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逻辑函数及其表示方法 (1)

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逻辑函数表示方法与运算方法

逻辑函数表示方法与运算方法

逻辑函数表达式具有多样性： 如：Y=A+B+C=ABC。 逻辑表达式的几种常见形式：
与或式： Y=AB+BC 或与式： Y=（A+B）（B+C） 与非-与非式：Y=AB BC 与或非式： Y=A B+B C 或非-或非式：Y=A+B + B+C
运算的优先级别：括号→非运算→与运算→或运算
3.逻辑图 : 用逻辑符号表示逻辑表达式的逻辑运算关系的图。逻辑
·<——> + 1 <——>0
F
+ <——> · 0 <——>1
F
Z <——> Z
注意事项：
变换过程中要保持原式中逻辑运算的优先顺序；不是 一个变量上的反号应保持不变。
例：写出下列逻辑函数的反函数。
（1）
F AB CD
（2）
F (A B) (C D)
F ABC DE
F AB CDE
4.常用公式： 利用上面的公理、定律、规则可以得到一些常用公式。
（4）0 1 律 1·A=A ；A+0=A ；0·A=0 ；A+1=1
（5）互补律
A A 0; A A 1
（6）重叠律 A ·A = A ； A + A =A
（7）还原律 A A
（8）反演律—摩根定律
A B A B; A B A B
证明：反演律—摩根定律
A
B
AB A B
0
0
1
1
0
1
1
1
1
逻辑函数表示方法与运算方法
逻辑函数：输入逻辑变量和输出逻辑变量之间的函数关系 称为逻辑函数， Y = F(A、B、C、D…) A、B、C、D输入逻辑变量
逻辑函数及其表示方法

逻辑函数及其表示方法


C 0 1 0 1 0 1 0 1
上页
Y 0 0 0 1 0 1 1 1
下页 返回
输出变量Y
为1表示通过， 为0表示没通过。
第四节 逻辑函数及其表示方法
2.逻辑函数式
三人表决电路真值表
把输入与输出之间的逻辑关系
A B 0 0 写成与、或、非等运算的组合式， 0 0 就得到了逻辑函数式。 0 1 0 1 根据电路功能的要求和与、或的逻辑定义， 1 0 三人表决电路的逻辑函数式为： 1 0 1 1 1 1
0 1 2 3 4 5 6 7
上页
M0 M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7
下页 返回
第四节 逻辑函数及其入变量的任何取值下必有一个最大项，
而且仅有一个最大项的值为0。 2. 全体最大项之积为0。 3. 任意两个最大项的和为1。 4. 只有一个变量不同的两个最大项的乘积， 等于各相同变量之和。
2.最大项
定义：在n变量逻辑函数中，若M为n个变量之和， 而且这几个变量均以原变量或反变量的形式在M中 出现一次， 则称M 为该组变量的最大项。
n变量的最大项应为2n个。
输入变量的每一组取值， 都使一个对应的最大项的值等于0。
上页
19
下页
返回
第四节 逻辑函数及其表示方法
三变量最大项的编号表
最大项
使最大项为0的变量取值
上页
8
Y
下页
返回
第四节 逻辑函数及其表示方法
4.各种表示方法间的互相转换
从真值表写出逻辑函数式
一般方法：
（1）找出真值表中使逻辑函数为1的那些输入变量 取值的组合。
（2）每组输入变量取值的组合对应一个乘积项，
其中取值为 1 的写入原变量，
6.逻辑函数及其表示方法

6.逻辑函数及其表示方法


2.6.2
逻辑函数的表示方法
逻辑函数的表示方式有： （1）逻辑函数表达式 （2）真值表 （3）逻辑图 （4）波形图 （5）卡诺图
2.6.2
逻辑函数的表示方法
（1）逻辑函数表达式：把输出与输入之间的 逻辑关系写成或、与、非等运算的组合式 即逻辑代数式，就得到了所需的逻辑函数 式。 例如：
写出图示电路的逻辑函数式。
【例】求函数的最简与—或表达式。
F(A, B, C, D) (A D)(B D)(A B)
2.5.5
逻辑函数化简中的若干问题
1．具有无关最小项的逻辑函数的化简问题 （1）约束、约束项和约束条件。 （2）具有无关最小项的逻辑函数的表示方法 （3）具有无关最小项的逻辑函数的化简。
2．具有多个输出逻辑函数的化简问题
（2）标准与—或表达式：由最小项相或构成 的逻辑表达式称为标准与—或表达式，也 叫最小项之和的标准式。 举例说明：
2）逻辑函数的化简：
（1）化简的意义： （a）表达式越简单，它所表示的逻辑关系越明 显。 （b）可以用最少的逻辑门电路来实现这个逻辑 函数，能提高可靠性。 （2）最简的概念： （a）在与—或逻辑式中所包含的乘积项最少； （b）每个乘积项中所包含的因子的个数最少。
2．用卡诺图表示逻辑函数
（1）若逻辑函数的表达式为最小项之和的标准式， 则只要在卡诺图上将最小项对应的小方格标以1 （简称1方格），把剩余的小方格标以0（简称0方 格）即可。 （2）逻辑函数若由真值表给出，则直接根据真值表 在卡诺图中填写，函数值为1的填1，为0的填0 （可省略）。 （3）如给出的是一般逻辑函数表达式，首先将逻辑 函数表达式转换成与或表达式（不必换成最小项 之和形式），然后在卡诺图中把每一个乘积项所 包含的那些最小项（该乘积项就是这些最小项的 公因子）处填1，然后叠加起来，而剩下的填0 （可省略）。
逻辑函数及其表示方法(案例分析)

