正方体表面展开图规律探寻

巧找正方体表面展开图的相对面
正方体一共有十一种表面展开图，如下图：
在这些展开图中,前六种很容易确定相对面,而后五种的相对面的确定则需要一定的想象力.为此,在进行了充分的想象练习后,可以总结规律,方法有两种:
(一)“目”字法
通过想象和动手操作可以发现，形如图12这样的情况，肯定是面1和面3相对。

这样，(7)—(10)的相对面了。

在下列各图中，都应该是面1和面3相对。

（二）旋转法
(7)—(10)中的其他面,以及(11)中的相对面的情况,通过“目”字法解决不了，此时，可采用旋转法。

通过动手操作可以发现,形如图13这样的情况,m和n这两条边,本来是正方体的同一条棱,围成正方体之后,它们仍将再重合,因此,将图13通过旋转面A变化成图14的样子,并不改变相对面的情况.因此，图7可以通过旋转面5的的方法变成图15，这样既不改变相对面的情况，又比较容易，看出谁和
1/ 2
谁相对。

由图16通过旋转面4变成图17，则更能体现这种方法的优越性。

2/ 2。

正方体的展开图与相对面分布规律正方体的展开与折叠是《图形的初步认识》这一章的重要内容，而探索正方体的展开图的相对面分布的规律更是其中的一个难点。

下面就谈一谈如何快速地确定相对面，供同学们学习时参考。

一、“141”型（共6种)展开图特点：在这类展开图中，最长的一行（或列）有四个正方形(如图1～6所示)在这种类型中,有4个正方形“直线”相连，其余2个正方形分别在“直线”两旁,位置任意。

相对面特点：图1～图6有四个面在同一层,可作为一类.确定相对面的方法是：一、三层的两个面是相对面,第二层四个面中不相邻的两个面是相对面.二、“231”型(共3种）展开图特点:在这类展开图中,最长的一行（或列）有3个正方形（如图7～9）。

在“231”型中，“3"所在的行(或列)必须在中间,“2"、“1"所在行（或列)分属两边（前后不分).也就是正方体展开后,如有三个面在“直线"相连,另2个面在“直线”相连面一旁,另一面在它另一旁。

故该种情况有3种。

相对面特点: 图7~图9有三个面在同一层，剩下的三个面分别在上下两侧，可作为一类.确定相对面的方法是：抓中间层；中间层中不相邻的两个面一定是相对面，中间的那个面与离它最远的面是相对面；余下的两个面是相对面.三、“222”型（只有1种）展开图特点:在展开图中,最多只有2个正方形“直线”相连.正如“二面三行，像楼梯”.如图10所示展开图相对面:，相邻两层不相邻的两个面一定是相对面,这样就可以先确定出两对不同的相对面，剩下的两个面一定是相对面．面A对面D,面B对E，面C对面F.四、“33”型（只有1种)犹如“三面两行，两台阶”如图中相对面每层中不相邻的两个面是相对面，剩下的两个面是相对面. 面A 对面C，面D对F,面B对面E。

巧记口诀确定正方体表面展开图6个相连的正方形组成的平面图形，经折叠能否围城正方体问题，是近年来中考常考题型。

同学们在学习这一知识时常感到无从下手，现将确定正方体展开图的方法以口诀的方式总结出来，供大家参考：正方体盒巧展开，六个面儿七刀裁。

十四条边布周围，十一类图记分明：四方成线两相卫，六种图形巧组合；跃马失蹄四分开；两两错开一阶梯。

对面相隔不相连,识图巧排“7”、“凹”、“田”。

现将口诀的内涵解释如下：将一个正方体盒的表面沿某些棱剪开，展开成平面图形，需剪7刀，故平面展开图中周围有14条边长共有十一种展开图：一、四方成线两相卫，六种图形巧组合（1）（2）（3）（4）（5）（6）以上六种展开图可归结为四方连线，，另外两个小方块在四个方块的上下两侧，共六种情况。

二、跃马失蹄四分开（1）（2）（3）（4）以上四种情况可归结为五个小方块组成“三二相连”的基本图形（如图），另外一个小方块的位置有四种情况，即图中四个小方块中的任意一个，这一图形有点像失蹄的马，故称为“跃马失蹄”。

