－1，3]． (2)∵x ＋y ＋a ＝cos θ＋sin θ＋1＋a ≥0， ∴a ≥－(cos θ＋sin θ)－1.又－(cos θ＋sin θ)－1＝－2sin (θ＋π4)－1≤2－1，∴a ≥2－1即a 的取值范围为[2－1，＋∞)．(1)解决此类问题的关键是根据圆的参数方程写出点的坐标，并正确确定参数的取值范围．(2)利用圆的参数方程求参数或代数式的取值范围的实质是利用正、余弦函数的有界性．3．设方程⎩⎨⎧x ＝1＋cos θ，y ＝3＋sin θ(θ为参数)表示的曲线为C ，求在曲线C 上到原点O 距离最小的点P 的坐标．解：∵OP 2＝(1＋cos θ)2＋(3＋sin θ)2＝5＋23sin θ＋2cos θ＝5＋4sin (θ＋π6)．当θ＝2k π＋43π，k ∈Z 时，OP 最小，此时点P 的坐标为(12，32)．高考模拟中常利用圆的参数方程考查直线与圆、圆与圆的位置关系．本考题将直线的极坐标方程与圆的参数方程相结合，考查直线与圆的交点问题，属低档题．[考题印证]已知圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin θ＝1，则直线l 和圆C 的交点的直角坐标为________．[命题立意] 本题主要考查圆的参数方程与直线的极坐标方程．[解析] 由圆的参数方程知圆心的坐标为(0，1)，半径r ＝1，由直线l 的极坐标方程可知直线l 的方程为y ＝1，则根据图象可知直线l 和圆C 的交点为(－1，1)，(1，1)．答案：(－1，1)，(1，1)一、选择题1．圆的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．则圆的圆心坐标为( )A ．(0，2)B ．(0，－2)C ．(－2，0)D ．(2，0) 解析：选D 圆的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4. 故圆心坐标为(2，0)．2．直线3x －4y －9＝0与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)的位置关系是( )A ．相切B ．相离C ．直线过圆心D ．相交但不过圆心解析：选D 圆的普通方程为x 2＋y 2＝4，∴圆心坐标为(0，0)，半径r ＝2，点(0，0)到直线3x －4y －9＝0的距离为d ＝|－9|32＋42＝95<2，∴直线与圆相交，而(0，0)点不在直线上． 3．P (x ，y )是曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝sin α(α为参数)上任意一点，则(x －5)2＋(y ＋4)2的最大值为( )A ．36B ．6C ．26D ．25解析：选A 设P (2＋cos α，sin α)，代入得： (2＋cos α－5)2＋(sin α＋4)2＝25＋sin 2α＋cos 2α－6cos α＋8sin α＝26＋10sin(α－φ)(tan φ＝34，φ为锐角)．∴最大值为36.4．设Q (x 1，y 1)是单位圆x 2＋y 2＝1上一个动点，则动点P (x 21－y 21，x 1y 1)的轨迹方程是( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin 2θ B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12cos 2θ，y ＝sin 2θC.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝12sin 2θD.⎩⎨⎧x ＝12cos 2θ，y ＝12sin 2θ解析：选C 设x 1＝cos θ，y 1＝sin θ.P (x ，y )则 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 21－y 21＝cos 2θ，y ＝x 1y 1＝12sin 2θ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝12sin 2θ. 二、填空题5．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)表示的图形是________．解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α，且cos 2α＋sin 2α＝1，∴x 2＋(y －1)2＝1.∴该参数方程表示以(0，1)为圆心，以1为半径的圆． 答案：圆6．已知圆C ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ与直线x ＋y ＋a ＝0有公共点，则实数a 的取值范围为________．解析：将圆C 的方程代入直线方程，得 cos θ－1＋sin θ＋a ＝0，即a ＝1－(sin θ＋cos θ)＝1－2sin(θ＋π4)． ∵－1≤sin(θ＋π4)≤1，∴1－2≤a ≤1＋ 2. 答案：[1－2，1＋2]7．P (x ，y )是曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝sin α(α为参数)上任意一点，则P 到直线x －y ＋4＝0的距离的最小值是________．解析：由P 在曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝sin α上可得P 的坐标为(2＋cos α，sin α)．由点到直线的距离公式得d ＝|cos α－sin α＋6|2＝|2cos （α＋π4）＋6|2，当cos (α＋π4)＝－1时，d 最小，d min ＝－2＋62＝－1＋3 2. 答案：－1＋3 28．已知动圆x 2＋y 2－2ax cos θ－2by sin θ＝0(a ，b 是正常数，且a ≠b ，θ为参数)，则圆心的轨迹的参数方程为________．解析：设P (x ，y )为动圆的圆心，由x 2＋y 2－2ax cos θ－2by sin θ＝0得：(x －a cos θ)2＋(y －b sin θ)2＝a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ.答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ三、解答题9．已知圆的方程为x 2＋y 2＝2x ，写出它的参数方程． 解：x 2＋y 2＝2x 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝1， 设x －1＝cos θ，y ＝sin θ，则参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(0≤θ＜2π)．10．已知实数x ，y 满足x 2＋(y －1)2＝1，求t ＝x ＋y 的最大值． 解：方程x 2＋(y －1)2＝1表示以(0，1)为圆心，以1为半径的圆．∴其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ.(θ为参数)∴t ＝x ＋y ＝cos θ＋sin θ＋1 ＝2sin(θ＋π4)＋1 ∴当sin (θ＋π4)＝1时t max ＝2＋1.11．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数，且0≤θ≤2π)，点M 是曲线C 1上的动点．(1)求线段OM 的中点P 的轨迹的参数方程；(2)以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若直线l 的极坐标方程为ρcos θ－ρsin θ＋1＝0(ρ>0)，求点P 到直线l 距离的最大值．解：(1)曲线C 1上的动点M 的坐标为(4cos θ，4sin θ)，坐标原点O (0，0)，设P 的坐标为(x ，y )，则由中点坐标公式得x ＝12(0＋4cos θ)＝2cos θ，y ＝12(0＋4sin θ)＝2sin θ，所以点P 的坐标为(2cos θ，2sin θ)，因此点P 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数，且0≤θ≤2π)．(2)由直角坐标与极坐标关系⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得直线l 的直角坐标方程为x －y ＋1＝0，又由(1)知点P 的轨迹为圆心在原点，半径为2的圆，因为原点(0，0)到直线x －y ＋1＝0的距离为|0－0＋1|12＋（－1）2＝12＝22， 所以点P 到直线l 距离的最大值为2＋22.。