逻辑函数及其表示方法(案例分析)

逻辑函数及其表示方法(案例分析)表示一个逻辑函数有多种方法，常用的有：真值表、逻辑函数式、逻辑图等3种。

它们各有特点，有相互联系，还可以相互转换，现介绍如下：1.真值表 真值表时根据给定的逻辑问题，把输入逻辑变量各种可能取值的组合和对应的输出函数值排列成的表格。

它表示了逻辑函数与逻辑变量各种取值之间的一一对应关系。

逻辑函数的真值表具有唯一性。

若两个逻辑函数具有相同的真值表，则两个逻辑函数必然相等。

当逻辑函数有n 个变量时，共有2n 个不同变量取值组合。

在列真值表时，为避免遗漏，变脸取值的组合一般按n 位自然二进制数递增顺序列出。

用真值表表示逻辑函数的优点是直观、明了，可直接看成逻辑函数值和变量取值的关系。

例： 试列出逻辑函数B A AB Y +=的真值表。

解：该逻辑函数有2个输入变量，就有22=4种取值。

把输入变量A 、B 的每种取值情况分别代入B A AB Y +=中，进行逻辑运算，求出逻辑函数值，列入表中，就得到Y 的真值表。

表 1 Y=AB+AB 的真值表2.逻辑函数式 逻辑函数式时用与、或、非等 逻辑运算来表示输入变量和输出函数间因果关系的逻辑函数式。

由真值表直接写出的逻辑式是标准的与-或表达式。

写标准与-或表达式的方法是：(1)把任意一组变量取值中的1代以原变量，0代以反变量，由此得到一组变量的与组合，如A 、B 、C 三个变量的取值为001，则代换后得到变量与组合为C B A 。

(2)把逻辑函数值为1所对应的各变量的与组合进行逻辑加，便得到标准的与-或逻辑式。

3.逻辑图逻辑图是用基本逻辑门和符合逻辑门的逻辑符号组成的对应于某一逻辑功能的电路图。

根据逻辑函数式画逻辑图时，只要把逻辑函数式中各逻辑运算用对应门电路的逻辑符号代替，可以画出和逻辑函数对应的逻辑图。

逻辑函数的表示方法

逻辑函数的表示方法


2021/8/13
3
2. 真值表
表1-11 逻辑函数的真值表
真值表是将输入逻辑变
量的所有可能取值与相应的
ABC
Y
000
0
输出变量函数值排列在一起
001
0
而组成的表格。
010
0
1个输入变量有0和1两
BC
011 100
1 0
种取值，
AC 1 0 1
1
n个输入变量就有2n个 AB 不同的取值组合。
110 111
1 1
例：逻辑函数 Y=AB+BC+AC
三个输入变量，八种取值组合
2021/8/13
4
真值表的特点：
ABC
Y
① 唯一性;
000
0
001
0
② 按自然二进制递增顺 0 1 0
0
序排列（既不易遗漏，也不 0 1 1
1
会重复 ）。
100
0
101
1
③ n个输入变量就有2n个 1 1 0
1
不同的取值组合。
111
ABL
001
AB
010
L=AB+AB
1002021/8/13 Nhomakorabea1
1
1
AB
7
4. 逻辑图 用相应的逻辑符号将逻辑表达式的逻辑运算关系
表示出来，就可以画出逻辑函数的逻辑图。
ABL 001 010 100 111
2021/8/13 图1-10 图1-9电路的逻辑图
L=AB+AB
8
数字电子技术
图1-9 控制楼梯照明灯 的电路
ABL 001 010 100 111
逻辑函数的五种表示方法

