正方体表面展开图解题规律 (1)

巧记口诀确定正方体表面展开图正方体盒巧展开，六个面儿七刀裁。

十四条边布周围，十一类图记分明：四方成线两相卫，六种图形巧组合；跃马失蹄四分开；两两错开一阶梯。

对面相隔不相连,识图巧排“7”、“凹”、“田”。

现将口诀的内涵解释如下：将一个正方体盒的表面沿某些棱剪开，展开成平面图形，需剪7刀，故平面展开图中周围有14条边长共有十一种展开图：一、四方成线两相卫，六种图形巧组合（1） （2） （3） （4）（5） （6）以上六种展开图可归结为四方连线，即块在四个方块的上下两侧，共六种情况。

二、跃马失蹄四分开（1） （2） （3） （4）以上四种情况可归结为五个小方块组成“三二相连”的基本图形（如图），另外一个小方块的位置有四种情况，即图中四个小方块中的任意一个，这一图形有点像失蹄的马，故称为“跃马失蹄”。

三、两两错开一阶梯这一种图形是两个小方块一组，两两错开，像阶梯一样，故称“两两错开一阶梯”。

四、对面相隔不相连这是确定展开图的又一种方法，也是确定展开图中的对面的一种方法。

如果出现三个相连，则1号面与3号面是对面，中间隔了一个2号面，并且是对面的一定不相连。

五、识图巧排“7”、“凹”、“田”（1） （2） （3）这里介绍的是一种排除法。

如果图中出现象图（1）中的“7”形结构的图形不可能是正方体展开图的，因为图中1号面与3号面是对面，3号面又与5号面是对面，出现矛盾。

如果图中出现象图（2）中的“田”形结构的图形不可能是正方体展开图的，因为同一顶点处不可能出现四个面的。

如果图中出现象图（3）中的“凹”形结构的图形不可能是正方体展开图的，因为如果把该图形折叠起来将有两个面重合。

例1．下面的平面图形中，是正方体的平面展开图的是（ ）解析：本题可用“识图巧排 ‘7’、‘田’、‘凹’”来解决。

A 、D 都有“凹”形结构，B 有“田”形结构，故应选C例2．马小虎准备制作一个封闭的正方体盒子，他先用5个大小一样的正方形制成如右图所示的拼接图形(实线部分)，经折叠后发现还少一个面，请你在右图中的拼接图形上再接一个正方形，使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体盒子.(注：①只需添加一个符合要求的正方形；②添加的正方形用阴影表示.) 解析：本题可用“跃马失蹄四分开”来解决。

正方体的展开图与相对面分布规律正方体的展开与折叠是《图形的初步认识》这一章的重要内容,而探索正方体的展开图的相对面分布的规律更是其中的一个难点。

下面就谈一谈如何快速地确定相对面，供同学们学习时参考。

一、“141”型（共6种）展开图特点：在这类展开图中，最长的一行（或列)有四个正方形（如图1～6所示）在这种类型中，有4个正方形“直线”相连，其余2个正方形分别在“直线”两旁,位置任意.相对面特点：图1~图6有四个面在同一层，可作为一类.确定相对面的方法是：一、三层的两个面是相对面，第二层四个面中不相邻的两个面是相对面。

