贾俊平《统计学》复习笔记课后习题详解及典型题详解 第7章~第8章【圣才出品】

第7章参数估计
7.1复习笔记
一、参数估计的基本原理
1．估计量与估计值
参数估计：用样本统计量去估计总体的参数。

估计量：在参数估计中，用来估计总体参数的统计量。

估计值：用来估计总体参数时根据一个具体的样本计算出来的估计量的具体数值。

2．点估计与区间估计
（1）点估计
定义：点估计是用样本统计量∧θ的某个取值直接作为总体参数θ的估计值。

局限性：一个点估计值的可靠性是由它的抽样标准误差来衡量的，这表明一个具体的点估计值无法给出估计的可靠性的度量，因此不能完全依赖于一个点估计值，而应围绕点估计值构造总体参数的一个区间。

（2）区间估计
区间估计的基本思想：在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区间范围，该区间通常由样本统计量加减估计误差得到。

进行区间估计时，根据样本统计量的抽样分布能够对样本统计量与总体参数的接近程度给出一个概率度量。

置信区间：在区间估计中，由样本统计量所构造的总体参数的估计区间。

置信下限：置信区间的最小值。

置信上限：置信区间的最大值。

置信水平（也称为置信度或置信系数）：将构造置信区间的步骤重复多次，置信区间中包含总体参数真值的次数所占的比例。

区间估计的数学定义：若用两个统计量∧θ1（x1，x2，…，x n）和∧θ2（x1，x2，…，x n）来估计总体参数θ的下限和上限，使总体参数θ包括在区间[∧θ1，∧θ2]内的概率为P（∧θ1＜θ＜∧θ2）＝1－α，则称估计区间[∧θ1，∧θ2]为参数θ的置信水平为1－α的置信区间。

对置信区间的理解，需要注意：
①如果用某种方法构造的所有区间中有95%的区间包含总体参数的真值，5%的区间不包含总体参数的真值，那么，用该方法构造的区间称为置信水平为95%的置信区间。

②总体参数的真值是固定的、未知的，置信区间是一个随机区间，它会因样本的不同而不同，而且不是所有的区间都包含总体参数的真值。

1－α不是用来描述某个特定的区间包含总体参数真值可能性的，一个特定的区间“总是包含”或“绝对不包含”参数的真值，不存在“可能包含”或“可能不包含”的问题。

③在实际问题中，进行估计时往往只抽取一个样本，此时所构造的是与该样本相联系的一定置信水平（比如95%）下的置信区间。

由于用该样本所构造的区间是一个特定的区间，而不再是随机区间，所以无法知道这个样本所产生的区间是否包含总体参数的真值。

④置信区间表示区间估计的准确性（或精确性），置信度表示区间估计的可靠性，而显著性水平表示区间估计的不可靠概率。

置信度愈大（即估计的可靠性愈大），则置信区间相应也愈大（即估计准确性愈小）。

3．评价估计量的标准
（1）无偏性
指估计量抽样分布的数学期望等于被估计的总体参数。

设总体参数为θ，所选择的估计量为∧θ，若有E（∧θ）＝θ，则称∧
θ为θ的无偏估计量。

（2）有效性
指对同一总体参数的两个无偏估计量，有更小方差的估计量更有效。

设总体参数为θ，∧θ1和∧θ2是θ的两个无偏估计量，若它们的抽样分布方差有D（∧θ1）＜D（∧θ2），则称∧θ1是比∧θ2更有效的一个估计量。

在无偏估计的条件下，估计量的方差越小，估计就越有效。

（3）一致性
指随着样本量n 的增大，估计量的值越来越接近总体参数的真值。

估计量的一致性是从极限意义上讲的，它适用于大样本的情况，即一个大样本给出的估计量要比一个小样本给出的估计量更接近总体的参数。

二、一个总体参数的区间估计
1．总体均值的区间估计
（1）正态总体、方差已知，或非正态总体、大样本
①当总体服从正态分布且σ2已知时，或者总体不是正态分布但为大样本时，样本均值＿x 的抽样分布均为正态分布，其数学期望为总体均值μ，方差为σ2/n。

而样本均值标准化后得到的随机向量服从标准正态分布，即
(0,1)
/x z N n σ=-则可得到总体均值μ所在1－α置信水平下的置信区间为：
/2x z n
α±其中，z α/2是标准正态分布上侧面积为α/2时的z 值；/2
z n α是估计总体均值时的边际误差，也称为估计误差或误差范围。

②当总体服从正态分布但σ2未知，或总体并不服从正态分布，只要是在大样本条件下，就用样本方差s 2代替总体方差σ2，这时总体均值μ在1－α置信水平下的置信区间为：
/2
x z n
α±（2）正态总体、方差未知、小样本如果总体服从正态分布，且总体方差σ2未知，则在小样本情况下，需要用样本方差s 2代替σ2，而样本均值经过标准化以后的随机变量则服从自由度为（n－1）的t 分布，即
(1)
/x t t n s n -=--根据t 分布建立的总体均值μ在1－α置信水平下的置信区间为：
/2x t n
α±式中，t α/2是自由度为n－1时，t 分布中右侧面积为α/2时的t 值。

将总体均值的区间估计进行总结，整理可得下表：
表7-1不同情况下总体均值的区间估计
2．总体比例的区间估计
在大样本情况下，设总体比例为π，则当样本量足够大时，样本比例p 的抽样分布可用正态分布近似，p 的数学期望为E（p）＝π，p 的方差为
2(1)
p n
ππσ-=则样本比例经标准化后的随机变量服从标准正态分布，即
(0,1)
(1)/z N n ππ=- ①当总体比例π已知时，总体比例π在1－α置信水平下的置信区间为：
/2(1)p z n
αππ-±②当总体比例π未知时，用样本比例p 代替π，这时，总体比例的置信区间为：/2
(1)
p p p z n α-±其中，/(1)p p z n α-是估计总体比例时的边际误差。

3．总体方差的区间估计
当总体分布为正态分布时，根据样本方差的抽样分布，可构造总体方差σ2在1－α置信水平下的置信区间为：
22222/21/2
(1)(1)n s n s αασχχ---≤≤三、两个总体参数的区间估计
1．两个总体均值之差的区间估计
（1）两个总体均值之差的估计：独立样本
①大样本的估计（n 1≥30和n 2≥30）
独立样本：如果两个样本是从两个总体中独立抽取的，即一个样本中的元素与另一个样本中的元素相互独立，则称为独立样本。

a．当两个总体的方差σ12和σ22都已知时，两个样本均值之差（＿x 1－＿
x 2）的抽样分布服
从期望值为（μ1－μ2）、方差为221212n n σσ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的正态分布，则两个总体均值之差（μ1－μ2）在1－α置信水平下的置信区间为：
221212/2
12()x x z n n ασσ-±+b．当两个总体的方差σ12和σ22未知时，可用两个样本方差s 12和s 22来代替σ12和σ22，这时，两个总体均值之差（μ1－μ2）在1－α置信水平下的置信区间为：。