有理数简便运算与技巧

有理数简便运算方法一、有理数的加减运算方法：1.同号相加减法：将相同符号的有理数的绝对值相加（减），并保持原来的符号。

例如：(+3)+(+5)=+8，(-4)+(-2)=-62.异号相加减法：先取绝对值较大的数，再用它减去绝对值较小的数，运算结果的符号与绝对值较大的数的符号相同。

例如：(+7)+(-3)=+4，(-5)+(+8)=+33.加减混合运算法则：将混合运算式转化为整数与有理数相加减的运算。

先将有理数的加法运算和减法运算分别进行，再按照不同符号的数向各自所在的方向合并。

例如：(-4)+(+6)-(-2)=(-4)+(+6)+(+2)=+4，(-7)+(+5)-(+3)=(-7)+(+5)+(-3)=-5二、有理数的乘除运算方法：1.同号相乘除运算法则：将有理数的绝对值相乘（除），运算结果的符号是正号。

例如：(+2)×(+3)=+6，(-6)÷(-2)=+32.异号相乘除运算法则：将有理数的绝对值相乘（除），运算结果的符号是负号。

例如：(+4)×(-3)=-12，(-8)÷(+2)=-43.乘除混合运算法则：将乘法和除法运算的优先级区别对待，首先进行除法运算，然后再进行乘法运算。

例如：(-12)÷(+3)×(-2)=-24，(+36)÷(-6)×(+5)=-30。

三、有理数的化简方法：1.化简法则：当有理数表达式中存在多个加法或减法时，可根据运算法则将其化简为一个数。

例如：(+5)+(-3)+(+2)=(+5)+(-1)=+42.去括号法则：当有理数表达式中存在括号时，利用分配率将括号中的运算进行展开。

例如：(+3)×[(+4)+(-2)]=(+3)×(+4)+(+3)×(-2)=+12+(-6)=+63.合并同类项法则：当有理数表达式中存在多个同类项时，可将同类项合并。

例如：(+3)+(+4)-(+2)+(-3)=(+3-3)+(+4-2)=+0+(+2)=+2有理数的简便运算方法可以帮助我们快速准确地计算各种有理数的加减乘除运算，化简有理数表达式，掌握这些方法有助于提高数学计算的效率。

