(完整word版)双线性变换法

用双线性变换法设计原型低通为切比雪夫I型的数字IIR带通滤波器Matlab 详细设计：% Design of a Cheb I Bandpass Digital Filter by using bilinear method clc;clear all;Rp = 1; % bandpass attenuation in dBRs = 40; % bandstop attenuation in dBOmegaS1_1=350;OmegaS1_2=550;OmegaP1_1=400;OmegaP1_2=500;Fp=2000; % samling frequencyWp1=2*pi*OmegaP1_1/Fp; % change analogy frequency to digital angular frequencyWp2=2*pi*OmegaP1_2/Fp; % change analogy frequency to digital angular frequencyWs1=2*pi*OmegaS1_1/Fp; % change analogy frequency to digital angular frequencyWs2=2*pi*OmegaS1_2/Fp; % change analogy frequency to digital angular frequencyOmegaP1=2*Fp*tan(Wp1/2); % nonlinearlizationOmegaP2=2*Fp*tan(Wp2/2); % nonlinearlizationOmegaS1=2*Fp*tan(Ws1/2); % nonlinearlizationOmegaS2=2*Fp*tan(Ws2/2); % nonlinearlizationOmegaP0=sqrt(OmegaP1*OmegaP2);% equivalent mid frequencyBw=OmegaP2-OmegaP1; % bandwithEta_P0=OmegaP0/Bw; % NormalizationEta_P1=OmegaP1/Bw; % NormalizationEta_P2=OmegaP2/Bw; % NormalizationEta_S1=OmegaS1/Bw; % NormalizationEta_S2=OmegaS2/Bw; % Normalization% change to the equivalent Lowpass patameterLemta_P_EquivalentLowPass=Eta_P2/(Eta_P2^2-Eta_P0^2);Lemta_S1_EquivalentLowPass=-Eta_S1/(Eta_S1^2-Eta_P0^2);Lemta_S2_EquivalentLowPass=Eta_S2/(Eta_S2^2-Eta_P0^2);Lemta_S_EquivalentLowPass=min(Lemta_S1_EquivalentLowPass,Lemta_S2 _EquivalentLowPass); % get the smallest% Estimate the Filter Order[N, Wn]=cheb1ord(Lemta_P_EquivalentLowPass,Lemta_S_EquivalentLowPass, Rp, Rs,'s');% Design the Filter[num1,den1]=cheby1(N,Rp,Wn,'s');[num2,den2]=lp2bp(num1,den1,OmegaP0,Bw);[num,den]=bilinear(num2,den2,Fp);% Compute the gain responsew = 0:pi/255:pi;h = freqz(num,den,w);g = 20*log10(abs(h));% Plot the gain responsefigure;plot(w/pi,g);gridaxis([0 1 -60 5]);xlabel('\omega /\pi'); ylabel('Gain in dB');title('Gain Response of a Cheb I Bandpass Filter');f1=450;f2=600;t=0:0.0001:1x1=sin(2*pi*f1*t);x2=sin(2*pi*f2*t);x=x1+x2;figure;subplot(2,2,1)%»æÖÆx1µÄ²¨ÐÎplot(x1);grid on;axis([0,50*pi,-3,3]);xlabel('t');ylabel('x1(t)');title('x1µÄ²¨ÐÎ');subplot(2,2,2)%»æÖÆx1µÄ²¨ÐÎplot(x2);grid on;axis([0,50*pi,-3,3]);xlabel('t');ylabel('x2(t)');title('x2µÄ²¨ÐÎ');subplot(2,2,3)%»æÖÆÊäÈëxµÄ²¨ÐÎplot(x);grid on;axis([0,50*pi,-3,3]);xlabel('t');ylabel('x(t)');title('ÊäÈëÐźÅxµÄ²¨ÐÎ')%X=fft(x);y=filter(num,den,x);%Êý×ÖÂ˲¨Æ÷Êä³ösubplot(2,2,4);%»æÖÆÊä³öyµÄ²¨ÐÎplot(real(y));grid on;axis([0,50*pi,-3,3]);xlabel('t');ylabel('y');title('Â˲¨Æ÷Êä³öyµÄ²¨ÐÎ');6 调试分析：编写程序有一定难度，调试是不断出错，由于先前对DSP的学习不够扎实，导致程序出现了很多的错误。

