河北省衡水中学高中数学(文)复习测试：作业【3】(含答案)

2022-2023学年河北省衡水中学高三（下）第三次月考数学试卷1.设复数，则在复平面内对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.已知集合，，则有个真子集.( )A. 3B. 16C. 15D. 43.已知且，“函数为增函数”是“函数在上单调递增”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.某校有5名大学生打算前往观看冰球，速滑，花滑三场比赛，每场比赛至少有1名学生且至多2名学生前往，则甲同学不去观看冰球比赛的方案种数有( )A. 48B. 54C. 60D. 725.公差不为0的等差数列的前n项和为，且，若，，，，依次成等比数列，则( )A. 81B. 63C. 41D. 326.在中，，，，则直线AD通过的( )A. 垂心B. 外心C. 重心D. 内心7.如图，平面平面ABEF，四边形ABCD是正方形，四边形ABEF是矩形，且，，若G是线段EF上的动点，则三棱锥的外接球表面积的最小值是( )A.B.C.D.8.已知向量，是夹角为的单位向量，若对任意的，，且，，则m的取值范围是( )A. B. C. D.9.以下四个命题中，真命题的有( )A. 在回归分析中，可用相关指数的值判断模型的拟合效果，越大，模型的拟合效果越好B. 回归模型中残差是实际值与估计值的差，残差点所在的带状区域宽度越窄，说明模型拟合精度越高C. 对分类变量x与y的统计量来说，值越小，判断“x与y有关系”的把握程度越大D. 已知随机变量X服从二项分布，若，则10.2022年9月钱塘江多处出现罕见潮景“鱼鳞潮”，“鱼鳞潮”的形成需要两股涌潮，一股是波状涌潮，另外一股是破碎的涌潮，两者相遇交叉就会形成像鱼鳞一样的涌潮.若波状涌潮的图像近似函数的图像，而破碎的涌潮的图像近似是函数的导函数的图像.已知当时，两潮有一个交叉点，且破碎的涌潮的波谷为，则( )A. B.C. 的图像关于原点对称D. 在区间上单调11.在棱长为2的正方体中，E，F分别为AB，BC的中点，则( )A. 异面直线与所成角的余弦值为B. 点P为正方形内一点，当平面时，DP的最小值为C. 过点，E，F的平面截正方体所得的截面周长为D. 当三棱锥的所有顶点都在球O的表面上时，球O的表面积为12.已知F是抛物线W：的焦点，点在抛物线W上，过点F的两条互相垂直的直线，分别与抛物线W交于B，C和D，E，过点A分别作，的垂线，垂足分别为M，N，则( ) A. 四边形AMFN面积的最大值为2 B. 四边形AMFN周长的最大值为C. 为定值D. 四边形BDCE面积的最小值为3213.的展开式的常数项是______ .14.已知点，，若线段AB与圆C：存在公共点，则m的取值范围为______ .15.已知实数，满足，则的最小值是______ .16.若正实数a，b满足，则的最小值为______ .17.已知为等差数列，求的通项公式；若为的前n项和，求18.已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且求证：；求的取值范围.19.2020年席卷全球的新冠肺炎给世界人民带来了巨大的灾难，面对新冠肺炎，早发现、早诊断、早隔离、早治疗是有效防控疾病蔓延的重要举措之一.某社区对55位居民是否患有新冠肺炎疾病进行筛查，先到社区医务室进行口拭子核酸检测，检测结果成阳性者，再到医院做进一步检查，已知随机一人其口拭子核酸检测结果成阳性的概率为，且每个人的口拭子核酸是否呈阳性相互独立.假设该疾病患病的概率是，且患病者口拭子核酸呈阳性的概率为，设这55位居民中有一位的口拭子核酸检测呈阳性，求该居民可以确诊为新冠肺炎患者的概率；根据经验，口拭子核酸检测采用分组检测法可有效减少工作量，具体操作如下：将55位居民分成若干组，先取每组居民的口拭子核酸混在一起进行检测，若结果显示阴性，则可断定本组居民没有患病，不必再检测；若结果显示阳性，则说明本组中至少有一位居民患病，需再逐个进行检测，现有两个分组方案：方案一：将55位居民分成11组，每组5人；方案二：将55位居民分成5组，每组11人；试分析哪一个方案的工作量更少？参考数据：，20.图①是直角梯形ABCD，，，四边形ABCE是边长为2的菱形，并且，以BE为折痕将折起，使点C到达的位置，且求证：平面平面ABED；在棱上是否存在点P，使得点P到平面的距离为？若存在，求出直线EP与平面所成角的正弦值；若不存在，请说明理由.21.已知双曲线W：的左、右焦点分别为、，点，右顶点是M，且，求双曲线的方程；过点的直线l交双曲线W的右支于A、B两个不同的点在A、Q之间，若点在以线段AB为直径的圆的外部，试求与面积之比的取值范围．22.已知为正实数，函数若恒成立，求A的取值范围；求证：…答案和解析1.【答案】D【解析】解：复数，对应点的坐标为，即在复平面内对应的点位于第四象限．故选：化简复数为代数形式，即可判断对应点所在象限．本题考查复数的运算，复数的几何意义，是基础题．2.【答案】A【解析】解：，，则，真子集个数为故选：计算，得到真子集个数．本题主要考查集合交集运算及集合真子集个数的判断，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：因为且，若函数为增函数，则，若函数在上单调递增，则，即，故，“函数为增函数”是“函数在上单调递增”的充要条件．故选：由已知结合指数函数与幂函数单调性分别求出相应的a的范围，即可判断．本题主要考查了指数函数与幂函数单调性的应用，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：将5名大学生分为1，2，2三组，即第一组1个人，第二组2个人，第三组2个人，共有种方法；由于甲不去看冰球比赛，故甲所在的组只有2种选择，剩下的2组任意选，所以由种方法；按照分步乘法原理，共有种方法．故选：先分组，再考虑甲的特殊情况．本题考查了排列组合的混合问题，先选后排是最基本的指导思想，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：因为，所以，，故，设等差数列的公差为d，则，所以，因为，，，，依次成等比数列，，所以，所以，所以，故选：由条件求出数列的通项公式，再结合等比数列定义求本题主要考查等差数列与等比数列的综合，考查运算求解能力，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：，设，，则，由向量加法的平行四边形法则可知，四边形AEDF为菱形．为菱形的对角线，平分直线AD通过的内心．故选：首先根据已知条件可知，又因为，设，，由向量加法的平行四边形法则可知四边形AEDF为菱形，从而可确定直线AD通过的内心．本题考查向量加法的平行四边形法则及其几何意义，属于中档题．7.【答案】C【解析】解：设的外接圆的半径为r，则，当，即时，r由最小值为2，此时的外心为AB的中点，三棱锥的外接球的半径R满足三棱锥的外接球的面积的最小值为故选：设的外接圆的半径为r，在中，由正弦定理可得，求出r的最小值，进一步得到三棱锥的外接球的半径的最小值，则答案可求．本题考查多面体的外接球，求出外接圆半径的最小值是关键，是中档题．8.【答案】D【解析】解：已知向量，是夹角为的单位向量，则，即，即，即，设，，则函数为减函数，即，恒成立，即，即，故选：由题意可得，设，，则函数为减函数，即，恒成立，然后求解即可．本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了导数的综合应用，属中档题．9.【答案】AB【解析】解：对于A，由相关指数的定义知：越大，模型的拟合效果越好，A正确；对于B，残差点所在的带状区域宽度越窄，则残差平方和越小，模型拟合精度越高，B正确；对于C，由独立性检验的思想知：值越大，“x与y有关系”的把握程度越大，C错误．对于D，，，又，，解得：，D错误．故选：根据相关指数的定义确定A；根据残差的性质确定B；根据独立性检验确定C；根据二项分布与均值的运算确定本题主要考查独立性检验，残差和独立性的定义，以及二项分布的期望公式，属于基础题．10.【答案】BC【解析】解：，则，由题意得，即，故，因为，所以由，可得，故选项A错误；因为破碎的涌潮的波谷为，所以的最小值为，即，得，所以，则，故选项B正确；因为，所以，所以为奇函数，则选项C正确；根据，由，得，因为函数在上单调递增，在上单调递减，所以在区间上不单调，则选项D错误．故选：对于A，由题意，求导建立方程，根据正切函数的性质，可得答案；对于B，整理其函数解析式，代入值，利用和角公式，可得答案；对于C，整理函数解析式，利用诱导公式，结合奇函数的性质，可得答案；对于D，利用整体思想，整体换元，结合余弦函数的性质，可得答案．本题主要考查三角恒等变换，求三角函数的导数，函数的图像变换规律，正弦函数的图像和性质，属于中档题．11.【答案】BCD【解析】解：对于A：因为，所以为直线与直线所成的角，所以，故A错误；对于B：取的中点M，取的中点N，取AD的中点S，连接MN，DM，DN，所以四边形是平行四边形，所以，因为，所以，所以面，同理可得，所以面，又面，平面，所以点P的轨迹为线段MN，在中，过点D作，此时DP取得最小值，由题可得，，，所以，故B正确；对于C：由平面面得，过点，E，F的平面必与和有交点，设过点，E，F的平面与平面和平面分别交于与FN，所以，同理可得，过点，E，F的平面截正方体所得的截面图形为五边形，所以D为坐标原点，分别以DA，DC，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设，，则，，，，，所以，，，，因为，，所以，，解得，，所以，，所以，，由题可知，，，，，所以，过点，E，F的平面截面正方体所得截面周长为，故C正确；对于D：取EF的中点，连接，则，过点作，且，所以O为三棱锥的外接球的球心，所以OE为外接球得半径，在中，，所以，所以，故选：对于A：根据异面直线所成角的定义可得为直线与直线所成的角，再计算，即可判断A是否正确；对于B：取的中点M，取的中点N，取AD的中点S，连接MN，DM，DN由面，找到点P的轨迹为线段MN，再计算DP的最小值，即可判断B是否正确；对于C：找到过点，E，F的平面截正方体所得的截面图形为五边形，再计算截面周长，即可判断C是否正确；对于D：取EF的中点，连接，则，求出三棱锥的外接球的半径，再计算球的表面积，即可判断D是否正确．本题考查直线与平面的位置关系，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．12.【答案】ABD【解析】解：因为点在抛物线W：上，所以，，，故抛物线W的方程为：，焦点坐标为，由，得，所以，当且仅当时，等号成立，所以四边形AMFN面积的最大值为2，故A正确．由，得，即，所以四边形AMFN周长的最大值为，故B正确．设直线BC的方程为，，，联立，消x得，，判别式，，，则，同理得，，故C错误．，所以，当且仅当时，等号成立，此时，故D正确．故选：根据给定条件，求出抛物线W的方程，确定四边形AMFN形状，利用勾股定理及均值不等式计算判断A，B ；设出直线的方程，与抛物线方程联立，求出弦BC，DE长即可计算推理判断C，D作答．本题考查了抛物线的方程和性质以及直线与抛物线的位置关系，属于中档题．13.【答案】70【解析】解：，则常数项为，故答案为：先将多项式进行化简，然后利用多项式特点进行求解即可．本题主要考查二项式定理的应用，根据多项式的性质先进行化简，然后利用常数项特点进行求解是解决本题的关键，是基础题．14.【答案】【解析】解：如图，当圆和线段AB相切时，圆的半径最小，当圆过B点时，圆的半径最大．又圆C方程为：，圆心为，半径为，，当圆和线段AB相切时，，即，，解得，当圆过B点时，可得，，的取值范围为故答案为：通过图像可得当圆和线段AB相切时，圆的半径最小，当圆过B点时，圆的半径最大，据此可得m的取值范围．本题考查直线与圆的位置关系，运动变化思想，方程思想，化归转化思想，属中档题．15.【答案】9【解析】解：由已知条件得，，，又，，，，当且仅当，即时等号成立．故答案为：将已知条件通过恒等变形，再利用基本不等式即可求解．本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．16.【答案】【解析】解：因为，所以，所以，即令，则有，设，只需证明，，令得，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，即，又因为，所以，当且仅当时等号成立，所以，所以，所以设，所以，由得，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，所以的最小值为故答案为：由不等式变形为，通过换元，根据不等式恒成立得出a与b的关系，从而把表示为关于a的表达式，再通过构造函数求最值即可．本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．17.【答案】解：，，，⋯，，，；当时，满足上式，所以；由可得，【解析】本题考查运用累乘法求数列的通项公式，裂项相消法求数列的前n项和，属中档题．利用累乘法可求的通项公式；由可得，利用裂项相消法求出18.【答案】证明：在中，由及正弦定理得：，又，，即，，即，，，，，；解：由得，，，由题意，及正弦定理得：，，，即，故的取值范围为【解析】结合正弦定理及正弦和角公式得，结合角度范围即可证明；结合正弦定理及三角恒等变换，结合B角范围即可求解．本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．19.【答案】解：设事件A为“核酸检测呈阳性“，事件B 为“患疾病”由题意可得，，，由条件概率公式得：，即，故该居民可以确诊为新冠肺炎患者的概率为设方案一中每组的检测次数为X，则X 的取值为1，6，，，所以X 的分布列为X16P所以，即方案一检测的总次数的期望为，设方案二中每组的检测次数为Y，则Y 的取值为1，12，；，所以Y 的分布列为Y112P所以，即方案二检测的总次数的期望为，由，则方案二的工作量更少．【解析】设事件A为“核酸检测呈阳性“，事件 B 为“患疾病“，利用条件概率公式求解即可；设方案一和方案二中每组的检测次数为X，Y，分别求出两种方案检测次数的分布列，进而得出期望，通过比较期望的大小即可得出结论．本题主要考查了条件概率公式的应用以及均值的实际应用，属于中档题．20.【答案】解：证明：如图所示，在图①中，连接AC，交BE于O，因为四边形ABCE是边长为2的菱形，且，所以，且，在图②中，相交直线OA，均与BE垂直，所以是二面角的平面角，因为，所以，所以，所以平面平面由知，分别以直线OA，OB，为x，y，z轴建立如图②所示的空间直角坐标系，则，，，，，所以，，，，，设，，则，设平面的一个法向量，则，令，则，，所以因为P到平面的距离为，所以，解得，由，得，所以，，，所以，所以设直线EP与平面所成的角为，所以【解析】在图①中，连接AC，交BE于O，可推出，且，在图②中，相交直线OA，均与BE垂直，则是二面角的平面角，由勾股定理可得，进而可得答案．由知，分别以直线OA，OB，为x，y，z轴建立如图②所示的空间直角坐标系，设，，可得的坐标，求出平面的一个法向量，由于P到平面的距离为，则，解得，设直线EP与平面所成的角为，进而可得答案．本题考查直线与平面的位置关系，解题关键是空间向量法的应用，属于中档题．21.【答案】解：由已知，，，，，则，，解得，，双曲线的方程为直线l的斜率存在且不为0，设直线l：，设，，由，得，则，解得①点在以线段AB为直径的圆的外部，则，②由①、②得实数k的范围是，由已知，在A、Q之间，则，且，，则，，则，，，解得，又，故的取值范围是【解析】考查双曲线标准方程，简单几何性质，直线与双曲线的位置关系等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．由已知，，，，由，知，故，，由此能求出双曲线的方程．直线l的斜率存在且不为0，设直线l：，设，，由，得，由此入手，能够求出的取值范围．22.【答案】解：，①若，即，，函数在区间单调递增，故，满足条件；②若，即，当时，，函数单调递减，故，矛盾，不符合题意；综上：先证右侧不等式，如下：由可得：当时，有，则，即，即则有，即，右侧不等式得证．下面证左侧不等式，如下：易知，可得，即，则有，即，，则故，综上：…【解析】求导得，分，两种情况讨论可得的取值范围；当时，有，则，可得可证右侧不等式，可得，，可证左侧不等式．本题考查导数的综合应用，考查不等式的证明，属难题．。

