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定积分概念教案范文教案标题：定积分概念的引入和初步认识一、教学目标1.了解定积分概念的引入背景和发展历程；2.掌握定积分的基本定义；3.能够应用定积分求解简单的几何和物理问题。
二、教学重点1.定积分引入背景和基本概念；2.定积分的基本定义和求解方法。
三、教学难点2.定积分的应用举例。
四、教学准备1.教师准备：教案、黑板、粉笔、教材参考书。
2.学生准备：课前预习教材相关内容，笔记本、笔等。
五、教学过程第一步：导入（10分钟）1.引入背景：告诉学生数学是一门从古至今都有许多人致力于研究的学科，其中有很多重要的概念和定理。
本节课我们将要学习的是定积分概念，它是微积分学中的基本概念之一第二步：展示（15分钟）1.介绍定积分的提出背景和发展历程，如牛顿、莱布尼兹等人对定积分的贡献；2.引入定积分的基本概念：设函数f(x)在闭区间[a,b]上有界，将[a,b]分为n个小区间，每个小区间长度为Δx，用Δx表示。
在每个小区间内任取一点ξi（ξi属于[i-1,i]）并计算f(ξi)Δx，然后将这n 个小区间上的和表示为Σf(ξi)Δx；3. 引入定积分的基本定义：当n趋向于无穷大，并且Δx趋向于0时，如果极限lim(Δx→0)Σf(ξi)Δx存在，且对任意x ∈ [a, b]，极限lim(n→∞)lim(Δx→0)Σf(ξi)Δx存在，那么称该极限为函数f(x)在闭区间[a, b]上的定积分，记作∫[a, b]f(x)dx，即∫[a,b]f(x)dx=lim(n→∞)lim(Δx→0)Σf(ξi)Δx；4.解释定积分的几何意义：定积分表示曲线与x轴所围成的面积。
通过几何图形进行解释和演示。
第三步：练习（25分钟）1.基本练习：通过一些基本的题目来巩固定积分的基本定义和概念的理解；2.综合练习：通过一些实际问题来应用定积分，如求一段弓形所围成的面积、求物体在一定时间内的位移等。
第四步：讲解与总结（15分钟）1.请学生上台分别讲解几个基本练习题的解题思路和方法；2.强调定积分与不定积分的区别：不定积分结果是一个函数表达式，而定积分结果是一个数值；3.总结定积分的基本概念和定义，强调定积分解决实际问题的重要性。
定积分的概念教案一、教学目标：1.了解定积分的定义和计算方法；2.掌握定积分的性质和应用；3.培养学生的数学计算能力和逻辑思维能力。
二、教学内容：1.定积分的定义；2.定积分的计算方法；3.定积分的性质和应用。
三、教学重点：1.定积分的定义；2.定积分的计算方法。
四、教学难点：1.定积分的性质和应用；2.定积分与原函数的关系。
五、教学过程：Step 1 引入教师与学生展开对话，探讨学生对积分的了解：教师：同学们，你们对积分有什么了解？学生：积分就是求和。
教师：不错，积分的确是求和，但是定积分具体是什么呢？我们一起来探讨一下。
Step 2 定积分的定义教师向学生介绍定积分的定义：教师：定积分是微积分的一个重要概念，表示函数曲线与x轴之间的面积。
我们用符号∫来表示定积分，函数f(x)的定积分表示为∫f(x)dx，在积分号下面写上被积函数，dx表示自变量。
Step 3 定积分的计算方法教师通过示例向学生演示定积分的计算方法：教师：我们以函数f(x)=x^2为例，计算f(x)在区间[1,3]上的定积分。
教师在黑板上写下∫(1→3)x^2dx，并进行具体的计算步骤解释。
Step 4 定积分的性质和应用教师向学生介绍定积分的性质和应用，并通过例题进行讲解：教师：定积分具有线性性质、区间可加性和变量替换的性质，同时也可以用于计算面积、体积、质量等。
我们来看一个例题，计算函数f(x)=x在区间[-2,2]上的定积分，并解释其实际意义。
Step 5 定积分与原函数的关系教师引导学生思考定积分与原函数的关系：Step 6 总结与归纳教师与学生总结本节课的内容，并归纳出定积分的概念和性质：教师：同学们，通过本节课的学习，我们初步了解了定积分的定义、计算方法和性质。
下节课我们将进一步学习定积分的应用。
大家要做好预习哦！六、教学反思本节课通过引入、定义、示例演算等方式，使学生初步了解了定积分的概念和计算方法。
通过例题讲解，学生对定积分的应用有了基本的认识。
定积分概念的课程设计一、教学目标本节课的教学目标是让学生掌握定积分的概念及其应用。
具体来说，知识目标包括：了解定积分的定义、性质和计算方法；理解定积分在实际问题中的应用。
技能目标则要求学生能够运用定积分解决简单的问题，如计算曲线下的面积、求解弯曲物体的质心等。
情感态度价值观目标则是培养学生的数学思维能力，提高他们对数学的兴趣和自信心。
二、教学内容本节课的教学内容主要包括定积分的定义、性质和计算方法。
首先，引导学生回顾不定积分的基本概念，为学生引入定积分做铺垫。