双线性变换法（Bilinear Interpolation）是在图像处理中常用的一种插值方法。

公式如下：
f(x,y) = (1-x)(1-y)f(0,0) + (1-x)yf(0,1) + x(1-y)f(1,0) + xyf(1,1)
其中x,y 为目标像素坐标在原图像坐标系中的坐标值，f(0,0),f(0,1),f(1,0),f(1,1) 分别表示目标像素周围4 个像素点的灰度值。

双线性变换法是一种通过线性变换来求解目标像素点灰度值的方法。

它通过对图像进行缩放或旋转时，对于输出图像中缺失的像素点进行插值，来解决图像变形导致的像素点缺失问题。

双线性变换法是一种非常高效的插值方法，其计算量与像素点数量无关。

另外，它还具有较高的精度和较低的计算复杂度。

它在图像处理、图像识别、图像分析、图像压缩等领域有着广泛的应用。

双线性变换法是一种双线性插值法，它基于线性插值法，通过对目标像素周围4个像素点的灰度值进行线性变换来求出目标像素点的灰度值。

其优点是插值效果好，像素质量高，图像变形较小。

双线性变换法在图像缩放、旋转、矫正等操作中都有着广泛的应用。

它在图像处理中常用来解决图像变形导致的像素点缺失问题。

此外还可以用于从低分辨率的图像中重建高
分辨率图像，并且在视频处理中也有着广泛的应用。

双线性变换法公式
B(u,v) = ∑(i=1 to n) ∑(j=1 to m) a(i,j)u(i)v(j)
其中B(u,v)是变换的结果，u和v分别是V和W中的向量，n和m分别是V和W的维数，a(i,j)是双线性变换的系数。

下面以一个具体的例子来说明双线性变换法的应用。

假设我们有两个向量空间V和W，分别由基向量{e1,e2}和{f1,f2}生成。

双线性变换B：VxW---->U定义如下：
B(e1,f1)=a11,B(e1,f2)=a12
B(e2,f1)=a21,B(e2,f2)=a22
我们希望计算B(u,v)的值，其中u=δ1e1+δ2e2，v=ε1f1+ε2f2
根据双线性变换的公式，我们有：
B(u,v)=B(δ1e1+δ2e2,ε1f1+ε2f2)
=δ1ε1B(e1,f1)+δ1ε2B(e1,f2)+δ2ε1B(e2,f1)+δ2ε2B(e2,f2) =δ1ε1a11+δ1ε2a12+δ2ε1a21+δ2ε2a22
通过这个公式，我们可以计算出B(u,v)的值，其中a11，a12，a21，a22是双线性变换的系数。

这就是双线性变换法的基本思想。

总之，双线性变换法是代数数学中一种重要的解题方法，通过使用双线性变换的公式和性质，可以把复杂的问题转化为简单的计算过程，从而求解出问题的答案。

在实际应用中，双线性变换法具有广泛的应用领域，并且被广泛地运用到各种数学问题的求解中。

脉冲响应不变法的主要弊端是频谱交叠产生的混杂，这是从S 平面到 Z 平面的标准变换z ＝e sT的多值对应关系致使的 , 为了战胜这一弊端，假想变换分为两步：第一步：将整个 S 平面压缩到 S1 平面的一条横带里；第二步：经过标准变换关系将此横带变换到整个Z 平面上去。

由此成立 S 平面与 Z 平面一一对应的单值关系，除去多值性，也就除去了混杂现象。

图双线性变换的映照关系为了将 s 平面的 j Ω轴压缩到 s1平面 j Ω轴上的 - 一段上，可经过以下的正切变换实现：这里 C 是待定常数，下边会讲到用不一样的方法确立C，可使模拟滤波器的频次特征与数字滤波器的频次特征在不一样频次点有对应关系。