三、两两错开一阶梯这一种图形是两个小方块一组，两两错开，像阶梯一样，故称“两两错开一阶梯”。

四、对面相隔不相连这是确定展开图的又一种方法，也是确定展开图中的对面的一种方法。

如果出现三个相连，则1号面与3号面是对面，中间隔了一个2号面，并且是对面的一定不相连。

五、识图巧排“7”、“凹”、“田”（1） （2） （3）这里介绍的是一种排除法。

如果图中出现象图（1）中的“7”形结构的图形不可能是正方体展开图的，因为图中1号面与3号面是对面，3号面又与5号面是对面，出现矛盾。

如果图中出现象图（2）中的“田”形结构的图形不可能是正方体展开图的，因为同一顶点处不可能出现四个面的。

如果图中出现象图（3）中的“凹”形结构的图形不可能是正方体展开图的，因为如果把该图形折叠起来将有两个面重合。

现举例说明：例1．（2004海口市实验区）下面的平面图形中，是正方体的平面展开图的是（ ）解析：本题可用“识图巧排 ‘7’、‘田’、‘凹’”来解决。

有关正方体表面展开图的解题规律新课标数学课本中新添了正方体展开图，中考题也多次出现，这种题有利于培养学生的空间观念，也有利于培养学生的实践、探索、交流能力．本文对几种常见类型的解题规律，作初步的探讨．一、判断给定的平面图形是否属正方体表面展开图1．如以最长的正方形链横排为准，展开图一般是三行，个别是两行，•不能是一行或四行，最长的一行（或列）在中间，可为2、3、4个，超过4•个或长行不在中间的不是正方体表面展开图．如都不是．2．在每一行（或列）的两旁，每旁只能有1个正方形与其相连，超过1个就不是．如都不是．中间的长行可折作正方体侧面，它两旁（或一旁）的正方形，与中间一行相连的折作底面，不相连的再下折作侧面．具体说可有以下4类11种图形，如作旋转或翻折后，方向会不同，但相对位置不变，这些不重复计算．1．“一·四·一”，中间一行4个作侧面，两边各1个分别作上下底面，•共有6种．2．“二·三·一”（或一·三·二）型，中间3个作侧面，上（或下）边2•个那行，相连的正方形作底面，不相连的再下折作另一个侧面，共3种．3．“二·二·二”型，成阶梯状．4．“三·三”型，两行只能有1个正方形相连．二、找正方体相邻或相对的面1．从展开图找．（1）正方体中相邻的面，在展开图中有公共边或公共顶点．如，•或在正方形长链中相隔两个正方形．如中A与D．（2）在正方体中相对的面，在展开图中同行（或列）中，中间隔一个正方形．如ABCD中，A与C，B与D，或和中间一行（或列）•均相连的两正方形亦相对．例1 右图中哪两个字所在的正方形，在正方体中是相对的面．解“祝”与“似”，“你”和“程”，“前”和“锦”相对．例2在A、B、C内分别填上适当的数．使得它们折成正方体后，对面上的数互为倒数，则填入正方形A、B、C•的三数依次是：（A）12，13，1 （B）13，12，1 （C）1，12，13（D）12，1，13分析A与2，B与3中间都隔一个正方形，C与1分处正方形链两边且与其相连，选（A）．例3 在A、B、C内分别填上适当的数，使它们折成正方体后，对面上的数互为相反数．分析A与0，B与2，C和-1都分处正方形链两侧且与其相连，∴A─0，B─-2，C ─1．例4 代出折成正方体后相对的面．解A和C，D和F，B和E是相对的面．2．从立体图找．例5 正方体有三种不同放置方式，问下底面各是几？分析先找相邻的面，余下就是相对的面．上图出现最多的是3，和3相连的有2、4、5、6，余下的1就和3相对．再看6，•和6相邻的有2、3、4，和3相对的是1，必和6相邻，故6和5相对，余下是4和2相对，•下底面依次是2、5、1．例6由下图找出三组相对的面．分析和2相连的是1、3、5、6，相对的是4，和3相连的是2、4、5、6，相对的是1，和6相连的是1、2、3、4，相对的是5．三、由带标志的正方体图去判断是否属于它的展开图例7 如下图，正方体三个侧面分别画有不同图案，它的展开图可以是（）．分析基本方法是先看上下，后定左右，图A图B都是□和+两个面相对，不合题意，图C“□”和“○”之上，从立体图看“＋”在右，符合要求．图D•“□”和“＋”之上，“○”在右，而立体图“○”应在左，不合要求，故选（C）．例8 下面各图都是正方体的表面展开图，若将它们折成正方体，•则其中两个正方体各面图案完全一样，它们是（）．分析首先找出上下两底，（1）是+和*，（2）是+和*，（3）（4）都是□和×，排除（1）（2），再检查侧面，（3）（4）顺序相同，所以选（3）（4）．十一种展开图找对面的规律首先拿到一个展开图时，先看清楚它的结构。

巧记正方体11种展开图的规律
老师共同研究了几条规律，希望对大家的教学有所帮助：
正方体展开11种,找规律很好记。

中间4个一连串,两边各一随便放.
二三紧连错一个,三一相连一随便。

两两相连各错一.三个两排一对齐.
先找同层隔一面，再找异层隔二面,
剩下两面必相对，两个起头按顺序。

正方体表面展开图（一四一型：6种）口诀：中间四个一连串，两边各一随便放
（二三一型：3种）口诀：二三紧连挪一个，三一相连一随便
（二二二型：1种）口诀：两两相连各挪一
（三三型1种）口诀：三个两排一对齐。

