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2020届清华中学生标准学术能力（9月）数学（文）试题一、单选题1．已知集合{1,0,1},{||1|,}A B y y x x A =-==+∈，则A B =（ ）A.{1,0}-B.{0,1}C.{1,1}-D.{1,0,1}-【答案】B【解析】根据集合A ，可求出集合B 中的具体元素，即可得A B 。
【详解】 解：{1,0,1},{0,1,2}A B =-=∴，{,}01A B ∴=故选：B 【点睛】本题考查集合的交集运算，是基础题。
2．已知复数123iz i+=-（其中i 为虚数单位），则||z =（ ）B.12【答案】A 【解析】求出1710iz +=，即可求出||z 。
【详解】 解：12(12)(3)173(3)(3)10i i i iz i i i ++++===--+，||102z ∴==故选：A 。
【点睛】本题考查复数乘除法及模的计算，是基础题。
3．若向量,a b 满足||1,||2a b ==，且|3|19a b -=，则向量,a b 的夹角为（ ） A.30° B.60°C.120°D.150°【答案】C【解析】将|3|19a b -=两边同时平方，利用数量积的定义，即可求出夹角。
【详解】解：|3|a b -=222(3)9619a b a a b b ∴-=-⋅+=即912cos ,419a b -+=，解得1cos ,2a b =-，向量,a b 的夹角为120°， 故选：C 。
【点睛】本题考查已知向量的模求夹角，属于基础题． 4．为得到函数cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象（ ） A.向左平移6π个长度单位 B.向右平移6π个长度单位。
C.向左平移12π个长度单位D.向右平移12π个长度单位【答案】D【解析】利用三角函数的诱导公式，将函数cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭变形为sin(2)6y x π=+，再根据函数图象平移的公式加以计算，即可得到答案． 【详解】解：cos 2sin 2sin(2)3326y x x x ππππ⎛⎫⎛⎫=-=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 只需将函数sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移12π个单位长度，即sin 2()sin(2)1236y x x πππ⎡⎤=-+=+⎢⎥⎣⎦ 故选：D 。
中学生标准学术能力诊断性测试2020年1月测试文科数学试卷本试卷共150分，考试时间120分钟。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合U ＝N ，A ＝{x|x ＝2n ，n ∈N}，B ＝{x|1<x ≤6，n ∈N}，则()U A B =I ð A. {2，3，4，5，6} B. {2，4，6} C. {1，3，5} D. {3，5}2.复数z ＝(1－mi)2(i 为虚数单位)为纯虚数，则实数m ＝ A.±1 B.－1 C.1 D.03.以双曲线2213y x -=的顶点为焦点，离心率为33的椭圆的标准方程为A.22143x y +=B.22134x y +=C.22196x y +=D.22169x y += 4.函数f(x)＝3ln xx的部分图像是5.已知α∈(0，π)，3sin 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ A.2425 B.－2425 C.725 D.－7256.点P ，Q 在圆x 2＋y 2＋kx －4y ＋3＝0上(k ∈R)，且点P ，Q 关于直线2x ＋y ＝0对称，则该圆的半径为3 2 C.1 27.已知函数f(x)＝x 3－x 和点P(1，－1)，则过点P 与该函数图像相切的直线条数为 A.1 B.2 C.3 D.48.某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是 A.372cm B.373cm C.376cm D.37cm 9.已知数列{a n }是等比数列，前n 项和为S n ，则“2a 3>a 1＋a 5”是“S 2n －1<0”的A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件10.在△PAB 中，已知2,1OB BA ==u u u r u u u r ，∠AOB ＝45°，点P 满足OP OA OB λμ=+u u u r u u u r u u u r (λ，µ∈R)，其中2λ＋µ＝3满足，则|OP uuu r|的最小值为A.355 B.255 C.63 D.6211.边长为2的等边△ABC 和有一内角为30°的直角△ABC 1所在半平面构成60°的二面角，则下列不可能是线段CC 1的取值的是 A.30 B.10 C.10 D.10 12.已知不等式x ＋alnx ＋1x e≥x a 对x ∈(1，＋∞)恒成立，则实数a 的最小值为 A.－e B.－2eC.－eD.－2e 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
中学生标准学术能力诊断性测试2020年5月测试文科数学试卷（一卷）本试卷共150分，考试时间120分钟。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}14P x x =-<<，{}2Q x x =<，则()R P Q ⋂=ð（ ） A ．[)2,4 B ．()1,-+∞ C ．[)2,+∞ D ．(]1,2- 2．已知复数z 满足4zi i=-（其中i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．4iB ．4C ．1D ．1-3．已知实数x ，y 满足约束条件222y x y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则3x y +的最大值为（ ）A ．2B ．6C ．8D ．124．已知实数a ，b 满足5a b +=，23log log a b =，则ab =（ ） A ．2B ．3C ．5D ．65．已知向量a r ，b r 满足1a =r ，2a b -=r r且a b ⊥r r ，则向量a r 与a b -r r 的夹角为（ ）A ．2π3B ．π3C ．5π6D ．π66．已知函数()ln f x x x =，则函数()f x 的单调递增区间为（ ） A ．RB ．()0,+∞C ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．(),e +∞7．数列{}n a 的前n 项和()2*23n S n n n =-∈N ，若5p q +=()*,p q ∈N ，则p q a a +=（ ） A ．6B ．8C ．9D ．108．已知x ，y ∈R ，“1x y +≤且1x y -≤”是“1x y +≤”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知实数0a ≠，则函数()1sin f x ax a ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象一定不可能的是（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知x ，y ∈R ，则方程组21y =⎪=+⎩的解(),x y 的个数（ ）A ．0B ．1C ．2D ．411．已知ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．若4cos a b C b a +=，且()1cos 6A B -=，则cos C =（ ） A ．23B ．34C ．23或34- D ．不存在12．已知m ，n ，p ∈R ，若三次函数()32f x x mx nx p =+++有三个零点a ，b ，c ，且满足()()3112f f -=<，()()022f f =>，则111a b c++的取值范围是（ ） A ．1,13⎛⎫⎪⎝⎭B ．11,43⎛⎫⎪⎝⎭C ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭D ．11,32⎛⎫⎪⎝⎭二、填空题：13．已知1F 和2F 是椭圆2213x y +=的两个焦点，则12F F =______． 14．将1名同学和2名老师随机地排成一排，则该名学生恰好在2名老师中间的概率为______． 15．定义在R 上的偶函数()f x 满足()184f x +=，则()2020f =______．16．已知ABC △中，π2A ∠=，3AB =，4AC =．如图，点D 为斜边BC 上一个动点，将ABD △沿AD 翻折，使得平面AB D '⊥平面ACD ．当BD =______时，B C '取到最小值．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每道试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：17．如图，点0P 是锐角α的终边与单位圆的交点，0OP 逆时针旋转π3得1OP ，1OP 逆时针旋转π3得2OP ，…，1n OP -逆时针旋转π3得n OP ．（1）若0P 的坐标为34,55⎛⎫⎪⎝⎭，求点1P 的横坐标； （2）若点2020P 的横坐标为45，求2πsin 23α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．18．某高中某班共有40个学生，将学生的身高分成4组：平频率/组距[)150,160，[)160,170，[)170,180，[)180,190进行统计，作成如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中a 的值和身高在[)160,170内的人数；（2）求这40个学生平均身高的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（精确到0.01）．19．如图，四棱锥P ABCD -中，PAB △是边长为2的等边三角形．梯形ABCD 满足：1BC CD ==，AB CD ∥，AB BC ⊥．（1）求证：PD AB ⊥；（2）若2PD =，求点D 到平面PBC 的距离．20．如图，已知抛物线C ：24x y =，过直线1y =上一点M 作直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，且点M 为AB 中点、作直线MN AB ⊥交y 轴于点N ．（1）求点N 的坐标；（2）求NAB △面积的最大值． 21．已知函数()()1ln f x x x =+． （1）求()y f x =在1x =处的切线方程：（2）已知实数2k >时，求证：函数()y f x =的图象与直线l ：()1y k x =-有3个交点．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．22．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲] 在极坐标系中，已知曲线C ：2221sin ρθ=+，过点()1,0F -引倾斜角为α的直线l ，交曲线C 于P ，Q 两点．（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 分别交直线2x =±于A ，B 两点，且PQ 、AF BF -、AB 成等比数列，求cos α的值． 23．[选修4-5：不等式选讲] 已知实数a ，b 满足：22a b +=． （1）求证：2821ca b b c +++≥+；（2）若对任意的a ，*b ∈R ，1211c c b a++-≤+恒成立，求c 的取值范围．中学生标准学术能力测试诊断性测试2020年5月测试文科数学（一卷）答案一．选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．