2021年河北省石家庄市衡水中学高二数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,则椭圆的离心率等于( )A、 B、 C、 D、参考答案：D2. 椭圆的左、右焦点分别是F1（- c,0）, F2 (c,0 )，过点的直线与椭圆交于A , B两点，且，则此椭圆的离心率为（）A B C D参考答案：C3. 用1、2、3、4四个数字可以排成不含重复数字的四位数有（）（A）265个（B）24个（C）128个（D）232个参考答案：B4. i是虚数单位，则1+i3等于（）A.iB.-iC.1+iD.1-i参考答案：D略5. 算法的有穷性是指（）A．算法必须包含输出 B．算法中每个操作步骤都是可执行的C．算法的步骤必须有限 D．以上说法均不正确参考答案：C6. 表面积为4π的球O放置在棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1上，且与上表面A1B1C1D1相切，球心在正方体上表面的射影恰为该表面的中心，则四棱锥O﹣ABCD的外接球的半径为（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；转化思想；空间位置关系与距离；立体几何．【分析】球O的半径为1，四棱锥O﹣ABCD的底面边长为4，高为5，设四棱锥O﹣ABCD的外接球的半径为R，利用勾股定理，建立方程，即可求出四棱锥O﹣ABCD的外接球的半径．【解答】解：表面积为4π的球O的半径为1，∴四棱锥O﹣ABCD的底面边长为4，高为5，设四棱锥O﹣ABCD的外接球的半径为R，则R2=（5﹣R）2+（2）2，∴R=．故选：B．【点评】本题考查球的体积的计算，考查学生的计算能力，难度中档．7. 一个多面体的三视图如右图所示，则该多面体的体积为（）A． B． C． D．参考答案：A略8. 如果直线x＋2y－1＝0和kx-y-3＝0互相垂直，则实数k的值为( )．A.－ B．－2 C．2 D．参考答案：C9. 椭圆M：+=1(a>b>0)的左，右焦点分别为F F P为椭圆M上任意一点，且||·|| 的最大值的取值范围是[2C，3C]，其中C=，则椭圆的离心率e 的取值范围是（）A．[，] B.[，1] C.[，1] D.[，]参考答案：A略10. 设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=4x+y的最大值为（）A．4 B．11 C．12 D．14参考答案：B 【考点】简单线性规划．【分析】利用线性规划的内容作出不等式组对应的平面区域，然后由z=4x+y得y=﹣4x+z，根据平移直线确定目标函数的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=4x+y得y=﹣4x+z，平移直线y=﹣4x+z，由图象可知当直线y=﹣4x+z经过点B时，直线y=﹣4x+z的截距最大，此时z最大，由，解得，即B（2，3），此时z=2×4+3=8+3=11，故选：B．【点评】本题主要考查二元一次不等式组表示平面区域的知识，以及线性规划的基本应用，利用数形结合是解决此类问题的关键．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设数列的前项和为（），关于数列有下列三个命题：①若既是等差数列又是等比数列，则（）；②若，则是等差数列；③若，则是等比数列.其中正确命题的序号是 .参考答案：①②③略12. 若复数是纯虚数，则实数m的值为____．参考答案：－【分析】由纯虚数的定义，可以得到一个关于的等式和不等式，最后求出的值.【详解】因为复数是纯虚数，所以有，.故答案为.【点睛】本题考查了纯虚数的定义，解不等式和方程是解题的关键.13. 事件A ，B 互斥，它们都不发生的概率为，且P (A )＝2P (B )，则P ()＝________． 参考答案：14. 已知，抛物线上的点到直线的最短距离___ 参考答案： 0 略15. 在△ABC 中，A 、B、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2b=a+c ，则B 的取值范围是 ．参考答案：（0，]【考点】余弦定理；正弦定理． 【专题】解三角形．【分析】由已知等式变形表示出b ，利用余弦定理表示出cosB ，将表示出的b 代入并利用基本不等式变形求出cosB 的范围，即可确定出B 的范围．【解答】解：∵2b=a+c，即b=，∴cosB===≥=，则B 的范围为（0，]．故答案为：（0，] 【点评】此题考查了余弦定理，以及基本不等式的运用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键． 16. 已知，若函数f （x+m ）为奇函数，则最小正数m 的值为 ．参考答案：【考点】正切函数的图象．【专题】转化思想；数形结合法；三角函数的图像与性质．【分析】利用正切函数是奇函数的性质，列出方程即可求得m 的取值，再求出它的最小值．【解答】解：∵函数f （x ）=tan （2x+），∴f（x+m ）=tan （2x+2m+）；又f （x+m ）是奇函数， ∴2m+=k π，k∈Z；当k=1时，m 取得最小正数值为． 故答案为：．【点评】本题考查了正切函数的图象与性质的应用问题，是基本题目．17.= ．参考答案：﹣1﹣i【考点】A5：复数代数形式的乘除运算． 【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：原式==﹣1﹣i，故答案为：﹣1﹣i．三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2020届河北省衡水中学高三模拟（三）数学（文）试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.若a ，b 为实数，且ibi ia +=-，则b =（ ） A.2-B.2C.4-D.42.已知全集{}1U x y x ==+，{}22150M x x x =-->，则UM =（ ）A.()(),35,-∞+∞B.(][),35,-∞+∞C.()3,5-D.[]3,5-3.已知某种商品的广告费支出x （单位：万元）与销售额y （单位：万元）之间有如下对应数据：根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y 关于x 的线性回归方程为715y x =+，则表中m 的值为（ ） A.45 B.50C.55D.604.设曲线sin 1cos x y x =-在点,12π⎛⎫⎪⎝⎭处的切线与直线210x ay ++=垂直，则实数a 的值为（ ） A.2-B.12- C.12D.25.函数()()ln 3f x x =-的部分图象大致为（ ）A. B.C. D.6.已知直线l 与抛物线26y x =交于A 、B 两点，直线l 的斜率为3，线段AB 的中点M 的横坐标为12，则AB =（ ）D.37.榫卯（sǔn mǎo ）是古代中国建筑，家具及其它器械的主要结构方式，是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式，其中凸出部分叫榫（或，叫榫头）；凹进部分叫卯（或叫榫眼、榫槽），其特点是在物件上不使用钉子，利用卯榫加固物件，体现出中国古老的文化和智慧.如图所示的网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某榫卯构件的三视图，则该构件的体积为（ ）A.163π+B.2163π+ C.8163π+ D.4163π-8.甲、乙、丙、丁四人参加完机器人设计编程比赛，当问到四人谁得第一时，甲说：“是乙或丙获得第一名”；乙说：“甲、丙都未获得第一名”；丙说：“我获得第一名”；丁说：“是乙获得第一名”.已知他们四人中只有两人说的是真话，根据以上信息可以判断得第一名的人是（ ） A.甲B.乙C.丙D.丁9.设变量x ，y 满足线性约束条件210,220,20,x y x y x y -+≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，若z x ay =+取得最大值时的最优解不唯一，则实数a 的值为（ ） A.12-或1 B.1或2-C.2-或12-D.1-或210.已知在ABC 中，2AB AC ==，2AB CA ⋅=-，点P 满足1132CP CB CA =+，则PA PB ⋅=（ ）A.89-B.89C.23-D.2311.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且72nn S m -=-，若121n nb a a a =⋅⋅⋅，则数列{}n b 中最小的项为（ ）A.5bB.6bC.7bD.6b 或7b12.已知函数()2,04,0x x ae x e x f x x x a x ⎧--≥=⎨+-<⎩，若关于x 的不等式()0f x ≤在区间[)4,-+∞上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A.10,1e⎡⎤+⎢⎥⎣⎦B.[]0,1C.10,1e⎡⎤+⎢⎥⎣⎦D.[)0,1第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）.为督促学生按时学习，某校要求所有学生每天打卡，全校学生的总人数为1200人.某日随机抽查200人，发现因各种原因未及时打卡的学生数为12，估计该日这个学校未及时打卡的学生数为______.14.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，若()111x x a f a -+=，则()2f -=______. 15.已知双曲线E ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，过原点的直线与E 的左、右两支分别交于B ，A 两点，直线2AF 交双曲线E 于另一点C （A ，C 在2F 的两侧）.若222F C AF =，且260BF C ∠=，则双曲线E 的渐近线方程为______.三、解答题（题型注释），B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足cos cos 2cos a B b A c C +=.（1）求C ；（2）若2b =，ABC ，求ABC 的周长.17.如图，矩形ABCD 所在平面垂直于直角梯形ABPE 所在平面，EP =2BP =，1AD AE ==，AE EP ⊥，//AE BP ，G ，F 分别是EP ，DC 的中点.（1）证明：//FG 平面PCB ； （2）求多面体ABCDEP 的体积.18.某企业对某种产品的生产线进行了改造升级，已知该种产品的质量以其质量指标值m 衡量，并依据质量指标值m 划分等级如下表：该企业从生产的这种产品中随机抽取100件产品作为样本，检测其质量指标值，得到如下的频率分布直方图.（1）根据频率分布直方图估计这100件产品的质量指标值m 的平均数x （同一区间数据用该区间数据的中点值代表）；（2）用分层抽样的方法从样本质量指标值m 在区间[)150,200和[]200,250内的产品中随机抽取4件，再从这4件中任取2件作进一步研究，求这2件都取自区间[]200,250的概率；（3）该企业统计了近100天中每天的生产件数，得下面的频数分布表：该企业计划引进新的设备对该产品进行进一步加工，有A ，B 两种设备可供选择.A 设备每台每天最多可以加工30件，每天维护费用为500元/台；B 设备每台每天最多可以加工4件，每天维护费用为800元/台.该企业现有两种购置方案： 方案一：购买100台A 设备和800台B 设备； 方案二：购买200台A 设备和450台B 设备.假设进一步加工后每件产品可以增加25元的收入，在抽取的这100天的生产件数（同一组数据用该区间数据的中点值代表）的前提下，试依据使用A ，B 两种设备后的日增加的利润（日增加的利润=日增加的收入-日维护费用）的均值为该公司决策选择哪种方案更好？19.如图，椭圆Γ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为2，直线l ：240x y +-=与Γ只有一个公共点M .（1）求椭圆Γ的方程.（2）不经过原点O 的直线l '与OM 平行且与Γ交于A ，B 两点，记直线MA ，MB 的斜率分别为1k ，2k ，证明：12k k +为定值.20.已知函数()()2ln 211x ax x f x a a =-+-+-（a R ∈）.（1）讨论()f x 的单调性. （2）证明：当1a =时，()1111ln 2ln 3ln 4ln 1n n n n n n ++++<+++⋅⋅⋅++（n *∈N ）. 21.在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为33x my =+⎧⎪⎨=⎪⎩（m 为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()222cos 1004r r ρρθ=++-<<.（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与x 轴交于点M ，与曲线C 交于A 、B两点，且11MA MB +=，求r 的值.22.已知函数()31f x x x =--+.（1）若关于x 的不等式()25f x a a ≥+恒成立，求实数a 的取值范围；（2）求不等式()2f x x ≤的解集.四、新添加的题型23.已知数列{}n a 中，611a =，且()111n n na n a +--=，则n a =______；2143n a n+的最小值为______.参考答案1.D【解析】1.根据复数的乘法运算，将原式化简，再由复数相等，即可得出结果. 由4ibi ia +=-得，24i ai bi +=-，即4ib ai +=+， 所以4b =. 故选：D. 2.D【解析】2.先求得集合U 、A ，再利用补集的运算可得选项.因为{}1U x y x R ==+=，{5M x x =>或}3x <-，所以[]3,5UM =-.故选：D. 3.A【解析】3.求得样本中心点的坐标(),x y ，将该点的坐标代入回归直线方程可得出关于m 的等式，即可解得实数m 的值. 由表格中的数据可得2456855x ++++==，3040657020555y m m ++==+++，将点(),x y 的坐标代入回归直线方程得2057515505m+=⨯+=，解得45m =. 故选：A. 4.A【解析】4.利用导数求得曲线sin 1cos x y x =-在点,12π⎛⎫⎪⎝⎭处的切线斜率，根据切线与直线210x ay ++=垂直可得出关于实数a 的等式，由此可解得实数a 的值.由题意得()()221cos cos sin 1cos 11cos x x x y x x --'==--，所以曲线sin 1cos x y x =-在点,12π⎛⎫⎪⎝⎭处的切线的斜率11k =-，又直线210x ay ++=的斜率22k a =-，由1221k k a==-，解得2a =-. 故选：A. 5.B【解析】5.采用排除法，先判断函数的奇偶性，排除部分选项，再根据函数值特点排除一些选项，可得选项.易知函数()f x 的定义域为{}33x x -<<， 由()()()()ln 3ln 3f x xx f x -=-=-=，则函数()f x 为偶数，排除选项D ；当2x =时，()20f =，排除选项C ； 由()()ln 30f x x =-≥，排除选项A .故选：B . 6.B【解析】6.设点()11,A x y 、()22,B x y 、01,2M y ⎛⎫⎪⎝⎭，利用点差法求得点M 的坐标，进而可得出直线l 的方程，然后将直线l 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，结合弦长公式可求得AB .设()11,A x y 、()22,B x y \01,2M y ⎛⎫⎪⎝⎭， 则2116y x =，2226y x =，两式相减得()()()1212126y y y y x x +-=-，所以12121263AB y y k x x y y -===-+，解得122y y +=，得01y =，所以1,12M ⎛⎫⎪⎝⎭， 得直线1:32l y x =-，联立21326y x y x⎧=-⎪⎨⎪=⎩，得219904x x -+=，819720∆=-=>，由韦达定理得121x x =+，12136x x =，所以3AB ===， 故选：B. 7.B【解析】7.还原几何体，该构件是由榫（上部分为圆锥，下部分为圆柱的组合体）插入到卯（一个四棱柱）得到的几何体，结合体积公式计算即可.由三视图可知，该构件是由榫（上部分为圆锥，下部分为圆柱的组合体）插入到卯（一个四棱柱）得到的几何体，如下图所示：结合图中的数据可知该构件的体积为212124221633ππ⨯⨯⨯+⨯⨯=+. 故选：B.8.C【解析】8.对甲、乙、丙、丁分别获得第一名进行分类讨论，结合条件“甲、乙、丙、丁四人中只有两人说的是真话”进行推理，可得出结论.若甲获得第一名，则四人说的都是假话，不符合题意；若乙获得第一名，则甲、乙、丁都说真话，丙说假话，不符合题意； 若丁获得第一名，则甲、丁、丙都说假话，乙说真话，不符合题意； 若丙获得第一名，则甲、丙说的是假话，乙、丁说的是真话，符合题意. 故获得第一名的人是丙. 故选：C. 9.B【解析】9.作出不等式组所表示的可行域，分0a >，0a <和0a =三种情况分别讨论，根据z x ay =+取得最大值时的最优解不唯一，可求出答案.作出不等式组所表示的可行域如图阴影部分所示， ①若0a >，z x ay =+可化为11=-+y x z a a， 因为10a -<，10a>，所以只需1y x a =-和直线20x y +-=平行，此时目标函数11=-+y x z a a取得最大值时的最优解不唯一，可得1a =； ②若0a <，z x ay =+可化为11=-+y x z a a， 因为10a ->，10a<， 所以只需1y x a=-和直线210x y -+=平行，此时目标函数z x ay =+取得最大值时的最优解不唯一，可得2a =-；③若0a =，则z x =，此时z 取得最大值的最优解只有一个，不符合题意. 综上，1a =或2a =-. 故选：B.10.A【解析】10.根据向量的数量积的定义可得出ABC 为等边三角形，再建立直角坐标系，得出向量,PA PB 的坐标，运用向量的数量积的坐标运算可得选项.