然后，详细讲解定积分的定义，通过实例让学生理解定积分的概念。
接着，介绍定积分的性质，如线性性质、保号性等，并通过例题让学生掌握这些性质的应用。
最后，讲解定积分的计算方法，如牛顿-莱布尼茨公式、分部积分法等，并通过练习让学生熟练运用这些方法。
三、教学方法为了达到本节课的教学目标，我将采用多种教学方法相结合的方式进行教学。
首先，运用讲授法，清晰、系统地讲解定积分的概念、性质和计算方法。
其次，采用讨论法，引导学生分组讨论定积分在实际问题中的应用，激发学生的思考。
此外，还将运用案例分析法，通过分析具体案例，让学生更好地理解定积分的应用。
最后，适时进行实验法，让学生在实验中感受定积分的作用，提高他们的实践能力。
四、教学资源为了支持本节课的教学内容和教学方法的实施，我将准备以下教学资源：教材、参考书、多媒体资料、实验设备。
教材和参考书将作为主要教学资源，为学生提供系统的理论知识。
多媒体资料则用于辅助教学，以图片、动画等形式展示定积分的概念和应用，增强学生的学习兴趣。
实验设备则用于进行实验教学，让学生在实践中掌握定积分的方法。
五、教学评估为了全面、客观地评估学生的学习成果，本节课的评估方式包括平时表现、作业和考试三个部分。
平时表现主要考察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，以鼓励学生积极思考和提问。
作业则包括定积分的计算练习和应用问题，以此检验学生对知识的掌握程度。
高中数学定积分的概念教案新人教版选修一、教学目标1. 理解定积分的概念，掌握定积分的基本性质和计算方法。
2. 能够运用定积分解决实际问题，提高学生的数学应用能力。
3. 培养学生的逻辑思维能力，提高学生的数学素养。
二、教学内容1. 定积分的概念介绍定积分的定义、性质和计算方法，引导学生理解定积分的本质。
2. 定积分的计算讲解定积分的计算法则，包括牛顿-莱布尼茨公式、换元积分法、分部积分法等，让学生掌握定积分的计算技巧。
3. 定积分在实际问题中的应用通过实际问题，引导学生运用定积分解决面积、体积、弧长等问题，提高学生的数学应用能力。
三、教学重点与难点1. 定积分的概念与性质2. 定积分的计算方法3. 定积分在实际问题中的应用四、教学方法1. 采用讲授法，讲解定积分的概念、性质和计算方法。
2. 利用例题，引导学生掌握定积分的计算技巧。
3. 结合实际问题，培养学生运用定积分解决实际问题的能力。
4. 组织讨论，让学生在探讨中深化对定积分概念的理解。
五、教学过程1. 引入：通过复习初中数学中的积分概念，引导学生思考如何将积分概念推广到无限区间。
2. 讲解：讲解定积分的定义、性质和计算方法，让学生理解定积分的本质。
3. 练习：布置定积分的计算练习题，让学生巩固所学知识。
4. 应用：结合实际问题，讲解定积分在面积、体积、弧长等方面的应用，让学生体会定积分的实用价值。
6. 作业：布置课后作业，巩固所学知识。
六、定积分的性质与计算法则1. 性质：定积分具有线性性质，即$\int_{a}^{b} f(x) \, dx + \int_{a}^{b} g(x) \, dx = \int_{a}^{b} (f(x) + g(x)) \, dx$。
定积分与积分区间有关，即$\int_{a}^{b} f(x) \, dx = -\int_{b}^{a} f(x) \, dx$。
定积分与积分函数的单调性有关，即若$f(x)$ 在$[a, b]$ 上单调递增，则$\int_{a}^{b} f(x) \, dx$ 可以表示为$F(b) F(a)$，其中$F(x)$ 是$f(x)$ 的一个原函数。
第五章 定积分一、本章的教学目的1．了解定积分的定义，函数()f x 在[,]a b 上可积的充分条件。
2．掌握定积分的性质，理解定积分中值定理。
3．掌握积分上限函数的求导方法及其应用。
4．熟练掌握微积分公式、定积分的换元积分法及分部积分法。
5．掌握用定积分计算平面图形的面积和求旋转体体积的计算公式。
主要内容1．定积分的概念与性质曲边梯形，曲边三角形；分割，黎曼和，黎曼和的极限；()f x 在[,]a b 上可积，()f x 在[,]a b ]上的定积分；定积分的几何意义；定积分的基本性质.关于函数可积性的几个重要结论： （1）可积函数必有界；（2）有限区间[,]a b 上的连续函数可积；（3）在有限区间[,]a b 上只有有限个间断点的有界函数可积. 2．微积分基本定理变上限积分，变限积分的求导公式：()()()xaf t dt f x '=⎰微积分基本公式：()()()()bbaaf x dx F x F b F a ==-⎰，其中()F x 是()f x 在[,]a b 上的一个原函数. 3．