上海市奉贤中学2020-2021学年高二上学期期中数学试题

2020~2021学年度第一学期高二级期中测试数学试题注意事项：1.本试题共4页，四大题，22小题，满分120分，考试时间120分钟，答案必须填写在答题卡上，在试题上作答无效，考试结束后，只交答题卡。

2.作答前，认真浏览试卷，请务必规范、完整填写答题卡的卷头。

3.考生作答时，请使用0.5mm黑色签字笔在答题卡对应题号的答题区域内作答。

第Ⅰ卷选择题（共60分）一、选择题（本大题共12小题，共60分）1.在△ABC中，B=135°，C=15°，a=4，则此三角形的最大边长为()A. 5√2B. 5√3C. 4√2D. 4√32.在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2−b2−c2=−√2bc，则角A的数为()A. 30°B. 45°C. 120°D. 135°3.在△ABC中，c=√3，b=1，B=30∘，则△ABC的面积为()A. √32或√3 B. √34或√32C. √34或√3 D. √34.已知正数组成的等比数列{a n}，若a3⋅a18=100，那么a7+a14的最小值为()A. 20B. 25C. 50D. 不存在5.已知1、a1、a2、3成等差数列，1、b、4成等比数列，则a1+a2b=()A. 54B. −2C. 2D. ±26.在递增的等比数列{a n}中，a4，a6是方程x2−10x+16=0的两个根，则数列{a n}的公比q=()A. 2B. ±2C. 12D. 12或27.已知a>0，那么a−2+4a的最小值是()A. 1B. 2C. 4D. 58.设a>b，c>d则下列不等式中一定成立的是()A. a+c>b+dB. ac>bdC. a−c>b−dD. a+d>b+c9. 设p ：2x 2−3x +1≤0，q ：x 2−(2a +1)x +a(a +1)≤0，若q 是p 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是( )A. [0,12]B. (0,12)C. (−∞,0]∪[12,+∞)D. (−∞,0)∪(12,+∞)10. 命题“∃x 0>0，x 02−4x 0+3<0”的否定是( )A. ∀x ≤0，x 2−4x +3<0B. ∃x 0≤0，x 02−4x 0+3<0 C. ∀x >0，x 2−4x +3≥0D. ∃x 0>0，x 02−4x 0+3≥011. 若平面α的一个法向量为(1,2，0)，平面β的一个法向量为(2,−1,0)，则平面α和平面β的位置关系是( )A. 平行B. 相交但不垂直C. 垂直D. 重合12. 在空间直角坐标系中，点P(3,4，5)关于yOz 平面对称的点的坐标为( )A. (−3,4，5)B. (−3,−4,5)C. (3,−4,−5)D. (−3,4,−5)第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题（本大题共4小题，共20分）13. 已知空间向量m ⃗⃗⃗ =(1,−2x +1,2),n ⃗ =(y,3,x +z )，且m ⃗⃗⃗ =n ⃗ ，则x +2y +3z =__． 14. 在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2)与点B(1,−3,1)，则|AB |=________，若在z轴上有一点M 满足|MA |=|MB |，则点M 的坐标为_________． 15. 记S n 为数列{a n }的前n 项和，若a 1=1，a n =2a n−1+1，则S 6= 16. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若sinAsinB =ba+c ，a =2c ，则cos A =________．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17. 已知△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m⃗⃗⃗ =(cosA,a −2b)，n ⃗ =(2c,1)且m ⃗⃗⃗ ⊥n ⃗ ． (1)求角C ；(2)若c =2，△ABC 的面积为√3，求△ABC 的周长．18.设向量a⃗=(sinx,cosx)，b⃗ =(cosx,√3cosx)，x∈R，函数f(x)=a⃗•(a⃗+b⃗ ).(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)ΔABC中边a，b，c所对的角为A，B，C，若acosB+bcosA=2ccosC，c=√3，)取最大值时，求△ABC的面积．当f(B219.已知数列{a n}满足：21⋅a1+22⋅a2+23⋅a3+⋯+2n⋅a n=(n−1)⋅2n+1+2对一切n∈N∗成立．(1)求数列{a n}的通项公式；}的前n项和S n．(2)求数列{1a n⋅a n+2(3n+S n)对一切正整数n都成立，20.已知数列{a n}的前n项和为S n，且a n=12(1)证明：数列{a n+3}是等比数列，并求出数列{a n}的通项公式；(a n+3)，求数列{b n}的前n项和B n．(2)设b n=n321.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E为棱AB的中点．(1)证明：A1B//平面D1CE；(2)求平面A1BC1与平面CED1所成二面角的正弦值．22.已知四棱锥P−ABCD中PA⊥平面ABCD，且PA=4PQ=4，底面为直角梯形，∠CDA=∠BAD=90°，AB=2,CD=1,AD=√2，M，N分别是PD，PB的中点．(1)求证：MQ//平面PCB；(2)求截面MCN与底面ABCD所成二面角的大小；(3)求点A到平面MCN的距离．答案和解析1. 解：∵B =135°，∴b 为最大边，A =180°−135°−15°=30°， 由正弦定理得b =asinB sinA=4×√2212=4√2．故选：C ．2.解：因为a 2−b 2−c 2=−√2bc ，由余弦定理可得，cosA =b2+c 2−a 22bc=√22， 因为A 为三角形的内角，故A =45°．故选：B ．3.解：中，B =30∘，b =1，c =√3，，∴sinC =√32，∴C =60∘或120∘，∴A =90∘或30∘，∴△ABC 的面积为12bcsinA =√32或√34．故选B ．4.解：∵正数组成的等比数列{a n }，a 3⋅a 18=100，∴a 14⋅a 7=a 3⋅a 18=100，a 7>0，a 14>0，∴a 7+a 14≥2√a 14⋅a 7=2√100=20， 当且仅当a 7=a 14时取等号，∴a 7+a 14的最小值为20．故选：A ．5.解：由1、a 1、a 2、3成等差数列，可得a 1+a 2=1+3=4，又1、b 、4成等比数列，可得b 2=4，解得b =±2，则a 1+a 2b=42=2或a 1+a 2b=4−2=−2，故选：D ．6.解：根据题意，a 4，a 6是方程x 2−10x +16=0的两个根，则有{a 4+a 6=10a 4a 6=16，解可得：{a 4=8a 6=2或{a 4=2a 6=8，又由等比数列{a n }是递增的，必有{a 4=2a 6=8，则有q 2=a6a 4=4，即q =2；故选：A ．7.解：根据题意，a −2+4a =a +4a −2，又由a >0，则a −2+4a =a +4a −2≥2√a ×4a −2=2，当且仅当a =2时等号成立，即a −2+4a 的最小值是2；故选：B ．8.解：∵b <a ，d <c ，∴设b =−1，a =−2，d =2，c =3选项B ，(−2)×3>(−1)×2，不成立选项C ，−2−3>−1−2，不成立 选项D ，−2+2>−1+3，不成立故选：A ．9.解：p ：2x 2−3x +1≤0，解得：12≤x ≤1，q ：x 2−(2a +1)x +a(a +1)≤0，解得：a ≤x ≤a +1．若q 是p 的必要不充分条件，则{a ≤121≤a +1，解得：0≤a ≤12．故选：A ．10.解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃x 0>0，x 02−4x 0+3<0”的否定是∀x >0，x 2−4x +3≥0．故选：C ．11.解：由题意可得(1,2，0)⋅(2，−1，0)=1×2−2×1+0×0=0，故两个平面的法向量垂直，故平面α和平面β的位置关系为垂直，故选C ．12.解：在空间直角坐标系中，关于yOz 平面对称，y ，z 不变．点P(3,4，5)关于yOz 平面对称的点的坐标为(−3,4，5)， 故选A ． 13.解：因为空间向量m⃗⃗⃗ =(1,−2x +1,2),n ⃗ =(y,3,x +z )，且m ⃗⃗⃗ =n ⃗ ， 所以{1=y−2x +1=32=x +z ，所以x =−1，y =1，z =3，所以x +2y +3z =−1+2+9=10;故答案为10．14.解：∵点A(1,0，2)与点B(1,−3,1)，∴|AB|=√(1−1)2+(−3−0)2+(1−2)2=√10， ∵在z 轴上有一点M 满足|MA|=|MB|，∴设M(0,0，c)，则√(1−0)2+(0−0)2+(2−c)2=√(1−0)2+(−3−0)2+(1−c)2， 解得c =−3，∴点M 坐标为(0,0，−3)．故答案为：(0,0，−3)．15.解：∵a n =2a n−1+1， ∴a n +1=2(a n−1+1)，故数列{a n +1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n +1=2n ， 则a n =2n −1，∴S n =2×(1−2n )1−2−n =2n+1−n −2，则S 6=27−8=120．16.解：由题意，sin Asin B =ba+c ，由正弦定理可得ab =ba+c ，因为a =2c ，所以a b =ba+a 2，即b 2=3a 22，所以b =√32a ，所以在△ABC 中由余弦定理得cosA =b 2+c 2−a 22bc=32a 2+14a 2−a 22×√2a×2=√64．