时经过这样的频次变换，当Ω 1由Ω 由即映照了整个 j Ω轴。

将这一关系分析延拓至整个s 平面，则获得 s 平面平面的映照关系：再将 s1平面经过标准变换关系映照到z 平面，即令往常取C=2/T最后得 S 平面与 Z 平面的单值映照关系：此刻我们再来看一看常数 C 的取值方法：双线性换法的主要长处是S 平面与 Z 平面一一单值对应， S 平面的虚轴 ( 整个 j Ω) 对应于Z 平面单位圆的一周， S 平面的Ω=0 处对应于 Z 平面的ω =0 处，对应即数字滤波器的频次响应终止于折迭频次处，所以双线性变换不存在混迭效应。

上边讲到，用不一样的方法确立待定常数C，能够使模拟滤波器的频次特征与数字滤波器的频次特征在不一样频次点有对应关系。

也就是说，常数 C 能够调理频带间的对应关系。

确立 C 的常用方法有两种：①保证模拟滤波器的低频特征迫近数字滤波器的低频特征。

此时二者在低频处有切实的对应关系，即因为Ω和ω都比较小，所以有，所以有Ω =cΩT/2 ，此外，依据归一化数字频次ω与模拟频次Ω的关系，所以， c=2/T②保证数字滤波器的某一特定频次，如截止频次，与模拟滤波器的某一待定频率Ωc 严格对应，即当截止频次较低时，有，所以一般取。

V=课程设计报告书姓名:班级：学号:时间:设计题目用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器设计要求1. 通过实验加深对双线性变换法设计IIR滤波器基本方法的了解.2. 了解MATLAB有关双线性变换法的子函数。

3．掌握用双线性变换法设计数字低通滤波器的方法。

本次课程设计是采用双线性变换法基于MATLAB设计一个IIR数字低通滤波器, 其中要求通带截止频率为ωp=0.25π;通带最大衰减Rp=1dB;阻带最小衰减As=15dB;阻带截止频率ωs=0.4π;滤波器采样频率Fs=100Hz.设计过程摘要: 根据IIR滤波器的特点, 在MATLAB坏境下用双线性变换法设计IIR数字滤波器。

利用MATLAB设计滤波器, 可以随时对比设计要求和滤波器特性调整参数, 直观简便, 极大的减轻了工作量, 有利于滤波器设计的最优化。

1.关键词：双线性变换法 , 数字滤波器 , MATLAB , IIR2.设计原理与步骤1.1设计原理滤波器的种类很多, 从功能上可分为低通、高通、带通和带阻滤波器, 每一种又有模拟滤波器和数字滤波器两种形式。

如果滤波器的输人和输出都是离散时间信号, 则该滤波器的冲击响应也必然是离散的, 这种滤波器称之为数字滤波器。

数字滤波器是一种用来过滤时间离散信号的数字系统, 通过对抽样数据进行数学处理来达到频域滤波的目的。

数字滤波器也是具有一定传输选择特性的数字信号处理装置, 其输入、输出均为数字信号, 实质上是一个由有限精度算法实现的线性时不变离散系统。

IIR数字滤波器采用递归型结构, 即结构上带有反馈环路。

IIR滤波器运算结构通常由延时、乘以系数和相加等基本运算组成, 可以组合成直接型、正准型、级联型、并联型四种结构形式, 都具有反馈回路。

数字滤波器根据其冲激响应函数的时域特性, 可分为两种, 即无限长冲激响应(IIR)数字滤波器和有限长冲激响应(FIR)数字滤波器。

IIR 数字滤波器的特征是, 具有无限持续时间冲激响应, 需要用递归模型来实现, 其差分方程为：（1-1）（1-2）设计IIR滤波器的任务就是寻求一个物理上可实现的系统函数H(z), 使其频率响应H(z)满足所希望得到的频域指标, 即符合给定的通带截止频率、阻带截止频率、通带衰减系数和阻带衰减系数。

