有理数运算常用的技巧

有理数计算的六个技巧有理数计算是数学中一个重要的部分，掌握一些技巧可以帮助我们更快速、更准确地完成计算。

以下是六个有理数计算的技巧：1. 分母有理化：对于形如$\frac{a}{b}$的有理数，如果b是平方数（例如4、9、16等），则可以将分母进行有理化处理，即将分子和分母都乘以b的平方根。

例如，$\frac{1}{4} = \frac{1 \times 2}{4 \times 2} = \frac{2}{8}$。

2. 乘法分配律：对于任意三个有理数a、b和c，有$a \times (b + c) = a\times b + a \times c$。

这个技巧可以用于简化复杂的乘法运算。

3. 提取公因数：对于多个有理数的乘法，如果存在公因数，可以先提取公因数，再进行其他运算。

例如，$2 \times 3 \times 4 = 2 \times (3 \times 4) = 2 \times 12$。

4. 利用绝对值的性质：对于有理数的绝对值，如果知道某个数的范围，可以利用绝对值的性质来简化计算。

例如，如果知道$a < b$，则可以得出$-b< a < b$。

5. 利用等差数列的性质：对于等差数列中的有理数，可以利用等差数列的性质来简化计算。

例如，对于等差数列$a, b, c, d$，有$b = \frac{a +c}{2}$和$d = \frac{a + d}{2}$。

6. 利用近似值：对于一些复杂的计算，如果不需要精确结果，可以利用近似值来快速得到一个接近真实值的结果。

例如，对于$\sqrt{2}$，我们知道$ < \sqrt{2} < $，所以可以取或作为$\sqrt{2}$的近似值。

这些技巧可以帮助我们更快速、更准确地完成有理数计算。

在掌握这些技巧的基础上，通过多做练习题来提高自己的计算能力和熟练度。

有理数四则运算技巧
1. 哎呀呀，在有理数四则运算中，加法可是基础呢！就像搭积木一样，一块块往上加。

比如 2+3=5，这多简单呀！
2. 嘿，减法其实不就是加法的逆运算嘛！好比你往前走了几步，再往回退几步。

像 5-3 不就是从 5 这个点往回退 3 步嘛，答案就是 2 啦！
3. 哇塞，乘法就像是快速复制粘贴一样！比如说3×4，不就是 3 个 4 或者
4 个 3 嘛，结果就是 12 呀！
4. 哟呵，除法不就是平均分嘛！就像把一堆糖果分给几个小朋友。

比如
12÷3，就是把 12 平均分成 3 份呀，那每份就是 4 咯！
5. 嘿呀，混合运算的时候可得注意顺序呀！先算乘除后算加减，这就好比先解决重要的事再处理小事。

想想看3+4×2，如果先算加法那就错啦，得先
算乘法4×2 得 8，再加上 3 才对呢！
6. 哇，添括号和去括号也有技巧哦！这不就像给式子穿上或脱掉一件外套嘛。

像 5+(3-1)，去括号后就是 5+3-1 呀。

7. 哈哈，转换思维也很重要呢！有时候换个角度看式子，答案就一下子出来了。

比如把 25 看成5×5，是不是思路就开阔啦？
8. 呦，约分和化简能让式子变清爽呢！就像给式子洗了个澡。

比如 10/20
可以约分成 1/2 呀。

9. 记住这些技巧，有理数四则运算就变得容易多啦！难道不是吗？以后遇到这些运算就可以轻松搞定啦！
我的观点结论：有理数四则运算只要掌握了这些技巧，就能变得有趣又简单，大家要多多练习运用呀！。

