逻辑函数及其表示方法 (1)

1
1
ABC ABC ABC ABC
Y ABC ABC ABC ABC
3）已知逻辑函数式画逻辑图
Y ABC ABC ABC
A B
& ABC
C
1
& ABC ≥1
Y
ABC+ ABC+ ABC
1
& ABC
4）已知逻辑图写逻辑函数式
A
A＋B
≥1
B
1
≥1
B
1
A
≥1
A＋B
Y A＋B ＋ A＋B
Ｂ.逻辑表达式：
Y AB CD
Ｃ.逻辑符号：
A
&
B
≥1
Y
C
D
1.1.2 逻辑代数的基本公式
1.1.2 逻辑代数的基本公式
逻辑等式的证明举例：
例1：证明 证明：
A AB A B
分配律
等式的左边 ( A A)( A B)
互补律
=A+B= 等式的右边
逻辑等式的证明举例：
右边＝D E BC 左边
2 .对偶定理
将一个逻辑函数Y进行下列变换： ·→＋，＋ →· 0 → 1，1 →0
所得新函数表达式叫做L的对偶式，用Ｙ′表示
对偶规则的基本内容是：如果两个逻辑函数表达式 相等，那么它们的对偶式也一定相等。基本公式中的 公式l和公式2就互为对偶式。 如:
3 .反演定理
V (V) 5
0 10 20 30 40 50
图1.1 典型的数字信号
t (ms)
２. 数字信号的主要参数
一个理想的周期性数字信号， 可用以下几个参数来描绘： Vm ——信号幅度。
tW ——脉冲宽度。
T ——信号的重复周期。
q ——占空比。其定义为： q(%) tW 100% T
２. 数字信号的主要参数
例1.6 画出下列函数的逻辑图：
L AB AB
解：可用两个非门、 两个与门
和一个或门组成。
AB
A AB＋AB
AB B
例1.7 写出如图所示逻辑图的函数表达式。
解：可由输入至输出逐步 写出逻辑表达式：
AB
BC
L = AB +BC+AC
AC
4. 几种表示方法之间的相互转换
1)已知逻辑函数式求真值表
0
读 取 次 序
则（23)D =（10111)B
复习： 二—十进制码（ BCD码）
BCD码 ——用二进制代码来表示十进制的0～9十个数。
必须用4位二进制代码来表示十进制的0～9十个数码。 4位二进制数有16种组合，可从这16种组合中选择10种
组合分别来表示十进制的0～9十个数。 这就形成了不同的BCD码。
A BC
Y
E
A. 与门真值表
AB C Y
0000 00 10 01 00 01 10 10 00 10 10 11 00 11 11
Ｂ.逻辑表达式：
Y=ABC
Ｃ.逻辑符号：
A B C
&
Y
（2）或运算
A. 或门真值表 AB C Y
当决定一有件高事情出的高几个，条件中， 有这一件个事或情全一 就低个 发以 生出上 。低条件。具备，
把输入逻辑变量所有可能取值的
AB C Y 0 000 0 011
组合代入对应函数式算出其函数值 0 1 0 1
例1.8
0 110 1 001
Y A BC ABC
1 011 1 101
1 111
2）已知真值表写逻辑函数式
AB
C
Y
00
0
0
00
1
1
01
0
1
01
1
0
10
0
0
10
1
1
11
0
0
11
复习： 二—十进制码（ BCD码）
1.1.1 逻辑代数的基本运算 １. 逻辑代数：
由英国数学家乔治.布尔 1849 提出
描述客观事物因果关系的一种数学方法
也称为( 布尔代数, 开关代数 ) 二值逻辑(数理逻辑) 多值逻辑(模糊逻辑) 形式逻辑(语言逻辑) 辩证逻辑(动态逻辑)
1938年应用于电话继电器开关电路,而后用作计算机的数学工具
应用反演规则求反函数时注意： （1）保持运算的优先顺序不变，必要时加括号； （2）变换中，几个变量的公共非号保持不变；
1.2 逻辑函数
１. 逻辑函数的建立
如果以逻辑变量作为输入,以运算结果作为输出,
那么当输入变量的取值确定后,输出的取值便唯一
确定, 输出与输入之间构成一种函数关系,
写作:
Y=F(A,B,C,·····)
“非”三种基本运算决定的。
1.2.1 逻辑函数的表示方法
1. 逻辑真值表 2. 逻辑函数式 3. 逻辑图 4. 卡诺图 5. 几种表示方法之间的相互转换