聚焦有理数运算的简便技巧（一）把有理数分解成有理分数有理数运算的一个常见技巧就是把分数分解成有理分数，以此建立起有理数之间的联系。

通常可以给定一个有理数，把它分解成几个最简分数之和。

例如，3/5可以分解成1/5与2/5，其它有理数也都可以如此分解。

这样分解后，有理数之间就可以建立起一种“抵消法”的关系，方便有理数运算。

（二）合并带分母的余式合并带分母的余式是有理数运算最常用的技巧之一。

我们知道，当分母相同时，有理数间可以把分子相加，例如：2/5-1/5=1/5，这样就可以更方便进行有理数运算。

当出现不同分母的情况时，可以把余式统一处理成带有相同分母的模式，再进行简化。

例如：3/4-1/5=15/20-4/20，可以把15/20及4/20合并为11/20，把重复度较高的运算简化掉，大大节省了计算量。

（三）利用常数来复杂有理数运算有理数运算也可以利用常数进行复杂的计算，有时可以让符号的变换更加简单。

比如，(a+b)/(a-b)可以改写为(a+b)/a-b/a，即：1/a+b/a-b/a，由此可以方便地进行有理数运算，使杂乱的运算步骤变得更加清楚。

（四）利用特殊比例计算有时候可以利用一些特殊的比例来进行有理数运算。

例如，a1/a2=b1/b2，那么a1/a2+c1/c2=b1/b2+c1/c2。

由此可以方便地转换出一些比较复杂的运算，从而方便有理数的运算。

（五）以底数为底的幂运算有理数的运算中也可以采用一些幂运算技巧，比如：a^b×a^c=a^(b+c)。

例如：2^3×2^2=2^5；上式中就是利用幂运算把有理数中的相乘转换成有理数中的相加，把运算变得更加容易。

有理数简便运算方法理数是可以表示为整数或者有限小数的数。

有理数的运算可以通过将有理数转化为分数来进行简化。

以下是有理数的简便运算方法。

一.有理数的加法和减法运算1.同号有理数相加：若两个有理数同为正数或同为负数，则只需将它们的绝对值相加，然后给结果加上相同的符号。

例如：2+3=5，(-2)+(-3)=-52.异号有理数相加：若两个有理数一个为正数，一个为负数，则只需将它们的绝对值相减，然后给结果取两个数绝对值较大的符号。

例如：3+(-2)=3-2=1，(-3)+2=2-3=-13.有理数的减法：有理数的减法可以转化为加法运算，即将减数变为其相反数，然后进行加法运算。

例如：2-3=2+(-3)=-1二.有理数的乘法运算1.同号有理数相乘：若两个有理数同为正数或同为负数，则只需将它们的绝对值相乘，然后给结果加上相同的符号。

例如：2×3=6，(-2)×(-3)=62.异号有理数相乘：若两个有理数一个为正数，一个为负数，则只需将它们的绝对值相乘，然后给结果加上负号。

例如：2×(-3)=-(2×3)=-6，(-2)×3=-(2×3)=-6三.有理数的除法运算有理数的除法可以转化为乘法运算，即将被除数乘以除数的倒数，即除数的倒数是除数分子与分母交换位置得到的分数。

例如：2÷3=2×(1/3)=2/3，(-2)÷(-3)=(-2)×(1/(-3))=2/3四.有理数的混合运算有理数的混合运算可以按照四则运算的顺序进行：先进行括号内的运算，然后进行乘除法运算，最后进行加减法运算。

例如：2+(3×4)=2+12=14，3-(2+1)×4=3-3×4=3-12=-9以上是有理数的简便运算方法，通过将有理数转化为分数进行运算，可以简化计算的步骤，方便快捷地进行有理数的加减乘除运算。

有理数的运算法则可以通过一些简单的口诀来记忆。

有理数的加法运算法则是“同号相加一边倒；异号相加“大”减 “小”,符号跟着大的跑；绝对值相等“零”正好”。

具体来说，同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两数相加，和为0。

有理数的减法运算法则是“减正等于加负，减负等于加正”。

有理数的乘法运算法则是“符号法则：同号得正，异号负，一项为零积是零”。

合并同类项的法则为“只求系数代数和，字母指数留原样”。

去、添括号的法则为“去括号或添括号，关键要看连接号。

扩号前面是正号，去添括号不变号。

括号前面是负号，去添括号都变号”。

有理数的巧算1、初中代数中运算贯穿于始终，运算能力是运算技能与逻辑能力的结合，它体现在对算理算律的理解与使用，综合运算的能力及选择简捷合理的运算路径上，这要求我们在运算过程中，要善于观察题目的结构特点，灵活选用算法和技巧，这样不仅可以简化运算，提高解题速度，而且可以养成勤于动脑，善于观察到良好习惯。

2、有理数的相关概念和性质法则⑴有理数的运算法则 ⑵有理数的运算律及其性质 3、常用运算技巧⑴巧用运算律 ⑵凑整法 ⑶拆项法（裂项相消） ⑷分组相约法 ⑸倒写相加法 ⑹错位相减法 ⑺换元法 ⑻观察探究、归纳法 一般地，多个分数相加减，如果分子相同，分母是两个整数的积，且每个分母中因数差相同，可以用裂项相消法求值。

①111(1)1n n n n =-++ ② 1111()()n n k k n n k =-++③1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-+++++ ④ 1111()(1)(1)211n n n n =--+-+课前热身 计算：()()()()313185= 2-1912=152********-1954= 4-7516182625⨯⨯⎛⎫⨯⨯ ⎪⎝⎭ （5）计算：①1+3=22 ②1+3+5=9=32 ③1+3+5+7=16=42⑷1+3+5+7+9= 、、、则1+3+5+7+9+、、、+2(n-1)= 【专题精讲】【例1】⑴巧用运算律 计算下列各题⑵32333333251233()0.750.5()(1)()4()44372544-⨯+⨯-+⨯⨯+÷-⑵12713923(0.125)(1)(8)()35-⨯-⨯-⨯-对应练习1、用简便方法计算：999998998999998999999998⨯-⨯=【例2】⑵凑整法 计算：7+97+997+9997+99997=对应练习计算：89+899+8999+89999+899999【例3】 ⑷分组相约法 计算1234567891011122005200620072008--++--++--+++--+ 对应练习计算：1-22+32-42+、、、+992-1002+1012【例4】⑶拆项法(裂项相消法)求值 计算：（1）111111261220309900++++++ ⑵111113355799101++++⨯⨯⨯⨯ 对应练习计算：111111315131517293133+++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【例5】⑹错位相减法 计算：11112481024++++对应练习计算：23201012222S=+++++【例6】 ⑸倒写相加法 计算：11212312341235859()()()()23344455556060606060++++++++++++++++ （首项+尾相）×项数÷2对应练习计算：111112123123100+++⋅⋅⋅+++++++⋅⋅⋅+的值.【例7】⑺换元法 计算：11111111111111(1)()(1)()23200923420102320092010232009--+-+++---+--+++ 22469012346-1234512347⨯对应练习计算：111111*********++++++-1++++++23423452345234⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭计算：【例8】⑻观察探究、归纳法 请你从下表归纳出333331234n +++++ 的公式并计算出：33333123450+++++ 的值。