故答案为√64．17.解：(1)由m⃗⃗⃗ =(cosA,a −2b)，n ⃗ =(2c,1)且m ⃗⃗⃗ ⊥n ⃗ ． 所以2ccosA =2b −a ．由正弦定理得：2sinCcosA =2sinB −sinA ． 2sinCcosA =2sin(A +C)−sinA =2sinAcosC +2cosAsinC −sinA ，整理得2sinAcosC =sinA ，由sinA >0，可得cosC =12，由于0<C <π，所以C =π3． (2)由于，△ABC 的面积为√3，所以12absinC =√3，整理得ab =4，由余弦定理，c 2=a 2+b 2−2abcosC =4，整理得(a +b)2−4=3ab ，解得a +b =4． 所以三角形的周长为a +b +c =4+2=6．18.解：(1)由已知f(x)=a →⋅(a →+b →)=sinx(sinx +cosx)+cosx(cosx +√3cosx)=12sin2x +√32cos2x +1+√32=sin(2x +π3)+1+√32，所以的最小正周期是T =2π2=π;(2)由正弦定理得sinAcosB +sinBbcosA =2sinCcosC ， 即sin(A +B)=sinC =2sinCcosC ， 因为sinC ≠0，所以cosC =12，又0<C <π，所以C =π3，又f(B 2)=sin(B +π3)+1+√32，因为B ∈(0,2π3)，所以 B =π6时f(B2)取到最大值， 此时A =π2，又c =√3,所以b =1，得S ΔABC =12bcsinA =√32．19.解：(1)由题意，当n =1时，21⋅a 1=2，解得a 1=1，当n ≥2时，由21⋅a 1+22⋅a 2+23⋅a 3+⋯+2n ⋅a n =(n −1)⋅2n+1+2，可得 21⋅a 1+22⋅a 2+23⋅a 3+⋯+2n−1⋅a n−1=(n −2)⋅2n +2， 两式相减，可得2n ⋅a n =(n −1)⋅2n+1+2−(n −2)⋅2n −2=[2(n −1)−(n −2)]⋅2n =n ⋅2n ， ∴a n =n ，当n =1时，a 1=1也符合上式，∴a n =n ，n ∈N ∗． (2)由(1)知，1a n ⋅a n+2=1n(n+2)=12(1n−1n+2)，∴S n =1a 1⋅a 2+1a 2⋅a 3+1a 3⋅a 4+1a 4⋅a 5+⋯+1a n−1⋅a n+1+1a n ⋅a n+2=12(1−13)+12(12−14)+12(13−15)+12(14−16)+⋯+12(1n −1−1n +1)+12(1n −1n +2) =12(1−13+12−14+13−15+14−16+⋯+1n −1−1n +1+1n −1n +2) =12(1+12−1n+1−1n+2)=n(3n+5)4(n+1)(n+2)．20.解：(1)数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n =12(3n +S n )，由已知得S n =2a n −3n ①，所以S n+1=2a n+1−3(n +1)② 由②−①得：a n+1=2a n +3，即a n+1+3=2(a n +3)，所以a n+1+3a n +3=2(常数)，又a 1=2a 1−3，解得 a 1=3．所以数列{a n +3}是以6为首项，2为公比的等比数列． 故a n +3=6⋅2n−1，即a n =3(2n −1)．(2)由于b n =n3(a n +3)，所以b n =n3⋅(3×2n −3+3)=n ⋅2n ．设B n =1⋅2+2⋅22+⋯+n ⋅2n ③2B n =1⋅22+2⋅23+⋯+n ⋅2n+1 ④ ④−③得：B n =−(2+22+23+⋯+2n )+n ⋅2n+1=−2n+1−22−1+n ⋅2n+1．整理得B n =2+(n −1)⋅2n+1．21.(1)证明：在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，A 1D 1= //BC ，∴四边形ABCD 为平行四边边形，∴A 1B//CD 1，∵CD 1⊂平面D 1CE ，A 1B ⊄平面D 1CE ，∴A 1B 平行平面D 1CE ， (2)解：如图：以点D 为坐标原点，DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系D −xyz ：设AB =2，则D(0,0，0)，A(2,0，0)，B(2,2，0)，E(2,1，0)，C 1(0,2，2)，A 1(2,0，2)，D 1(0,0，2)，C(0,2，0)，设平面A 1BC 1的法向量为n ⃗ =(x,y ，z)， 由A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，−2)，A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2，0)，则{A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ⃗ =2y −2z =0,A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ⃗ =−2x +2y =0,取x =1，y =1，z =1，则n ⃗ =(1,1，1) 设平面CED 1的法向量为m ⃗⃗⃗ =(a,b ，c)，由D 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，−2)，EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1，0)， 则{D 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·m ⃗⃗⃗ =2b −2c =0,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·m ⃗⃗⃗ =−2a +b =0,取a =1，b =2，z =2，则m⃗⃗⃗ =(1,2，2)， 可得m ⃗⃗⃗ ·n ⃗ =3，|m ⃗⃗⃗ |=3，|n ⃗ |=√3，cos <m⃗⃗⃗ ·n ⃗ >=53√3=5√39， ∴平面A 1BC 1与平面CED 1所成二面角的正弦值为√1−(5√39)2=√69．22.解：以A 为原点，以AD ，AB ，AP 分别为x ，y ，z 建立空间直角坐标系O −xyz ，由AB =2,CD =1,AD =√2，PA =4PQ =4，M ，N 分别是PD ，PB 的中点， 可得：A(0,0,0),B(0,2,0),C(√2,1,0),D(√2,0,0),P(0,0,4),Q(0,0,3),M(√22,0,2),N(0,1,2)，∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,−1,0),PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,−4)，MQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√22,0,1) 设平面的PBC 的法向量为n 0⃗⃗⃗⃗ =(x,y,z)， 则有：{n 0⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒(x,y,z)⋅(√2,−1,0)=0⇒√2x −y =0n 0⃗⃗⃗⃗ ⊥PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒(x,y,z)⋅(0,2,−4)=0⇒2y −4z =0令z =1，则x =√2,y =2⇒n 0⃗⃗⃗⃗ =(√2,2,1)，(3分) ∴MQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 0⃗⃗⃗⃗ =(−√22,0,1)⋅(√2,2,1)=0，又MQ ⊄平面PCB ，∴MQ//平面PCB ；(2)设平面的MCN 的法向量为n ⃗ =(x,y,z)，又CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√22,−1,2),CN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√2,0,2) 则有：{n ⃗ ⊥CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒(x,y,z)⋅(−√22,−1,2)=0⇒−√22x −y +2z =0n ⃗ ⊥CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒(x,y,z)⋅(−√2,0,2)=0⇒−√2x +2z =0令z =1，则x =√2,y =1⇒n ⃗ =(√2,1,1)， 又AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,4)为平面ABCD 的法向量， ∴cos〈n ⃗ ,AP⃗⃗⃗⃗⃗ >=n⃗⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |n ⃗⃗ |⋅|AP⃗⃗⃗⃗⃗ |=42×4=12，又截面MCN 与底面ABCD 所成二面角为锐二面角，∴截面MCN 与底面ABCD 所成二面角的大小为π3，(3)∵CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√2,−1,0)，∴所求的距离d =|n ⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗||n ⃗⃗ |=|−√2×√2−1×1+1×0|2=32；。