有理数计算的常用方法关于有理数计算竞赛题，种类繁多，特点各异，解法多样，富有技巧．解题时，需要细心观察，深入探究，缜密分析，全面审视，除了发现题中的特征，还应挖掘题中隐含的规律，正确灵活地使用运算法则、性质和定律，实施“化繁为简，化难为易”的手段，达到准确，快捷解题之目的，根据笔者教学实践，总结出解有理数计算题的十一种常用方法，以供参考．一、凑整法例1计算：2002＋98＋997＋9996＋99995．分析题中几个数都与整十、整百、整千……很接近，因此可以凑成整十、整百、整千……来求解．解1 原式＝(2002－2－3－4－5)＋(98＋2)＋(997＋3)＋(9996＋4)＋(99995＋5)＝1988＋100＋1000＋10000＋100000＝113088．例2若S＝11＋292＋3993＋49994＋599995＋6999996＋79999997＋899999998，则和数S的末四位数字之和是____．分析将题中的每个数凑成“整十”、“整百”、“整千”……来计算，很容易解出，解原式＝(11＋9)＋(292＋8)＋(3993＋7)＋(49994＋6)＋(599995＋5)＋(6999996＋4)＋(79999997＋3)＋(899999998＋2)－9＋8＋7＋ (2)＝(20＋300＋4000＋50000＋600000＋7000000＋80000000＋900000000)－(9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2)＝987654320－44＝987654276．∴S的末四位数字之和是4＋2＋7＋6＝19．二、分组结合法例3计算：1－3＋5－7＋9－11＋…＋2009－2011．分析题中从1到201 1，相邻两个数相加是－2，加号和减号交替出现，因此可以运用分组的方法，即依次两个数两个数为一组，每组的得数都是－2，从而很快计算出结果．解原式＝(1－3)＋(5－7)＋…＋( 2009－2011)＝（－2）×503＝－1006．例4计算：1＋2－3－4＋5＋6－7－8＋9＋10－11－12＋…＋2005＋2006－2007－2008＋2009＋2010－2011．分析观察发现，依次四个数四个数为一组，每组中四个数的和为－4，由1至2008共有502组，式中还余3个数，于是得出解法．解1 原式＝(－4)×502＋2009＋2010－2011＝－2008＋2008＝0．本题若再仔细观察又可发现，2－3－4＋5＝0，6－7－8＋9＝0，…，即从2开始，每连续4项的和为0，式中的一列数，除去开头1以外，中间能分成502组，后面还余下两个数为2010，－2011，于是又得另一种解法．解2 原式＝1＋0×502＋2010－2011＝0．三、分解相约法例5 计算：(10.5×11.7×57×85)÷(1.7×1.9×3×5×7×9×11×13×15)．分析被整式与除式的小数位数相等，可化为整数相除，又被除式与除式部分因数能分解，可采用分解相约．解原式＝＝1 11．四、巧用运算律法例6 计算：23797 0.71 6.6 2.20.7 3.31173118⨯-⨯-÷+⨯+÷．分析本题为有理数的混合运算，其中有公因子，可把公因子先提出，然后进行计算．解原式五、妙用性质法例7计算：1÷(2÷3)÷(3÷4)÷…÷(2010÷2011)．分析本题属于一道连除的计算题，可以利用连除性质：a÷(b÷c)＝a÷b×c＝a×c ÷b．先将原式进行分解，再利用交换律使问题得到解决．解原式＝1÷2×3÷3×4÷…÷2010×2011＝(1×3×4×...×2011)÷(2×3×4× (2010)＝2011÷2＝1005.5．六、添项相加法例8 计算：512＋256＋128＋64＋32＋16＋8＋4＋2＋1．分析 经过观察，发现上式的特点是后一项是前一项的一半，因此，如果我们把后一项加上它本身，就可以得到前一项的值，于是添加一个辅助数l （末项），使问题得以顺利解决．解 原式＝512＋256＋128＋64＋32＋16＋8＋4＋(1＋1)－1＝512＋256＋…＋4＋(2＋2)－1＝…＝512＋(256＋256)－1＝512＋512－1＝1023．七、错位相减法例9 计算：2481621392781243+++++． 分析 观察算式发现，从第二项起，每一项是前一项的23，考虑用错位相减法解．八、活用公式法例10 计算：211133+++ (1013)+． 分析 上式从第二项起，后一项与前一项的比值都是13，因此它是道等比数列求和题．可用公式1(1)1n n a q S q-=-求解，其中S n 表示前n 项的和，n 表示项数，q 表示公比，a 1表示首项，解 原式例11 计算:19492－19502＋19512－19522＋… ＋20092－20102＋20112．分析 上式除末项外，前面的项顺次每两项构成平方差形式，可用平方差公式分解后再计算．解 原式九、拆项法例12 计算：359173365248163264+++++． 分析 和式中每个相加的分数分子都比分母大1，而分母依次是后一个分母是前一个分母的2倍，于是我们可以先拆项，再相加． 解 原式例13 计算：1111121231234++++++++++…1123100+++++．分析本题可用上法拆项．解 原式十、字母代换法例14计算：(1＋0.23＋0.34)×(0.23＋0.34＋0.56)－(1＋0.23＋0.34＋0.56)×(0.23＋0.34)．分析此题如果用常规方法进行计算，步骤多而且复杂，如果我们把算式中的一部分相同的式子用字母代替，可以化繁为简，化难为易，很快巧算出结果．解设0.23＋0.34＝a．则原式＝(1＋a)×(a＋0.56)－(1＋a＋0.56)×a＝a＋0.56＋a2＋0.56－a－a2－0.56a＝0.56．十一、数形结合法例15 计算：当n无限大时，1＋12＋1148++…12n+的值．分析建立如下模型，设大正方形的面积为l，当n无限大时，有1＋12＋1148++…12n+＝1．故原式＝2（图形请读者自作）．例16 求S100＝13＋23＋33＋…＋1003的值．分析使用计算器虽能求得结果，但是计算量将十分庞大，而利用数形结合法能使本题得以巧解．解先求出13＋23＋33的值，作出如图．易知13表示第一个┘上黑点的个数，23表示第二个┘上黑点的个数，33表示第三个┘上黑点的个数．图中每行每列黑点的个数均为l＋2＋3＝6，故S3＝13＋23＋33＝6×6＝36．用式子表示：13＝12,13＋23＝32,13＋23＋33＝62．同理可得S100的图中各行各列的黑点个数为：。