逻辑函数的五种表示方法

逻辑函数的五种表示方法
逻辑函数是计算机科学中的重要概念，它是由逻辑变量和逻辑运算符组成的表达式。

逻辑函数可以用五种不同的方式来表示，分别是真值表、逻辑表达式、卡诺图、逻辑电路和逻辑方程。

1. 真值表
真值表是逻辑函数最基本的表示方法，它列出了所有可能的输入组合和对应的输出值。

真值表可以直观地展示逻辑函数的行为，但是对于复杂的逻辑函数，真值表会变得非常庞大，难以处理。

2. 逻辑表达式
逻辑表达式是逻辑函数的一种代数表示方法，它使用逻辑运算符和逻辑变量来表示逻辑函数。

逻辑表达式可以简化逻辑函数，使得它更易于理解和处理。

逻辑表达式可以使用布尔代数和卡诺图等方法来求解。

3. 卡诺图
卡诺图是一种图形化的逻辑函数表示方法，它使用方格和不同颜色的区域来表示逻辑函数。

卡诺图可以用来简化逻辑函数，减少逻辑门的数量，从而降低电路的成本和功耗。

卡诺图可以用来求解布尔代数和逻辑表达式。

4. 逻辑电路
逻辑电路是逻辑函数的一种物理表示方法，它使用逻辑门和电子元件来实现逻辑函数。

逻辑电路可以用来控制计算机和其他电子设备的行为。

逻辑电路可以使用逻辑表达式和卡诺图等方法来设计和优化。

5. 逻辑方程
逻辑方程是逻辑函数的一种代数表示方法，它使用逻辑变量和逻辑运算符来表示逻辑函数。

逻辑方程可以用来求解逻辑表达式和卡诺图，从而简化逻辑函数。

逻辑方程可以使用布尔代数和其他代数方法来求解。

逻辑函数的表示方法及相互转换

逻辑函数的表示方法及相互转换


2. 逻辑式→真值表
ABC Y 00 0 0
Y A B C A BC
00 1 1 01 0 1
当A=0，B=0，C=0时，
23 8
Y 0 0 0 0 0 0 0
01 1 0 10 0 1 10 1 1
11 0 1
11 1 1
二 逻辑函数的相互转换
3. 逻辑式→逻辑图
方法：用逻辑符号代替逻辑式中的运算符号,就可以画出逻辑图。
逻辑函数的表示 方法及相互转换
一 逻辑函数的表示方法
1. 逻辑函数的表示
如果以逻辑变量作为输入，以运算结果作为输出， 当输入变量的取值确定之后，输出变量的取值便随之 而定。输出与输入之间的函数关系称为逻辑函数。
可表示为：Y=F(A,B,C,…)
一 逻辑函数的表示方法
2. 逻辑函数的表示方法有5种
（1）逻辑真值表（真值表）
（2）逻辑函数式（逻辑式或函数式）
（3）逻辑图
（4）波形图
（5）卡诺图
它们之间可以相互转换。
一 逻辑函数的表示方法
①逻辑真值表
唯一性
Y＝A•B
A
B
Y
0
00
0
10
1
00
1
11
一 逻辑函数的表示方法
②逻辑函数表达式
Y＝A•B+A•C 不具有唯一性 简洁、便于化简和转换
一 逻辑函数的表示方法
例：Y A B A B
A B
A
A B
B
二 逻辑函数的相互转换
4. 逻辑图→逻辑式
方法：从输入端到输出端逐级写出每个逻辑符号对应的逻辑式， 即得到对应的逻辑函数式。
G1
例：
G2
逻辑函数的逻辑功能的五种表示方法(一)

逻辑函数的逻辑功能的五种表示方法(一)

逻辑函数的逻辑功能的五种表示方法(一)逻辑函数的逻辑功能的五种表示逻辑函数是数学中的一种特殊函数，它主要用于描述不同条件下的逻辑关系。

逻辑函数的逻辑功能可以用多种方式表示，下面将详细介绍五种常见的表示方法。

1. 真值表表示真值表是逻辑函数最常见的一种表示方法，它用表格的形式展示了逻辑函数在不同输入条件下的输出结果。

对于一个逻辑函数，输入条件可以有多个，每个输入条件都有两种可能的取值：真（1）或假（0）。

真值表根据所有可能的输入条件和对应的输出结果，列出了逻辑函数的所有情况。

以与门（AND gate）为例，它的真值表如下所示：输入1 | 输入2 | 输出 ||||——| | 0 | 0 | 0 | | 0 | 1 | 0 | | 1 | 0 | 0 | | 1 |1 | 1 |2. 真值公式表示真值公式是逻辑函数的另一种常见表示方法，它通过逻辑运算符和逻辑变量来描述逻辑函数的逻辑关系。