双线性变换法公式
z=x*B*y^T
其中，^T表示矩阵的转置运算符。

x和y是输入向量，z是输出向量。

*表示矩阵的乘法运算符。

1.将输入向量x和y表示为列矩阵形式：
x = [x1, x2, ..., xn]^T
y = [y1, y2, ..., ym]^T
2.将输出向量z表示为列矩阵形式：
z = [z1, z2, ..., zk]^T
3. 对于输出向量z的每一个元素zi，都可以通过如下的内积运算来
进行计算：
zi = x^T * Bi * y
其中，Bi是B的第i行。

4. 将所有的zi组合起来形成输出向量z：
z = [z1, z2, ..., zk]^T
双线性变换法的优点是可以灵活地定义不同的变换。

通过选择不同的
双线性变换矩阵B，可以实现各种不同的变换操作，如旋转、缩放、平移等。

这使得双线性变换法在图形学中被广泛应用，可以用来实现图像的几
何变换、纹理映射、颜色合成等功能。

然而，双线性变换法也存在一些限制。

由于双线性变换法只能处理线性变换，无法处理非线性变换。

此外，双线性变换矩阵B的大小会直接影响计算的复杂性，特别是在高维空间中，矩阵的大小可能会非常庞大，导致计算量很大。

因此，在实际应用中，需要根据具体的情况来选择合适的变换方法。

总之，双线性变换法是一种通过对输入空间和输出空间中的向量进行适当的线性变换来实现其中一种特定的变换的方法。

通过选择不同的双线性变换矩阵，可以实现各种不同的变换操作，具有广泛的应用前景。

课程设计任务书2010—2011学年第一学期专业： 通信工程 学号： 080110509 姓名： 郭威课程设计名称： 数字信号处理课程设计设计题目： 巴特沃斯数字低通滤波器的设计—双线性变换法完成期限：自 2011 年 1 月 3 日至 2011 年 1 月 9 日共 1 周一．设计目的1．巩固所学的理论知识。

2．提高综合运用所学理论知识独立分析和解决问题的能力。

3．更好地将理论与实践相结合。

4．掌握信号分析与处理的基本方法与实现。

5．熟练使用MATLAB 语言进行编程实现。

二．设计内容已知四阶归一化低通巴特沃斯模拟滤波器系统函数为()16131.24142.36131.21234++++=s s s s s H a ，编写MATLAB 程序实现从()s H a 设计3dB 截止频率为2π=c w 的四阶低通巴特沃斯数字滤波器。

三．设计要求1、设采样周期为s T 1=，用双线性变换法进行设计；2、绘出滤波器的的幅频响应曲线并分析所得结果是否满足技术指标；3、和同组另一同学采用的脉冲响应不变法设计的结果进行比较分析。

四．设计条件计算机、MATLAB 语言环境五、参考资料[1] 丁玉美，高西全.数字信号处理.西安：电子科技大学出版社，2006.[2] 陈怀琛，吴大正，高西全. MATLAB 及在电子信息课程中的应用.北京：电子科技大学出版社，2003.[3] 楼顺天，李博苗.基于MATLAB的系统分析与设计一信号处理西安：西安电子科技大学出版社，1998.指导教师（签字）：教研室主任（签字）：批准日期：年月日数字滤波器是一种用来过滤时间离散信号的数字系统，通过对抽样数据进行数字处理来达到频域滤波的目的。

本文是设计一个数字低通滤波器。

根据滤波器的设计思想，通过双线性变换法将巴特沃斯模拟低通滤波器变换到数字低通滤波器，利用MATLAB绘制出数字低通滤波器的系统幅频函数曲线。

关键词：数字滤波器；双线性变换法；巴特沃斯；MATLAB1课题描述 (1)2设计原理 (1)2.1 IIR数字滤波器设计原理 (1)2.2巴特沃斯低通滤波器的原理 (2)2.3双线性变换法 (3)3设计过程 (6)4结果分析 (8)总结 (11)参考文献 (12)1课题描述数字滤波器是一种用来过滤时间离散信号的数字系统，通过对抽样数据进行数学处理来达到频域滤波的目的。