有理数简便运算与技巧有理数是代数的入门，又是难点，是中学数学中一切运算的基础。

进行有理数的运算时，若能根据题目的特征，注意采取运算技巧，不单能化繁为简，而且会妙趣横生，新颖新颖。

现举例介绍有理数运算中的几个经常使用技巧。

一、归类将同类数（如正数或负数）归类计算。

例1 计算：()()()231324-+++-++-。

解：原式()()()()312234=+++-+-+-⎡⎤⎣⎦()69=+-3=-。

二、凑整将和为整数的数结合计算。

例2 计算：36.54228263.46+-+。

解：原式()36.5463.462282=++-1002282=+-12282=-40=。

三、对消将相加得零的数结合计算。

例3 计算：()()()5464332+-++++-+-。

解：原式()()()4453263=-+++-+-++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦009=++9=。

四、组合将分母相同或易于通分的数结合。

例4 计算：55115521012249186---+。

解：原式55511125210624918⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 5171386=- 13524=-。

五、分解将一个数分解成两个或几个数之和的形式，或分解为它的因数相乘的形式。

例5 计算：111125434236-+-+。

解：原式()111125434236⎛⎫=-+-++-+-+ ⎪⎝⎭ 3642212121212⎛⎫=+-+-+ ⎪⎝⎭ 11221212=+=。

例6 计算：20082009200920092009200820082008⨯-⨯。

解：原式2008200910001000120092008100010001=⨯⨯-⨯⨯0=。

六、转化将小数与分数或乘法与除法相互转化。

例7 计算：()23420.2534⎛⎫⎛⎫⨯-+-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

解：原式312844⎛⎫⎛⎫=-+-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()32844⎛⎫=-+-⨯- ⎪⎝⎭283=-+25=-。

有理数加减运算的几个技巧小学生进入初中以后，接触了正，负数，很多同学觉得数学的知识增加了很多。

但一开始学习有理数加减混合运算，他们发现很容易犯错误，而且在运算过程中有时不知所措。

在这里给大家介绍有理数加减运算的几个小技巧。

一：用口诀法记忆有理数的加减运算规则。

同号相加一边倒；异号相加“大”减“小”，符号跟着“大”的跑。

如：12-6+5-7=12+5-6-7=17-13=4。

这个口诀适合比较简单的运算，主要是将正，负数分开，再计算。

但是对较复杂的运算却并不适合。

下面的方法可以针对性的解决一些问题。

二：化繁为简。

主要是有些异分母的运算。

如：（-2/3）-1/12-（-1/4）=-2/3-1/12+1/4=-8/12-1/12+3/12=-9/12+3/12=-6/12=-1/2等。

三：统一法：在式子中若既有分数又有小数，把小数统一成分数或把分数统一成小数。

如：（-0.5）-（-1/4）+（+2.75）-（+5.5）= -0.5+0.25+2.75-5.5= -3四：凑整数法。

在式子中若既有分数又有小数，有些数相加后能凑出整数，这样做的目的是使得运算简便。

如（1）：（-47/8）-（-51/2）+（-41/4）-（+31/8）=-47/8+51/2-41/4-31/8=-47/8-31/8+51/2-41/4=-8+1.25=-6.25（2）：（-318/37）-（-3.5）-（-118/37）+（-6.5）=-318/37+3.5+1 18/37-6.5=-318/37+118/37-6.5+3.5=-2-3=-5。