第二讲 参数方程一 曲线的参数方程 1 参数方程的概念 2 圆的参数方程[学习目标]1.理解曲线参数方程的有关概念.2.掌握圆的参数方程.3.能够根据圆的参数方程解决最值问题. [知识链接]曲线的参数方程中，参数是否一定具有某种实际意义？在圆的参数方程中，参数θ有什么实际意义？提示 联系x ，y 的参数t (θ，φ，…)可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是无实际意义的任意实数.圆的参数方程中，其中参数θ的几何意义是OM 0绕点O 逆时针旋转到OM 的位置时，OM 0转过的角度. [预习导引] 1.参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ）y ＝g （t ）①，并且对于 t 的每一个允许值，由方程组①所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么方程组①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 之间关系的变数t 叫做参变数，简称参数.相对于参数方程而言，直接给出的点的坐标间的关系的方程叫做普通方程.2.圆的参数方程(1)如图所示，设圆O 的半径为r ，点M 从初始位置M 0开始出发，按逆时针方向在圆O 上作均速圆周运动，设M (x ，y )，点M 转过的角度是θ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ·cos θ，y ＝r ·sin θ(θ为参数)，这就是圆心在原点，半径为r 的圆的参数方程. (2)圆心为C (a ，b )，半径为r 的圆的普通方程与参数方程要点一 参数方程的概念 例1 已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝at2(t 为参数，a ∈R )，点M (－3，4)在曲线C 上.(1)求常数a 的值；(2)判断点P (1，0)、Q (3，－1)是否在曲线C 上？ 解 (1)将M (－3，4)的坐标代入曲线C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝at 2，得⎩⎪⎨⎪⎧－3＝1＋2t ，4＝at 2，消去参数t ，得a ＝1.(2)由(1)可得，曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝t 2， 把点P 的坐标(1，0)代入方程组，解得t ＝0，因此P 在曲线C 上，把点Q 的坐标(3，－1)代入方程组，得到⎩⎪⎨⎪⎧3＝1＋2t ，－1＝t 2，这个方程组无解，因此点Q 不在曲线C 上. 规律方法 点与曲线的位置关系满足某种约束条件的动点的轨迹形成曲线，点与曲线的位置关系有两种：点在曲线上、点不在曲线上.(1)对于曲线C 的普通方程f (x ，y )＝0，若点M (x 1，y 1)在曲线上，则点M (x 1，y 1)的坐标是方程f (x ，y )＝0的解，即有f (x 1，y 1)＝0，若点N (x 2，y 2)不在曲线上，则点N (x 2，y 2)的坐标不是方程f (x ，y )＝0的解，即有f (x 2，y 2)≠0. (2)对于曲线C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ）(t 为参数)，若点M (x 1，y 1)在曲线上，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝f （t ），y 1＝g （t ）对应的参数t 有解，否则参数t 不存在.跟踪演练1 已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数，0≤θ＜2π).判断点A (2，0)，B ⎝⎛⎭⎪⎫－3，32是否在曲线C 上？若在曲线上，求出点对应的参数的值.解 把点A (2，0)的坐标代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝3sin θ，得cos θ＝1，且sin θ＝0，由于0≤θ＜2π，解之得θ＝0，因此点A (2，0)在曲线C 上，对应参数θ＝0，同理，把B ⎝⎛⎭⎪⎫－3，32代入参数方程，得⎩⎪⎨⎪⎧－3＝2cos θ，32＝3sin θ.∴⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝－32，sin θ＝12.又0≤θ＜2π，∴θ＝56π，所以点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32在曲线C 上，对应θ＝56π.要点二 圆的参数方程及其应用例2 设曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3cos θ，y ＝－1＋3sin θ(θ为参数)，直线l 的方程为x －3y ＋2＝0，则曲线C 上到直线l 距离为71010的点的个数为( ) A.1 B.2 C.3D.4解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3cos θ，y ＝－1＋3sin θ.得(x －2)2＋(y ＋1)2＝9.曲线C 表示以(2，－1)为圆心，以3为半径的圆， 则圆心C (2，－1)到直线l 的距离d ＝710＝71010＜3， 所以直线与圆相交.所以过圆心(2，－1)与l 平行的直线与圆的2个交点满足题意，又3－d ＜71010，故满足题意的点有2个. 答案 B规律方法 1.本题利用三角函数的平方关系，消去参数；数形结合，判定直线与圆的位置关系.2.参数方程表示怎样的曲线，一般是通过消参，得到普通方程来判断，特别要注意变量的取值范围.跟踪演练2 已知实数x ，y 满足(x －1)2＋(y －1)2＝9，求x 2＋y 2的最大值和最小值.解 由已知，可把点(x ，y )视为圆(x －1)2＋(y －1)2＝9上的点，设⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3cos θ，y ＝1＋3sin θ(θ为参数).则x 2＋y 2＝(1＋3cos θ)2＋(1＋3sin θ)2＝11＋6(sin θ＋cos θ)＝11＋62sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4.∵－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4≤1，∴11－62≤x 2＋y 2≤11＋6 2.∴x 2＋y 2的最大值为11＋62，最小值为11－6 2. 要点三 参数方程的实际应用例3 某飞机进行投弹演习，已知飞机离地面高度为H ＝2 000 m ，水平飞行速度为v 1＝100 m/s ，如图所示.(1)求飞机投弹t s 后炸弹的水平位移和离地面的高度；(2)如果飞机追击一辆速度为v 2＝20 m/s 同向行驶的汽车，欲使炸弹击中汽车，飞机应在距离汽车的水平距离多远处投弹？(g ＝10 m/s 2)解 (1)如图所示，建立平面直角坐标系，设炸弹投出机舱的时刻为0 s ，在时刻t s 时其坐标为M (x ，y )，由于炸弹作平抛运动，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝100t ，y ＝2 000－12gt 2， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝100t ，y ＝2 000－5t 2，令y ＝2 000－5t 2＝0，得t ＝20(s )，所以飞机投弹t s 炸弹的水平位移为100t m ，离地面的高度为(2 000－5t 2)m ，其中，0≤t ≤20.(2)由于炸弹水平分运动和汽车的运动均为匀速直线运动，以汽车参考系.水平方向S 相对＝v 相对t ，所以飞机应距离汽车投弹的水平距离为s ＝(v 1－v 2)t ＝(100－20)×20＝1 600(m).规律方法 本题通过点的坐标的参数方程利用运动学知识使问题得解.由于水平抛出的炸弹做平抛运动，可以分解为在水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动，炸弹飞行的时间也就是它作自由落体运动所用的时间. 跟踪演练3 如果本例条件不变，求：(1)炸弹投出机舱10 s 后这一时刻的水平位移和高度各是多少m?(2)如果飞机迎击一辆速度为v 2＝20 m/s 相向行驶的汽车，欲使炸弹击中汽车，飞机应在距离汽车的水平距离多远处投弹？解 (1)将t ＝10代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝100t ，y ＝2 000－5t 2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1 000，y ＝1 500， 所以炸弹投出机舱10 s 后这一时刻的水平位移和高度分别是1 000 m 和1 500 m. (2)由于炸弹水平分运动和汽车的运动均为匀速直线运动，以汽车为参考系.水平方向s 相对＝v 相对t ，所以飞机应距离汽车投弹的水平距离为s ＝(v 1＋v 2)t ＝(100＋20)×20＝2 400(m).1.曲线的普通方程直接地反映了一条曲线上点的横、纵坐标之间的联系，而参数方程是通过参数反映坐标变量x 、y 间的间接联系.在具体问题中的参数可能有相应的几何意义，也可能没有什么明显的几何意义.曲线的参数方程常常是方程组的形式，任意给定一个参数的允许取值就可得到曲线上的一个对应点，反过来，对于曲线上的任一点也必然对应着参数相应的允许取值.2.求曲线参数方程的主要步骤第一步，画出轨迹草图，设M (x ，y )是轨迹上任意一点的坐标.画图时要注意根据几何条件选择点的位置，以利于发现变量之间的关系.第二步，选择适当的参数.参数的选择要考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标x ，y 与参数的关系比较明显，容易列出方程；二是x ，y 的值可以由参数唯一确定.第三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式，证明可以省略.1.下列方程：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ，y ＝m (m 为参数)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ，y ＝n (m ，n 为参数)；(3)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2；(4)x ＋y ＝0中，参数方程的个数为( ) A.1 B.2 C.3D.4解析 由参数方程的概念知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＝m是参数方程，故选A.答案 A2.当参数θ变化时，由点P (2cos θ，3sin θ)所确定的曲线过点( ) A.(2，3)B.(1，5)C.⎝⎛⎭⎪⎫0，π2D.(2，0)解析 当2cos θ＝2，即cos θ＝1，3sin θ＝0.∴过点(2，0). 答案 D3.参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝2(t 为参数)表示的曲线是( )A.两条直线B.一条射线C.两条射线D.双曲线解析 当t ＞0时⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，y ＝2，是一条射线；当t ＜0时，⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－2，y ＝2，也是一条射线，故选C. 答案 C4.已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1y ＝t 2(t 为参数)，若y ＝1，则x ＝________. 解析 当y ＝1时，t 2＝1，∴t ＝±1，当t ＝1时，x ＝2；当t ＝－1时，x ＝0.∴x 的值为2或0. 答案 2或05.已知直线y ＝x 与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos α，y ＝2＋2sin α，(α为参数)相交于两点A 和B ，求弦长|AB |.解 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos α，y ＝2＋2sin α，得⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝2cos α，y －2＝2sin α.∴(x －1)2＋(y －2)2＝4，其圆心为(1，2)，半径r ＝2，则圆心(1，2)到直线y ＝x 的距离d ＝|1－2|12＋（－1）2＝22. ∴|AB |＝2r 2－d 2＝222－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝14.一、基础达标1.已知O 为原点，参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)上的任意一点为A ，则|OA |＝( )A.1B.2C.3D.4解析 |OA |＝x 2＋y 2＝cos 2θ＋sin 2θ＝1，故选A. 答案 A2.已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，曲线C 不经过第二象限，则实数a 的取值范围是( )A.a ≥2B.a ＞3C.a ≥1D.a ＜0解析 ∵曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，∴化为普通方程为(x －a )2＋y2＝4，表示圆心为(a ，0)，半径等于2的圆.∵曲线C 不经过第二象限，则实数a 满足a ≥2，故选A. 答案 A3.圆心在点(－1，2)，半径为5的圆的参数方程为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5－cos θ，y ＝5＋2sin θ(0≤θ＜2π)B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋5cos θ，y ＝－1＋5sin θ(0≤θ＜2π)C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋5cos θ，y ＝2＋5sin θ(0≤θ＜π)D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋5cos θ，y ＝2＋5sin θ(0≤θ＜2π) 解析 圆心在点C (a ，b )，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos θ，y ＝b ＋r sin θ，(θ∈[0，2π)).故圆心在点(－1，2)，半径为5的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋5cos θ，y ＝2＋5sin θ(0≤θ＜2π).答案 D4.将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)化为普通方程为( ) A.y ＝x －2B.y ＝x ＋2C.y ＝x －2(2≤x ≤3)D.y ＝x ＋2(0≤y ≤1)解析 将参数方程中的θ消去，得y ＝x －2.又x ∈[2，3]. 答案 C5.若点(－3，－33)在参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6cos θ，y ＝6sin θ(θ为参数)的曲线上，则θ＝________.解析 将点(－3，－33)的坐标代入参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6cos θ，y ＝6sin θ(θ为参数)得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝－12，sin θ＝－32，解得θ＝4π3＋2k π，k ∈Z . 答案4π3＋2k π，k ∈Z 6.已知圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin θ＝1，则直线l 与圆C 的交点的直角坐标为________.解析 由圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α.可求得其在直角坐标系下的方程为x 2＋(y －1)2＝1，由直线l 的极坐标方程ρsin θ＝1可求得其在直角坐标系下的方程为y ＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，x 2＋（y －1）2＝1可解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝±1，y ＝1.所以直线l 与圆C 的交点的直角坐标为(－1，1)，(1，1). 答案 (－1，1)，(1，1)7.已知曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ(θ为参数)，如果曲线C 与直线x ＋y ＋a ＝0有公共点，求实数a 的取值范围.解 ∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ，∴x 2＋(y ＋1)2＝1.∵圆与直线有公共点，则d ＝|0－1＋a |2≤1，解得1－2≤a ≤1＋ 2. 二、能力提升8.若P (2，－1)为圆O ′：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋5cos θ，y ＝5sin θ(0≤θ＜2π)的弦的中点，则该弦所在直线l的方程是( ) A.x －y －3＝0 B.x ＋2y ＝0 C.x ＋y －1＝0D.2x －y －5＝0解析 ∵圆心O ′(1，0)，∴k PO ′＝－1.∴k l ＝1. ∴直线l 方程为x －y －3＝0. 答案 A9.如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程为________.解析 将x 2＋y 2－x ＝0配方，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，∵圆的直径为1.设P (x ，y )，则x ＝|OP |cosθ＝1×cos θ×cos θ＝cos 2θ，y ＝|OP |sin θ＝1×cos θ×sin θ＝sin θcos θ，∴圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数).答案 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)10.曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝sin t ＋1(t 为参数)与圆x 2＋y 2＝4的交点坐标为________.解析 ∵sin t ∈[－1，1]，∴y ∈[0，2].∵方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝sin t ＋1表示的曲线是线段x ＝1(0≤y ≤2).令x ＝1，由x 2＋y 2＝4，得y 2＝3， ∵0≤y ≤2，∴y ＝ 3. 答案 (1，3)11.设点M (x ，y )在圆x 2＋y 2＝1上移动，求点P (x ＋y ，xy )的轨迹. 解 设点M (cos θ，sin θ)(0≤θ＜2π)，点P (x ′，y ′).则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝cos θ＋sin θ， ①y ′＝cos θsin θ， ② ①2－2×②，得x ′2－2y ′＝1.即x ′2＝2⎝⎛⎭⎪⎫y ′＋12.∴所求点P 的轨迹为抛物线x 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋12的一部分⎝⎛⎭⎪⎫|x |≤2，|y |≤12.12.已知点M (x ，y )是圆x 2＋y 2＋2x ＝0上的动点，若4x ＋3y －a ≤0恒成立，求实数a 的取值范围.解 由x 2＋y 2＋2x ＝0，得(x ＋1)2＋y 2＝1，又点M 在圆上，∴x ＝－1＋cos θ，且y ＝sin θ(θ为参数)，因此4x ＋3y ＝4(－1＋cos θ)＋3sin θ＝－4＋5sin(θ＋φ)≤－4＋5＝1.(φ由 tan φ＝43确定)∴4x ＋3y 的最大值为1.若4x ＋3y －a ≤0恒成立，则a ≥(4x ＋3y )max ， 故实数a 的取值范围是[1，＋∞). 三、探究与创新13.已知圆系方程为x 2＋y 2－2ax cos φ－2ay sin φ＝0(a ＞0，且为已知常数，φ为参数) (1)求圆心的轨迹方程；(2)证明圆心轨迹与动圆相交所得的公共弦长为定值. (1)解 由已知圆的标准方程为：(x －a cos φ)2＋(y －a sin φ2)＝a 2(a ＞0).设圆心坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝a sin φ(φ为参数)，消参数得圆心的轨迹方程为x 2＋y 2＝a 2.(2)证明 由方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2ax cos φ－2ay sin φ＝0x 2＋y 2＝a 2得公共弦的方程：2ax cos φ＋2ay sin φ＝a 2，即x cos φ＋y sin φ－a2＝0，圆x 2＋y 2＝a2的圆心到公共弦的距离d ＝a2为定值.∴弦长l ＝2a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＝3a (定值). 3 参数方程和普通方程的互化[学习目标]1.了解参数方程化为普通方程的意义.2.掌握参数方程化为普通方程的基本方法.3.能够利用参数方程化为普通方程解决有关问题. [知识链接]普通方程化为参数方程，参数方程的形式是否唯一？提示 不一定唯一.普通方程化为参数方程，关键在于适当选择参数，如果选择的参数不同，那么所得的参数方程的形式也不同. [预习导引]参数方程与普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ），就是曲线的参数方程.在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致.要点一 把参数方程化为普通方程例1 在方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋t cos θy ＝b ＋t sin θ，(a ，b 为正常数)中，(1)当t 为参数，θ为常数时，方程表示何种曲线？ (2)当t 为常数，θ为参数时，方程表示何种曲线？解 方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋t cos θ， ①y ＝b ＋t sin θ， ②(a ，b 是正常数)，(1)①×sin θ－②×cos θ得x sin θ－y cos θ－a sin θ＋b cos θ＝0. ∵cos θ、sin θ不同时为零，∴方程表示一条直线. (2)(i)当t 为非零常数时，原方程组为⎩⎪⎨⎪⎧x －at＝cos θ， ③y －b t ＝sin θ. ④③2＋④2得（x －a ）2t 2＋（y －b ）2t2＝1， 即(x －a )2＋(y －b )2＝t 2，它表示一个圆. (ii)当t ＝0时，表示点(a ，b ).规律方法 1.消去参数的常用方法：将参数方程化为普通方程，关键是消去参数，如果参数方程是整式方程，常用的消元法有代入消元法、加减消元法.如果参数方程是分式方程，在运用代入消元或加减消元之前要做必要的变形.另外，熟悉一些常见的恒等式至关重要，如sin 2α＋cos 2α＝1，(e x ＋e －x )2－(e x －e －x )2＝4，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k 21＋k 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 1＋k 22＝1等.2.把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x 及y 的取值范围的影响.本题启示我们，形式相同的方程，由于选择参数的不同，可表示不同的曲线.跟踪演练1 参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)化成普通方程为________.解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α，cos 2α＋sin 2α＝1，∴x 2＋(y －1)2＝1. 答案 x 2＋(y －1)2＝1要点二 把普通方程化成参数方程 例2 求方程4x 2＋y 2＝16的参数方程： (1)设y ＝4sin θ，θ为参数；(2)若令y ＝t (t 为参数)，如何求曲线的参数方程？若令x ＝2t (t 为参数)，如何求曲线的参数方程？解 (1)把y ＝4sin θ代入方程，得到4x 2＋16sin 2θ＝16，于是4x 2＝16－16sin 2θ＝16cos 2θ，∴x ＝±2cos θ. ∴4x 2＋y 2＝16的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数) (2)将y ＝t 代入椭圆方程4x 2＋y 2＝16，得4x 2＋t 2＝16， 则x 2＝16－t 24.∴x ＝±16－t 22.因此，椭圆4x 2＋y 2＝16的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝16－t 22y ＝t ，和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－16－t 22，y ＝t(t 为参数). 同理将x ＝2t 代入椭圆4x 2＋y 2＝16，得椭圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2t ，y ＝41－t 2和⎩⎨⎧x ＝2t ，y ＝－41－t 2(t 为参数).规律方法 1.将圆的普通方程化为参数方程 (1)圆x 2＋y 2＝r2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数)；(2)圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos θ，y ＝b ＋r sin θ(θ为参数).2.普通方程化为参数方程关键是引入参数(例如x ＝f (t )，再计算y ＝g (t ))，并且要保证等价性.若不可避免地破坏了同解变形，则一定要通过x ＝f (t )，y ＝g (t )，调整t 的取值范围，使得在普通方程转化为参数方程的过程中，x ，y 的取值范围保持一致.跟踪演练2 设y ＝tx (t 为参数)，则圆x 2＋y 2－4y ＝0的参数方程是________.解析 把y ＝tx 代入x 2＋y 2－4y ＝0得x ＝4t 1＋t 2，y ＝4t21＋t 2，∴参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 1＋t 2，y ＝4t21＋t 2.(t 为参数).答案 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t1＋t 2，y ＝4t 21＋t 2.(t 为参数)要点三 参数方程的应用例3 已知x 、y 满足x 2＋(y －1)2＝1，求： (1)3x ＋4y 的最大值和最小值； (2)(x －3)2＋(y ＋3)2的最大值和最小值. 解 由圆的普通方程x 2＋(y －1)2＝1得圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ.(θ∈[0，2π)).(1)3x ＋4y ＝3cos θ＋4sin θ＋4＝4＋5sin(θ＋φ)， 其中tan φ＝34，且φ的终边过点(4，3).∵－5≤5sin(θ＋φ)≤5，∴－1≤4＋5sin(θ＋φ)≤9， ∴3x ＋4y 的最大值为9，最小值为－1.