2015年北京海淀高三二模数学试题及答案
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2015年北京海淀高三二模数学试题及答案海淀区高三年级第二学期期末练习数 学（理） 2015.5本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知全集U Z =，集合{1,2}A =，{1,2,3,4}A B =U ，那么()U C A B I =（ ） （A ）∅ （B ）{3}x x Z ∈≥（C ）{3,4}（D ）{1,2}（2）设30.320.2,log 0.3,2a b c ===，则（ ）（A ）b c a << （B ）c b a <<（C ）a b c <<（D ）b a c <<（3）在极坐标系中，过点π(2,)6-且平行于极轴的直线的方程是（ ） （A ）cos 3ρθ=（B ）cos 3ρθ=-（C ）sin 1ρθ=（D ）sin 1ρθ=-（4）已知命题p ，q ，那么“p q ∧为真命题”是“p q ∨为真命题”的（ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）已知函数()cos(2)f x x ϕ=+（ϕ为常数）为奇函数，那么cos ϕ=（ ）（A ）22-（B ）0（C ）22（D ）1（6）已知函数()f x 的部分图象如图所示.向图中的矩形区域随机投出100粒豆子，记下落入阴影区域的豆子数.通过10次这样的试验，算得落入阴影区域的豆子的平均数约为33，由此可估计1()d f x x ⎰的值约为（ ）13xOy（A ）99100 （B ）310 （C ）910（D ）1011（7）已知()f x 是定义域为R 的偶函数，当0x ≤时，31()(1)e x f x x +=+.那么函数()f x 的极值点的个数是（ ） （A ）5（B ）4（C ）3（D ）2（8）若空间中有(5)n n ≥个点，满足任意四个点都不共面，且任意两点的连线都与其它任意三点确定的平面垂直，则这样的n 值（ ） （A ）不存在（B ）有无数个（C ）等于5（D ）最大值为8二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）若等比数列{}n a 满足2664a a =，3432a a =，则公比q =_____；22212n a a a +++= ．（10）如图，在ACB ∆中，120ACB ∠=︒，3AC BC ==，点O 在BC 边上，且圆O 与AB 相切于点D ，BC 与圆O 相交于点E ，C ，则E D B ∠= ， BE = .（11）右图表示的是求首项为41-，公差为2的等差数列{}n a 前n 项和的最小值的程序框图.①处可填写_____；②处可填写 ． （12）若双曲线M 上存在四个点,,,A B C D ，使得四边形ABCD 是正方形，则双曲线M 的离心率的取值范围是 .（13）用红、黄、蓝三种颜色对如图所示的三个方格进行涂色.若要求每个小方格涂一种颜色，且涂成红色的方格数为偶数．．，则不同的涂色方案种数是 .（用数字作答）（14）设关于,x y 的不等式组340,(1)(36)0x y x y -≥⎧⎨-+-≤⎩表示的平面区域为D ，已知点(0,0),(1,0)O A ，点M 是D 上的动点.OA OM OM⋅=λ，则λ的取值范围是 .三、解答题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
（15）（本小题满分13分）在ABC ∆中，5c =，26b =，36cos 2a A =.（Ⅰ）求a 的值；OEDCBA（Ⅱ）求证：2B A ∠=∠.（16）（本小题满分13分）某中学为了解初三年级学生“掷实心球”项目的整体情况，随机抽取男、女生各20名进行测试，记录的数据如下：已知该项目评分标准为：注：满分10分，且得9分以上(含9分)定为“优秀”． （Ⅰ）求上述20名女生得分．．的中位数和众数； （Ⅱ）从上述20名男生中，随机抽取2名，求抽取的2名男生中优秀人数X 的分布列； （Ⅲ）根据以上样本数据和你所学的统计知识，试估计该年级学生实心球项目的整体情况.（写出两个结论即可） （17）（本小题满分13分）如图所示，在四棱锥P ABCD -中， //AB CD ，AB AD ⊥，22AB AD AP CD ====， M 是棱PB 上一点.（Ⅰ）若2BM MP =，求证：//PD 平面MAC ；男生投掷距离（单位：米） 女生投掷距离（单位：米） 9 7 7 5． 4 68 7 6 6． 4 5 5 6 6 6 96 6 7． 0 0 2 4 4 5 5 5 5 8 8 5 5 3 08． 1 7 3 1 1 9． 2 2 0 10．