因为2AB CA ⋅=-，所以()()cos 22cos 2AB CA AB CA A A π⋅=⨯⨯-=⨯⨯-=-， 所以1cos 2A =，又0A π<<，所以3A π=，所以ABC 为等边三角形， 以AC 的中点O 为坐标原点，分别以OA ，OB 为x ，y 轴建立如图所示的直角坐标系，则1,0A，(B ，()1,0C -，所以(1,CB=，()2,0CA =，所以114323CP CB CA⎛=+= ⎝⎭，2,3PA CA CP ⎛=-= ⎝⎭，13PB CB CP ⎛=-=- ⎝⎭，所以268999PA PB ⋅=--=-. 故选：A.11.D【解析】11.由1n n n a S S -=-，求出7a ，6a ，从而求出数列{}n a 的通项公式，再根据121n nb a a a =⋅⋅⋅计算可得；解：因为72nn S m -=-，所以7761a S S =-=，6652a S S =-=.因为数列{}n a 是等比数列，所以12q =，即7772n n n a a q--==，所以()1321212n n n nb a a a -==⋅⋅⋅，所以当6n =或7时，n b 最小， 故选：D . 12.B【解析】12.分0x ≥和0x <两种情况讨论，由()0f x ≤结合参变量分离法分别求得实数a 的取值范围，取交集可得出实数a 的取值范围. 由()0f x ≤，当0x ≥时，1x x a e ≤+，令()1xg x x e=+，则()1x xg x e -'=， 由()0g x '>，得01x ≤<；由()0g x '<，得1x >，所以()y g x =在区间[)0,1上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减，所以()max 11g x e=+. 当0x =时，()1g x =，x →+∞，()1g x →，1a ∴≤；当40x -≤<时，24a x x ≥+，令()22424y x x x =+=+-，则max 0y =，所以0a ≥. 综上所述，实数a 的取值范围是[]0,1. 故选：B. 13.72【解析】13.根据所占比例可得答案. 由题意得12120072200⨯=，所以该日这个学校未及时打卡的学生数为72. 故答案为：72. 14.310-【解析】14.由于函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()00f =，从而可求出a 的值，进而求出()2f -的值.解：由题意得()00f =，即1102a -=，解得2a =， 所以()11221x f x =-+， 所以()2122132110f -=-+-=-. 故答案为：310-15.3y x =±【解析】15.连接1AF ，1BF ，1CF ，由双曲线的对称性得四边形12AF BF 是平行四边形，令12AF F B m ==，2AF n =，则22CF n =，结合双曲线的定义可得122CF a n =+，在1F AC △中，由余弦定理可得,m n 的关系，得到,m n 与a 的关系，进而在12F AF 中利用余弦定理可得,a c 的关系，进而求解. 连接1AF ，1BF ，1CF ，如图所示：由双曲线的对称性得四边形12AF BF 是平行四边形，所以21AF F B =，令12AF F B m ==，2AF n =，22CF n =， 由双曲线的定义，得12122CF CF AF AF a -=-=， 所以122CF a n =+，在1F AC △中，由260BF C ∠=及余弦定理得：()2221923222n m n n m a -⨯⨯=++， 代入2a m n =-化简可得85m n =， 又2a m n =-得103n a =，163m a =. 在12F AF 中，2222cos604m n m n c +-⋅⋅=， 即2219649a c =，可得73c a =，∴73c a =，3b a =，所以E 的渐近线方程为3y x =±.故答案为：y x =±16.（1）3π；（2）5+.【解析】16.（1）首先利用正弦定理得到sin cos sin cos 2sin cos A B B A C C +=，从而得到1cos 2C =，即可得到答案. （2）首先根据面积公式得到3a =，再利用余弦定理即可得到答案. （1）由题意及正弦定理得sin cos sin cos 2sin cos A B B A C C +=， 即()sin 2sin cos A B C C +=，即sin 2sin cos C C C =. 又因为0C π<<，所以sin 0C ≠， 所以1cos 2C =，所以3C π=. （2）因为1sin 2ABCSab C =，又由（1）得3C π=，所以12sin 223a π=⨯⨯⨯，解得3a =. 又由余弦定理得22212cos 9423272c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯=，所以c =ABC 的周长为5.17.（1）证明见解析；（2）6.【解析】17.（1）取AB 的中点H ，连接GH ，FH ，根据线面平行的判定定理，证明//GH 平面PCB ，//FH 平面PCB ，再由面面平行判定定理，得到平面//GFH 平面PCB ，从而可证明结论成立；（2）连接HP ，根据面面垂直的性质定理，得到DA ⊥平面ABPE ，HP ⊥平面ABCD ，将多面体ABCDEP 分成四棱锥D ABPE -和P BCD -，分别求出体积再求和，即可得出结果.（1）证明：取AB 的中点H ，连接GH ，FH ，如图所示. 因为G 是EP 的中点， 所以//GH BP .又因为GH ⊄平面PCB ，BP ⊂平面PCB ， 所以//GH 平面PCB . 同理//FH 平面PCB .又因为GH FH H ⋂=，所以平面//GFH 平面PCB ， 所以//FG 平面PCB .（2）连接HP ，因为平面ABCD ⊥平面ABPE ， 平面ABCD平面ABPE AB =，DA AB ⊥，所以DA ⊥平面ABPE ，由题意知易得直角梯形ABPE 的面积为()11222⨯+=，3ABP π∠=，所以11322D ABPE V -=⨯⨯=. 在BHP 中，由余弦定理得241221cos603HP =+-⨯⨯⨯=， 所以222BP HP HB =+，所以HP AB ⊥. 因为平面ABCD ⊥平面ABPE ，平面ABCD 平面ABPE AB =，所以HP ⊥平面ABCD ，所以113P BCD V -=⨯=，所以多面体ABCDEP 的体积为D ABPE P BCD V V --+=18.（1）312.5；（2）12；（3）方案二.【解析】18.（1）根据频率分布直方图中的数据计算即可；（2）首先得到应从区间[)150,200上抽取1件，记为1A ，从区间[]200,250上抽取3件，记为1B ，2B ，3B ，然后用列举法求解即可；（3）根据给出的条件分别计算出两种方案下的日增加的利润均值即可得到答案. （1）由题意得1750.052250.152750.23250.33750.24250.1312.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（2）因为区间[)150,200和[]200,250上的频率之比为1:3，所以应从区间[)150,200上抽取1件，记为1A ，从区间[]200,250上抽取3件，记为1B ，2B ，3B ，则从中任取两件的情况有()11,A B ，()12,A B ，()13,A B ，()12,B B ，()13,B B ，()23,B B 共6种，其中两件都取自区间[]200,250上的情况有()12,B B ，()13,B B ，()23,B B ，共3种， 所以其概率3162P ==. （3）每天生产件数的频数分布表为：800台B 设备每天可进一步加工的件数为3010048006200⨯+⨯=，可得实际加工件数的频数分布表为()600020620080255001008080040000100⨯+⨯⨯-⨯-⨯=；若采用方案二，使用200台A 设备和450台B 设备每天可进一步加工的件数为3020044507800⨯+⨯=，可得实际加工件数的频数分布表为()600020700030780050255002008045044000100⨯+⨯+⨯⨯-⨯-⨯=.综上所述，公司应该选择方案二.19.（1）22182x y +=；（2）证明见解析.【解析】19.（112b a =，再由直线与椭圆只有一个公共点，可把直线与椭圆方程联立成方程组消元后，判别式等于零，可求出28a =，从而可得椭圆的方程； （2）由（1）可求出点()2,1M ，从而可得直线l '的方程为12y x m =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l '的方程与椭圆的方程联立成方程组，化简后利用根与系数的关系可得122x x m +=-，21224x x m =-，而1211221122y x k k y x +--+=--化简变形可得结果. （1）解：由c e a ==，得c =，由222a c b -=，得12b a =， 所以Γ的方程为222241x y a a+=，即2224x y a +=，与l ：240x y +-=联立得22816160y y a -+-=， 令()221632160a∆=--=，得28a=，所以椭圆Γ的方程为22182x y +=.（2）证明：由（1）得281680y y -+=，所以()2,1M ，设l '：12y x m =+，()11,A x y ，()22,B x y ， 联立方程组221,21,82y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 整理得222240x mx m ++-=，()2244240m m ∆=-->，得22m -<<，则122x x m +=-，21224x x m =-，1211221122y x k k y x +--+=-- 121211112222x m x m x x +-+-=+-- 12112222m m x x =+++-- ()()()12124122m x x x x +--=-+()()1212121424m x x x x x x +--+=++()222441404m m m m =--=-+++，所以120k k +=.20.（1）答案见解析；（2）证明见解析.【解析】20.（1）()f x 的定义域为()0,∞+.求出()'fx ，分12a <-，12a =-，102a -<<和0a ≥四种情况讨论()f x 的单调性；（2）当1a =时，由（1）可知，()()max 10f x f ==，即2ln 0x x x -+≤，故()ln 1x x x ≤-.当1x >时，由()1111ln 11x x x x x>=---.令2,3,,1x n =⋅⋅⋅+，所得各式两端分别相加，得()111111ln 2ln 3ln 4ln 111n n n n +++⋅⋅⋅+>-=+++，即得 ()1111ln 2ln 3ln 4ln 1n n n n n n ++++<+++⋅⋅⋅++（n *∈N ）. （1）()f x 的定义域为()0,∞+.()()()()()222112111221ax a x ax x ax a x f xx x -+-+-+'-=-+-==（0x >），当12a <-时，令()0f x '>，得102x a <<-或1x >；令()0f x '<，得112x a -<<，()f x ∴在区间10,2a ⎛⎫-⎪⎝⎭，()1,+∞上单调递增，在区间1,12a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减. 当12a =-时，()()210x f x x-'=>，()f x ∴在区间()0,∞+上单调递增. 当102a -<<时，令()0f x '>，得01x <<或12x a >-；令()0f x '<，得112x a <<-，()f x ∴在区间()0,1，1,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在区间11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减.当0a ≥时，令()0f x '>，得01x <<；令()0f x '<，得1x >，()f x ∴在区间()0,1上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减.综上，当12a <-时，()f x 在区间10,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()1,+∞上单调递增，在区间1,12a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减； 当12a =-时，()f x 在区间()0,∞+上单调递增，无单调递减区间； 当102a -<<时，()f x 在区间()0,1，1,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在区间11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减；当0a ≥时，()f x 在区间()0,1上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减.（2）证明：当1a =时，由（1）可知，()f x 在区间()0,1上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减，()()max 10f x f ∴==，2ln 0x x x ∴-+≤，即()ln 1x x x ≤-.当1x >时，()1111ln 11x x x x x>=---， 令2,3,,1x n =⋅⋅⋅+，得111ln 22>-， 111ln 323>-， 111ln 434>-，…，()111ln 11n n n >-++， 以上各式两端分别相加，得()111111ln 2ln 3ln 4ln 111n n n n +++⋅⋅⋅+>-=+++， ()1111ln 2ln 3ln 4ln 1n n n n n n ++++∴<+++⋅⋅⋅++（n *∈N ）. 21.（1）:30l x -=， ()()222:104C x y r r ++=<<；（2）3.【解析】21.（1）在直线l 的参数方程中消去参数m ，可得出直线l 的普通方程，利用222cos x y x ρρθ⎧=+⎨=⎩可将曲线C 的极坐标方程转化为普通方程；（2）将直线l的参数方程表示为3212x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），设点A 、B 对应的参数分别为1t 、2t ，将直线l 的参数方程与曲线C的普通方程联立，列出韦达定理，结合等式11MA MB +=可得出关于r 的等式，结合04r <<可求得r 的值. （1）将l的参数方程33x m y =+⎧⎪⎨=⎪⎩（m 为参数）， 消去参数m ，得直线l的普通方程为30x --=.因为222cos x y xρρθ⎧=+⎨=⎩，代入()222cos 1004r r ρρθ=++-<<， 所以曲线C 的直角坐标方程为()()222104x y r r ++=<<； （2）由（1）得点()3,0M ，设直线l的参数方程为312x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）， 代入()()222104x y r r ++=<<中得()222104242t r r ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭<⎝<⎭，整理得()2216004t r r +=<+<-，()22484164160r r ∆=--=->，04r <<，可得24r <<，设点A 、B 对应的参数分别为1t 、2t，则12t t +=-21216t t r =-，所以12121212121111t t t t t t t t t M t A MB ++=+==+==，解得3r =. 故所求r 的值为3.22.（1）{}41a a -≤≤-；（2）12x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭.【解析】22.（1）根据函数解析式，先得到函数最小值，将原不等式化为2540a a ++≤，求解，即可得出结果；（2）根据分类讨论的方法，分别讨论3x ≥，1x ≤-，13x三种情况，求出不等式的解集，再求并集，即可得出结果. （1）因为()4,3,3122,13,4,1,x f x x x x x x -≥⎧⎪=--+=--<<⎨⎪≤-⎩所以()min 4f x =-，又不等式()25f x a a ≥+恒成立，所以只需()2min 5f x a a ≥+， 即2540a a ++≤，解得41a -≤≤-；所以实数a 的取值范围为{}41a a -≤≤-； （2）因为()4,3,22,13,4,1,x f x x x x -≥⎧⎪=--<<⎨⎪≤-⎩当3x ≥时，不等式()2f x x ≤可化为42x ≤，解得2x ≥，所以3x ≥；当1x ≤-时，不等式()2f x x ≤可化为42x ≤，解得2x ≥，所以无解；当13x 时，不等式()2f x x ≤可化为222x x -≤，若1x <，则222x x -≤，解得：12x ≥，所以112x ≤<； 若1x ≥，则222x x -≤，即20-≤，显然成立，所以13x ≤<，因此132x ≤<， 综上，12x ≥， 所以不等式()2f x x ≤的解集为12x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭. 23.21n - 44【解析】23.根据()111n n na n a +--=得到()1211n n n a na +++-=，两式作差，判断数列{}n a 为等差数列，再求出首项与公差，即可得出通项公式；根据通项公式，化214314444n a n n n+=+-，由基本不等式，即可求出最值.因为()111n n na n a +--=，所以()1211n n n a na +++-=，两式相减得1220n n n na na na ++-+=，所以212n n n a a a +++=，所以数列{}n a 为等差数列.当1n =时，由()111n n na n a +--=得11a =，由611a =，得公差2d =，所以()12121n a n n =+-=-，所以()222114314314444444n n a n n n n -++==+-≥=， 当且仅当1444n n=，即6n =时等号成立. 故答案为：21n -；44.。