(2)(x －3)2＋(y ＋3)2＝(cos θ－3)2＋(sin θ＋4)2＝26＋8sin θ－6cos θ＝26＋10sin(θ＋φ). 其中tan φ＝－34.且φ的终边过点(4，－3).∵－10≤10sin(θ＋φ)≤10，∴16≤26＋10sin(θ＋φ)≤36， 所以(x －3)2＋(y ＋3)2的最大值为36，最小值为16.规律方法 1.运用参数思想解题的关键在于参数的选择.选择参数时，应注意所选择的参数易于与两个坐标产生联系.由于三角函数的巨大作用，常选择角为参数，若轨迹与运动有关，常选择时间为参数.2.解决与圆有关的最大值和最小值问题，常常设圆的参数方程，然后转化为求三角函数的最大值和最小值问题.3.注意运用三角恒等式求最值：a sin θ＋b cos θ＝a 2＋b 2sin(θ＋φ).其中tan φ＝b a(a ≠0)，且φ的终边过点(a ，b ).跟踪演练3 如图，已知点P 是圆x 2＋y 2＝16上的一个动点，定点A (12，0)，当点P 在圆上运动时，利用参数方程求线段PA 的中点M 的轨迹.解 因为圆x2＋y 2＝16的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，所以可设点P (4cos θ，4sin θ)，设点M (x ，y )，由线段中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ＋122，y ＝4sin θ2(θ为参数)，即点M 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ＋6，y ＝2sin θ(θ为参数)，所以点M 的轨迹是以点(6，0)为圆心、2为半径的圆.1.参数方程和普通方程的互化参数方程化为普通方程，可通过代入消元法和三角恒等式消参法消去参数方程中的参数，通过曲线的普通方程来判断曲线的类型.由普通方程化为参数方程要选定恰当的参数，寻求曲线上任一点M 的坐标x ，y 和参数的关系，根据实际问题的要求，我们可以选择时间、角度、线段长度、直线的斜率、截距等作为参数. 2.同一道题参数的选择往往不是唯一的，适当地选择参数，可以简化解题的过程，降低计算量，提高准确率.求轨迹方程与求轨迹有所不同，求轨迹方程只需求出方程即可，而求轨迹往往是先求出轨迹方程，然后根据轨迹方程指明轨迹是什么图形.3.参数方程与普通方程的等价性把参数方程化为普通方程后，很容易改变了变量的取值范围，从而使得两种方程所表示的曲线不一致，因此我们要注意参数方程与普通方程的等价性.1.与普通方程x 2＋y －1＝0等价的参数方程为(t 为参数)( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin t y ＝cos 2t B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos ty ＝sin 2t C.⎩⎨⎧x ＝1－ty ＝tD.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan t y ＝1－tan 2t 解析 A 化为普通方程为x 2＋y －1＝0，x ∈[－1，1]，y ∈[0，1].B 化为普通方程为x 2＋y －1＝0，x ∈[－1，1]，y ∈[0，1].C 化为普通方程为x 2＋y －1＝0，x ∈[0，＋∞)，y ∈(－∞，1].D 化为普通方程为x 2＋y －1＝0，x ∈R ，y ∈R . 答案 D2.将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t，y ＝t 2＋1t2(t 为参数)化为普通方程为________.解析 由x ＝t ＋1t 得x 2＝t 2＋1t 2＋2，又y ＝t 2＋1t 2，∴x 2＝y ＋2.∵t 2＋1t2≥2，∴y ≥2.答案 x 2－y ＝2(y ≥2) 3.参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin 2θ，y ＝sin θ＋cos θ(θ为参数)表示的曲线的普通方程是________.解析 y 2＝(sin θ＋cos θ)2＝sin 2θ＋2sin θcos θ＋cos 2θ＝1＋2sin θcos θ＝1＋x ，又x ＝sin 2θ∈[－1，1]，∴曲线的普通方程是y 2＝x ＋1(－1≤x ≤1).答案 y 2＝x ＋1(－1≤x ≤1)4.已知某条曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝at 2(其中t 是参数，a ∈R )，点M (5，4)在该曲线上. (1)求常数a ；(2)求曲线C 的普通方程.解 (1)由题意，可知⎩⎪⎨⎪⎧1＋2t ＝5，at 2＝4，故⎩⎪⎨⎪⎧t ＝2，a ＝1，所以a ＝1.(2)由已知及(1)可得，曲线C 的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝t 2，由第一个方程，得t ＝x －12，代入第二个方程，得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122，即(x －1)2＝4y 为所求.一、基础达标1.曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝|sin θ|，y ＝cos θ(θ为参数)的方程等价于( )A.x ＝1－y 2B.y ＝1－x 2C.y ＝±1－x 2D.x 2＋y 2＝1解析 由x ＝|sin θ|得0≤x ≤1；由y ＝cos θ得－1≤y ≤1.故选A. 答案 A2.已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝－2－t (t 为参数)与圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ＋1，y ＝2sin θ(θ为参数)，则直线l 的倾斜角及圆心C 的直角坐标分别是( ) A.π4，(1，0) B.π4，(－1，0) C.3π4，(1，0) D.3π4，(－1，0) 解析 直线消去参数得直线方程为y ＝－x ，所以斜率k ＝－1即倾斜角为3π4.圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝4，圆心坐标为(1，0). 答案 C3.参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t 21＋t2，y ＝2t1＋t2(t 为参数)化为普通方程为( )A.x 2＋y 2＝1B.x 2＋y 2＝1去掉(0，1)点 C.x 2＋y 2＝1去掉(1，0)点 D.x 2＋y 2＝1去掉(－1，0)点解析 x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 21＋t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 1＋t 22＝1，又∵x ＝－1时，1－t 2＝－(1＋t 2)不成立，故去掉点(－1，0). 答案 D4.若x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则x ＋3y 的最大值为( ) A.1 B.2 C.3D.4解析 由于圆x 2＋y 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ，(θ为参数)，则x ＋3y ＝3sin θ＋cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6，故x ＋3y 的最大值为2.故选B. 答案 B5.在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t 3(t 为参数)相交于A ，B 两点，则|AB |＝________. 解析 由ρcos θ＝4，知x ＝4.又⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t 3，∴x 3＝y 2(x ≥0). 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，x 3＝y 2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－8. ∴|AB |＝（4－4）2＋（8＋8）2＝16. 答案 166.在极坐标系中，圆C 1的方程为ρ＝42cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面坐标系，圆C 2的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋a cos θ，y ＝－1＋a sin θ(θ为参数)，若圆C 1与C 2相切，则实数a ＝________.解析 圆C 1的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4x ＋4y ，其标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝8，圆心为(2，2)，半径长为22，圆C 2的圆心坐标为(－1，－1)，半径长为|a |，由于圆C 1与圆C 2外切，则|C 1C 2|＝22＋|a |＝32或|C 1C 2|＝|a |－22＝32⇒a ＝±2或a ＝±5 2. 答案 ±2或±5 27.已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1t，y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t ，(t 为参数，t ＞0).求曲线C 的普通方程.解 由x ＝t －1t两边平方得x 2＝t ＋1t－2，又y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t ，则t ＋1t ＝y 3(y ≥6). 代入x 2＝t ＋1t －2，得x 2＝y 3－2.∴3x 2－y ＋6＝0(y ≥6).故曲线C 的普通方程为3x 2－y ＋6＝0(y ≥6). 二、能力提升8.已知在平面直角坐标系xOy 中圆C 的参数方程为：⎩⎨⎧x ＝3＋3cos θ，y ＝1＋3sin θ(θ为参数)，以Ox为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为：ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝0，则圆C 截直线所得弦长为( ) A. 2 B.2 2 C.3 2D.4 2解析 圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋3cos θy ＝1＋3sin θ的圆心为(3，1)，半径为3，直线普通方程为ρ⎝⎛⎭⎪⎫cos θcos π6－sin θsin π6＝32x －12y ＝0，即3x －y ＝0，圆心C (3，1)到直线3x －y ＝0的距离为d ＝|（3）2－1|3＋1＝1，所以圆C 截直线所得弦长|AB |＝2r 2－d 2＝232－12＝4 2. 答案 D9.过原点作倾斜角为θ的直线与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos α，y ＝2sin α相切，则θ＝________.解析 直线为y ＝x tan θ，圆为(x －4)2＋y 2＝4，直线与圆相切时，易知tan θ＝±33，∴θ＝π6或5π6.答案π6或5π610.在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t (t 为参数)与曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θy ＝3cos θ(θ为参数，a ＞0)有一个公共点在x 轴上，则a ＝________.解析 曲线C 1的普通方程为2x ＋y ＝3，曲线C 2的普通方程为x 2a 2＋y 29＝1，直线2x ＋y ＝3与x轴的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，故曲线x 2a 2＋y 29＝1也经过这个点，代入解得a ＝32(舍去－32). 答案 3211.在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系.已知直线l上两点M ，N 的极坐标分别为(2，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π2，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝－3＋2sin θ(θ为参数).(1)设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程； (2)判断直线l 与圆C 的位置关系.解 (1)由题意知，M ，N 的平面直角坐标分别为(2，0)，⎝⎛⎭⎪⎫0，233.又P 为线段MN 的中点，从而点P 的平面直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33，故直线OP 的平面直角坐标方程为y ＝33x . (2)因为直线l 上两点M ，N 的平面直角坐标分别为(2，0)，⎝⎛⎭⎪⎫0，233，所以直线l 的平面直角坐标方程为x ＋3y －2＝0. 又圆C 的圆心坐标为(2，－3)，半径为r ＝2，圆心到直线l 的距离d ＝|2－3－2|2＝32＜r ，故直线l 与圆C 相交.12.已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t －2，y ＝22t(t 为参数).(1)指出C 1，C 2各是什么曲线，并说明C 1与C 2公共点的个数；(2)若把C 1，C 2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C ′1，C ′2.写出C ′1，C ′2的参数方程.C ′1与C ′2公共点的个数和C 1与C 2公共点的个数是否相同？说明你的理由.解 (1)C 1是圆，C 2是直线.C 1的普通方程为x 2＋y 2＝1， 圆心C 1(0，0)，半径r ＝1.C 2的普通方程为x －y ＋2＝0.因为圆心C 1到直线x －y ＋2＝0的距离为1，所以C 2与C 1只有一个公共点.(2)压缩后的参数方程分别为C ′1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝12sin θ(θ为参数)，C ′2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t －2，y ＝24t (t 为参数)，化为普通方程为C ′1：x 2＋4y 2＝1，C ′2：y ＝12x ＋22，联立消元得2x 2＋22x ＋1＝0， 其判别式Δ＝(22)2－4×2×1＝0，所以压缩后的直线C ′2与椭圆C ′1仍然只有一个公共点，和C 1与C 2公共点的个数相同. 三、探究与创新13.已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ. (1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0，0≤θ＜2π).解 (1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t 消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0得，ρ2－8ρcosθ－10ρsin θ＋16＝0，∴C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0； (2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.∴C 1与C 2的交点的极坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2.二 圆锥曲线的参数方程[学习目标]1.掌握椭圆的参数方程及应用.2.了解双曲线、抛物线的参数方程.3.能够利用圆锥曲线的参数方程解决最值、有关点的轨迹问题. [知识链接]1.椭圆的参数方程中，参数φ是OM 的旋转角吗？ 提示 椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数)中的参数φ不是动点M (x ，y )的旋转角，它是点M 所对应的圆的半径OA (或OB )的旋转角，称为离心角，不是OM 的旋转角. 2.双曲线的参数方程中，参数φ的三角函数sec φ的意义是什么？ 提示 sec φ＝1cos φ，其中φ∈[0，2π)且φ≠π2，φ≠32π. 3.类比y 2＝2px (p ＞0)，你能得到x 2＝2py (p ＞0)的参数方程吗？提示 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt ，y ＝2pt 2(p ＞0，t 为参数，t ∈R .) [预习导引] 1.椭圆的参数方程2.双曲线的参数方程3.抛物线的参数方程(1)抛物线y 2＝2px 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t ∈R ，t 为参数).(2)参数t 表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数.要点一 椭圆参数方程的应用 例1 已知A 、B 分别是椭圆x 236＋y 29＝1的右顶点和上顶点，动点C 在该椭圆上运动，求△ABC 重心G 的轨迹的普通方程.解 由题意知A (6，0)，B (0，3).由于动点C 在椭圆上运动，故可设动点C 的坐标为(6cos θ，3sin θ)，点G 的坐标为(x ，y )，由三角形重心的坐标公式可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6＋0＋6cos θ3，y ＝0＋3＋3sin θ3(θ为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝1＋sin θ.故重心G 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝1＋sin θ(θ为参数).规律方法 本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性.运用参数方程显得很简单，运算更简便.跟踪演练1 已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋cos t ，y ＝3＋sin t (t 为参数)，曲线C 2：x 264＋y 29＝1.(1)化C 1为普通方程，C 2为参数方程；并说明它们分别表示什么曲线？(2)若C 1上的点P 对应的参数为t ＝π2，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线C 3：x －2y －7＝0距离的最小值.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋cos t ，y ＝3＋sin t ，得⎩⎪⎨⎪⎧cos t ＝x ＋4，sin t ＝y －3. ∴曲线C 1：(x ＋4)2＋(y －3)2＝1，C 1表示圆心是(－4，3)，半径是1的圆.曲线C 2：x 264＋y 29＝1表示中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆.其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θ，y ＝3sin θ，(θ为参数)(2)依题设，当t ＝π2时，P (－4，4)；且Q (8cos θ，3sin θ)，故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋4cos θ，2＋32sin θ. 又C 3为直线x －2y －7＝0，M 到C 3的距离d ＝55|4cos θ－3sin θ－13| ＝55|5cos(θ＋φ)－13|， 从而当cos θ＝45，sin θ＝－35时，⎝ ⎛⎭⎪⎫其中φ由sin φ＝35，cos φ＝45确定，cos(θ＋φ)＝1，d 取得最小值855.要点二 双曲线参数方程的应用例2 求证：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上任意一点到两渐近线的距离的乘积是一个定值.证明 由双曲线x 2a 2－y 2b2＝1，得两条渐近线的方程是：bx ＋ay ＝0，bx －ay ＝0，设双曲线上任一点的坐标为(a sec φ，b tan φ)， 它到两渐近线的距离分别是d 1和d 2，则d 1·d 2＝|ab sec φ＋ab tan φ|b 2＋a 2·|ab sec φ－ab tan φ|b 2＋（－a ）2＝|a 2b 2（sec 2φ－tan 2φ）|a 2＋b 2＝a 2b2a 2＋b 2(定值).规律方法 在研究有关圆锥曲线的最值和定值问题时，使用曲线的参数方程非常简捷方便，其中点到直线的距离公式对参数形式的点的坐标仍适用，另外本题要注意公式sec 2φ－tan 2φ＝1的应用.跟踪演练2 如图，设P 为等轴双曲线x 2－y 2＝1上的一点，F 1、F 2是两个焦点，证明：|PF 1|·|PF 2|＝|OP |2.证明 设P (sec φ，tan φ)，∵F 1(－2，0)，F 2(2，0)， ∴|PF 1|＝（sec φ＋2）2＋tan 2φ ＝2sec 2φ＋22sec φ＋1， |PF 2|＝（sec φ－2）2＋tan 2φ＝2sec 2φ－22sec φ＋1，|PF 1|·|PF 2|＝（2sec 2φ＋1）2－8sec 2φ＝2sec 2φ－1. ∵|OP |2＝sec 2φ＋tan 2φ＝2sec 2φ－1， ∴|PF 1|·|PF 2|＝|OP |2. 要点三 抛物线参数方程的应用例3 设抛物线y 2＝2px 的准线为l ，焦点为F ，顶点为O ，P 为抛物线上任一点，PQ ⊥l 于Q ，求QF 与OP 的交点M 的轨迹方程.解 设P 点的坐标为(2pt 2，2pt )(t 为参数)， 当t ≠0时，直线OP 的方程为y ＝1tx ，QF 的方程为y ＝－2t ⎝⎛⎭⎪⎫x －p 2，它们的交点M (x ，y )由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1txy ＝－2t ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2确定，两式相乘，消去t ，得y 2＝－2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，∴点M 的轨迹方程为2x 2－px ＋y 2＝0(x ≠0).当t ＝0时，M (0，0)满足题意，且适合方程2x 2－px ＋y 2＝0. 故所求的轨迹方程为2x 2－px ＋y 2＝0.规律方法 1.抛物线y 2＝2px (p ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)，参数t 为任意实数，它表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数.2.用参数法求动点的轨迹方程，其基本思想是选取适当的参数作为中间变量，使动点的坐标分别与参数有关，从而得到动点的参数方程，然后再消去参数，化为普通方程.跟踪演练3 已知抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)，其中p ＞0，焦点为F ，准线为l .过抛物线上一点M 作l 的垂线，垂足为E ，若|EF |＝|MF |，点M 的横坐标是3，则p ＝________. 解析 根据抛物线的参数方程可知抛物线的标准方程是y 2＝2px ，所以y 2M ＝6p ，所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，±6p ，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，所以p 2＋3＝p 2＋6p ，所以p 2＋4p －12＝0，解得p ＝2(负值舍去).答案 21.圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ中的参数θ是半径OM 的旋转角，椭圆参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ中的参数φ是椭圆上点M 的离心角.2.椭圆（x －m ）2a 2＋（y －n ）2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋a cos φ，y ＝n ＋b sin φ(φ为参数).3.双曲线的参数方程中，参数φ的三角函数cot φ、sec φ、csc φ的意义分别为cot φ＝1tan φ，sec φ＝1cos φ，csc φ＝1sin φ. 4.抛物线y 2＝2px 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)，由于y x ＝1t ，因此t 的几何意义是抛物线的点(除顶点外)与抛物线的顶点连线的斜率的倒数.5.利用圆锥曲线的参数方程，可以方便求解一些需要曲线上点的两个坐标独立表示的问题，如求最大值、最小值问题、轨迹问题等.1.参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝e t＋e －t，y ＝2（e t －e －t）(t 为参数)的普通方程是( ) A.抛物线 B.一条直线 C.椭圆D.双曲线解析 由参数方程⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝2e t＋2e －t，y ＝2（e t －e －t）平方相减可得4x 2－y 2＝16，即x 24－y 216＝1，故答案为D. 答案 D2.椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)的焦点坐标为( )A.(0，0)，(0，－8)B.(0，0)，(－8，0)C.(0，0)，(0，8)D.(0，0)，(8，0)解析 利用平方关系化为普通方程：（x －4）225＋y29＝1.∴焦点(0，0)，(8，0). 答案 D3.参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α2＋cos α2，y ＝2＋sin α(α为参数)表示的普通方程是________.解析 因x 2＝1＋sin α，y 2＝2＋sin α，所以y 2－x 2＝1，又因x ＝sinα2＋cos α2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π4，所以答案为y 2－x 2＝1(|x |≤2且y ≥1). 答案 y 2－x 2＝1(|x |≤2且y ≥1)4.点P (1，0)到曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t (参数t ∈R )上的点的最短距离为( )A.0B.1C. 2D.2解析 d 2＝(t 2－1)2＋4t 2＝(t 2＋1)2.∵t ∈R ，∴d 2min ＝1，∴d min ＝1. 答案 B5.已知点P 是椭圆x 24＋y 2＝1上任意一点，求点P 到直线l ：x ＋2y ＝0的距离的最大值. 解 因为P 为椭圆x 24＋y 2＝1上任意一点，故可设P (2cos θ，sin θ)，其中θ∈[0，2π).又直线l ：x ＋2y ＝0. 因此点P 到直线l 的距离d ＝|2cos θ＋2sin θ|12＋22＝22⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π45.又θ∈[0，2π)，∴d max ＝225＝2105， 即点P 到直线e ：x ＋2y ＝0的距离的最大值为2105.一、基础达标1.参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)化为普通方程为( )。