定积分的换元积分法与分部积分法定积分的换元积分法；对称区间[,]a a -(0)a >上奇偶函数定积分的性质：（()f x 是奇函数）；()2()aaaf x dx f x dx -=⎰⎰ （()f x 是偶函数）； 周期函数定积分的性质：()()a T Taf x dx f x dx +=⎰⎰ （T 为()f x 的周期）； 定积分的分部积分公式：()()()()()()bbbaaau x v x dx u x v x v x u x dx ''=-⎰⎰.4．定积分的应用由x a =，x b =，()y f x =，()y g x =所围成的平面图形的面积()()baS f x g x dx =-⎰；微元法；由x a =，x b =，x 轴及()y f x =所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体体积2[()]bx aV f x dx π=⎰；由y c =，(0)y d d c =>≥，y 轴及()x y ϕ=所围成的平面图形绕y 轴旋转一周所得旋转体体积2[()]dy cV y dy πϕ=⎰二、本章教学的重点和难点1．教学重点：定积分的性质，微积分基本公式，定积分的换元法与分部积分法定积分的应用。
第5章 定积分及其应用定积分的概念与性质【教学目的】：1. 理解曲边梯形的面积求法的思维方法；2. 理解定积分的概念及其性质；3. 掌握定积分的几何意义 ；【教学重点】：1. 定积分的概念及其性质；【教学难点】：1. 曲边梯形面积求法的思维方法；【教学时数】：2学时 【教学过程】：案例研究引例5.1.1 曲边梯形的面积问题所谓曲边梯形是指由连续曲线)(x f y =(设0)(≥x f )，直线a x =，b x =和0=y (即x 轴)所围成的此类型的平面图形（如图5-1所示）．下面来求该曲边梯形的面积．分析 由于“矩形面积=底⨯高”，而曲边梯形在底边上各点处的高()f x 在区间[,]a b 上是变动的，故它的面积不能按矩形面积公式计算.另一方面，由于曲线()y f x =在[,]a b 上是连续变化的，所以当点x 在区间[,]a b 上某处变化很小时，相应的()f x 也就变化不大.于是，考虑用一组平行于y 轴的直线把曲边梯形分割成若干个小曲边梯形，当分割得较细，每个小曲边梯形很窄时，其高()f x 的变化就很小.这样，可以在每个小曲边梯形上作一个与它同底、以底上某点函数值为高的小矩形，用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，进而用所有小曲边梯形的面积之和近似代替整个曲边梯形的面积（如图5-2所示）.显然，分割越细，近似程度越高，当无限细分时，所有小矩形面积之和的极限就是曲边梯形面积的精确值.根据以上分析，可按以下四步计算曲边梯形的面积A .图5-1 图5-2（1）分割 在闭区间],[b a 上任意插入1n -个分点，01211......i i n n a x x x x x x x b --=<<<<<<<<=，将闭区间[,]a b 分成n 个小区间],[,],,[,],[],,[112110n n i i x x x x x x x x -- ，它们的长度依次为11022111,,...,,...,i i i n n n x x x x x x x x x x x x --∆=-∆=-∆=-∆=-，过每一个分点作平行于y 轴的直线，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形；（2）取近似 在每个小区间1[,]i i x x -(1,2,...,)i n =上任取一点1()i i i i x x ξξ-≤≤，以小区间1i i i x x x -∆=-为底，()i f ξ为高作小矩形，用小矩形的面积()i i f x ξ∆近似代替相应的小曲边梯形的面积A ∆，即()(1,2,...,)i i A f x i n ξ∆=∆=，（3）求和 把这样得到的n 个小矩形的面积加起来，得和式∑=∆ni i i x f 1)(ξ，将其作为曲边梯形面积的近似值，即11()nni i i i i A A f x ξ===∆≈∆∑∑；（4）取极限 当分点个数n 无限增加，且小区间长度的最大值λ（max{}i x λ=∆）趋于零时，上述和式的极限值就是曲边梯形面积的精确值，即 01lim ()ni i i A f x λξ→==∆∑.5.1.1 定积分的定义定义1 设函数()y f x =在闭区间[,]a b 上有界，在闭区间[,]a b 中任意插入1n -个分点01211......i i n n a x x x x x x x b --=<<<<<<<<=，将区间[,]a b 分成n 个小区间011211[,],[,],...,[,],...,[,]i i n n x x x x x x x x --， 各小区间的长度依次为11022111,,...,,...,i i i n n n x x x x x x x x x x x x --∆=-∆=-∆=-∆=-， 在每个小区间上任取一点)(1i i i i x x ≤≤-ξξ，作函数值)(i f ξ与小区间长度i x ∆的乘积),,2,1()(n i x f i i =∆ξ，并作和∑=∆ni i i x f 1)(ξ，记}max {i x ∆=λ， ),,2,1(n i =，当n 无限增大且0→λ时，若上述和式的极限存在，则称函数()y f x =在区间[,]a b 上可积，并将此极限值称为函数()y f x =在[,]a b 上的定积分，记为⎰ba dx x f )(.