2016-2017学年河北省衡水中学高三（下）三调数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合M={x|x2﹣4x＜0}，N={x|m＜x＜5}，若M∩N={x|3＜x＜n}，则m+n等于（）A．9 B．8 C．7 D．62．（5分）已知i是虚数单位，=2i，则|z|等于（）A．1 B．C．D．3．（5分）已知甲、乙两位同学8次数学单元测试的成绩（百分制）可用如图所示的茎叶图表示，且甲同学成绩的平均数比乙同学成绩的平均数小2，则乙同学成绩的方差为（）A． B． C． D．4．（5分）已知数列{a n}是等比数列，且a2+a6=3，a6+a10=12，则a8+a12=（）A．12B．24 C．24D．485．（5分）已知，则下列结论正确的是（）A．h（x）=f（x）+g（x）是偶函数B．h（x）=f（x）+g（x）是奇函数C．h（x）=f（x）g（x）是奇函数D．h（x）=f（x）g（x）是偶函数6．（5分）已知双曲线E：﹣=1（a＞0．b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为双曲线E的两个焦点，且双曲线E的离心率是2．直线AC的斜率为k．则|k|等于（）A．2 B．C．D．37．（5分）执行如图的程序框图，则输出的S的值为（）A．B．C．D．8．（5分）已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．8 B．C．D．9．（5分）函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）的部分图象如图所示，其中A，B两点之间的距离为5，则f（x）的递增区间是（）A．[6k﹣1，6k+2]（k∈z）B．[6k﹣4，6k﹣1]（k∈z）C．[3k﹣1，3k+2]（k∈z）D．[3k﹣4，3k﹣1]（k∈z）10．（5分）关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的普丰实验和查理斯实验，受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值，先请120名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对（x，y），再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对（x，y）的个数m；最后在根据统计数m 估计π的值，假设统计结果是m=34，那么可以估计π的值为（）A．B．C．D．11．（5分）已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点（a，0）（a＜0）倾斜角为的直线l交抛物线C、D两点．若F在以线段CD为直径的圆的外部，则a的取值范围为（）A．（﹣3，﹣2+3）B．（﹣∞，﹣2+3）C．（﹣，4﹣）D．（﹣∞，4﹣）12．（5分）设是定义在R上的偶函数，且f（x+2）=f（2﹣x）时，当x∈[﹣2，0]时，，若（﹣2，6）在区间内关于x的方程xf（x）﹣log a（x+2）=0（a＞0且a≠1）有且只有4个不同的根，则实数a的范围是（）A． B．（1，4） C．（1，8） D．（8，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..13．（5分）已知非零向量的夹角为60°，且，若向量与互相垂直，则实数λ=．14．（5分）在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：c2=a2+b2．设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O﹣LMN，如果用S1，S2，S3表示三个侧面面积，S4表示截面面积，那么你类比得到的结论是．15．（5分）设x、y均为正实数，且，则xy的最小值为．16．（5分）已知数列{a n}中，a1=﹣2，a2=3且=3，则数列{a n}的前n 项和S n=．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）如图，在△ABC中，BC=3．AC=，B=，∠BAC，AE，AF 是∠BAC的三等分角平分线，分别交BC于点E，F．（1）求角C的大小；（2）求线段EF的长．18．（12分）在党的群众交流路线总结阶段，一督导组从某单位随机抽调25名员工，让他们对单位的各项开展公国进行打分评价，现获得如下数据：70，82，81，76，84，77，77，65，85，69，83，71，76，89，74，73，83，78，82，72，86，79，76（1）根据上述数据完成样本的频率分布表；分组频数频率[65，70]（70，75]（75，80]（80，85]（85，90]（2）根据（1）的频率分布表，完成样本频率分布直方图（3）从区间[65，70]和（85，90]中任意抽取两个评分，求两个评分来自不同区间的概率．19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AD⊥平面A1BC，其垂足D落在直线A1B上．（Ⅰ）求证：BC⊥A1B；（Ⅱ）若P是线段AC上一点，，AB=BC=2，三棱锥A1﹣PBC的体积为，求的值．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）上顶点为A，右顶点为B，离心率e=，O为坐标原点，圆O：x2+y2=与直线AB相切．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）直线l：y=k（x﹣2）（k≠0）与椭圆C相交于E、F两不同点，若椭圆C上一点P满足OP∥l．求△EPF面积的最大值及此时的k2．21．（12分）已知函数f（x）=x2﹣（a+2）x+alnx．（1）当a=1时，求函数f（x）的极值；（2）设定义在D上的函数y=g（x）在点P（x0，y0）处的切线方程为l：y=h（x）．当x≠x0时，若＞0在D内恒成立，则称P为函数y=g（x）的“转点”．当a=8时，问函数y=f（x）是否存在“转点”？若存在，求出“转点”的横坐标；若不存在，请说明理由．[选修4-4坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，斜率为1的直线l过定点（﹣2，﹣4）．以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣4cosθ=0．（1）求曲线C的直角坐标方程以及直线l的参数方程；（2）两曲线相交于M，N两点，若P（﹣2，﹣4），求|PM|+|PN|的值．[选修4-5不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x+1|+|3x﹣2|，且不等式f（x）≤5的解集为．（1）求a，b的值；（2）对任意实数x，都有|x﹣a|+|x+b|≥m2﹣3m成立，求实数m的最大值．2016-2017学年河北省衡水中学高三（下）三调数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合M={x|x2﹣4x＜0}，N={x|m＜x＜5}，若M∩N={x|3＜x＜n}，则m+n等于（）A．9 B．8 C．7 D．6【分析】求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：M={x|x2﹣4x＜0}={x|0＜x＜4}，∵N={x|m＜x＜5}，∴若M∩N={x|3＜x＜n}，则m=3，n=4，故m+n=3+4=7，故选：C【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）已知i是虚数单位，=2i，则|z|等于（）A．1 B．C．D．【分析】先对已知复数进行化简为z=a+bi，然后根据|z|=即可求解．【解答】解：∵=2i，∴z==﹣﹣i，∴|z|=1，故选：A．【点评】本题主要考查了复数的四则运算及复数的模的求解，属于基础试题．3．（5分）已知甲、乙两位同学8次数学单元测试的成绩（百分制）可用如图所示的茎叶图表示，且甲同学成绩的平均数比乙同学成绩的平均数小2，则乙同学成绩的方差为（）A． B． C． D．【分析】求出甲的平均数，从而求出m的值以及乙的平均数，求出乙的方差即可．【解答】解：甲的平均数是：（71+80+81+84+85+85+87+99）=84，∴乙的平均数是（74+82+80+m+86+87+88+92+95）=86，解得：m=4，∴=[（74﹣86）2+（82﹣86）2+（84﹣86）2+（86﹣86）2+（87﹣86）2+（88﹣86）2+（92﹣86）2+（95﹣86）2]=，故选：B．【点评】本题考查了茎叶图，考查平均数以及方差问题，是一道基础题．4．（5分）已知数列{a n}是等比数列，且a2+a6=3，a6+a10=12，则a8+a12=（）A．12B．24 C．24D．48【分析】设等比数列{a n}的公比为q，利用等比数列的通项公式得出q2=2，再求值即可．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，且q≠0，∵a2+a6=3，a6+a10=12，∴q4=4，∴q2=2，∴a8+a12=q6（a2+a6）=24故选：B．【点评】本题考查等比数列的通项公式的灵活应用，以及整体代换思想，属于基础题．5．（5分）已知，则下列结论正确的是（）A．h（x）=f（x）+g（x）是偶函数B．h（x）=f（x）+g（x）是奇函数C．h（x）=f（x）g（x）是奇函数D．h（x）=f（x）g（x）是偶函数【分析】利用奇偶函数的定义，即可判断．【解答】解：h（x）=f（x）+g（x）=+=，h（﹣x）==﹣=h（x），∴h（x）=f（x）+g（x）是偶函数；h（x）=f（x）g（x）无奇偶性，故选：A．【点评】本题考查函数的奇偶性，考查指数函数的性质，正确运用奇偶函数的定义是关键．6．（5分）已知双曲线E：﹣=1（a＞0．b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为双曲线E的两个焦点，且双曲线E的离心率是2．直线AC的斜率为k．则|k|等于（）A．2 B．C．D．3【分析】可令x=c，代入双曲线的方程，求得y=±，再由题意设出A，B，C，D的坐标，由离心率公式，可得a，b，c的关系，运用直线的斜率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：令x=c，代入双曲线的方程可得y=±b=±，由题意可设A（﹣c，），B（﹣c，﹣），C（c，﹣），D（c，），由双曲线E的离心率是2，可得e==2，即c=2a，b==a，直线AC的斜率为k==﹣=﹣=﹣．即有|k|=．故选：B．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用方程的思想，正确设出A，B，C，D的坐标是解题的关键，考查运算能力，属于中档题．7．（5分）执行如图的程序框图，则输出的S的值为（）A．B．C．D．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体后，S=，n=2，满足进行循环的条件，第二次执行循环体后，S=，n=3，满足进行循环的条件，第三次执行循环体后，S=，n=4，满足进行循环的条件，第四次执行循环体后，S=，n=5，满足进行循环的条件，第五次执行循环体后，S=，n=6，不满足进行循环的条件，故输出的S值为，故选：B【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．8．（5分）已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．8 B．C．D．【分析】由已知三视图我们可以判断出该几何体为一个正方体截去一个三棱台，根据已知中正方体的棱长为2，我们根据三视图中所标识的数据，分别计算出正方体的体积和三棱台的体积，进而可以求出该几何体的体积．【解答】解：分析已知中的三视图得：几何体是正方体截去一个三棱台，∴．故选C【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据三视图判断几何体的形状是解答醒的关键点，同时也是解答本题的难点．9．（5分）函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）的部分图象如图所示，其中A，B两点之间的距离为5，则f（x）的递增区间是（）A．[6k﹣1，6k+2]（k∈z）B．[6k﹣4，6k﹣1]（k∈z）C．[3k﹣1，3k+2]（k∈z）D．[3k﹣4，3k﹣1]（k∈z）【分析】由图象可求函数f（x）的周期，从而可求得ω，继而可求得φ，利用正弦函数的单调性即可求得f（x）的递增区间．【解答】解：|AB|=5，|y A﹣y B|=4，所以|x A﹣x B|=3，即=3，所以T==6，ω=；∵f（x）=2sin（x+φ）过点（2，﹣2），即2sin（+φ）=﹣2，∴sin（+φ）=﹣1，∵0≤φ≤π，∴+φ=，解得φ=，函数为f（x）=2sin（x+），由2kπ﹣≤x+≤2kπ+，得6k﹣4≤x≤6k﹣1，故函数单调递增区间为[6k﹣4，6k﹣1]（k∈Z）．故选B【点评】本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查复合三角函数的单调性，属于中档题．10．（5分）关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的普丰实验和查理斯实验，受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值，先请120名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对（x，y），再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对（x，y）的个数m；最后在根据统计数m 估计π的值，假设统计结果是m=34，那么可以估计π的值为（）A．B．C．D．【分析】由试验结果知120对0～1之间的均匀随机数x，y，满足，面积为1，两个数能与1构成钝角三角形三边的数对（x，y），满足x2+y2＜1且，x+y＞1，面积为﹣，由几何概型概率计算公式，得出所取的点在圆内的概率是圆的面积比正方形的面积，二者相等即可估计π的值．【解答】解：由题意，120对都小于l的正实数对（x，y），满足，面积为1，两个数能与1构成钝角三角形三边的数对（x，y），满足x2+y2＜1且，x+y＞1，面积为﹣，因为统计两数能与l构成钝角三角形三边的数对（x，y）的个数m=34，所以=﹣，所以π=．故选B．【点评】本题考查了随机模拟法求圆周率的问题，也考查了几何概率的应用问题，是综合题．11．（5分）已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点（a，0）（a＜0）倾斜角为的直线l交抛物线C、D两点．若F在以线段CD为直径的圆的外部，则a的取值范围为（）A．（﹣3，﹣2+3）B．（﹣∞，﹣2+3）C．（﹣，4﹣）D．（﹣∞，4﹣）【分析】设直线l的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理及F在以线段CD为直径的圆的外部，建立不等式，即可确定a的取值范围．【解答】解：设C（x1，y1），D（x2，y2），∵F在以线段CD为直径的圆的外部，∴＞0，∴（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2＞0，于是（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=4x1x2﹣（a+3）（x1+x2）+3+a2＞0设l的方程为：y=（x﹣a），代入抛物线方程，得x2﹣（2a+12）x+a2=0，∴x1+x2=2a+12，x1x2=a2，∴4x1x2﹣（a+3）（x1+x2）+3+a2=3a2﹣18a﹣33＞0，故a＞2+3或a＜﹣2+3，又△=（2a+12）2﹣4a2＞0，得到a＞﹣3．∴﹣3＜a＜﹣2+3．故选：A．【点评】本题考查抛物线的标准方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，正确运用韦达定理是关键．12．（5分）设是定义在R上的偶函数，且f（x+2）=f（2﹣x）时，当x∈[﹣2，0]时，，若（﹣2，6）在区间内关于x的方程xf（x）﹣log a（x+2）=0（a＞0且a≠1）有且只有4个不同的根，则实数a的范围是（）A． B．（1，4） C．（1，8） D．（8，+∞）【分析】由已知中可以得到函数f（x）是一个周期函数，且周期为4，将方程f （x）﹣log a（x+2）=0恰有4个不同的实数解，转化为函数f（x）的与函数y=﹣log a（x+2）的图象恰有4个不同的交点，数形结合即可得到实数a的取值范围．【解答】解：∵对于任意的x∈R，都有f（x﹣2）=f（2+x），∴f（x+4）=f[2+（x+2）]=f[（x+2）﹣2]=f（x），∴函数f（x）是一个周期函数，且T=4．又∵当x∈[﹣2，0]时，，且函数f（x）是定义在R上的偶函数，若在区间（﹣2，6）内关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）=0恰有4个不同的实数解，则函数y=f（x）与y=log a（x+2）（a＞1）在区间（﹣2，6）上有四个不同的交点，如下图所示：又f（﹣2）=f（2）=f（6）=1，则对于函数y=log a（x+2），由题意可得，当x=6时的函数值小于1，即log a8＜1，由此解得：a＞8，∴a的范围是（8，+∞）故选D．【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，指数函数与对数函数的图象与性质，其中根据方程的解与函数的零点之间的关系，将方程根的问题转化为函数零点问题，是解答本题的关键，体现了转化和数形结合的数学思想，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..13．（5分）已知非零向量的夹角为60°，且，若向量与互相垂直，则实数λ=3．【分析】由向量垂直数量积为0，利用题设条件，能求出λ的值．【解答】解：∵向量与互相垂直，∴（）（）=0，即λ+（2λ﹣1）•﹣2=λ﹣8+（2λ﹣1）×1×2×=0，解得λ=3．故答案是：3．【点评】本题考查向量的模的求法，考查向量垂直的条件的应用，是基础题，解题时要熟练掌握向量的数量积的运算．14．（5分）在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：c2=a2+b2．设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O﹣LMN，如果用S1，S2，S3表示三个侧面面积，S4表示截面面积，那么你类比得到的结论是．【分析】从平面图形到空间图形，同时模型不变．【解答】解：建立从平面图形到空间图形的类比，于是作出猜想：．故答案为：．【点评】本题主要考查学生的知识量和知识迁移、类比的基本能力．解题的关键是掌握好类比推理的定义．15．（5分）设x、y均为正实数，且，则xy的最小值为16．【分析】将等式左边通分，化简等式后，使用基本不等式，化为关于的一元二次不等式，解出的范围．【解答】解：∵x、y均为正实数，且，进一步化简得xy﹣x﹣y﹣8=0．x+y=xy﹣8≥2，令t=，t2﹣2t﹣8≥0，∴t≤﹣2（舍去），或t≥4，即≥4，化简可得xy≥16，∴xy的最小值为16．【点评】本题考查基本不等式的应用，体现转化的数学思想，属于基础题．16．（5分）已知数列{a n}中，a1=﹣2，a2=3且=3，则数列{a n}的前n 项和S n=．【分析】根据数列的通项公式求出数列的通项公式，再根据错位相减法求和即可，【解答】解：∵a1=﹣2，a2=3且=3，∴=3，=3，=3，…，=3，累乘可得=3n，∵a2﹣3a1=3﹣3×（﹣2）=9，∴a n﹣3a n+1=3n+2，+2∴﹣=1，即数列{}为等差数列，∴=+n﹣1=n﹣，∴a n=（n﹣）•3n+1，+1∵a1=﹣2也满足上式，∴a n=（n﹣）•3n=（3n﹣5）•3n﹣1，∴S n=﹣2•30+1•31+4•32+…+（3n﹣5）•3n﹣1，∴3S n=﹣2•31+1•32+4•33+…+（3n﹣5）•3n，∴﹣2S n=﹣2+3（31+32+33+…+3n﹣1）﹣（3n﹣5）•3n=﹣2+﹣（3n﹣5）•3n，∴S n=，故答案为：S n=【点评】本题考查了数列的递推公式求通项公式和错位想减法求前n项和，考查了学生的运算能力和转化能力，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）如图，在△ABC中，BC=3．AC=，B=，∠BAC，AE，AF 是∠BAC的三等分角平分线，分别交BC于点E，F．（1）求角C的大小；（2）求线段EF的长．【分析】（1）设∠BAE=α，则∠C=150°﹣3α，利用正弦定理可得角C的大小；（2）利用正弦定理可得BE，CF，即可求线段EF的长．【解答】解：（1）设∠BAE=α，则∠C=150°﹣3α，∴由正弦定理可得==，∴sin3α=，∵∠BAC，∴3α=135°，∴C=150°﹣3α=15°；（2）在△ABC中，=，∴AB=，△ABE中，=，∴BE=6﹣3．△AFC中，，∴CF=，∴EF=3﹣6+3﹣=2﹣3．【点评】本题考查正弦定理的运用，考查学生的计算能力，正确运用正弦定理是关键．18．（12分）在党的群众交流路线总结阶段，一督导组从某单位随机抽调25名员工，让他们对单位的各项开展公国进行打分评价，现获得如下数据：70，82，81，76，84，77，77，65，85，69，83，71，76，89，74，73，83，78，82，72，86，79，76（1）根据上述数据完成样本的频率分布表；分组频数频率[65，70]30.12（70，75]50.20（75，80]80.32（80，85]70.28（85，90]20.08（2）根据（1）的频率分布表，完成样本频率分布直方图（3）从区间[65，70]和（85，90]中任意抽取两个评分，求两个评分来自不同区间的概率．【分析】（1）根据已知数据能完成样本的频率分布表．（2）根据样本的频率分布表，能作出样本频率分布直方图．（3）设在[65，70）内的3个评分为a，b，c，在[85，90]内的2个评分为A，B，利用列举法能求出两个评分来自不同区间的概率．【解答】解：（1）根据已知数据完成样本的频率分布表；分组频数频率[65，70]30.12（70，75]50.20（75，80]80.32（80，85]70.28（85，90]20.08（2）根据样本的频率分布表，作出样本频率分布直方图，得：（3）设在[65，70）内的3个评分为a，b，c，在[85，90]内的2个评分为A，B，则所有的抽法有：ab，ac，aA，aB，bc，bA，bB，cB，AB，共计10种，而两个评分来自不同区间的有6种，∴两个评分来自不同区间的概率为P=．【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AD⊥平面A1BC，其垂足D落在直线A1B上．（Ⅰ）求证：BC⊥A1B；（Ⅱ）若P是线段AC上一点，，AB=BC=2，三棱锥A1﹣PBC的体积为，求的值．【分析】（I）由AD⊥平面A1BC得BC⊥AD，由AA1⊥平面ABC得BC⊥AA1，故BC⊥平面A1AB，所以BC⊥A1B；（II）设PC=x，用x表示出棱锥A1﹣BPC的体积，列出方程解出x，得到AP和PC的值．【解答】（Ⅰ）证明∵AD⊥平面A1BC，BC⊂平面A1BC，∴AD⊥BC．∵AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴AA1⊥BC．又∵AA1∩AD=A，AA1⊂平面AA1B，AD⊂平面AA1B，∴BC⊥平面AA1B，∵A1B⊂平面AA1B，∴BC⊥A1B．（Ⅱ）解：设PC=x，过点B作BE⊥AC于点E．由（Ⅰ）知BC⊥平面AA1B1B，∴BC⊥AB，∵AB=BC=2，∴，．∴，∵AD⊥平面A1BC，其垂足D落在直线A1B上，∴AD⊥A1B．∴BD==1，又∵AA1⊥AB，∴Rt△ABD∽Rt△A1BA，∴，∴．∴=．解得：，∴．∴．【点评】本题考查了线面垂直的判定与性质，棱锥的体积计算，属于中档题．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）上顶点为A，右顶点为B，离心率e=，O为坐标原点，圆O：x2+y2=与直线AB相切．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）直线l：y=k（x﹣2）（k≠0）与椭圆C相交于E、F两不同点，若椭圆C上一点P满足OP∥l．求△EPF面积的最大值及此时的k2．【分析】（Ⅰ）设出直线AB的方程为：，利用圆O与直线AB相切，列出关系式，设椭圆的半焦距为c，通过b2+c2=a2，利用离心率，求出a，b，得到椭圆C的标准方程．（Ⅱ）了直线与椭圆方程，设E（x1，y1），F（x2，y2），利用韦达定理，以及弦长公式，点到直线的距离，求出=分离常数，利用二次函数的最值，求解△EPF的面积的最大值，以及k的中．【解答】解：（Ⅰ）由题意，直线AB的方程为：，即为bx+ay﹣ab=0因为圆O与直线AB相切，所以，…①…（2分）设椭圆的半焦距为c，因为b2+c2=a2，，所以…②…（3分）由①②得：a2=2，b2=1所以椭圆C的标准方程为：…（5分）（Ⅱ）由可得：（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0设E（x1，y1），F（x2，y2）则，…（7分）所以又点O到直线EF的距离，∵OP∥l，∴=…（10分）又因为，又k≠0，∴令t=1+2k2∈（1，2），则，所以当时，最大值为所以当时，△EPF的面积的最大值为…（13分）【点评】本题考查椭圆的方程的求法，直线与圆的我最关心，直线与椭圆的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，考查转化思想的应用．21．（12分）已知函数f（x）=x2﹣（a+2）x+alnx．（1）当a=1时，求函数f（x）的极值；（2）设定义在D上的函数y=g（x）在点P（x0，y0）处的切线方程为l：y=h（x）．当x≠x0时，若＞0在D内恒成立，则称P为函数y=g（x）的“转点”．当a=8时，问函数y=f（x）是否存在“转点”？若存在，求出“转点”的横坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）将a=1代入函数表达式，求出导函数得到单调区间从而求出函数的极值；（Ⅱ）a=8时，由y=f（x）在其图象上一点P（x0，f（x0））处的切线方程，得h （x）=（2x0+﹣10）（x﹣x0）+﹣10x0+8lnx0，设F（x）=f（x）﹣h（x）=，则F（x0）=0，F′（x）=f′x）﹣h′（x）=（2x+﹣10）﹣（2x0+﹣10）=（x ﹣x0）（x﹣）；分别讨论当0＜x0＜2，x0=2，x0＞2时的情况，从而得出结论．【解答】解：（Ⅰ）a=1时，f′（x）=2x﹣3+=，当f′（x）＞0时，0＜x＜，或x＞1，当f′（x）＜0时，＜x＜1，∴f（x）在（0，）和（1，+∞）递增，在（，1）递减；∴x=时，f（x）=﹣+ln，极大值x=1时，f（x）极小值=﹣2；（Ⅱ）a=8时，由y=f（x）在其图象上一点P（x0，f（x0））处的切线方程，得h（x）=（2x0+﹣10）（x﹣x0）+﹣10x0+8lnx0，设F（x）=f（x）﹣h（x）=，则F（x0）=0，F′（x）=f′x）﹣h′（x）=（2x+﹣10）﹣（2x0+﹣10）=（x﹣x0）（x﹣）；当0＜x0＜2时，F（x）在（x0，）上递减，∴x∈（x0，）时，F（x）＜F（x0）=0，此时＜0，x0＞2时，F（x）在（，x0）上递减；∴x∈（，x0）时，F（x）＞F（x0）=0，此时＜0，∴y=f（x）在（0，2），（2，+∞）不存在“转点”，x0=2时，F′（x）=（x﹣2）2，即F（x）在（0，+∞）上是增函数；x＞x0时，F（x）＞F（x0）=0，x＜x0时，F（x）＜F（x0）=0，即点P（x0，f（x0））为“转点”，故函数y=f（x）存在“转点”，且2是“转点”的横坐标．【点评】本题考察了利用导数求函数的单调性，求函数的最值问题，如何解决新定义的问题，是一道综合题．[选修4-4坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，斜率为1的直线l过定点（﹣2，﹣4）．以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣4cosθ=0．（1）求曲线C的直角坐标方程以及直线l的参数方程；（2）两曲线相交于M，N两点，若P（﹣2，﹣4），求|PM|+|PN|的值．【分析】（1）由斜率为1的直线l过定点（﹣2，﹣4），可得参数方程为：，（t为参数）．由曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣4cosθ=0，即ρ2sin2θ﹣4ρcosθ=0，利用互化公式可得直角坐标方程．（2）把直线l的方程代入抛物线方程可得：t2﹣12t+48=0．利用根与系数的关系及其|PM|+|PN|=|t1|+|t2|=|t1+t2|即可得出．【解答】解：（1）由斜率为1的直线l过定点（﹣2，﹣4），可得参数方程为：，（t为参数）．由曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣4cosθ=0，即ρ2sin2θ﹣4ρcosθ=0，可得直角坐标方程：C：y2=4x．（2）把直线l的方程代入抛物线方程可得：t2﹣12t+48=0．∴t1+t2=12，t1t2=48．∴|PM|+|PN|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=12．【点评】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线的参数方程及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-5不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x+1|+|3x﹣2|，且不等式f（x）≤5的解集为．（1）求a，b的值；（2）对任意实数x，都有|x﹣a|+|x+b|≥m2﹣3m成立，求实数m的最大值．【分析】（1）通过分类讨论，化简不等式求出解集，利用已知条件，求解a，b．（2）由（1）知a=1，b=2，求出绝对值的最值，得到m2﹣3m+5≤3，然后求解实数m的最大值．【解答】解：（1）若x，原不等式可化为﹣2x﹣1﹣3x+2≤5，解得x≥﹣，即﹣；若﹣，原不等式可化为2x+1﹣3x+2≤5，解得x≥﹣2，即﹣；若x≥，原不等式可化为2x+1+3x﹣2≤5，解得x≤，即综上所述，不等式|2x+1|+|3x﹣2|≤5的解集为[﹣，]，所以a=1，b=2．（2）由（1）知a=1，b=2，所以|x﹣a|+|x+b|=|x﹣1|+|x+2|≥|x﹣1﹣x﹣2|=3，故m2﹣3m≤3，m2﹣3m﹣3≤0，所以≤m≤，即实数m的最大值为．【点评】本题考查函数恒成立，绝对值不等式的解法，考查分类讨论思想的应用，考查计算能力．。