第二讲 参数方程复习课学习目标 1.梳理知识要点，构建知识网络.2.进一步巩固对参数方程等相关概念的理解和认识.3.能综合应用极坐标、参数方程解决问题．1．参数方程的定义一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数错误!①并且对于t 的每一个允许值，由方程组①所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么方程组①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数．参数方程中的参数可以是有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数．2．常见曲线的参数方程 (1)直线过定点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程的标准形式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x0＋tcos α，y ＝x0＋tsin α(t为参数)． (2)圆 ①圆x 2＋y 2＝r2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝rcos θ，y ＝rsin θ(θ为参数)；②圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋rcos θ，y ＝b ＋rsin θ(θ为参数)．(3)椭圆中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2(a >b >0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝acos φ，y ＝bsin φ(φ为参数)．(4)双曲线中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线b 2x 2－a 2y 2＝a 2b 2(a >0，b >0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝asec φ，y ＝btan φ(φ为参数)．(5)抛物线抛物线y 2＝2px (p >0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2ptan2α，y ＝2ptan α(α为参数)或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt2，y ＝2pt (t为参数)．类型一 参数方程化为普通方程 例1 把下列参数方程化为普通方程：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ－4sin θ，y ＝2cos θ＋sin θ(θ为参数)；(2)错误!(t 为参数，a ，b >0)． 解 (1)关于cos θ，sin θ的方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ－4sin θ，y ＝2cos θ＋sin θ，变形得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝y －2x9，cos θ＝x ＋4y9.∴⎝⎛⎭⎪⎫x ＋4y 92＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －2x 92＝cos 2θ＋sin 2θ＝1，即5x 2＋4xy ＋17y 2－81＝0. (2)由错误!解得错误! ∴①2－②2，得4x2a2－4y2b2＝4，∴x2a2－y2b2＝1(x >0)． 反思与感悟 参数方程化为普通方程的注意事项(1)在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致，由参数方程化为普通方程时需要考虑x 的取值范围，注意参数方程与消去参数后所得的普通方程同解性的判定．(2)消除参数的常用方法：①代入消参法；②三角消参法；③根据参数方程的特征，采用特殊的消参手段．跟踪训练1 判断方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ＋1sin θ，y ＝sin θ－1sin θ(θ是参数且θ∈(0，π))表示的曲线的形状．解 ∵x 2－y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ＋1sin θ2－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ－1sin θ2＝4， 即x 2－y 2＝4，∴x24－y24＝1.又∵θ∈(0，π)，∴sin θ>0，∴x ＝sin θ＋1sin θ≥2， 当且仅当θ＝π2时等号成立，又y ＝sin θ－1sin θ＝sin2θ－1sin θ≤0， ∴曲线为等轴双曲线x24－y24＝1在右支位于x 轴下方的部分．类型二 参数方程的应用 命题角度1 直线参数方程的应用例2 已知点P (3,2)平分抛物线y 2＝4x 的一条弦AB ，求弦AB 的长．解 设弦AB 所在的直线方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋tcos α，y ＝2＋tsin α(t 为参数)，代入方程y 2＝4x 整理，得t 2sin 2α＋4(sin α－cos α)t －8＝0.①∵点P (3,2)是弦AB 的中点，由参数t 的几何意义可知，方程①的两个实根t 1，t 2满足关系t 1＋t 2＝0. 即sin α－cos α＝0.∵0≤α<π，∴α＝π4.∴|AB |＝|t 1－t 2|＝错误!＝错误!＝8.反思与感悟 应用直线的参数方程求弦长要注意的问题 (1)直线的参数方程应为标准形式． (2)要注意直线倾斜角的取值范围．(3)设直线上两点对应的参数分别为t 1，t 2. (4)套公式|t 1－t 2|求弦长．跟踪训练2 直线l 过点P 0(－4,0)，它的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋32t ，y ＝12t(t 为参数)，直线l 与圆x 2＋y 2＝7相交于A ，B 两点． (1)求弦长|AB |；(2)过P 0作圆的切线，求切线长． 解 将直线l 的参数方程代入圆的方程， 得⎝ ⎛⎭⎪⎫－4＋32t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12t 2＝7，整理得t 2－43t ＋9＝0. (1)设A 和B 两点对应的参数分别为t 1和t 2，由根与系数的关系，得t 1＋t 2＝43，t 1t 2＝9.故|AB |＝|t 2－t 1|＝错误!＝2错误!. (2)设圆过P 0的切线为P 0T ，T 在圆上， 则|P 0T |2＝|P 0A |·|P 0B |＝|t 1t 2|＝9， ∴切线长|P 0T |＝3.命题角度2 曲线参数方程的应用例3 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2 2.(1)求曲线C 与直线l 在该直角坐标系下的普通方程；(2)动点A 在曲线C 上，动点B 在直线l 上，定点P (－1,1)，求|PB |＋|AB |的最小值．解 (1)由曲线C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝sin α，可得(x －2)2＋y 2＝1，由直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22，可得ρ(sin θ＋cos θ)＝4， 即x ＋y ＝4.(2)方法一 设P 关于直线l 的对称点为Q (a ，b )， 故错误!⇒错误! 所以Q (3,5)，由(1)知曲线C 为圆，圆心C (2,0)，半径r ＝1， |PB |＋|AB |＝|QB |＋|AB |≥|QC |－1.仅当Q ，B ，A ，C 四点共线时，且A 在B ，C 之间时等号成立，故(|PB |＋|AB |)min ＝26－1.方法二 如图，圆心C 关于直线l 的对称点为D (4,2)，连接PD ，交直线l 于点B ，此时|PB |＋|AB |有最小值，且|PB |＋|AB |＝|PB |＋|BC |－1＝|PB |＋|BD |－1＝|PD |－1＝26－1.反思与感悟 (1)关于折线段的长度和或长度差的最大值或最小值的求法，常常利用对称性以及两点之间线段最短解决．(2)有关点与圆、直线与圆的最大值或最小值问题，常常转化为经过圆心的直线、圆心到直线的距离等．跟踪训练3 已知曲线C ：x24＋y29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值．解 (1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|，则|PA |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为2255. 当sin(θ＋α)＝1时，|PA |取得最小值，最小值为255.类型三 极坐标与参数方程例4 在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25.(1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tcos α，y ＝tsin α(t 为参数)，l 与圆C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求l 的斜率．解 (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，可得圆C 的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.(2)方法一 在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )． 设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程，得ρ2＋12ρcos α＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11. |AB |＝|ρ1－ρ2|＝错误!＝错误!.由|AB |＝10，得cos 2α＝38，tan α＝±153.所以l 的斜率为153或－153. 方法二 把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tcos α，y ＝tsin α代入(x ＋6)2＋y 2＝25，得t 2＋(12cos α)t ＋11＝0， 设A ，B 对应的参数为t 1，t 2， 所以t 1＋t 2＝－12cos α，t 1t 2＝11.则|AB |＝|t 1－t 2|＝错误!＝错误!＝错误!，所以cos 2α＝错误!，所以tan α＝±错误!. 所以l 的斜率为153或－153.反思与感悟 (1)极坐标与参数方程综合是高考的重点、热点．(2)解决此类问题一般可以转化为直角坐标下求解．当然也可以转化为极坐标下求解，关键是根据题目特点合理转化．跟踪训练4 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4cost ，y ＝23sint(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为3ρcos θ＋2ρsin θ＝12.(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，M 为曲线C 与y 轴负半轴的交点，求四边形OMAB 的面积．解 (1)由⎩⎨⎧x ＝4cos t ，y ＝23sin t ，得⎩⎪⎨⎪⎧x 4＝cos t ，y23＝sin t ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 232＝(cos t )2＋(sin t )2＝1， 所以曲线C 的普通方程为x216＋y212＝1.在3ρcos θ＋2ρsin θ＝12中，由ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ， 得3x ＋2y －12＝0，所以直线l 的直角坐标方程为3x ＋2y －12＝0.(2)由(1)可得M (0，－23)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x216＋y212＝1，3x ＋2y －12＝0，易得A (4,0)，B (2,3)，所以四边形OMAB 的面积为12×4×(3＋23)＝6＋4 3.1．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θ，y ＝10sin θ(θ为参数)的焦点坐标为( )A ．(±3,0)B ．(0，±3)C ．(±6,0)D ．(0，±6)答案 D解析 曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θ，y ＝10sin θ(θ为参数)的普通方程为y2102＋x282＝1，这是焦点在y 轴上的椭圆，c 2＝a 2－b 2＝62， 所以焦点坐标为(0，±6)．2．椭圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos φ，y ＝3sin φ(0≤φ<2π)，则椭圆的离心率为( )A.12B.32C.22D.34 答案 A3．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝1＋4t(t 为参数)，圆C 的极坐标方程为ρ＝22sin θ，则直线l 与圆C 的位置关系为( ) A ．相离 B ．相切 C ．相交 D ．由参数确定答案 C4．点P (1,0)到曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t2，y ＝2t (t 为参数)上的点的最短距离为________．答案 1解析 设点P (1,0)到曲线上的点的距离为d ，则d ＝错误!＝错误!＝错误!＝t 2＋1≥1.所以点P 到曲线上的点的距离的最小值为1.5．在平面直角坐标系xOy 中，设P (x ，y )是椭圆x23＋y 2＝1上的一个动点，求S ＝x ＋y 的最大值和最小值．解 椭圆x23＋y 2＝1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)，故设动点P (3cosφ，sin φ)，其中φ∈[0,2π)． 因此S ＝x ＋y ＝3cos φ＋sin φ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3cos φ＋cos π3·sin φ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫φ＋π3. ∴当φ＝π6时，S 取得最大值2；当φ＝7π6时，S 取得最小值－2.1．参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的又一种表示形式．某些曲线上点的坐标，用普通方程描述它们之间的关系比较困难，甚至不可能，列出的方程既复杂又不易理解，而用参数方程来描述曲线上点的坐标的间接关系比较方便，学习参数方程有助于进一步体会数学方法的灵活多变，提高应用意识和实践能力．2．参数方程、极坐标方程是解析几何曲线方程的另外两种巧妙的表达形式，解题时要善于根据解题的需求将参数方程与普通方程进行互化，达到方便解题的目的，同时注意参数的范围．一、选择题1．在极坐标系中，直线2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2＋2与圆ρ＝2sin θ的位置关系为( ) A ．相离 B ．相切 C ．相交 D ．以上都有可能答案 B解析 直线2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2＋2与圆ρ＝2sin θ的直角坐标方程分别为x ＋y ＝2＋1，x 2＋(y －1)2＝1，圆心(0,1)到直线x ＋y －(2＋1)＝0的距离d ＝错误!＝1，所以直线与圆相切．2．下列各点在方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ，y ＝cos2θ(θ为参数)所表示的曲线上的为( )A ．(2，－7)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12 D ．(1,0)答案 C3．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2－2t ，y ＝3＋2t(t 为参数)上与点P (－2,3)的距离等于2的点的坐标是( )A ．(－4,5)B ．(－3,4)C ．(－3,4)或(－1,2)D ．(－4,5)或(0,1)答案 C4．下列参数方程(t 为参数)与普通方程x 2－y ＝0表示同一曲线方程的是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝|t|，y ＝tB.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cost ，y ＝cos2tC.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tant ，y ＝1＋cos2t1－cos2tD.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tant ，y ＝1－cos2t1＋cos2t答案 D解析 注意参数的范围，可利用排除法，普通方程x 2－y ＝0中的x ∈R ，y ≥0.A 中x ＝|t |≥0，B 中x ＝cos t ∈[－1,1]，故排除A 和B ；而C 中y ＝2cos2t 2sin2t ＝1tan2t ＝1x2，即x 2y＝1，故排除C.5．抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t ，y ＝4t2(t 为参数)的准线方程是( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．y ＝1D ．y ＝－1答案 D解析 由x ＝4t ，得t 2＝x216，∴y ＝4t 2＝x24，即x 2＝4y ，∴准线方程为y ＝－1.6．若直线y ＝x －b 与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ， θ∈[0,2π)有两个不同的公共点，则实数b 的取值范围是( )A ．(2－2，1)B ．[2－2，2＋2]C ．(－∞，2－2)∪(2＋2，＋∞)D ．(2－2，2＋2)答案 D解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ消去θ，得(x －2)2＋y 2＝1.(*) 将y ＝x －b 代入(*)式， 化简得2x 2－(4＋2b )x ＋b 2＋3＝0， 依题意知，Δ＝[－(4＋2b )]2－4×2(b 2＋3)>0，解得2－2<b <2＋ 2.二、填空题7．点(－3,0)到直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2t ，y ＝22t (t 为参数)的距离为________． 答案 1解析 ∵直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝22t 的普通方程为x －22y ＝0， ∴点(－3,0)到直线的距离为d ＝错误!＝1. 8．已知P 为椭圆4x 2＋y 2＝4上的点，O 为原点，则|OP |的取值范围是________．答案 [1,2]解析 由4x 2＋y 2＝4，得x 2＋y24＝1. 令⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)， 则|OP |2＝x 2＋y 2＝cos 2φ＋4sin 2φ＝1＋3sin 2φ.∵0≤sin 2φ≤1，∴1≤1＋3sin 2φ≤4，∴1≤|OP |≤2.9．在极坐标系中，直线过点(1,0)且与直线θ＝π3(ρ∈R )垂直，则直线的极坐标方程为________________________________________________________________________．答案 2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝1(或2ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1、ρcos θ＋3ρsin θ＝1) 解析 由题意可知在平面直角坐标系中，直线θ＝π3的斜率是3，所求直线过点(1,0)，且斜率是－13，所以直线方程为y ＝－13(x －1)，化成极坐标方程为ρsin θ＝－13(ρcos θ－1)，化简得2ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝1. 10．已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫22，7π4，则点A 到直线l 的距离为______________________________________________________________．答案 522解析 ∵2ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2， ∴2ρ⎝⎛⎭⎪⎫sin θcos π4－cos θsin π4＝2(ρsin θ－ρcos θ)＝2， 即ρsin θ－ρcos θ＝1，∴直线l 的直角坐标方程为y －x ＝1，即x －y ＋1＝0.∵点A ⎝⎛⎭⎪⎫22，7π4的直角坐标为(2，－2)， ∴点A 到直线l 的距离d ＝|2＋2＋1|2＝522. 三、解答题11．已知x ，y 满足(x －1)2＋(y ＋2)2＝4，求S ＝3x －y 的最值．解 由(x －1)2＋(y ＋2)2＝4可知，曲线表示以(1，－2)为圆心，2为半径的圆． 令x ＝1＋2cos θ，y ＝－2＋2sin θ，则S ＝3x －y ＝3(1＋2cos θ)－(－2＋2sin θ)＝5＋6cos θ－2sin θ＝5＋210·sin(θ＋φ)(其中tan φ＝－3)，所以，当sin(θ＋φ)＝1时，S 取得最大值5＋210；当sin(θ＋φ)＝－1时，S 取得最小值5－210.12．已知直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a －2t ，y ＝－4t (t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)．(1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围．解 (1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0，圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16.(2)因为直线l 与圆C 有公共点，故圆C 的圆心(0,0)到直线l 的距离d ＝|－2a|5≤4， 解得－25≤a ≤2 5. 即实数a 的取值范围为[－25，25]．13．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数，且0≤θ<2π)，点M 是曲线C 1上的动点．(1)求线段OM 的中点P 的轨迹的直角坐标方程；(2)以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若直线l 的极坐标方程为ρcos θ－ρsin θ＋1＝0(ρ>0)，求点P 到直线l 距离的最大值．解 (1)曲线C 1上的动点M 的坐标为(4cos θ，4sin θ)，坐标原点为O (0,0)，设P 的坐标为(x ，y )，则由中点坐标公式，得x ＝12(0＋4cos θ)＝2cos θ，y ＝12(0＋4sin θ)＝2sin θ， 所以点P 的坐标为(2cos θ，2sin θ)，因此点P 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数，且0≤θ<2π)，消去参数θ，得点P 轨迹的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4.(2)由直角坐标与极坐标关系，得直线l 的直角坐标方程为x －y ＋1＝0.又点P 的轨迹为圆心在原点，半径为2的圆，因为原点(0,0)到直线x －y ＋1＝0的距离为错误!＝错误!＝错误!，所以点P 到直线l 距离的最大值为2＋22. 四、探究与拓展14．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2＋t ，y ＝3＋t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ－4cos θ＝0(ρ≥0,0≤θ<2π)，则直线l 与曲线C 的公共点的极径ρ＝________.答案 5解析 直线l 的普通方程为y ＝x ＋1，曲线C 的直角坐标方程为y 2＝4x ，联立两方程⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋1，y2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2.所以公共点为(1,2)，所以公共点的极径为ρ＝22＋1＝ 5.15．设飞机以v ＝150m/s 的速度水平匀速飞行，若在飞行高度h ＝588m 处投弹(假设炸弹的初速度等于飞机的速度)．(1)求炸弹离开飞机后的轨迹方程；(2)试问飞机在离目标多远(水平距离)处投弹才能命中目标．解 (1)如图所示，A 为投弹点，坐标为(0,588)，B 为目标，坐标为(x 0,0)．记炸弹飞行的时间为t ，在A 点t ＝0.设M (x ，y )为飞行曲线上的任一点，它对应时刻t ，炸弹初速度v 0＝150 m/s ，用物理学知识，分别计算水平、竖直方向的路程，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝v0t ，y ＝588－12gt2(g ＝9.8 m/s 2)，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝150t ，y ＝588－4.9t2，所以炸弹离开飞机后的轨迹方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝150t ，y ＝588－4.9t2(0≤t ≤230)．(2)炸弹飞行到地面目标B 处的时间t 0满足方程y ＝0，即588－4.9t 20＝0，解得t 0＝230 s.将t 0＝230代入x ＝150t 中，得x 0＝30030 m.即飞机在离目标30030 m(水平距离)处投弹才能命中目标．。