14．1315．38+ 16．157三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题 17．解：（1）因为点034,55P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据三角函数的定义可得4sin 5α=，3cos 5α= 根据题意可知点1P 的横坐标为πππ314cos cos cos sin sin 333525ααα⎛⎫+=-=⨯-=⎪⎝⎭ （2）根据题意可知点2020P 的横坐标为2020π4π4cos cos 335αα⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以π4cos 35α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭又因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ5π,336α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以π3sin 35α⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以2πππ24sin 22sin cos 33325ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 18．解：（1）由图可得[)150,160，[)160,170，[)170,180，[)180,190三组的频率分别为0.1250，0.3000，0.1250，可得人数分别为5，12，5， 所以身高在[)160,170内的共有18人， 所以180.04504010a ==⨯；（2）这40个学生平均身高的估计值为()1155516518175121855169.2540⨯⨯+⨯+⨯+⨯= 所以这40个学生平均身高的估计值为169.25cm ． 19．解（1）取AB 的中点O ，连接OP ，OD ，因为PAB △为边长为2的等边三角形， 所以PO AB ⊥，因为1BO CD ==，AB CD ∥， 所以四边形OBCD 为平行四边形， 又因为AB BC ⊥，所以DO AB ⊥． 因为DO PO O ⋂=，所以AB ⊥平面POD ， 所以PD AB ⊥；（2）设点D 到平面PBC 的距离为h ，因为1BC DO ==，PO =，2PD =，所以DO PO ⊥，又因为DO AB ⊥，所以DO ⊥平面PAB ． 由D PBC P DBC V V --=可得，11113232h BC PB PO BC DC ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯，所以2h =． 20．解：设点()11,A x y ，()22,B x y ，中点(),1M t ，直线AB 的斜率为k ，（k 斜率显然存在且不为0）．由21122244x y x y ⎧=⎨=⎩可得()()()1212124x x x x y y -+=-， 所以1212124y y x x x x -+=⨯-，故24t k =，（1）直线MN ：()11y x t k -=--，即()112y x k k-=--，解得点()0,3N ． （2）因为直线AB 经过点(),1M t ，直线AB 的斜率为k ， 所以可得直线AB 的方程是：221y kx k =-+，由22421x y y kx k ⎧=⎨=-+⎩联立可得224840x kx k -+-=， 所以1221224,84,16160,x x k x x k k +=⎧⎪=-⎨⎪∆=-+>⎩，所以12AB x =-=|2k2＋2|又因为点N 到直线AB的距离为d =，所以NAB △的面积21S=+=≤=当213k=时，NAB△的面积取到最大值9．21．解：（1）因为()()1lnf x x x=+，所以()1lnxf x xx+'=+，所以()12f'=，又因为()10f=，所以()f x在1x=处的切线方程22y x=-；（2）证明：当2k>时，函数()y f x=的图象与直线l交点的个数等价于函数()()1ln1k xh x xx-=-+的零点个数，因为()()()()222121211x kxkh xx x x x+-'=-=++，()0,x∈+∞，设()()2221g x x k x=+-+，因为二次函数()g x在x∈R时，()010g=>，()1420g k=-<，所以存在()10,1x∈，()21,x∈+∞，使得()10g x=，()20g x=，所以()h x在()10,x单调递增，()12,x x单调递减，()2,x+∞单调递增．因为()10h=，所以()()110h x h>=，()()210h x h<=，因此()h x在()12,x x存在一个零点1x=；又因为当kx e-=，()()()1211k kkk kk e k eh e ke e-------=--=<++，所以()h x在()1,k e x-存在一个零点；当kx e=时，()()1211kkk kk eh e k ke e-⎛⎫=-=>⎪++⎝⎭，所以()h x在()2,kx e存在一个零点；所以，函数()y f x=的图象与直线l：()1y k x=-有3个交点．（二）选考题：请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]解：（1）曲线C 的方程可化为2212x y +=； （2）设直线l 的参数方程为1cos ,sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩（t 为参数），代入椭圆C 方程得()221sin 2cos 10t t αα+--=，所以1222cos 1sin t t αα+=+，12211sin t t α-=+，故12PQ t t =-=， 又因为4cos AB α=，2=cos AF BF α-，所以244cos cos αα= 当cos 0α≥时，2cos 20αα+-=，解得cos 2α=， 当cos 0α<时，2cos20αα--=，解得cos 2α=，所以cos 2α=2．∴曲线2C的直角坐标方程为20x -+=或100x -=．23．[选修4-5：不等式选讲]（1）解：（1）证明：因为2224a b b a b +++≥++=， 若0c ≤，不等式显然成立;． 若0c >，则288411c c c c=≤=++， 所以2821ca b b c +++≥+， 当()()20a b b +⨯+≥，且1c =取到等号； 综上2821ca b b c +++≥+．（2）因为122222422a b a b a b b a b a b a+++=+=++≥， 所以114c c ++-≤，解得22c -≤≤．。
中学生标准学术能力测试诊断性测试 2020 年 5 月测试文科数学（一卷）答案一．选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A B C D B C D C A B A D二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．13. 2 214. 1315.3 7 8 16. 157三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60 分．17． 解：（1）因为点 P 3 4 , 0 5 5 ，根据三角函数的定义可得 sin ……………2 分 sin ……………2 分 4 ， cos 35 5根据题意可知点 P 的横坐标为 1 ππ π 3 1 4 3 3 4 3 coscos cos sinsin3 3 3 5 2 5 2 10…………6 分 （2）根据题意可知点 P 的横坐标为 cos cos 2020π 4 42020π 44 2020 3 3 54 cos所以 3 5……………8 分π又因为 0, 5π 3，所以 , ，所以sin ……………10 分2 3 3 6 3 5第1页共5 页2πππ24sin 2 2 s in cos所以3 3 3 25……………12 分18．解：（1）由图可得[150,160)，[170,180)，[180,190]三组的频率分别为0.1250，0.3000，0.1250，可得人数分别为5，12 ，5，………………5 分所以身高在[160,170)内的共有18人，………………6 分所以18a40100.450；………………8 分1（2）这40 个学生平均身高的估计值为15551651817512 185 540169.25．………………12 分所以这40 个学生平均身高的估计值为169.25 cm．19．解（1）取AB的中点O，连接OP,OD，因为△PAB为边长为2 的等边三角形，所以P O AB，………………2 分因为B O CD 1，AB//CD，所以四边形OBCD为平行四边形，又因为AB BC，所以D O AB，………………4 分AD CBO因为DO，所以AB平面P OD，所以PD AB；………………6 分（2）设点D到平面PBC的距离为h，P (第19 题)因为B C DO 1，P O 3 ，PD 2，所以D O PO，又因为D O AB，所以D O平面P AB，………………8 分由V D PBC V P DBC可得，1 1 1 1h BC PB PO BC DC，3 2 3 2所以 3h ．………………12 分220．解：设点A x y ，B x y ，中点M t ,1，1, 1 2 , 2y N直线AB的斜率为k，（k斜率显然存在且不为0）．B由2x4y,1 1x4y,22 2可得x x x x y y ，1 2 1 2 4 1 2 O AMx第2页共5 页（第20 题）y y y所以x x 4 1 21 2x x1 2，故2t 4k，………………3 分1 1y 1 x t y 1 x2kk k（1）直线MN : ，即，解得点N 0, 3；………6 分（2）因为直线AB经过点M t ,1，直线AB的斜率为k，所以可得直线AB的方程是：y kx 2k 2 1，由2 4 ,x yy kx2k 1,2联立可得x 2 4kx 8k 2 4 0，x x 4k,1 2所以x x8k4,212，16k16 02所以AB 1k2 x x 1k2 16 16k2 ，………………8 分1 2又因为点N到直线AB的距离为d2k 221k2，………………10 分所以△NAB的面积S 4 1k k 1 2 2 2 2k 1k 1k2 2 2 2 232 2k2 1 k2 1 k2 16 62 2k 1 k 1 k16 6，2 23 9 当 k 2 1 时，△ NAB 的面积取到最大值16 6 39 ．………………12 分 21．解：（1）因为 f x x 1ln x ，所以 f x ln x x1，x 所以 f 1 2，………………2 分 又因为 f 1 0，所以 f x在 x 1处的切线方程 y 2x 2 ； …………4 分 （2）证明：当 k 2 时，函数 y f x 的图象与直线 l 交点的个数等价于函数 lnk x 1h x x 的零点个数， x12 12 k x 1 2kx因为 h x 因为x x x x 1 12 2 ， x 0,， ………………6 分设 g x x 2 2 2k x 1，第3页 共 5 页因为二次函数 g x在 x R 时， g 0 1 0， g 1 4 2k 0 ， 所以存在 x x ，使得 g x ， 10,1 , 2 1, 1 0 g x 2 0，…………8 分 所以 h x 在0, x 单调递增， x 单调递增．x x 单调递减， 1, 2 2,1 因为 h 1 0，所以 h x h， 1 1 0h xh ， ……………10 分 2 1 0 因此 h x 在x x 存在一个零点 x 1；1, 2e 1 2 ek k kk又因为当 x e k ，k h e k 0 e1 e 1k k 所以 h x 在 e k , x 存在一个零点； 1 e 12 kk 当 x e k 时，， h ekk 0 k e 1 e 1 k k所以 h x 在x存在一个零点； 2 ,e k， 所以，函数 y f x 的图象与直线l : y k x 1有 3个交点． …………12 分（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的 第一题计分．作答时请写清题号．22．【选修 4−4：坐标系与参数方程】解：（1）曲线C 的方程可化为 x2 2 y 21；（2）设直线l的参数方程为x 1t cos,y t sin（t为参数），代入椭圆C 方程得1sin t 2t cos 10 ，………………5 分2 22 cost t所以1 2 21 sin1t t，1 2 21sin，故2 2PQ t t1 2 21sin，………6 分又因为AB4，cos2AF BF，………………8分cos4 4 2 2所以 2 2cos cos 1sin，……………6 分当cos 0时，cos 2 2 2 cos 2 0 ，解得cos 2 2 ，当cos 0时，cos 2 2 2 cos 2 0，解得cos 2 2 ，第4页共5 页所以cos 2 2 或 2 2 ．曲线的直角坐标方程为x 3y 2 0或x 3y 10 0 ………………10 分C223．【选修4−5：不等式选讲】（1）解：（1）证明：因为a b b 2 a 2b 2 4 ，………………2 分若c 0 ，不等式显然成立；8c8 8若c 0，则4 ，………………4 分c c211 2 1c8c所以，……………5 分a b b 2c 12当a b b 20，且c 1取到等号；（2）因为8c综上．a b b 2c 121 2 a 2b a 2b a2b24，……………9 分b a2b a2b a所以c 1 c 1 4 ，解得2 c 2．……………10 分第5页共5 页。
