下载文档原格式
大学物理(第四版)课后习题及答案机械振动13 机械振动解答13-1 有一弹簧振子，振幅A=2.0×10-2m，周期T=1.0s，初相ϕ=3π/4。
试写出它的运动方程，并做出x--t图、v--t 图和a--t图。
13-1分析弹簧振子的振动是简谐运动。
振幅A、初相ϕ、角频率ω是简谐运动方程x=Acos(ωt+ϕ)的三个特征量。
求运动方程就要设法确定这三个物理量。
题中除A、ϕ已知外，ω可通过关系式ω=2π确定。
振子运动的速度T和加速度的计算仍与质点运动学中的计算方法相同。
解因ω=2π，则运动方程 T⎛2πt⎛x=Acos(ωt+ϕ)=Acos t+ϕ⎛⎛T⎛根据题中给出的数据得x=(2.0⨯10-2m)cos[(2πs-1)t+0.75π]振子的速度和加速度分别为v=dx/dt=-(4π⨯10-2m⋅s-1)sin[(2πs-1)t+0.75π] a=d2x/dt2=-(8π2⨯10-2m⋅s-1)cos[(2πs-1)t+0.75πx-t、v-t及a-t图如图13-l所示π⎛⎛13-2 若简谐运动方程为x=(0.01m)cos⎛(20πs-1)t+⎛，求：（1）振幅、频率、角频率、周期和4⎛⎛初相；（2）t=2s 时的位移、速度和加速度。
13-2分析可采用比较法求解。
将已知的简谐运动方程与简谐运动方程的一般形式x=Acos(ωt+ϕ)作比较，即可求得各特征量。
运用与上题相同的处理方法，写出位移、速度、加速度的表达式，代入t值后，即可求得结果。
解（l）将x=(0.10m)cos[(20πs-1)t+0.25π]与x=Acos(ωt+ϕ)比较后可得：振幅A= 0.10 m，角频率ω=20πs-1，初相ϕ=0.25π，则周期T=2π/ω=0.1s，频率ν=1/T=10Hz。
（2）t= 2s时的位移、速度、加速度分别为x=(0.10m)cos(40π+0.25π)=7.07⨯10-2m v=dx/dt=-(2πm⋅s-1)sin(40π+0.25π)a=d2x/dt2=-(40π2m⋅s-2)cos(40π+0.25π)13-3 设地球是一个半径为R的均匀球体，密度ρ5.5×103kg•m。
做机械振动的物体的偏离平衡位置的位移x 随时间t 做正弦规律变化时，物体的运动就被称之为简谐运动，其基本规律是sin()x A t ωϕ=+，其中ω为简谐运动的圆频率，由振动系统本身决定，A 为振幅，φ为初相位，这两者由振动系统的初始状态决定。
一、求导角度理解已知位移随时间的变化规律，即可根据x v t ∆=∆和v a t∆=∆得出振动物体的速度、加速度随时间的变化规律，这需要用到求导的知识。
1、简谐运动的速度规律：由x v t∆=∆得m cos()cos()v x A t v t ωωϕωϕ'==+=+，其中m v A ω=。
2、简谐运动的加速度规律：由v a t ∆=∆得2m sin()sin()a v A t a t ωωϕωϕ'==-+=-+，其中2m a A ω=。
由上述分析可知，振动物体的位移x 和速度v 这两个物理量中，一个振动量按正弦规律变化，另一个振动量就按余弦规律变化，而且有2a x ω=-，即振动物体的加速度a 大小正比于物体偏离平衡位置的位移x ，方向与位移x 的方向相反。
二、从运动方程角度理解将2a x ω=-写成微分方程，即222d d x x t ω=-，由数学知识可知，这个方程的解为sin()x A t ωϕ=+，其中A 为振幅，φ为初相位，这两者由振动系统的初始状态决定。
三、从动力学角度理解由牛顿第二定律，有2F ma m x ω==-，令2k m ω=，可得F kx =-，即做简谐运动的物体的回复力F 大小正比于物体偏离平衡位置的位移x ，方向与位移x 的方向相反。