2020-2021学年上海市重点高中高二（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共4小题，共12.0分） 1. 直线∣∣∣x1y2∣∣∣=0的一个法向量是( ) A. n⃗ =(2,1) B. n⃗ =(1,2) C. n⃗ =(2,−1) D. n⃗ =(1,−2) 2. 已知a 1、a 2、b 1、b 2、c 1、c 2∈R ，直线l 1：a 1x +b 1y +c 1=0，l 2：a 2x +b 2y +c 2=0，则“a 1a 2+b 1b 2=0”是“直线l 1与l 2垂直”的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件3. 已知△ABC ，点D 为边BC 上一点，且满足BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则向量AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B. 13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C. 23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D. 23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 4. 如图所示，在平面内，点P 为圆O 的直径AB 的延长线上一点，AB =BP =2，过动点Q 作圆的切线QR ，满足PQ =2QR ，则△QAP 的面积的最大值为( )A. 83B. 8√33C. 163D. 16√33二、单空题（本大题共10小题，共30.0分）5. 关于x 、y 的方程组{3x +y =12x +4y =−3的增广矩阵为______．6. 直线x −y +1=0的倾斜角大小为______．7. 已知圆C 的半径为2，直线l 与圆相交于A 、B 两点，且圆心C 到直线l 的距离为1，则线段AB 的长度为______．8. 已知矩阵A =(0210)，B =(12)，则AB =______．9. 直线l 的一个方向向量为d⃗ =(1,2)，则l 与直线x−12=y−21的夹角的大小为______.(结果用反三角表示)10. 在平面直角坐标系中，已知点P 1(−1,1)，P 2(1,3)，点P 满足P 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−3PP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则点P的坐标为______．11. 过点M(1,2)且与圆x 2+y 2=5相切的直线的一般式方程为______．12. 直线l 1：y =k(x −1)−1与l 2：y =12x +1相交于第二象限，则l 1的斜率k 的取值范围是______．13. 在平面直角坐标系内，已知直线l 的一个方向向量为e ⃗ =(45,35)，点O(0,0)和M(−1,−2)在l 上的投影分别是点O 1和M 1，若O 1M 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λe ⃗ ，则实数λ的值为______． 14. 正方形ABCD 的边长为4，O 是正方形ABCD 的中心，过中心O 的直线l 与边AB交于点M ，与边CD 交于点N ，P 为平面上一点，满足2OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−λ)OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为______． 三、解答题（本大题共5小题，共48.0分）15. 已知m ∈R ，利用行列式求关于x 、y 的方程组{mx +2y =m +42x +my =m有唯一解的充要条件，并在此条件下写出该方程组的解．16. 如图所示，在矩形ABCD 中，AB =3，BC =2，点M为边BC 的中点，点N 在边CD 上．(1)若点N 为线段CD 上靠近D 的三等分点，求AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值；(2)若AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =8，求此时点N 的位置．17. 已知k ∈R ，向量a ⃗ =(1,1+k)，b ⃗ =(k,2)．(1)若向量2a ⃗ −b ⃗ 与b ⃗ 平行，求k 的值；(2)若向量2a⃗−b⃗ 与b⃗ 的夹角为钝角，求k的取值范围．18.已知正方形的一条边AB所在直线为x−3y−1=0，正方形的中心为R(0,1).求：(1)该正方形的面积；(2)该正方形的两条对角线所在直线的一般式方程．19.我们定义一个圆的圆心到一条直线的距离与该圆的半径之比，叫做直线关于圆的距离比，记作λ.已知圆C1：x2+y2=1，直线l：3x−4y+m=0．(1)若直线l关于圆C1的距离比λ=2，求实数m的值；(2)当m=0时，若圆C2与y轴相切于点A(0,3)，且直线l关于圆C2的距离比λ=6，5试判断圆C1与圆C2的位置关系，并说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：直线∣∣∣x1y 2∣∣∣=0，即2x −y =0，它的一个法向量是(2,−1)， 故选：C ．由题意利用行列式的运算法则求出直线的方程，再根据直线的法向量的定义，求出直线的一个法向量．本题主要考查行列式的运算法则，直线的法向量的定义，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：由“a 1a 2+b 1b 2=0”一定能推出“直线l 1与l 2垂直”，满足充分性， 由“直线l 1与l 2垂直”一定能推出“a 1a 2+b 1b 2=0”，满足必要性， 故“a 1a 2+b 1b 2=0”是“直线l 1与l 2垂直”的充要条件． 故选：C ．根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据直线垂直的等价条件是解决本题的关键．3.【答案】B【解析】解：∵BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )， ∴AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 故选：B ．根据BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 可得出AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )，然后进行向量的数乘运算求出AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 即可． 本题考查了向量减法的几何意义，向量的数乘运算，考查了计算能力，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：以AB 所在直线为x 轴，以AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，∵AB =BP =2，∴P(3,0)， 设Q(x,y)，∵过动点Q 作圆的切线QR ，满足PQ =2QR ， ∴PQ 2=4QR 2，即(x −3)2+y 2=4(x 2+y 2−1)， 整理得，(x +1)2+y 2=163，∴点Q 的轨迹方程是以(−1,0)为圆心，以r =4√33为半径的圆， ∴当点Q 在直线x =−1上时，△QAP 的面积的最大， ∴(S △PAQ )max =12×4×4√33=8√33． 故选：B ．以AB 所在直线为x 轴，以AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，利用两点间距离公式推导出点Q 的轨迹方程，可得Q 到AB 距离的最大值，由此能求出△QAP 的面积的最大值．本题考查三角形面积的最大值的求法，注意两点间距离公式的合理运用，是中档题．5.【答案】(31124−3)【解析】解：由增广矩阵的定义可知，关于x ，y 的方程组{3x +y =12x +4y =−3的增广矩阵为(31124−3)， 故答案为：(31124−3)．由增广矩阵的定义可求解； 考查增广矩阵的概念，属于基础题；6.【答案】45°【解析】解：由直线x −y +1=0变形得：y =x +1 所以该直线的斜率k =1，设直线的倾斜角为α，即tanα=1， ∵α∈[0,180°)， ∴α=45°．故答案为：45°．把已知直线的方程变形后，找出直线的斜率，根据直线斜率与倾斜角的关系，即直线的斜率等于倾斜角的正切值，得到倾斜角的正切值，由倾斜角的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出倾斜角的度数．此题考查了直线的倾斜角，以及特殊角的三角函数值．熟练掌握直线倾斜角与斜率的关系是解本题的关键，同时注意直线倾斜角的范围．7.【答案】2√3【解析】解：如图，过O 作OD ⊥AB 于点D ，连结AO ，则D 为AB 的中点．Rt △AOD 中，AD =√AO 2−OD 2=√22−12=√3． 则AB =2AD =2√3． 故答案是：2√3．利用垂径定理和勾股定理解答．考查了直线与圆的位置关系，考查计算能力，属于中档题．8.【答案】(41)【解析】解：∵矩阵A =(0210)，B =(12)，∴AB =(0210)(12)=(41)．故答案为：(41)．利用矩阵的乘法法则能求出AB ．本题考查矩阵乘积的求法，考查矩阵乘法法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．9.【答案】arctan 34【解析】解：由于直线l 的一个方向向量为d ⃗ =(1,2)， 故直线l 的斜率为2，直线x−12=y−21，即y =12x +32，它的斜率为12．设两直线的夹角为θ，则tanθ=|2−121+2×12|=34，∴θ=arctan 34， 故答案为：arctan 34．先求出两条直线的斜率，再求出两直线的夹角的正切值tanθ，可得两直线的夹角θ的值． 本题主要考查两条直线的夹角公式、反三角函数的应用，属于中档题．10.