即 ∑⎰=→∆=ni i i bax f dx x f 1)(lim )(ξλ，其中x 称为积分变量，()f x 称为被积函数，()f x dx 称为被积表达式， a 称为积分下限，b 称为积分上限，[,]a b 称为积分区间，符号⎰ba dx x f )(读作函数()f x 从a 到b 的定积分.按定积分的定义，两个引例的结果可以分别表示为：⎰=b adx x f A )(，⎰=badt t P Q )(，关于定积分的定义作以下几点说明：（1）和式的极限∑=→∆1)(lim i i i x f ξλ存在（即函数()f x 在[,]a b 上可积）是指不论对区间[,]a b 怎样分法，也不论对点1()i i i i x x ξξ-≤≤怎样取法，极限都存在. （2）和式的极限仅与被积函数()f x 的表达式及积分区间[,]a b 有关，与积分变量使用什么字母无关，即⎰⎰⎰==bababadu u f dt t f dx x f )()()(.（3）定义中要求积分限a b <，我们补充如下规定： 当a b =时，()0ba f x dx =⎰当a b >时，()()b aabf x dx f x dx =-⎰⎰（4）函数可积的两个充分条件：若],[)(b a x f 在上连续，则],[)(b a x f 在上可积。
高中数学教学定积分教案1. 理解定积分的概念；2. 掌握定积分的计算方法；3. 能够应用定积分解决实际问题。
教学重点：1. 定积分的概念；2. 定积分的计算方法。
教学难点：1. 定积分计算中的技巧问题；2. 定积分的应用问题。
教学内容：一、定积分的概念1. 定积分的定义；2. 定积分的性质。
二、定积分的计算方法1. 定积分的基本性质；2. 定积分的计算公式；3. 定积分的计算方法。
三、定积分的应用1. 定积分的几何意义；2. 定积分的物理意义；3. 定积分的应用举例。
教学过程：一、导入教师引入积分的概念，介绍定积分的定义及意义，激发学生对定积分的兴趣。
二、讲解1. 讲解定积分的性质和基本概念；2. 分步讲解定积分的计算方法，包括不定积分的转换和定积分的计算公式。
三、示范教师展示一些定积分的计算例题，让学生跟随计算步骤进行练习。
四、练习学生进行练习，巩固定积分的计算方法，提高解题能力。
五、应用教师介绍定积分在几何和物理问题中的应用，引导学生进行实际问题的解决。
六、总结对本节课的内容进行总结，强调定积分的重要性和应用价值。
七、作业布置相关的定积分作业，检验学生对定积分的掌握程度。
教学反思：本节课针对高中学生的实际情况，通过梳理定积分的基本概念、计算方法和应用，帮助学生理解和掌握定积分的内容，提高解题能力和问题应用能力。
应灵活运用多种教学方法，引导学生参与课堂互动，激发学生的学习兴趣，达到教学目标。
定积分的概念的教学设计一、教学目标：1.了解定积分的概念和基本性质。
2.能够理解和应用定积分的定义和计算方法。
3.能够运用定积分解决实际问题。
二、教学重点：1.定积分的概念和性质。
2.定积分的计算方法。
三、教学难点：1.对定积分概念的理解和应用。
2.定积分计算方法的运用。
四、教学准备：1.教师准备教学课件、板书。
2.学生准备课本、笔记等。
五、教学过程：Step 1：导入（10分钟）1.教师简要介绍导数的概念，回顾导数的计算方法和求导法则。
2.引导学生思考：如果“导数”是描述一个函数变化率的概念，那么有没有与之相对应的概念来描述一个函数的累计效应呢？Step 2：引入定积分概念（15分钟）1.通过图例引导学生思考在一个区间上函数图像之下的面积，让学生发现概念。
2.引导学生思考以下问题：-如何精确地描述该面积？-如何计算这个面积？3.教师出示定积分的定义并解释：$\int_a^b f(x)dx = {\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^nf(x_i)\Delta x}$其中，$\Delta x = \frac{b-a}{n}$，$f(x_i)$是在每个子区间上任意选择的一点。
4.教师解释定积分的符号含义，并进行例题辅助讲解：$\int_a^b f(x)dx$可以理解为从$a$到$b$的函数$f(x)$在$x$轴上方的面积。