逻辑运算符包括与（∧）、或（∨）和非（¬），逻辑变量表示逻辑函数的输入条件。

对于与门来说，它的真值公式可以表示为：输出 = 输入1 ∧ 输入2。

3. 简化逻辑公式表示简化逻辑公式是在真值公式的基础上，经过化简处理得到的一种简化形式。

化简的目的是通过逻辑代数的运算规则，将逻辑函数表示为更简洁的形式。

继续以与门为例，其真值公式为：输出 = 输入1 ∧ 输入2。

通过逻辑代数的化简规则，可以将其简化为：输出 = 输入 1 × 输入2。

4. 逻辑图表示逻辑图是一种图形化的表示方法，使用逻辑门和连接线来表示逻辑函数的逻辑关系。

逻辑门有与门、或门和非门等，连接线表示逻辑变量之间的输入输出关系。

与门的逻辑图如下所示：and_gateand_gate5. 逻辑符号表示逻辑符号是逻辑函数的一种特殊表示方法，它使用特定的符号来表示逻辑运算符和逻辑变量。

常见的逻辑符号包括∧（与）、∨（或）和¬（非）等。

同样以与门为例，它的逻辑符号表示为：输出 = 输入1 ∧ 输入2。

2.2逻辑函数及其描述方法

2.2逻辑函数及其描述方法


∏
0
2n −1
( fi + M
i
)
东南大学信息科学与工程学院
2.2.7 非完全定义逻辑函数的描述 约束项和任意项的概念 交通灯状态表
R(红) 0 0 0 0 1 1 1 1 Y(黄) 0 0 1 1 0 0 1 1 G(绿) 0 1 0 1 0 1 0 1 Z 0 1 1 × 1 × 1 ×
东南大学信息科学与工程学院
东南大学信息科学与工程学院
三人表决器电路的真值表
A B C 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 F 0 0 0 1 0 1 1 1
F = ABC + ABC + ABC + ABC
东南大学信息科学与工程学院
逻辑函数式→真值表 ： 将输入变量取值的所有组合状态逐一代入逻辑函数式求出函数 值，列成表 例：异或电路 F = AB+ AB 异或电路真值表
B1
& >=1
F = B8 + B4 B2 + B4 B1 B8 B4 + B8 B2 = 0
B4
F
&
B2
B8
东南大学信息科学与工程学院
B4 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1
B2 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1
B1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
F 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 × × × × ×
1 × 东南大学信息科学与工程学院
非完全定义逻辑函数的实现 方法：加约束条件 加约束条件：Σd(10,11,12,13,14,15) = 0
数电第4讲

数电第4讲


例: Y = A B + C D E
Y = ( A + B)(C + D + E )
Y = A ⋅ B ⋅C ⋅ D ⋅ E
Y = A+ B +C + D+ E
3、对偶规则：对于任何一个逻辑表达式Y，如果将表达式中的 、对偶规则 所有“·”换成“＋”，“＋”换成“·”，“0”换成“1”，“1”换成 “0”，而变量保持不变 变量保持不变，则可得到的一个新的函数表达式Y＇， 变量保持不变 Y＇称为函Y的对偶函数。这个规则称为对偶规则。例如：
A ⋅ B = B ⋅ A 交换律： A + B = B + A A ⊕ B = B ⊕ A ( A ⋅ B ) ⋅ C = A ⋅ ( B ⋅ C ) A ⊕ ( B ⊕ C ) = ( A ⊕ B) ⊕ C 结合律： ( A + B ) + C = A + ( B + C )
A ⋅ (B + C) = A ⋅ B + A ⋅ C A( B ⊕ C ) = AB ⊕ AC 分配律： A + B ⋅ C = ( A + B) ⋅ ( A + C )
( AC ) B = AC + B = A + B + C
2、 反演规则 、 反演规则：对于任何一个逻辑表达式Y，如果将表达式中 的所有“·”换成“＋”，“＋”换成“·”，“0”换成“1”，“1” 换成“0”，原变量换成反变量 ， 反变量换成原变量 ( 注：不是单 原变量换成反变量， 反变量换成原变量( 变量上的非号不变） 变量上的非号不变），那么所得到的表达式就是函数Y的反函数 Y（或称补函数）。这个规则称为反演规则。
逻辑函数的表示方法

逻辑函数的表示方法

《电子技术》知识点：逻辑函数的表示方法逻辑函数定义: 用有限个与、或、非等逻辑运算符，应用逻辑关系将若干个逻辑变量A 、B 、C 等连接起来，所得的表达式称为逻辑函数。

F (A ，B)=A +B F (A ，B ，C )=A +BC输出变量 逻辑函数的表示方法： 逻辑图逻辑表达式波形图 真值表 输入变量例：三个人表决一件事情，结果按“少数服从多数”的原则决定。

试建立该问题的逻辑函数。

A BC F 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 11 0 0 0 三个人意见分别用逻辑变量A 、B 、C 表示 表决结果用逻辑变量F 表示 同意为逻辑1，不同意为逻辑0。