【答案】(2,4)【解析】解：设点P 的坐标为(x,y)，由点P 1(−1,1)，P 2(1,3)， 所以P 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x +1,y −1)，PP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−x,3−y)， 又P 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−3PP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以{x +1=−3(1−x)y −1=−3(3−y)，解得{x =2y =4，所以点P 的坐标为(2,4)． 故答案为：(2,4)．设点P 的坐标为(x,y)，由平面向量的坐标表示，列方程组求出x 、y 的值即可． 本题考查了平面向量的坐标表示与运算问题，也考查了解方程组的问题，是基础题．11.【答案】x +2y −5=0【解析】解：圆x 2+y 2=5的圆心为O(0,0)，半径r =√5．根据题意，可得过P(1,2)的切线斜率存在，设其方程为y −2=k(x −1)，即kx −y +2−k =0．∵直线与圆x 2+y 2=5相切，∴圆心O 到直线的距离等于半径r ，即d =√k 2+1=√5，化简整理得：4k 2+4k −1=0，解之得k =−12， ∴直线方程为y −2=−12(x −1)，化简得x +2y −5=0． 故答案为：x +2y −5=0．求出圆的圆心为O(0,0)，半径r =√5.设过P 点的切线方程为y −2=k(x −1)，利用点到直线的距离建立关于k 的等式，解之得k =−12，即可得到所求圆的切线方程． 本题给出圆的方程，求圆经过定点的切线方程．着重考查了直线的方程、圆的标准方程和直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．12.【答案】−2<k <−13【解析】解：∵直线l 1：y =k(x −1)−1与l 2：y =12x +1相交于第二象限， 由{y =k(x −1)−1y =12x +1，可得{x =2k+42k−1y =3k+12k−1，∴{2k+42k−1<03k+12k−1>0，求得−2<k <−13， 故答案为：−2<k <−13．联立方程组，求出交点坐标，再根据交点在第二象限，求出k 的范围． 本题主要考查求直线的交点，属于基础题．13.【答案】−2【解析】解：由题意，画图如下：∵OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−2)， ∴cos <OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，e ⃗ >=OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅e ⃗|OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|e ⃗ |=−1×45−2×35√(−1)2+(−2)2⋅√(45)2+(35)2=−2√55，∴|O 1M 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|cos <OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，e ⃗ >|=√(−1)2+(−2)2⋅2√55=2，∵|e ⃗ |=1，∴|O 1M 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||e ⃗ |=2，∵O 1M 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与e ⃗ 方向相反， ∴λ=−2． 故答案为：−2．本题根据题意画出大致图象，然后根据向量内积公式计算出cos <OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，e ⃗ >的值，再根据投影的内积计算方法计算出|O 1M 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的值，即可得到|O 1M 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||e ⃗ |=2，最后根据O 1M 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与e⃗ 方向相反可推导出λ的取值．本题主要考查向量的内积运用．考查了转化思想，数形结合法，定义法，向量的运算能力，直观想象能力，以及逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．14.【答案】−7【解析】解：如图，以O 为坐标原点，以过O 且平行于AB 的直线为x 轴，以过O 且垂直于AB 的直线为y 轴建立坐标系， 则B(2,−2)，C(2,2)，∴2OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−λ)OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(2,−2)+(1−λ)(2,2)=(2,2−4λ)，∴OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1−2λ) 即P 点坐标为(1,1−2λ)，设M(a,−2)，则N(−a,2)，−2≤a ≤2， ∴PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a −1,2λ−3)，PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−a −1,2λ+1) ∴PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a −1)(−a −1)+(2λ−3)(2λ+1)=1−a 2+4λ2−4λ−3， 当a =±2且λ=−−42×4=12时，PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 有最小值−7． 故答案为：−7．建立坐标系，根据2OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−λ)OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求出P 点坐标，设出M ，N 坐标分别为(a,−2)，(−a,2)，将PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 转化为关于a ，λ的函数，即可得到其最小值． 本题考查了向量的线性运算，向量的数量积运算，向量的坐标运算，函数的最小值的求法，考查分析和解决问题的能力和推理运算能力，属于中档题．15.【答案】解：由方程组{mx +2y =m +42x +my =m， 所以方程组的系数行列式为∣∣∣m 22m∣∣∣=m 2−4=(m +2)(m −2)， D x =∣∣∣m +42m m∣∣∣=m 2+4m −2m =m 2+2m =m(m +2)， D y =∣∣∣m m +42m∣∣∣=m 2−2m −8=(m −4)(m +2)； 当m 2−4≠0，即m ≠2且m ≠−2时，方程组有唯一的解；且该方程组的解为{x =m m−2y =m−4m−2．【解析】由题意写出方程组的系数行列式D 和D x ，D y ；当D ≠0时方程组有唯一解，再求出该方程组的解．本题考查了利用行列式求线性方程组的应用问题，是基础题．16.【答案】解：(1)由题意，以A 为原点，AB 所在的直线为x 轴，AD 所在的直线为y 轴，建立如下图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，M(3,1)，N(1,2)，AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,1)，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2)， ∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3×1+1×2=5． (2)由题意，设N 点坐标为(a,2)，a ∈[0,3]，则∵AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,1)，AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,2)， ∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3×a +1×2=3a +2=8， 解得a =2，∴N 点坐标为(2,2)，故点N 的位置为线段CD 上靠近C 的三等分点．【解析】本题第(1)题根据题意可以建立以A 为原点，AB 所在的直线为x 轴，AD 所在的直线为y 轴的平面直角坐标系，然后写出点M ，N 的坐标，计算出AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，再根据向量内积的坐标运算公式进行计算即可得到结果；第(2)题可设N 点坐标为(a,2)，计算出AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，再根据向量内积的坐标运算公式进行代入计算即可得到a 的值，从而可判别出点N 的位置．本题主要考查运用向量解决集平面几何问题．考查了转化思想，向量的坐标运算，直观想象能力以及数学运算能力．本题属中档题．17.