2012—2013学年度下学期第六次模拟考试高三数学(文科试卷)注息事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2.做答第Ⅰ卷时。

选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时。

将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合}21|{≤≤-=x x A ，}40|{≤≤=x x B ，则=⋂B A （ ）A.}20|{≤≤x xB. }21|{≤≤x xC. }40|{≤≤x xD. }41|{≤≤x x 2．命题“对01,23≤+-∈∀x x R x ”的否定是（ ） A ．不存在x∈R,x 3－x 2＋1≤0 B.01,23≤+-∈∃x x R x C ．01,23>+-∈∃x x R xD.01,23＞+-∈∀x x R x3．如果复数mii m ++1)(2是实数，则实数=m （ ）A.1-B. 1C. 2-D.24．若为第三象限角，则αααα22cos 1sin 2sin 1cos -+-的值为 （ ）A.-3B. -1C. 1D. 3 5.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by ax 的右焦点为F ，若过点F 且斜率为33的直线与双曲线的渐近线平行，则此双曲线的离心率为（ ） A.332 B. 3 C. 2 D.326.利用如图所示的程序框图在直角坐标平面上打印一系列的点，则打印的点落在坐标轴上的个数是（ ） A.0 B. 1 C. 3 D. 47. 设椭圆22221(00)x y m n mn+=>>，的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为（ ）A ．2211216xy+= B ．2211612xy+=C ．2214864xy+= D ．2216448xy+=8．如图，正方体1AC 的棱长为1，过点A 作平面BD A 1的垂线，垂足为H ．则以下命题中，错误．．的命题是（ ） A ．点H 是BD A 1∆的垂心 B ．AH 垂直平面11D CB C ．AH 的延长线经过点1C D ．直线AH 和1BB 所成角为045 9．函数)2||,0(),)(sin()(πφφ<>∈+=w R x wx x f 的部分图像如图所示，如果)3,6(,21ππ-∈x x ，且)()(21x f x f =，则=+)(21x x f （ ） A ．21 B ．22 C ．23 D ．110．在A B C ∆中, AM AC AB 2=+， 1AM =,点P 在AM 上且满足PM AP 2=,则()PA PB PC ⋅+等于( )A ．49B ．43C ．43-D ．49-11．如图所示，墙上挂有一边长为a 的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为2a 的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则他击中阴影部分的概率是 （ ） A ．41π- B ．4πC ．81π-D ．与a 的取值有关12.数列}{n a 满足)(11*1112N n a a a a a n n n n ∈=+=-=-+++，当[)1,+∈n n a a x 时，2)(-=n a x f ，则方程x x f =)(2的根的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