关于有理数运算中的解题技巧
有理数是整数和分数的统称，可以进行加减乘除等基本的四则
运算。

在解题过程中，我们可以通过掌握一些技巧来简化计算和加
快速度。

一、化分做通分
在有理数的加减运算中，需要先将两个有理数化为相同分母的
分数，然后再进行加减运算。

这种方法就叫做化分做通分。

例如：计算1/3 + 1/4
步骤一：先将分数化为相同分母的分数，3和4的最小公倍数
为12，所以将分数化为12的分数：
1/3 = 4/12，1/4 = 3/12
步骤二：将分数进行加法运算，得到：
1/3 + 1/4 = 4/12 + 3/12 = 7/12
二、合并同类项
在有理数的加减运算中，所有同类项可以合并为一个项。

这样
可以化简计算，避免漏算或重算。

例如：计算3x + 4y + 2x - 5y
其中3x和2x是同类项，4y和-5y是同类项，所以可以合并为：3x + 2x + 4y - 5y = 5x - y
三、去括号
1。

有理数运算常用的技巧一、归类运算进行有理数的加减运算时,运用交换律、结合律归类加减,常常可以使运算简捷.如整数与整数结合、如分数与分数结合、同分母与同分母结合等.例1、计算：－（0.5)－（－3) + 2。

75－(7）变式：计算:二、凑整求和将相加可得整数的数放在一起进行运算(其中包括互为相反数相加)，可以降低解题难度，提高解题效率．例2、计算：19＋299＋3999＋49999．变式：计算：三、变换顺序在有理数的运算中，适当改变运算顺序,有时可以减少运算量,在具体运算过程中，技巧是恰到好处地运用交换率、结合律和分配律等运算律简化运算．例3、计算：[4＋（－）]＋［(－）＋6］．变式：计算:四、逆用运算律在处理有理数的数字运算中，若能根据题目所显示的结构、关系特征,对此加以灵活变形，便可巧妙地逆用分配律，使解题简洁明快．例4、计算：17。

48×37＋174.8×1.9＋8.74×88．变式1：变式2：4726342+4726352-472633×472635—472634×472636五、巧拆项(裂项相消)把一项拆成两项的和或积，使得算式可以消去某些项，使运算简捷．常见的裂项相消：①②③④例5、计算2005×－1001×．例6、变式1：变式2:变式3：计算：六、变量替换(换元法）通过引入新变量转化命题结构，这样不但可以减少运算过程，还有利于寻找接题思路,其中的新变量在解题过程中起到桥梁作用．例7、计算×（0.125＋）．例8、(第8届“希望杯"）计算：变式1：计算（2＋）×（）－（2＋）×（）变式2：计算变式3:计算七、分组搭配（巧添括号）观察所求算式特征，巧妙运用分组搭配处理，可以简化运算．例9、计算:2－3－4＋5＋6－7－8＋9…＋66－67－68＋69．变式：计算：八、倒序相加在处理多项式的加减乘除运算时,常根据所求式结构,采用倒序相加减的方法把问题简化．例10、计算＋（＋）＋(＋＋)＋(＋＋＋)＋…＋（＋＋…＋＋)．变式1：计算变式2：计算1+3+5+7+…+1997+1999的值．九、添数配对(添项法)添数配对实质上也是一种凑整运算例11、计算11＋192＋1993＋19994＋199995＋1999996＋19999997＋199999998＋1999999999．变式:计算十、错位相减对于较复杂的算式直接运算很困难，若能抓住其特征，运用整体运算的思维，创造性地加以解决,就能收到事半功倍的效果．例12、计算1－＋－＋－＋－＋．例13、计算：变式1：计算：变式2：计算:十一、分解相约对于较复的算式直接运算很困难，抓住其特征，分解化为相同的形式，将相同的部分约去。

