上海市奉贤中学2019-2020学年高二第一学期期中考试试题 数学【含解析】

上海市2019-2019学年奉贤中学高二上学期数学期中考试（考试时间120分钟 满分150分）命题：陆玉兰、金小峰 审题：姚建新 一、填空题（第1-6题每小题4分，第7-12题每小题5分）1.已知直线l 过点()1,2P ，且其法向量()3,4n =-，则直线l 的点方向式方程为__________2.若关于,x y 的二元一次线性方程组的增广矩阵为0603m n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且该方程组的解为34x y =-⎧⎨=⎩，则mn 的值为__________3.方程组1x y x y λλλ+=⎧⎨+=⎩有无穷多组解，则实数λ=___________4.已知对于任意的m R ∈，直线()1210m x y m --++=都经过一个定点，则该定点的坐标为___________5.已知向量a 与b 的夹角为120︒，1,3a b ==，则5a b -=__________6.已知()()2,3,3,4a b ==-，则()a b -在()a b +上的投影等于______________7.已知点()()2,3,5,2A B -，若直线l 过点()1,6P -，且与线段AB 相交，则该直线l 的斜率的取值范围是___________8.三阶行列式sin 016cos 2sin 580x x x --⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭()x R ∈中元素8的代数余子式的值记为()f x ，则3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭________________9.ABC ∆中，()()()1,2,3,1,5,3A B C ---，D 是边BC 上一点，若14ABD ABC S S ∆∆=，则点D 的坐标是_______________10.设实数,x y 满足41002800,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩，若()0,0z ax by a b =+>>的最大值为12，则22a b +的取值范围是___________________ 11.已知O 为ABC ∆的外心，若,3B BO BA BC πλμ==+，则λμ+的最大值为___________12.设单位向量,a b 的夹角为锐角，若对于任意()(){},,1,0x y x y xa yb xy ∈+=≥，都有2x y +≤a b ⋅的最小值为______________二、选择题（每小题5分）13.,a b 是两个非零向量，若函数()()()f x xa b a xb =+⋅-的图像是一条直线，则必有（ ）A.a b ⊥B.//a bC.a b =D.a b ≠14.在ABC ∆中，a b c 、、分别是内角A B C 、、所对的边，若2224ABCa b c S ∆+-=（其中ABC S ∆表示ABC ∆的面积），且0AB AC BC AB AC ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭,则ABC ∆的形状是（ ） A.有一个角为30°的等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形D.等腰直角三角形15.已知ABC ∆中，a b c 、、分别是内角A B C 、、所对的边，AH 为边BC 上的高，有以下结论：①sin AH AC c B AH⋅=；②()222cos BC AC AB b c bc A ⋅-=+-；③()AH AB BC AH AB⋅+=⋅；④()()()()()22222BCAHAB ACAB AC ⋅=⋅-⋅，则其中正确的结论个数为（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个16.已知两个不相等的非零向量,a b ，两组向量12345,,,,x x x x x 和12345,,,,y y y y y 均由2个a 和3个b 排列而成。