Step 3：定积分的性质（15分钟）1.教师介绍定积分的基本性质：- 定积分与区间选择无关，即$\int_a^b f(x)dx = \int_c^b f(x)dx + \int_a^c f(x)dx$- 若函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，且存在一些点$c \in [a,b]$，使得$f(c) \geq f(x)$在$[a,b]$上成立，则$\int_a^b f(x)dx \geq 0$- 若函数$f(x)$在$[a,b]$上连续且非负，则$\int_a^b f(x)dx = 0$的充要条件是$f(x) \equiv 0$2.教师通过例题进行讲解和巩固。
定积分概念与性质一、教学目标分析1.理解定积分的概念。
2.掌握定积分的性质及定积分中值定理。
3.理解变上限定积分定义的函数。
二、学情/学习者特征分析本节主要给学生介绍有关定积分的概念与性质，因为之前学生对定积分有一定的涉及，故积极调动学生的探索与思维能力，使其充分掌握定积分的概念与性质，做到在以后的应运中轻松自如。
三、学习内容分析1.本节的作用和地位定积分的应用是在学生学习了定积分的概念、定积分的计算、定积分的几何意义之后，对定积分知识的总结和升华，通过用定积分解决一些简单的面积问题，初步感受定积分在解决数学问题与实际问题中的作用，体会导数与定积分之间的内在联系。
2.本节主要内容1.定积分的概念。
2.定积分的性质及定积分中值定理。
3.重点难点分析教学重点：定积分的性质及定积分中值定理教学难点：1.定积分的概念2.积分中值定理4.课时要求：2课时四、教学理念学生在之前就已经掌握了一定的有关知识，通过本节对学生的教学使学生进一步了解定积分的概念与性质。
五、教学策略在课堂中尽量避免死板的教学方法，使课堂气氛活跃化，通过实际问题的引人让学生了解定积分的概念，并通过举例讲解使其性质浮现再加以引导理解。
六、教学环境网络环境下的多媒体教室与课堂互动。
七、教学过程一、定积分问题举例1. 曲边梯形的面积曲边梯形: 设函数y =f (x )在区间[a , b ]上非负、连续. 由直线x =a 、x =b 、y =0及曲线y =f (x )所围成的图形称为曲边梯形, 其中曲线弧称为曲边.求曲边梯形的面积的近似值:将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形, 每个小曲边梯形都用一个等宽的小矩形代替, 每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积, 则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值. 具体方法是: 在区间[a , b ]中任意插入若干个分点a =x 0< x 1< x 2< ⋅ ⋅ ⋅< x n -1< x n =b ,把[a , b ]分成n 个小区间[x 0, x 1], [x 1, x 2], [x 2, x 3], ⋅ ⋅ ⋅ , [x n -1, x n ],它们的长度依次为∆x 1= x 1-x 0 , ∆x 2= x 2-x 1 , ⋅ ⋅ ⋅ , ∆x n = x n -x n -1 .经过每一个分点作平行于y 轴的直线段, 把曲边梯形分成n 个窄曲边梯形. 在每个小区间[x i -1, x i ]上任取一点ξ i , 以[x i -1, x i ]为底、f (ξ i )为高的窄矩形近似替代第i 个窄曲边梯形(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ , n ) , 把这样得到的n 个窄矩阵形面积之和作为所求曲边梯形面积A 的近似值, 即A ≈f (ξ 1)∆x 1+ f (ξ 2)∆x 2+⋅ ⋅ ⋅+ f (ξ n )∆x n ∑=∆=ni i i x f 1)(ξ.求曲边梯形的面积的精确值:显然, 分点越多、每个小曲边梯形越窄, 所求得的曲边梯形面积A 的近似值就越接近曲边梯形面积A 的精确值, 因此, 要求曲边梯形面积A 的精确值, 只需无限地增加分点, 使每个小曲边梯形的宽度趋于零. 记λ=max{∆x 1, ∆x 2,⋅ ⋅ ⋅, ∆x n }, 于是, 上述增加分点, 使每个小曲边梯形的宽度趋于零, 相当于令λ→0. 所以曲边梯形的面积为∑=→∆=ni i i x f A 10)(lim ξλ. 2. 变速直线运动的路程设物体作直线运动, 已知速度v =v (t )是时间间隔[T 1, T 2]上t 的连续函数, 且v (t )≥0, 计算在这段时间内物体所经过的路程S .