2
1 1 2 。 12 12
例 6 计算： 2008 200920092009 2009 200820082008 。 解：原式 2008 2009 100010001 2009 2008 100010001
0。
六、转化 将小数与分数或乘法与除法相互转化。 例 7 计算： 42
2 3 0.25 。 3 4
解：原式 28
3 1 4 4
3 28 4 4
28 3 25 。
七、变序 运用运算律改变运算顺序。

1 6
3 4
2009
。
3 2009 1 。 3.75 3 0 ， 1 4
原式 0 1 1 。
妙用字母解题
在我们学习的过程中，常会遇到一些数据大、关系复杂的计算题，令人望而生畏，无从 着手．这时，如果我们仔细观察数据特点，探究数据规律，巧妙利用字母代替数字，将会收 到化繁为简，化难为易的效果． 例 1 计算
-2-
例 8 计算： 12.5 31
4 0.1 5
解：原式 12.5 0.1 31

4 5

1 31 31。
例 9 计算： 1
3 8 8 7 1 。 5 9 15 8
009 9。
四、组合 将分母相同或易于通分的数结合。 例 4 计算： 5
ห้องสมุดไป่ตู้
5 5 11 5 2 10 12 。 24 9 18 6
-1-
解：原式 12

5 5 5 11 5 2 10 6 24 9 18

有理数的运算法则可以通过一些简单的口诀来记忆。

有理数的加法运算法则是“同号相加一边倒；异号相加“大”减 “小”,符号跟着大的跑；绝对值相等“零”正好”。

具体来说，同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两数相加，和为0。

有理数的减法运算法则是“减正等于加负，减负等于加正”。

有理数的乘法运算法则是“符号法则：同号得正，异号负，一项为零积是零”。

合并同类项的法则为“只求系数代数和，字母指数留原样”。

去、添括号的法则为“去括号或添括号，关键要看连接号。

扩号前面是正号，去添括号不变号。

括号前面是负号，去添括号都变号”。

=1.4-51
=-49.6.
11.解:原式=11×36-7×36- 5 ×36+6×(3.93-1.43)
12
9
18
=33-28-10+6×2.5
=-5+15
=10.
12.解:原式= -13 × -42+104+55 +7×36-5×36+3×36
12
7 77 9
6
4
=-13×12+28-30+27
=7.
3.解:原式=
+37 + +47
+
-154 + -194
+
-235 + +225
=(+1)+(-1)+ - 1
25
=- 1 .
25
4.解:原式= 27+ -17 + -2 7 + -3 5 + 53+22
8
8
12
12
55
=1+(-6)+8
=3.
5.解:原式=(-0.25)×(4×4×8)×0.125× -3 =(0.25×4)×(8×0.125)× 3×4 =1×1×3=3.
▶ 技巧六 分解——将一个数拆分成两个或几个数之和的形式,或分解为它的因数相乘的 形式 15.计算:-21+51-41+31.
4 23 6
16.计算:9115×(-8).
16
17.(1)[2019·贺州] 计算 1 + 1 + 1 + 1 +…+ 1 的结果是 ( )
1×3 3×5 5×7 7×9

【例3】 计算： −



解：原式= [ − +

−


−

+ −



+
] + [ − +

−


−

+ .
] + [ − +
] +
= [ − + − + − + ] + [
= + −
= −.

−

+

−

+

−

]
【易错提示】 将一个负的带分数拆分成一个负整数和一个负分数
的和的形式.
方法4 裂项相消法

【例4】 观察下列各式：





=
= − ；……

×


=

×
=−

；

=

×
根据规律解答下列各题:

（1）
×



=__-___.