男生投掷距离（米） …[5.4,6.0) [6.0,6.6) [6.6,7.4) [7.4,7.8) [7.8,8.6) [8.6,10.0) [10.0,)+∞ 女生投掷距离（米） …[5.1,5.4) [5.4,5.6) [5.6,6.4) [6.4,6.8) [6.8,7.2) [7.2,7.6)[7.6,)+∞~ 个人得分（分） (4)5678910MBD CAP（Ⅱ）若平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAD ⊥平面ABCD ，求证：PA ⊥平面ABCD ；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若二面角B AC M --的余弦值为23，求PMPB 的值.（18）（本小题满分14分）已知函数21ln ()xf x x -=.（Ⅰ）求函数()f x 的零点及单调区间；（Ⅱ）求证：曲线ln xy x =存在斜率为6的切线，且切点的纵坐标01y <-.（19）（本小题满分13分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>上的点到它的两个焦点的距离之和为4，以椭圆C 的短轴为直径的圆O 经过这两个焦点，点A ，B 分别是椭圆C 的左、右顶点. （Ⅰ）求圆O 和椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知P ，Q 分别是椭圆C 和圆O 上的动点（P ，Q 位于y 轴两侧），且直线PQ 与x 轴平行，直线AP ，BP 分别与y 轴交于点M ，N .求证：∠MQN 为定值. （20）（本小题满分14分） 对于数列12:,,,n A a a a L ，经过变换:T 交换A 中某相邻两段的位置（数列A 中的一项或连续的几项称为一段），得到数列()T A .例如，数列:A1111,,,,,,,,,,,i i i p i p i p q i p q nMNa a a a a a a a +++++++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅L 144442444431444442444443（1p ≥，1q ≥）经交换,M N 两段位置，变换为数列():T A1111,,,,,,,,,,,i i p i p q i i p i p q n NMa a a a a a a a +++++++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅L 144444244444314444244443.设0A 是有穷数列，令1()(0,1,2,)k k A T A k +==L .（Ⅰ）如果数列0A 为3,2,1，且2A 为1,2,3. 写出数列1A ；（写出一个即可） （Ⅱ）如果数列0A 为9,8,7,6,5,4,3,2,1，1A 为5,4,9,8,7,6,3,2,1，2A 为5,6,3,4,9,8,7,2,1，5A 为1,2,3,4,5,6,7,8,9.写出数列34,A A ；（写出一组即可）（Ⅲ）如果数列0A 为等差数列：2015,2014,,1L ，n A 为等差数列：1,2,,2015L ，求n 的最小值.海淀区高三年级第二学期期末练习数学（理）答案 2015.5一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）C （2）D （3）D （4）A （5）B （6）A （7）C （8）C 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分。
有两空的小题，第一空2分，第二空3分）（9）2，413n - （10）30︒，1 （11）0a > ，2a a =+ （12）(2,)+∞ （13）14 （14）10(,1]10三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分）解：（Ⅰ）因为36cos 2a A =，所以 2223622b c a a bc +-=⨯. (3)分因为 5c =，26b =，所以 23404930a a +-⨯=.解得：3a =，或493a =-（舍）. (6)分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：26cos 3336A =⨯=. 所以 21cos 22cos 13A A =-=. (9)分因为 3a =，5c =，26b =，所以2221cos 23a c b B ac +-==. ………………11分所以cos 2cos A B =. ………………12分因为 c b a >>，所以(0,)3A π∈. 因为 (0,)B ∈π，所以 2B A ∠=∠. ………………13分另解：因为 (0,)A ∈π，所以23sin 1cos 3A A =-=.由正弦定理得：263sin 33B =. 所以22sin 3B =.所以 3622sin 22sin 333A B =⨯⨯==. (12)分因为 c b a >>，所以(0,)3A π∈，(0,)2B π∈. 