河北省衡水中学2021届高三数学下学期三模试题 文（含解析）一、选择题1.设集合01x M xx ⎧⎫=≥⎨⎬-⎩⎭，1,02xN y y x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==≥⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则M N =（ ）A. []0,1B. {}0C. ()0,1D. (]0,1【答案】C 【解析】 【分析】先解分式不等式得{}01M x x =≤<，再求函数1,02xy x ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭的值域得{}01N y y =<≤，再求集合交集运算即可.【详解】解：解分式不等式01xx ≥-得01x ≤<，故{}0011x M xx x x ⎧⎫=≥=≤<⎨⎬-⎩⎭， 再求函数1,02x y x ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭的值域得01y <≤，故{}1,0012x N y y x y y ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==≥=<≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭.所以M N =()0,1.故选：C【点睛】本题考查分式不等式的解法，指数函数的值域求解，集合的交集运算，是基础题. 2.若z C ∈且221z i +-=，则12z i --的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】A 【解析】 【分析】设z x yi =+，得到()()22221x y ++-=，化简得到12z i --=据其几何意义计算得到答案.【详解】设z x yi =+，则()()22221z i x y i +-=++-==，即()()22221x y ++-=，表示圆心为()2,2-，半径为1r =的圆.()()()()22121212z i x y i x y --=-+-=-+-，表示点(),x y 和()1,2之间的距离，故()()min 12122z i r --=---=.故选：A.【点睛】本题考查了复数的模，与圆相关距离的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.3.已知直线m 、n 和平面α，在下列给定的四个结论中，m //n 的一个必要但不充分条件是（ ） A. m //α，n //α B. m ⊥α，n ⊥αC. m //α，n ⊂αD. m 、n 与α所成的角相等【答案】D 【解析】 【分析】利用线面平行与面面平行的性质定理逐个进行验证即可得到答案. 【详解】解：A ：m 、n 可以都和平面α垂直，不必要 ； B ：m 、n 可以都和平面α平行，不必要 ； C ：n 没理由一定要在平面α内，不必要 ；D ：由m ∥n ⇒m ，n 与α所成的角相等，反之，m ，n 与α所成的角相等不一定推出m ∥n . 故选：D.【点睛】解决此类问题的关键是熟练掌握判断空间中直线与平面位置关系（平行关系、垂直关系）判断定理与性质定理，并且能够灵活的应用.4.从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度，其茎叶图数据如图.根据茎叶图，下列描述正确的是（ ）A. 甲种树苗的中位数大于乙种树苗的中位数，且甲种树苗比乙种树苗长得整齐B. 甲种树苗的中位数大于乙种树苗的中位数，但乙种树苗比甲种树苗长得整齐C. 乙种树苗的中位数大于甲种树苗的中位数，且乙种树苗比甲种树苗长得整齐D. 乙种树苗的中位数大于甲种树苗的中位数，但甲种树苗比乙种树苗长得整齐 【答案】B 【解析】 【分析】由茎叶图将甲、乙两组数据从小到大排列，分别求出它们的中位数，再根据每组数据的分散情况判断，即可得出答案．【详解】解：由茎叶图知，甲组数据从小到大排列为： 10，10，12，24，25，30，43，45，45，46；其中位数是1(2530)27.52⨯+=，且数据分布比较分散；乙组数据从小到大排列为：17，20，21，23，24，26，31，31，32，35； 其中位数是1(2426)252⨯+=，且数据分布比较集中；所以甲种树苗的中位数大于乙种树苗的中位数，且乙种树苗比甲种树苗长得整齐． 故选：B.【点睛】本题考查利用茎叶图中的数据判断中位数和数据分散情况，是基础题．5.已知,a b 是两个非零向量，其夹角为θ，若()()a b a b +⊥-，且2a b a b +=-，则cos θ=（ ）A.12B.35C. 12-D. 【答案】B 【解析】 【分析】由()()a b a b +⊥-可得a b =，再由2a b a b +=-两边平方可得235a b a ⋅=，代入公式cos a ba bθ⋅=⋅可得答案.【详解】由()()a b a b +⊥-，得()()0a b a b +⋅-=，可得220a b -=，即a b =. 由2a b a b +=-，可得224a b a b +=-，即()2222+242a a b b a a b b ⋅+=-⋅+整理得235a b a ⋅=22335cos 5aa b a ab θ⋅===⋅故选：B【点睛】本题考查向量数量积的运算性质，求向量的夹角的余弦值，将向量模长平方转化为数量积运算是解决本题的关键，属于中档题.6.已知()f x 的图像关于原点对称，且当(,0)x ∈-∞时，()()0f x xf x '->（其中()f x '是()f x 的导函数），0.53(0.5),(log )(log 3)2a f b f ππ-==，9131(log )(log 9)3c f =，则下列关系式正确的是（ ） A. c a b >> B. b a c >> C. a c b >> D. a b c >>【答案】A 【解析】试题分析：由()()0f x xf x '->得()()()'2()0f x xf x f x xx -'=<，即当(,0)x ∈-∞时，()f xx 单调递减；又函数()f x 的图像关于原点对称，所以()f x x是偶函数，且当()0,+∞时，()f x x单调递增；0.5130.5log 31,log 92π-=<<=-，∴0.513log 90.5log 3π->>，因此c a b >>．考点：1、函数的单调性；2、导函数；3、函数的奇偶性．【技巧点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、函数的奇偶性、比大小的综合应用，属于难题；本题应先根据已知条件得到函数()f x x的单调性和奇偶性，碰到比较三个数大小的问题，常见的解决方法有：作差、作商、借助中间量、单调性等，本题是利用函数的单调性和奇偶性，从而比较出几个数的大小，判断单调性是本题的关键． 7.已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，且2tan 3α=．若角α的终边上有一点P ，其纵坐标为4-，有下列三个结论：①点P 的横坐标是6；②cos α=③sin20α>．则上述结论中，正确的个数为( ) A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】B 【解析】 【分析】由三角函数定义逐一分析四个答案结论的真假，可得答案．【详解】解：已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合， 若角α的终边上有一点P ，其纵坐标为4-，即设为(,4)P x -，且2tan 03α=>．所以角α是第三象限的角， 下列三个结论：①角α的终边上有一点P ，其纵坐标为4-，即(,4)P x -，24tan 3y x xα-===．解得6x =-，所以点P 的横坐标是6-，①错误； ②(,4)P x -，且2tan 03α=>．所以角α是第三象限的角，由2211tan cos αα+=，cos α=③sin 22sin cos ααα=，由②可知道；cos α=2tan 03α=>．所以角α是第三象限的角，sin 0α<．所以sin 22sin cos 0ααα=>，所以③正确； 则上述结论中，正确的个数为1个， 故选B ．【点睛】本题考查三角函数的定义，属于基础题．8.2019年10月1日上午，庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵仪式在天安门广场隆重举行，这次阅兵不仅展示了我国的科技军事力量，更是让世界感受到了中国的日新月异，去年的阅兵方阵有一个很抢眼，他们就是院校科研方阵，他们是由军事科学院，国防大学，国防科技大学联合组建，若已知甲，乙，丙三人来自上述三所学校，学位分别有学士、硕士、博士学位，现知道：①甲不是军事科学院的，②来自军事科学院的均不是博士，③乙不是军事科学院的，④乙不是博士学位，⑤来自国防科技大学的是硕士，则甲是来自哪个院校的，学位是什么（ ） A. 国防大学，博士 B. 国防科技大学，硕士 C. 国防大学，学士 D. 军事科学院，学士【答案】A 【解析】 【分析】根据题目所给5个知道的条件，判断出甲的院校和学位. 【详解】由①③可知，丙是军事科学院的. 进而由②④可知，乙丙不是博士，故甲是博士.进而由⑤可知甲不是来自国防科技大学，所以甲来自国防大学. 所以甲来自国防大学，学位是博士. 故选：A【点睛】本小题主要考查合情推理，属于基础题. 9.已知方程22log 0xx --=的两根分别为1x ，2x ，则（ ）A. 1212x x <<B. 122x x >C. 121=x xD.1201x x <<【答案】D 【解析】 【分析】根据2xy -=与2log y x =的图象，初步判断12,x x 的范围，再根据对数运算即可得出答案. 【详解】不妨设12x x <，作出2xy -=与2log y x =的图象，如图.由图可知1201x x <<<，则12121log l 2og x x x -==-，22222log o 2l g x x x -==，那么()212122212log log log 220x x x x x x --+==-<，则1201x x <<. 故选：D.【点睛】本题考查指数函数和对数函数的图像，涉及指数函数单调性，对数函数单调性，属于中档题.10.如图所示，四边形ABCD 是正方形，其内部8个圆的半径相等，且圆心都在正方形的对角线上，在正方形ABCD 内任取一点，则该点取自阴影部分的概率为（ ）A. (32)π-B. (21)πC.8π D.4π 【答案】A 【解析】 【分析】设正方形的边长为1，圆的半径为r ，根据圆心都在正方形的对角线上，建立边长与半径的关系，求得半径，进而求得8个圆的面积，再代入几何概型的概率公式求解. 【详解】设正方形的边长为1，圆的半径为r ， 因为圆心都在正方形的对角线上， 如图所示：11223344BD DO OO O O O O O B =++++，即)222222r r r ++=， 解得224r -=， 所以阴影部分的面积为：(22228832S r πππ-===-⎝⎭，所以该点取自阴影部分的概率为((3223221p ππ-==-.故选：A【点睛】本题主要考查几何概型的概率求法，还考查了数形结合的思想方法，属于基础题. 11.三棱锥S-ABC 的底面各棱长均为3，其外接球半径为2，则三棱锥S-ABC 的体积最大时，点S 到平面ABC 的距离为（ ） A. 23 B. 23C. 3D. 2【答案】C 【解析】 【分析】采用数形结合，依据题意，点S 在底面的投影为ABC 的中心时，三棱锥S-ABC 的体积最大，简单计算，可得结果.【详解】设点S 到底面的距离为h ，则13△=-S ABC ABC V S h 当三棱锥S-ABC 的体积最大时，即h 最大 由题可知：ABC 为边长为3的等边三角形，则点S 在底面的投影为ABC 的中心M ，且OS ⊥底面ABC如图所示又3AB =，所以2sin 6033=⋅⋅=AM AB 又2==OA OS ，所以221OM OA AM =-= 所以3=+=SM OM OS 故选：C【点睛】本题考查立体几何的应用，本题关键在于知道点S 在底面的投影为ABC 的中心时，三棱锥S-ABC 的体积最大，考验分析问题的能力，审清题意，细心计算，属中档题. 12.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若60A ∠=︒，1b >，12c a =+，当ABC 的周长最短时，b 的值为（ ） A.222 C. 212+D. 12【答案】C 【解析】 【分析】根据余弦定理2222cos a b c bc A =+-可得21241-+=-b b a b ，计算周长可得()()3931212-++-b b ，然后使用基本不等式并得到周长取最小值条件，可得结果.【详解】由题可知：60A ∠=︒，12c a =+则2222cos a b c bc A =+-，所以2221122⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝+⎭+a a b a b ， 又1b >，所以21241-+=-b b a b ，记ABC 的周长为l 则21242112-+=++=⋅+-+b b l a b c b b 则()()39993121222=-++≥=+-l b b 当且仅当()()331121-=⇒=+-b b b 12-（舍）取等号所以当ABC 的周长最短时，b 的值为1 故选：C【点睛】本题考查余弦定理解三角形，关键在于找到21241-+=-b b a b ，同时基本不等式知识的渗透使用，熟练掌握三角形中边角转化以及三角函数、不等式的交叉使用，属中档题. 二、填空题13.设,x y 满足约束条件22022x y x y +-≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩，则2z x y =-的最小值是____________.【答案】-6 【解析】 【分析】由约束条件画出可行域,再变形2z x y =-为2y x z =-,即在可行域内找到使该直线截距最大的点,进而求解.【详解】由题,可行域如图所示,设2y x z =-,平移直线,当直线与点()2,2A -相交时,直线的截距最大, 所以z 的最小值为()2226⨯--=-, 故答案为:6-【点睛】本题考查利用目标函数的几何意义求最值,考查简单的线性规划问题,考查数形结合思想.14.()()1tan191tan 26+︒⋅+︒=______. 【答案】2 【解析】 【分析】利用两角和的正切公式进行化简求值. 【详解】由于()tan19tan 26tan 45tan 192611tan19tan 26︒+︒︒=︒+︒==-︒⋅︒，所以tan19tan 261tan19tan 26︒+︒=-︒⋅︒， 即tan19tan 26tan19tan 261︒+︒+︒⋅︒=， 所以()()1tan191tan 26+︒⋅+︒=1tan19tan 26tan19tan 262=+︒+︒+︒⋅︒=故答案为：2【点睛】本小题主要考查两角和正切公式，属于中档题.15. 商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，及根据商品的最低销售限价a ，最高销售限价b （b ＞a ）以及常数x （0＜x ＜1）确定实际销售价格c=a+x （b ﹣a ），这里，x 被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数x 恰好使得（c ﹣a ）是（b ﹣c ）和（b ﹣a ）的等比中项，据此可得，最佳乐观系数x 的值等于 ． 【答案】【解析】试题分析：根据题设条件，由（c ﹣a ）是（b ﹣c ）和（b ﹣a ）的等比中项，知[x （b ﹣a ）]2=（b ﹣a ）2﹣x （b ﹣a ）2，由此能求出最佳乐观系数x 的值． 解：∵c﹣a=x （b ﹣a ），b ﹣c=（b ﹣a ）﹣x （b ﹣a ）， （c ﹣a ）是（b ﹣c ）和（b ﹣a ）的等比中项， ∴[x（b ﹣a ）]2=（b ﹣a ）2﹣x （b ﹣a ）2， ∴x 2+x ﹣1=0， 解得，∵0＜x ＜1， ∴．故答案为． 点评：本题考查等比数列的性质和应用，解题时要注意等比中项的计算．16.已知函数()1xf x e ax =--，()ln 1g x x ax =--，其中01a <<，e 为自然对数的底数，若0(0,)x ∃∈+∞，使()()000f x g x >，则实数a 的取值范围是___________． 【答案】21(0,)e 【解析】 【分析】根据常用不等式1x e x >+，可转化为()00g x >，然后使用分离参数ln 1<-x a x x，并构造函数()ln 1=-x h x x x，利用导数研究该函数的最值，简单计算可得结果. 【详解】令()1=--xM x e x ，()0,x ∈+∞ 则()1'=-xM x e ，当()0,x ∈+∞时，()0'>M x所以()M x 在()0,∞+单调递增，所以()()00M x M >=所以1x e x >+由01a <<，所以当()0,x ∈+∞时，()10=-->xf x e ax故若0(0,)x ∃∈+∞，使()()000f x g x > 转化为0(0,)x ∃∈+∞，()00g x > 则()000ln 10=-->g x x ax ，即000ln 1<-x a x x 令()ln 1=-x h x x x ，()22ln -'=xh x x若()20,x e∈时，()0h x '>，若()2,x e ∈+∞时，()0h x '<所以函数()h x 在()20,e递增，在()2,e +∞递减所以()()22222ln 11≤=-=e h x h e e e e所以210a e <<，即210,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故答案为：210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查导数的应用，本题难点在于对()10=-->xf x e ax 的理解，同时等价转化，化繁为简，同时掌握常用的不等式，比如1x e x >+，属中档题. 三、解答题 （一）必考题17.已知数列{}n a 中，11a =，当2n ≥时，11---=⋅n n n n a a a a（Ⅰ）求证：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（Ⅱ）设2121n n n b a a -+=⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：12n T <. 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析. 【解析】 【分析】（Ⅰ）两边同时除以1n n a a -⋅得：1111n n a a --=，即可得证; （Ⅱ）由（Ⅰ）知1n a n =，112121n b n n =⋅-+，再利用裂项相消法求和即可得证；【详解】解:（Ⅰ）证明：当2n ≥时，由11---=⋅n n n n a a a a ， 两边同时除以1n n a a -⋅得：1111n n a a --=， 由11a =，得111a ，故数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，1为公差的等差数列.（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知1n a n=， 所以11(21)(21)11121212(21)(21)22121n n n b n n n n n n +--⎛⎫=⋅==- ⎪-+-+-+⎝⎭， 所以111111123352121n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭. 因为1021n >+，故12n T <.【点睛】本题考查构造法求数列的通项公式以及裂项相消法求和，属于基础题.18.已知四边形ABCD 是梯形(如图1)，//AB CD ，AD DC ⊥，2CD =，1AB AD ==，E 为CD 的中点，以AE 为折痕把ADE 折起，使点D 到达点P 的位置(如图2)，且3PC =.（1）求证：平面PAE ⊥平面ABCE ；（2）求点C 到平面PBE 的距离. 【答案】（1）证明见解析；（2）6. 【解析】 【分析】（1）取AE 的中点M ，连接PM ，BM ，CM ，根据1AP PE ==，易得PM AE ⊥，再利用平面几何知识，由222PM MC PC +=，得到PM MC ⊥，利用线面垂直的判定定理得到PM ⊥平面ABCE ，进而由面面垂直的判定定理得证.（2）由（1）知，PM ⊥平面ABCE ，PBE △为正三角形且边长为1， 设点C 到平面PBE 的距离为d ，由等体积法1133P BEC BEC PBE V S PM S d -=⨯⨯=⨯⨯△△求解. 【详解】（1）证明：连接BE ，因为//AB CD ，AD DC ⊥，2CD =，E 为CD 的中点，1AB AD ==， 所以四边形ABED 是边长为1的正方形，且BE EC =. 如图，取AE 的中点M ，连接PM ，BM ，CM ，因为1AP PE ==， 所以PM AE ⊥，且2AE =22PM AM ==. 因为45MBE EBC ∠=∠=︒， 所以BM BC ⊥. 所以2222222101122MC BM BE EC ⎛⎫=++=++= ⎪ ⎪⎝⎭因为3PC =，2PM =，10MC =，所以222PM MC PC +=， 所以PM MC ⊥. 因为AE MC M ⋂=， 所以PM ⊥平面ABCE . 因为PM ⊂平面PAE ， 所以平面PAE ⊥平面ABCE .（2）由（1）知，PM ⊥平面ABCE ，BE EC ⊥，且1BE EC ==.因为1PB ==，所以PBE △为正三角形且边长为1. 设点C 到平面PBE 的距离为d ， 则1133P BEC BEC PBE V S PM S d -=⨯⨯=⨯⨯△△，所以2111323BE EC PM BE d ⨯⨯⨯⨯=⨯，即2111111323d ⨯⨯⨯=⨯，解得d =.所以点C 到平面PBE 的距离为3. 【点睛】本题主要考查线面垂直，面面垂直，线线垂直的转化以及等体积法求点到平面的距离问题，还考查了转化化归的思想和逻辑推理，运算求解的能力，属于中档题.19.2021年1月底因新型冠状病毒感染的肺炎疫情形势严峻，避免外出是减少相互交叉感染最有效的方式．在家中适当锻炼，合理休息，能够提高自身免疫力，抵抗该种病毒．某小区为了调查“宅”家居民的运动情况，从该小区随机抽取了100位成年人，记录了他们某天的锻炼时间，其频率分布直方图如下：（1）求a 的值，并估计这100位居民锻炼时间的平均值x （同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）小张是该小区的一位居民，他记录了自己“宅”家7天的锻炼时长：序号n1 2 3 4 5 6 7 锻炼时长m （单位：分钟） 10151220302535（Ⅰ）根据数据求m 关于n 的线性回归方程；（Ⅱ）若4m x -≥（x 是（1）中的平均值），则当天被称为“有效运动日”．估计小张“宅”家第8天是否是“有效运动日”？附；在线性回归方程y bx a =+中，()()()121nii i nii xx y yb xx==--=-∑∑，a y bx =-．【答案】（1）0.03a =，30.2；（2）（Ⅰ）11334287m n =+，（Ⅱ）估计小张“宅”家第8天是“有效运动日”． 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的特征，各小矩形面积之和为1，即可求出a 的值，再根据平均值等于各小矩形的面积乘以其底边中点的横坐标之和，即可求出；（2）（Ⅰ）根据最小二乘法，分别计算出ˆb和ˆa ，即可求出m 关于n 的线性回归方程； （Ⅱ）根据线性回归方程，令8n =，求出预测值m ，再验证是否满足4m x -≥，即可判断． 【详解】（1）()0.0050.0120.0350.0150.003101a +++++⨯=，0.03a ∴=．50.00510150.01210250.0310350.03510450.0151055x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯0.0031030.2⨯=（分钟）． （2）（Ⅰ）123456747n ++++++==，10151220302535217m ++++++==，()()()()()()()()()7114102124152134122144iii n n m m =--=-⨯-+-⨯-+-⨯-+-⨯∑()()()()()()()2021543021642521743521113-+-⨯-+-⨯-+-⨯-=，11328b =∴，11334214287a =-⨯=，m ∴关于n 的线性回归方程为11334287m n =+．（Ⅱ）当8n =时，1133426082877m =⨯+=． 26030.247->， ∴估计小张“宅”家第8天是“有效运动日”． 【点睛】本题主要考查利用频率分布直方图估计总体的数字特征，利用最小二乘法求线性回归方程，以及利用线性回归方程进行预测，意在考查学生的数学运算能力和数据分析能力，属于基础题．20.已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>和圆()2222:0C x y r r +=>，1F 、2F 为椭圆1C 的左、右焦点，点(B 在椭圆1C 上，当直线1BF 与圆2C 相切时，2r = （I ）求1C 的方程；（Ⅱ）直线():0,0l y kx m k m =+>>与椭圆1C 和圆2C 都相切，切点分别为M 、N ，求OMN 面积的最大值．【答案】（Ⅰ）22143x y +=；（Ⅱ）14. 【解析】【分析】（I ）根据已知条件求得b 和a 的值，由此可得出椭圆1C 的方程；（Ⅱ）将直线l 的方程与椭圆1C 的方程联立，由0∆=可得出2243m k =+，并求出点M 的坐标，根据圆的切线的性质可得出直线ON 的方程为1=-y x k，与直线l 的方程联立可求得点N 的坐标，求得直线l 与x 轴的交点Q 的坐标，利用三角形的面积公式以及基本不等式可求得OMN 面积的最大值．【详解】（Ⅰ）由题可知b =设()1,0F c -，则由1BF与圆相切时2r =，得2bc a =，即2a c =．② 将①②代入222a b c =+，解得2a =，所以椭圆1C 的方程为22143x y +=；（Ⅱ）设点()11,M x y 、()22,N x y ，将y kx m =+代入22143x y +=得()2224384120k x kmx m +++-=．由直线l 与椭圆1C 相切得()()2222644434120k m k m ∆=-+-=，即2243m k =+，且1212443343km x k m y k -⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩， 由直线l 与圆2C 相切，设1:ON y x k =-，与y kx m =+联立得222211km x k m y k -⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，设直线():0,0l y kx m k m =+>>与x 轴交于点Q ，则,0m Q k ⎛⎫-⎪⎝⎭．所以OMN 的面积为21221322143OMN m m m S OQ y y k k k =⋅-=⋅-++△()()()222211124143211222m k m k k k k k k k k k===≤=⎛⎫++++⨯⋅ ⎪⎝⎭， 当且仅当1k =时等号成立， 所以OMN 的面积的最大值为14． 【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中三角形面积最值的求解，考查计算能力，属于难题.21.已知函数()ln 1f x ax x bx =++，且曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线为x 轴． （Ⅰ）求a ，b 的值，并讨论()f x 的单调区间； （Ⅱ）求证1000101001101()e ()1000100<<，其中e 为自然对数的底数． 【答案】（Ⅰ）11a b =⎧⎨=-⎩；()f x 在()0,1上单调递减；()f x 在(1,)+∞上单调递增；（Ⅱ）证明见解析.【解析】 【分析】（Ⅰ）根据题意，得到(1)0(1)0f f =⎧⎨='⎩，解方程组，求得11a b =⎧⎨=-⎩，从而求得()ln f x x '=，从而求得函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）由（Ⅰ）得()()01x f f ≥=，即ln 10x x x -+≥对任意()0,x ∈+∞成立．之后应用分析法证明即可.【详解】（Ⅰ）()ln f x a x a b =++，由题意知(1)01(1)01f a f b ⎧==⎧⇒=-'⎨⎨=⎩⎩；()ln f x x '=， 令()0f x '=，解得1x =，当()0,1x ∈时，()0f x '<，即()f x 在()0,1上单调递减； 当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在(1,)+∞上单调递增； （Ⅱ）由（Ⅰ）知()()01x f f ≥=， 即ln 10x x x -+≥对任意()0,x ∈+∞成立． 要证101101e ()100<，只需证1011101ln()100<． 在不等式ln 10x x x -+≥中， 令101100x =，则有101101101ln()10100100100-+>， 即101011ln()100100100>，即101110ln()100<成立； 要证10001001()e 1000<，只需证10011000ln()11000<， 即证10011ln()10001000<，只需证10001ln 10011000>-，即证10001000ln101001+>． 在不等式ln 10x x x -+≥中，令10001001x =， 则有100010001000ln 10100110011001-+>，即10001000ln 101001+>成立 综上，不等式10001011001101()e ()1000100<<成立． 【点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有根据切线方程求参数，研究函数的单调性，应用导数证明不等式，属于较难题目. （二）选考题22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos 23sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），以坐标原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（1）求C 与l 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，点(2,2)P -，求11||||PM PN +的值.【答案】（1）22(2)9x y +-=，40x y -+=；（2. 【解析】 【分析】（1）直接利用参数方程和极坐标方程转化公式，可得出C 与l 的直角坐标方程；（2）将直线l 的直角坐标方程化为参数方程，点(2,2)P -在直线上l ，利用参数t 的几何意义，可得11||||PM PN +的值. 【详解】解：（1）因为曲线C 的参数方程为3cos 23sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），所以其直角坐标方程为22(2)9x y +-=，∵直线l的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭∴sin cos 4ρθρθ-=，∴其直角坐标方程为40x y -+=；（2）直线l 过点(2,2)P -且参数方程可表示为2222x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），代入曲线C的方程，得250t --=，则12t t +=125t t =-，∴121211||||5t t PM PN t t -+==.【点睛】本题考查了利用公式把参数方程、极坐标方程转化为直角坐标方程，直线参数方程参数t 的几何意义，考查运算求解的能力和转化与化归思想，是基础题. 23.已知函数()11f x x a x =+--． （1）当2a =-时，解不等式()5f x >； （2）若()3f x a x ≤+，求a 的最小值． 【答案】(1) 4(,)(2,)3-∞-⋃+∞. (2)12. 【解析】分析：（1）利用分段讨论法去掉绝对值，解a=﹣2时对应的不等式即可； （2）由f （x ）≤a|x+3|得a ≥131x x x +++-，利用绝对值三角不等式处理即可.详解：（1）当2a =-时，()13,13,1131,1x x f x x x x x -≤-⎧⎪=-+-<≤⎨⎪->⎩()5f x >的解集为：()4,2,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭（2）由()3f x a x ≤+得：113x a x x +≥-++由1321x x x -++≥+，得：11132x x x +≤-++ 得12a ≥（当且仅当1x ≥或3x ≤-时等号成立）， 故a 的最小值为12.点睛：绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。