2020届清华大学中学生标准学术能力诊断性测试高三5月测试数学（文）试题（一卷）一、单选题1．已知集合{}{}14,2P x x Q x x =-<<=<，那么()R P C Q ⋂=（ ） A ．[)2,4B ．()1,-+∞C ．[)2,+∞D ．(]1,2- 【答案】A 【解析】{}2R C Q x x =≥，所以()[)2,4R P C Q ⋂=，选A.2．已知复数z 满足4z i i =-（其中i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．4iB ．4C ．1D ．1- 【答案】B【解析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】 由4z i i=-，得2(4)414z i i i i i =-=-=+． ∴复数z 的虚部是4．故选：B ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．已知实数x ，y 满足约束条件222y x y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则3x y +的最大值为（ ）A ．2B ．6C ．8D ．12 【答案】C【解析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，3z x y =+表示直线在y 轴上的截距，只需求出可行域直线在y 轴上的截距最大值即可．【详解】先根据约束条件画出可行域，作直线30x y +=，讲直线30x y +=平移，当过点(2,2)时，3x y +取得最大值 ()max 33228x y +=⨯+=故选：C ．【点睛】本题主要考查线性规划问题，以及利用几何意义求最值，属于基础题．4．已知实数a ，b 满足5a b +=，23log log a b =，则ab =（ ）A ．2B ．3C ．5D ．6【答案】D【解析】设23log log a b k ==，则2k a =，3k b =，再利用5a b +=即可求出k 的值，进而求出a ，b 的值．【详解】设23log log a b k ==，则2k a =，3k b =，235k k a b ∴+=+=， 1k ∴=，2a ∴=，3b =，∴236ab =⨯=故选：D ．【点睛】本题主要考查了对数式与指数式的互化，以及对数的运算性质，是基础题．5．已知向量a r ，b r 满足1a =r ，2a b -=r r 且a b ⊥r r ，则向量a r 与a b -r r 的夹角为（ ）A ．2π3B ．π3C ．5π6D ．π6【答案】B【解析】根据()a b b -⊥r r r 即可得出()0a b b -=r r r g ，从而得出·1a b =r r ，进而得出1cos ,2a b <>=r r ，根据向量夹角的范围即可求出夹角． 【详解】Q a b ⊥r r ，∴0a b ⋅=r r∴()21a a b a a b ⋅-=-⋅=r r r r r r 设向量a r 与a b -r r 的夹角为θ∴()1cos 2a a b a a b θ⋅-==-r r r r r r ∵()0,θπ∈∴3πθ=故选：B ．【点睛】考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的运算，向量夹角的余弦公式，属于中档题． 6．已知函数()ln f x x x =，则函数()f x 的单调递增区间为（ ）A ．RB ．()0,∞+C ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．(),e +∞【答案】C【解析】求()ln f x x x =的导数()f x '，由()0f x '>，即可求得答案．【详解】()ln 1f x x '=+Q ， 令()0f x '>得：ln 1x >-，11x e e-∴>=． ∴函数()ln f x x x =的单调递增区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭． 故选：C ．【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，易错点在于忽视函数的定义域，属于中档题．7．数列{}n a 的前n 项和()2*23n S n n n =-∈N ，若5p q +=()*,p q ∈N ，则p q a a +=（ ）A ．6B ．8C ．9D ．10【答案】D 【解析】当1n =时，可得1a ，当2n …时，1n n n a S S -=-，验证1n =时是否适合可得通项公式，代入通项公式求解可得结果．【详解】当1n =时，11231a S ==-=-，当2n …时，221232(1)3(1)45n n n a S S n n n n n -=-=---+-=-， 当1n =时，上式也适合，∴数列{}n a 的通项公式为：45n a n =-∴()454541010p q a a p q p q +=-+-=+-=故选：D ．【点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式和通项公式的关系，属中档题．8．已知x ，y ∈R ，“1x y +≤且1x y -≤”是“1x y +≤”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用区域关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】 1x y +≤且1x y -≤等价于1111x y x y -≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩ 1x y +≤等价于()()()()10,010,010,010,0x y x y x y x y x y x y x y x y ⎧+≤≥≥⎪-≤≥≤⎪⎨-+≤≤≥⎪⎪--≤≤≤⎩作出两个不等式组对应的平面区域都是以()1,0，()0,1，()1,0-，()0,1-为顶点的正方形∴“1x y +≤且1x y -≤”是“1x y +≤”的充要条件，故选：C ．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合充分条件和必要条件结合平面区域的关系是解决本题的关键．9．已知实数0a ≠，则函数()1sin f x ax a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象一定不可能的是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】求函数的导数，判断()0f '的正负情况，即可得出答案.【详解】∵()1sin f x ax a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ∴()1cos f x a ax a ⎛⎫'=+⎪⎝⎭ ∴()10cos f a a'=， 观察各选项的图象，判断()0f '的正负情况，得：观察A 选项的图象，得()10sin 0f a=>，34T <<，故234a π<< ∴223a ππ<<，3122a ππ<<，()10cos 0f a a'=> 故A 选项的图象不符合观察B 选项的图象，得()10sin 0f a=>，67T <<，故267a π<< ∴273a ππ<<，3172a ππ<<，()10cos 0f a a'=> 故B 选项的图象符合观察C 选项的图象，得()10sin 0f a=>，69T <<，故269a π<< ∴293a ππ<<，3192a ππ<<，()10cos 0f a a'=> 故C 选项的图象符合观察D 选项的图象，得()10sin 0f a=>，24T <<，故224a π<< ∴2a ππ<<，112a ππ<<，()10cos 0f a a'=> 故D 选项的图象符合故选：A.【点睛】本题考查了函数的图象的识别，利用导数判断函数的性质，属于中档题．10．已知x ，y ∈R ，则方程组21y =⎪=+⎩的解(),x y 的个数（ ）A ．0B ．1C ．2D ．4【解析】2=的几何意义知图像是双曲线，化简得2213y x -=，故题目等价于求解直线1y =+与双曲线2213y x -=的交点个数，联立方程组求解即可.【详解】设()12,0F -，()22,0F ，(),P x y2=等价于212PF PF -=∴动点P 的轨迹是以()12,0F -，()22,0F 为焦点，以2为实轴长的双曲线∴2c =，1a =，b =∴双曲线的标准方差为2213y x -= ∴题目等价于求解直线1y =+与双曲线2213y x -=的交点个数 联立22131y x y⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，求解得1x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩∵方程组只有一组解，故直线1y =+与双曲线2213y x -=只有一个交点 故选：B.【点睛】本题主要考查双曲线和直线的位置关系，根据定义判断得到曲线为双曲线是解题的关键.11．已知ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．若4cos a b C b a+=，且()1cos 6A B -=，则cos C =（ ） A ．23 B ．34 C ．23或34- D ．不存在【解析】由题意，利用余弦定理和正弦定理，化简求得222sin sin 2sin A B C +=，再利用降幂公式与和差化积，以及同角的三角函数关系，求得cos C 的值．【详解】ABC ∆中，4cos b a C a b+=，cos 0C ∴>；2222222cos 2()a b ab c a b c ∴+=⨯=+-， 2222a b c ∴+=，222sin sin 2sin A B C ∴+=， ∴21cos21cos22sin 22A B C --+=， 即22(cos2cos2)4sin A B C -+=；22cos[()()]cos[()()]4sin A B A B A B A B C -++--+--=222cos()cos()4sin A B A B C ∴-+-=， 又1cos()6A B -=，cos()cos A B C +=-， 2212cos 4sin 4(1cos )3C C C ∴+==⨯-， 化简得212cos cos 60C C +-=，解得2cos 3C =或3cos 4C =- ∵4cos 2a b C b a =+≥，1cos 2C ≥ ∴2cos 3C =． 故选：A ．【点睛】本题考查了三角恒等变换应用问题，也考查了正弦、余弦定理的应用问题，是中档题．