2019-2020年高二上学期期中考试数学试卷 含答案注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答题前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上..2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再涂选其它答案标号，写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷将答案写在答题卡上，在试题卷上作答，答案无效.4.考试结束，只交答题卡.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．直线x －y ＝0的倾斜角为( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．135°2．若三点A (0，8)，B (－4，0)，C (m ，－4)共线，则实数m 的值是( )A ．6B ．－2C ．－6D ．23．圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2－6x＋8y－24＝0的位置关系是( ) A ．相交 B ．相离 C ．内切D ．外切4．如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，棱锥A 1-ABCD 的体积与长方体AC 1的体积的比值为( )A.12 B ．16 C.13D ．155．如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H ，K ，L 分别为AB ，BB 1，B 1C 1，C 1D 1，D 1D ，DA 的中点，则六边形EFGHKL 在正方体面上的射影可能是( )6．已知直线l与过点M(－3，2)，N(2，－3)的直线垂直，则直线l的倾斜角是()A.π3 B.π4 C.2π3D.3π47．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．2π＋12B ．π＋12C ．2π＋24D ．π＋248．若坐标原点在圆x 2＋y 2－2mx ＋2my ＋2m 2－4＝0的内部，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1，1)B ．⎝⎛⎭⎫－22，22 C ．(－3，3)D ．(－2，2)9．点P(7，－4)关于直线l：6x－5y－1＝0的对称点Q的坐标是( )A ．(5,6)B ．(2,3)C ．(－5,6)D ．(－2,3)10.过(2，0)点作圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的切线，所得切线方程为( )A ．y ＝0B ．x ＝1和y ＝0C ．x ＝2和y ＝0D ．不存在 11．两圆x2＋y2＋4x －4y ＝0与x2＋y2＋2x －12＝0的公共弦长等于( ) A ．4 B ．2 3 C ．3 2 D ．4 212．已知直线y ＝kx ＋2k ＋1与直线y ＝12x ＋2的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是( )A ．－6＜k ＜2B ．－16＜k ＜0C ．－16＜k ＜12D ．k ＞12第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2019-2020年高二上学期期中考试数学试卷含答案注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答题前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上..2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再涂选其它答案标号，写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷将答案写在答题卡上，在试题卷上作答，答案无效.4.考试结束，只交答题卡.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．直线x－y＝0的倾斜角为( )A．45°B．60°C．90°D．135°2．若三点A(0，8)，B(－4，0)，C(m，－4)共线，则实数m的值是( )A．6 B．－2 C．－6 D．2 3．圆ｘ2＋ｙ2＝4与圆ｘ2＋ｙ2－6x＋8y－24＝0的位置关系是（)A．相交B．相离C．内切D．外切4．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，棱锥A1-ABCD的体积与长方体AC1的体积的比值为( )A.12B．16C.13D．155．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H，K，L分别为AB，BB1，B1C1，C1D1，D1D，DA的中点，则六边形EFGHKL在正方体面上的射影可能是( ) 6．已知直线l与过点M(－3，2)，N(2，－3)的直线垂直，则直线l的倾斜角是（)A.π3B.π4C.2π3D.3π47．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( ) A．2π＋12 B．π＋12 C．2π＋24 D．π＋24 8．若坐标原点在圆x2＋y2－2mx＋2my＋2m2－4＝0的内部，则实数m的取值范围是( )A．(－1，1) B．－22，22C．(－3，3) D．(－2，2)9．点P(7，－4)关于直线l：6x－5y－1＝0的对称点Q的坐标是（)A．(5,6) B．(2,3) C．(－5,6)D．(－2,3)10.过(2，0)点作圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的切线，所得切线方程为( )A．y＝0 B．x＝1和y＝0 C．x＝2和y＝0 D．不存在11．两圆x2＋y2＋4x－4y＝0与x2＋y2＋2x－12＝0的公共弦长等于( ) A．4 B．2 3 C．3 2 D．4 212．已知直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝12x＋2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是( )A．－6＜k＜2 B．－16＜k＜0C．－16＜k＜12D．k＞12第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2019-2020学年度高二上学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合M={x|（x+3）（x-1）＜0}，N={x|x≤-3}，则∁R（M∪N）=（）A. {x|x≤1}B. {x|x≥1}C. {x|x<1}D. {x|x>1}2.数列-1，3，-5，7，-9，…的一个通项公式为（）A. a n=2n−1B. a n=(−1)n(1−2n)C. a n=(−1)n(2n−1)D. a n(−1)n+1(2n−1)3.不等式2x-3y+6＞0表示的平面区域在直线2x-3y+6=0的（）A. 左上方B. 左下方C. 右上方D. 右下方4.下列说法正确的是（）A. 若a<b，则1a <1bB. 若ac3>bc3，则a>bC. 若a>b，k∈N∗，则a k≤b kD. 若a>b，c>d，则a−d>b−c5.已知等比数列{a n}中，a2a3a4═1，a6a7a8=64，则a5=（）A. ±2B. −2C. 2D. 46.设M=2a（a-2），N=（a+1）（a-3），则有（）A. M>NB. M≥NC. M<ND. M≤N7.当x＞1时，不等式x+1x−1≥a恒成立，则实数a的取值范围是（）A. (−∞,2]B. [2,+∞)C. [3,+∞)D. (−∞,3]8.设{a n}是等差数列，公差为d，S n是其前n项的和，且S5＜S6，S6=S7＞S8，则下列结论错误的是（）A. d<0B. a7=0C. S9>S5D. S6和S7均为S n的最大值9.设S n为等差数列{a n}的前n项和，a4=4，S5=15，若数列{1a n a n+1}的前m项和为1011，则m=（）A. 8B. 9C. 10D. 1110.已知：x＞0，y＞0，且2x +1y=1，若x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是（）A. (−∞,−2]∪[4,+∞)B. (−∞,−4]∪[2,+∞)C. (−2,4)D. (−4,2)二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）11.△ABC中，a=1，b=√3，∠A=30°，则∠B等于______12.点P（x，y）在不等式组{x−2≤0y−1≤0x+2y−2≥0表示的平面区域上运动，则z=x-y的最大值为______．13.在△ABC中，三个角A、B、C所对的边分别为a、b、c．若角A、B、C成等差数列，且边a、b、c成等比数列，则△ABC的形状为______．14.对于任意实数x，不等式（a-2）x2-2（a-2）x-4＜0恒成立，则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共5小题，共44.0分）15.（1）解不等式2x2+x+1＞0．＜x＜2}，求a+b的值；（2）若不等式ax2+bx+2＞0的解集是{x|-1216.已知数列{a n}中，a1=2，a n+1=2a n．（1）求a n；（2）若b n=n+a n，求数列{b n}的前5项的和S5．17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c cos A，b cos B，a cos C成等差数列．（Ⅰ）求∠B；，b=√3，求△ABC的面积．（Ⅱ）若a+c=3√3218.如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过点C，已知AB=3米，AD=2米．（Ⅰ）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围内？（Ⅱ）当DN的长度为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值．19.已知数列{a n}的前n项和为S n，向量a⃗=（S n，2），b⃗ =(1，1−2n)满足条件a⃗ ⊥b⃗（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设c n=na n，求数列{c n}的前n项和T n．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵集合M={x|（x+3）（x-1）＜0}={x|-3＜x＜1}，N={x|x≤-3}，∴M∪N={x|x＜1}，∴∁R（M∪N）={x|x≥1}，故选：B．先求出M，再求出M∪N，再根据补集的定义求出∁R（M∪N）．本题主要考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合并集的定义和求法，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：数列-1，3，-5，7，-9，…的一个通项公式为．故选：C．其符号与绝对值分别考虑即可得出．本题考查了数列通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：画直线2x-3y+6=0，把（0，0）代入，使得2x-3y+6＞0，所以不等式2x-3y+6＞0表示的平面区域在直线2x-3+-6＞0的右下方，故选：D．根据题意取特殊点验证不等式表示的平面区域即可．本题考查了二元一次不等式表示的平面区域问题，通常以直线定界，特殊点定区域，是基础题．4.【答案】D【解析】解：A．当a=1，b=2时，满足a＜b，但不成立，故A错误，B．若ac3＞bc3，若c＜0，则a＞b不成立，故B错误，C．当k=2时，a=1，b=-2满足条件．a＜b，但a2≤b2不成立，故C错误，D．若a＞b，c＞d，则-d＞-c，则a-d＞b-c成立，故D正确故选：D．根据不等式的关系以及不等式的性质分别进行判断即可．本题主要考查命题的真假判断，结合不等式的性质分别进行判断是解决本题的关键．5.【答案】C【解析】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a2a3a4═1，a6a7a8=64，∴（q4）3=64，解得q2=2．又=1，解得a1=．则a5==2．故选：C．设等比数列{a n}的公比为q，由a2a3a4═1，a6a7a8=64，可得（q4）3=64，解得q2．又=1，解得a1．利用通项公式即可得出．本题考查了等比数列的通项公式与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.【答案】A【解析】解：∵M-N═2a（a-2）-（a+1）（a-3）=（a-1）2+2＞0，∴M＞N．故选：A．比较两个数的大小，通常采用作差法，分别计算M-N的结果，判断结果的符号．本题考查了比较两数大小的方法．当a-b＞0时，a＞b，当a-b=0时，a=b，当a-b ＜0时，a＜b．7.【答案】D【解析】解：∵当x＞1时，不等式x+恒成立，∴a≤x+对一切非零实数x＞1均成立．由于x+=x-1++1≥2+1=3，当且仅当x=2时取等号，故x+的最小值等于3，∴a≤3，则实数a的取值范围是（-∞，3]．故选：D．由题意当x＞1时，不等式x+恒成立，由于x+的最小值等于3，可得a≤3，从而求得答案．本题考查查基本不等式的应用以及函数的恒成立问题，求出x+的最小值是解题的关键．8.【答案】C【解析】解：∵S5＜S6，S6=S7＞S8，∴a6＞0，a7=0，a8＜0，可得d＜0．S6和S7均为S n的最大值．S9==9a5，S5==5a3．S9-S5=9（a1+4d）-5（a1+2d）=4a1+26d=4a7+2d＜0，∴S9＜S5．因此C错误．故选：C．S5＜S6，S6=S7＞S8，可得a6＞0，a7=0，a8＜0，可得d＜0．S6和S7均为S n的最大值．作差S9-S5=4a7+2d＜0，可得S9＜S5．本题考查了等差数列的单调性、通项公式与求和公式、作差法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.【答案】C【解析】解：S n为等差数列{a n}的前n项和，设公差为d，a4=4，S5=15，则：，解得d=1，则a n=4+（n-4）=n．由于=，则，==，解得m=10．故答案为：10．故选：C．首先求出数列的通项公式，利用裂项相消法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法求出数列的和10.【答案】D【解析】解：∵x＞0，y＞0，且，∴x+2y=（x+2y）（）=2+++2≥8（当且仅当x=4，y=2时取到等号）．∴（x+2y）min=8．∴x+2y＞m2+2m恒成立，即m2+2m＜（x+2y）min=8，解得：-4＜m＜2．故选：D．x+2y＞m2+2m恒成立，即m2+2m＜x+2y恒成立，只需求得x+2y的最小值即可．本题考查基本不等式与函数恒成立问题，将问题转化为求x+2y的最小值是关键，考查学生分析转化与应用基本不等式的能力，属于中档题．11.【答案】60°或120°【解析】解：∵a=1，b=，∠A=30°根据正弦定理可得：∴sinB=∴∠B=60°或120°故答案为：60°或120°根据正弦定理可求出角B的正弦值，进而得到其角度值．本题主要考查正弦定理的应用．属基础题．12.【答案】2【解析】解：画可行域如图，画直线z=x-y，平移直线z=x-y过点A（0，1）时z有最小值-1；平移直线z=x-y过点B（2，0）时z有最大值2．则z=x-y的最大值为2．故答案为：2．①画可行域；②z为目标函数的纵截距；③画直线z=x-y．平移可得直线过A 或B时z有最值．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．13.【答案】等边三角形【解析】解：∵在△ABC中角A、B、C成等差数列，∴2B=A+C，由三角形内角和可得B=，又∵边a、b、c成等比数列，∴b2=ac由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB，∴ac=a2+c2-ac，即a2+c2-2ac=0，故（a-c）2=0，可得a=c，故三角形为：等边三角形，故答案为：等边三角形．由等差数列和三角形内角和可得B=，再由等比数列和余弦定理可得a=c，可得等边三角形．本题考查三角形形状的判定，涉及等差和等比数列及余弦定理，属基础题．14.【答案】（-2，2]【解析】解：当a=2时，-4＜0恒成立；当a≠2时，不等式（a-2）x2-2（a-2）x-4＜0恒成立，则，解得：-2＜a＜2；综上所述，-2＜a≤2．故答案为：（-2，2]．分a=2与a≠2讨论；在a≠2时，（a-2）x2-2（a-2）x-4＜0恒成立⇒，解之，取并即可．本题考查函数恒成立问题，对a分a=2与a≠2讨论是关键，考查分类讨论思想与等价转化思想，属于中档题．15.【答案】解：（1）不等式2x2+x+1＞0中，△=1-8=-7＜0，所以该不等式的解集为R；（2）不等式ax2+bx+2＞0的解集是{x|-12＜x＜2}，则该不等式对应的方程两根是-12和2，所以{2a =−12×2−ba =−12+2，解得a=-2，b=3，∴a+b=1．【解析】（1）利用判别式△＜0，得出该不等式的解集为R；（2）根据不等式的解集得出不等式对应方程的两个根，再由根与系数的关系求出a 、b 的值．本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了一元二次方程根与系数的关系应用问题．16.【答案】解：（1）由数列{a n }中，a 1=2，a n +1=2a n ．则数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列， ∴a n =2n ．（2）b n =n +a n =n +2n ．∴数列{b n }的前5项的和S 5=（1+2+3+4+5）+（2+22+……+25） =5×(1+5)2+2×(25−1)2−1=77．【解析】（1）利用等比数列的通项公式即可得出．（2）b n =n+a n =n+2n ．利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出． 本题考查了等差数列与等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.【答案】解：（Ⅰ）∵c cos A ，B cosB ，a cos C 成等差数列，∴2b cos B =c cos A +a cos C ，由正弦定理知：a =2R sin A ，c =2R sin C ，b =2R sin B ，代入上式得：2sin B cosB=sin C cos A +sin A cos C ，即2sin B cosB=sin （A +C ）． 又A +C =π-B ，∴2sin B cosB=sin （π-B ），即2sin B cosB=sin B ． 而sin B ≠0，∴cos B =12，及0＜B ＜π，得B =π3． （Ⅱ）由余弦定理得：cos B =a 2+c 2−b 22ac=12， ∴(a+c)2−2ac−b 22ac=12，又a +c =3√32，b =√3， ∴274-2ac -3=ac ，即ac =54，∴S △ABC =12ac sin B =12×54×√32=5√316．【解析】（Ⅰ）由ccosA ，BcosB ，acosC 成等差数列，可得2bcosB=ccosA+acosC ，利用正弦定理、和差公式即可得出；（II）利用余弦定理与三角形的面积计算公式即可得出．本题考查了等差数列、正弦定理、和差公式、余弦定理、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：（Ⅰ）设DN的长为x（x＞0）米，则|AN|=（x+2）米∵|DN| |AN|=|DC||AM|，∴|AM|=3(x+2)x∴S AMPN=|AN|⋅|AM|=3(x+2)2x由S AMPN＞32得3(x+2)2x＞32又x＞0得3x2-20x+12＞0解得：0＜x＜23或x＞6即DN的长取值范围是(0，23)∪(6，+∞)（Ⅱ）矩形花坛的面积为y=3(x+2)2x =3x2+12x+12x=3x+12x+12(x＞0)≥2√3x⋅12x+12=24当且仅当3x=12x，即x=2时，矩形花坛的面积最小为24平方米．【解析】（Ⅰ）设DN的长为x（x＞0）米，则|AN|=（x+2）米，表示出矩形的面积，利用矩形AMPN的面积大于32平方米，即可求得DN的取值范围．（2）化简矩形的面积，利用基本不等式，即可求得结论．本题考查根据题设关系列出函数关系式，并求出处变量的取值范围；考查利用基本不等式求最值，解题的关键是确定矩形的面积．19.【答案】解：（1）∵a⃗ ⊥b⃗ ，∴a⃗•b⃗ =S n+2-2n+1=0，∴S n=2n+1-2，当n≥2时，a n=S n-S n-1=2n，当n=1时，a1=S1=2满足上式，∴a n=2n，（2）∵c n=na n =n2n，∴T n=12+22+⋯+n−12+n2，两边同乘12，得12T n=122+223+⋯+n−12n+n2n+1，两式相减得：1 2T n=12+122+⋯12n−n2n+1=1−n+22n+1，∴T n=2−n+22n(n∈N+)．【解析】（1）根据向量的数量积和可得S n=2n+1-2，再根据数列的递推公式即可求出，（2）根据错位相减法即可求出数列{c n}的前n项和T n本题考查了向量的数量积和数列的递推公式以及错位相减法，属于中档题第11页，共11页。

上海市行知中学第一学期期中考试高二年级 数学试卷题类 一 二 19 20 2l 22 23 总分 得分值一、填空题：(本题共14小题，每小题4分，满分56分) 1．若1225PP PP =-，设121PP PP λ=，则λ的值为 。

2．已知{n a }是等比数列，则方程组124568a x a y a a x a y a +=⎧⎨+=⎩的解的个数是 。

3．已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点P(-3，3)，则行列式sin tan 1cos ααα的值为 。

4．等边△ABC 边长为1，则AB BC BC CA CA AB ++= 。

5．向量x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭经矩阵0110⎛⎫ ⎪⎝⎭变换后得到矩阵23⎛⎫⎪⎝⎭，则x y -= 。

6．执行如图所示的程序框图，若输入P 的值是7，则输出S 的值是 。

7．如果131lim 3(1)3n n n x a +→∞=++，那么a 的取值范围是 。

8．用数学归纳法证明“(1)(2)...()213...(21)nn n n n n +++=-”，从“k 到1k +”左端需增乘的代数式为 。

9．已知等差数列{n a }前n 项和为n S ，若10071008OB a OA a OC =+，且A ，B ，C 三点共线(不过原点)，则2014S = 。

10．已知a 与b 均为非零向量，给出下列命题：①22()()()a b a b =； ②2||()a a a =； ③若a c b c =，则a b =； ④()()a c b a c b =， 上述命题中，真命题的个数是 。

11．在等差数列{n a }中，113a =，前n 项和为n S ，且311S S =，则使得n S 最大的正整数n 为 。

12．已知A ，B ，C ，D 四点的坐标分别为A(-1，0)，B(1，0)，C(0，1)，D(2，0)，P 是线段CD 上的任意一点，则AP BP 的最小值是 。