求近似路程:我们把时间间隔[T 1, T 2]分成n 个小的时间间隔∆t i , 在每个小的时间间隔∆t i 内, 物体运动看成是均速的, 其速度近似为物体在时间间隔∆t i 内某点ξ i 的速度v (τ i ), 物体在时间间隔∆t i 内 运动的距离近似为∆S i = v (τ i ) ∆t i . 把物体在每一小的时间间隔∆t i 内 运动的距离加起来作为物体在时间间隔[T 1 , T 2]内所经过的路程S 的近似值. 具体做法是:在时间间隔[T 1 , T 2]内任意插入若干个分点T 1=t 0< t 1< t 2<⋅ ⋅ ⋅< t n -1< t n =T 2,把[T 1 , T 2]分成n 个小段[t 0, t 1], [t 1, t 2], ⋅ ⋅ ⋅, [t n -1, t n ] ,各小段时间的长依次为∆t 1=t 1-t 0, ∆t 2=t 2-t 1,⋅ ⋅ ⋅, ∆t n =t n -t n -1.相应地, 在各段时间内物体经过的路程依次为∆S 1, ∆S 2, ⋅ ⋅ ⋅, ∆S n .在时间间隔[t i -1, t i ]上任取一个时刻τ i (t i -1<τ i < t i ), 以τ i 时刻的速度v (τ i )来代替[t i -1, t i ]上各个时刻的速度, 得到部分路程∆S i 的近似值, 即∆S i = v (τ i ) ∆t i (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ , n ).于是这n 段部分路程的近似值之和就是所求变速直线运动路程S 的近似值, 即∑=∆≈ni i i t v S 1)(τ;求精确值:记λ = max{∆t 1, ∆t 2,⋅ ⋅ ⋅, ∆t n }, 当λ→0时, 取上述和式的极限, 即得变速直线运动的路程∑=→∆=ni i i t v S 10)(lim τλ. 设函数y =f (x )在区间[a , b ]上非负、连续. 求直线x =a 、x =b 、y =0及曲线y =f (x )所围成的曲边梯形的面积.(1)用分点a =x 0<x 1<x 2< ⋅ ⋅ ⋅<x n -1<x n =b 把区间[a , b ]分成n 个小区间:[x 0, x 1], [x 1, x 2], [x 2, x 3], ⋅ ⋅ ⋅ , [x n -1, x n ], 记∆x i =x i -x i -1 (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ , n ).(2)任取ξ i ∈[x i -1, x i ], 以[x i -1, x i ]为底的小曲边梯形的面积可近似为i i x f ∆)(ξ (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ , n ); 所求曲边梯形面积A 的近似值为∑=∆≈n i ii x f A 1)(ξ. (3)记λ=max{∆x 1, ∆x 2,⋅ ⋅ ⋅, ∆x n }, 所以曲边梯形面积的精确值为∑=→∆=n i ii x f A 10)(lim ξλ. 设物体作直线运动, 已知速度v =v (t )是时间间隔[T 1, T 2]上t 的连续函数,且v (t )≥0, 计算在这段时间内物体所经过的路程S .(1)用分点T 1=t 0<t 1<t 2<⋅ ⋅ ⋅<t n -1<t n =T 2把时间间隔[T 1 , T 2]分成n 个小时间段: [t 0, t 1], [t 1, t 2], ⋅ ⋅ ⋅, [t n -1, t n ] , 记∆t i =t i -t i -1 (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ , n ).(2)任取τi ∈[t i -1, t i ], 在时间段[t i -1, t i ]内物体所经过的路程可近似为v (τi )∆t i(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ , n ); 所求路程S 的近似值为∑=∆≈n i ii t v S 1)(τ. (3)记λ=max{∆t 1, ∆t 2,⋅ ⋅ ⋅, ∆t n }, 所求路程的精确值为∑=→∆=n i ii t v S 10)(lim τλ.二、定积分定义抛开上述问题的具体意义, 抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加以概括, 就抽象出下述定积分的定义.定义 设函数f (x )在[a , b ]上有界, 在[a , b ]中任意插入若干个分点a =x 0< x 1< x 2< ⋅ ⋅ ⋅< x n -1< x n =b ,把区间[a , b ]分成n 个小区间[x 0, x 1], [x 1, x 2], ⋅ ⋅ ⋅, [x n -1, x n ] ,各小段区间的长依次为∆x 1=x 1-x 0, ∆x 2=x 2-x 1,⋅ ⋅ ⋅, ∆x n =x n -x n -1.