12．已知m ，n ，p ∈R ，若三次函数()32f x x mx nx p =+++有三个零点a ，b ，c ，且满足()()3112f f -=<，()()022f f =>，则111a b c ++的取值范围是（ ） A ．1,13⎛⎫⎪⎝⎭B ．11,43⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】根据条件建立方程求出m ，n 的值，然后回代，求出p 的范围，结合零点式求出a ，b ，c 的等式关系，结合不等式的性质进行求解即可．【详解】∵()()3112f f -=<，()()022f f => ∴11842m n p m n p p m n p -+-+=+++⎧⎨=+++⎩，即10240n m n +=⎧⎨++=⎩， 得321m n ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，代入得323()2f x x x x p =--+， ∵()312f -<，()02f > ∴3311222p p ⎧--++<⎪⎨⎪>⎩，解得23p <<，设三次函数的零点式为()()()()f x x a x b x c =---，比较系数得1ab bc ca ++=-，abc p =-， 故1111ab bc ca a b c abc p ++++==∈11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭故选：D.【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，利用条件求出参数m ，n ，利用函数零点式以及不等式的关系进行转化是解决本题的关键．二、填空题13．已知1F 和2F 是椭圆2213x y +=的两个焦点，则12F F =______．【答案】【解析】求出椭圆的a ，b，再由c 2c ．【详解】 椭圆2213x y +=的a =1b =，∴c ==即有12||F F =故答案为：．【点睛】本题考查椭圆的方程，主要考查椭圆的焦距的求法，考查运算能力，属于基础题． 14．将1名同学和2名老师随机地排成一排，则该名学生恰好在2名老师中间的概率为______． 【答案】13【解析】用列举法计算总的排法和该名学生恰好在2名老师中间的排法，由概率公式可得．【详解】设学生用a 表示，老师用A 、B 表示1名同学和2名老师随机地排成一排，总的排法有：aAB ，aBA ，AaB ，ABa ，BaA ，BAa ，共6种其中该名学生恰好在2名老师中间的有AaB ，BaA 共2种所以该名学生恰好在2名老师中间的概率为2163P ==. 故答案为：13． 【点睛】本题主要考查古典概型的计算，属于基础题．15．定义在R 上的偶函数()f x 满足()184f x +=，则()2020f =______．【解析】将等式中的x 替换为x -，两式相减得()()88f x f x +=-+，结合()f x 是偶函数，得到函数()f x 的周期8T =，所以()()()202044f f f ==-，令4x =-代入求解即可.【详解】∵()()()2184f x f x f x +=+-……①将①中的x 替换为x -，得()()()2184f x f x f x -+=+---……②①-②得()()880f x f x +--+=又∵()f x 是偶函数，故()()f x f x -= ∴()()()888f x f x f x +=-+=- ∴()f x 是周期函数，16T =∴()()()()202012616444f f f f =⨯+==- ①式中令4x =-，得()()()2148444f f f -+=+---∴()()()214444f f f =+-，整理得()()()()()2232424410440144f f f f f ⎧⎪-+=⎪-≥⎨⎪⎪≥⎩解得()374f +=∴()()20204f f ==37+ 故答案为：378+. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和周期性，属于中档题. 16．已知ABC V 中，π2A ∠=，3AB =，4AC =．如图，点D 为斜边BC 上一个动点，将ABD △沿AD 翻折，使得平面AB D '⊥平面ACD ．当BD =______时，B C '取到最小值．【答案】157【解析】设BAD ∠=α，作BE AD ⊥或AD 的延长线于E 点，作CF AD ⊥或AD 的延长线于F 点，求出BE 、CF 、EF ，表示出2512sin 2B C α'=-，利用三角函数性质求最值，B C '取最小值时，4πα=，在BAD V 中利用正弦定理可求BD 的值. 【详解】设BAD ∠=α，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，作BE AD ⊥或AD 的延长线于E 点，作CF AD ⊥或AD 的延长线于F 点，则ACF BAD α∠=∠=，3sin BE α=，3cos AE α=，4cos CF α=，4sin AF α=∴4sin 3cos EF AF AE αα=-=- ∴2222512sin 2B C BE CF EF α'=++=-∴当sin21α=，即4πα=时，min 13B C ' 在Rt ABC V 中，4sin 5ABC ∠=，3cos 5ABC ∠= 在BAD V 中，由正弦定理得sin sin BD ABBAD ADB=∠∠ 即()3sin sin BD ABC αα=∠+ ∴()3sin 3sin 15sin sin cos cos sin 7BD ABC ABC ABC ααααα===∠+∠+∠.故答案为：157. 【点睛】本题主要考查空间中的线段长计算，考查正弦定理得应用，考查学生的计算能力，属于难题.三、解答题17．如图，点0P 是锐角α的终边与单位圆的交点，0OP 逆时针旋转π3得1OP ，1OP 逆时针旋转π3得2OP ，…，1n OP -逆时针旋转π3得n OP ．（1）若0P 的坐标为34,55⎛⎫⎪⎝⎭，求点1P 的横坐标； （2）若点2020P 的横坐标为45，求2πsin 23α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．【答案】（1343-2）2425- 【解析】（1）由题意利用任意角的三角函数的定义，求得cos α、sin α的值，再利用两角和的余弦公式即可求解；（2）根据得2020P 的横坐标4cos(2020)35πα+⨯=的值，化简得π4cos 35α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，利用同角三角函数关系和二倍角公式可求2πsin 23α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值． 【详解】（1）因为点034,55P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据三角函数的定义可得4sin 5α=，3cos 5α=根据题意可知点1P 的横坐标为πππ3143343cos cos cos sin sin 333525ααα-⎛⎫+=-=⨯-=⎪⎝⎭ （2）根据题意可知点2020P 的横坐标为2020π4π4cos cos 335αα⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以π4cos 35α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ 又因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ5π,336α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以π3sin 35α⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以2πππ24sin 22sin cos 33325ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角公式、诱导公式、两角和的余弦公式，属于中档题．18．某高中某班共有40个学生，将学生的身高分成4组：平频率/组距[)150,160，[)160,170，[)170,180，[)180,190进行统计，作成如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中a 的值和身高在[)160,170内的人数；（2）求这40个学生平均身高的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（精确到0.01）．【答案】（1）0.0450；18人，（2）169.25cm ．【解析】（1）根据频率分布直方图和频率的定义可得a 的值，计算身高在[)160,170内的频率，由此能估计身高在[)160,170内的人数；（2）同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，直接计算可得平均身高的估计值. 【详解】（1）由图可得[)150,160，[)170,180，[)180,190三组的频率分别为0.1250，0.3000，0.1250 所以10.12500.30000.12500.045010a ---==所以身高在[)160,170内的人数为：400.0451018⨯⨯=（人） （2）这40个学生平均身高的估计值为()1155516518175121855169.2540⨯⨯+⨯+⨯+⨯= 所以这40个学生平均身高的估计值为169.25cm ． 【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用以及平均数的计算问题，属于基础题.19．如图，四棱锥P ABCD -中，PAB △是边长为2的等边三角形．梯形ABCD 满足：1BC CD ==，AB ∥CD ，AB BC ⊥．（1）求证：PD AB ⊥；（2）若2PD =，求点D 到平面PBC 的距离． 【答案】（1）见解析（2）3【解析】（1）证明AB ⊥平面POD ，由PD ⊂平面POD ，从而得到PD AB ⊥； （2）利用等体积法D PBC P DBC V V --=计算即可得结果. 【详解】（1）取AB 的中点O ，连接OP ，OD ，因为PAB △为边长为2的等边三角形， 所以PO AB ⊥，因为1BO CD ==，AB ∥CD ， 所以四边形OBCD 为平行四边形， 又因为AB BC ⊥，所以⊥DO AB ． 因为DO PO O =I ，所以AB ⊥平面POD ， 所以PD AB ⊥；（2）设点D 到平面PBC 的距离为h ，因为1BC DO ==，3PO =2PD =，所以DO PO ⊥， 又因为⊥DO AB ，所以DO ⊥平面PAB ． 由D PBC P DBC V V --=可得，11113232h BC PB PO BC DC ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯， 所以32h =． 【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理和点到平面的距离计算，利用等体积法是解决点到平面的距离的关键.20．如图，已知抛物线C ：24x y =，过直线1y =上一点M 作直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，且点M 为AB 中点、作直线MN AB ⊥交y 轴于点N ．（1）求点N 的坐标； （2）求NAB △面积的最大值． 【答案】（1）()0,3N （2）166【解析】（1）设点()11,A x y ，()22,B x y ，中点(),1M t ，直线AB 的斜率为k ，利用点差法得2t k =，写出直线MN 的方程可得N 的坐标；（2）设出直线AB 的方程，与抛物线方程联立，利用弦长公式得2121AB k x x =+-，利用点到直线的距离公式得点N 到直线AB 的距离，进而表示出NAB ∆的面积，利用基本不等式确定三角形面积的最大值． 