将2k m ω=变形，可得ω=，则振动系统的周期为2πT ω==，此即为做简谐运动的物体的周期公式，由这个公式可以看出，简谐运动的周期仅仅由振动系统本身决定——振动物体的质量m 和比例系数k 。
对于弹簧振子模型，可以这样理解T =相同的回复力引起的加速度越小，振子回到平衡位置的时间就会越长；从最大位移处回到平衡位置过程中，弹簧的劲度系数越小，则相同位移处的回复力越小，振子的加速度越小，振子回到平衡位置的时间就会越长。
第五章机械振动
第二篇机械振动和机械波
§5.1 简谐振动的描述
位置随时间作简谐（正弦或余弦）变化的运动叫简谐振动，简称谐振动。
物体保持静止时的位置称作平衡位置。
（不一定对应于弹簧的自然长度）。
，加速度；速度运动方程描述运动的几个概念：a v )t (r r
)cos(ϕω+=t A )sin(v ϕωω+-=t A cos(a 2
ϕωω+-=t A 运动是匀速圆周运动。
方向垂直的谐振动的合。
反之，两个振动向垂直的谐振动的叠加动可分解成两个振动方。
一个匀速圆周运轴上的投影也是谐振动匀速圆周运动在y 轴正方向之间的夹角。
为位置矢量与x
⎪⎬⎫2
x d 0
x m k dt x d 22=+⇒弹簧振子：轻弹簧＋系在其一端的重物；弹簧另一端固定。
三、判断一个系统作谐振动的方法
dt d x dt
x d k 0 122
222
=+-θωθ或，进一步根据牛顿第二：分析物体所受合外力的形式。
是否得到：写出机械能守恒的表02
22
=+x dt
x d ω
0J
k
=+θJ
k
2
≡
ω02
=θω)
cos(max ϕω+t
作业：5-2, 5-7, 5-9, 5-10，5-15。
机械振动和简谐运动机械振动是指物体围绕平衡位置做周期性的来回摆动或震动运动。
而简谐运动是一种特殊的机械振动，它遵循简谐规律，即物体的加速度与到平衡位置的距离成正比，方向相反。
本文将深入探讨机械振动和简谐运动的原理、特性以及应用。
一、机械振动的原理机械振动是由于物体受到外力的作用而做周期性运动。
当物体受到外力推动或扰动时，会发生位移、速度和加速度的变化，从而形成振动运动。
机械振动的原理包括弹性恢复力和阻尼力。
1. 弹性恢复力弹性恢复力是导致振动的主要力量。
当物体发生位移时，如果存在恢复力使其向平衡位置回归，就会产生周期性的振动。
弹性恢复力遵循胡克定律，即恢复力与位移成正比。
2. 阻尼力除了弹性恢复力，振动运动还会受到阻尼力的影响。
阻尼力是由摩擦或其他阻碍物体运动的因素引起的，它会减弱振动的幅度和频率。
二、简谐运动的特性简谐运动是一种理想化的振动运动，具有以下特性：1. 平衡位置与振幅在简谐运动中，物体的平衡位置是振动的中心位置，振幅是物体离开平衡位置的最大位移距离。
2. 周期与频率简谐运动具有恒定的周期性和频率。
周期是振动完成一个完整往复运动所需的时间，频率是单位时间内完成的振动次数。
3. 加速度与位移的关系根据简谐运动的规律，物体的加速度与位移成正比，方向相反。
加速度最大值出现在平衡位置两侧的最大位移处，而在平衡位置的位移为零，加速度也为零。
4. 能量转换与守恒简谐运动过程中，物体的动能和势能会不断转化。
当物体位移最大时，动能最大，而当物体位移为零时，势能最大。
整个过程中，机械能保持不变。
三、机械振动的应用机械振动作为一种常见的物理现象，具有广泛的应用。
以下是几个常见的机械振动应用：1. 振动传感器振动传感器可以检测物体的振动状态，并将其转化为电信号。
它在工业生产、航空航天等领域具有重要作用，可用于监测设备的运行状况和诊断故障。
2. 摆钟摆钟利用物体的机械振动实现时间测量。
当钟摆摆动时，其周期可用于计时，摆钟被广泛应用于家庭和公共场所。