【答案】解：(1)由向量a ⃗ =(1,1+k)，b ⃗ =(k,2)，所以2a ⃗ −b ⃗ =(2−k,2k)，又2a ⃗ −b ⃗ 与b ⃗ 平行，所以2(2−k)−2k 2=0，解得k =−2或k =1；(2)若向量2a ⃗ −b ⃗ 与b ⃗ 的夹角为钝角，则(2−k)k +4k <0，解得k <0或k >6；由(1)知，当k =−2时，2a ⃗ −b ⃗ 与b ⃗ 平行，所以k 的取值范围是(−∞,−2)∪(−2,0)∪(6,+∞)．【解析】(1)由平面向量的坐标表示和向量共线定理，列方程求出k 的值；(2)由平面向量的数量积与夹角的关系，列不等式求出k 的取值范围，要去掉共线反向情况．本题考查了平面向量的坐标运算应用问题，也考查了向量共线与夹角问题，是基础题．18.【答案】解：(1)由题意可得，中心R(0,1)到直线AB ：x −3y −1=0的距离d =√10=2√105， ∴正方形的面积S =(2d)2=325，(2)设对角线所在直线的方程为a(x −0)+b(y −1)=0，边AB 所在的直线方程为x −3y −1=0，两直线的法向量分别为n 1⃗⃗⃗⃗ =(a,b)，n 2⃗⃗⃗⃗ =(1,−3)，设两直线的夹角为θ，则cosθ=n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ||n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |=√10⋅√a 2+b 2=√22， ∴2a 2+3ab −2b 2=0，∴(2a−b)(a+2b)=0，∴b=2a或a+2b=0，两条对角线分别为x+2y−2=0或2x−y+1=0．【解析】(1)结合点到直线的距离公式可求d，然后代入正方形面积公式可求．(2)设对角线所在直线的方程为a(x−0)+b(y−1)=0，边AB所在的直线方程为x−3y−1=0，然后结合直线法向量与直线的夹角公式可求．本题主要考查了直线方程的求解，向量夹角公式及点到直线的距离公式的应用，属于基础试题．19.【答案】解：(1)由已知可得圆C1的圆心为原点，半径为1，则由已知定义可得：√32+42=2，解得m=±10，故实数m的值为±10；(2)当m=0时，直线l：3x−3y=0，圆C2与y轴相切于点A(0,3)，所以可设C2：(x−a)2+(y−3)2=a2，则根据定义可得：|3a−12|5|a|=65，解得a=−4或43，①当a=−4时，C2：(x+4)2+(y−3)2=16，两圆的圆心距d=5，半径之和为1+4=5，所以两圆外切，②当a=43时，C2：(x−43)2+(y−3)2=169，两圆的圆心距d大于半径之和，因此两圆外离．【解析】(1)根据新定义的要求即可求出m的值，(2)先设圆C2的方程，然后再根据新定义可求出a的值，再根据a的值判断两圆的位置关系．本题考查了新定义下直线与圆以及圆与圆的问题，考查了学生的运算能力，属于中档题．。

2020-2021上海中国中学高二数学上期中试题带答案一、选择题1．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A．14B．8πC．12D．4π2．民间有一种五巧板拼图游戏.这种五巧板（图1）可以说是七巧板的变形，它是由一个正方形分割而成（图2），若在图2所示的正方形中任取一点，则该点取自标号为③和④的巧板的概率为（）A．518B．13C．718D．493．我校高中生共有2700人,其中高一年级900人,高二年级1200人,高三年级600人,现采取分层抽样法抽取容量为135的样本,那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为( )A．45,75,15B．45,45,45C．45,60,30D．30,90,154．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织28尺，第二日，第五日，第八日所织之和为15尺，则第十五日所织尺数为（）A．13B．14C．15D．165．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中做出了重大贡献，哥德巴赫猜想是：“任一大于2的偶数都可以写成两个质数之和”，如32=13+19．在不超过32的质数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率为（ ） A ．111B ．211C ．355D ．4556．下面的算法语句运行后，输出的值是（ ）A ．42B ．43C ．44D ．457．为计算11111123499100S =-+-++-…，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入A ．1i i =+B ．2i i =+C ．3i i =+D ．4i i =+8．将三枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A =“三个点数之和等于15”，B =“至少出现一个5点”，则概率()|P A B 等于（ ） A ．5108B ．113C ．17D ．7109．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为48，则输入k 的值可以为A ．6B ．10C ．8D ．410．下列说法正确的是（ ）A ．若残差平方和越小，则相关指数2R 越小B ．将一组数据中每一个数据都加上或减去同一常数，方差不变C ．若2K 的观测值越大，则判断两个分类变量有关系的把握程度越小D ．若所有样本点均落在回归直线上，则相关系数1r = 11．已知函数()cos3xf x π=，根据下列框图，输出S 的值为( )A ．670B ．16702C ．671D ．67212．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，...，960，分组后某组抽到的号码为41．抽到的32人中，编号落入区间[]401,755 的人数为（ ） A ．10B ．11C ．12D ．13二、填空题13．在区间[2,4]-上随机地取一个实数x ，若实数x 满足||x m ≤的概率为23，则m =_______.14．某高中校高一、高二、高三三个年级人数分别为300，300，400通过分层抽样从中抽取40人进行问卷调查，高三抽取的人数是______．15．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得101i i x =∑＝80， 101i i y =∑＝20， 110i i i x y =∑＝184， 1210i i x =∑＝720.则家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程为__________． 附：线性回归方程y ＝bx ＋a 中， 1221ni i i n i i x y nxyb x nx==-=-∑∑，a ＝y －b x ，其中x ， y 为样本平均值．线性回归方程也可写为ˆy＝ˆb x ＋ˆa . 16．在1270x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪>⎩的可行域内任取一点(),x y ，则满足230x y -≥的概率是__________．17．如图程序框图的输出结果是_________.18．如果执行下面的程序框图，那么输出的s ＝______________.19．甲、乙、丙三人进行传球练习，共传球三次，球首先从甲手中传出，则第3次球恰好传回给甲的概率是________．20．已知变量,x y 之间的一组数据如下表：x0 1 23 y 1357则y 与x 的线性回归方程y b x a ∧∧∧=+必过点_______________三、解答题21．为保护农民种粮收益，促进粮食生产，确保国家粮食安全，调动广大农民生产粮食的积极性，从2014年开始，国家实施了对种粮农民直接补贴的政策通过对2014~2018年的数据进行调查，发现某地区发放粮食补贴额x （单位：亿元）与该地区粮食产量y （单位：万亿吨）之间存在着线性相关关系，统计数据如下表： 年份 2014 2015 2016 2017 2018 补贴额x /亿元 9 10 12 11 8 粮食产量y /万亿2526313721（1）请根据上表所给的数据，求出y 关于x 的线性回归直线方程ˆˆybx a =+； （2）通过对该地区粮食产量的分析研究，计划2019年在该地区发放粮食补贴7亿元，请根据（1）中所得到的线性回归直线方程，预测2019年该地区的粮食产量.参考公式：()()()121ˆniii nii x x y y bx x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-. 22．树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环.据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，大量的统计数据表明，参与调查者中关注此问题的约占80%.现从参与调查的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[15,25)，第2组[25,35)，第3组[35,45)，第4 组[45,55)，第5组[55,65]，得到的频率分布直方图如图所示(1) 求a 的值(2)现在要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取12人，再从这12人中随机抽取3人进行问卷调查，求在第1组已被抽到1人的前提下，第3组被抽到2人的概率； （3）若从所有参与调查的人中任意选出3人，记关注“生态文明”的人数为X ，求X 的分布列与期望.23．某保险公司有一款保险产品的历史收益率（收益率=利润÷保费收入）的频率分布直方图如图所示：（1）试估计这款保险产品的收益率的平均值；（2）设每份保单的保费在20元的基础上每增加x 元，对应的销量为y （万份）．从历史销售记录中抽样得到如下5组x 与y 的对应数据：x 元25 30 38 45 52 销量为y （万份）7.57.16.05.64.8由上表，知x 与y 有较强的线性相关关系，且据此计算出的回归方程为10.0ˆybx =-．