五：凑零法。

在式子中如果有相反数，那么就把它们相加，再运算。

如：（1）：1/2+（-2/3）+4/5+（-1/2）+（-1/3）=1/2+（-1/2）+（-2/3）+（-1/3）+4/5 =0+（-1）+4/5=-1/5（2）：（-18.65）+（-6.15）+18.15+6.15=（-18.65）+18.15+（-6.15）+6.15 =-0.5+0=-0.5有理数的加减混合运算，可依据题目的特点，运用适当的方法技巧，可以简化过程，提高解题速度。

类比归纳专题：有理数加、减、乘、除中的简便运算——灵活变形，举一反三◆类型一 加减混合运算的技巧一、相反数相结合1．计算：(1)10－24－28＋18＋24；(2)134－(＋6)－358＋(－1.75)－⎝⎛⎭⎫－358.二、同分母或凑整结合2．计算：(1)(－6.82)＋3.78＋(－3.18)－3.78；(2)1918＋⎝⎛⎭⎫－534＋⎝⎛⎭⎫－918－1.25；(3)0－2123＋⎝⎛⎭⎫＋314－⎝⎛⎭⎫－23－(＋0.25)．三、同号相结合3．计算：2.3＋(－1.7)＋6.2＋(－2.2)－1.1.*四、计算结果成规律的数相结合4．计算1＋2－3－4＋5＋6－7－8＋…＋2017＋2018－2019－2020的结果为( )A ．0B ．－1C ．2020D ．－20205．阅读：因为一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，所以，当a ≥0时，|a |＝a ；当a <0时，|a |＝－a .根据以上阅读完成：(1)|3.14－π|＝________；(2)计算：⎪⎪⎪⎪12－1＋⎪⎪⎪⎪13－12＋⎪⎪⎪⎪14－13＋…＋⎪⎪⎪⎪19－18＋⎪⎪⎪⎪110－19.◆类型二 分配律的解题技巧一、正用分配律6．计算⎝⎛⎭⎫－56－14×(－12)的结果为( ) A ．－7 B ．7C ．－13D ．137．利用分配律计算⎝⎛⎭⎫－1009899×99时，较简便的方法是( ) A ．－⎝⎛⎭⎫100＋9899×99B ．－⎝⎛⎭⎫100－9899×99 C.⎝⎛⎭⎫100－9899×99 D.⎝⎛⎭⎫－101－199×99 8．计算：(1)⎝⎛⎭⎫12－34＋18×(－24)；(2)－45×⎝⎛⎭⎫19＋113－0.4；(3)391314×(－14)．二、逆用分配律9．计算：－1317×19－1317×15＝________． 10．计算：(1)25×34－(－25)×12＋25×14；(2)4×⎝⎛⎭⎫－367－3×⎝⎛⎭⎫－367－6×367.三、除法变乘法，再利用分配律11．计算：⎝⎛⎭⎫16－27＋23÷⎝⎛⎭⎫－542.12．利用原式的倒数进行简便运算：⎝⎛⎭⎫－130÷⎝⎛⎭⎫23－110＋16－25.参考答案与解析1．解：(1)原式＝[(－24)＋24]＋(18＋10－28)＝0.(2)原式＝134＋(－1.75)－6＋⎝⎛⎭⎫358－358＝－6. 2．解：(1)原式＝[(－6.82)＋(－3.18)]＋(3.78－3.78)＝－10.(2)原式＝1918＋⎝⎛⎭⎫－918＋⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－534－1.25＝10－7＝3. (3)原式＝⎝⎛⎭⎫－2123＋23＋⎝⎛⎭⎫314－0.25＝－21＋3＝－18. 3．解：原式＝2.3＋6.2－(1.7＋2.2＋1.1)＝8.5－5＝3.5.4．D5．解：(1)π－3.14(2)原式＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋18－19＋19－110＝1－110＝910. 6．D 7.A8．解：(1)原式＝－12＋18－3＝3.(2)原式＝－5－60＋18＝－47.(3)原式＝⎝⎛⎭⎫40－114×(－14)＝－560＋1＝－559. 9．－2610．解：(1)原式＝25×⎝⎛⎭⎫34＋12＋14＝25×32＝752. (2)原式＝－367×(4－3＋6)＝－277×7＝－27. 11．解：原式＝⎝⎛⎭⎫16－27＋23×⎝⎛⎭⎫－425＝－75＋125－285＝－235. 12．解：原式的倒数为(23－110＋16－25)÷(－130)＝⎝⎛⎭⎫23－110＋16－25×(－30)＝－20＋3－5＋12＝－10.故原式＝－110.。