2017—2018学年度下学期高三年级十五模考试衡水中学 数学（文科）试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合(){}ln 1A x y x ==-，集合{}12B x x =-<<，则()A B =R I ð（ ） A ．()1,1- B ．(]1,1- C ．()1,2- D ．()1,2 2．已知复数z 满足21zi z=-（i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．若cos 24sin 4απα=⎛⎫- ⎪⎝⎭，则cos sin αα+的值为（ ） A．-．14- C ．14 D4．《中华好诗词》是由河北电视台创办的令广大观众喜闻乐见的节目，旨在弘扬中国古代诗词文化，观众可以选择从,,A B C 和河北卫视这四家视听媒体的播放平台中观看，若甲乙两人各自随机选择一家播放平台观看此节目，则甲乙二人中恰有一人选择在河北卫视观看的概率是（ ） A ．12 B ．38 C ．14 D ．3165．已知椭圆2241mx y +=，则实数m 等于（ ） A ．2 B ．2或83C ．2或6D ．2或8 6．如图是某个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是（ ） A．4π+ B．24π+ C．22π+ D．24π+7．南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出的秦九韶算法至今仍是多项式求值比较先进的算法，已知()201720162018201721f x xx x =+++L ，下列程序框图设计的是求()0f x 的值，在M 处应填的执行语句是（ ）A ．n i =B ．2018n i =-C ．1n i =+D ．2017n i =-8．已知330c c a b<<，则下列选项中错误的是（ ） A ．b a > B ．ac bc > C ．0a b c -> D ．ln 0ab> 9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，“1009a ，1010a 是方程43220x x-⋅+=的两根”是“20181009S =”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，直线l 经过点2F 且与该双曲线的右支交于,A B 两点，若1ABF ∆的周长为7a ，则该双曲线离心率的取值范围是（ ） A．⎛ ⎝⎦ B．⎝ C．⎣ D．⎣⎭11．已知当,,22ππαβ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，cos cos tan tan αβαβ-<-，则以下判断正确的是（ ） A ．αβ< B ．αβ> C ．22αβ> D ．22αβ<12．若存在一个实数t ，使得()F t t =成立，则称t 为函数()F x 的一个不动点，设函数()(1x g x e x a =+-（a ∈R ，e 为自然对数的底数），定义在R 上的连续函数()f x 满足()()2f x f x x -+=，且当0x ≤时，()f x x '<.若存在()()0112x x f x f x x ⎧⎫∈+≥-+⎨⎬⎩⎭，且0x 为函数()g x 的一个不动点，则实数a 的取值范围为（ ） A．⎛-∞ ⎝⎭ B．⎫+∞⎪⎪⎣⎭ C．⎝ D．⎫+∞⎪⎪⎝⎭第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．用系统抽样法（按等距离的规则）从160部智能手机中抽取容量为20的样本，现将这160部智能手机随机地从001~160编号，按编号顺序平分成20组：001~008号，009~016号，017~024号，…，153~160号，若第9组与第10组抽出的号码之和为140，则第1组中用抽签的方法确定的号码是 ．14．已知(),2a λλ=r ，()3,2b λ=r，如果a r 与b r 的夹角为直角，则a b +=r r ．15．已知实数,x y 满足约束条件310,20,3640,x y x y x y --≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩则11x y z x +-=+的最大值为 ．16．在锐角ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，已知a =()223tan bc A +-=，)22cos 1cos 2A BC +=，则ABC ∆的面积等于 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17． 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且对任意正整数n ，点()1,n n a S +都在直线220x y +-=上.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2n n b na =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：169n T <. 18． 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AD ⊥平面1A BC ，其垂足D 落在直线1A B 上. （1）求证：1BC A B ⊥；（2）若P 是线段AC 上一点，AD =2AB BC ==，三棱锥1A PBC -的体积为2，求APPC的值.19． 某印刷厂为了研究单册书籍的成本y （单位：元）与印刷册数x （单位：千册）之间的关系，在印制某种书籍时进行了统计，相关数据见下表：根据以上数据，技术人员分别借助甲、乙两种不同的回归模型，得到两个回归方程，方程甲：()14ˆ 1.1yx =+，方程乙：()226.4ˆ 1.6yx=+. （1）为了评价两种模型的拟合效果，完成以下任务. ①完成下表（计算结果精确到0.1）；②分别计算模型甲与模型乙的残差平方和1Q 及2Q ，并通过比较12,Q Q 的大小，判断哪个模型拟合效果更好.（2）该书上市之后，受到广大读者热烈欢迎，不久便全部售罄，于是印刷厂决定进行二次印刷，根据市场调查，新需求量为10千册，若印刷厂以每册5元的价格将书籍出售给订货商，求印刷厂二次印刷10千册获得的利润？（按（1）中拟合效果较好的模型计算印刷单册书的成本）.20． 已知中心在原点O ，一个焦点为)F 的椭圆被直线1y x =-截得的弦的中点的横坐标为45. （1）求此椭圆的方程；（2）设直线():0,0l y kx m k m =+≠>与椭圆交于,P Q 两点，且以PQ 为对角线的菱形的一个顶点为()1,0M -，求OPQ ∆面积的最大值及此时直线l 的方程. 21． 已知函数()()()1ln af x x a x a x=--+∈R . （1）当01a <≤时，求函数()f x 的单调区间；（2）是否存在实数a ，使得至少有一个()00,x ∈+∞，使()00f x x >成立，若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，说明理由.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线90l y ++=.以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且两个坐标系取相同单位长度，曲线C 的极坐标方程为ρθ=-，3,2θππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（1）求曲线C 的参数方程；（2）求曲线C 上一点P 到直线l 的距离的最小值及此时点P 的坐标. 23．选修4-5：不等式选讲 设实数,x y 满足14yx +=. （1）若723y x -<+，求x 的取值范围.（2）若0x >，0y >，求证：143x y+-.2017—2018学年度下学期高三年级十五模考试数学（文科）答案一、选择题1-5:BDCBD 6-10:BBDAA 11、12：CB 二、填空题13．002 14．162,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 15．47 16 三、解答题17．解：（1）因为点()1,n n a S +，在直线220x y +-=上，所以1220n n a S ++-=， 当1n >时，1220n n a S -+-=，两式相减得11220n n n n a a S S +--+-=，即1220n n n a a a +-+=，112n n a a +=，又当1n =时，212122220a S a a +-=+-=，211122a a ==， 所以{}n a 是首项11a =，公比12q =的等比数列，数列{}n a 的通项公式为112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭.证明：由（1）知，214n n n n b na -==，则22123114444nn n n nT ---=+++++L ， 3231442444n n n n nT ---=+++++L .两式相减得321111354444n n n n n T ---=++++-L 11634334n n -+=-⨯ ∵134034n n -+>⨯，∴169nT <. 18．解：（1）∵平面1A BC ，BC 平面1A BC ， ∴AD BC ⊥，在直三棱柱111ABC A B C -中易知1AA ⊥平面ABC ， ∴1AA BC ⊥，∵1AA AD A =I ，∴BC ⊥平面11AA B B ， ∵1A B ⊂平面11AA B B ，∴1BC A B ⊥.（2）设PC x =，过点B 作BE AC ⊥于点E ，由（1）知BC ⊥平面11AA B B ， ∴BC AB ⊥.∵2AB BC ==，∴AC =BE =，∴12PBC S BE CP x ∆=⋅=. ∵AD ⊥平面1A BC ，其垂足D 落在直线1A B 上，∴1AD A B ⊥，∵1AA BA ⊥，AD =2AB =，在Rt ABD ∆中，1BD ==，又21AD BD A D =⋅，∴13AD =，在1Rt ADA ∆中，1AA ===∴1113A PBC PBC V S AA x -∆=⋅=.又三棱锥1A PBC -的体积为2，∴32x =，解得4x =∴4AP =53AP PC =. 19．解：（1）经计算，可得下表：②()22210.10.10.10.03Q =+-+=，220.10.01Q ==，12Q Q >，故模型乙的拟合效果更好；（2）二次印刷10千册，由（1）可知，单册书印刷成本为26.41.6 1.66410+=（元） 故印刷总成本为16640（元），印刷利润33360元20．解：（1）设所求椭圆方程为22221x y a b+=，由题意知2223c a b =-=，①设直线与椭圆的两个交点为()11,A x y ，()22,B x y ，弦AB 的中点为E ，由22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得：22221212220x x y y a b --+=， 两边同除以2212x x-，得()()()()21212212120y y y y b a x x x x +-+=+-，即220OE AB b k k a +⋅=. 因为椭圆被直线1y x =-截得的弦的中点E 的横坐标为45，所以41,55E ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以14OEk =-，1AB k =，所以22104b a -=，即224a b =，②由①②可得24a =，21b =，所以所求椭圆的方程为2214x y +=. （2）设()11,P x y ，()22,Q x y ，PQ 的中点为()00,N x y ，联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消y 可得：()222148440k x kmx m +++-=，此时()2216410k m ∆=+->，即2241k m +>①又12024214x x km x k +-==+，1202214y y my k +==+， PQ 为对角线的菱形的一顶点为()1,0M -，由题意可知MN PQ ⊥，即()00011y x k-=---，整理可得：2314km k =+②由①②可得215k >，0Qm >，∴0k >，∴k > 记O 到直线l 的距离为d ，则1122NOPQS d PQ =⋅===当2112k =时，OPQ ∆的面积取最大值1，此时k =2m =，∴直线方程为2y =+. 21．解：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞，()()()22111x a x a a f x x x x --+'=+-=1）当01a <<时，由()0f x '>得，0x a <<或1x >，由()0f x '<得1a x <<， 故函数()f x 的单调递增区间为()0,a 和()1,+∞，单调减区间为(),1a 2）当1a =时，()0f x '≥，()f x 的单调增区间为()0,+∞（2）先考虑“至少有一个()00,x ∈+∞，使()00f x x >成立”的否定“()0,x ∀∈+∞，()f x x ≤恒成立”.即可转化为()1ln 0a a x x ++≥恒成立.令()()1ln x a a x x ϕ=++，则只需()0x ϕ≥在()0,x ∈+∞恒成立即可，()()()11ln x a x ϕ'=++当10a +>时，在10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0x ϕ'<，在1,e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0x ϕ'>()x ϕ的最小值为1e ϕ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由10e ϕ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭得1e 1a ≥-， 故当1e 1a ≥-时，()f x x ≤恒成立， 当10a +=时，()1x ϕ=-，()0x ϕ≥在()0,x ∈+∞不能恒成立，当10a +<时，取1x =，有()11a ϕ=<-，()0x ϕ≥在()0,x ∈+∞不能恒成立， 综上所述，即1e 1a <-时，至少有一个()00,x ∈+∞，使()00f x x >成立. 22．解：（1）曲线:C ρθ=-，可化为2cos 0ρθ+=， 由cos x ρθ=，sin y ρθ=得：220x y ++=， ∵3,2θππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴0,0x y ≤≤从而曲线的直角坐标方程为(()2230x y y +=≤，再化为参数方程为x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数且[],2αππ∈）（2）设()P αα，[],2αππ∈则P 到l 的距离d==又[],2αππ∈，∴当76απ=时，点P的坐标为3,2⎛ ⎝⎭点P 到直线l 的距离的最小值为323．（1）解：∵14yx +=，∴44x y +=， 则由7234323y x x x -<+⇒+-<()f x ，当34x <-时，由4323x x +-<得3x >-，则334x -<<-； 当304x -≤≤时，由4323x x +-<得0x <，则304x -≤<； 当0x >时，由304x -≤≤得0x <，解集为∅； 综上：x 的取值范围是()3,0-.（2）证明：∵0,0x y >>，∴14y x =+≥=即1≥-，当且仅当142y x ==时等号成立. 又14144y x x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭4244y x x y =++≥， 当且仅当44y x x y =，即142y x ==时等号成立，∴143x y +-.。