（ⅰ）求参数b 的值；（ⅱ）若把回归方程10.0ˆybx =-当作y 与x 的线性关系，用（1）中求出的收益率的平均值作为此产品的收益率，试问每份保单的保费定为多少元时此产品可获得最大利润，并求出最大利润．注：保险产品的保费收入=每份保单的保费⨯销量．24．为了研究“教学方式”对教学质量的影响，某高中老师分别用两种不同的教学方式对入学数学平均分数和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班进行教学（勤奋程度和自觉性都一样）．以下茎叶图为甲、乙两班(每班均为20人)学生的数学期末考试成绩．（1）现从甲班数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学，求成绩为87分的同学至少有一名被抽中的概率；（2）学校规定：成绩不低于75分的为优秀．请填写下面的2×2列联表，并判断有多大把握认为“成绩优秀与教学方式有关”．甲班 乙班 合计优秀不优秀合计参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++参考数据：()20P K k ≥0.050 0.010 0.0010k3.841 6.635 10.82825．某校研究性学习小组从汽车市场上随机抽取20辆纯电动汽车，调查其续驶里程（单次充电后能行驶的最大里程），被调查汽车的续驶里程全部介于50公里和300公里之间，将统计结果分成5组：[)[)[)[)[)50,100,100,150,150,200,200,250,250,300，绘制成如图所示的频率分布直方图.（1）求直方图中x 的值及续驶里程在[)200,300的车辆数；（2）若从续驶里程在[)200,300的车辆中随机抽取2辆车，求其中恰有一辆车的续驶里程在[)200,250内的概率.26．为了了解某省各景区在大众中的熟知度，随机从本省1565:岁的人群中抽取了n 人，得到各年龄段人数的频率分布直方图如图所示，现让他们回答问题“该省有哪几个国家AAAAA 级旅游景区？”，统计结果如下表所示： 组号 分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的频率第1组 [)1525， a0.5第2组 [)2535， 18x第3组 [)3545， b 0.9 第4组 [)4555， 9 0.36第5组[)5565，3y（1）分别求出,,,a b x y 的值；（2）从第2,3,4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2,3,4组每组抽取的人数；（3）在（2）中抽取的6人中随机抽取2人，求所抽取的人中恰好没有年龄段在[)3545，的概率【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B【解析】设正方形边长为a ，则圆的半径为2a ，正方形的面积为2a ，圆的面积为2π4a .由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色部分的概率是221ππ248a a ⋅=，选B. 点睛:对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算基本事件区域的几何度量和事件A 区域的几何度量，最后计算()P A .2．C解析：C 【解析】 【分析】分别求出③和④的巧板的面积，根据几何概型的概率关系转化为面积比. 【详解】设巧板①的边长为1，则结合图2可知大正方形的边长为3， 其面积239S ==.其中巧板③是底边长为2的等腰直角三角形， 其面积为112112S =⨯⨯=的正方形 与腰长为1的等腰直角三角形的组合图形，其面积为22151122S ⨯⨯+==， 故所求的概率12718S S P S +==. 故选:C . 【点睛】本题考查几何概型的概率求法，转化为面积比，属于中档题 .3．C解析：C 【解析】因为共有学生2700，抽取135，所以抽样比为1352700，故各年级分别应抽取135900452700⨯=，1351200602700⨯=，135600302700⨯=，故选C. 4．C解析：C【分析】 【详解】由题意得等差数列{}n a 中258715,28a a a S ++== 求15a25855153155a a a a a ++=⇒=⇒=1774428772845412a a S a a d +=⇒⨯==⇒=∴=-= 154(154)1415415a a ∴=+-⨯=+-=，选C.5．C解析：C 【解析】 【分析】利用列举法求得基本事件的总数，再得出选取两个不同的数且和等于30，所包含的基本事件的个数，利用古典概型的概率计算公式，即可求解. 【详解】由题意，不超过32的质数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，共有11个， 其中随机选取两个不同的数且和等于30的有30=7+23=11+19=13+17，共有3组，所以所求概率为2113355C =， 故选：C. 【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，其中解答中利用列举法求得基本事件的总数是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.6．C解析：C 【解析】 【分析】根据算法语句可知，程序实现功能为求满足不等式22000i <的解中最大自然数，即可求解. 【详解】 由算法语句知，运行该程序实现求不等式22000i <的解中最大自然数的功能， 因为24520252000=>，24419362000=<，所以44i =， 故选：C 【点睛】本题主要考查算法语句，考查了对循环结构的理解，属于中档题.解析：B 【解析】分析：根据程序框图可知先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此累加量为隔项. 详解：由11111123499100S =-+-+⋯+-得程序框图先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此在空白框中应填入2i i =+，选B.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.8．B解析：B 【解析】 【分析】根据条件概率的计算公式即可得出答案. 【详解】3311166617()216A P AB C C C +==Q ，11155561116691()1216C C C P B C C C =-=()()()72161|2169113P AB P A B P B ∴==⨯= 故选：B 【点睛】本题主要考查了利用条件概率计算公式计算概率，属于中档题.9．C解析：C 【解析】 【分析】执行如图所示的程序框图，逐次循环，计算其运算的结果，根据选项即可得到答案. 【详解】由题意可知，执行如图所示的程序框图，可知： 第一循环：134,2146n S =+==⨯+=； 第二循环：437,26719n S =+==⨯+=； 第三循环：7310,2191048n S =+==⨯+=， 要使的输出的结果为48，根据选项可知8k =，故选C. 【点睛】本题主要考查了循环结构的计算与输出问题，其中解答中正确理解循环结构的程序框图的计算功能，逐次准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.10．B【解析】 【分析】由残差平方和越小，模型的拟合效果越好，可判断A ；由方差的性质可判断B ；由的随机变量2K 的观测值的大小可判断C ；由相关系数r 的绝对值趋近于1，相关性越强，可判断D .【详解】对于A ，可用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，相关指数2R 越大，故A 错误；对于B ，将一组数据的每一个数据都加上或减去同一常数后，由方差的性质可得方差不变，故B 正确；对于C ，对分类变量X 与Y ，它们的随机变量2K 的观测值越大，“X 与Y 有关系”的把握程度越大，故C 错误；对于D ，若所有样本点均落在回归直线上，则相关系数1r =，故D 错误. 故选：B. 【点睛】本题考查命题的真假判断，主要是线性回归直线的特点和线性相关性的强弱、样本数据的特征值和模型的拟合度，考查判断能力，属于基础题．11．C解析：C 【解析】 【分析】根据框图的流程，依次计算前六次的运算结果，判断终止运行的n 值，再根据余弦函数的周期性计算即可. 【详解】由程序框图知：第一次运行()11cos 32f π==，10.1122S n =+=+=； 第二次运行()212cos32f π==-，12S =，213n =+=， 第三次运行()3cos 1f π==-，12S =，314n =+=， 第四次运行()414cos 32f π==-，12S =，415n =+=， 第五次运行()515cos32f π==，1S =，6n =， 第六次运行()6cos21f π==，2S =，7n =， 直到2016n =时，程序运行终止，Q 函数cos3n y π=是以6为周期的周期函数，201563355=⨯+， 又()()2016cos336cos 21381f ππ==⨯=，∴若程序运行2016次时，输出2336672S =⨯=， ∴程序运行2015次时，输出33621671S =⨯-=．故选C ． 【点睛】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键．12．C解析：C 【解析】 【分析】由题意可得抽到的号码构成以11为首项、以30为公差的等差数列，求得此等差数列的通项公式为a n ＝30n ﹣19，由401≤30n ﹣21≤755，求得正整数n 的个数，即可得出结论． 【详解】∵960÷32＝30，∴每组30人，∴由题意可得抽到的号码构成以30为公差的等差数列， 又某组抽到的号码为41，可知第一组抽到的号码为11，∴由题意可得抽到的号码构成以11为首项、以30为公差的等差数列， ∴等差数列的通项公式为a n ＝11+（n ﹣1）30＝30n ﹣19， 由401≤30n ﹣19≤755，n 为正整数可得14≤n ≤25， ∴做问卷C 的人数为25﹣14+1＝12， 故选C ． 