第12课 圆的参数方程（2）
一、学习要求
1.掌握圆的参数方程；了解圆的参数方程中的参数的意义；
2.能根据圆的参数方程解决一些简单问题。

二、先学后讲
1.圆的参数方程 （1）圆心在原点，半径为
的圆的参数方程:
（
为参数）. 它的普通方程是：.
（2）圆心在点
，半径为
的圆的参数方程:
（
为参数）.
它的普通方程是：.
【要点说明】
利用参数方程，将问题转化为三角函数形式，可利用三角函数的有界性求最值。

三、问题探究 ■合作探究 例1．已知实数
，满足
，求
的最大值。

解：∵方程表示圆心为，半径为3的圆，
其参数方程为（
为参数）.
∵实数，满足，
∴设点
，
是圆
上任意一点，则
（
为参数）.
∴
x
y )
x
∵，
∴，
∴的最大值是。

■自主探究
1．已知实数，满足，求的最值。

解：∵方程表示圆心为，半径为1的圆，
其参数方程为（为参数）.
∵实数，满足，
∴设点，是圆上任意一点，则
（为参数）.
∴，
当时，取得最大值：；
当时，取得最小值：。

四、总结提升
本节课你主要学习了。

五、问题过关
1.直线与圆（为参数）相切，则实数的值是。

解：由圆的参数方程可知圆心为，半径为1，
∵直线与圆相切，
∴，解得或。

2.直线与圆（为参数）的位置关系是（）。

.相切.相离.直线过圆心.相交但直线不过圆心
解：由圆的参数方程可知圆心为，半径为，。

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参数方程的概念圆的参数方程1．了解曲线的参数方程的概念与特点．2．理解圆的参数方程的形式和特点．（重点)3．运用圆的参数方程解决最大值、最小值问题．（难点、易错点)［基础·初探］教材整理1 参数方程的概念阅读教材P21～P23“圆的参数方程”以上部分，完成下列问题．一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数｛x＝f t①，并且对于t的每一个允许值，由方程组①所确定的点M（x，y）都，y＝g t在这条曲线上，那么方程组①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．方程错误!(θ是参数)所表示曲线经过下列点中的( ）A．(1，1） B.错误!C。

错误!D。

错误!【解析】将点的坐标代入方程：错误!，解θ的值．若有解，则该点在曲线上．【答案】C教材整理2 圆的参数方程阅读教材P23~P24“思考”及以上部分,完成下列问题．1．如图2­1。

1，设圆O的半径为r，点M从初始位置M0（t＝0时的位置)出发，按逆时针方向在圆O上作匀速圆周运动，设M（x，y)，点M转过的角度是θ，则错误!（θ为参数）,这就是圆心在原点，半径为r的圆的参数方程．图2。

2．圆的参数方程圆的参数方程(1)在t 时刻，圆周上某点M 转过的角度是θ，点M 的坐标是(x ，y )，那么θ＝ωt (ω为角速度)．设|OM |＝r ，那么由三角函数定义，有cos ωt ＝xr ，sin ωt ＝y r，即圆心在原点O ，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos ωt ，y ＝r sin ωt (t 为参数)．其中参数t 的物理意义是：质点做匀速圆周运动的时刻．(2)若取θ为参数，因为θ＝ωt ，于是圆心在原点O ，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数)．其中参数θ的几何意义是：OM 0(M 0为t ＝0时的位置)绕点O 逆时针旋转到OM 的位置时，OM 0转过的角度．(3)若圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为R ，则圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋R cos θ，y ＝y 0＋R sin θ(0≤θ＜2π)．圆(数方程．根据圆的特点，结合参数方程概念求解． 如图所示，设圆心为O ′，连接O ′M ， ∵O ′为圆心， ∴∠MO ′x ＝2φ.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ＋r cos 2φ，y ＝r sin 2φ.(φ为参数)(1)确定圆的参数方程，必须根据题目所给条件，否则，就会出现错误，如本题容易把参数方程写成⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ＋r cos φ，y ＝r sin φ.(φ为参数)(2)由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程．1．已知圆的方程为x 2＋y 2＝2x ，写出它的参数方程． 解：x 2＋y 2＝2x 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝1， 设x －1＝cos θ，y ＝sin θ，则参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数，0≤θ＜2π)．2．已知点P (2,0)，点Q 是圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ上一动点，求PQ 中点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．解：设中点M (x ，y )．则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ2，y ＝0＋sin θ2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12cos θ，y ＝12sin θ(θ为参数)．这就是所求的轨迹方程．它是以(1,0)为圆心，以12为半径的圆.若 (x －1)2＋(y ＋2)2＝4表示圆，可考虑利用圆的参数方程将求2x ＋y 的最值转化为求三角函数最值问题．令x －1＝2cos θ，y ＋2＝2sin θ，则有x ＝2cos θ＋1，y ＝2sin θ－2，故2x ＋y ＝4cos θ＋2＋2sin θ－2. ＝4cos θ＋2sin θ＝25sin(θ＋φ)． ∴－25≤2x ＋y ≤2 5.即2x ＋y 的最大值为25，最小值为－2 5.圆的参数方程突出了工具性作用，应用时，把圆上的点的坐标设为参数方程形式，将问题转化为三角函数问题，利用三角函数知识解决问题．3．求原点到曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2sin θ，y ＝－2＋2cos θ(θ为参数)的最短距离．解：原点到曲线C 的距离为：x －2＋y －2＝＋2sin θ2＋－2＋2cos θ2＝17＋3sin θ－2cos θ＝17＋413⎝⎛⎭⎪⎫313sin θ－213cos θ＝ 17＋413θ＋φ≥17－413＝13－2＝13－2.∴原点到曲线C 的最短距离为13－2.4．已知圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ(θ为参数)与直线x ＋y ＋a ＝0有公共点，求实数a的取值范围．解：法一：∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ消去θ，得x 2＋(y ＋1)2＝1，∴圆C 的圆心为(0，－1)，半径为1. ∴圆心到直线的距离d ＝|0－1＋a |2≤1.解得1－2≤a ≤1＋2，即a 的取值范围是． 法二：将圆C 的方程代入直线方程，得 cos θ－1＋sin θ＋a ＝0，即a ＝1－(sin θ＋cos θ)＝1－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4. ∵－1≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4≤1，∴1－2≤a ≤1＋2，即a 的取值范围是．课时跟踪检测(八)一、选择题1．圆的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．则圆的圆心坐标为( )A ．(0,2)B ．(0，－2)C ．(－2,0)D ．(2,0)解析：选D 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ化为(x －2)2＋y 2＝4，其圆心坐标为(2,0)．2．直线：x ＋y ＝1与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)的公共点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：选C 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ化为x 2＋y 2＝4，它表示以(0,0)为圆心，2为半径的圆，由于12＝22<2＝r ， 故直线与圆相交，有两个公共点．3．直线：3x －4y －9＝0与圆：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)的位置关系是( )A ．相切B ．相离C ．直线过圆心D ．相交但直线不过圆心 解析：选D 圆心坐标为(0,0)，半径为2，显然直线不过圆心， 又圆心到直线距离d ＝95<2，故选D.4．P (x ，y )是曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝sin α(α为参数)上任意一点，则(x －5)2＋(y ＋4)2的最大值为( )A ．36B ．6C ．26D ．25解析：选A 设P (2＋cos α，sin α)，代入，得 (2＋cos α－5)2＋(sin α＋4)2＝25＋sin 2α＋cos 2α－6cos α＋8sin α ＝26＋10sin(α－φ)． ∴最大值为36. 二、填空题5．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ＋4sin φ，y ＝4cos φ－3sin φ(φ为参数)表示的图形是________．解析：x 2＋y 2＝(3cos φ＋4sin φ)2＋(4cos φ－3sin φ)2＝25.∴表示圆． 答案：圆 6．已知圆C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos θ＝1，则直线l 与圆C 的交点的直角坐标为________．解析：由极坐标系与直角坐标系互化关系可知，直线l 的直角坐标方程为x ＝1. 由圆C 的参数方程可得x 2＋(y －1)2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x 2＋y －2＝1得直线l 与圆C 的交点坐标为(1,1)． 答案：(1,1)7．(广东高考)已知曲线C 的极坐标方程为 ρ＝2cos θ.以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为________．解析：由极坐标方程与直角坐标方程互化公式可得，曲线C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，故曲线C 对应的参数方程可写为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)三、解答题8．P 是以原点为圆心，半径r ＝2的圆上的任意一点，Q (6,0)，M 是PQ 中点． (1)画图并写出⊙O 的参数方程；(2)当点P 在圆上运动时，求点M 的轨迹的参数方程．解：(1)如图所示，⊙O 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．(2)设M (x ，y )，P (2cos θ，2sin θ)，∵Q (6,0)，∴M 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6＋2cos θ2，y ＝2sin θ2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．9．设点M (x ，y )在圆x 2＋y 2＝1上移动，求点Q (x (x ＋y )，y (x ＋y ))的轨迹． 解：设M (cos θ，sin θ)(0≤θ＜2π)，点Q (x 1，y 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝cos θθ＋sin θ＝cos 2θ＋cos θsin θ，y 1＝sin θθ＋sin θ＝sin θcos θ＋sin 2θ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋y 1＝1＋sin 2θ，x 1y 1＝12sin 2θ＋12sin 22θ.将sin 2θ＝x 1＋y 1－1代入另一个方程， 整理，得⎝⎛⎭⎪⎫x 1－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1－122＝12.∴所求轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12为圆心，以22为半径的圆．10．已知直线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，圆C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．(1)当α＝π3时，求C 1与C 2的交点坐标；(2)过坐标原点O 作C 1的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点．当α变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．解：(1)当α＝π3时，C 1的普通方程为y ＝3(x －1)，C 2的普通方程为x 2＋y 2＝1.联立方程组⎩⎨⎧y ＝3x －，x 2＋y 2＝1，解得C 1与C 2的交点坐标为(1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32.(2)C 1的普通方程为x sin α－y cos α－sin α＝0.A 点坐标为(sin 2α，－cos αsin α)，故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12sin 2α，y ＝－12sin αcos α(α为参数)．P 点轨迹的普通方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －142＋y 2＝116.故P 点轨迹是圆心为⎝⎛⎭⎪⎫14，0，半径为14的圆．。

2.2 圆的参数方程及应用【课标要求】1、了解抛物运动轨迹的参数方程及参数的意义。

2、理解直线的参数方程及其应用；理解圆和椭圆（椭圆的中心在原点）的参数方程及其简单应用。

3、会进行曲线的参数方程与普通方程的互化。

一、教学目标：知识与技能：分析圆的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。

利用圆的几何性质求最值（数形结合）过程与方法：能选取适当的参数，求圆的参数方程情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。

二、重难点：教学重点：能选取适当的参数，求圆的参数方程教学难点：选择圆的参数方程求最值问题.三、教学方法：启发、诱导发现教学. 四、教学过程：（一）、圆的参数方程探求1、根据图形求出圆的参数方程，教师准对问题讲评。

)(sin cos 为参数θθθ⎩⎨⎧==r y r x 这就是圆心在原点、半径为r 的圆的参数方程。

说明：（1）参数θ的几何意义是OM 与x 轴正方向的夹角。

（2）随着选取的参数不同，参数方程形式也有不同，但表示的曲线是相同的。

（3）在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。

半径，并化为普通方程所表示圆的圆心坐标、为参数、指出参数方程)(sin 235cos 22ααα+=-=⎩⎨⎧y x、若如图取<PAX=θ，AP 的斜率为K ，如何建立圆的参数方程，同学们讨论交流，自我解决。

结论：参数取的不同，可以得到圆的不同形式的参数方程。

4，反思归纳：求参数方程的方法步骤。

（二）、应用举例例1、已知两条曲线的参数方程05cos 4cos125sin 3sin 45:(:(45x x t y y t t c c θθθ==+==+⎨⎨为参数）和为参数） （1）、判断这两条曲线的形状；（2）、求这两条曲线的交点坐标。

学生练习，教师准对问题讲评。

（三）、最值问题：利用圆的几何性质和圆的参数方程求最值（数形结合）例2、1、已知点P （x ，y ）是圆0124622=+--+y x y x 上动点，求（1）22y x +的最值， （2）x+y 的最值，（3）P 到直线x+y- 1=0的距离d 的最值。