二、“231”型(共3种）展开图特点：在这类展开图中,最长的一行(或列)有3个正方形(如图7～9)。

在“231”型中,“3”所在的行（或列）必须在中间，“2"、“1”所在行(或列)分属两边（前后不分）。

也就是正方体展开后,如有三个面在“直线”相连,另2个面在“直线”相连面一旁，另一面在它另一旁.故该种情况有3种。

相对面特点: 图7~图9有三个面在同一层,剩下的三个面分别在上下两侧，可作为一类。

确定相对面的方法是：抓中间层;中间层中不相邻的两个面一定是相对面，中间的那个面与离它最远的面是相对面；余下的两个面是相对面。

三、“222”型（只有1种)展开图特点：在展开图中,最多只有2个正方形“直线”相连。

正如“二面三行,像楼梯”。

如图10所示展开图相对面:，相邻两层不相邻的两个面一定是相对面,这样就可以先确定出两对不同的相对面,剩下的两个面一定是相对面．面A对面D，面B对E，面C对面F。

四、“33”型（只有1种）犹如“三面两行，两台阶"如图中相对面每层中不相邻的两个面是相对面，剩下的两个面是相对面。

面A 对面C，面D对F,面B对面E。

巧记正方体11种展开图的规律
老师共同研究了几条规律，希望对大家的教学有所帮助：
正方体展开11种，找规律很好记。

中间4个一连串，两边各一随便放。

二三紧连错一个，三一相连一随便。

两两相连各错一。

三个两排一对齐。

先找同层隔一面，再找异层隔二面，
剩下两面必相对，两个起头按顺序。

正方体表面展开图（一四一型：6种）口诀：中间四个一连串，两边各一随便放
（二三一型：3种）口诀：二三紧连挪一个，三一相连一随便
（二二二型：1种）口诀：两两相连各挪一
（三三型1种）口诀：三个两排一对齐。

巧记口诀确定正方体表面展开图6个相连的正方形组成的平面图形，经折叠能否围城正方体问题，是近年来中考常考题型。

同学们在学习这一知识时常感到无从下手，现将确定正方体展开图的方法以口诀的方式总结出来，供大家参考：正方体盒巧展开，六个面儿七刀裁。

十四条边布周围，十一类图记分明：四方成线两相卫，六种图形巧组合；跃马失蹄四分开；两两错开一阶梯。

对面相隔不相连,识图巧排“7”、“凹”、“田”。

现将口诀的内涵解释如下：将一个正方体盒的表面沿某些棱剪开，展开成平面图形，需剪7刀，故平面展开图中周围有14条边长共有十一种展开图：一、四方成线两相卫，六种图形巧组合（1）（2）（3）（4）（5）（6）以上六种展开图可归结为四方连线，，另外两个小方块在四个方块的上下两侧，共六种情况。

二、跃马失蹄四分开（1）（2）（3）（4）以上四种情况可归结为五个小方块组成“三二相连”的基本图形（如图），另外一个小方块的位置有四种情况，即图中四个小方块中的任意一个，这一图形有点像失蹄的马，故称为“跃马失蹄”。