如何快速找正方体的展开面和相对面正方体的展开与折叠是《图形的初步认识》这一章的重要内容，也是近几年中考的热点,而探索正方体的展开图的相对面分布的规律就是其中的一个考点。

下面就谈一谈如何快速地确定相对面，供同学们学习时参考。

一、“141”型（共6种)展开图特点:在这类展开图中，最长的一行（或列）有四个正方形（如图1～6所示）在这种类型中，有4个正方形“直线”相连,其余2个正方形分别在“直线”两旁，位置任意。

相对面特点：图 1～图6有四个面在同一层，可作为一类。

确定相对面的方法是：一、三层的两个面是相对面，第二层四个面中不相邻的两个面是相对面。

二、“231”型(共3种）展开图特点:在这类展开图中，最长的一行（或列）有3个正方形（如图7~9）.在“231"型中,“3”所在的行（或列)必须在中间，“2”、“1”所在行（或列）分属两边（前后不分）.也就是正方体展开后，如有三个面在“直线”相连，另2个面在“直线”相连面一旁，另一面在它另一旁.故该种情况有3种。

相对面特点: 图7～图9有三个面在同一层,剩下的三个面分别在上下两侧，可作为一类。

确定相对面的方法是：抓中间层;中间层中不相邻的两个面一定是相对面，中间的那个面与离它最远的面是相对面；余下的两个面是相对面.三、“222"型(只有1种）展开图特点:在展正如开图中,最多只有2个正方形“直线”相连。

正如“二面三行，像楼梯”.如图10所示展开图相对面：，相邻两层不相邻的两个面一定是相对面,这样就可以先确定出两对不同的相对面，剩下的两个面一定是相对面．面A对面D,面B对E，面C 对面F。

四、“33”型（只有1种）犹如“三面两行,两台阶”如图中相对面每层中不相邻的两个面是相对面，剩下的两个面是相对面。

面A对面C，面D对F，面B对面E。

正方体表面展开图规律探寻
把一个正方体的表面沿某些棱剪开后所成的6个正方形中，如果每一个正方形都有一条边与另外正方形的某条边重合，就称其为正方体的表面展开图。

正方体的表面展开图种类繁多，形状各异，解题时若一一动手操作，工程量大且繁琐，在影响解题效率的同时还容易产生解题错误。

努力探寻正方体表面展开图所拥有的规律，不仅可使问题迎刃而解，还能使解决问题的思维方式得到升华。

大家都知道，一个正方体有6个面，且两两相对，因此正方体的表面展开图中最多可有4个面连成一行，同时至少有两个面连在一起，下面我们采取分类讨论的方法，探寻正方体表面展开图所具有的规律。

一、四个面（正方形）连成一行
当正方形的表面展开图有4个面连成一行时，如图 ，由于另外两个面相对，
这两个面必分布在该图的两侧，不妨固定一个面，则得图 ，那么另一个面的分布情况为：
同理，在不重复的情况下，还有如下情况，如图⑤⑥。

二、三个面（正方形）连成一行
当正方形的表面展开图有3个面连成一行时，如图 ，则另三个面可在同一行，也可能分成两组。

1．当另三个面在一行时，可形成三面二行的台阶，如图⑦；
2．当三个面分成两组时，相连的两个面位置固定，可有三种情况，如图⑧、⑨、⑩。

三、两个面（正方形）连成一行
当正方形表面展开图两个面连成一行时，展开图为两面三行，成楼梯状，如图⑪。

综上所述，正方体的表面展开图一共有11种，通过分类我们不难发现这些展开图呈现了较强的规律，亦希望此文给同学们的学习带来帮助。

① ②③
④⑤ ⑥
⑧ ⑦ ⑨ ⑩
⑪。

谈谈正方体表面的展开图的识别山东于秀坤将正方体表面沿着某些棱剪开展成一个平面图形，需要剪开7条棱，由于剪开的方法不同，经过充分的尝试，你会得到11种不同形状的展开图。