表决通过为逻辑1， 不通过为逻辑0。

1.真值表F =(A ，B )=A +B F =(A ，B ，C )=A +BC 输出变量 逻辑函数的表示方法： 逻辑图逻辑表达式 波形图 真值表 例：三个人表决一件事情，结果按“少数服从多数”的原则决定。

试建立该问题的逻辑函数。

A B C F 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1.真值表 2.逻辑函数表达式 ∙ 找出函数值为1的项。

∙ 每个函数值为1的输入变量取值组合写成一个乘积项。

∙ 这些乘积项作逻辑加。

F= ABC+ABC+ABC +ABC输入变量取值为1用原变量表示;反之，则用反变量表示ABC 、ABC 、ABC 、ABC 。

1 0 1 1 1 1 1 03.逻辑图F= ABC+ABC+ABC +ABC 乘积项用与门实现和项用或门实现4.波形图ABF &CAB&CAB &CAB &C≥1ABCF逻辑函数的表示方法∙ 函数表达式的五种常用形式 “与―或”式 =++(A C)(A B)“或―与”式 =∙AB A C“与非―与非”式 =+++A C A B “或非―或非”式=+∙∙A C A B“与―或―非”式 ∙ 表达式形式转换 F (A ，B ，C ) = AB + AC基本 形式 例如函数 F = AB + AC=++(A C)(A B)=∙AB A C =+++A C A B= AB + AC 1.与-或表达式转换为或-与表达式 F = AB + AC = AA + AB +AC +BC= (A +C ) (A + B ) 吸收率 互补率 = A (A + B )+C (A +B )2.与-或表达式转换为与非—与非表达式 =AB + AC 还原率F = AB + AC= AB • AC反演率3.或-与表达式转换为或非—或非表达式F = (A +C ) (A + B )= (A +C ) (A + B ) = A +C + A + B 反演率还原率4.或-与表达式转换为与-或-非表达式 反演率 还原率 = A C + A B F = (A +C ) (A + B ) = (A +C ) (A + B ) = A +C + A + B逻辑函数的标准形式n 个变量有2n 个最小项，记作m i 。

逻辑函数及其表示方法

逻辑函数及其表示方法一、规律函数假如以规律变量作为输入，以运算结果作为输出，当输入变量的取值确定之后，输出的取值便随之而定。

输出与输入之间的函数关系称为规律函数。

Y=F(A,B,C,…)任何一件详细的因果关系都可以用一个规律函数来表示。

二、规律函数表示方法1、规律真值表用来反映变量全部取值组合及对应函数值的表格。

例如，在一个判奇电路中，当A、B、C三个变量中有奇数个1时，输出Y为1；否则，输出Y为0。

2、规律函数式把规律函数的输入、输出关系写成与、或、非等规律运算的组合式，即规律代数式，又称为规律函数式，通常采纳“与或”的形式。

3、规律图：由规律门电路符号构成，表示规律变量之间关系的图形称为规律电路图。

不同描述方法之间的转换：1、表达式→真值表首先按自然二进制码的挨次列出全部规律变量的不同取值组合，确定出相应的函数值。

2、真值表→表达式将真值表中为1的项相加,写成“与或式”。

3、规律函数式→规律图方法:用图形符号代替规律式中的运算符号,就可以画出规律图。

4、规律图→表达式方法:从输入端到输出端逐级写出每个图形符号对应的规律式，即得到对应的规律函数式。

5、波形图→真值表三、规律函数的两种标准形式最小项:在n变量规律函数中，若m为包含n个因子的乘积项，而且这n个变量都以原变量或反变量的形式在m 中消失，且仅消失一次，则这个乘积项m称为该函数的一个标准乘积项，通常称为最小项。

最小项的性质:①任意一个最小项，只有一组变量取值使其值为1；②任意两个不同的最小项的乘积必为0；③全部最小项的和必为1；④具有相邻性的两个最小项可以合并，并消去一对因子。

最大项: 在n变量规律函数中，若M为包含n个因子的和项，而且这n个变量都以原变量或反变量的形式在M 中消失，且仅消失一次，则这个和项M称为该函数的一个标准和项，通常称为最大项。

n个变量有2n个最大项，记作Mi。

最大项的性质：①在输入变量的任何取值下必有一个最大项且仅有一个最大项的值为0；②全体最大项之积为0；③任意两个最大项之和为1；④只有一个变量不同的两个最大项的乘积等于各相同变量之和。