2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页；满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡（纸）上.2.第Ⅰ卷的答寀须用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其它答案标号.3.答第Ⅱ卷（非选择题）考生须用0.5mm的黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡（纸）的各题目指定的区域内相应位置，如需改动，须先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.否则，该答题无效.4.书写力求字体工整、笔迹清楚.第Ⅰ卷（选择题60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，满分60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.下列关于抛物线的图象描述正确的是（）A. 开口向上，焦点为B. 开口向右，焦点为C. 开口向上，焦点为D. 开口向右，焦点为【答案】A【解析】【分析】利用抛物线方程，判断开口方向以及焦点坐标即可.【详解】抛物线，即，可知抛物线的开口向上，焦点坐标为.故选：A.【点睛】本题考查了抛物线的简单性质的应用，属于基础题.2.在等差数列中，已知，，若时，则项数等于（）A. 96B. 99C. 100D. 101【答案】B【解析】【分析】由等差数列的首项和公差，写出，再列方程求解即可.【详解】在等差数列中，，，，当时，则，解得.故选：B.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，属于基础题.3.命题：，，则命题的否定是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】分析】命题：，是全称命题，其否定应为特称命题，注意量词和不等号的变化.【详解】命题：，，否定时将量词“”变为，再将不等号变为即可，则命题的否定为：，.故选：C.【点睛】本题考查了命题的否定以及全称命题和特称命题，属于基础题.4.若，，则与的大小关系为（）A. B. C. D. 不能确定【答案】A【解析】【分析】利用作差法，即可得出与的大小关系.【详解】，，，.故选：A.【点睛】本题考查了作差法比较大小以及完全平方公式的应用，属于基础题.5.如果是的必要不充分条件，是的充分必要条件，是的充分不必要条件，那么是的（）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由题设条件知，但是推不出，推不出，所以推不出，即可判断.【详解】根据题意得，，推不出，，，推不出，，即，但是推不出，推不出，则推不出，是的必要不充分条件.故选：A.【点睛】本题考查了充分条件与必要条件的判断，属于基础题.6.若双曲线的方程为，其焦点在轴上，焦距为4，则实数等于（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】【分析】利用双曲线的焦点在轴上，得到，解出的范围，再根据焦距为4，列方程求解即可.【详解】双曲线的焦点在轴上，，解得，又双曲线的焦距为4，，解得，经检验，符合题意.故选：C.【点睛】本题考查了双曲线的标准方程及性质，此类题需要注意焦点的位置，属于基础题.7.若实数满足关系式，则的最小值为（）A. B. C. 3 D. 4【答案】D【解析】【分析】利用基本不等式即可求出最小值.【详解】由题可知，，由基本不等式得，，当且仅当，即时，取等号.因此的最小值为.故选：D.【点睛】本题考查了基本不等式的应用以及指数运算性质，属于基础题.8.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a2S4＝a4S2，则（）A. 1B. ﹣1C. 2019D. ﹣2019【答案】A【解析】【分析】先由已知得到公比q=-1,再求的值得解.【详解】由题得，即，所以，所以.所以故选A【点睛】本题主要考查等比数列的通项和前n项和公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 9.已知不等式：①；②；③，若要同时满足不等式①②的也满足不等式③，则有（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分别求出前两个不等式解集，记它们的交集，要同时满足不等式①②的也满足不等式③，则集合应为不等式③解集的子集，则当时，恒成立，参变分离得，求出时，的范围，即可得解.【详解】不等式①等价于，解得，则不等式①解集为，不等式②等价于，解得，则不等式②解集为，记不等式①和不等式②解集的交集为，则，满足不等式①②的也满足不等式③，当时，恒成立，即恒成立，又当时，，.故选：C.【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了不等式恒成立问题，考查了集合间的关系和交集的运算，考查了转化能力，属于基础题.10.已知等差数列的前项和为，，，则取最大值时的为A. 4B. 5C. 6D. 4或5【答案】B【解析】由为等差数列，所以，即，由，所以，令，即，所以取最大值时的为，故选B．11.椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，若直线y＝kx与椭圆的一个交点的横坐标x0＝b，则k的值为( )A. B. ± C. D. ±【答案】B【解析】分析：根据椭圆的离心率为，可得和的关系，设交点纵坐标为，则，代入椭圆方程即可求得.详解：∵椭圆的离心率为∴∴设交点纵坐标为，则，代入椭圆方程得.∴故选B.点睛：本题主要考查了直线与椭圆的位置关系．考查了学生对椭圆知识点综合把握，解题中运用“设而不求”、“整体代换”等思想方法的运用，以减少运算量，提高解题的速度.12.数列是各项均为正数且均不相等的等比数列，数列是等差数列，且，则有（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由等差数列的性质可得，由等比数列的性质可得，利用基本不等式即可判断与大小关系.【详解】数列是等差数列，，数列是各项均为正数且均不相等的等比数列，，，由基本不等式得，（当且仅当时取等号），等号取不到，，，，A，C错误，D正确；对于B，（当且仅当时取等号），等号取不到，，无法判断与的关系，故B 错误.故选：D.【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了基本不等式的应用，考查了转化能力，属于中档题.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13.已知集合，集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是_____.【答案】【解析】【分析】由集合可得，从而可得，再由集合的包含关系求出的取值范围即可.【详解】由集合得，解得，，“”是“”的充分不必要条件，集合是集合的真子集，.故答案为：.【点睛】本题考查了根据充分不必要条件求参数范围，考查了根据集合的包含关系求参数范围，属于基础题.14.双曲线的一个焦点为，其渐近线方程为，则双曲线的标准方程为___________.【答案】【解析】【分析】根据焦点所在位置设出标准方程，结合渐近线斜率即可求解.【详解】由题：双曲线的一个焦点为，其渐近线方程为，所以焦点在轴上，设标准方程为，且，解得：.所以双曲线的标准方程为.故答案为：【点睛】此题考查根据离心率和渐近线方程求双曲线的标准方程，关键在于准确计算，容易漏掉考虑焦点所在坐标轴.15.若不等式对任意，恒成立，则实数的取值范围是_____.【答案】【解析】【分析】不等式对任意，恒成立，等价于，和都是正数，由基本不等式求出的最小值，即可得解.【详解】不等式对任意，恒成立，，，，，，由基本不等式得，，（当且仅当，即时取等号），，，解得，的取值范围为.故答案为：【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，考查了基本不等式的应用，考查了不含参的一元二次不等式的解法，考查了转化能力，属于中档题.16.如图所示，是毕达哥拉斯（Pythagoras）的生长程序：正方形上连接着一个等腰直角三角形，等腰直角三角形的直角边上再连接正方形，…，如此继续，若一共能得到1023个正方形.设初始正方形的边长为，则最小正方形的边长为_____.【答案】【解析】【分析】记初始正方形的边长为，经过次生长后的正方形的边长为，经过次生长后正方形的个数为，结合题意得到数列是以为首项，为公比的等比数列，，由此即可求出最小正方形的边长.【详解】记初始正方形的边长为，经过次生长后的正方形的边长为，经过次生长后正方形的个数为，由题可知，数列是以为首项，为公比的等比数列，，由题可知，，令，解得，最小正方形的边长为，故答案为：.【点睛】本题以图形为载体，考查了等比数列的通项公式和求和公式，是数列的应用问题，关键在于提炼出等比数列的模型，正确利用相应的公式，属于中档题.三、解答题：（本大题共6个小题，共70分：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知等差数列，记为其前项和（），且，.（Ⅰ）求该等差数列的通项公式；（Ⅱ）若等比数列满足，，求数列的前项和.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析【解析】【分析】（Ⅰ）设等差数列的公差为，根据等差数列的通项公式和求和公式，列方程求出和，即可得解；（Ⅱ）设等比数列的公比为，由（Ⅰ）写出，可得，计算出，即可得解，注意分和两种情况.【详解】（Ⅰ）设等差数列的公差为，则，，由题意，得，解得，的通项公式，.（Ⅱ）设等比数列的公比为，由（Ⅰ）得，，，或，当时，，当时，.【点睛】本题考查了等差（比）数列通项公式和求和公式，考查了分类讨论的数学思想，考查了计算能力，属于基础题.18.解关于的不等式：.【答案】见解析【解析】【分析】先将分式不等式化为，再讨论的取值，从而得到不等式的解集.【详解】原不等式等价于不等式.（※）①当，即时，不等式（※）等价于，解得；②当，即时，不等式（※）等价于，解得或；③当，即，不等式（※）等价于.（☆）（ⅰ）当时，不等式（☆）等价于，显然不成立，此时不等式（※）的解集为；（ⅱ）当时，，解得；（ⅲ）当时，，解得；综上所述，当时，所求不等式的解集为或；当时，所求不等式的解集为；当时，所求不等式的解集为；当时，所求不等式的解集为；当时，所求不等式的解集为.【点睛】本题考查了分式不等式的解法以及含参一元二次不等式的解法，考查了分类讨论的思想，属于基础题.19.已知抛物线：（），其上一点到的焦点的距离为4.（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）过点直线与抛物线分別交于，两点（点，均在轴的上方），若的面积为4，求直线的方程.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】【分析】（1）根据题意，结合抛物线的定义列方程求出，写出抛物线的方程即可；（2）设直线：，与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合面积公式，列方程求出，即可得解.【详解】解：（Ⅰ）抛物线：（）上一点到的焦点的距离为4，由抛物线的定义，得，解得，所求抛物线的方程为.（Ⅱ）由题意知，直线的斜率一定存在.①当直线的斜率为0时，直线与抛物线只有一个交点，不合题意.②当直线的斜率不为0时，依题意，设直线：，设点，.点均在轴的上方，，，由（Ⅰ）知抛物线的焦点，则.联立直线的方程与抛物线的方程，即，消去并整理得.由，得（因为），且有，，，解得或，又，，：，直线的方程为.【点睛】本题考查了抛物线的定义，考查了直线与抛物线的位置关系，考查了计算能力，属于中档题.20.某国营企业集团公司现有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元.为了激化内部活力，增强企业竞争力，集团公司董事会决定优化产业结构，调整出（）名员工从事第三产业；调整后，他们平均每人每年创造利润万元，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高％.（Ⅰ）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？（Ⅱ）在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则实数的取值范围是多少？【答案】（Ⅰ）500名（Ⅱ）【解析】【分析】（1）根据题意可列出，进而解不等式即可求得的范围，从而得解；（2）根据题意分别表示出从事第三产业的员工创造的年总利润和从事原来产业的员工的年总利润，进而根据题意列出不等式，转化为不等式恒成立问题，再利用基本不等式，即可得解.【详解】解：（Ⅰ）由题意，得，整理得，解得，又，，最多调整出500名员工从事第三产业.