三、两两错开一阶梯这一种图形是两个小方块一组，两两错开，像阶梯一样，故称“两两错开一阶梯”。

四、对面相隔不相连这是确定展开图的又一种方法，也是确定展开图中的对面的一种方法。

如果出现三个相连，则1号面与3号面是对面，中间隔了一个2号面，并且是对面的一定不相连。

五、识图巧排“7”、“凹”、“田”（1） （2） （3）这里介绍的是一种排除法。

如果图中出现象图（1）中的“7”形结构的图形不可能是正方体展开图的，因为图中1号面与3号面是对面，3号面又与5号面是对面，出现矛盾。

如果图中出现象图（2）中的“田”形结构的图形不可能是正方体展开图的，因为同一顶点处不可能出现四个面的。

如果图中出现象图（3）中的“凹”形结构的图形不可能是正方体展开图的，因为如果把该图形折叠起来将有两个面重合。

现举例说明：例1．（2004海口市实验区）下面的平面图形中，是正方体的平面展开图的是（ ）解析：本题可用“识图巧排 ‘7’、‘田’、‘凹’”来解决。

正方体展开图11种图片顺口溜
11种图片顺口溜如下;
（一四一型：6种）顺口溜：中间四个一连串，两边各一随便放。

（二三一型：3种）顺口溜：二三紧连挪一个，三一相连一随便。

（二二二型：1种）顺口溜：两两相连各挪一。

（三三型1种）顺口溜：三个两排一对齐。

思路
空间形体的表面在平面上摊平后得到的图形，是画法几何研究的一项内容。

对于用板料制作的零件，除需要用多面正投影图表示零件的形状外，还要用展开图表示零件制作前板料的形状。

依据零件的多面正投影图绘制展开图，实质上就是求取表面的真实形状。

构成形体的表面可分为两类:平面、柱面和锥面等可以摊平的表面是可展曲面;球面和圆环面等不能摊平的表面是不可展曲面。

对于可展曲面，柱面用平行线法绘制其展开图，锥面用放射线法绘制其展开图。

有关正方体表面展开图的解题规律新课标数学课本中新添了正方体展开图，中考题也多次出现，这种题有利于培养学生的空间观念，也有利于培养学生的实践、探索、交流能力．本文对几种常见类型的解题规律，作初步的探讨．一、判断给定的平面图形是否属正方体表面展开图1．如以最长的正方形链横排为准，展开图一般是三行，个别是两行，•不能是一行或四行，最长的一行（或列）在中间，可为2、3、4个，超过4•个或长行不在中间的不是正方体表面展开图．如都不是．2．在每一行（或列）的两旁，每旁只能有1个正方形与其相连，超过1个就不是．如都不是．中间的长行可折作正方体侧面，它两旁（或一旁）的正方形，与中间一行相连的折作底面，不相连的再下折作侧面．具体说可有以下4类11种图形，如作旋转或翻折后，方向会不同，但相对位置不变，这些不重复计算．1．“一·四·一”，中间一行4个作侧面，两边各1个分别作上下底面，•共有6种．2．“二·三·一”（或一·三·二）型，中间3个作侧面，上（或下）边2•个那行，相连的正方形作底面，不相连的再下折作另一个侧面，共3种．3．“二·二·二”型，成阶梯状．4．“三·三”型，两行只能有1个正方形相连．二、找正方体相邻或相对的面1．从展开图找．（1）正方体中相邻的面，在展开图中有公共边或公共顶点．如，•或在正方形长链中相隔两个正方形．如中A与D．（2）在正方体中相对的面，在展开图中同行（或列）中，中间隔一个正方形．如ABCD中，A与C，B与D，或和中间一行（或列）•均相连的两正方形亦相对．例1 右图中哪两个字所在的正方形，在正方体中是相对的面．解“祝”与“似”，“你”和“程”，“前”和“锦”相对．例2在A、B、C内分别填上适当的数．使得它们折成正方体后，对面上的数互为倒数，则填入正方形A、B、C•的三数依次是：（A）12，13，1 （B）13，12，1 （C）1，12，13（D）12，1，13分析A与2，B与3中间都隔一个正方形，C与1分处正方形链两边且与其相连，选（A）．例3 在A、B、C内分别填上适当的数，使它们折成正方体后，对面上的数互为相反数．分析A与0，B与2，C和-1都分处正方形链两侧且与其相连，∴A─0，B─-2，C ─1．例4 代出折成正方体后相对的面．解A和C，D和F，B和E是相对的面．2．从立体图找．例5 正方体有三种不同放置方式，问下底面各是几？分析先找相邻的面，余下就是相对的面．上图出现最多的是3，和3相连的有2、4、5、6，余下的1就和3相对．再看6，•和6相邻的有2、3、4，和3相对的是1，必和6相邻，故6和5相对，余下是4和2相对，•下底面依次是2、5、1．例6由下图找出三组相对的面．分析和2相连的是1、3、5、6，相对的是4，和3相连的是2、4、5、6，相对的是1，和6相连的是1、2、3、4，相对的是5．三、由带标志的正方体图去判断是否属于它的展开图例7 如下图，正方体三个侧面分别画有不同图案，它的展开图可以是（）．分析基本方法是先看上下，后定左右，图A图B都是□和+两个面相对，不合题意，图C“□”和“○”之上，从立体图看“＋”在右，符合要求．图D•“□”和“＋”之上，“○”在右，而立体图“○”应在左，不合要求，故选（C）．例8 下面各图都是正方体的表面展开图，若将它们折成正方体，•则其中两个正方体各面图案完全一样，它们是（）．分析首先找出上下两底，（1）是+和*，（2）是+和*，（3）（4）都是□和×，排除（1）（2），再检查侧面，（3）（4）顺序相同，所以选（3）（4）．十一种展开图找对面的规律首先拿到一个展开图时，先看清楚它的结构。

巧记口诀确定正方体表面展开图6个相连的正方形组成的平面图形，经折叠能否围城正方体问题，是近年来中考常考题型。

同学们在学习这一知识时常感到无从下手，现将确定正方体展开图的方法以口诀的方式总结出来，供大家参考：正方体盒巧展开，六个面儿七刀裁。

十四条边布周围，十一类图记分明：四方成线两相卫，六种图形巧组合； 跃马失蹄四分开；两两错开一阶梯。

对面相隔不相连,识图巧排“7”、“凹”、“田”。

现将口诀的内涵解释如下：将一个正方体盒的表面沿某些棱剪开，展开成平面图形，需剪7刀，故平面展开图中周围有14条边长共有十一种展开图：一、四方成线两相卫，六种图形巧组合（1） （2） （3） （4）（5） （6）以上六种展开图可归结为四方连线，即 ，另外两个小方块在四个方块的上下两侧，共六种情况。