第二讲 参数方程一 曲线的参数方程 1 参数方程的概念 2 圆的参数方程[学习目标]1.理解曲线参数方程的有关概念.2.掌握圆的参数方程.3.能够根据圆的参数方程解决最值问题. [知识链接]曲线的参数方程中，参数是否一定具有某种实际意义？在圆的参数方程中，参数θ有什么实际意义？提示 联系x ，y 的参数t (θ，φ，…)可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是无实际意义的任意实数.圆的参数方程中，其中参数θ的几何意义是OM 0绕点O 逆时针旋转到OM 的位置时，OM 0转过的角度.[预习导引] 1.参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ）y ＝g （t ）①，并且对于t 的每一个允许值，由方程组①所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么方程组①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 之间关系的变数t 叫做参变数，简称参数.相对于参数方程而言，直接给出的点的坐标间的关系的方程叫做普通方程.2.圆的参数方程(1)如图所示，设圆O 的半径为r ，点M 从初始位置M 0开始出发，按逆时针方向在圆O 上作均速圆周运动，设M (x ，y )，点M 转过的角度是θ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ·cos θ，y ＝r ·sin θ(θ为参数)，这就是圆心在原点，半径为r 的圆的参数方程. (2)圆心为C (a ，b )，半径为r 的圆的普通方程与参数方程要点一 参数方程的概念例1 已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝at 2(t 为参数，a ∈R )，点M (－3，4)在曲线C 上. (1)求常数a 的值；(2)判断点P (1，0)、Q (3，－1)是否在曲线C 上？ 解 (1)将M (－3，4)的坐标代入曲线C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝at 2，得⎩⎪⎨⎪⎧－3＝1＋2t ，4＝at 2，消去参数t ，得a＝1.(2)由(1)可得，曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝t 2，把点P 的坐标(1，0)代入方程组，解得t ＝0，因此P 在曲线C 上，把点Q 的坐标(3，－1)代入方程组，得到⎩⎪⎨⎪⎧3＝1＋2t ，－1＝t 2，这个方程组无解，因此点Q 不在曲线C 上. 规律方法 点与曲线的位置关系满足某种约束条件的动点的轨迹形成曲线，点与曲线的位置关系有两种：点在曲线上、点不在曲线上.(1)对于曲线C 的普通方程f (x ，y )＝0，若点M (x 1，y 1)在曲线上，则点M (x 1，y 1)的坐标是方程f (x ，y )＝0的解，即有f (x 1，y 1)＝0，若点N (x 2，y 2)不在曲线上，则点N (x 2，y 2)的坐标不是方程f (x ，y )＝0的解，即有f (x 2，y 2)≠0.(2)对于曲线C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ）(t 为参数)，若点M (x 1，y 1)在曲线上，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝f （t ），y 1＝g （t ）对应的参数t 有解，否则参数t 不存在. 跟踪演练1 已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数，0≤θ＜2π).判断点A (2，0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32是否在曲线C 上？若在曲线上，求出点对应的参数的值.解 把点A (2，0)的坐标代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝3sin θ，得cos θ＝1，且sin θ＝0，由于0≤θ＜2π，解之得θ＝0，因此点A (2，0)在曲线C 上，对应参数θ＝0，同理，把B ⎝⎛⎭⎪⎫－3，32代入参数方程，得⎩⎪⎨⎪⎧－3＝2cos θ，32＝3sin θ.∴⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝－32，sin θ＝12. 又0≤θ＜2π，∴θ＝56π，所以点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32在曲线C 上，对应θ＝56π.要点二 圆的参数方程及其应用 例2 设曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3cos θ，y ＝－1＋3sin θ(θ为参数)，直线l 的方程为x －3y ＋2＝0，则曲线C 上到直线l 距离为71010的点的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3cos θ，y ＝－1＋3sin θ.得(x －2)2＋(y ＋1)2＝9. 曲线C 表示以(2，－1)为圆心，以3为半径的圆， 则圆心C (2，－1)到直线l 的距离d ＝710＝71010＜3，所以直线与圆相交.所以过圆心(2，－1)与l 平行的直线与圆的2个交点满足题意，又3－d ＜71010，故满足题意的点有2个. 答案 B规律方法 1.本题利用三角函数的平方关系，消去参数；数形结合，判定直线与圆的位置关系.2.参数方程表示怎样的曲线，一般是通过消参，得到普通方程来判断，特别要注意变量的取值范围. 跟踪演练2 已知实数x ，y 满足(x －1)2＋(y －1)2＝9，求x 2＋y 2的最大值和最小值.解 由已知，可把点(x ，y )视为圆(x －1)2＋(y －1)2＝9上的点，设⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3cos θ，y ＝1＋3sin θ(θ为参数).则x 2＋y 2＝(1＋3cos θ)2＋(1＋3sin θ)2＝11＋6(sin θ＋cos θ)＝11＋62sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4.∵－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4≤1，∴11－62≤x 2＋y 2≤11＋6 2.∴x 2＋y 2的最大值为11＋62，最小值为11－6 2. 要点三 参数方程的实际应用例3 某飞机进行投弹演习，已知飞机离地面高度为H ＝2 000 m ，水平飞行速度为v 1＝100 m/s ，如图所示.(1)求飞机投弹t s 后炸弹的水平位移和离地面的高度；(2)如果飞机追击一辆速度为v 2＝20 m/s 同向行驶的汽车，欲使炸弹击中汽车，飞机应在距离汽车的水平距离多远处投弹？(g ＝10 m/s 2)解 (1)如图所示，建立平面直角坐标系，设炸弹投出机舱的时刻为0 s ，在时刻t s 时其坐标为M (x ，y )，由于炸弹作平抛运动，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝100t ，y ＝2 000－12gt 2， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝100t ，y ＝2 000－5t 2， 令y ＝2 000－5t 2＝0，得t ＝20(s )，所以飞机投弹t s 炸弹的水平位移为100t m ，离地面的高度为(2 000－5t 2)m ，其中，0≤t ≤20. (2)由于炸弹水平分运动和汽车的运动均为匀速直线运动，以汽车参考系.水平方向S 相对＝v 相对t ，所以飞机应距离汽车投弹的水平距离为s ＝(v 1－v 2)t ＝(100－20)×20＝1 600(m).规律方法 本题通过点的坐标的参数方程利用运动学知识使问题得解.由于水平抛出的炸弹做平抛运动，可以分解为在水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动，炸弹飞行的时间也就是它作自由落体运动所用的时间. 跟踪演练3 如果本例条件不变，求：(1)炸弹投出机舱10 s 后这一时刻的水平位移和高度各是多少m?(2)如果飞机迎击一辆速度为v 2＝20 m/s 相向行驶的汽车，欲使炸弹击中汽车，飞机应在距离汽车的水平距离多远处投弹？解 (1)将t ＝10代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝100t ，y ＝2 000－5t 2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1 000，y ＝1 500， 所以炸弹投出机舱10 s 后这一时刻的水平位移和高度分别是1 000 m 和1 500 m. (2)由于炸弹水平分运动和汽车的运动均为匀速直线运动，以汽车为参考系. 水平方向s 相对＝v相对t ，所以飞机应距离汽车投弹的水平距离为s ＝(v 1＋v 2)t ＝(100＋20)×20＝2400(m).1.曲线的普通方程直接地反映了一条曲线上点的横、纵坐标之间的联系，而参数方程是通过参数反映坐标变量x 、y 间的间接联系.在具体问题中的参数可能有相应的几何意义，也可能没有什么明显的几何意义.曲线的参数方程常常是方程组的形式，任意给定一个参数的允许取值就可得到曲线上的一个对应点，反过来，对于曲线上的任一点也必然对应着参数相应的允许取值.2.求曲线参数方程的主要步骤第一步，画出轨迹草图，设M (x ，y )是轨迹上任意一点的坐标.画图时要注意根据几何条件选择点的位置，以利于发现变量之间的关系.第二步，选择适当的参数.参数的选择要考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标x ，y 与参数的关系比较明显，容易列出方程；二是x ，y 的值可以由参数唯一确定.第三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式，证明可以省略.1.下列方程：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ，y ＝m (m 为参数)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ，y ＝n (m ，n 为参数)；(3)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2；(4)x ＋y ＝0中，参数方程的个数为( )A.1B.2C.3D.4解析 由参数方程的概念知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＝m 是参数方程，故选A.答案 A2.当参数θ变化时，由点P (2cos θ，3sin θ)所确定的曲线过点( ) A.(2，3)B.(1，5)C.⎝⎛⎭⎪⎫0，π2D.(2，0)解析 当2cos θ＝2，即cos θ＝1，3sin θ＝0.∴过点(2，0). 答案 D3.参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝2(t 为参数)表示的曲线是( )A.两条直线B.一条射线C.两条射线D.双曲线解析 当t ＞0时⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，y ＝2，是一条射线；当t ＜0时，⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－2，y ＝2，也是一条射线，故选C.答案 C 4.已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1y ＝t2(t 为参数)，若y ＝1，则x ＝________.解析 当y ＝1时，t 2＝1，∴t ＝±1，当t ＝1时，x ＝2；当t ＝－1时，x ＝0.∴x 的值为2或0. 答案 2或05.已知直线y ＝x 与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos α，y ＝2＋2sin α，(α为参数)相交于两点A 和B ，求弦长|AB |.解 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos α，y ＝2＋2sin α，得⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝2cos α，y －2＝2sin α.∴(x －1)2＋(y －2)2＝4，其圆心为(1，2)，半径r ＝2，则圆心(1，2)到直线y ＝x 的距离d ＝|1－2|12＋（－1）2＝22.∴|AB |＝2r 2－d 2＝222－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝14.一、基础达标1.已知O 为原点，参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)上的任意一点为A ，则|OA |＝( )A.1B.2C.3D.4解析 |OA |＝x 2＋y 2＝cos 2θ＋sin 2θ＝1，故选A. 答案 A2.已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，曲线C 不经过第二象限，则实数a 的取值范围是( ) A.a ≥2 B.a ＞3 C.a ≥1 D.a ＜0解析 ∵曲线C的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，∴化为普通方程为(x －a )2＋y 2＝4，表示圆心为(a ，0)，半径等于2的圆.∵曲线C 不经过第二象限，则实数a 满足a ≥2，故选A. 答案 A3.圆心在点(－1，2)，半径为5的圆的参数方程为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5－cos θ，y ＝5＋2sin θ(0≤θ＜2π) B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋5cos θ，y ＝－1＋5sin θ(0≤θ＜2π)C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋5cos θ，y ＝2＋5sin θ(0≤θ＜π)D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋5cos θ，y ＝2＋5sin θ(0≤θ＜2π)解析 圆心在点C (a ，b )，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos θ，y ＝b ＋r sin θ，(θ∈[0，2π)).故圆心在点(－1，2)，半径为5的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋5cos θ，y ＝2＋5sin θ(0≤θ＜2π).答案 D4.将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)化为普通方程为( ) A.y ＝x －2B.y ＝x ＋2C.y ＝x －2(2≤x ≤3)D.y ＝x ＋2(0≤y ≤1)解析 将参数方程中的θ消去，得y ＝x －2.又x ∈[2，3]. 答案 C5.若点(－3，－33)在参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6cos θ，y ＝6sin θ(θ为参数)的曲线上，则θ＝________.解析 将点(－3，－33)的坐标代入参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6cos θ，y ＝6sin θ(θ为参数)得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝－12，sin θ＝－32，解得θ＝4π3＋2k π，k ∈Z .答案4π3＋2k π，k ∈Z 6.已知圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin θ＝1，则直线l 与圆C 的交点的直角坐标为________. 解析 由圆C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α.可求得其在直角坐标系下的方程为x 2＋(y －1)2＝1，由直线l 的极坐标方程ρsin θ＝1可求得其在直角坐标系下的方程为y ＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，x 2＋（y －1）2＝1可解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝±1，y ＝1.所以直线l 与圆C 的交点的直角坐标为(－1，1)，(1，1).答案 (－1，1)，(1，1)7.已知曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ(θ为参数)，如果曲线C 与直线x ＋y ＋a ＝0有公共点，求实数a的取值范围.解 ∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ，∴x 2＋(y ＋1)2＝1.∵圆与直线有公共点，则d ＝|0－1＋a |2≤1，解得1－2≤a ≤1＋ 2. 二、能力提升8.若P (2，－1)为圆O ′：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋5cos θ，y ＝5sin θ(0≤θ＜2π)的弦的中点，则该弦所在直线l 的方程是( ) A.x －y －3＝0 B.x ＋2y ＝0 C.x ＋y －1＝0D.2x －y －5＝0解析 ∵圆心O ′(1，0)，∴k PO ′＝－1.∴k l ＝1. ∴直线l 方程为x －y －3＝0. 答案 A9.如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程为________.解析 将x 2＋y 2－x ＝0配方，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，∵圆的直径为1.设P (x ，y )，则x ＝|OP |cos θ＝1×cos θ×cos θ＝cos 2θ，y ＝|OP |sin θ＝1×cos θ×sin θ＝sin θcos θ，∴圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数).答案 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)10.曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝sin t ＋1(t 为参数)与圆x 2＋y 2＝4的交点坐标为________.解析 ∵sin t ∈[－1，1]，∴y ∈[0，2].∵方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝sin t ＋1表示的曲线是线段x ＝1(0≤y ≤2).令x ＝1，由x 2＋y 2＝4，得y 2＝3， ∵0≤y ≤2，∴y ＝ 3. 答案 (1，3)11.设点M (x ，y )在圆x 2＋y 2＝1上移动，求点P (x ＋y ，xy )的轨迹. 解 设点M (cos θ，sin θ)(0≤θ＜2π)，点P (x ′，y ′). 则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝cos θ＋sin θ， ①y ′＝cos θsin θ， ②①2－2×②，得x ′2－2y ′＝1.即x ′2＝2⎝⎛⎭⎪⎫y ′＋12.∴所求点P 的轨迹为抛物线x 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋12的一部分⎝⎛⎭⎪⎫|x |≤2，|y |≤12.12.已知点M (x ，y )是圆x 2＋y 2＋2x ＝0上的动点，若4x ＋3y －a ≤0恒成立，求实数a 的取值范围. 解 由x 2＋y 2＋2x ＝0，得(x ＋1)2＋y 2＝1，又点M 在圆上，∴x ＝－1＋cos θ，且y ＝sin θ(θ为参数)，因此4x ＋3y ＝4(－1＋cos θ)＋3sin θ＝－4＋5sin(θ＋φ)≤－4＋5＝1.(φ由 tan φ＝43确定)∴4x ＋3y 的最大值为1.若4x ＋3y －a ≤0恒成立，则a ≥(4x ＋3y )max ， 故实数a 的取值范围是[1，＋∞). 三、探究与创新13.已知圆系方程为x 2＋y 2－2ax cos φ－2ay sin φ＝0(a ＞0，且为已知常数，φ为参数) (1)求圆心的轨迹方程；(2)证明圆心轨迹与动圆相交所得的公共弦长为定值. (1)解 由已知圆的标准方程为：(x －a cos φ)2＋(y －a sin φ2)＝a 2(a ＞0).设圆心坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝a sin φ(φ为参数)，消参数得圆心的轨迹方程为x 2＋y 2＝a 2.(2)证明 由方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2ax cos φ－2ay sin φ＝0x 2＋y 2＝a 2得公共弦的方程：2ax cos φ＋2ay sin φ＝a 2，即x cos φ＋y sin φ－a2＝0，圆x 2＋y 2＝a 2的圆心到公共弦的距离d ＝a2为定值.∴弦长l ＝2a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＝3a (定值). 3 参数方程和普通方程的互化[学习目标]1.了解参数方程化为普通方程的意义.2.掌握参数方程化为普通方程的基本方法.3.能够利用参数方程化为普通方程解决有关问题. [知识链接]普通方程化为参数方程，参数方程的形式是否唯一？提示 不一定唯一.普通方程化为参数方程，关键在于适当选择参数，如果选择的参数不同，那么所得的参数方程的形式也不同. [预习导引]参数方程与普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ），就是曲线的参数方程.在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致.要点一 把参数方程化为普通方程例1 在方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋t cos θy ＝b ＋t sin θ，(a ，b 为正常数)中，(1)当t 为参数，θ为常数时，方程表示何种曲线？ (2)当t 为常数，θ为参数时，方程表示何种曲线？解 方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋t cos θ， ①y ＝b ＋t sin θ， ②(a ，b 是正常数)，(1)①×sin θ－②×cos θ得x sin θ－y cos θ－a sin θ＋b cos θ＝0. ∵cos θ、sin θ不同时为零，∴方程表示一条直线. (2)(i)当t 为非零常数时，原方程组为⎩⎪⎨⎪⎧x －a t ＝cos θ， ③y －b t ＝sin θ. ④③2＋④2得（x －a ）2t 2＋（y －b ）2t2＝1， 即(x －a )2＋(y －b )2＝t 2，它表示一个圆. (ii)当t ＝0时，表示点(a ，b ).规律方法 1.消去参数的常用方法：将参数方程化为普通方程，关键是消去参数，如果参数方程是整式方程，常用的消元法有代入消元法、加减消元法.如果参数方程是分式方程，在运用代入消元或加减消元之前要做必要的变形.另外，熟悉一些常见的恒等式至关重要，如sin 2α＋cos 2α＝1，(e x＋e －x )2－(e x －e －x )2＝4，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k 21＋k 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 1＋k 22＝1等.2.把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x 及y 的取值范围的影响.本题启示我们，形式相同的方程，由于选择参数的不同，可表示不同的曲线.跟踪演练1 参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)化成普通方程为________.解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α，cos 2α＋sin 2α＝1，∴x 2＋(y －1)2＝1.答案 x 2＋(y －1)2＝1要点二 把普通方程化成参数方程 例2 求方程4x 2＋y 2＝16的参数方程： (1)设y ＝4sin θ，θ为参数；(2)若令y ＝t (t 为参数)，如何求曲线的参数方程？若令x ＝2t (t 为参数)，如何求曲线的参数方程？ 解 (1)把y ＝4sin θ代入方程，得到4x 2＋16sin 2θ＝16，于是4x 2＝16－16sin 2θ＝16cos 2θ，∴x ＝±2cos θ.∴4x 2＋y 2＝16的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数) (2)将y ＝t 代入椭圆方程4x 2＋y 2＝16，得4x 2＋t 2＝16， 则x 2＝16－t 24.∴x ＝±16－t 22.因此，椭圆4x 2＋y 2＝16的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝16－t 22y ＝t ，和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－16－t 22，y ＝t(t 为参数). 同理将x ＝2t 代入椭圆4x 2＋y 2＝16，得椭圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2t ，y ＝41－t 2和⎩⎨⎧x ＝2t ，y ＝－41－t 2(t 为参数).规律方法 1.将圆的普通方程化为参数方程 (1)圆x 2＋y 2＝r 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数)；(2)圆(x －a )2＋(y －b )2＝r2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos θ，y ＝b ＋r sin θ(θ为参数).2.普通方程化为参数方程关键是引入参数(例如x ＝f (t )，再计算y ＝g (t ))，并且要保证等价性.若不可避免地破坏了同解变形，则一定要通过x ＝f (t )，y ＝g (t )，调整t 的取值范围，使得在普通方程转化为参数方程的过程中，x ，y 的取值范围保持一致.跟踪演练2 设y ＝tx (t 为参数)，则圆x 2＋y 2－4y ＝0的参数方程是________. 解析 把y ＝tx 代入x 2＋y 2－4y ＝0得x ＝4t 1＋t 2，y ＝4t21＋t2，∴参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t1＋t2，y ＝4t 21＋t 2.(t 为参数).答案 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t1＋t2，y ＝4t 21＋t2.(t 为参数) 要点三 参数方程的应用例3 已知x 、y 满足x 2＋(y －1)2＝1，求： (1)3x ＋4y 的最大值和最小值； (2)(x －3)2＋(y ＋3)2的最大值和最小值. 解 由圆的普通方程x 2＋(y －1)2＝1得圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ.(θ∈[0，2π)).(1)3x ＋4y ＝3cos θ＋4sin θ＋4＝4＋5sin(θ＋φ)， 其中tan φ＝34，且φ的终边过点(4，3).∵－5≤5sin(θ＋φ)≤5，∴－1≤4＋5sin(θ＋φ)≤9， ∴3x ＋4y 的最大值为9，最小值为－1.(2)(x －3)2＋(y ＋3)2＝(cos θ－3)2＋(sin θ＋4)2＝26＋8sin θ－6cos θ＝26＋10sin(θ＋φ). 