在变化多样的平面展开图中，怎样找到符合实际的展开图，这里是否存在规律问题，我们来探究一下。

我们知道，每一个正方体都是由三对相对的面围成的。

如果能在展开的平面图形中，找到三对相对无重叠的面，那么就能找到符合实际意义的正方体的平面展开图。

在平面展开图中找相对的面是探索正方体展开图的关键。

找相对的面具有下列规律：1．在正方体表面的展开图中，在一条直线上的3个正方形的两端的正方形就是正方体的两个相对的面。

将正方体去掉3个面，留下如图1中的3个面，观察面1和面3为对面。

图1根据在一条直线上的3个正方形中两端的正方形就是正方体的两个对面。

可得图2中面1的对面是面3，面2的对面是面5，面4的对面是面6。

图22．在“Z”形图上的四个正方形中，两端的正方形就是正方体的两个相对的面。

将正方体去掉两个面，留下如图3中的这四个正方形，观察面1与面4就是相对的面。

根据这样四个正方形位置的特点知：在正方体的表面展开图中，为“Z”形的4个正方形中两端的正方形就是正方体的两个相对的面。

如图4中有面1的对面是面6。

图3 图4根据以上规律，我们可以判断一个图形是否是正方体的表面的展开图。

例1 判断下列平面图形哪些是正方体的平面展开图？图5 图6 图7图8 图9 图10解析：根据以上规律可以找到图5中面1与面5、面2与面4、面3与面6是三对互不重叠的对面，所以图５是正方体的平面展开图。

在图６中面1与面5、面2与面4 、面3与面6是三对互不重叠的对面，所以图６是正方体的平面展开图。

在图７中，虽然根据规律可以找到面3与面5是对面、面4与面6是对面，但面1与面2不是对面。

所以图７不是正方体的平面展开图。

在图８中，面１与面３，面４与面６，面２与面５是相对的面，所以图８是正方体的展开图；在图９中，由于面１的相对的面有３和６两个面，所以它不是正方体的展开图；在图10中，面1与面4，面2与面5，米面3与面6是对面，所以图10是正方体的展开图。

巧记口诀确定正方体表面展开图6个相连的正方形组成的平面图形，经折叠能否围城正方体问题，是近年来中考常考题型。

同学们在学习这一知识时常感到无从下手，现将确定正方体展开图的方法以口诀的方式总结出来，供大家参考：正方体盒巧展开，六个面儿七刀裁。

十四条边布周围，十一类图记分明：四方成线两相卫，六种图形巧组合；跃马失蹄四分开；两两错开一阶梯。

对面相隔不相连,识图巧排“7”、“凹”、“田”。

现将口诀的内涵解释如下：将一个正方体盒的表面沿某些棱剪开，展开成平面图形，需剪7刀，故平面展开图中周围有14条边长共有十一种展开图：一、四方成线两相卫，六种图形巧组合（1）（2）（3）（4）（5）（6）以上六种展开图可归结为四方连线，即，另外两个小方块在四个方块的上下两侧，共六种情况。

二、跃马失蹄四分开（1）（2）（3）（4）以上四种情况可归结为五个小方块组成“三二相连”的基本图形（如图），另外一个小方块的位置有四种情况，即图中四个小方块中的任意一个，这一图形有点像失蹄的马，故称为“跃马失蹄”。

三、两两错开一阶梯这一种图形是两个小方块一组，两两错开，像阶梯一样，故称“两两错开一阶梯”。

四、对面相隔不相连这是确定展开图的又一种方法，也是确定展开图中的对面的一种方法。

如果出现三个相连，则1号面与3号面是对面，中间隔了一个2号面，并且是对面的一定不相连。

五、识图巧排“7”、“凹”、“田”（1） （2） （3）这里介绍的是一种排除法。

如果图中出现象图（1）中的“7”形结构的图形不可能是正方体展开图的，因为图中1号面与3号面是对面，3号面又与5号面是对面，出现矛盾。

如果图中出现象图（2）中的“田”形结构的图形不可能是正方体展开图的，因为同一顶点处不可能出现四个面的。

如果图中出现象图（3）中的“凹”形结构的图形不可能是正方体展开图的，因为如果把该图形折叠起来将有两个面重合。

现举例说明：例1．（2004海口市实验区）下面的平面图形中，是正方体的平面展开图的是（ ）解析：本题可用“识图巧排 ‘7’、‘田’、‘凹’”来解决。

巧记口诀确定正方体表面展开图
将一个正方体盒的表面沿某些棱剪开，展开成平面图形共有11种展开图：
一、正方体展开在有四个在同一层，即“141”排列，有6种。

（1）（2）（3）（4）
（5）（6）
以上六种展开图可归结为中间4个排成一列，即，另外两个小方块在四个方块的上下两侧。

二、正方体展开后有3个在同一层，即“231”排列，有3种。

（也可以看做“132”）
（1）（2）（3）
三、正方体展开后每两个一层，即“222”排列，只有1种。

这一种图形是两个小方块一组，两两错开，像阶梯一样。

四、第四种“33”形排列，只有1种。

五、巧用排除法:如果图中出现含有“凹”、“田”的图形都不能拼成正方体。

（1）（2）
备注：能拼成正方体的前提是必须是用6个正方形来拼，如果多于或者少于6个都不行。