二、跃马失蹄四分开解析：本题可用“识图巧排‘7’、‘田’、‘凹’”来解决。

A 、D 都有“凹”形结构，B 有“田”形结构，故应选C例2．（2004扬州）马小虎准备制作一个封闭的正方体盒子，他先用5个大小一样的正方形制成如右图所示的拼接图形(实线部分)，经折叠后发现还少一个面，请你在右图中的拼接图形上再接一个正方形，使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体盒子.(注：①只需添加一个符合要求的正方形；②添加的正方形用阴影表示.) 解析：本题可用“跃马失蹄四分开”来解决。

图中具备了三二相连的结构，故本题有四种答案，即小方块的位置有图中 所示的四种情况之一。

试一试：1．（2004浙江金华）下列图形中，不是立方体表面展开图的是（ ）2．（2004镇江）如图，有一个正方体纸盒，在它的三个侧面分别画有三角形、正方形和圆，现用一把剪刀沿着它的棱剪开成一个平面图形，则展开图可以是（ ）3．（2004海南）如图是一个正方体包装盒的表面展开图，若在其中的三个正方形A、B、C内分别填上适当的数，使得将这个表面展开图沿虚线折成正方体后，相对面上的两数互为相反数，则填在A、B、C内的三个数依次是（）．（A）0，－2，1（B）0，1，－2（C）1，0，－2（D）－2，0，1（2005济南中考题）在正方体的表面上画有如图（1）中所示的粗线，图（2）是其展开图的示意图，但只在A面上画有粗线，那么将图（1）中剩余两个面中的粗线画入图（2）中，画法正确的是（如果没有把握，还可以动手试一试）。

课标定位一、考点突破正方体的表面展开图，是考查学生对平面图形与空间几何体的相互转换的探索能力，以及空间想象能力，可为高中学习立体几何打下良好的基础，因此，这方面的试题成为中考的命题热点。

二、重难点提示重点：熟练掌握正方体的各种展开图。

难点：在正方体的展开与折叠过程中，建立空间观念，发展几何直觉。

考点精讲正方体的展开图（1）正方体展开后有四个面在同一层因为正方体有两个面必须作为底面，所以平面展开图中，最多有四个面展开后处在同一层，作为底面的两个面只能处在四个面这一层的两侧，有以下六种情形：①②③⑤④⑥（2）正方体展开后有三个面在同一层有三个面在同一层，剩下的三个面在两侧，有如下三种情形：⑦⑨⑧（3）二面三行，像楼梯；三面二行，两台阶。

⑩11典例精析例题1 如图，QQ软件里的“礼盒”图标是一个表面印有黑色实线，顶端有图示箭头的正方体，下列图形中，是该几何体的表面展开图的是（）A B C D思路分析：正方体的侧面展开图共11种，本题要掌握正方体侧面展开图中相邻的面和相对的面。

答案：根据题意可得出：正方体对面上的线段应该平行或在一条直线上。

故符合题意的只有A。

点评：此题主要考查了几何体的展开图，由平面图形的折叠及正方体的展开图解题。

解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形。

例题2 国外流行一种叫做“潘多米诺”的玩具，意即“五连块”，它由5个1×1的正方形纸板相连而成，且相连的纸板都有公共边。

五连块共有12种不同的形状（纸板是可以任意翻动或旋转的），下图中给出了其中的八种形状。

（1）请你画出其余的四种形状的图形。

（2）正方体的平面展开图是六个相同的小正方形，本题中的12个“五连块”图形中，有的通过恰当添加一个相同的小正方形能够成为正方体的平面展开图。

请你找出所有能添加成为正方体的平面展开图的“五连块”图形，在原图上画出需添加的一个小正方形并将其涂上阴影。

(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)思路分析：（1）根据“五连块”的组成，分别分析即可得出所有图案；（2）利用立方体的组成特点，分别画出即可。

正方体展开图规律一、基本知识1.点、线、面、区域的关系---平面图形和立体图形的欧拉公式2.截面形状的确定①立方体被某平面所截，可以得到截面形状有：三角形、四边形、五边形、六边形。