其中tan φ＝－34.且φ的终边过点(4，－3).∵－10≤10sin(θ＋φ)≤10，∴16≤26＋10sin(θ＋φ)≤36， 所以(x －3)2＋(y ＋3)2的最大值为36，最小值为16.规律方法 1.运用参数思想解题的关键在于参数的选择.选择参数时，应注意所选择的参数易于与两个坐标产生联系.由于三角函数的巨大作用，常选择角为参数，若轨迹与运动有关，常选择时间为参数.2.解决与圆有关的最大值和最小值问题，常常设圆的参数方程，然后转化为求三角函数的最大值和最小值问题.3.注意运用三角恒等式求最值：a sin θ＋b cos θ＝a 2＋b 2sin(θ＋φ).其中tan φ＝ba(a ≠0)，且φ的终边过点(a ，b ).跟踪演练3 如图，已知点P 是圆x 2＋y 2＝16上的一个动点，定点A (12，0)，当点P 在圆上运动时，利用参数方程求线段PA 的中点M 的轨迹.解 因为圆x2＋y 2＝16的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，所以可设点P (4cos θ，4sin θ)，设点M (x ，y )，由线段中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ＋122，y ＝4sin θ2(θ为参数)，即点M 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ＋6，y ＝2sin θ(θ为参数)，所以点M 的轨迹是以点(6，0)为圆心、2为半径的圆.1.参数方程和普通方程的互化参数方程化为普通方程，可通过代入消元法和三角恒等式消参法消去参数方程中的参数，通过曲线的普通方程来判断曲线的类型.由普通方程化为参数方程要选定恰当的参数，寻求曲线上任一点M 的坐标x ，y 和参数的关系，根据实际问题的要求，我们可以选择时间、角度、线段长度、直线的斜率、截距等作为参数.2.同一道题参数的选择往往不是唯一的，适当地选择参数，可以简化解题的过程，降低计算量，提高准确率.求轨迹方程与求轨迹有所不同，求轨迹方程只需求出方程即可，而求轨迹往往是先求出轨迹方程，然后根据轨迹方程指明轨迹是什么图形.3.参数方程与普通方程的等价性把参数方程化为普通方程后，很容易改变了变量的取值范围，从而使得两种方程所表示的曲线不一致，因此我们要注意参数方程与普通方程的等价性.1.与普通方程x 2＋y －1＝0等价的参数方程为(t 为参数)( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin t y ＝cos 2tB.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t y ＝sin 2tC.⎩⎨⎧x ＝1－t y ＝tD.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan t y ＝1－tan 2t 解析 A 化为普通方程为x 2＋y －1＝0，x ∈[－1，1]，y ∈[0，1].B 化为普通方程为x 2＋y －1＝0，x ∈[－1，1]，y ∈[0，1].C 化为普通方程为x 2＋y －1＝0，x ∈[0，＋∞)，y ∈(－∞，1].D 化为普通方程为x 2＋y －1＝0，x ∈R ，y ∈R . 答案 D2.将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t，y ＝t 2＋1t2(t 为参数)化为普通方程为________.解析 由x ＝t ＋1t 得x 2＝t 2＋1t 2＋2，又y ＝t 2＋1t 2，∴x 2＝y ＋2.∵t 2＋1t2≥2，∴y ≥2.答案 x 2－y ＝2(y ≥2)3.参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin 2θ，y ＝sin θ＋cos θ(θ为参数)表示的曲线的普通方程是________.解析 y 2＝(sin θ＋cos θ)2＝sin 2θ＋2sin θcos θ＋cos 2θ＝1＋2sin θcos θ＝1＋x ，又x ＝sin 2θ∈[－1，1]，∴曲线的普通方程是y 2＝x ＋1(－1≤x ≤1). 答案 y 2＝x ＋1(－1≤x ≤1)4.已知某条曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝at 2(其中t 是参数，a ∈R )，点M (5，4)在该曲线上. (1)求常数a ；(2)求曲线C 的普通方程.解 (1)由题意，可知⎩⎪⎨⎪⎧1＋2t ＝5，at 2＝4，故⎩⎪⎨⎪⎧t ＝2，a ＝1，所以a ＝1.(2)由已知及(1)可得，曲线C 的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝t 2，由第一个方程，得t ＝x －12，代入第二个方程，得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122，即(x －1)2＝4y 为所求.一、基础达标1.曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝|sin θ|，y ＝cos θ(θ为参数)的方程等价于( )A.x ＝1－y 2B.y ＝1－x 2C.y ＝±1－x 2D.x 2＋y 2＝1解析 由x ＝|sin θ|得0≤x ≤1；由y ＝cos θ得－1≤y ≤1.故选A. 答案 A2.已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝－2－t (t 为参数)与圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ＋1，y ＝2sin θ(θ为参数)，则直线l 的倾斜角及圆心C 的直角坐标分别是( ) A.π4，(1，0) B.π4，(－1，0) C.3π4，(1，0) D.3π4，(－1，0) 解析 直线消去参数得直线方程为y ＝－x ，所以斜率k ＝－1即倾斜角为3π4.圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝4，圆心坐标为(1，0). 答案 C3.参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t 21＋t2，y ＝2t1＋t2(t 为参数)化为普通方程为( )A.x 2＋y 2＝1B.x 2＋y 2＝1去掉(0，1)点 C.x 2＋y 2＝1去掉(1，0)点 D.x 2＋y 2＝1去掉(－1，0)点解析 x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 21＋t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 1＋t 22＝1，又∵x ＝－1时，1－t 2＝－(1＋t 2)不成立，故去掉点(－1，0). 答案 D4.若x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则x ＋3y 的最大值为( ) A.1 B.2 C.3D.4解析 由于圆x 2＋y 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ，(θ为参数)，则x ＋3y ＝3sin θ＋cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6，故x ＋3y 的最大值为2.故选B. 答案 B5.在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为ρcosθ＝4的直线与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t 3(t 为参数)相交于A ，B 两点，则|AB |＝________. 解析 由ρcos θ＝4，知x ＝4.又⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t 3，∴x 3＝y 2(x ≥0). 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，x 3＝y 2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－8. ∴|AB |＝（4－4）2＋（8＋8）2＝16. 答案 166.在极坐标系中，圆C 1的方程为ρ＝42cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面坐标系，圆C 2的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋a cos θ，y ＝－1＋a sin θ(θ为参数)，若圆C 1与C 2相切，则实数a ＝________.解析 圆C 1的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4x ＋4y ，其标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝8，圆心为(2，2)，半径长为22，圆C 2的圆心坐标为(－1，－1)，半径长为|a |，由于圆C 1与圆C 2外切，则|C 1C 2|＝22＋|a |＝32或|C 1C 2|＝|a |－22＝32⇒a ＝±2或a ＝±5 2. 答案 ±2或±5 27.已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1t，y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t ，(t 为参数，t ＞0).求曲线C 的普通方程.解 由x ＝t －1t两边平方得x 2＝t ＋1t－2，又y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t ，则t ＋1t ＝y 3(y ≥6).代入x 2＝t ＋1t －2，得x 2＝y 3－2.∴3x 2－y ＋6＝0(y ≥6).故曲线C 的普通方程为3x 2－y ＋6＝0(y ≥6). 二、能力提升8.已知在平面直角坐标系xOy 中圆C 的参数方程为：⎩⎨⎧x ＝3＋3cos θ，y ＝1＋3sin θ(θ为参数)，以Ox 为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为：ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝0，则圆C 截直线所得弦长为( ) A. 2 B.2 2 C.3 2D.4 2解析 圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋3cos θy ＝1＋3sin θ的圆心为(3，1)，半径为3，直线普通方程为ρ⎝⎛⎭⎪⎫cos θcos π6－sin θsin π6＝32x －12y ＝0，即3x －y ＝0，圆心C (3，1)到直线3x －y ＝0的距离为d ＝|（3）2－1|3＋1＝1，所以圆C 截直线所得弦长|AB |＝2r 2－d 2＝232－12＝4 2.答案 D9.过原点作倾斜角为θ的直线与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos α，y ＝2sin α相切，则θ＝________.解析 直线为y ＝x tan θ，圆为(x －4)2＋y 2＝4，直线与圆相切时，易知tan θ＝±33，∴θ＝π6或5π6. 答案π6或5π610.在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t (t 为参数)与曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θy ＝3cos θ(θ为参数，a ＞0)有一个公共点在x 轴上，则a ＝________.解析 曲线C 1的普通方程为2x ＋y ＝3，曲线C 2的普通方程为x 2a 2＋y 29＝1，直线2x ＋y ＝3与x 轴的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，故曲线x 2a 2＋y 29＝1也经过这个点，代入解得a ＝32(舍去－32). 答案 3211.在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系.已知直线l 上两点M ，N 的极坐标分别为(2，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π2，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝－3＋2sin θ(θ为参数). (1)设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程； (2)判断直线l 与圆C 的位置关系.解 (1)由题意知，M ，N 的平面直角坐标分别为(2，0)，⎝⎛⎭⎪⎫0，233.又P 为线段MN 的中点，从而点P的平面直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33，故直线OP 的平面直角坐标方程为y ＝33x . (2)因为直线l 上两点M ，N 的平面直角坐标分别为(2，0)，⎝⎛⎭⎪⎫0，233，所以直线l 的平面直角坐标方程为x ＋3y －2＝0. 又圆C 的圆心坐标为(2，－3)，半径为r ＝2，圆心到直线l 的距离d ＝|2－3－2|2＝32＜r ，故直线l 与圆C 相交.12.已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t －2，y ＝22t(t 为参数).(1)指出C 1，C 2各是什么曲线，并说明C 1与C 2公共点的个数；(2)若把C 1，C 2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C ′1，C ′2.写出C ′1，C ′2的参数方程.C ′1与C ′2公共点的个数和C 1与C 2公共点的个数是否相同？说明你的理由. 解 (1)C 1是圆，C 2是直线.C 1的普通方程为x 2＋y 2＝1， 圆心C 1(0，0)，半径r ＝1.C 2的普通方程为x －y ＋2＝0.因为圆心C 1到直线x －y ＋2＝0的距离为1，所以C 2与C 1只有一个公共点.(2)压缩后的参数方程分别为C ′1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝12sin θ(θ为参数)，C ′2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t －2，y ＝24t(t 为参数)，化为普通方程为C ′1：x 2＋4y 2＝1，C ′2：y ＝12x ＋22，联立消元得2x 2＋22x ＋1＝0， 其判别式Δ＝(22)2－4×2×1＝0，所以压缩后的直线C ′2与椭圆C ′1仍然只有一个公共点，和C 1与C 2公共点的个数相同. 三、探究与创新13.已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ. (1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0，0≤θ＜2π).解 (1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t 消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25， 即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0得，ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0，∴C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0； (2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2. ∴C 1与C 2的交点的极坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2.二 圆锥曲线的参数方程[学习目标]1.掌握椭圆的参数方程及应用.2.了解双曲线、抛物线的参数方程.3.能够利用圆锥曲线的参数方程解决最值、有关点的轨迹问题. [知识链接]1.椭圆的参数方程中，参数φ是OM 的旋转角吗？提示 椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数)中的参数φ不是动点M (x ，y )的旋转角，它是点M所对应的圆的半径OA (或OB )的旋转角，称为离心角，不是OM 的旋转角. 2.双曲线的参数方程中，参数φ的三角函数sec φ的意义是什么？ 提示 sec φ＝1cos φ，其中φ∈[0，2π)且φ≠π2，φ≠32π. 3.类比y 2＝2px (p ＞0)，你能得到x 2＝2py (p ＞0)的参数方程吗？提示 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt ，y ＝2pt 2(p ＞0，t 为参数，t ∈R .) [预习导引] 1.椭圆的参数方程2.双曲线的参数方程3.抛物线的参数方程(1)抛物线y 2＝2px 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t ∈R ，t 为参数).(2)参数t 表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数.要点一 椭圆参数方程的应用 例1 已知A 、B 分别是椭圆x 236＋y 29＝1的右顶点和上顶点，动点C 在该椭圆上运动，求△ABC 重心G 的轨迹的普通方程.解 由题意知A (6，0)，B (0，3).由于动点C 在椭圆上运动，故可设动点C 的坐标为(6cos θ，3sin θ)，点G 的坐标为(x ，y )，由三角形重心的坐标公式可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6＋0＋6cos θ3，y ＝0＋3＋3sin θ3(θ为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝1＋sin θ.故重心G 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝1＋sin θ(θ为参数).规律方法 本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性.运用参数方程显得很简单，运算更简便.跟踪演练1 已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋cos t ，y ＝3＋sin t (t 为参数)，曲线C 2：x 264＋y 29＝1.(1)化C 1为普通方程，C 2为参数方程；并说明它们分别表示什么曲线？(2)若C 1上的点P 对应的参数为t ＝π2，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线C 3：x －2y －7＝0距离的最小值. 解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋cos t ，y ＝3＋sin t ，得⎩⎪⎨⎪⎧cos t ＝x ＋4，sin t ＝y －3.∴曲线C 1：(x ＋4)2＋(y －3)2＝1，C 1表示圆心是(－4，3)，半径是1的圆.曲线C 2：x 264＋y 29＝1表示中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆. 其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θ，y ＝3sin θ，(θ为参数)(2)依题设，当t ＝π2时，P (－4，4)；且Q (8cos θ，3sin θ)， 故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋4cos θ，2＋32sin θ.又C 3为直线x －2y －7＝0，M 到C 3的距离d ＝55|4cos θ－3sin θ－13| ＝55|5cos(θ＋φ)－13|， 从而当cos θ＝45，sin θ＝－35时，⎝ ⎛⎭⎪⎫其中φ由sin φ＝35，cos φ＝45确定，cos(θ＋φ)＝1，d 取得最小值855.要点二 双曲线参数方程的应用例2 求证：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上任意一点到两渐近线的距离的乘积是一个定值.证明 由双曲线x 2a 2－y 2b2＝1，得两条渐近线的方程是：bx ＋ay ＝0，bx －ay ＝0，设双曲线上任一点的坐标为(a sec φ，b tan φ)， 它到两渐近线的距离分别是d 1和d 2，则d 1·d 2＝|ab sec φ＋ab tan φ|b 2＋a 2·|ab sec φ－ab tan φ|b 2＋（－a ）2＝|a 2b 2（sec 2φ－tan 2φ）|a 2＋b 2＝a 2b2a 2＋b 2(定值).规律方法 在研究有关圆锥曲线的最值和定值问题时，使用曲线的参数方程非常简捷方便，其中点到直线的距离公式对参数形式的点的坐标仍适用，另外本题要注意公式sec 2φ－tan 2φ＝1的应用. 跟踪演练2 如图，设P 为等轴双曲线x 2－y 2＝1上的一点，F 1、F 2是两个焦点，证明：|PF 1|·|PF 2|＝|OP |2.证明 设P (sec φ，tan φ)，∵F 1(－2，0)，F 2(2，0)， ∴|PF 1|＝（sec φ＋2）2＋tan 2φ ＝2sec 2φ＋22sec φ＋1， |PF 2|＝（sec φ－2）2＋tan 2φ ＝2sec 2φ－22sec φ＋1，|PF 1|·|PF 2|＝（2sec 2φ＋1）2－8sec 2φ＝2sec 2φ－1.∵|OP |2＝sec 2φ＋tan 2φ＝2sec 2φ－1， ∴|PF 1|·|PF 2|＝|OP |2. 要点三 抛物线参数方程的应用例3 设抛物线y 2＝2px 的准线为l ，焦点为F ，顶点为O ，P 为抛物线上任一点，PQ ⊥l 于Q ，求QF 与OP 的交点M 的轨迹方程.解 设P 点的坐标为(2pt 2，2pt )(t 为参数)， 当t ≠0时，直线OP 的方程为y ＝1tx ，QF 的方程为y ＝－2t ⎝⎛⎭⎪⎫x －p 2，它们的交点M (x ，y )由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1txy ＝－2t ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2确定，两式相乘，消去t ，得y 2＝－2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，∴点M 的轨迹方程为2x 2－px ＋y 2＝0(x ≠0).当t ＝0时，M (0，0)满足题意，且适合方程2x 2－px ＋y 2＝0. 故所求的轨迹方程为2x 2－px ＋y 2＝0.规律方法 1.抛物线y 2＝2px (p ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)，参数t 为任意实数，它表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数.2.用参数法求动点的轨迹方程，其基本思想是选取适当的参数作为中间变量，使动点的坐标分别与参数有关，从而得到动点的参数方程，然后再消去参数，化为普通方程.跟踪演练3 已知抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)，其中p ＞0，焦点为F ，准线为l .过抛物线上一点M 作l 的垂线，垂足为E ，若|EF |＝|MF |，点M 的横坐标是3，则p ＝________.解析 根据抛物线的参数方程可知抛物线的标准方程是y 2＝2px ，所以y 2M ＝6p ，所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，±6p ，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，所以p 2＋3＝p 2＋6p ，所以p 2＋4p －12＝0，解得p ＝2(负值舍去).答案 21.圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ中的参数θ是半径OM的旋转角，椭圆参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ中的参数φ是椭圆上点M 的离心角.2.椭圆（x －m ）2a 2＋（y －n ）2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋a cos φ，y ＝n ＋b sin φ(φ为参数).3.双曲线的参数方程中，参数φ的三角函数cot φ、sec φ、csc φ的意义分别为cot φ＝1tan φ，sec φ＝1cos φ，csc φ＝1sin φ.4.抛物线y 2＝2px 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)，由于y x ＝1t ，因此t 的几何意义是抛物线的点(除顶点外)与抛物线的顶点连线的斜率的倒数.5.利用圆锥曲线的参数方程，可以方便求解一些需要曲线上点的两个坐标独立表示的问题，如求最大值、最小值问题、轨迹问题等.1.参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝e t＋e －t，y ＝2（e t －e －t）(t 为参数)的普通方程是( ) A.抛物线 B.一条直线 C.椭圆D.双曲线解析 由参数方程⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝2e t＋2e －t，y ＝2（e t －e －t）平方相减可得4x 2－y 2＝16，即x 24－y 216＝1，故答案为D. 答案 D2.椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)的焦点坐标为( )A.(0，0)，(0，－8)B.(0，0)，(－8，0)C.(0，0)，(0，8)D.(0，0)，(8，0)解析 利用平方关系化为普通方程：（x －4）225＋y 29＝1.∴焦点(0，0)，(8，0). 答案 D3.参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α2＋cos α2，y ＝2＋sin α(α为参数)表示的普通方程是________.解析 因x 2＝1＋sin α，y 2＝2＋sin α，所以y 2－x 2＝1，又因x ＝sin α2＋cos α2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π4，所以答案为y 2－x 2＝1(|x |≤2且y ≥1). 答案 y 2－x 2＝1(|x |≤2且y ≥1)4.点P (1，0)到曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t (参数t ∈R )上的点的最短距离为( )A.0B.1C. 2D.2解析 d 2＝(t 2－1)2＋4t 2＝(t 2＋1)2.∵t ∈R ，∴d 2min ＝1，∴d min ＝1. 答案 B5.已知点P 是椭圆x 24＋y 2＝1上任意一点，求点P 到直线l ：x ＋2y ＝0的距离的最大值. 解 因为P 为椭圆x 24＋y 2＝1上任意一点，故可设P (2cos θ，sin θ)，其中θ∈[0，2π).又直线l ：x ＋2y ＝0.因此点P 到直线l 的距离d ＝|2cos θ＋2sin θ|12＋22＝22⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π45.又θ∈[0，2π)，∴d max ＝225＝2105， 即点P 到直线e ：x ＋2y ＝0的距离的最大值为2105.一、基础达标1.参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)化为普通方程为( )A.x 2＋y 24＝1 B.x 2＋y 22＝1C.y 2＋x 24＝1D.y 2＋x 24＝1。