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，系统抽样的定义和方法，根据系统抽样的定义转化为等差数列是解决本题的关键，比较基础．二、填空题13．2【解析】【分析】画出数轴利用满足的概率可以求出的值即可【详解】如图所示区间的长度是6在区间上随机地取一个数若满足的概率为则有解得故答案是：2【点睛】该题考查的是有关长度型几何概型的问题涉及到的知识解析：2 【解析】 【分析】画出数轴，利用x 满足||x m ≤的概率，可以求出m 的值即可. 【详解】 如图所示，区间[2,4]-的长度是6，在区间[2,4]-上随机地取一个数x ， 若x 满足||x m ≤的概率为23， 则有2263m =，解得2m =， 故答案是：2. 【点睛】该题考查的是有关长度型几何概型的问题，涉及到的知识点有长度型几何概型的概率公式，属于简单题目.14．16【解析】高一高二高三抽取的人数比例为所以高三抽取的人数是解析：16 【解析】高一、高二、高三抽取的人数比例为300300400=334：：：：， 所以高三抽取的人数是440=16.3+3+4⨯ 15．y ＝03x －04【解析】由题意知又由此得故所求回归方程为故答案为解析：y ＝0.3x －0.4【解析】由题意知1118012010,8,21010n n i i i i n x x y y n n =========∑∑， 又222172010880nii xnx =-=-⨯=∑，1184108224ni i i x y nxy =-=-⨯⨯=∑，由此得240.3ˆˆˆ,20.380.480bay bx ===-=-⨯=-，故所求回归方程为ˆy 0.30.4x =-，故答案为ˆy0.30.4x =-. 16．【解析】分析：首先绘制可行域结合点的坐标求得可行域的面积然后结合题意利用几何概型计算公式即可求得最终结果详解：绘制不等式组所表示的平面区域如图所示由解得即A(32）且故作出直线2x-3y=0则2x- 解析：29【解析】分析：首先绘制可行域，结合点的坐标求得可行域的面积，然后结合题意利用几何概型计算公式即可求得最终结果.详解：绘制不等式组所表示的平面区域如图所示，由127x y x y -=⎧⎨+=⎩解得32x y =⎧⎨=⎩，即A (3,2）.且()70,,0,12B C ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 故172713224ABC S ⎛⎫=⨯+⨯= ⎪⎝⎭V . 作出直线2x -3y =0.则2x -3y ≥0所以表示区域为△OAC ， 即不等式2x -3y ≥0所表示的区领为△OAC ，面积为131322AOC S =⨯⨯=V ， 所以满足230x y -≥的概率是为3222794AOCABCS p S V V ===.点睛：数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A 满足的不等式，在图形中画出事件A 发生的区域，据此求解几何概型即可.17．【解析】执行程序框图第一次循环；第二次循环；第三次循环；第十五次循环；退出循环输出故答案为【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图属于中档题解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1)不要混淆 解析：15S =【解析】执行程序框图，第一次循环，1S = ；第二次循环，2S = ；第三次循环，3S = ；... 第十五次循环，15S = ；退出循环，输出15S =，故答案为15.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.18．46【解析】第一次执行程序执行第二次程序执行第三次程序执行第四次程序符合判断框条件退出循环输出故填46点睛：本题主要考查含循环结构的框图问题属于中档题处理此类问题时一般模拟程序的运行经过几次运算即可解析：46 【解析】第一次执行程序2,2(11)4i s ==⨯+=，执行第二次程序3,2(41)10i s ==⨯+=，执行第三次程序4,2(101)22i s ==⨯+=，执行第四次程序5,2(221)46i s ==⨯+=，符合判断框条件，退出循环，输出46s =，故填46．点睛：本题主要考查含循环结构的框图问题。

2020-2021学年上海市奉贤区高二（下）期中数学试卷一、填空题（1-6每题4分，7-12每题5分）1．表面积为4πcm2的球的体积是cm3．2．已知平行直线2x﹣7y+8＝0和2x﹣7y﹣6＝0之间的距离是．3．抛物线x2＝y上一点M到焦点的距离为1，则点M的横坐标为．4．如图，已知长方体ABCD﹣A'B'C'D'的棱长AA'＝3cm，AB＝4cm，AD＝4cm，则点A到棱B'C'的距离是cm．5．如图，正方体ABCD﹣A'B'C'D'，则二面角B﹣A'C'﹣B'的大小是．6．设一个圆锥的侧面积是S，点O1为圆锥的高上靠近顶点的一个三等分点，过点O1作与底面平行的截面，则截得的圆锥的侧面积是．7．若双曲线经过点P（4，3），它的一条渐近线方程为，则双曲线的标准方程为．8．焦点在坐标轴上，焦距为，短轴长为4的椭圆的标准方程为．9．在平面直角坐标系中，过点M（2，2）且与圆x2+y2﹣2x＝0相切的直线方程为．10．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为．11．已知双曲线，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N，若△OMN为直角三角形，则|MN|＝．12．已知O为坐标原点，A（﹣5，0），B（5，0），点P满足|PA|+|PB|＝14，点P（x，y）又满足＝2，则点P的坐标是．二、选择题（满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分．13．参数方程是表示的曲线是（）A．线段B．双曲线C．圆弧D．射线14．已知平面α和平面β不重合，直线m和n不重合，则α∥β的一个充分条件是（）A．m⊂α，n⊂β且m∥n B．m⊂α，n⊂β，且m∥β，n∥αC．m∥α，n∥β且m∥n D．m⊥α，n⊥β且m∥n15．对于常数m、n，“mn＞0”是“方程mx2+ny2＝1的曲线是椭圆”的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件16．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为BD1，B1C1的中点，点P在正方体的表面上运动，且满足MP⊥CN，则下列说法正确的是（）A．点P可以是棱BB1的中点B．线段MP的最大值为C．点P的轨迹是正方形D．点P轨迹的长度为三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，第17题14分，第18题14分，第19题14分，第20题16分，第21题18分．17．用铁皮制作一个无盖的圆锥形容器．已知该圆锥的母线与底面所在平面的夹角为45°，容器的高为10cm．（1）制作该容器需要多少面积的铁皮（衔接部分忽略不计，结果精确到0.1cm2）．（2）该容器的容积是多少（衔接部分忽略不计，结果精确到0.1cm3）．18．设抛物线y2＝2px的焦点F的坐标为（1，0），过焦点F作一条倾斜角为θ的直线与抛物线相交A、B于两点，线段AB的中点为M．倾斜角θ是变化的．（1）设△MOF的面积为S△MOF，△AOB的面积为S△AOB，设S△MOF＝λS△AOB，求λ的取值范围；（2）求中点M的轨迹方程．19．如图，在正方体ABCD﹣A'B'C'D'中，E是BC的中点，（1）过D'、B'、E三点作正方体的截面α；（2）求半平面B'BE与平面α所成的二面角的大小；20．（16分）如图一，平面四边形ABCD关于直线AC对称，∠A＝60°，∠C＝90°，CD ＝2．把△ABD沿BD折起（如图二），使二面角A﹣BD﹣C的余弦值等于．对于图二，完成以下各小题：（Ⅰ）求A，C两点间的距离；（Ⅱ）证明：AC⊥平面BCD；（Ⅲ）求直线AC与平面ABD所成角的正弦值．21．（18分）已知椭圆经过A（0，2）、B（﹣3，﹣1）两点．（1）求直线AB和椭圆的方程；（2）求椭圆上的动点T到N（1，0）的最短距离；（3）直线AB与x轴交于点M（m，0），过点M作不垂直于坐标轴且与AB不重合的直线l，l与椭圆交于C，D两点，直线AC，BD分别交直线x＝m于P，Q两点，求证：为定值．参考答案一、填空题（满分54分）（1-6每题4分，7-12每题5分）1．表面积为4πcm2的球的体积是cm3．解：表面积为4πcm2的球的半径为r，所以4πr2＝4π，所以r＝1，所以球的体积为：＝（cm3）．故答案为：．2．已知平行直线2x﹣7y+8＝0和2x﹣7y﹣6＝0之间的距离是．解：平行线2x﹣7y+8＝0和2x﹣7y﹣6＝0的距离为：d＝＝．故答案为：．3．抛物线x2＝y上一点M到焦点的距离为1，则点M的横坐标为±．解：根据题意，设M的坐标为（m，n），（n＞0）抛物线y＝x2，其标准方程为x2＝y，其准线方程为y＝﹣，若M到焦点的距离为1，M到准线的距离也为1，则有n﹣（﹣）＝1，解可得n＝，又由M在抛物线上，则m2＝，解可得m＝±；故答案为：±．4．如图，已知长方体ABCD﹣A'B'C'D'的棱长AA'＝3cm，AB＝4cm，AD＝4cm，则点A到棱B'C'的距离是5cm．解：长方体ABCD﹣A'B'C'D'的棱长AA'＝3cm，AB＝4cm，AD＝4cm，则点A到棱B'C'的距离就是A到B'的距离，即＝＝5．故答案为：5．5．如图，正方体ABCD﹣A'B'C'D'，则二面角B﹣A'C'﹣B'的大小是．解：连接A'C'，D'B'，交点为O，连接OB，因为几何体是正方体，所以A'C'⊥平面BDD′B'，所以∠BOB′是所求二面角的平面角，设正方体的列出为a，则OB′＝，所以tan∠BOB′＝＝，所以∠BOB′＝arctan．