所以 2B A ∠=∠. ………………13分（16）（共13分）解：（Ⅰ）20名女生掷实心球得分如下：5，6，7，7，7，7，7，7，8，8，8，9，9，9，9，9，9，9，10，10．所以中位数为8，众数为9． ………………3分（Ⅱ）X 的可能取值为0，1，2． ………………4分()21222033095C P X C ===；()1112822048195C C P X C ===；()2822014295C P X C ===；所以抽取的2名男生中优秀人数X 的分布列为：X 0 1 2P9533 9548 9514………………10分（Ⅲ）略. ………………13分评分建议：从平均数、方差、极差、中位数、众数等角度对整个年级学生掷实心球项目的情况进行合理的说明即可；也可以对整个年级男、女生该项目情况进行对比；或根据目前情况对学生今后在该项目的训练提出合理建议.（17）（共14分）（Ⅰ）证明：连结BD 交AC 于点O ，连结OM .因为 //AB CD ，2AB CD =，所以 2BO ABDO CD ==.因为 2BM MP =，所以 2BMPM =.所以BM BOPM DO =. 所以 //OM PD . ………………2分 因为 OM ⊂平面MAC ，PD ⊄平面MAC ，所以 //PD 平面MAC . ………………4分（Ⅱ）证明：因为 平面PAD ⊥平面ABCD ，AD AB ⊥，平面PAD平面ABCD AD =，AB ⊂平面ABCD ，所以AB ⊥平面PAD . ………………6分因为 PA ⊂平面PAD ，所以 AB PA ⊥. ………………7分同理可证：AD PA ⊥.因为 AD ⊂平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，ADAB A =，MBDCOA P所以PA ⊥平面ABCD . ………………9分（Ⅲ）解：分别以边,,AD AB AP 所在直线为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.由22AB AD AP CD ====得(0,0,0)A ，(0,2,0)B ，(2,1,0)C ，(2,0,0)D ，(0,0,2)P ，则(2,1,0)AC =u u u r ，(0,2,2)PB =-uu r.由（Ⅱ）得：PA ⊥平面ABCD .所以 平面ABCD 的一个法向量为(0,0,1)n =r. ………………10分设PM PBλ=(01)λ≤≤，即PM PB λ=uuu r uu r .所以 (0,2,22)AM AP PB λλλ=+=-u u u r u u u r u u r . 设平面AMC 的法向量为(,,)m x y z =u r，则0,0,m AC m AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r uuu r u r uuu r 即20,2(22)0.x y y z λλ+=⎧⎨⋅+-⋅=⎩令1x λ=-，则22y λ=-，2z λ=-.所以 (1,22,2)m λλλ=---u r. (12)分因为 二面角B AC M --的余弦值为23，所以2|2|239105λλλ=-+，解得12λ=.所以PM PB的值为12. ………………14分（18）（共13分）zyxMBD CAP解：（Ⅰ）令()0f x =，得e x =.故()f x 的零点为e . ………………1分22231()(1ln )22ln 3'()()x x xx x f x x x -⋅--⋅-==（0x >）. (3)分令 '()0f x =，解得 32e x =.当x 变化时，'()f x ，()f x 的变化情况如下表：()f x 32(0,e )32e32(e ,)+∞'()f x-+()f x↘↗所以 ()f x 的单调递减区间为32(0,e )，单调递增区间为32(e ,)+∞. ………………6分（Ⅱ）令ln ()x g x x =.则2211ln 1ln '()()x xx x g x f x x x ⋅-⋅-===. (7)分因为 11()44ln 244622f =+>+⨯=，(e)0f =，且由（Ⅰ）得，()f x 在(0,e)内是减函数，所以 存在唯一的01(,e)2x ∈，使得00'()()6g x f x ==. 当[e,)x ∈+∞时，()0f x ≤.所以 曲线ln xy x =存在以00(,())x g x 为切点，斜率为6的切线. (10)分由0201ln '()6x g x x -==得：200ln 16x x =-.所以 20000000ln 161()6x x g x x x x x -===-.因为012x >,所以 012x <，063x -<-.