在每个小区间[x i -1, x i ]上任取一个点ξ i (x i -1< ξ i < x i ), 作函数值f (ξ i )与小区间长度∆x i 的乘积 f (ξ i ) ∆x i (i =1, 2,⋅ ⋅ ⋅, n ) , 并作出和∑=∆=ni i i x f S 1)(ξ.记λ = max{∆x 1, ∆x 2,⋅ ⋅ ⋅, ∆x n }, 如果不论对[a , b ]怎样分法, 也不论在小区间[x i -1, x i ]上点ξ i 怎样取法, 只要当λ→0时, 和S 总趋于确定的极限I , 这时我们称这个极限I 为函数f (x )在区间[a , b ]上的定积分, 记作⎰b a dx x f )(,即 ∑⎰=→∆=n i i i b a x f dx x f 10)(lim )(ξλ.其中f (x )叫做被积函数, f (x )dx 叫做被积表达式, x 叫做积分变量, a 叫做积分下限, b 叫做积分上限, [a , b ]叫做积分区间.定义 设函数f (x )在[a , b ]上有界, 用分点a =x 0<x 1<x 2< ⋅ ⋅ ⋅<x n -1<x n =b 把[a , b ]分成n 个小区间: [x 0, x 1], [x 1, x 2], ⋅ ⋅ ⋅, [x n -1, x n ] , 记∆x i =x i -x i -1(i =1, 2,⋅ ⋅ ⋅, n ).任ξ i ∈[x i -1, x i ] (i =1, 2,⋅ ⋅ ⋅, n ), 作和∑=∆=n i i ix f S 1)(ξ.记λ=max{∆x 1, ∆x 2,⋅ ⋅ ⋅, ∆x n }, 如果当λ→0时, 上述和式的极限存在, 且极限值与区间[a , b ]的分法和ξ i 的取法无关, 则称这个极限为函数f (x )在区间[a , b ]上的定积分, 记作⎰b a dx x f )(,即 ∑⎰=→∆=ni i i ba x f dx x f 10)(lim )(ξλ. 根据定积分的定义, 曲边梯形的面积为⎰=b a dx x f A )(.变速直线运动的路程为dt t v S TT )(21⎰=. 说明:(1)定积分的值只与被积函数及积分区间有关, 而与积分变量的记法无关, 即⎰⎰⎰==ba b a b a du u f dt t f dx x f )()()(.(2)和∑=∆ni i i x f 1)(ξ通常称为f (x )的积分和.(3)如果函数f (x )在[a , b ]上的定积分存在, 我们就说f (x )在区间[a , b ]上可积. 函数f (x )在[a , b ]上满足什么条件时, f (x )在[a , b ]上可积呢？定理1 设f (x )在区间[a , b ]上连续, 则f (x ) 在[a , b ]上可积.定理2 设f (x )在区间[a , b ]上有界, 且只有有限个间断点, 则f (x ) 在[a , b ]上可积. 定积分的几何意义:在区间[a , b ]上, 当f (x )≥0时, 积分⎰b a dx x f )(在几何上表示由曲线y =f (x )、两条直线x =a 、x =b 与x 轴所围成的曲边梯形的面积; 当f (x )≤0时, 由曲线y =f (x )、两条直线x =a 、x =b 与x 轴所围成的曲边梯形位于x 轴的下方, 定义分在几何上表示上述曲边梯形面积的负值; ⎰∑∑⎰--=∆--=∆==→=→ba n i i i n i i ib a dx x f x f x f dx x f )]([)]([lim )(lim )(1010ξξλλ. 当f (x )既取得正值又取得负值时, 函数f (x )的图形某些部分在x 轴的上方, 而其它部分在x 轴的下方. 如果我们对面积赋以正负号, 在x 轴上方的图形面积赋以正号, 在x 轴下方的图形面积赋以负号, 则在一般情形下, 定积分⎰ba dx x f )(的几何意义为: 它是介于x 轴、函数f (x )的图形及两条直线x =a 、x =b 之间的各部分面积的代数和.用定积分的定义计算定积分:例1. 利用定义计算定积分dx x 210⎰.解 把区间[0, 1]分成n 等份, 分点为和小区间长度为n i x i =(i =1, 2,⋅ ⋅ ⋅, n -1), nx i 1=∆(i =1, 2,⋅ ⋅ ⋅, n ) . 取ni i =ξ(i =1, 2,⋅ ⋅ ⋅, n ), 作积分和 ∑∑∑===⋅=∆=∆n i i n i i i n i i n n i x x f 121211)()(ξξ )12)(1(61113123++⋅==∑=n n n n i n n i )12)(11(61n n ++=. 因为n1=λ, 当λ→0时, n →∞, 所以 31)12)(11(61lim )(lim 10210=++=∆=∞→=→∑⎰n n x f dx x n n i i i ξλ. 