故答案为：arctan．6．设一个圆锥的侧面积是S，点O1为圆锥的高上靠近顶点的一个三等分点，过点O1作与底面平行的截面，则截得的圆锥的侧面积是．解：根据题意，画出圆锥的轴截面，如图所示：根据面积比等于相似比的平方知，＝＝，所以截得的小圆锥的侧面积是S小圆锥侧＝S．故答案为：S．7．若双曲线经过点P（4，3），它的一条渐近线方程为，则双曲线的标准方程为．解：根据题意，双曲线的一条渐近线方程为，设双曲线方程为﹣y2＝λ（λ≠0），∵双曲线过点P（4，3），∴﹣32＝λ，即λ＝﹣5．∴所求双曲线方程为．故答案为：．8．焦点在坐标轴上，焦距为，短轴长为4的椭圆的标准方程为或．解：根据题意，要求椭圆焦点在坐标轴上，焦距为，短轴长为4，即2c＝2，2b＝4，则c＝，b＝2，则a＝＝，若椭圆的焦点在x轴上，其标准方程为，若椭圆的焦点在y轴上，其标准方程为，则要求椭圆的方程为或；故答案为：或．9．在平面直角坐标系中，过点M（2，2）且与圆x2+y2﹣2x＝0相切的直线方程为x＝2或3x﹣4y+2＝0．解：根据题意，圆x2+y2﹣2x＝0可化为（x﹣1）2+y2＝1，其圆心为（1，0），半径为1，当过点P（2，2）的直线的斜率不存在时，直线方程为x＝2，与圆相切，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为y﹣2＝k（x﹣2），即kx﹣y+2﹣2k＝0，有＝1，解可得k＝，此时直线的方程为，即3x﹣4y+2＝0综上可得切线方程为x＝2或3x﹣4y+2＝0；故答案为：x＝2或3x﹣4y+2＝0．10．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为．解：设正四棱锥的高为h，底面边长为a，侧面三角形底边上的高为h′，则依题意有：，因此有h′2﹣（）2＝ah′⇒4（）2﹣2（）﹣1＝0⇒＝（舍去）；故答案为：．11．已知双曲线，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N，若△OMN为直角三角形，则|MN|＝3．解：双曲线，的渐近线方程为：y＝±x，渐近线的夹角为：60°，不妨设过F（2，0）的直线为：y＝（x﹣2），则联立，解得M（，﹣），联立解得：N（3，），则|MN|＝＝3．故答案为：3．12．已知O为坐标原点，A（﹣5，0），B（5，0），点P满足|PA|+|PB|＝14，点P（x，y）又满足＝2，则点P的坐标是．解：O为坐标原点，A（﹣5，0），B（5，0），点P满足|PA|+|PB|＝14，点P（x，y），可得P的轨迹方程为：＝1，点P（x，y）又满足＝2，可得，x＞0，联立，解得P．故答案为：．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分．13．参数方程是表示的曲线是（）A．线段B．双曲线C．圆弧D．射线解：由题意，由（2）得t2＝y+1代入（1）得x＝3（y+1）+2，即x﹣3y﹣5＝0，其对应的图形是一条直线又由曲线的参数0≤t≤5，知2≤x≤77，所以此曲线是一条线段．故选：A．14．已知平面α和平面β不重合，直线m和n不重合，则α∥β的一个充分条件是（）A．m⊂α，n⊂β且m∥n B．m⊂α，n⊂β，且m∥β，n∥αC．m∥α，n∥β且m∥n D．m⊥α，n⊥β且m∥n解：A：当m⊂α，n⊂β且m∥n时，则α与β相交或α∥β，∴A错误，B：当m⊂α，n⊂β且m∥β，n∥α时，则α与β相交或α∥β，∴B错误，C：当m∥α，n∥β且m∥n时，则α与β相交或α∥β，∴C错误，D：当m⊥α，n⊥β且m∥n时，则α∥β，∴D正确，故选：D．15．对于常数m、n，“mn＞0”是“方程mx2+ny2＝1的曲线是椭圆”的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解：①当mn＞0时，例如：当m＝n＝1时，方程mx2+ny2＝1的曲线不是椭圆而是圆，∴充分性不成立，②当方程mx2+ny2＝1的曲线是椭圆时，则m，n都大于0，且m≠n，得到mn＞0，∴必要性成立，∴mn＞0是方程mx2+ny2＝1的曲线是椭圆的必要不充分条件．故选：C．16．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为BD1，B1C1的中点，点P在正方体的表面上运动，且满足MP⊥CN，则下列说法正确的是（）A．点P可以是棱BB1的中点B．线段MP的最大值为C．点P的轨迹是正方形D．点P轨迹的长度为解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，因为该正方体的棱长为1，M，N分别为BD1，B1C1的中点，则D（0，0，0），，所以，设P（x，y，z），则，因为MP⊥CN，所以，当x＝1时，z＝，当x＝0时，z＝，取，连结EF，FG，GH，HE，则，，所以四边形EFGH为矩形，则，即EF⊥CN，EH⊥CN，又EF和EH为平面EFGH中的两条相交直线，所以CN⊥平面EFGH，又，所以M为EG的中点，则M∈平面EFGH，所以为使MP⊥CN，必有点P∈平面EFGH，又点P在正方体表面上运动，所以点P的轨迹为四边形EFGH，因此点P不可能是棱BB1的中点，故选项A错误；又EF＝GH＝1，EH＝FG＝，所以EF≠EH，则点P的轨迹不是正方形，且矩形EFGH的周长为，故选项C错误，选项D正确；因为，，又MP⊥CN，则，所以，点P在正方体表面运动，则，解得，且0≤y ≤1，所以MP＝，故当或z＝，y＝0或1时，MP取得最大值为，故选项B错误；故选：D．三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，第17题14分，第18题14分，第19题14分，第20题16分，第21题18分．17．用铁皮制作一个无盖的圆锥形容器．已知该圆锥的母线与底面所在平面的夹角为45°，容器的高为10cm．（1）制作该容器需要多少面积的铁皮（衔接部分忽略不计，结果精确到0.1cm2）．（2）该容器的容积是多少（衔接部分忽略不计，结果精确到0.1cm3）．解：（1）该圆锥的母线与底面所在平面的夹角为45°，即∠OAS＝45°，计算半径r＝10，母线计算侧面积S＝πrl＝444.3答该容器需要的铁皮约444.3cm2（1分）（2）计算体积1047.2答该容器的容积约1047.2cm3（1分）18．设抛物线y2＝2px的焦点F的坐标为（1，0），过焦点F作一条倾斜角为θ的直线与抛物线相交A、B于两点，线段AB的中点为M．倾斜角θ是变化的．（1）设△MOF的面积为S△MOF，△AOB的面积为S△AOB，设S△MOF＝λS△AOB，求λ的取值范围；（2）求中点M的轨迹方程．解：（1）根据题意抛物线方程为y2＝4x，（1分）设A（x1，y1），B（x2，y2），根据题意，显然时，设直线方程y＝tanθ（x﹣1），，∴y2﹣4cotθ⋅y﹣4＝0，∴，（1分）∴，∴，（1分）∴，∴或时，∴，∴．（2）时，中点M（1，0），（1分）时，设直线方程y＝tanθ（x﹣1），（1分），∴y2﹣4cotθ⋅y﹣4＝0，（1分）∴，（1分）∴，∴，所以中点M的轨迹方程．．19．如图，在正方体ABCD﹣A'B'C'D'中，E是BC的中点，（1）过D'、B'、E三点作正方体的截面α；（2）求半平面B'BE与平面α所成的二面角的大小；解：（1）连接DB，取CD的中点F，连接EF，由四边形DD'B'B为矩形，可得D'B'∥BD，又EF为△BCD的中位线，可得EF∥BD，所以EF∥B'D'，所以截面D'B'EF即为截面α；（2）以D'为坐标原点，D'A'，D'B'，D'D所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系D'﹣xyz，设正方体的边长为1，则B'（1，1，0），E（，1，1），＝（1，1，0），＝（，1，1），设平面α的法向量＝（x，y，z），由，即为，可取x＝2，则y＝﹣2，z＝1，则＝（2，﹣2，1）．而平面B'E即为平面BB'C'C的法向量．所以半平面B'BE与平面α所成的二面角的大小的余弦值为＝＝﹣，所以半平面B'BE与平面α所成的二面角的大小为π﹣arccos．20．（16分）如图一，平面四边形ABCD关于直线AC对称，∠A＝60°，∠C＝90°，CD ＝2．把△ABD沿BD折起（如图二），使二面角A﹣BD﹣C的余弦值等于．对于图二，完成以下各小题：（Ⅰ）求A，C两点间的距离；（Ⅱ）证明：AC⊥平面BCD；（Ⅲ）求直线AC与平面ABD所成角的正弦值．解：（Ⅰ）取BD的中点E，连接AE，CE，由AB＝AD，CB＝CD，得：AE⊥BD，CE⊥BD∴∠AEC就是二面角A﹣BD﹣C的平面角，∴在△ACE中，AC2＝AE2+CE2﹣2AE•CE•cos∠AEC＝∴AC＝2（Ⅱ）由AC＝BC＝CD＝2，∴AC2+BC2＝AB2，AC2+CD2＝AD2，∴∠ACB＝∠ACD＝90°∴AC⊥BC，AC⊥CD，又BC∩CD＝C∴AC⊥平面BCD．（Ⅲ）由（Ⅰ）知BD⊥平面ACEBD⊂平面ABD∴平面ACE⊥平面ABD平面ACE∩平面ABD＝AE，作CF⊥AE交AE于F，则CF⊥平面ABD，∠CAF就是AC与平面ABD所成的角，∴．21．（18分）已知椭圆经过A（0，2）、B（﹣3，﹣1）两点．（1）求直线AB和椭圆的方程；（2）求椭圆上的动点T到N（1，0）的最短距离；（3）直线AB与x轴交于点M（m，0），过点M作不垂直于坐标轴且与AB不重合的直线l，l与椭圆交于C，D两点，直线AC，BD分别交直线x＝m于P，Q两点，求证：为定值．解：（1）A（0，2）、B（﹣3，﹣1），可得直线AB的方程y＝x+2，，∴a2＝12．所以椭圆的方程为．（2）设T（x0，y0），＝，∴．（3）证明：直线AB的方程y＝x+2，直线AB与x轴交于点M（m，0），得到m＝﹣2，设直线l的方程为y＝k（x+2）（k≠0，k≠1）．由得（1+3k2）x2+12k2x+12k2﹣12＝0．且△＝96k2+48＞0．设C（x1，y1），D（x2，y2），则．记直线AC的方程为，令x＝﹣2，得P点的纵坐标，记直线BD的方程为，令x＝﹣2，得Q点的纵坐标，＝＝1．所以为定值1．方法2：＝＝＝．所以为定值1．。