4逻辑函数及其表示方法


Y AB AB
二、逻辑函数的表示方法
设某一逻辑网络的输入逻辑变量为A1、 A2、…、An，输出逻辑变量为F。若A1、 A2、…、An的值被确定后，F的值就唯一 地被确定下来，则F和A1、A2、…、An之 间存在的因果关系称为逻辑关系。一个确 定的逻辑关系通常可以采用以下几种表示 方法：
逻辑式
取值为 0 的用反变量代替，则得到一系列与项。 (3)将这些与项相加即得逻辑式。
例如
A
B
C
Y
0 0
0 0
0 1
1 0
逻辑式为
0
1
0
0
0
1
1
0
1
0
0
0
1
0
1
0
ABC
1
1
0
0
1
1
1
1
3. 逻辑图 例如
由逻辑符号及相应连线构成的电路图。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
画
的逻辑图
反变量用非门实现
相加项用或门实现
与项用与门实现
运算次序为先非后与再或，因此用三级电路实现之。
( A B)(A B)C AB
ABC ABC AB
F(A, B,C) ABC ABC AB(C C)
ABC ABC ABC ABC
m3 m5 m7 m6 m(3,5,6,7)
二、最大项的定义和性质
1、定义：
在逻辑函数中，如果一个或项包含该逻辑函数的全部变量 且每个变量在该或项（和项）中 (以原变量或反变量）只 出现一次。这样的乘积项称为这 n 个变量的最大项，也称 为 n 变量逻辑函数的最大项。
在同一逻辑关系的各种表示方法中，真值表、卡诺图、 时序图具有唯一性，而逻辑函数表达式和逻辑图则具有多 样性。通常检查两个逻辑关系是否“相等”的办法是看他 们的真值表是否完全相同。

逻辑函数的基本概念和表示方法

逻辑函数的基本概念和表示方法一、基本概念1. 逻辑函数：逻辑函数也被称为逻辑电路或逻辑代数，是一种用于表示和处理逻辑关系的数学系统。

它适用于描述和处理诸如开关状态、控制信号、判断结果等逻辑关系。

2. 逻辑变量：逻辑变量是逻辑函数的基本元素，通常用真假两种状态或0和1两种符号表示。

常见的逻辑变量包括基本逻辑门（如与门、或门、非门等）的输出。

3. 逻辑状态：逻辑状态是描述逻辑变量在特定条件下所处的一种状态或条件。

它可以是确定性的（如某个输入为高电平），也可以是不确定性的（如某个输入存在高电平和低电平的转换）。

二、表示方法1. 真值表：真值表是一种直观的表格形式，用于表示逻辑函数的所有可能输入和输出组合。

通过真值表，可以明确逻辑函数在所有可能输入下的输出结果，进而了解其逻辑关系。

2. 逻辑函数表达式：逻辑函数表达式是以代数方式表示逻辑函数的方式，通常采用逻辑运算符（如与、或、非）和变量符号进行表达。

通过逻辑函数表达式，可以明确逻辑函数的逻辑关系，并进行计算和分析。

3. 逻辑图：逻辑图是一种图形化的表示方式，通过使用基本逻辑门（如与门、或门、非门等）的图形符号，表示逻辑函数的输入、输出以及内部逻辑关系。

逻辑图便于理解和分析复杂逻辑系统的结构。

4. 卡诺图：卡诺图是一种用于分析和简化逻辑函数的图形工具。

它以逻辑变量的所有可能组合的形式，表示逻辑函数的约束条件。

通过卡诺图分析逻辑函数，可以简化逻辑表达式，并确定满足约束条件的所有可能输出组合。

总结：逻辑函数是用于表示和处理逻辑关系的数学系统，通过真值表、逻辑函数表达式、逻辑图和卡诺图等表示方法，可以明确逻辑关系、进行计算和分析、理解和分析复杂逻辑系统的结构。