（Ⅱ）从事第三产业的员工创造的年总利润为万元，从事原来产业的员工的年总利润为万元.则由题意，知当时，恒有，整理得在时恒成立.，当且仅当，即时等号成立，，又，，的取值范围是.【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，考查了转化能力，属于中档题.21.数列的前项和为，，且成等差数列．(1)求的值；(2)证明为等比数列，并求数列的通项公式；(3)设，若对任意的，不等式恒成立，试求实数的取值范围．【答案】(1);(2)见解析;(3).【解析】【分析】，，又成等差数列，解得，当时，得到，代入化简，即可证得结果由得，代入化简得，讨论的取值并求出结果【详解】（1）在中令，得即，①又②则由①②解得.（2）当时，由，得到则又，则是以为首项，为公比的等比数列，，即.（3）当恒成立时，即（）恒成立设（），当时，恒成立，则满足条件；当时，由二次函数性质知不恒成立；当时，由于对称轴，则在上单调递减，恒成立，则满足条件，综上所述，实数λ的取值范围是.【点睛】本题考查了数列的综合题目，在求通项时可以采用的方法来求解，在求数列不等式时将其转化为含有参量的一元二次不等式问题，然后进行分类讨论求出结果．22.圆：（）过点，离心率为，其左、右焦点分别为，，且过焦点的直线交椭圆于，.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若点的坐标为，设直线与直线的斜率分别为，试证明：.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）证明见解析【解析】【分析】（Ⅰ）由椭圆过点以及离心率为，结合，列方程组求解，即可得椭圆方程；（Ⅱ）方法一：先考虑直线斜率不存在的情况，再考虑斜率存在的情况，对于斜率存在的情况，设直线：，与椭圆交点，，联立直线与椭圆的方程，消去并整理，利用判别式及韦达定理，从而可表示出，然后化简求解即可；方法二：先考虑直线斜率为0情况，再考虑直线斜率不为0时，对于斜率不为0的情况，设直线，后续过程同方法一.【详解】（Ⅰ）椭圆：（）过点，.①又椭圆离心率为，，.②联立①②得，解得，椭圆的方程为.（Ⅱ）方法一：当直线斜率不存在时，则，；当直线斜率存在时，设直线：，与椭圆交点，.联立，消去并整理得.由于，，，，，.综上所述，.方法二：当直线斜率为0时，，则；当直线斜率不为0时，设直线：设与椭圆交点，，联立，消去并整理得.由于，，，.，综上所述，.【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及性质，考查了直线与椭圆的综合应用以及椭圆中的定值问题，考查了分类讨论的数学思想和计算能力，属于中档题.2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页；满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡（纸）上.2.第Ⅰ卷的答寀须用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其它答案标号.3.答第Ⅱ卷（非选择题）考生须用0.5mm的黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡（纸）的各题目指定的区域内相应位置，如需改动，须先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.否则，该答题无效.4.书写力求字体工整、笔迹清楚.第Ⅰ卷（选择题60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，满分60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.下列关于抛物线的图象描述正确的是（）A. 开口向上，焦点为B. 开口向右，焦点为C. 开口向上，焦点为D. 开口向右，焦点为【答案】A【解析】【分析】利用抛物线方程，判断开口方向以及焦点坐标即可.【详解】抛物线，即，可知抛物线的开口向上，焦点坐标为.故选：A.【点睛】本题考查了抛物线的简单性质的应用，属于基础题.2.在等差数列中，已知，，若时，则项数等于（）A. 96B. 99C. 100D. 101【答案】B【解析】【分析】由等差数列的首项和公差，写出，再列方程求解即可.【详解】在等差数列中，，，，当时，则，解得.故选：B.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，属于基础题.3.命题：，，则命题的否定是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】分析】命题：，是全称命题，其否定应为特称命题，注意量词和不等号的变化.【详解】命题：，，否定时将量词“”变为，再将不等号变为即可，则命题的否定为：，.故选：C.【点睛】本题考查了命题的否定以及全称命题和特称命题，属于基础题.4.若，，则与的大小关系为（）A. B. C. D. 不能确定【答案】A【解析】【分析】利用作差法，即可得出与的大小关系.【详解】，，，.故选：A.【点睛】本题考查了作差法比较大小以及完全平方公式的应用，属于基础题.5.如果是的必要不充分条件，是的充分必要条件，是的充分不必要条件，那么是的（）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由题设条件知，但是推不出，推不出，所以推不出，即可判断.【详解】根据题意得，，推不出，，，推不出，，即，但是推不出，推不出，则推不出，是的必要不充分条件.故选：A.【点睛】本题考查了充分条件与必要条件的判断，属于基础题.6.若双曲线的方程为，其焦点在轴上，焦距为4，则实数等于（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】【分析】利用双曲线的焦点在轴上，得到，解出的范围，再根据焦距为4，列方程求解即可.【详解】双曲线的焦点在轴上，，解得，又双曲线的焦距为4，，解得，经检验，符合题意.故选：C.【点睛】本题考查了双曲线的标准方程及性质，此类题需要注意焦点的位置，属于基础题.7.若实数满足关系式，则的最小值为（）A. B. C. 3 D. 4【答案】D【解析】【分析】利用基本不等式即可求出最小值.【详解】由题可知，，由基本不等式得，，当且仅当，即时，取等号.因此的最小值为.故选：D.【点睛】本题考查了基本不等式的应用以及指数运算性质，属于基础题.8.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a2S4＝a4S2，则（）A. 1B. ﹣1C. 2019D. ﹣2019【答案】A【解析】【分析】先由已知得到公比q=-1,再求的值得解.【详解】由题得，即，所以，所以.所以故选A【点睛】本题主要考查等比数列的通项和前n项和公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.9.已知不等式：①；②；③，若要同时满足不等式①②的也满足不等式③，则有（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分别求出前两个不等式解集，记它们的交集，要同时满足不等式①②的也满足不等式③，则集合应为不等式③解集的子集，则当时，恒成立，参变分离得，求出时，的范围，即可得解.【详解】不等式①等价于，解得，则不等式①解集为，不等式②等价于，解得，则不等式②解集为，记不等式①和不等式②解集的交集为，则，满足不等式①②的也满足不等式③，当时，恒成立，即恒成立，又当时，，.故选：C.【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了不等式恒成立问题，考查了集合间的关系和交集的运算，考查了转化能力，属于基础题.10.已知等差数列的前项和为，，，则取最大值时的为A. 4B. 5C. 6D. 4或5【答案】B【解析】由为等差数列，所以，即，由，所以，令，即，所以取最大值时的为，故选B．11.椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，若直线y＝kx与椭圆的一个交点的横坐标x0＝b，则k的值为( )A. B. ± C. D. ±【答案】B【解析】分析：根据椭圆的离心率为，可得和的关系，设交点纵坐标为，则，代入椭圆方程即可求得.详解：∵椭圆的离心率为∴∴设交点纵坐标为，则，代入椭圆方程得.∴故选B.点睛：本题主要考查了直线与椭圆的位置关系．考查了学生对椭圆知识点综合把握，解题中运用“设而不求”、“整体代换”等思想方法的运用，以减少运算量，提高解题的速度.12.数列是各项均为正数且均不相等的等比数列，数列是等差数列，且，则有（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由等差数列的性质可得，由等比数列的性质可得，利用基本不等式即可判断与大小关系.【详解】数列是等差数列，，数列是各项均为正数且均不相等的等比数列，，，由基本不等式得，（当且仅当时取等号），等号取不到，，，，A，C错误，D正确；对于B，（当且仅当时取等号），等号取不到，，无法判断与的关系，故B错误.故选：D.【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了基本不等式的应用，考查了转化能力，属于中档题.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13.已知集合，集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是_____.【答案】【解析】【分析】由集合可得，从而可得，再由集合的包含关系求出的取值范围即可.【详解】由集合得，解得，，“”是“”的充分不必要条件，集合是集合的真子集，.故答案为：.【点睛】本题考查了根据充分不必要条件求参数范围，考查了根据集合的包含关系求参数范围，属于基础题.14.双曲线的一个焦点为，其渐近线方程为，则双曲线的标准方程为___________.【答案】【解析】【分析】根据焦点所在位置设出标准方程，结合渐近线斜率即可求解.【详解】由题：双曲线的一个焦点为，其渐近线方程为，所以焦点在轴上，设标准方程为，且，解得：.所以双曲线的标准方程为.故答案为：【点睛】此题考查根据离心率和渐近线方程求双曲线的标准方程，关键在于准确计算，容易漏掉考虑焦点所在坐标轴.15.若不等式对任意，恒成立，则实数的取值范围是_____.【答案】【解析】【分析】不等式对任意，恒成立，等价于，和都是正数，由基本不等式求出的最小值，即可得解.【详解】不等式对任意，恒成立，，，，，，由基本不等式得，，（当且仅当，即时取等号），，，解得，的取值范围为.故答案为：【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，考查了基本不等式的应用，考查了不含参的一元二次不等式的解法，考查了转化能力，属于中档题.16.如图所示，是毕达哥拉斯（Pythagoras）的生长程序：正方形上连接着一个等腰直角三角形，等腰直角三角形的直角边上再连接正方形，…，如此继续，若一共能得到1023个正方形.设初始正方形的边长为，则最小正方形的边长为_____.【答案】【解析】【分析】记初始正方形的边长为，经过次生长后的正方形的边长为，经过次生长后正方形的个数为，结合题意得到数列是以为首项，为公比的等比数列，，由此即可求出最小正方形的边长.【详解】记初始正方形的边长为，经过次生长后的正方形的边长为，经过次生长后正方形的个数为，由题可知，数列是以为首项，为公比的等比数列，，由题可知，，令，解得，最小正方形的边长为，故答案为：.【点睛】本题以图形为载体，考查了等比数列的通项公式和求和公式，是数列的应用问题，关键在于提炼出等比数列的模型，正确利用相应的公式，属于中档题.三、解答题：（本大题共6个小题，共70分：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知等差数列，记为其前项和（），且，.（Ⅰ）求该等差数列的通项公式；（Ⅱ）若等比数列满足，，求数列的前项和.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析【解析】【分析】（Ⅰ）设等差数列的公差为，根据等差数列的通项公式和求和公式，列方程求出和，即可得解；（Ⅱ）设等比数列的公比为，由（Ⅰ）写出，可得，计算出，即可得解，注意分和两种情况.【详解】（Ⅰ）设等差数列的公差为，则，，由题意，得，解得，的通项公式，.（Ⅱ）设等比数列的公比为，由（Ⅰ）得，，，或，当时，，当时，.【点睛】本题考查了等差（比）数列通项公式和求和公式，考查了分类讨论的数学思想，考查了计算能力，属于基础题.18.解关于的不等式：.【答案】见解析【解析】【分析】先将分式不等式化为，再讨论的取值，从而得到不等式的解集.【详解】原不等式等价于不等式.（※）①当，即时，不等式（※）等价于，解得；②当，即时，不等式（※）等价于，解得或；③当，即，不等式（※）等价于.（☆）（ⅰ）当时，不等式（☆）等价于，显然不成立，此时不等式（※）的解集为；（ⅱ）当时，，解得；（ⅲ）当时，，解得；。