河北省衡水中学2024届高三下学期模拟押题（一）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}2,{|ln 1}M x x N x x ==<∣，则M N = （）A ．[)2,e B ．[]2,1-C ．[)0,2D ．(]0,22．若复数z 满足i z z =⋅，则z 可以为（）A ．1i-B ．1i+C ．12i+D ．12i-3．已知随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，且(2)(2)0.3,0P X k P X k k <-=>+=>，则(22)P X k <≤+=（）A ．0.2B ．0.3C ．0.7D ．0.84．已知直线:0l kx y -=，圆22:1O x y +=，则“1k <”是“直线l 上存在点P ，使点P 在圆O 内”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．在平行四边形ABCD 中，24AC BD ==，点P 为该平行四边形所在平面内的任意一点，则2222||||||||PA PB PC PD +++ 的最小值为（）A ．6B ．8C ．10D ．126．地震震级通常是用来衡量地震释放能量大小的数值，里氏震级最早是由查尔斯•里克特提出的，其计算基于地震波的振幅，计算公式为0lg lg M A A =-，其中M 表示某地地震的里氏震级，A 表示该地地震台测振仪记录的地震波的最大振幅，0A 表示这次地震中的标准地震振幅.假设在一次地震中，某地地震台测振仪记录的地震波的最大振幅为5000，且这次地震的标准地震振幅为0.002，则该地这次地震的里氏震级约为（）（参考数据：lg20.3≈）A ．6.3级B ．6.4级C ．7.4级D ．7.6级7．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别为()()12,0,,0,F c F c P -为C 的渐近线上一点.若12PF F 2212,3PF PF c ⋅= ，则C 的离心率为（）A B ．2CD8．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,M 是棱1CC 的中点，空间中的动点P 满足DP BM ⊥，且11D P =，则动点P 的轨迹长度为（）A B ．3C ．2πD 二、多选题9．已知函数()π,03f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（）A ．()f x 的最大值为2B ．函数()f x 的图象关于直线()1ππ6x k k ω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭Z 对称C ．不等式()32f x >的解集为()()61π2π,3k k k ωω⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z D ．若()f x 在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围是10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦10．某校在运动会期间进行了一场“不服来战”对抗赛，由篮球专业的1名体育生组成甲组，3名非体育生的篮球爱好者组成乙组，两组进行对抗比赛.具体规则为甲组的同学连续投球3次，乙组的同学每人各投球1次.若甲组同学和乙组3名同学的命中率依次分别为2125,,,3256，则（）A ．乙组同学恰好命中2次的概率为1330B ．甲组同学恰好命中2次的概率小于乙组同学恰好命中2次的概率C ．甲组同学命中次数的方差为23D ．乙组同学命中次数的数学期望为261511．设无穷数列的前n 项和为n S ，且212n n n a a a +++=，若存在N k *∈，使12k k k S S S ++>>成立，则（）A ．1n k a a +≤B ．1n k S S +≤C ．不等式0n S <的解集为{}N 23n n k *∈≥+∣D ．对任意给定的实数p ，总存在0N n *∈，当0n n >时，n a p<三、填空题12．已知函数()321,1,1,x x x f x x ⎧+-≤⎪=>则不等式()()224f x f x +<--的解集为.13．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，过C 的左焦点且斜率为1的直线与C 交于,A B 两点.若12AB =，则C 的焦距为.14．在直三棱柱111ABC A B C -中，14,AC BC AB AA E ====是棱1CC 上一点，平面1AB E 将直三棱柱111ABC A B C -分成体积相等的两部分.若11,,,A B A E 四点均在球O 的球面上，则球O 的体积为.四、解答题15．记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2,4a b ==.(1)若cos 2cos cos B A c C +=，求C 的值；(2)若D 是边AB 上的一点，且CD 平分1,cos 9ACB ACB ∠∠=-，求CD 的长.16．若各项均为正数的数列{}n c 满足2211n n n n n c c c kc c +++-=（*,n k ∈N 为常数），则称{}n c 为“比差等数列”.已知为“比差等数列”，且1245515,,32816a a a a ===.(1)求的通项公式；(2)设1,1,n n n a n b b n -⎧=⎨+⎩为奇数为偶数，求数列的前n 项和n S .17．如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，//AD BC ，1,2,3,4AB DD CD AD BC ⊥===，30ADB∠= .(1)证明：平面11ADD A ⊥平面ABCD ；(2)若1AA AD ⊥，四棱台1111ABCD A B C D -的体积为11,212B C =，求平面ABCD 与平面11CDD C 夹角的余弦值.18．已知抛物线2:2(0)C y px p =>，过点()0,2D 的直线l 与C 交于不同的两点,A B .当直线l的倾斜角为135︒时，AB =(1)求C 的方程；(2)在线段AB 上取异于点,A B 的点E ，且满足DA AE DBEB=，试问是否存在一条定直线，使得点E 恒在这条定直线上？若存在，求出该直线；若不存在，请说明理由.19．已知函数()()e 1,ln ,xf x xg x x mx m =-=-∈R .(1)求()f x 的最小值；(2)设函数()()()h x f x g x =-，讨论()h x 零点的个数.参考答案：题号12345678910答案D AABCBBDBCDBCD题号11答案BCD1．D【分析】由对数函数单调性解不等式，化简N ，根据交集运算求解即可.【详解】因为[]()2,2,0,e M N =-=，所以(]0,2M N = .故选：D.2．A【分析】借助复数的性质设i z a b =+，结合题意计算即可得.【详解】设i z a b =+，,a b ∈R ，则i z a b =-，故有()i i i i a b a b b a -=⨯+=-+，即有a b =-，选项中只有A 选项符合要求，故A 正确，B 、C 、D 选项不符合要求，故B 、C 、D 错误.故选：A.3．A【分析】根据正态分布的对称性结合题意求解即可【详解】根据正态曲线的对称性，由(2)(2)P X k P X k <-=>+，得2222k kμ-++==，因为(2)(2)0.3,0P X k P X k k <-=>+=>，所以(22)0.50.30.2P X k <≤+=-=.故选：A 4．B【分析】由直线与圆相交可求得11k -<<，则通过判断11k -<<与1k <的关系可得答案.【详解】由直线l 上存在点P ，使点P 在圆O 内，得直线l 与圆O <1，解得11k -<<，即()1,1k ∈-，因为1k <不一定能得到11k -<<，而11k -<<可推出1k <，所以“k <1”是“直线l 上存在点P ，使点P 在圆O 内”的必要不充分条件.故选：B 5．C【分析】设AC 与BD 的交点为O ，由PA PO OA =+，两边平方可表示出2||PA ，同理可表示222||,||,||PB PC PD，四个式子相加化简可求得结果.【详解】设AC 与BD 的交点为O ，由PA PO OA =+，得222||||||2PA PO OA PO OA =++⋅ ，同理可得222||||||2PB PO OB PO OB =++⋅，222||||||2PC PO OC PO OC =++⋅ ，222||||||2PD PO OD PO OD =++⋅ ，所以2222||||||||PA PB PC PD +++=222224||||||||||2()PO OA OB OC OD PO OA OB OC OD +++++⋅+++ 24||1010PO =+≥ ，当点P 与点O 重合时，等号成立.故选：C6．B【分析】根据题意，得到lg5000lg0.002M =-，结合对数的运算法则，即可求解.【详解】由题意，某地地震波的最大振幅为5000，且这次地震的标准地震振幅为0.002，可得()100002lg5000lg0.002lg lg 4lg2lg2372lg2 6.421000M =-=-=---=-≈.故选：B.7．B【分析】利用向量的线性运算再来求数量积，可得2OP c =，再利用底边为2c 的焦半径三，从而可得一条渐近线的斜率，则即可解得离心率.【详解】不妨设点P 在第一象限内，O 为坐标原点，由()()2222212121·||||3PF PF PO OF PO OF PO OF PO c c ⋅=++=-=-= ，得2PO c =.由12PF F 2，结合三角形面积公式得：点P 到x ，所以C 的一条渐近线的倾斜角为60o因此C 的离心率2e =.故选：B.8．D【分析】分别取1111,A D B C 的中点,E F ，连接,,DE EF CF ，证明BM ⊥平面CDEF ，从而可得点P 在平面CDEF 内，再根据11D P =，得点P 在以1D 为球心，半径为1的球面上，可得动点P 的轨迹为平面CDEF 与球1D 的球面的交线，求出平面DEF 截球1D 所得截面圆的半径，即可得解.【详解】如图，分别取1111,A D B C 的中点,E F ，连接,,DE EF CF ，因为CD ⊥平面11BCC B ，BM ⊂平面11BCC B ，所以BM CD ⊥，在1Rt ,Rt BCM CC F 中，111,,90BC CC CM C F BCM CC F ==∠=∠=︒，所以1Rt Rt BCM CC F ≅ ，所以1CBM FCC ∠=∠，又190BCM BCF FCC ∠=∠+∠=︒，所以90BCF CBM ∠+∠=︒，所以BM CF ⊥，又⋂=CF CD C ，,CF CD ⊂平面CDEF ，所以BM ⊥平面CDEF ，由DP BM ⊥，得点P 在平面CDEF 内，由11D P =，得点P 在以1D 为球心，半径为1的球面上，因此动点P 的轨迹为平面CDEF 与球1D 的球面的交线，即在平面CDEF 内的圆，连接DF ，设点1D 到平面DEF 的距离为h ，平面DEF 截球1D 所得截面圆的半径为r ，则由1D DEF V -=三棱锥1-F DED V 三棱锥得1112332DEF h S ⋅=⨯⨯⨯ 21⨯，且122DEFS =⨯= 5h =，则5r =，因此动点P .故选：D.【点睛】思路点睛：涉及立体图形中的轨迹问题，若动点在某个平面内，利用给定条件，借助线面、面面平行、垂直等性质，确定动点与所在平面内的定点或定直线关系，结合有关平面轨迹定义判断求解.9．BCD【分析】对于A ，由正弦函数的性质直接求解，对于B ，由πππ,32x k k ω+=+∈Z ，可求出对称轴方程判断，对于C ，由πsin 3x ω⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ，先由πππ2π2π232k x k ω-≤+≤+求出()f x 的递增区间，再由ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦为函数增区间的子集可求出ω的取值范围.【详解】对于A ，()f xA 错误；对于B ，令πππ,32x k k ω+=+∈Z ，得1ππ,6x k k ω⎛⎫=⋅+∈ ⎪⎝⎭Z ，所以函数()f x 的图象关于直线()1ππ6x k k ω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭Z 对称，故B 正确；对于C ，不等式()32f x >可化为πsin 32x ω⎛⎫+> ⎪⎝⎭，则ππ2π2π2π,333k x k k ω+<+<+∈Z ，解得()61π2π,3k k x k ωω+<<∈Z ，因此原不等式的解集为()()61π2π,3k k k ωω⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ，故C 正确；对于D ，由πππ2π2π232k x k ω-≤+≤+，k ∈Z ，解得5ππ2π2π66,k k x k ωω-+≤≤∈Z .因为()f x 在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以ππ5ππ,2266ωω⎡⎤⎡⎤-⊆-⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以5ππ62ππ620ωωω⎧-≤-⎪⎪⎪≥⎨⎪>⎪⎪⎩，解得103ω<≤，故D 正确.故选：BCD 10．BCD【分析】根据题意，利用概率乘法和加法公式，可判定A 错误；根据独立重复试验的概率公式，可得判定B 正确，结合二项分布的方差，可判定C 中，由乙组同学命中次数为随机变量Y 的所有可能取值为0,1,2,3，求得相应的概率，结合期望的公式，可判定D 正确.【详解】对于A 中，设“乙组同学恰好命中2次”为事件M ，则()125125125911125625625620P M ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以A 错误；对于B 中，设“甲组同学恰好命中2次”为事件N ，则()223214C 339P N ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，因为94209>，所以B 正确；对于C 中，因为甲组同学每次命中的概率都为23，设甲组同学命中次数为X ，则23,3X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，可得()2123333D X =⨯⨯=，所以C 正确；对于D 中，设乙组同学命中次数为随机变量Y ，则Y 的所有可能取值为0,1,2,3，所以1251(0)11125620P Y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，1251251251(1)1111112562562563P Y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()()912512,3202566P Y P M P Y =====⨯⨯=，故()119126012320320615E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=，所以D 正确.故选：BCD.11．BCD【分析】根据题意，得到21120,0,0k k k k a a a a +++++<>>且是递减数列，结合等差数列的性质以及等差数列的求和公式，逐项判定，即可求解.【详解】由12k k k S S S ++>>，可得221110,0k k k k k k a S S a S S +++++=-<=->，且1220k k k k a a S S ++++=->，即21120,0,0k k k k a a a a +++++<>>又由212n n n a a a +++=，可得数列是等差数列，公差210k k d a a ++=-<，所以是递减数列，所以1a 是最大项，且随着n 的增加，n a 无限减小，即1n a a ≤，所以A 错误、D 正确；因为当1n k +≤时，0n a >；当2n k ≥+时，0n a <，所以n S 的最大值为1k S +，所以B 正确；因为121211232(21)()(21)0,(23)02k k k k k k a a S k a S k a +++++++==+>=+<，且()()()122221222102k k k k a a S k k a a +++++=⨯+=+⋅+>，所以当22n k ≤+时，0n S >；当23n k ≥+时，0n S <，所以C 正确.故选：BCD.12．(),4-∞【分析】由函数解析式可得()f x 在上单调递增，令()()()24g x f x f x =++-，不等式为变为()()4g x g <，利用单调性可得不等式的解集.【详解】函数()321f x x x =+-在(,1]-∞上单调递增，又()f x =(1,)+∞上单调递增，又()14f ==，所以()f x 在上单调递增.设()()()24g x f x f x =++-，可得()g x 在上单调递增.又()()()460312g f f =+=-=，所以原不等式可化为()()4g x g <，所以原不等式的解集为(),4∞-.故答案为：(),4∞-.13．7【分析】根据题意，得到椭圆C 的方程为2222143x y c c+=，由AB 的方程为y x c =+，联立方程组，求得2121288,77x x c x x c +=-=-，结合弦长公式，列出方程求得c 的值，即可求解.【详解】由椭圆C 的离心率为12e =，可得2a c =，则b ==，所以椭圆C 的方程为2222143x y c c+=，即22234120x y c +-=，由直线AB 过椭圆C 的右焦点(,0)F c 且斜率为1，可得AB 的方程为y x c =+，联立方程组22234120y x cx y c =+⎧⎨+-=⎩，整理得227880x cx c +-=，则222Δ644782880c c c =+⨯⨯=>，设1,1,2,2，则2121288,77x x c x x c +=-=-，所以24127cAB ====，解得72c =，所以椭圆C 的焦距为27c =.故答案为：7.14．500π3【分析】由平面1AB E 将直三棱柱111ABC A B C -分成体积相等的两部分，确定E 点为1CC 的中点，再确定11AA B 的外心以及三棱锥11E AA B -的高h ，最后求三棱锥11E AA B -的外接圆半径即可.【详解】如图，连接11,B C AC .因为111113A BCB ABC A B C V V --=三棱锥三棱柱，且1111112A BCB A CEB ABC A B C V V V ---+=三棱锥三棱锥三棱柱所以111116A CEB ABC A B C V V --=三棱锥三棱柱，所以112A BCB A CEB V V --=三棱锥三棱锥，所以112BCB CEB S S = ，因此11||||2||BB CE CC ==，即E 为1CC 的中点.取1AB 的中点,M AB 的中点N ，连接,,ME MN CN ，则1|1|||||2MN CE BB ==，且MN ∥CE ，所以四边形MNCE 为平行四边形，所以ME ∥CN .因为||||AC BC =，所以CN AB ⊥，又因为平面11ABB A ⊥平面ABC ，且平面11ABB A 平面ABC AB =,所以CN ⊥平面11ABB A ，则ME ⊥平面11ABB A .因为M 是11AA B 的外心，且11AA B 的外接圆半径||3r MA ==，三棱锥11E AA B -的高1h ME CN ====.设球O 的半径为R ，则222()r h R R +-=，则222r h R h+==5，所以球O 的体积34500ππ33V R ==.故答案为：500π3.【点睛】思路点睛：本题可从以下方面解题.（1）通过平面将直三棱柱分成体积相等的两部分可确定点E 的位置；（2）求三棱锥11E AA B -的外接球半径R ，先确定底面三角形11AA B 的外接圆半径r 及高h ，再通过222()r h R R +-=即可求解.15．(1)π3C =(2)169【分析】（1）由已知可得cos cos 2cos a B b A c C +=，边化角，可得sin cos sin cos 2sin cos A B B A C C +=，利用三角恒等变换可求C ；（2）由已知可得2cos23ACB ∠=，利用ABC ADC BDC S S S =+ ，可得2cos2ACBab CD a b∠=+，可求解.【详解】（1）由题意得2cos 4cos B A +=2cos c C ，所以cos cos 2cos a B b A c C +=.由正弦定理，得sin cos sin cos 2sin cos A B B A C C +=，即()sin 2sin cos A B C C +=.又()sin sin A B C +=，所以sin 2sin cos C C C =，又sin 0C ≠，所以1cos 2C =.因为()0,πC ∈，所以π3C =.（2）由1cos 9ACB ∠=-，得212cos129ACB ∠-=-，解得2cos 23ACB ∠=.由ABC ADC BDC S S S =+ ，得11sin sin 222ACB ab ACB b CD ∠∠=⋅+1sin 22ACB a CD ∠⋅⋅，即()2cos2ACBab a b CD ∠=+，所以22242cos1632249ACBab CD a b∠⨯⨯⨯===++.16．(1)15382n n a -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭(2)1333,122231,22n n nn n S nn ⎧-⎛⎫⨯+⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+- ⎪⎪⎝⎭⎩为奇数为偶数【分析】（1）利用“比差等数列”的定义可得211n n n na a k a a +++-=，令1n n na d a +=，则{}n d 为常数列，可得132n n a a +=，可求的通项公式；（2）分n 为奇数与偶数两种情况求解可得数列的前n 项和n S .【详解】（1）由为“比差等数列”，得2211n n n n n a a a ka a +++-=，从而211n n n na a k a a +++-=.设1n n na d a +=，则1n n d d k +-=，所以数列{}n d 为等差数列.因为52141433,22a a d d a a ====，所以{}n d 为常数列，因此，132n d d ==，即132n na a +=，所以是首项为58，公比为32的等比数列，因此15382n n a -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭.（2）当n 为偶数时，()()121311312222n n n n n n S b b b b b b a a a --=+++=++++=++++ 22591849321192422214nn nn n n⎡⎤⎛⎫⎢⎥- ⎪⎢⎥⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎣⎦=⨯+=+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-；当n 为奇数时，()11111313153133311112222821222n n n nn n n n n n n S S b b ++-++++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=+--+=+--⨯-=⨯+⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.综上，1333,122231,22n n nn n S n n ⎧-⎛⎫⨯+⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+- ⎪⎪⎝⎭⎩为奇数为偶数.17．(1)证明见解析(2)91.【分析】（1）由已知，在BCD △中，由正弦定理，可得90BDC ∠= ，在ABD △中，由余弦定理，可得AB =，由勾股定理的逆定理可得AB AD ⊥，则AB ⊥平面11ADD A ，则得平面11ADD A ⊥平面ABCD ；（2）由（1）和已知，可得四棱台1111ABCD A B C D -的上、下底面面积，再由四棱台1111ABCD A B C D -的体积公式求出高，由（1）可得1AA ⊥平面ABCD ，以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出设平面11CDD C 和平面ABCD 的法向量，则由坐标运算得到平面ABCD 与平面11CDD C 夹角的余弦值.【详解】（1）因为//AD BC ，所以30DBC ADB ∠=∠= ，在BCD △中，由正弦定理，得sin sin CD BCDBC BDC=∠∠，所以sin sin 1BC DBCBDC CD∠∠==，所以90BDC ∠= ，则由勾股定理，得BD 在ABD △中，由余弦定理，得AB ==所以222AB AD BD +=，所以90BAD ∠=，即AB AD ⊥，又111,,,AB DD AD DD D AD DD ⊥⋂=⊂平面11ADD A ，所以AB ⊥平面11ADD A ，又AB ⊂平面ABCD ，所以平面11ADD A ⊥平面ABCD .（2）由（1）知四棱台1111ABCD A B C D -的下底面面积1132222ABD BCD S S S =+=+⨯⨯=，因为1112B C BC =，所以上底面面积S '=设四棱台1111ABCD A B C D -的高为h ，则四棱台1111ABCD A B C D -的体积为()13h S S =+'，所以2h =，因为平面11ADD A ⊥平面1,ABCD AA AD ⊥，平面11ADD A ⋂平面ABCD AD =，所以1AA ⊥平面ABCD ，所以1,,AB AD AA 两两垂直.以A 为坐标原点，1,,AB AD AA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则13(0,3,0),4,0),0,,22D C D ⎛⎫⎪⎝⎭所以)130,,2,2DD DC ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，设平面11CDD C 的法向量为 =s s ，则100n DD n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即32020y z y ⎧-+=⎪+=，令1x =，得4y z ==-，所以平面11CDD C的一个法向量为1,4n ⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭，由题可知平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1m =，设平面ABCD 与平面11CDD C 的夹角为θ，则cos cos ,4m n m n m n θ⋅===所以平面ABCD 与平面11CDD C18．(1)212y x=(2)点E 恒在直线3y x =上.【分析】（1）先求直线l 的方程，再与抛物线联立组成方程组，利用韦达定理及两点距离公式，求弦||AB 的长即可；（2）设直线l 方程，再与抛物线联立组成方程组，利用韦达定理及相似三角形求解即可.【详解】（1）设1,1,2,2.若直线l 的倾斜角为135 ，则直线l 的方程为2y x =-+.联立22,2,y x y px =-+⎧⎨=⎩得()24240x p x -++=，则22(42)164160p p p ∆=+-=+>，且121242,4x x p x x +=+=，所以AB ==因为AB =6p =，故C 的方程为212y x =.（2）存在，定直线为3y x =.由题意知直线AB 的斜率存在，设直线l 的方程为()20y kx k =+≠，()()1122,,,A x y B x y .联立212,2,y x y kx ⎧=⎨=+⎩得()2241240k x k x +-+=.由220,Δ(412)160k k k ≠=-->，得32k <且0k ≠，1212221244,k x x x x k k -+==.不妨设()1200,,x x E x y <，则1020x x x <<<，过点,,A E B 向y 轴作垂线，垂足分别为点111,,A E B ，如图所示，则1112DA AA x DBBB x ==，0120AE x x EB x x -=-.因为DA AE DBEB=，所以011220x x x x x x -=-，整理得()120122x x x x x =+，所以12012223x x x x x k==+-.代入直线l 的方程得026233y k k k=⋅+=--.因为003y x =，所以点E 恒在直线3y x =上.19．(1)最小值11e--(2)答案见解析【分析】（1）先利用导数求出函数的单调区间，进而可求出函数的最小值；（2）令()0h x =，得ln 1e 0x x m x+-+=，令()ln 1e x x k x m x +=-+，则ℎ与()k x 有相同的零点，利用导数求出函数()k x 的极值点，再分类讨论m 即可得出结论.【详解】（1）()f x 的定义域为()(),1e xf x x =+'R ，则当1x <-时，′<0；当1x >-时，′>0，所以()f x 在区间(),1∞--上单调递减，在区间()1,∞-+上单调递增，因此()f x 的最小值为()111ef -=--；（2）()e ln 1xh x x x mx =-+-，且()0,x ∈+∞，令()0h x =，得ln 1e 0xx m x+-+=，令()ln 1e xx k x m x +=-+，则ℎ与()k x 有相同的零点，且()()2221ln 1e ln e x xx x xk x x x -++='-=，令()2e ln x r x x x =+，则()()212e xr x x x x='++，因为当0x >时，则()0r x '>，所以()r x 在区间0,+∞上单调递增，又()12e 1e 10,1e 0e r r -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以01,1e x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使()00r x =，且当∈0,0时，()0r x <，即()0k x '<；当∈0,+∞时，()0r x >，即()0k x '>，所以()k x 在区间()00,x 上单调递减，在区间()0,x ∞+上单调递增，因此()k x 的最小值为()0000ln 1e xx k x m x +=-+，由()00r x =，得0200e ln 0x x x +=，即001ln001e ln e x x x x =，令()()1x f x ϕ=+，则在区间0,+∞上单调递增，因为011e x <<，所以01ln 0x >，则()001ln x x ϕϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以00ln x x =-，从而00ln x x =-，即01e ,x x =所以()k x 的最小值()0000ln 1e 1xx k x m m x +=-+=+，所以当1m >-时，()k x 没有零点；当1m =-时，()k x 有一个零点；当1m <-时，因为()00k x <，当x 趋近于0时，()k x 趋近于+∞；当x 趋近于+∞时，()k x 趋近于+∞，所以()k x 有两个零点.综上，当1m >-时，ℎ的零点个数为0；当1m =-时，ℎ的零点个数为1；当1m <-时，ℎ的零点个数为2.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数=的图象的交点问题.。

一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1，求f(2)的值。

答案：f(2) = 2×2^3 - 3×2^2 + 4×2 - 1 = 16 - 12 + 8 - 1 = 112. 已知等差数列{an}的首项a1 = 3，公差d = 2，求第10项an的值。

答案：an = a1 + (n - 1)d = 3 + (10 - 1)×2 = 3 + 18 = 213. 已知函数y = ax^2 + bx + c的图像开口向上，且顶点坐标为(-1, 2)，则a、b、c的取值范围是？答案：由于开口向上，a > 0；顶点坐标为(-1, 2)，则b = -2a，c = a - 2a = -a。

所以a > 0，b < 0，c < 0。

4. 已知复数z = 1 + i，求|z|的值。

答案：|z| = √(1^2 + 1^2) = √25. 已知等比数列{bn}的首项b1 = 2，公比q = 3，求第5项bn的值。

答案：bn = b1 × q^(n - 1) = 2 × 3^(5 - 1) = 2 × 3^4 = 162二、填空题（每题5分，共50分）6. 若函数f(x) = x^2 - 2x + 1在区间[1, 3]上单调递增，则f(x)在区间[1, 3]上的最大值为______。

答案：f(x)在区间[1, 3]上的最大值为f(3) = 3^2 - 2×3 + 1 = 4。

7. 已知等差数列{an}的首项a1 = 4，公差d = -2，求第10项an的值。

答案：an = a1 + (n - 1)d = 4 + (10 - 1)×(-2) = 4 - 18 = -14。

8. 已知函数y = (x - 1)^2 + 2的图像开口向上，且顶点坐标为(1, 2)，则该函数在x = 2时的函数值为______。