在实际应用中，根据需要选择合适的表示方法，有助于更好地理解和应用逻辑函数。

1. 在分析和设计逻辑电路时，应结合实际情况选择合适的表示方法，以便更好地描述和处理逻辑关系。

2. 真值表适用于简单逻辑函数的直观表达，对于复杂逻辑函数，使用逻辑函数表达式和逻辑图更为方便。

逻辑函数的表示方法及相互转换


自变量 因变量
ABC
F
2)从真值表写标准和之积式A+B+C 0 0 0 0
A+B+C
001
0
找出F = 0的行；
A+B+C
编号
M7 M6 M5 M4 M3 M2 M1 M0
３. 最小项与最大项的性质
全部最小项之和恒为1，全部最大项之积恒
为0。
2n 1
mi 1,
i0
2n 1
Mi 0
i0
任意两个不同的最小项之积恒为0，任意两
个不同的最大项之和恒为1。
mi·mj =0， Mi+Mj=1 相同下标的最小项和最大项互为反函数。
逻辑函数的表示方法 及相互转换
一、逻辑函数的表示方法 真值表描述法 逻辑函数式描述法 逻辑电路图表示法 卡诺图描述法、波形图表示
逻辑函数的描述方法
《数字电子技术基础》第六版
• 真值表 • 逻辑式 • 逻辑图 • 波形图 • 卡诺图 • 计算机软件中的描述方式
各种表示方法之间可以相互转换
《数字电子技术基础》第六版
即：和项都是最大项的或与式。
例：F(A,B,C)
=(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)
=M1M2M4M6
最大项表达式
=M(1,2,4,6)
５ 标准积之和式与标准和之积式的关系
同一函数的两种不同表示形式； 序号间存在一种互补关系，即：
最小项表达式中未出现的最小项的下标必然出现在最 大项表达式中，反之亦然。
相同自变量、相同序号构成的最小项表 达式和最大项表达式互为反函数
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1
1
ABC ABC ABC ABC
Y ABC ABC ABC ABC
3）已知逻辑函数式画逻辑图
Y ABC ABC ABC
A B
& ABC
C
1
& ABC ≥1
Y
ABC+ ABC+ ABC
1
& ABC
4）已知逻辑图写逻辑函数式
A
A＋B
≥1
B
1
≥1
B
1
A
≥1
A＋B
Y A＋B ＋ A＋B
Ｂ.逻辑表达式：
Y AB CD
Ｃ.逻辑符号：
A
&
B
≥1
Y
C
D
1.1.2 逻辑代数的基本公式
1.1.2 逻辑代数的基本公式
逻辑等式的证明举例：
例1：证明 证明：
A AB A B
分配律
等式的左边 ( A A)( A B)
互补律
=A+B= 等式的右边
逻辑等式的证明举例：
右边＝D E BC 左边
2 .对偶定理
将一个逻辑函数Y进行下列变换： ·→＋，＋ →· 0 → 1，1 →0
所得新函数表达式叫做L的对偶式，用Ｙ′表示
对偶规则的基本内容是：如果两个逻辑函数表达式 相等，那么它们的对偶式也一定相等。基本公式中的 公式l和公式2就互为对偶式。 如:
3 .反演定理
V (V) 5
0 10 20 30 40 50
图1.1 典型的数字信号
t (ms)
２. 数字信号的主要参数
一个理想的周期性数字信号， 可用以下几个参数来描绘： Vm ——信号幅度。
tW ——脉冲宽度。
T ——信号的重复周期。
q ——占空比。其定义为： q(%) tW 100% T
２. 数字信号的主要参数
例1.6 画出下列函数的逻辑图：
L AB AB
解：可用两个非门、 两个与门
和一个或门组成。
AB
A AB＋AB
AB B
例1.7 写出如图所示逻辑图的函数表达式。
解：可由输入至输出逐步 写出逻辑表达式：
AB
BC
L = AB +BC+AC
AC
4. 几种表示方法之间的相互转换
1)已知逻辑函数式求真值表
0
读 取 次 序
则（23)D =（10111)B
复习： 二—十进制码（ BCD码）
BCD码 ——用二进制代码来表示十进制的0～9十个数。
必须用4位二进制代码来表示十进制的0～9十个数码。 4位二进制数有16种组合，可从这16种组合中选择10种
组合分别来表示十进制的0～9十个数。 这就形成了不同的BCD码。
A BC
Y
E
A. 与门真值表
AB C Y
0000 00 10 01 00 01 10 10 00 10 10 11 00 11 11
Ｂ.逻辑表达式：
Y=ABC
Ｃ.逻辑符号：
A B C
&
Y
（2）或运算
A. 或门真值表 AB C Y
当决定一有件高事情出的高几个，条件中， 有这一件个事或情全一 就低个 发以 生出上 。低条件。具备，
把输入逻辑变量所有可能取值的
AB C Y 0 000 0 011
组合代入对应函数式算出其函数值 0 1 0 1
例1.8
0 110 1 001
Y A BC ABC
1 011 1 101
1 111
2）已知真值表写逻辑函数式
AB
C
Y
00
0
0
00
1
1
01
0
1
01
1
0
10
0
0
10
1
1
11
0
0
11