2019~2020学年高二级11月期中考数学试题本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号、座位号等相关信息填写在答题卡指定区域内.2.选择题每小题选出★答案★后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的★答案★标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它★答案★；不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，★答案★必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的★答案★，然后再写上新的★答案★；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的★答案★无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设,a b ∈R ,命题“若1a >且1b >,则2a b +>”的逆否命题是( ) A. 若1a ≤且1b ≤,则2a b +≤ B. 若1a ≤或1b ≤,则2a b +≤ C. 若2a b +≤,则1a ≤且1b ≤ D. 若2a b +≤,则1a ≤或1b ≤【★答案★】D 【解析】 【分析】直接利用逆否命题的定义解答得解.【详解】命题“若1a >且1b >,则2a b +>”的逆否命题是“若2a b +≤,则1a ≤或1b ≤”，故★答案★为D【点睛】本题主要考查逆否命题的定义和逻辑联结词的否定，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.2. 椭圆()22211x y a a+=>的焦距为2，则a =（ ）A.2B. 2C. 5D.5【★答案★】A 【解析】【分析】由()22211x y a a+=>可得椭圆的焦点在x 轴上且1b =，由焦距22c =可得：1c =，代入公式即可得解.【详解】由()22211x y a a+=>，设短轴长为2b ，可知：椭圆的焦点在x 轴上，且1b =， 由焦距22c =可得：1c =， 所以由222+112a b c ==+=， 所以2a =，故选：A.【点睛】本题考查了椭圆的基本量的运算，考查了椭圆的基本性质，是概念题，属于基础题. 3. 万众瞩目的北京冬奥会将于2022年2月4日正式开幕，继2008年北京奥运会之后，国家体育场（又名鸟巢）将再次承办奥运会开幕式.在手工课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为40cm ，短轴长为20cm ，小椭圆的短轴长为10cm ，则小椭圆的长轴长为（ ）cmA. 30B. 20C. 10D. 103【★答案★】B 【解析】 【分析】由题意先求大椭圆离心率为32e =，根据两个椭圆的离心率相同，小椭圆的离心率为32e =，再根据小椭圆的短轴长为10cm ，代入公式即可得解.【详解】由大椭圆和小椭圆扁平程度相同，可得两椭圆的离心率相同， 由大椭圆长轴长为40cm ，短轴长为20cm ，可得焦距长为203cm ，故离心率为32e =， 所以小椭圆离心率为32e =， 小椭圆的短轴长为10cm ，即210b =cm ，由221b e a=-，可得：10a =cm ， 所以长轴为20cm. 故选：B.【点睛】本题考查了利用离心率求椭圆基本量的问题，考查了公式的理解应用，属于基础题. 4. 命题“p 且q ”与命题“p 或q ”都是假命题，则下列判断正确的是（ ） A. 命题“p ⌝且q ⌝”是真命题B. 命题“p ⌝”与“q ⌝”至少有一个是假命题C. 命题“p ⌝”与“q ”真假相同D. 命题“p ⌝”与“q ⌝”真假不同 【★答案★】A 【解析】 【分析】由已知条件可知p 、q 均为假命题，再由复合命题的真假可判断各选项的正误. 【详解】由于命题“p 且q ”与命题“p 或q ”都是假命题，则p 、q 均为假命题.所以，命题“p ⌝且q ⌝”是真命题，命题“p ⌝”与“q ⌝”都为真命题，命题“p ⌝”与“q ”真假不同，命题“p ⌝”与“q ⌝”真假相同. 故选：A.【点睛】本题考查利用复合命题的真假判断复合命题的真假，解题的关键就是判断出两个简单命题的真假，考查推理能力，属于基础题.5. 已知点P 为椭圆2212516x y +=上的任意一点，O 为原点，M 满足12OM OP =，则点M 的轨迹方程是（ ）A. 22110064x y +=B. 2241254x y +=C. 2211004x y += D. 22412564x y +=【★答案★】B【解析】 【分析】设P 点坐标为00(,)x y ，则有220012516x y +=，设(,)M x y ，根据12OM OP =，可得：002,2x x y y ==，代入椭圆方程即可得解.【详解】设P 点坐标为00(,)x y ，则有220012516x y +=，(,)M x y ，根据12OM OP =， 可得：002,2x x y y ==，代入椭圆方程可得：2241254x y +=，故选：B.【点睛】本题考查了相关点代入法求轨迹方程，题型相对比较典型，解题关键是根据条件联系变量之间的关系，属于基础题.6. 设a ，b 是两个非零向量，则使||||a b a b =成立的一个必要非充分条件是（ ） A. a b = B. a b ⊥C. (0)a b λλ=>D. //a b【★答案★】D 【解析】 【分析】利用向量的数量积求出两个向量的夹角即可推出结果． 【详解】解：a ，b 是两个非零向量，则||||a b a b =，∴||||cos ,||||a b a b a b a b =<>=，cos ,1a b ∴<>=， ∴,0a b <>=． ∴//a b ．a ，b 是两个非零向量，则使||||a b a b =成立的一个必要非充分条件是//a b ．故选：D ．【点睛】本题考查向量的数量积以及充要条件的判定，考查逻辑推理能力．7. 直线l 过点(1,1)P 与抛物线24y x =交于,A B 两点，若P 恰为线段AB 的中点，则直线l 的斜率为（ ） A. 2 B. 2-C.12D. 12-【★答案★】A 【解析】 【分析】利用点差法，21122244y x y x ⎧=⎨=⎩两式相减，利用中点坐标求直线的斜率.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，两式相减得()2212124y y x x -=-， 即()()()1212124y y y y x x +-=-， 当12x x ≠时，()1212124y y y y x x -+=-，因为点()1,1P 是AB 的中点，所以122y y +=，24k =， 解得：2k = 故选：A【点睛】本题考查中点弦问题，重点考查点差法，属于基础题型.8. 已知抛物线22(0)y px p =>的焦点F 恰好是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点，且两条曲线的交点的连线过点F ，则该双曲线的离心率为（ ） A.2B. 2C.2＋1D.2－1【★答案★】C 【解析】试题分析：如图所示，，∵两条曲线交点的连线过点Ｆ，∴两条曲线交点为（），代入双曲线方程得１，又，化简得，，，，故选C.考点：抛物线的简单性质；双曲线的简单性质.9. 已知椭圆2214x y +=的两个焦点为12,F F ，点P 在椭圆上且满足120PF PF =，则12PF F ∆的面积为（ ） A.33B.32C. 1D. 2【★答案★】C 【解析】 【分析】根据题意，分析可得122F PF π∠=，由椭圆的标准方程和定义可得12||||24PF PF a +==，22212||||(2)12PF PF c +==，将两式联立可得12||||PF PF 的值，由三角形面积公式计算可得★答案★．【详解】解：根据题意，点P 在椭圆上，满足120PF PF =，122F PF π∠=，又由椭圆的方程为2214x y +=，其中2413=-=c ，则有12||||24PF PF a +==，22212||||(2)12PF PF c +==，联立可得12||||2PF PF =， 则△12F PF 的面积121||||12S PF PF =⨯=； 故选：C ．【点睛】本题考查椭圆的几何性质，涉及勾股定理与三角形的面积，关键是掌握椭圆的几何性质． 10. 已知P 为抛物线24y x =上一个动点，Q 为圆22(8)(1)1x y -+-=上一个动点，那么点P 到点Q的距离与点P到抛物线的焦点的距离之和的最小值是（）A. 52B. 8C. 9D. 7【★答案★】B【解析】【分析】x=-于D，设圆心O，坐标为(8,1)求P到点Q的距离与点P到抛物线的根据图像，PD⊥准线1焦点的距离之和的最小值，根据抛物线的性质以及点和圆的位置关系，可以转化为点P到圆心O的D P O三点共线时，距离之和最小，代距离和点P到抛物线的准线的距离之和的最小值，可得当,,入数值即可得解.【详解】x=-于D，设圆心M，坐标为(8,1)如图，PD⊥准线1求P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点的距离之和的最小值，根据抛物线性质以及点和圆的位置关系，可以转化为点P到圆心M的距离和点P到抛物线的准线的距离之和的最小值，由点到直线的距离垂线段最短，,,三点共线时，距离之和最小，可得当D P MMD=，此时点Q为MD与圆的交点，此时9所以P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的焦点的距离之和的最小值min 918d =-=， 故选：B .【点睛】本题考查了抛物线和圆的最短距离问题，考查了抛物线的定义以及点和圆的位置关系，主要考查了转化思想，计算量不大，属于基础题.11. 设1F 、2F 分别是椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的左、右焦点，若在直线2ax c=上存在点P ，使线段1PF 的中垂线过点2F ，则椭圆离心率的最小值为（ ） A.13B.12C.22D.33【★答案★】D 【解析】 【分析】由线段1PF 的中垂线过点2F 得2122PF F F c ==，设2a x c =交x 轴于点M ，若在直线2ax c=上存在点P ，使线段1PF 的中垂线过点2F ，则22||||PF MF ≥，带值即可得解.【详解】由线段1PF 的中垂线过点2F 得2122PF F F c ==，设2a x c =交x轴于点M ，若在直线2a x c=上存在点P ，使线段1PF 的中垂线过点2F ，则22||||PF MF ≥， 故22a c c c≥-，即223c a ≥，故213e ≥，即33e ≥. 故选：D.【点睛】本题考查了椭圆的离心率范围问题，考查了椭圆和几何关系的结合，关键点是正确的把几何关系转化为数量关系，属于基础题.12. 已知椭圆C 的焦点为12(1,0),(1,0)F F -，过2F 的直线与C 交于A B 、两点.若223||||2AF F B =，12||2||BF BF =，则C 的方程为（ ）A. 2212x y +=B. 22132x y +=C. 22143x y +=D. 22154x y +=【★答案★】D 【解析】 【分析】设2||2BF m =，则2||3AF m =，1||4BF m =，由椭圆定义知1212||||||||6BF BF AF AF m +=+=，所以1||633AF m m m =-=，所以12||||AF AF =，故点A 为椭圆的上（下）顶点，即(0,)A b ，由2232AF F B =，得52(,)33B b -，代入椭圆方程即可得解. 【详解】设2||2BF m =，则2||3AF m =，1||4BF m =， 由椭圆定义知1212||||||||6BF BF AF AF m +=+=， 所以1||633AF m m m =-=， 所以12||||AF AF =，故点A 为椭圆的上（下）顶点，即(0,)A b ，由2232AF F B =，得52(,)33B b -， 点B 在椭圆上，故222254991ba b +=， 解得25a =，又由1c =，可得2b =，故椭圆方程为22154x y +=.故选：D.【点睛】本题考查了椭圆基本量的运算，考查了椭圆的定义，关键点是把几何关系转化为数量关系，考查了转化思想，有一定的计算量，属于基础题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13. 抛物线24y x =的准线方程为______. 【★答案★】116y =- 【解析】试题分析：抛物线的标准方程是，所以准线方程是考点：抛物线方程14. 双曲线22221x y a b-=的其中一条渐近线方程为2y x =，且焦点到渐近线的距离为2，则双曲线的方程为_______【★答案★】2214y x -=【解析】 【分析】由双曲线的渐近线方程可得2ba=，再由焦点到渐近线的距离为2可得2b =，即可得★答案★； 详解】由题意得：2,12,b a ab ⎧=⎪⇒=⎨⎪=⎩，∴双曲线的方程为2214y x -=，故★答案★为：2214y x -=.【点睛】本题考查双曲线的渐近线方程和焦点到渐近线的距离为b ，考查运算求解能力，属于基础题.15. 如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米.【★答案★】26米 【解析】【详解】如图建立直角坐标系，设抛物线方程为2x my =， 将A （2，-2）代入2x my =， 得m=-2，∴22x y =-，代入B ()0,3x -得06x =， 故水面宽为26米，故★答案★为26米． 考点：抛物线的应用16. 圆O 的半径为定长r ，A 是圆O 所在平面上与P 不重合的一个定点，P 是圆上任意一点，线段PA 的垂直平分线l 和直线OP 相交于点Q ，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹是________ ①椭圆；②双曲线；③抛物线；④圆；⑤一个点 【★答案★】①②④⑤ 【解析】 【分析】由题设条件线段垂直平分线的性质，结合圆锥曲线的定义，分类讨论，即可求解. 