第二课时圆的参数方程考纲定位重难突破1.会写圆的参数方程并了解其参数的意义.2.能用圆的参数方程解决一些简单的问题.重点：圆的参数方程的形式和特点.难点：利用圆的参数方程解决一些简单的实际问题.授课提示：对应学生用书第20页[自主梳理]圆的参数方程1．在t时刻，圆周上某点M转过的角度是θ，点M的坐标是(x，y)，那么θ＝ωt(ω为角速度)．设|OM|＝r，那么由三角函数定义，有cos ωt＝xr，sinωt＝yr，即圆心在原点O，半径为r的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x＝r cos ωt，y＝r sin ωt(t为参数)．其中参数t的物理意义是：质点做匀速圆周运动的时刻．2．若取θ为参数，因为θ＝ωt，于是圆心在原点O，半径为r的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x＝r cos θ，y＝r sin θ(θ为参数)．其中参数θ的几何意义是：OM0(M0为t＝0时的位置)绕点O逆时针旋转到OM的位置时，OM0转过的角度．3．若圆心在点M0(x0，y0)，半径为R，则圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋R cos θ，y ＝y 0＋R sin θ0≤θ＜2π.[双基自测]1．圆的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．则圆的圆心坐标为( )A ．(0,2)B ．(0，－2)C ．(－2,0)D ．(2,0)解析：将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ化为(x －2)2＋y 2＝4，其圆心坐标为(2,0)．答案：D2．直线：x ＋y ＝1与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)的公共点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ化为x 2＋y 2＝4，它表示以(0,0)为圆心，2为半径的圆，由于12＝22<2＝r ，故直线与圆相交，有两个公共点．答案：C3．圆心在点(－1,2)，半径为5的圆的参数方程为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5－cos θ，y ＝5＋2sin θ(0≤θ＜2π)B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋5cos θ，y ＝－1＋5sin θ(0≤θ＜2π) C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋5cos θ，y ＝2＋5sin θ(0≤θ＜π) D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋5cos θ，y ＝2＋5sin θ(0≤θ＜2π) 解析：圆心在点C (a ，b )，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos θ，y ＝b ＋r sin θ(θ∈[0,2π))．故圆心在点(－1,2)，半径为5的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋5cos θ，y ＝2＋5sin θ(0≤θ＜2π)．答案：D4．圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ＋r cos θ，y ＝r2＋r sin θ(θ为参数，r ＞0)的直径为4，则圆心坐标为________．解析：由题意可知，圆的半径为2，∴r ＝2.∴圆心坐标为(2,1)． 答案：(2,1)授课提示：对应学生用书第21页探究一 圆的参数方程[例1] 把方程x 2＋y 2－4x －2y －20＝0化为参数方程．[解析] 将方程x 2＋y 2－4x －2y －20＝0变为(x －2)2＋(y －1)2＝25，利用三角平方关系式，若令x －2＝5cos α，则y －1＝5sin α，所以就有⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝5cos α，y －1＝5sin α，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋5cos α，y ＝1＋5sin α(α∈R ，α为参数)．怎样把普通方程化为参数方程(1)普通方程化为参数方程的关键是选参数，并且利用三角等式sin 2α＋cos 2α＝1. (2)把普通方程转化为参数方程时，必须指明参数的取值X 围，取值X 围不同，所表示的曲线也可能会有所不同．1．已知圆的普通方程为x 2＋y 2＋2x －6y ＋9＝0，将它化为参数方程． 解析：由x 2＋y 2＋2x －6y ＋9＝0， 得(x ＋1)2＋(y －3)2＝1.令x ＋1＝cos θ，y －3＝sin θ，所以参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θy ＝3＋sin θ，(θ为参数)．探究二 与圆的参数方程有关的轨迹问题[例2] 已知点P (2,0)，点Q 是圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ上一动点，求PQ 中点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．[解析] 设中点M(x，y)．则⎩⎪⎨⎪⎧x＝2＋cos θ2，y＝0＋sin θ2，即⎩⎪⎨⎪⎧x＝1＋12cos θ，y＝12sin θ(θ为参数)，这就是所求的轨迹方程．它是以(1,0)为圆心，以12为半径的圆．运用圆的参数方程表示点的坐标灵活运用圆的参数方程表示点的坐标，这是求动点的轨迹方程常见的题型，是参数方程的主要作用．2．设点M(x，y)在圆x2＋y2＝1上移动，求点P(x＋y，xy)的轨迹．解析：设点M(cos θ，sin θ)(0≤θ<2π)，点P(x′，y′)，则⎩⎪⎨⎪⎧x′＝cos θ＋sin θ，①y′＝cos θsin θ，②①2－2×②，得x′2－2y′＝1，即x′2＝2⎝⎛⎭⎪⎫y′＋12，∴所求点P的轨迹为抛物线x2＝2⎝⎛⎭⎪⎫y＋12的一部分⎝⎛⎭⎪⎫|x|≤2，|y|≤12.探究三圆的参数方程的应用[例3] 已知点P(x，y)是圆x2＋y2－6x－4y＋12＝0上的动点，求：(1)x2＋y2的最值；(2)x ＋y 的最值．[解析] 由x 2＋y 2－6x －4y ＋12＝0， 得(x －3)2＋(y －2)2＝1，用参数方程表示为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)，由于点P (x ，y )在圆上，∴可设点P 为(3＋cos θ，2＋sin θ)， (1)x 2＋y 2＝(3＋cos θ)2＋(2＋sin θ)2 ＝14＋4sin θ＋6cos θ ＝14＋213sin(θ＋φ)(其中tan φ＝32)，∴x 2＋y 2的最大值为14＋213，最小值为14－213.(2)x ＋y ＝3＋cos θ＋2＋sin θ＝5＋2sin(θ＋π4)，∴x ＋y 的最大值为5＋2，最小值为5－2.1．已知(x ，y )在曲线F (x ，y )＝0上，求φ(x ，y )的最值，常用曲线F (x ，y )＝0的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f t ，y ＝g t化目标函数φ(x ，y )＝φ(t )的形式，然后用求函数最值的方法求解．2．注意化F (x ，y )＝0为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f t ，y ＝g t要等价转化才能正确地求出最值，例如：(x －3)2＋(y －2)2＝1(x ≥3)⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos t ，y ＝2＋sin t(－π2≤t ≤π2)．3．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x＝3－22t，y＝5＋22t(t为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为ρ＝25sin θ.(1)求圆C的直角坐标方程；(2)设圆C与直线l交于点A，B，若点P的坐标为(3，5)，求|PA|＋|PB|.解析：(1)由ρ＝25sin θ，得ρ2＝25ρsin θ.∴x2＋y2＝25y，即x2＋(y－5)2＝5.(2)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得⎝⎛⎭⎪⎪⎫3－22t2＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫22t2＝5，即t2－32t＋4＝0.由于Δ＝(32)2－4×4＝2>0，故可设t1，t2是上述方程的两实根，∴⎩⎪⎨⎪⎧t1＋t2＝32，t1·t2＝4.又直线l过点P(3，5)，故由上式及t的几何意义得|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝3 2.圆的参数方程的综合应用[典例] (本题满分12分)已知圆的极坐标方程为ρ2－42ρcos⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＋6＝0.(1)将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程； (2)若点P (x ，y )在该圆上，求x ＋y 的最大值和最小值． [解析](1)由ρ2－42ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＋6＝0，得ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋6＝0， 即x 2＋y 2－4x －4y ＋6＝0，∴圆的标准方程(x －2)2＋(y －2)2＝2，3分 令x －2＝2cos α，y －2＝2sin α，得圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)．…6分(2)由(1)知x ＋y ＝4＋2(cos α＋sin α)＝4＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4，9分又－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4≤1，故x ＋y 的最大值为6，最小值为2.12分[规律探究] (1)本题综合考查了圆的极坐标方程，普通方程(含一般方程和标准方程)和参数方程之间的相互转化．(2)利用圆的参数方程求最值是常用方法，用参数表示可使关系式由二元变为一元，更利于化简计算．在研究一些求最值问题时，利用圆的参数方程来将问题合理地转化，常用的方法是建立代数与三角函数的联系，利用三角函数的值域求解．解决此类问题还要注意数形结合思想的应用．[随堂训练] 对应学生用书第22页1．直线3x －4y －9＝0与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)的位置关系是( )A ．相切B ．相离C ．直线过圆心D ．相交不过圆心解析：圆心(0,0)到直线3x －4y －9＝0的距离d ＝95＜2，所以位置关系为相交，但不过圆心．答案：D2．若直线方程为x cos φ＋y sin φ＝2，圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)，则直线与圆的位置关系为( )A ．相交不过圆心B ．相交且过圆心C ．相切D ．相离解析：圆的普通方程为x 2＋y 2＝4，圆心(0,0)到直线x cos φ＋y sin φ－2＝0的距离d ＝21＝2.因为圆的半径为2，所以直线与圆相切． 答案：C3．已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，则x －52＋y ＋42的最小值是( )A ．4B ．25C ．36D ．6解析：∵x －52＋y ＋42 ＝cos θ－32＋sin θ＋42＝26＋10sin θ－φ(且tan φ＝34)．∴当sin(θ－φ)＝－1时，有最小值4，故选A. 答案：A4．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝sin t ＋1(t 为参数)与圆x 2＋y 2＝4的交点坐标为________．解析：∵sin t ∈[－1,1]，∴y ∈[0,2]．∴方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝sin t ＋1表示的曲线是线段x ＝1(0≤y ≤2)．令x ＝1，由x 2＋y 2＝4，得y 2＝3， ∵0≤y ≤2，∴y ＝ 3.故交点坐标为(1，3)．答案：(1，3)。