复习： 二—十进制码（ BCD码）
1.1.1 逻辑代数的基本运算 １. 逻辑代数：
由英国数学家乔治.布尔 1849 提出
描述客观事物因果关系的一种数学方法
也称为( 布尔代数, 开关代数 ) 二值逻辑(数理逻辑) 多值逻辑(模糊逻辑) 形式逻辑(语言逻辑) 辩证逻辑(动态逻辑)
1938年应用于电话继电器开关电路,而后用作计算机的数学工具
应用反演规则求反函数时注意： （1）保持运算的优先顺序不变，必要时加括号； （2）变换中，几个变量的公共非号保持不变；
1.2 逻辑函数
１. 逻辑函数的建立
如果以逻辑变量作为输入,以运算结果作为输出,
那么当输入变量的取值确定后,输出的取值便唯一
确定, 输出与输入之间构成一种函数关系,
写作:
Y=F(A,B,C,·····)
“非”三种基本运算决定的。
1.2.1 逻辑函数的表示方法
1. 逻辑真值表 2. 逻辑函数式 3. 逻辑图 4. 卡诺图 5. 几种表示方法之间的相互转换
1．真值表 ——将输入逻辑变量的各种可能取值和
相应的函数值排列 在一起而组成的表格。
2．逻辑函数表达式 ——由逻辑变量和“与”、
“或”、 “非”三种运算符所构成的表达式。
实际的矩形波
tr
0.9Um
0.5Um
0.1Um
tw
T
tf
Um
３. 正逻辑与负逻辑
数字信号是一种二值信号，用两个电平（高电平和 低电平）分别来表示两个逻辑值（逻辑1和逻辑0）。
有两种逻辑体制：
正逻辑体制规定：高电平为逻辑1，低电平为逻辑0。 负逻辑体制规定：低电平为逻辑1，高电平为逻辑0。
逻辑1
逻辑1
函数的真值表如表。
0 010 0 100 0 111 1 000 1 011
1 101 1 111
一般地说，若输入逻辑变量A、B、C…的 取值确定以后，输出逻辑变量Y的值也唯一地确定了， 就称Y是A、B、C 的逻辑函数，写作：
Y = f（A，B，C…）
逻辑函数与普通代数中的函数相比较，有两个 突出的特点： （1）逻辑变量和逻辑函数只能取两个值0和1。 （2）函数和变量之间的关系是由“与”、“或”、
Ｃ.逻辑符号：
３. 复合逻辑运算
（3）异或
Ａ.真值表
输入相异，输出为高
Ｂ.逻辑表达式：
L A B AB AB
Ｃ.逻辑符号：
（4）同或
Ａ.真值表
A
B
L
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
输入相同，输出为高
Ｂ.逻辑表达式：
L=A⊙B= A B A B
Ｃ.逻辑符号：
A
=
L
B
（5）与或非
A B
逻辑网络
Y
C
例1.４
三个人表决一件事情，结果按“少数服从多数”的原则 决定，试建立该逻辑函数。
第一步：设置自变量和因变量。
AB C Y
第二步：状态赋值。
0 000
对于自变量A、B、C 设：
同意为逻辑“1”， 不同意为逻辑“0”。
对于因变量Y 设：
事情通过为逻辑“1”， 没通过为逻辑“0”。 第三步：根据题义及上述规定列出
111ຫໍສະໝຸດ 0 1101
1
1 00
1
1
1
1 10
0
0
0
1.1.3 逻辑代数的基本定理
1 .代入定理
对于任何一个逻辑等式，以某个逻辑变量 （或逻辑函数）同时取代等式的两端任何一个 逻辑变量后，等式依然成立。
已知： ABC A BC 令：A＝D＋E
则： 左边＝(D E)BC D E BC
由真值表转换为函数表达式的基本方法：
第一步：
写出函数值为1的乘积项； 1用原变量表示 0用反变量表示
第二步：
将所有使函数值为1 的乘积项相加；
例如:
由“三人表决”函数的真值表可写出逻辑表达 式：
AB C Y 0 000 0 010 0 100 0 111 1 000 1 011
Y ABC ABC ABC ABC
将一个逻辑函数Y进行下列变换： ·→＋，＋ →·； 0 → 1，1 → 0
原变量 → 反变量， 反变量 → 原变量。
所得新函数表达式叫做Y 的反函数，用 Y 表示。
利用反演规则，可以方便地求得一个函数的反函数
例1. 3 求以下函数的反函数：
Y ABC D
解：
Y A＋B＋C D
＝A B C D
例2：证明 AB AC BC AB AC
互补律
证明：等式的左边 AB AC ( A A)BC
分配律
AB AC ABC ABC
吸收律
AB AC =等式的右边
逻辑等式的证明举例：
例3：证明 AB A B
A B A B A B AB
0 01
(10011.101)B ＝1×24＋0×23＋0×22＋1×21＋1×20＋1×2－1＋0×2－2＋1×2－3 ＝（19.625)D
例1.2 将十进制数23转换成二进制数。
解： 整数：用“除2取余逆排”法转换
2 23 ………余1 b0 2 11 ………余1 b1 2 5 ………余1 b2 2 2 ………余0 b3 2 1 ………余1 b4
ABC ABC
1 1 0 1 ABC 1 1 1 1 ABC
例1.5 列出下列函数的真值表：
Y AB AB
解：
该函数有两个变量， 有4种取值的可能组合， 计算出每组的函数值， 将他们按顺序排列起来 即得真值表。