【详解】设点()11,A x y ，()22,B x y ，中点(),1M t ，直线AB 的斜率为k ，（k 斜率显然存在且不为0）．由21122244x y x y ⎧=⎨=⎩可得()()()1212124x x x x y y -+=-， 所以1212124y y x x x x -+=⨯-，故24t k =，（1）直线MN ：()11y x t k -=--，即()112y x k k-=--，解得点()0,3N ． （2）因为直线AB 经过点(),1M t ，直线AB 的斜率为k ， 所以可得直线AB 的方程是：221y kx k =-+，由22421x yy kx k ⎧=⎨=-+⎩联立可得224840x kx k -+-=， 所以1221224,84,16160,x x k x x k k +=⎧⎪=-⎨⎪∆=-+>⎩，所以12AB x =-= 又因为点N 到直线AB的距离为d =，所以NAB △的面积为：2112S AB d ==+=≤=当213k =时，NAB △ 【点睛】本题考查抛物线的性质、直线与抛物线的位置关系的应用，注意韦达定理、弦长公式、不等式等知识的灵活运用，考查运用解析几何的方法解决数学问题的能力，属于中档题． 21．已知函数()()1ln f x x x =+． （1）求()y f x =在1x =处的切线方程：（2）已知实数2k >时，求证：函数()y f x =的图象与直线l ：()1y k x =-有3个交点．【答案】（1）22y x =-（2）见解析【解析】（1）求出原函数的导函数，可得()12f '=，再求出切点为（1，0），利用直线方程的点斜式可得函数的图象在1x =处的切线方程；（2）函数()y f x =的图象与直线l 交点的个数等价于函数()()1ln 1k x h x x x -=-+的零点个数，通过导数判断函数的单调性，求函数的最值同0进行比较，得到结果. 【详解】（1）因为()()1ln f x x x =+，所以()1ln x f x x x+'=+， 所以()12f '=，又因为()10f =，所以()f x 在1x =处的切线方程22y x =-；（2）证明：当2k >时，函数()y f x =的图象与直线l 交点的个数等价于函数()()1ln 1k x h x x x -=-+的零点个数， 因为()()()()222121211x kx k h x x x x x +-'=-=++，()0,x ∈+∞， 设()()2221g x x k x =+-+，因为二次函数()g x 在x ∈R 时，()010g =>，()1420g k =-<， 所以存在()10,1x ∈，()21,x ∈+∞，使得()10g x =，()20g x =， 所以()h x 在()10,x 单调递增，()12,x x 单调递减，()2,x +∞单调递增． 因为()10h =，所以()()110h x h >=，()()210h x h <=， 因此()h x 在()12,x x 存在一个零点1x =； 又因为当k x e -=，()()()12011k k k kkk e k e h e k e e -------=--=<++，所以()h x 在()1,ke x -存在一个零点；当k x e =时，()()12011k k kk k e h e k k e e -⎛⎫=-=> ⎪++⎝⎭， 所以()h x 在()2,kx e存在一个零点；所以，函数()y f x =的图象与直线l ：()1y k x =-有3个交点．【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查运用导数研究函数性质的方法，考查运算能力，考查函数与方程的数学思想方法和分析问题、解决问题的能力. 22．在极坐标系中，已知曲线C ：2221sin ρθ=+，过点()1,0F -引倾斜角为α的直线l ，交曲线C 于P ，Q 两点． （1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 分别交直线2x =±于A ，B 两点，且PQ 、AF BF -、AB 成等比数列，求cos α的值．【答案】（1）2212x y +=；（2）cos 2α=2【解析】（1）曲线C 的极坐标方程转化为222sin 2ρρθ+=，由此能求出曲线C 的直角坐标方程；（2）写出直线l 的参数方程，将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，得()222cos 2cos 10tt αα--⋅-=，由此韦达定理、等比数列的性质，结合已知条件能求出cos α的值． 【详解】（1）∵曲线C ：2221sin ρθ=+∴222sin 2ρρθ+=∴曲线C 的直角坐标方程为2222x y y ++=，化简得2212x y +=（2）直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，整理得：()222cos 2cos 10tt αα--⋅-=设P ，Q 两点对应的参数分别为1t ，2t ，则1222cos 2cos t t αα+=-，12212cos t t α-=-∴1222cos PQ t t α=-==- 设直线l 交直线2x =-于A 点，直线l 交直线2x =于B 点，∴1cos AF α=，3cos BF α=，4cos AB AF BF α=+=（2πα≠） ∵PQ 、AF BF -、AB 成等比数列 ∴()2AF BFPQ AB -=⋅代入数据得：22134cos cos 2cos cos αααα⎛⎫-=⋅ ⎪ ⎪-⎝⎭解得：cos 2α=或cos 2α=.【点睛】本题考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查等比数列的性质，考查题目转换能力和运算求解能力，是中档题. 23．已知实数a ，b 满足：22a b +=． （1）求证：2821ca b b c +++≥+； （2）若对任意的a ，*b ∈R ，1211c c b a++-≤+恒成立，求c 的取值范围． 【答案】（1）见解析（2）22c -≤≤【解析】（1）利用基本不等式和绝对值的三角不等式证明； （2）利用基本不等式求出12b a+的最小值，得出114c c ++-≤，再讨论c 的范围解出c . 【详解】（1）证明：因为2224a b b a b +++≥++=， 若0c ≤，不等式显然成立;．若0c >，则288411c c c c=≤=++， 所以2821ca b b c +++≥+，当()()20a b b +⨯+≥，且1c =取到等号； 综上2821ca b b c +++≥+． （2）因为122222422a b a b a b b a b a b a+++=+=++≥，第 21 页 共 21 页 所以114c c ++-≤，当1c ≤-时，()114c c -++-≤，解得2c ≥-，∴21c -≤≤-；当11c -<<时，1124c c ++-=≤，∴11c -<<；当1c ≥时，114c c ++-≤，解得2≤c ，∴12c ≤≤.综上，解得22c -≤≤.【点睛】本题考查 了不等式的证明，绝对值不等式的解法，绝对值的三角不等式和基本不等式的应用，属于中档题.。
中学生标准学术能力测试诊断性测试2020年1月测试文科数学（一卷）答案一． 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只二． 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13. [)(]1,00,1−14. (]}{0,2415. ()1,00,2⎛⎫−∞ ⎪⎝⎭16.14三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60分．17． 解：记A 表示事件：考生选择生物学科B 表示事件：考生选择物理但不选择生物学科；C 表示事件：考生至少选择生物、物理两门学科中的1门学科；D 表示事件：选择生物但不选择物理E 表示事件：同时选择生物、物理两门学科 （1）()()0502P A .P B .C AB ===，，,AB =∅ ………………………………2分()()()()0.7P C P AB P A P B ==+= ………………………………5分（2）由某校高二段400名学生中，选择生物但不选择物理的人数为140，可知()350.D P = ………………………………7分 因为DE A = ………………………………9分()()()15.035.05.0=−=−=D P A P E P ………………………………12分18．解：（1）设数列{}n a 的公差为d （0d ≠），由题意得⎩⎨⎧==512211a a a a ，解得⎩⎨⎧==211d a ………………………………3分所以2,12n S n a n n =−= ………………………………6分 （2）因为()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+−=+=−+=1114114111212n n n n n b n ………………………………9分 所以()41n nT n =+ ………………………………12分19．解（1）由已知AP ⊥面PCD ，可得AP ⊥PC ，AP ⊥ C D ，由题意得，ABCD 为直角梯形，如图所示，易得// BE CD ,所以， AP BE ⊥ ．又因为BE ⊥AC ，所以BE ⊥⊥面APC ,故BE ⊥ PO ． ………………………………3分 在直角梯形ABCD中?AC AB AP PC ==⊥，， ，所以PAC ∆为等腰直角三角形，O 为斜边AC 上的中点，所以PO AC ⊥．ABCD ,面⊂=BE O AC BE ，所以PO ⊥平面ABCD …………………………6分（2）法一：以O 为原点，分别以OB OC OP ，， 为x 轴，y 轴，z 轴的建立直角坐标系． 不妨设1BO =A(0,-1,0) , B(1,0,0), P (0,0,1), D(-2,1,0), 设(,,)n x y z =是平面PBD 的法向量．满足00n PB n BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ,所以030x z x y −+=⎧⎨−+=⎩ ，则令1x = ，解得(1,3,1)n =…………9分 222sin cos ,11AB n AB n AB nθ⋅===⋅ ……………………………12分 法二：（等体积法求A 到平面PBD 的距离）设AB=1，点A 到平面PBD 的距离为h ，计算可得,411=ΔPBD S A PBD P ABD V V −−= …………………………9分PO S h S ΔABD ΔPBD ⋅⋅=⋅⋅3131,1,ABD S ∆=2PO =解得h =…………………………11分sin h AB θ== …………………………12分20．解（1）x xax ≥+ln 在(]1,0恒成立，得x x x a ln −≥在(]1,0恒成立。