利定积分的几何意义求积分: 例2. 用定积分的几何意义求⎰-10)1(dx x .解: 函数y =1-x 在区间[0, 1]上的定积分是以y =1-x 为曲边, 以区间[0, 1]为底的曲边梯形的面积. 因为以y =1-x 为曲边, 以区间[0, 1]为底的曲边梯形是一直角三角形, 其底边长及高均为1, 所以211121)1(10=⨯⨯=-⎰dx x . 三、定积分的性质两点规定: (1)当a =b 时,0)(=⎰b a dx x f . (2)当a >b 时, ⎰⎰-=a b b a dx x f dx x f )()(.性质1 函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差) 即 ⎰⎰⎰±=±b a b a b a dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([.证明:⎰±b a dx x g x f )]()([∑=→∆±=n i i i i x g f 10)]()([lim ξξλ ∑∑=→=→∆±∆=n i i i n i i i x g x f 1010)(lim )(lim ξξλλ ⎰⎰±=b a b a dx x g dx x f )()(.性质2 被积函数的常数因子可以提到积分号外面 即⎰⎰=b a b a dx x f k dx x kf )()(.这是因为∑⎰=→∆=n i i i b a x kf dx x kf 10)(lim )(ξλ⎰∑=∆==→b a n i i i dx x f k x f k )()(lim 10ξλ. 性质3 如果将积分区间分成两部分 则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和 即⎰⎰⎰+=b c c a b a dx x f dx x f dx x f )()()(.这个性质表明定积分对于积分区间具有可加性.值得注意的是不论a ,b ,c 的相对位置如何总有等式⎰⎰⎰+=b c c a b a dx x f dx x f dx x f )()()(成立. 例如, 当a <b <c 时, 由于 ⎰⎰⎰+=c b b a c a dx x f dx x f dx x f )()()(,于是有 ⎰⎰⎰-=c b c a b a dx x f dx x f dx x f )()()(⎰⎰+=b c c a dx x f dx x f )()(.性质4 如果在区间[a b ]上f (x )≡1 则 a b dx dx b a b a -==⎰⎰1.性质5 如果在区间[a , b ]上 f (x )≥0, 则 ⎰≥b a dx x f 0)((a <b ).推论1 如果在区间[a , b ]上 f (x )≤ g (x ) 则⎰⎰≤b a b a dx x g dx x f )()((a <b ).这是因为g (x )-f (x )≥0, 从而⎰⎰⎰≥-=-b a b a b a dx x f x g dx x f dx x g 0)]()([)()(, 所以⎰⎰≤b a b a dx x g dx x f )()(.推论2 ⎰⎰≤b a b a dx x f dx x f |)(||)(|(a <b ).这是因为-|f (x )| ≤ f (x ) ≤ |f (x )|, 所以⎰⎰⎰≤≤-b a b a b a dx x f dx x f dx x f |)(|)(|)(|,即 ⎰⎰≤b a b a dx x f dx x f |)(||)(|| .性质6 设M 及m 分别是函数f (x )在区间[a , b ]上的最大值及最小值, 则⎰-≤≤-b a a b M dx x f a b m )()()((a <b ).证明 因为 m ≤ f (x )≤ M , 所以⎰⎰⎰≤≤b a b a b a Mdx dx x f mdx )(,从而 ⎰-≤≤-b a a b M dx x f a b m )()()(.性质7 (定积分中值定理) 如果函数f (x )在闭区间[a , b ]上连续, 则在积分区间[a , b ]上至少存在一个点ξ , 使下式成立:⎰-=ba ab f dx x f ))(()(ξ. 这个公式叫做积分中值公式.证明 由性质6⎰-≤≤-ba ab M dx x f a b m )()()(,各项除以b -a 得⎰≤-≤b a M dx x f a b m )(1, 再由连续函数的介值定理, 在[a , b ]上至少存在一点ξ , 使⎰-=b a dx x f ab f )(1)(ξ, 于是两端乘以b -a 得中值公式⎰-=ba ab f dx x f ))(()(ξ. 积分中值公式的几何解释:应注意: 不论a <b 还是a >b , 积分中值公式都成立.。