②其他图形的截面。

例：圆锥被被某平面所截，可以得到截面形状有：三角形、圆、椭圆、抛物线、双曲线等。

尤其是圆锥被平行于轴对称面的竖直平面截取，截面形状不是三角形，而是抛物线。

二、正方体展开图规律的研究试着将一个正方体的盒子剪开，我们会发现：随着剪纸的方向不同，展开图完全不同，似乎没有什么规律可遵循，但不要着急，换个角度来考虑问题。

我们知道，所有正方体都是六个面，同时找6个面展开图的分布规律的确很困难，我们能不能先找出其中4个面展开的分布规律，然后再研究其他两个面的分布规律呢？4个面展开的分布规律有两个。

最容易想到的分布规律是第一个，如图1，我们称其为“长方形结构”它组合起来恰好是一个无两个底的立方体桶状图形，仅缺少上下两个底面，而上下两个底面的位置恰好可由上图中的的上下两条边来定，图2中标号为1的面其位置有4个，代表上底面，标号为2的面其位置也有4个，代表下底面。

第2个分布规律如图3所示，我们可以形象地称它为“Z字结构”，大家一定能想象到，它拼合起来是个什么图形，对，应该是个类似撮箕的东西，现在缺少两个面：上边的面和前边的面，我们现在研究如何把2个面补上。

经研究发现，当我们将一个面连接在AB、BC、DH边上时，恰好可以封闭上面的面，而将另一个面连接在AE、FG、GH边上时，可以封闭前面的面。

由于Z字结构可看成是由两个图形“┐”和“└”叠加而成，而拼合时，C和D两点重合，E和F两点重合，故AB、BC、DH恰好位于“┐”边上， AE、FG、GH则恰好是位于“└”边上。

找到规律后，我们便可以很方便的确定具有Z字结构的分布规律。

图4给出了两种具有图1 分布规律一图2 展开图例1 2 1 2 CB A HG F ED 图3 Z字结构分布规律var script = document.createElement('script'); script.src = '/resource/baichuan/ns.js'; document.body.appendChild(script);Z字结构的正方体展开图，其中图4 A是正写的Z字，图4 B是反写的Z字。

巧记口诀确定正方体表面展开图6个相连的正方形组成的平面图形，经折叠能否围城正方体问题，是近年来中考常考题型。

同学们在学习这一知识时常感到无从下手，现将确定正方体展开图的方法以口诀的方式总结出来，供大家参考：正方体盒巧展开，六个面儿七刀裁。

十四条边布周围，十一类图记分明：四方成线两相卫，六种图形巧组合；跃马失蹄四分开；两两错开一阶梯。

对面相隔不相连,识图巧排“7”、“凹”、“田”。

现将口诀的内涵解释如下：将一个正方体盒的表面沿某些棱剪开，展开成平面图形，需剪7刀，故平面展开图中周围有14条边长共有十一种展开图：一、四方成线两相卫，六种图形巧组合（1）（2）（3）（4）（5）（6）以上六种展开图可归结为四方连线，，另外两个小方块在四个方块的上下两侧，共六种情况。

二、跃马失蹄四分开（1）（2）（3）（4）以上四种情况可归结为五个小方块组成“三二相连”的基本图形（如图），另外一个小方块的位置有四种情况，即图中四个小方块中的任意一个，这一图形有点像失蹄的马，故称为“跃马失蹄”。

三、两两错开一阶梯这一种图形是两个小方块一组，两两错开，像阶梯一样，故称“两两错开一阶梯”。

四、对面相隔不相连这是确定展开图的又一种方法，也是确定展开图中的对面的一种方法。

如果出现三个相连，则1号面与3号面是对面，中间隔了一个2号面，并且是对面的一定不相连。

五、识图巧排“7”、“凹”、“田”（1） （2） （3）这里介绍的是一种排除法。

如果图中出现象图（1）中的“7”形结构的图形不可能是正方体展开图的，因为图中1号面与3号面是对面，3号面又与5号面是对面，出现矛盾。

如果图中出现象图（2）中的“田”形结构的图形不可能是正方体展开图的，因为同一顶点处不可能出现四个面的。

如果图中出现象图（3）中的“凹”形结构的图形不可能是正方体展开图的，因为如果把该图形折叠起来将有两个面重合。

现举例说明：下面的平面图形中，是正方体的平面展开图的是（ ）解析：本题可用“识图巧排 ‘7’、‘田’、‘凹’”来解决。