2020届北京市清华大学中学生标准学术能力诊断性测试测试数学（文）（一卷）试题一、单选题1．已知全集U =R ，集合10x A x x ⎧⎫-=≥⎨⎬⎩⎭，(){}lg 31B x y x ==-，则()UA B =ð（ ） A ．(]0,1 B ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．1,13⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】B【解析】求出集合A 、B ，利用补集的定义求出集合U B ð，然后利用交集的定义可求出集合()U A B ∩ð. 【详解】(]11000,1x x A x x x x ⎧⎫⎧⎫--=≥=≤=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，(){}{}1lg 31310,3B x y x x x ⎛⎫==-=->=+∞ ⎪⎝⎭，则1,3U B ⎛⎤=-∞ ⎥⎝⎦ð，因此，()10,3U A B ⎛⎤= ⎥⎝⎦ð.故选：B. 【点睛】本题考查交集和补集的计算，同时也考查分式不等式与对数函数定义域的计算，考查运算求解能力，属于基础题. 2．已知a R ∈，复数23a iz i -=+（i 为虚数单位），若z 为纯虚数，则a =（ ） A ．23B ．23- C ．6 D ．6-【答案】A【解析】利用复数的除法法则将复数z 表示为一般形式，由题意得出该复数的实部为零，虚部不为零，可求出实数a 的值. 【详解】()()()()()()233262326333101010a i i a a i a i a a z i i i i ----+--+====-++-， 由于复数z 为纯虚数，则320106010a a -⎧=⎪⎪⎨+⎪≠⎪⎩，解得23a =.故选：A. 【点睛】本题考查复数的除法运算，同时考查了复数相关的概念，解题的关键就是利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式，考查运算求解能力，属于基础题.3．某单位200名职工的年龄分布情况如图所示，现要从中抽取25名职工进行问卷调查，若采用分层抽样方法，则40~50岁年龄段应抽取的人数是（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】C【解析】先计算出饼图中40~50岁的职工所占的比例，再乘以25即可得出结果. 【详解】由题中饼图可知，40~50岁年龄段的职工所占的比例为10.440.20.36--=， 因此，40~50岁年龄段应抽取的人数是250.369⨯=. 故选：C. 【点睛】本题考查利用分层抽样计算所抽取的人数，根据分层抽样的特点列方程是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题.4．下列函数中，在区间()0,∞+上单调递增的是（ ） A ．3x y -= B ．0.5log y x =C ．21y x=D ．12x y x +=+ 【答案】D【解析】分析各选项中函数在区间()0,∞+上的单调性，可得出合乎题意的选项.【详解】对于A 选项，函数133xx y -⎛⎫== ⎪⎝⎭在区间()0,∞+上为减函数； 对于B 选项，函数0.5log y x =在区间()0,∞+上为减函数； 对于C 选项，函数21y x =在区间()0,∞+上是减函数； 对于D 选项，函数()21111222x x y x x x +-+===-+++在区间()0,∞+上是增函数. 故选：D. 【点睛】本题考查基本初等函数单调性的判断，熟悉一些基本初等函数的单调性是判断的关键，考查推理能力，属于基础题.5．已知抛物线24y x =的焦点为F ，直线l 过点F 与抛物线交于A 、B 两点，若3AF BF =，则AB =（ ）A ．4B ．92C ．132D ．163【答案】D【解析】设直线l 的方程为1x my =+，由3AF BF =，得出3AF FB =uu u r uu r，可得出123y y =-，并将直线l 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，结合关系式123y y =-求得213m =，再利用抛物线的定义可求出AB . 【详解】 如下图所示：抛物线24y x =的焦点为()1,0F ，设直线l 的方程为1x my =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 的方程与抛物线的方程联立241y xx my ⎧=⎨=+⎩，得2440y my --=.由韦达定理得124y y m +=，124y y =-，3AF BF =，3AF FB ∴=，即()()11221,31,x y x y --=-，123y y ∴-=，即123y y =-.则12224y y y m +=-=，得22y m =-，由221224312y y y m -==-=-，所以，213m =. 由抛物线的定义得()()()21212124162112444433AB x x my my m y y m =++=++++=++=+=+=. 故选：D. 【点睛】本题考查抛物线焦点弦的性质，将直线方程与抛物线联立，利用韦达定理法结合抛物线的定义求解是解题的关键，考查运算求解能力，属于中等题. 6．已知1tan 43πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则()()sin 22sin cos 2παπαπα⎛⎫+--+= ⎪⎝⎭（ ）A ．75B ．15C ．15-D ．3125【答案】A【解析】利用两角差的正切公式求出tan α的值，然后利用诱导公式、二倍角公式结合弦化切的思想可求出所求代数式的值. 【详解】tan tantan 114tan 41tan 31tan tan 4παπααπαα--⎛⎫-===- ⎪+⎝⎭+，解得1tan 2α=. 因此，()()sin 22sin cos cos 22sin cos 2παπαπαααα⎛⎫+--+=+ ⎪⎝⎭222222cos sin 2sin cos cos sin 2sin cos cos sin αααααααααα-+=-+=+222222222222211cos sin 2sin cos 121tan 2tan 722cos cos cos cos sin 1tan 511cos cos 2αααααααααααααα⎛⎫-+⨯-+ ⎪-+⎝⎭====+⎛⎫++ ⎪⎝⎭. 故选：A. 【点睛】本题考查两角差的正切公式、诱导公式、二倍角公式求值，解题的关键就是利用弦化切思想进行化简，同时也要注意弦化切所适用的基本类型，考查运算求解能力，属于中等题.7．设变量x 、y 满足约束条件20240240x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，且z kx y =+的最大值为12，则实数k 的值为（ ） A ．2- B ．3-C ．2D ．3【答案】C【解析】作出不等式组所表示的可行域，可知当直线z kx y =+经过可行域的顶点()4,4和点()0,12时，直线z kx y =+在y 轴上的截距最大，且为12，再将点()4,4代入直线z kx y =+的方程可求出实数k 的值. 【详解】作出不等式组20240240x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩所表示的可行域如下图所示：联立240240x y x y -+=⎧⎨--=⎩，得44x y =⎧⎨=⎩，得点()4,4A .作直线z kx y =+，由图形可知，当直线z kx y =+过点()0,12P 和点()4,4A 时，直线z kx y =+在y 轴上的截距最大，此时z 取到最大值，即max 4412z k =+=，解得2k =.故选：C. 【点睛】本题考查含参的线性规划问题，解题的关键就是利用数形结合法找出线性目标函数取得最值时的位置，考查数形结合思想的应用，属于中等题.8．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若1a =，c =，sin sin 3b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则sin C =（ ）AB．7C．12D【答案】B【解析】利用两角差的正弦公式和边角互化思想可求得tan B =，可得出6B π=，然后利用余弦定理求出b 的值，最后利用正弦定理可求出sin C 的值. 【详解】1sin sin cos sin 322b A a B a B a B π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，即1sin sin cos sin sin 22A B A B A B =-，即3sin sin cos A B A A =， sin 0A >，3sin B B ∴=，得tan 3B =，0B π<<，6B π∴=.由余弦定理得b === 由正弦定理sin sin c bC B=，因此，1sin sin c B C b ===. 故选：B. 【点睛】本题考查三角形中角的正弦值的计算，考查两角差的正弦公式、边角互化思想、余弦定理与正弦定理的应用，考查运算求解能力，属于中等题.9．某三棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A ．27πB ．28πC ．29πD ．30π【答案】C【解析】作出三棱锥的实物图P ACD -，然后补成直四棱锥P ABCD -，且底面为矩形，可得知三棱锥P ACD -的外接球和直四棱锥P ABCD -的外接球为同一个球，然后计算出矩形ABCD 的外接圆直径AC ，利用公式2R =球的直径2R ，再利用球体的表面积公式即可得出该三棱锥的外接球的表面积. 【详解】三棱锥P ACD -的实物图如下图所示：将其补成直四棱锥P ABCD -，PB ⊥底面ABCD ， 可知四边形ABCD 为矩形，且3AB =，4BC =.矩形ABCD 的外接圆直径5AC ，且2PB =.所以，三棱锥P ACD -外接球的直径为2R ==因此，该三棱锥的外接球的表面积为()224229R R πππ=⨯=. 故选：C. 【点睛】本题考查三棱锥外接球的表面积，解题时要结合三视图作出三棱锥的实物图，并分析三棱锥的结构，选择合适的模型进行计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.10．函数||13cos 6x y x e =-的大致图象是（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】A【解析】设()13cos 6xf x x e =-，利用定义分析函数()y f x =的奇偶性，然后利用导数判断出函数()y f x =在区间()0,∞+上的单调性，即可得出函数()y f x =的图象. 【详解】设()13cos 6xf x x e =-，该函数的定义域为R ， ()()()113cos 3cos 66x xf x x e x e f x --=--=-=，则函数()y f x =为偶函数.当0x >时，()13cos 6xf x x e =-，当0πx <<时，()13sin 06xf x x e '=--<；当x π>时，()113sin 3066x f x x e e π'=--<-<.所以，函数()y f x =在区间()0,∞+上为减函数. 因此，选项A 中的图象为函数13cos 6xy x e =-的图象. 故选：A. 【点睛】本题考查函数图象的识别，一般从函数的定义域、奇偶性、单调性、零点与函数值符号来进行判断，考查推理能力，属于中等题.11．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，直线:l y =与C 交于A 、B 两点，AF 、BF 的中点分别为M 、N ，若以线段MN 为直径的圆经过原点，则双曲线的离心率为（ ）A ．3B ．1C 2D 1【答案】D【解析】作出图形，由题意得出2MON π∠=，再由中位线的性质可得出2AFB π∠=，设双曲线C 的左焦点为F '，可得出2F AF π'∠=，6AF F π'∠=，可得出AF '=，AF c =，再利用双曲线的定义即可求出其离心率.【详解】如下图所示，设双曲线C 的焦距为()20c c >，由于以线段MN 为直径的圆经过原点，则2MON π∠=，AF 、BF 的中点分别为M 、N ，且O 为AB 的中点，//OM BF ∴，//ON AF ，2AFB π∴∠=，O 为FF '的中点，所以，四边形AFBF '为矩形，2F AF π'∴∠=，由于直线l 3AOF π∠=，所以，6AF F π'∠=，2cos6AF c π'∴==，2sin6AF c c π==，由双曲线的定义得2AF AF a '-=2c a -=，因此，双曲线C 的离心率为1c e a ===. 故选：D. 【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，考查了双曲线的定义，在涉及焦点三角形问题时，应充分分析三角形的形状，结合正弦、余弦定理以及锐角三角函数来计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.12．在ABC ∆中，8AB =，6AC =，60A ∠=，M 为ABC ∆的外心，若AM AB AC λμ=+，λ、R μ∈，则43λμ+=（ ）A ．34B ．53C ．73D ．