【详解】（1）因为A 为圆O 内的一定点，P 为O 上的一动点，线段AP 的垂直平分线交半径OP 于点M ，可得,MA MP MA MO MP MO OP r =+=+==，即动点M 到两定点,O A 的距离之和为定值，①当,O A 不重合时，根据椭圆的定义，可知点M 的轨迹是：以,O A 为焦点的椭圆； ②当,O A 重合时，点M 的轨迹是圆； （2）当A 为圆O 外的一定点，P 为O 上的一动点，线段AP 的垂直平分线交半径OP 于点M ，可得,MA MP MA MO MP MO OP r =-=-==， 即动点M 到两定点,O A 的距离之差为定值，根据双曲线的定义，可得点M 的轨迹是：以,O A 为焦点的双曲线； （3）当A 为圆O 上的一定点，P 为O 上的一动点，此时点M 的轨迹是圆心O .综上可得：点M 的轨迹可能是点、圆、椭圆和双曲线. 故★答案★为：①②④⑤【点睛】本题主要考查了椭圆、双曲线和圆的定义及其应用，其中解答中熟练应用线段垂直平分线的性质，以及椭圆和双曲线的定义是解答的关键，着重考查推理与论证能力，以及转化思想的应用.三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.17.ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知27a =，2b =，sin A cos A +=30.（1）求边c ；（2）设D 为BC 边上的一点，且AD AC ⊥，求ABD 的面积. 【★答案★】（1）4c =；（2）3. 【解析】 【分析】（1）由sin A cos A +=30，求得23A π=，在ABC 中，由余弦定理列出方程，即可求解； （2）在ABC 中，由余弦定理求得cos C ，再在Rt ADC 中，利用正弦定理，求得7CD =，得到点D 是BC 的中点，结合三角形的面积公式，即可求解.【详解】（1）因为sin A cos A +=30，所以tan 3A =-，因为()0,A π∈，所以23A π=， 在ABC 中，因为27,2a b ==，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-⋅，可得()22222724cos3c c π=+-⋅，解得4c =，或6c =-（舍去）. （2）如图所示，在ABC 中，由余弦定理，可得222cos 2a b cC ab +-=()22227242772272+-==⨯⨯ 在Rt ADC 中，2DAC π∠=，所以27sin cos 277AC AC CD ADC C ====∠，所以D 是BC 的中点，所以ABD 的面积111sin 3222ABCS S AB AC BAC =⋅=⨯⋅⋅⋅∠=.【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．18. 已知数列{}n a 为等比数列，首项14a =，数列{}n b 满足2log n n b a =，且12312b b b ++=. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）令14n n n n c a b b +=+⋅，求数列{}n c 的前n 项和n S .【★答案★】（Ⅰ）4nn a =（Ⅱ）4(41)13n n n S n =+-+ 【解析】 【分析】（I ）设等比数列的公比为q ，运用对数的运算性质和等比数列的通项公式，解方程即可得到公比，可得所求通项公式；（Ⅱ）b n ＝log 2a n ＝log 24n ＝2n ，∁n 14n n b b +=+⋅a n ()11n n =++4n 111n n =-++4n ，运用分组求和和裂项相消求和，化简可得所求和．【详解】（Ⅰ）由2log n n b a =和12312b b b ++=得()2123log 12a a a =，∴121232a a a =. 设等比数列{}n a 的公比为q ，∵14a =∴2631212344422a a a q q q =⋅⋅=⋅=，计算得出4q =∴1444n nn a -=⋅= （Ⅱ）由（1）得2log 42nn b n ==，()()41442211n n n c n n n n =+=+⋅++ 1141n n n =-++设数列()11n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n A ，则1111112231n A n n =-+-++-+ 1nn =+ 设数列{}4n的前n 项和为n B ，则()444441143nnn B -⋅==--，∴()44113n n n S n =+-+ 【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：分组求和和裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题． 19.如图，在三棱锥S ABC -中, 侧面SAB 与侧面SAC 均等边三角形,90,BAC ∠=︒O 为BC 中点.（Ⅰ）证明：SO ⊥平面;ABC （Ⅱ）求二面角A SC B --的余弦值.【★答案★】（Ⅰ）SO ⊥平面;ABC（Ⅱ）二面角A SC B --的余弦值为3.3【解析】 【详解】证明：（Ⅰ）由题设AB=AC=SB=SC=SA . 连结OA ，△ABC 为等腰直角三角形，所以OA=OB=OC=22SA ，且AO ⊥BC . 又△SBC 为等腰三角形，故SO ⊥BC ， SO =22SA ， 从而OA 2+SO 2=SA 2，所以△SOA 为直角三角形，SO AO ⊥. 又AO ∩BC =O ， 所以SO ⊥平面ABC . （Ⅱ）解法一：取SC 中点M , 连结AM ,OM , 由（Ⅰ）知,SO OC SA AC ==, 得OM ⊥SC ，AM ⊥SC .OMA ∴∠为二面角A SC B --的平面角.由AO ⊥BC ，AO ⊥SO ，SO ∩BC O =得 AO ⊥平面SBC ， 所以AO ⊥OM . 又32AM SA =，故 26sin ,33AO AMO AM ∠=== 所以二面角A SC B --的余弦值为3.3解法二：以O 为坐标原点，射线OB 、OA 分别为x 轴、y 轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系.O xyz -设B (1,0,0)，则(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1).C A S - SC 的中点11,0,,22M ⎛⎫-⎪⎝⎭11,0,,22MO ⎛⎫=- ⎪⎝⎭11,1,,22MA ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(1,0,1),SC =--0MO SC ∴⋅=，0MA SC ⋅=.故MO ⊥SC ，MA ⊥SC ，,MO MA 等于二面角A SC B --的平面角.3cos ,,3MO MA MO MA MO MA⋅==所以二面角A SC B --的余弦值为3.320. 设抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，(,1)M p p -是抛物线C 上的点. （1）求抛物线C 的方程；（2）若过点(0,2)的直线l 与抛物线C 交于不同的两点,A B ，且13AF BF =，求直线l 的方程. 【★答案★】（1）24x y =；（2）2y x =±+. 【解析】 【分析】（1）由(,1)M p p -是抛物线C 上的点，代入方程可得抛物线的方程；（2）设1122(,),(,)A x y B x y ，联立直线AB 和抛物线方程，利用韦达定理和抛物线的定义求出直线的斜率，进而得出直线方程．【详解】（1）因为(,1)M p p -是抛物线C 上的点，所以22(1)p p p =-，又0p >，解得2p =，则抛物线C 的方程为24x y =.（2）设1122(,),(,)A x y B x y ，设直线AB 方程为2y kx =+由224y kx x y=+⎧⎨=⎩得2480x kx --= 216320k ∆=+>，12124,8x x k x x +==-由抛物线的定义知121,1AF y BF y =+=+则()()()()12121133AF BF y y kx kx =++=++2212123()94913k x x k x x k =+++=+=解得1k =±，所以直线l 的方程为2y x =±+【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的方程和定义，属于中档题．21. 甲、乙两地相距S 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c 千米/时．已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v (千米/时)的平方成正比、比例系数为b ；固定部分为a 元．(1)把全程运输成本y （元）表示为速度v （千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域； (2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？ 【★答案★】(1) ,(0,]a y S bv v c v ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭(2)见解析 【解析】【详解】解：（Ⅰ）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为sv， 全程运输成本为2S S a y a bv S bv v v v ⎛⎫=⋅+⋅=+ ⎪⎝⎭故所求函数及其定义域为,(0,]a y S bv v c v ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭(Ⅱ)依题意知S ，a ，b ，v 都为正数，故有2a S bv S ab v ⎛⎫+≥⎪⎝⎭当且仅当a bv v =．即av b=时上式中等号成立若ac b≤，则当a v b =时，全程运输成本y 最小， 若ac b >，则由于,(0,]a b y S b Sb c ννννν⎛⎫⎛⎫=+=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,当(0,]a v b ∈时为减函数，则a y S bv v ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在(0,]v c ∈上为减函数当v =c 时，全程运输成本y 最小． 综上知，为使全程运输成本y 最小，当ab c b ≤时行驶速度应为ab v b =；当abc b>时行驶速度应为v =c ．22. 已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点为1F 、2F ，1222F F =，若圆Q 方程()()22211x y -+-=，且圆心Q 满足122QF QF a +=.（1）求椭圆1C 的方程；（2）过点()0,1P 的直线1l 交椭圆1C 于A B 、两点，过P 与1l 垂直的直线2l 交圆Q 于C D 、两点，M 为线段CD 中点，求MAB △的面积的取值范围.【★答案★】（1）22142x y +=；（2）25(,2]3MAB S ∆∈.【解析】 【分析】（1）利用椭圆的焦点坐标以及圆心Q 满足122QF QF a +=求得椭圆的标准方程；（2）若1l 的斜率不存在，则1l 与y 轴重合，则2l 过圆心Q ，点M 与点Q 重合，可求出MAB △的面积；1l 的斜率存在时，设1:1l y kx =+，与椭圆方程联立，分别求出弦长AB 和点Q 到1l 的距离d ，代入面积公式中，利用k 的范围求出MAB △的面积的取值范围．【详解】（1）由题意可知：()12,0F -，()22,0F ，()2,1Q2222122(22)1(22)14a QF QF ∴=+=+++-+=，故2a =，从而2c =，2222b a c =-=，∴椭圆1C 的方程为22142x y +=（2）①若1l 的斜率不存在，则1l 与y 轴重合，则2l 过圆心Q ，点M 与点Q 重合， 此时1(22)222ABM ABQ S S ∆∆==⨯⨯= ②1l 的斜率存在时，设1:1l y kx =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，由22124y kx x y =+⎧⎨+=⎩，消y ，得()2212420k x kx ++-=， ()222168213280k k k ∆=++=+>，122412k k x x +=-+，122212kx x =-+， 21:1y x l k =-+，直线2l 与椭圆相交，故2|2|11k k k +-<+，即21k > 2221223281112k AB k x x k k+∴=+-=+⋅+，M 为线段CD 中点，MQ CD ∴⊥， 又12l l ⊥，//MQ AB ，MABQABSS∴=，又点Q 到1l 的距离221k d k =+，()2222411212MABk k S AB d k +∴=⋅=+△22224(14)(12)k k k +=+ 令212t k =+，则3t >，22222(1)(21)2(231)112()3()2MABt t t t S t t t t∆---+===⨯-+ 令11(0,)3u t =∈，232y u u =-+在1(0,)3单调递减，故25(,2)3MAB S ∆∈ 综上，25(,2]3MAB S ∆∈ 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查弦长公式和面积公式，考查换元法求最值，属于中档题．感谢您的下载!快乐分享，知识无限！。