所以00()1y g x =<-. (13)分（19）（共14分）解：（Ⅰ）依题意得22224,,.a c b a b c ⎧=⎪=⎨⎪-=⎩解得：2a =，2b c ==. (3)分所以圆O 的方程为222x y +=，椭圆C 的方程为22142x y +=. (5)分（Ⅱ）解法一：如图所示，设00(,)P x y （00y ≠），0(,)Q Qx y ，则22002201,422,Qx y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩即220022042,2.Q x y x y ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩………………7分又由00:(2)2y AP y x x =++得002(0,)2y M x +.由00:(2)2y BP y x x =--得002(0,)2y N x --.………………10分NM QPyxBAO所以0000002(,)(,)22Q Q y x y QM x y x x x =--=--++uuu r ,0000002(,)(,)22Q Q y x y QN x y x x x =---=----uuu r .所以 222222000002200(42)2042Q x y y y QM QN x y x y -⋅=+=-+=--uuu r uuu r .所以QM QN⊥，即90MQN ∠=︒. ………………14分（Ⅱ）解法二：如图所示，设00(,)P x y ，:(2)AP y k x =+（0k ≠）.由221,42(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得2222(21)8840k x k x k +++-=.所以 20284221k x k --=+，即2022421k x k -=+. 所以02421ky k =+，即222244(,)2121k k P k k -++. 所以 直线BP 的斜率为2224121242221kk k kk +=---+.所以1:(2)2BP y x k =--.令0x =得:(0,2)M k ，1(0,)N k . ………………10分 设0(,)Q Q x y ，则0(,2)Q QM x k y =--uuu r，01(,)Q QN x y k =--uuu r .NM QPyxBAO所以 22220000121(2)()2Q Q k QM QN x k y y x y y k k +⋅=+--=++-⋅uuu r uuu r .因为2200242,21Q kx y y k +==+，所以 0QM QN ⋅=u u u r u u u r.所以 QM QN ⊥，即90MQN ∠=︒. (14)分（20）（共13分） 解：（Ⅰ）1:2,1,3A 或1:1,3,2A . (2)分.（Ⅱ）3:5,6,7,2,3,4,9,8,1A ； (4)分4:5,6,7,8,1,2,3,4,9A . (6)分（Ⅲ）考虑数列12:,,,n A a a a L ，满足1i i a a +<的数对1,i i a a +的个数，我们称之为“顺序数”．则等差数列0A ：2015,2004,,1L 的顺序数为0，等差数列n A ：1,2,,2015L 的顺序数为2014．首先，证明对于一个数列，经过变换T ，数列的顺序数至多增加2．实际上，考虑对数列,,,,,,,,,p a b c d q L L L L ，交换其相邻两段,,a b L 和,,c d L 的位置，变换为数列,,,,,,,,,p c d a b q L L L L .显然至多有三个数对位置变化．假设三个数对的元素都改变顺序，使得相应的顺序数增加，即由,,p a b c d q >>>变为,,p c d a b q <<<．分别将三个不等式相加得p b d a c q ++>++与p b d a c q ++<++，矛盾． 所以 经过变换T ，数列的顺序数至多增加2．其次，第一次和最后一次变换，顺序数均改变1．设n 的最小值为x ，则()2222014x +-≥，即1008x ≥． (10)分最后，说明可以按下列步骤，使得数列1008A 为1,2,,2015L ．对数列0:A 2015,2014,,1L ，第1次交换1,2,,1007L 和1008,1009位置上的两段，得到数列1A ：1008,1007,2015,2014,,1010,1009,1006,1005,,2,1L L ；第2次交换2,3,,1008L 和1009,1010位置上的两段，得到数列2A ：1008,1009,1006,1007,2015,2014,,1011,1010,1005,1004,,2,1L L ；第3次交换3,4,,1009L 和1010,1011位置上的两段，得到数列3A ：1008,1009,1010,1005,1006,1007,2015,2014,,1012,1011,1004,1003,,2,1L L ；L L ，以此类推第1007次交换1007,1008,,2013L 和2014,2015位置上的两段，得到数列1007A ：1008,1009,,2013,2014,1,2,,1006,1007,2015L L ；最终再交换1,2,,1007L 和1008,1009,,2014L 位置上的两段，即得1008A ：1,2,,2015L ．所以 n 的最小值为1008. ………………13分。