1．真值表 ——将输入逻辑变量的各种可能取值和
相应的函数值排列 在一起而组成的表格。
2．逻辑函数表达式 ——由逻辑变量和“与”、
“或”、 “非”三种运算符所构成的表达式。
实际的矩形波
tr
0.9Um
0.5Um
0.1Um
tw
T
tf
Um
３. 正逻辑与负逻辑
数字信号是一种二值信号，用两个电平（高电平和 低电平）分别来表示两个逻辑值（逻辑1和逻辑0）。
有两种逻辑体制：
正逻辑体制规定：高电平为逻辑1，低电平为逻辑0。 负逻辑体制规定：低电平为逻辑1，高电平为逻辑0。
逻辑1
逻辑1
函数的真值表如表。
0 010 0 100 0 111 1 000 1 011
1 101 1 111
一般地说，若输入逻辑变量A、B、C…的 取值确定以后，输出逻辑变量Y的值也唯一地确定了， 就称Y是A、B、C 的逻辑函数，写作：
Y = f（A，B，C…）
逻辑函数与普通代数中的函数相比较，有两个 突出的特点： （1）逻辑变量和逻辑函数只能取两个值0和1。 （2）函数和变量之间的关系是由“与”、“或”、
Ｃ.逻辑符号：
３. 复合逻辑运算
（3）异或
Ａ.真值表
输入相异，输出为高
Ｂ.逻辑表达式：
L A B AB AB
Ｃ.逻辑符号：
（4）同或
Ａ.真值表
A
B
L
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
输入相同，输出为高
Ｂ.逻辑表达式：
L=A⊙B= A B A B
Ｃ.逻辑符号：
A
=
L
B
（5）与或非
A B
逻辑网络
Y
C
例1.４
三个人表决一件事情，结果按“少数服从多数”的原则 决定，试建立该逻辑函数。
第一步：设置自变量和因变量。
AB C Y
第二步：状态赋值。
0 000
对于自变量A、B、C 设：
同意为逻辑“1”， 不同意为逻辑“0”。
对于因变量Y 设：
事情通过为逻辑“1”， 没通过为逻辑“0”。 第三步：根据题义及上述规定列出
111ຫໍສະໝຸດ 0 1101
1
1 00
1
1
1
1 10
0
0
0
1.1.3 逻辑代数的基本定理
1 .代入定理
对于任何一个逻辑等式，以某个逻辑变量 （或逻辑函数）同时取代等式的两端任何一个 逻辑变量后，等式依然成立。
已知： ABC A BC 令：A＝D＋E
则： 左边＝(D E)BC D E BC
由真值表转换为函数表达式的基本方法：
第一步：
写出函数值为1的乘积项； 1用原变量表示 0用反变量表示
第二步：
将所有使函数值为1 的乘积项相加；
例如:
由“三人表决”函数的真值表可写出逻辑表达 式：
AB C Y 0 000 0 010 0 100 0 111 1 000 1 011
Y ABC ABC ABC ABC
将一个逻辑函数Y进行下列变换： ·→＋，＋ →·； 0 → 1，1 → 0
原变量 → 反变量， 反变量 → 原变量。
所得新函数表达式叫做Y 的反函数，用 Y 表示。
利用反演规则，可以方便地求得一个函数的反函数
例1. 3 求以下函数的反函数：
Y ABC D
解：
Y A＋B＋C D
＝A B C D
例2：证明 AB AC BC AB AC
互补律
证明：等式的左边 AB AC ( A A)BC
分配律
AB AC ABC ABC
吸收律
AB AC =等式的右边
逻辑等式的证明举例：
例3：证明 AB A B
A B A B A B AB
0 01
(10011.101)B ＝1×24＋0×23＋0×22＋1×21＋1×20＋1×2－1＋0×2－2＋1×2－3 ＝（19.625)D
例1.2 将十进制数23转换成二进制数。
解： 整数：用“除2取余逆排”法转换
2 23 ………余1 b0 2 11 ………余1 b1 2 5 ………余1 b2 2 2 ………余0 b3 2 1 ………余1 b4
ABC ABC
1 1 0 1 ABC 1 1 1 1 ABC
例1.5 列出下列函数的真值表：
Y AB AB
解：
该函数有两个变量， 有4种取值的可能组合， 计算出每组的函数值， 将他们按顺序排列起来 即得真值表。