绝密★启用前上海市奉贤中学2019-2020学年高二上学期期中数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．若a 与b c -都是非零向量，则“a b a c ⋅=⋅r r r r ”是“()a b c ⊥-r r r ”的（ ）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件与必要条件的概念，以及向量数量积运算，即可得出结果. 【详解】因为a r 与b c -r r都是非零向量，若a b a c ⋅=⋅r r r r ，则0⋅-⋅=r r r r a b a c ，即()0⋅-=r r r a b c ，所以()a b c ⊥-r r r ；因此“a b a c ⋅=⋅r r r r”是“()a b c ⊥-r r r ”的充分条件； 若()a b c ⊥-r r r ，则0⋅-⋅=r r r r a b a c ，所以a b a c ⋅=⋅r r r r ；因此“a b a c ⋅=⋅r r r r ”是“()a b c ⊥-r r r”的必要条件；综上，“a b a c ⋅=⋅r r r r”是“()a b c ⊥-r r r ”的充要条件.故选：C 【点睛】本题主要考查命题充要条件的判定，熟记充分条件与必要条件的概念，以及数量积的运算法则即可，属于常考题型.试卷第2页，总20页2．已知直线方程为13510231x y =-，则下列各点不在这条直线上的是（ ）A ．(2,3)-B ．(4,7)C ．(3,5)D ．1(,4)2【答案】B 【解析】 【分析】先由题意得到直线方程为：25190-+=x y ，根据选项，逐项代入验证，即可得出结果. 【详解】因为135152910332519231=-++--=-+-x y x y y x x y ，所以，由13510231x y =-得，25190-+=x y ；当2x =-，3y =时，25190-+=x y ，故点(2,3)-在直线25190-+=x y 上； 当4x =，7y =时，251980-+=-≠x y ，故点(4,7)不在直线25190-+=x y 上； 当3x =，5y =时，25190-+=x y ，故点(3,5)在直线25190-+=x y 上； 当12x =，4y =时，25190-+=x y ，故点1(,4)2在直线25190-+=x y 上. 故选：B 【点睛】本题主要考查点与直线位置关系，只需由点的坐标代入直线方程验证即可，本题需熟记直线的矩阵形式，属于常考题型.3．动点P 满足1(1)(1)(12)3OP OA OB OC λλλ⎡⎤=-+-++⎣⎦u u u r u u u r u u u r u u u r（R λ∈），动点P 一定会过ΔABC 的（ ） A ．内心 B ．垂心C ．重心D ．外心【答案】C 【解析】 【分析】取AB 中点D ，做出简图，由2OA OB OD +=u u u r u u u r u u u r化简得2(1)1233OP OD OC λλ-+=+u u u r u u u r u u u r ，………订………__________考号：____………订………根据2(1)12133λλ-++=得P 、C 、D 三点共线，所以点P 一定会通过ABC △重心. 【详解】取AB 中点D ，做出示意图如下图所示： 由图可知2OA OB OD +=u u u r u u u r u u u r，故12(1)12(1)(1)(12)333OP OA OB OC OD OC λλλλλ-+⎡⎤=-+-++=+⎣⎦u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 因为2(1)12133λλ-++=，所以P 、C 、D 三点共线，即点P 在AB 的中线CD 所在直线上，所以点P 一定会过ABC △的重心。