83【答案】C【解析】作出图形，先推导出212AM AB AB ⋅=，同理得出212AM AC AC ⋅=，由此得出关于实数λ、μ的方程组，解出这两个未知数的值，即可求出43λμ+的值. 【详解】如下图所示，取线段AB 的中点E ，连接ME ，则AM AE EM =+且EM AB ⊥，()212AM AB AE EM AB AE AB EM AB AB ∴⋅=+⋅=⋅+⋅=， 同理可得212AM AC AC ⋅=，86cos6024AB AC ⋅=⨯⨯=，由221212AM AB AB AM AC AC ⎧⋅=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩，可得()()3218AB AC AB AB AC AC λμλμ⎧+⋅=⎪⎨+⋅=⎪⎩，即642432243618λμλμ+=⎧⎨+=⎩，解得512λ=，29m =，因此，52743431293λμ+=⨯+⨯=. 故选：C. 【点睛】本题考查利用三角形外心的向量数量积的性质求参数的值，解题的关键就是利用三角形外心的向量数量积的性质列方程组求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.二、填空题13．已知{}n a 为等比数列，若33a =，512a =，则7a =__________. 【答案】48【解析】利用等比中项的性质得出2537a a a =，由此可得出7a 的值.【详解】由等比中项的性质可得2537a a a =，2257312483a a a ∴===. 故答案为：48. 【点睛】本题考查等比数列中项的计算，利用等比中项的性质进行计算是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题.14．若函数()()2cos 2cos 202f x x x πθθ⎛⎫=++<< ⎪⎝⎭的图象过点()0,1M ，则()f x 的值域为__________.【答案】33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【解析】将点()0,1的坐标代入函数()y f x =的解析式，求出4πθ=，利用诱导公式和二倍角余弦公式得出()22sin 2sin 1f x x x =--+，换元[]sin 1,1t x =∈-，于是可将函数()y f x =的值域转化为二次函数213222y t ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭在[]1,1t ∈-上的值域，利用二次函数的基本性质即可求解. 【详解】由题意可得()02cos2cos02cos211f θθ=+=+=，得cos20θ=，02πθ<<，02θπ∴<<，22πθ∴=，则4πθ=，()22cos cos 2cos 22sin 2sin 2sin 12f x x x x x x x π⎛⎫∴=++=-=--+ ⎪⎝⎭2132sin 22x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，令[]sin 1,1t x =∈-，则213222y t ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭.当12t =-时，该函数取最大值，即max 32y =，当1t =时，该函数取最小值，即min 3y =-.因此，函数()y f x =的值域为33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故答案为：33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查正弦型二次函数值域的求解，利用诱导公式、二倍角余弦公式化为有关正弦的二次函数的值域是解题的关键，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.15．黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德·黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用，其定义为：()[]1,,,0,0,10,1q qx p q p p p R x x ⎧⎛⎫=⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪=⎩当都是正整数是既约真分数当或上的无理数，若函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意x 都有()()20f x f x -+=，当[]0,1x ∈时，()()f x R x =，则()18lg 305f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭_________. 【答案】15-【解析】先利用题中条件推导出函数()y f x =是以2为周期的周期函数，然后利用题中定义结合周期性和奇偶性可分别求出185f ⎛⎫⎪⎝⎭和()lg30f 的值，相加即可. 【详解】由于函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且()()20f x f x +-=，()()()22f x f x f x ∴=--=-，所以，函数()y f x =是以2为周期的周期函数，则181822214=555555f f f f R ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-=--⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()()()()()()lg30lg3lg10lg31lg311lg31lg30f f f f f R =+=+=-=--=--=， 因此，()181lg 3055f f ⎛⎫+=-⎪⎝⎭. 故答案为：15-. 【点睛】本题考查新定义函数值的计算，推导出函数的周期是解题的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.16．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，过点1D 、E 、F 的截面将正方体分割成两部分，则较小部分几何体的体积为__________.【答案】32572a 【解析】先将截面1D EF 在正方体各个面上的交线画出来，并将位于截面下方的几何体的体积计算出来，即可得出答案. 【详解】 如下图所示，延长EF 分别交DA 、DC 的延长线于M 、N ，连接DM 交1AA 于点G ，连接1D N 交1CC 于点H ，再连接GE 、HF ，则该截面截正方形的截面为五边形1D GEFH .//BC AD Q ，则//AM BF ，则EMA EFB ∠=∠，EAM EBF ∠=∠，E 为AB 的中点，则AE BE =，EAM EBF ∴∆≅∆，2aAM BF ∴==，同理2a CN =， 11//AM A D ，11GAMGA D ∴∆∆，11112AG AM A G A D ∴==，1133a AG AA ∴==， 在Rt MDN ∆中，32DM DN a ==，则21928DMN S DM DN a ∆=⋅=， 123111933388D DMNDMN V S DD a a a -∆=⋅=⨯⨯=，2211112228AMNS AM AE a a ∆⎛⎫=⋅=⨯= ⎪⎝⎭，2311111338372G AME AME V S AG a a a -∆=⋅=⨯⨯=，所以，正方体位于截面1D GEFH 下方的几何体体积为133333125122872722D DMN G AME V V a a a a ---=-⨯=<.因此，较小部分几何体的体积为32572a . 故答案为：32572a . 【点睛】本题考查截面截几何体所得体积的计算，作出截面图形是解题的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.三、解答题17．某学校为了解学生假期参与志愿服务活动的情况，随机调查了30名男生，30名女生，得到他们一周参与志愿服务活动时间的统计数据如右表（单位：人）：（1）能否有95%的把握认为该校学生一周参与志愿服务活动时间是否超过1小时与性别有关？（2）以这60名学生参与志愿服务活动时间超过1小时的频率作为该事件发生的概率，现从该校学生中随机抽查10名学生，试估计这10名学生中一周参与志愿服务活动时间超过1小时的人数. 附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++【答案】（1）有，理由见解析；（2）6.【解析】（1）列出22⨯列联表，根据表格中的数据计算出2K 的观测值，并将2K 的值与3.841作大小比较，即可判断出题中结论的正误；（2）根据表格中的数据得出参与志愿服务活动时间超过1小时的频率，然后乘以10即可得出结果. 【详解】（1）22⨯列联表如下表所示：()222602216814403.8413624309K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯， 因此，有95%的把握认为该校学生一周参与志愿服务活动时间是否超过1小时与性别有关；（2）由表格中的数据可知，该校参与志愿服务活动时间超过1小时的学生频率为360.660=， 因此，抽取的10名学生中一周参与志愿服务活动时间超过1小时的人数为100.66⨯=. 【点睛】本题考查独立性检验思想的应用，同时也考查了分层抽样中频数的计算，考查运算求解能力，属于基础题.18．已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，且35a =，4237S a -=，数列{}n b 为等比数列，且12b a =，49b S =. （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）若n n n a c b =，设数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证：113n T ≤<. 【答案】（1）21n a n =-，3nn b =；（2）证明见解析.【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，列出关于1a 和d 的方程组，求出这两个量，利用等差数列的通项公式求出n a ，根据题意求出1b 和q ，利用等比数列的通项公式可求出n b ；（2）求出n c ，然后利用错位相减法求出n T ，再利用数列{}n T 的单调性即可证明出113n T ≤<. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，由题意可得()()3142112534637a a d S a a d a d =+=⎧⎨-=+-+=⎩，即112537a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩，()()1112121n a a n d n n ∴=+-=+-=-.123b a ==，34918998132b S a d q ⨯==+==，解得3q =， 因此，111333n n nn b b q --==⨯=.综上所述，21n a n =-，3nn b =；（2）213n n n n a n c b -==，23135213333n nn T -∴=++++，① 231113232133333n nn n n T +--=++++，② ①-②得，21231121121222211213313333333313n n n n n n n T -++⎛⎫- ⎪--⎝⎭=++++-=+--111111212221333333n n n n n -++-+⎛⎫=+--=- ⎪⎝⎭，1113n n n T +∴=-<， 又110n n n T T c ++-=>，则数列{}n T 是单调递增数列，则113n T T ≥=. 因此，113n T ≤<. 【点睛】本题考查等差数列和等比数列通项公式的计算，同时也考查了错位相减法求和，考查运算求解能力，属于中等题.19．如图，已知四边形ABCD 为梯形，//AB CD ，90CBA ∠=，四边形ACFE 为矩形，且平面ACFE ⊥平面ABCD ，又AB BC CF a ===，2CD a =.（1）求证：DE BF ⊥； （2）求点E 到平面BDF 的距离. 【答案】（1）证明见解析；（2）a .【解析】（1）取BF 的中点M ，连接DM 、EM ，利用三线合一得出BF DM ⊥，BF EM ⊥，利用直线与平面垂直的判定定理可证明出BF ⊥平面DEM ，即可得出DE BF ⊥；（2）过点E 在平面DEM 内作EN DM ⊥，垂足为点N ，证明出EN ⊥平面BDF ，并计算出DEM ∆三边边长，然后利用等面积法求出EN ，即为点E 到平面BDF 的距离. 【详解】（1）如下图所示，取BF 的中点M ，连接DM 、EM ，四边形ACFE 为矩形，AC CF ∴⊥，平面ACFE ⊥平面ABCD ，平面ACFE ⋂平面ABCD AC =，CF ⊂平面ACFE ，CF ∴⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，CF CD ∴⊥，DF ∴==，四边形ABCD 为梯形，//AB CD ，90CBA ∠=，90BCD ∴∠=，BD ∴==，M 为BF 的中点，DM BF ∴⊥，同理可得BE BF ==，EM BF ∴⊥，又DMEM M =，BF ∴⊥平面DEM .DE ⊂平面DEM ，DE BF ∴⊥；（2）如下图所示，过点E 在平面DEM 内作EN DM ⊥，垂足为点N ，由（1）知，BF ⊥平面DEM ，EN ⊂平面DEM ，EN BF ∴⊥.EN DM ⊥，DM BF M =，EN ∴⊥平面BDF .由（1）知，CF ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，CF BC ∴⊥，BF ∴=，DM a ==，EM ==， CF ⊥平面ABCD ，//AE CF ，AE ∴⊥平面ABCD ，AD ⊂Q 平面ABCD ，AE AD ∴⊥，由于四边形ABCD 为直角梯形，且90ABC ∠=，AD ∴==，DE ∴=，222DE EM DM ∴+=，则90DEM ∠=.由等面积法可得2DE EMEN a DM⋅===. 因此，点E 到平面BDF 的距离为a . 【点睛】本题考查异面直线垂直的证明，同时也考查了点到平面距离的计算，一般作出垂线或者利用等体积法进行计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20．已知点52,3M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>上，1A 、2A 分别为E 的左、右顶点，直线1A M 与2A M 的斜率之积为59-，F 为椭圆的右焦点，直线9:2l x =.（1）求椭圆E 的方程；（2）直线m 过点F 且与椭圆E 交于B 、C 两点，直线2BA 、2CA 分别与直线l 交于P 、Q 两点.试问：以PQ 为直径的圆是否过定点？如果是，求出定点坐标，否则，请说明理由.【答案】（1）22195x y +=；（2）过定点()2,0和()7,0，理由见解析. 【解析】（1）利用直线1A M 与2A M 的斜率之积为59-，得出3a =，再由点M 在椭圆上，可求出b 的值，即可得出椭圆E 的标准方程；（2）由对称性知，以PQ 为直径的圆过x 轴上的定点(),0K k ，设直线BC 的方程为2x ty =+，点()11,B x y 、()22,C x y ，设点9,2P p ⎛⎫ ⎪⎝⎭、9,2Q q ⎛⎫⎪⎝⎭，求出p 、q ，将直线BC 的方程与椭圆E 的方程联立，列出韦达定理，求出pq 的值，由0PK QK ⋅=，结合韦达定理求出k 的值，即可得出定点K 的坐标.【详解】（1）点M 在椭圆E 上，则2225431a b⎛⎫⎪⎝⎭+=，①， 易知点()1,0A a -、()2,0A a ，直线1A M 的斜率为1532k a =+，直线2A M 的斜率为1532k a =-，由题意可得122255949k k a ==--，解得3a =，代入①式得b = 因此，椭圆E 的方程为22195x y +=；（2）易知，直线m 不能与x 轴重合.由对称性知，以PQ 为直径的圆过x 轴上的定点(),0K k ，设直线BC 的方程为2x ty =+，点()11,B x y 、()22,C x y ，设点9,2P p ⎛⎫ ⎪⎝⎭、9,2Q q ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 如下图所示：易知点()23,0A ，22//A B A P ，即()1131,//,2ty y p ⎛⎫-⎪⎝⎭，()11312y p ty ∴=-， 得()11321y p ty =-，同理可得()22321y q ty =-. 将直线m 的方程与椭圆E 的方程联立222195x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得，()225920250t y ty ++-=，()()2224001005990010t t t ∆=++=+>. 由韦达定理得1222059t y y t +=-+，1222559y y t =-+， ()()()21212222121212222599925594114412520415959y y y y t pq ty ty t y y t y y t t t t ⎛⎫⨯- ⎪+⎝⎭∴====---⎡⎤⎛⎫-++⎣⎦⨯-++ ⎪++⎝⎭，9,2PK k p ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，9,2QK k q ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，2299250224PK QK k pq k ⎛⎫⎛⎫∴⋅=-+=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2k =或7.因此，以PQ 为直径的圆过定点()2,0和()7,0.【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了圆过定点的问题，一般将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理设而不求法求解，考查计算能力，属于中等题. 21．.已知函数()ln f x x ax =-，a R ∈.（1）当1a =-时，求曲线()y f x =在点()()1,1M f 处的切线方程； （2）当1a >时，求证：函数()()g x f x a =+恰有两个零点. 【答案】（1）210x y --=；（2）证明见解析.【解析】（1）将1a =-代入函数()y f x =的解析式得()ln f x x x =+，求出()1f 和()1f '的值，然后利用点斜式可得出所求切线的方程；（2）可得出()10g =，利用导数分析函数()y g x =在区间()0,∞+上的单调性，利用零点存在定理证明出函数()y g x =在区间10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上有且只有一个零点，从而可证明出结论成立. 【详解】（1）当1a =-时，()ln f x x x =+，则()11f =，()11f x x'=+，()12f '∴=. 因此，曲线()y f x =在点()()1,1M f 处的切线方程为()121y x -=-，即210x y --=；（2）()()ln g x f x a x ax a =+=-+Q ，则()10g =.1a >Q ，则()11ax g x a -'=-=，令()0g x '=，得()10,1x =∈，列表如下：所以，函数()y g x =在1x a=处取得极大值，亦即最大值，即()max 11ln g x g a a a ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭.令()1ln h a a a =--，1a >，则()1110a h a a a-'=-=>， 所以，函数()y h a =在()1,a ∈+∞上单调递增，则()()10h a h >=，()ln 0a a a a g e e ae a ae ----=-+=-<，且11a a e e a-=<， 所以，函数()y g x =在区间1,ae a -⎛⎫⎪⎝⎭上有一个零点， ()11,,a ⎛⎫+∞⊆+∞⎪⎝⎭，所以，函数()y g x =在区间()1,+∞上单调递减， 当1x >时，则()()10g x g <=，所以，函数()y g x =在区间()1,+∞上没有零点. 综上所述，函数()()g x f x a =+恰有两个零点. 【点睛】本题考查利用导数求函数的切线方程，同时也考查了利用导数研究函数的零点个数问题，一般结合导数研究函数的单调性，结合极值与最值的符号来进行分析，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.22．以平面直角坐标系中的坐标原点为极点，x 轴的正半抽为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是6sin 4cos ρθθ=+，直线l 的参数方程是4cos 3sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）.（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于M 、N两点，且MN =l 的倾斜角α. 【答案】（1）()()222313x y -+-=；（2）6π或56π. 【解析】（1）在曲线C 的极坐标的两边同时乘以ρ，再由222cos sin x y x y ρρθρθ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩，可将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，得到关于t 的一元二次方程，并列出韦达定理，借助弦长公式即可计算出α的值. 【详解】（1）在曲线C 的极坐标的两边同时乘以ρ，得26sin 4cos ρρθρθ=+，所以，曲线C 的直角坐标方程为2246x y x y +=+，即()()222313x y -+-=； （2）设点M 、N 在直线l 上对应的参数分别为1t 、2t ，将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，得()2222cos sin 13t t αα++=， 即24cos 90t t α+-=，216cos 360α∆=+>， 由韦达定理得124cos t t α+=-，129t t =-，12MN t t ∴=-===cos 2α=±， 0απ<<，因此，6πα=或56π. 【点睛】本题考查极坐标方程与普通方程之间的转化，同时也考查了利用直线与圆所得弦长求直线的倾斜角，考查了韦达定理的应用，考查运算求解能力，属于中等题.23．己知函数()3132f x x x =+-+的最大值为m ，a 、b 、c 均为正实数，且a b c m ++=.（1）求证：1119a b c++≥；（2+≤.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）利用绝对值三角不等式可求出函数()y f x =的最大值为1，可得出1a b c ++=，然后将代数式a b c ++与111a b c++相乘，利用柯西不等式可证明出1119a b c++≥；（2）利用柯西不等式得()()2111a b c ++++≥，化简后可证明出≤【详解】（1）由绝对值三角不等式得()()32311m x x =+-+=，1a b c ∴++=， 由柯西不等式得()21111119a b ca b c a b c ⎛⎫++=++++≥= ⎪⎝⎭，当且仅当13a b c ===时，等号成立，因此，1119a b c++≥；（2）由柯西不等式得()()2111a b c ++++≥，即23≤，13a b c ===时，等号成立.≤. 【点睛】本题考查利用柯西不等式证明不等式，同时也考查了利用绝对值三角不等式求绝对值函数的最值，在利用柯西不等式证明不等式时，需要对代数式进行合理配凑，考查计算能力，属于中等题.。