2019-2020学年高二（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．（5分）双曲线﹣=1的焦距为．2．（5分）命题“∃x∈R，x2﹣2≤0”的否定是．3．（5分）直线l1：x+ay+6=0与l2：（a﹣2）x+3y+2a=0平行，则a的值为．4．（5分）直线x﹣y﹣5=0被圆x2+y2﹣4x+4y+6=0所截得的弦的长为．5．（5分）已知抛物线y2=4x上一点M到焦点的距离为3，则点M到y轴的距离为．6．（5分）点A（4，5）关于直线l的对称点为B（﹣2，7），则l的方程为．7．（5分）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则p的值为．8．（5分）两圆x2+y2=9与x2+y2+8x﹣6y+25﹣r2=0（r＞0）相交，则r的取值范围是．9．（5分）已知a∈R，则“a＞2”是“a2＞2a”的条件（填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要）10．（5分）已知双曲线过点且渐近线方程为y=±x，则该双曲线的标准方程是．11．（5分）若不等式|x﹣1|＜a成立的充分条件是0＜x＜4，则实数a的取值范围是．12．（5分）一个椭圆中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P（2，）是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆方程为．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）与不过坐标原点O的直线l：y=kx+m相交与A、B两点，线段AB的中点为M，若AB、OM的斜率之积为﹣，则椭圆C的离心率为．14．（5分）若点（x，y）在双曲线﹣y2=1上，则3x2﹣2xy的最小值是．二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（14分）在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的一边AB在x轴上，另一边CD在x轴上方，且AB=8，BC=6，其中A（﹣4，0）、B（4，0）．（1）若A、B为椭圆的焦点，且椭圆经过C、D两点，求该椭圆的方程；（1）若A、B为双曲线的焦点，且双曲线经过C、D两点，求双曲线的方程．16．（14分）在平面直角坐标系xOy中，设命题p：椭圆C：+=1的焦点在x轴上；命题q：直线l：x﹣y+m=0与圆O：x2+y2=9有公共点．若命题p、命题q中有且只有一个为真命题，求实数m的取值范围．17．（14分）如图，直角三角形ABC的顶点坐标A（﹣2，0），直角顶点B（0，﹣2），顶点C在x轴上，点P为线段OA的中点，三角形ABC外接圆的圆心为M．（1）求BC边所在直线方程；（2）求圆M的方程；（3）直线l过点P且倾斜角为，求该直线被圆M截得的弦长．18．（16分）已知椭圆的右焦点F（m，0），左、右准线分别为l1：x=﹣m﹣1，l2：x=m+1，且l1，l2分别与直线y=x相交于A，B两点．（1）若离心率为，求椭圆的方程；（2）当•＜7时，求椭圆离心率的取值范围．19．（16分）已知圆M：x2+（y﹣4）2=4，点P是直线l：x﹣2y=0上的一动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B．（1）当切线PA的长度为时，求点P的坐标；（2）若△PAM的外接圆为圆N，试问：当P在直线l上运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由．（3）求线段AB长度的最小值．20．（16分）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率e=，左顶点为A（﹣4，0），过点A作斜率为k（k≠0）的直线l 交椭圆C于点D，交y轴于点E．（1）求椭圆C的方程；（2）已知P为AD的中点，是否存在定点Q，对于任意的k（k≠0）都有OP⊥EQ，若存在，求出点Q的坐标；若不存在说明理由；（3）若过O点作直线l的平行线交椭圆C于点M，求的最小值．参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．（5分）双曲线﹣=1的焦距为8．【分析】由双曲线的标准方程可知：a2=9，b2=7，则c2=a2+b2=16，即可求得c，则焦距为2c=8．【解答】解：由双曲线﹣=1可知：a2=9，b2=7，则c2=a2+b2=16，∴c=4，焦距2c=8，故答案为：8．【点评】本题考查双曲线的标准方程及简单性质，属于基础题．2．（5分）命题“∃x∈R，x2﹣2≤0”的否定是∀x∈R，x2﹣2＞0．【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x∈R，x2﹣2≤0”的否定是：∀x∈R，x2﹣2＞0．故答案为：∀x∈R，x2﹣2＞0．【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．3．（5分）直线l1：x+ay+6=0与l2：（a﹣2）x+3y+2a=0平行，则a的值为﹣1．【分析】由于l 2的斜率存在，因此l1∥l2⇔且截距不等．即可得出．【解答】解：∵l1∥l2，∴，化为a2﹣2a﹣3=0，解得a=3或﹣1．当a=3时，l1与l2重合，应舍去．因此a=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了两条直线平行的充要条件，属于基础题．4．（5分）直线x﹣y﹣5=0被圆x2+y2﹣4x+4y+6=0所截得的弦的长为．【分析】通过圆的方程求出圆心坐标与半径，求出圆心到直线的距离，利用圆心到直线的距离、圆的半径、半弦长的关系，求出直线x﹣y﹣5=0被圆x2+y2﹣4x+4y+6=0所截得的弦的长即可．【解答】解：圆x2+y2﹣4x+4y+6=0化为（x﹣2）2+（y+2）2=2，所以圆的圆心坐标（2，﹣2），半径为：，圆心到直线x﹣y﹣5=0的距离为：d==．圆心到直线的距离、圆的半径、半弦长满足勾股定理，即半弦长为：=．所以弦长为：．故答案为：．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，注意圆心到直线的距离、圆的半径、半弦长满足勾股定理，解题比较简洁，可以利用直线与圆的方程联立方程组，求解弦长，比较麻烦．5．（5分）已知抛物线y2=4x上一点M到焦点的距离为3，则点M到y轴的距离为2．【分析】先设出该点的坐标，根据抛物线的定义可知该点到准线的距离与其到焦点的距离相等，进而利用点到直线的距离求得x的值，代入抛物线方程求得y值，即可得到所求点的坐标．【解答】解：∵抛物线方程为y2=4x∴焦点为F（1，0），准线为l：x=﹣1设所求点坐标为M（x，y）作MQ⊥l于Q根据抛物线定义可知M到准线的距离等于M、Q的距离即x+1=3，解之得x=2，代入抛物线方程求得y=±4故点M坐标为：（2，y）即点M到y轴的距离为2故答案为：2．【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．在涉及焦点弦和关于焦点的问题时常用抛物线的定义来解决．6．（5分）点A（4，5）关于直线l的对称点为B（﹣2，7），则l的方程为3x ﹣y+3=0．【分析】先求出A、B的中点，再求AB的斜率，求出中垂线的斜率，然后用点斜式求出直线方程．【解答】解：对称轴是以两对称点为端点的线段的中垂线．A、B的中点坐标（1，6），AB的斜率为：中垂线的斜率为：3则l的方程为：y﹣6=3（x﹣1）即：3x﹣y+3=0故答案为：3x﹣y+3=0【点评】本题考查与直线关于点、直线对称的直线方程，考查计算能力，是基础题．7．（5分）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则p的值为4．【分析】由椭圆+=1，可得a2=6，b2=2，可得c=，可得右焦点F（c，0）．由抛物线y2=2px可得焦点．利用=c即可得出．【解答】解：由椭圆+=1，可得a2=6，b2=2，∴c==2，∴右焦点F（2，0）．由抛物线y2=2px可得焦点．∴=2，解得p=4．故答案为：4．【点评】本题考查了椭圆与抛物线的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．（5分）两圆x2+y2=9与x2+y2+8x﹣6y+25﹣r2=0（r＞0）相交，则r的取值范围是2＜r＜8．【分析】求出两个圆的圆心与半径，利用圆心距与半径和与差的关系，【解答】解：圆x2+y2=9的圆心（0，0），半径为3，圆x2+y2+8x﹣6y+25﹣r2=0（r＞0）的圆心（﹣4，3），半径为：r，因为圆x2+y2=9与x2+y2+8x﹣6y+25﹣r2=0（r＞0）相交，所以，解得2＜r＜8．故答案为：2＜r＜8．【点评】本题考查两个圆的位置关系，通过圆心距在半径差与半径和之间求解，也可以联立方程组，利用判别式解答．9．（5分）已知a∈R，则“a＞2”是“a2＞2a”的充分不必要条件（填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要）【分析】求解a2＞2a，得出a＞2或a＜0，根据充分必要的定义判断即可得出答案．【解答】解：∵a2＞2a，∴a＞2或a＜0，根据充分必要的定义判断：“a＞2”是“a2＞2a”的充分不必要条件，故答案为：充分不必要．【点评】本题考查了充分必要条件的定义，属于容易题，难度不大，紧扣定义即可．10．（5分）已知双曲线过点且渐近线方程为y=±x，则该双曲线的标准方程是x2﹣y2=1．【分析】设双曲线方程为y2﹣x2=λ，代入点，求出λ，即可求出双曲线的标准方程．【解答】解：设双曲线方程为y2﹣x2=λ，代入点，可得3﹣=λ，∴λ=﹣1，∴双曲线的标准方程是x2﹣y2=1．故答案为：x2﹣y2=1．【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查学生的计算能力，正确设出双曲线的方程是关键．11．（5分）若不等式|x﹣1|＜a成立的充分条件是0＜x＜4，则实数a的取值范围是[3，+∞）．【分析】先求出不等式|x﹣1|＜a的解集为集合B，再根据条件可知{x|0＜x＜4}⊂B，建立关于a的不等式组，解之从而确定a的取值范围．【解答】解：|x﹣1|＜a⇒1﹣a＜x＜a+1由题意可知﹣≤x＜0 0＜x＜4是1﹣a＜x＜a+1成立的充分不必要条件∴解得a≥3∴实数a的取值范围是[3，+∞）故答案为：[3，+∞）【点评】本题考查充分不必要条件的应用，解题时要注意含绝对值不等式的解法和应用，属于基础题．12．（5分）一个椭圆中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P（2，）是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆方程为．【分析】设椭圆方程为=1，（a＞b＞0），由已知结合椭圆性质及等差数列性质列出方程求出a，b，由此能求出椭圆方程．【解答】解：∵个椭圆中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，∴设椭圆方程为=1，（a＞b＞0），∵P（2，）是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，∴，且a2=b2+c2，解得a=2，b=，c=，∴椭圆方程为．故答案为：．【点评】本题考是椭圆方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）与不过坐标原点O的直线l：y=kx+m相交与A、B两点，线段AB的中点为M，若AB、OM的斜率之积为﹣，则椭圆C的离心率为．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2）．线段AB的中点M（x0，y0）．可得+=1，+=1，相减可得：+=0，利用中点坐标公式、斜率计算公式及其•k=，即可得出，再利用离心率计算公式即可得出．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2）．线段AB的中点M（x0，y0）．∵+=1，+=1，相减可得：+=0，把x1+x2=2x0，y1+y2=2y0，=k代入可得：+=0，又•k=，∴﹣=0，解得=．∴e==．故答案为：．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、中点坐标公式、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．（5分）若点（x，y）在双曲线﹣y2=1上，则3x2﹣2xy的最小值是6+4．【分析】由双曲线的标准方程可知：则x=2secα，y=tanα，由3x2﹣2xy=12sec2α﹣4secαtanα=+，由﹣1＜sinα＜1，1﹣sinα＞0，1+sinα＞0，由基本不等式的性质可知∴[（1﹣sinα）+（1+sinα）]•（+）≥12+2=12+8，则+≥6+4，即可求得3x2﹣2xy的最小值．【解答】解：由线﹣y2=1，设x=2secα，y=tanα，3x2﹣2xy=12sec2α﹣4secαtanα，=﹣，==，=+∵﹣1＜sinα＜1，1﹣sinα＞0，1+sinα＞0∴[（1﹣sinα）+（1+sinα）]•（+），=12++≥12+2=12+8，当且仅当=等号成立，解得：sinα=3﹣2（3+2舍去）时，取得最小值，∵[（1﹣sinα）+（1+sinα）]•（+）=2（+），+≥6+4，∴3x2﹣2xy的最小值是6+4，故答案为：6+4．【点评】本题考查双曲线的参数方程，三角恒等变换，基本不等式性质的综合应用，考查计算能力，属于难题．二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（14分）在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的一边AB在x轴上，另一边CD在x轴上方，且AB=8，BC=6，其中A（﹣4，0）、B（4，0）．（1）若A、B为椭圆的焦点，且椭圆经过C、D两点，求该椭圆的方程；（1）若A、B为双曲线的焦点，且双曲线经过C、D两点，求双曲线的方程．【分析】（1）由椭圆的定义：丨CA丨+丨CB丨=16=2a，求得a=8，则b2=a2﹣c2=64﹣16=48，即可求得椭圆方程；（2）根据双曲线的定义：丨CA丨﹣丨CB丨=4=2a′，则求得a′=2，则b2=c2﹣a′2=16﹣4=12，即可求得双曲线的标准方程．【解答】解：（1）∵A、B为椭圆的焦点，且椭圆经过C、D两点，根据椭圆的定义：丨CA丨+丨CB丨=16=2a，∴a=8，…4分在椭圆中：b2=a2﹣c2=64﹣16=48，…6分∴椭圆方程为：；…8分（2）∵A、B为双曲线的焦点，且双曲线经过C、D两点，根据双曲线的定义：丨CA丨﹣丨CB丨=4=2a′，∴a′=2，…10分在双曲线中：b2=c2﹣a′2=16﹣4=12，…12分∴双曲线方程为：．…14分．【点评】本题考查椭圆及双曲线的标准方程，椭圆及双曲线的定义，属于基础题．16．（14分）在平面直角坐标系xOy中，设命题p：椭圆C：+=1的焦点在x轴上；命题q：直线l：x﹣y+m=0与圆O：x2+y2=9有公共点．若命题p、命题q中有且只有一个为真命题，求实数m的取值范围．【分析】求出命题p，q为真时，m的范围，结合命题p、命题q中有且只有一个为真命题，分类讨论，综合后可得实数m的取值范围．【解答】解：命题p为真：由题意得，m＞8﹣m＞0，解得4＜m＜8．…3分命题q为真：x﹣y+m=0与圆O：x2+y2=9有公共点则圆心O到直线l的距离：d=≤3，解得：﹣3≤m≤3．…7分因为命题p、命题q中有且只有一个为真命题若p真q假，则：解得：3＜m＜8．…10分若p假q真，则：解得：﹣3≤m≤4 …13分综上：实数m的取值范围是3＜m＜8或﹣3≤m≤4．…14分．【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了椭圆的方程，直线与圆的位置关系，复合命题，难度中档．17．（14分）如图，直角三角形ABC的顶点坐标A（﹣2，0），直角顶点B（0，﹣2），顶点C在x轴上，点P为线段OA的中点，三角形ABC外接圆的圆心为M．（1）求BC边所在直线方程；（2）求圆M的方程；（3）直线l过点P且倾斜角为，求该直线被圆M截得的弦长．【分析】（1）求出BC的斜率，可得BC边所在直线方程；（2）求出圆心与半径，即可求圆M的方程；（3）直线l过点P且倾斜角为，得出直线方程，即可求该直线被圆M截得的弦长．【解答】解：（1）∵k AB=﹣，AB⊥BC (1)分∴k BC=，∴BC边所在直线方程y=x﹣2．…4分（2）在上式中，令y=0得：C（4，0）…5分∴圆心M（1，0）又∵AM=3 …7分∴外接圆的方程为（x﹣1）2+y2=9 …9分（3）∵P（﹣1，0），直线l过点P且倾斜角为，∴直线l的方程为y=（x+1） (10)分点M到直线l的距离为…12分直线l被圆M截得的弦长为2．…14分．【点评】本题考查直线与圆的方程，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．18．（16分）已知椭圆的右焦点F（m，0），左、右准线分别为l1：x=﹣m﹣1，l2：x=m+1，且l1，l2分别与直线y=x相交于A，B两点．（1）若离心率为，求椭圆的方程；（2）当•＜7时，求椭圆离心率的取值范围．【分析】（1）由题意可知：（a＞b＞0），由准线方程为：x==m+1，即可求得a2=m（m+1），b2=m，由e===，即可求得b=c，求得m的值，代入求得a和b的值，即可求得椭圆方程；（2）A（﹣m﹣1，﹣m﹣1），B（m+1，m+1），求得=（2m+1，m+1），=（1，m+1），由•=m2+4m+2＜7，即可求得0＜m＜1，由离心率e===，即可求得椭圆离心率的取值范围．（1）椭圆的右焦点F（m，0），故焦点在x轴上，设椭圆方程为：【解答】解：（a＞b＞0），∴c=m，准线方程为：x==m+1，∴a2=m（m+1），b2=m …2分由e===，可得b=c，从而m=1，…4分故a=，b=1，∴椭圆方程：；…6分（2）由题意可知：A（﹣m﹣1，﹣m﹣1），B（m+1，m+1），∴=（2m+1，m+1），=（1，m+1），…9分故•=2m+1+（m+1）2=m2+4m+2＜7，解得：0＜m＜1，…12分由离心率e===，…14分故所求的离心率范围为（0，）．…16分．【点评】本题考查椭圆方程及简单几何性质，考查向量数量积的坐标表示，考查计算能力，属于中档题．19．（16分）已知圆M：x2+（y﹣4）2=4，点P是直线l：x﹣2y=0上的一动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B．（1）当切线PA的长度为时，求点P的坐标；（2）若△PAM的外接圆为圆N，试问：当P在直线l上运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由．（3）求线段AB长度的最小值．【分析】（1）根据圆M的标准方程即可求出半径r=2和圆心M坐标（0，4），并可设P（2b，b），从而由条件便可求出|MP|=，这样便可求出b的值，即得出点P的坐标；（2）容易求出圆N的圆心坐标（b，），及半径，从而可得出圆N的标准方程，化简后可得到（2x+y﹣4）b﹣（x2+y2﹣4y）=0，从而可建立关于x，y的方程，解出x，y，便可得出圆N所过的定点坐标；（3）可写出圆N和圆M的一般方程，联立这两个一般方程即可求出相交弦AB 的直线方程，进而求出圆心M到直线AB的距离，从而求出弦长，显然可看出b=时，AB取最小值，并求出该最小值．【解答】解：（1）由题意知，圆M的半径r=2，M（0，4），设P（2b，b），∵PA是圆M的一条切线，∴∠MAP=90°，∴，解得，∴P（0，0）或．（2）设P（2b，b），∵∠MAP=90°，∴经过A，P，M三点的圆N以MP为直径，其方程为，即（2x+y﹣4）b﹣（x2+y2﹣4y）=0，由，解得或，∴圆过定点（0，4），．（3）因为圆N方程为，即x2+y2﹣2bx﹣（b+4）y+4b=0，圆M：x2+（y﹣4）2=4，即x2+y2﹣8y+12=0，②﹣①得：圆M方程与圆N相交弦AB所在直线方程为：2bx+（b﹣4）y+12﹣4b=0，点M到直线AB的距离，相交弦长即：，当时，AB有最小值．【点评】考查圆的标准方程和一般方程的形式，圆心和切点的连线垂直于切线，以及直径所对圆周角为直角，以及两圆的相交弦所在直线方程的求法，配方求二次函数最值的方法，直角三角形边的关系．20．（16分）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率e=，左顶点为A（﹣4，0），过点A作斜率为k（k≠0）的直线l 交椭圆C于点D，交y轴于点E．（1）求椭圆C的方程；（2）已知P为AD的中点，是否存在定点Q，对于任意的k（k≠0）都有OP⊥EQ，若存在，求出点Q的坐标；若不存在说明理由；（3）若过O点作直线l的平行线交椭圆C于点M，求的最小值．【分析】（1）由椭圆的离心率和左顶点，求出a，b，由此能求出椭圆C的标准方程．（2）直线l的方程为y=k（x+4），与椭圆联立，得，（x+4）[（4k2+3）x+16k2﹣12）]=0，由此利用韦达定理、直线垂直，结合题意能求出结果．（3）OM的方程可设为y=kx，与椭圆联立得M点的横坐标为，由OM∥l，能求出结果．【解答】解：（1）∵椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率e=，左顶点为A （﹣4，0），∴a=4，又，∴c=2．…（2分）又∵b2=a2﹣c2=12，∴椭圆C的标准方程为．…（4分）（2）直线l的方程为y=k（x+4），由消元得，．化简得，（x+4）[（4k2+3）x+16k2﹣12）]=0，∴x1=﹣4，．…（6分）当时，，∴．∵点P为AD的中点，∴P的坐标为，则．…（8分）直线l的方程为y=k（x+4），令x=0，得E点坐标为（0，4k），假设存在定点Q（m，n）（m≠0），使得OP⊥EQ，则k OP k EQ=﹣1，即恒成立，∴（4m+12）k﹣3n=0恒成立，∴，即，∴定点Q的坐标为（﹣3，0）．…（10分）（3）∵OM∥l，∴OM的方程可设为y=kx，由，得M点的横坐标为，…（12分）由OM∥l，得=…（14分）=，当且仅当即时取等号，∴当时，的最小值为．…（16分）【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的定点是否存在的判断与求法，考查代数式的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、直线垂直、椭圆性质的合理运用．。