（2）计算：
+
解：原式= − + −







= − − + −




= − +
= −.
+
−




−

−

.

（5） −




解：原式= −

有理数加减乘除技巧
以下是 6 条关于有理数加减乘除技巧的内容：
1. 嘿，你知道吗？有理数的加法有个超棒的技巧哦！就像搭积木一样，正数和负数凑对。

比如 3+(-2)，那不就是 3 块积木加上拿走 2 块积木，结果就是 1 块积木呀，多简单！见到互为相反数的可别放过，能让计算变得轻松不少呢。

2. 哇塞，有理数的减法，就像是个小魔术呢！把减号变成加号，后面的数变成相反数，就搞定啦！比如说 5-3 可以看成 5+(-3)，是不是一下子就清楚啦？这可真是个神技巧呀，能省好多事儿呢。

3. 听着哦，有理数的乘法，很有规律呀！同号得正，异号得负，这就好像走对路和走错路一样。

比如(-2)×(-3)，那就是都走错路啦，结果反而走对啦，得 6 呢！怎么样，很有趣吧？
4. 哎呀呀，有理数的除法可别愁！除以一个数等于乘以它的倒数，这就跟找后门一样巧妙呢！像6÷(1/2)就等于6×2=12，是不是突然就豁然开朗啦？这技巧不掌握可不行呀。

5. 嘿，注意啦！有理数混合运算的时候可要讲顺序哦！先算乘除后算加减，就跟排队一样，得有秩序呀！像3+2×4，就得先算2×4=8，再加上 3 等于 11 呢，可别搞错顺序哦，不然就全乱套啦！
6. 哇哦，有理数的技巧掌握好，数学世界任你跑！这些小窍门就像是打开数学大门的钥匙，让我们能轻松地在有理数的海洋里畅游。

是不是很厉害？所以呀，还等什么，赶紧把这些技巧用起来吧！我的观点很明确，掌握这些有理数加减乘除技巧，能让我们做题又快又准，简直太棒啦！。

有理数运算常用的技巧理数运算是数学中的基本运算之一，它包括加法、减法、乘法、除法等。

在进行理数运算时，掌握一些常用的技巧能够帮助我们更快更准确地计算，提高计算效率。

本文将介绍一些常用的理数运算技巧。

1.加法与减法的技巧：(1)加法交换律：a+b=b+a，即两个数相加的结果与顺序无关。

(2)减法的加法法则：a-b=a+(-b)，即减法可以转化为加法计算。

(3)加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)，即三个数相加的结果与计算顺序无关。

(4)减法的结合律：(a-b)-c=a-(b+c)，即减法可以按顺序进行多次运算。

2.乘法的技巧：(1)乘法交换律：a*b=b*a，即两个数相乘的结果与顺序无关。

(2)乘法结合律：(a*b)*c=a*(b*c)，即三个数相乘的结果与计算顺序无关。

(3)0的乘法法则：a*0=0，即任何数乘以0都等于0。

(4)乘法的分配律：a*(b+c)=a*b+a*c，即一个数乘以两个数的和等于这个数分别乘以两个数后的和。

3.除法的技巧：(1)除法的定义：a/b=c，即a除以b等于c。

(2)除法的乘法法则：a/b=a*(1/b)，即除法可以转化为乘法计算。

(3)0的除法法则：0/a=0，即0除以任何非零数都等于0。

(4)除法的分配律：(a+b)/c=a/c+b/c，即两个数的和除以一个数等于每个数除以这个数后的和。

4.有理数的比较：(1)相同符号的两个有理数，绝对值越大，值越大。

(2)不同符号的两个有理数，正数大于负数。

(3)当一个有理数与它的绝对值相等的另一个数相比，绝对值大的数更小。

5.分数的运算技巧：(1)相同分母的分数相加减，只需将分子相加减，分母保持不变。

(2)不同分母的分数相加减，需要先找到它们的最小公倍数作为新的分母，然后按比例进行转化。

转化后再按相同分母的分数相加减。

(3)分数相乘，将分子相乘，分母相乘。

(4)分数相除，将除数的倒数作为乘法计算。

以上是常用的理数运算技巧，掌握了这些技巧，我们在进行理数运算时可以更加灵活和高效。

关于有理数运算中的解题技巧有理数是数学中的一类基础数，有着广泛的应用。

在日常生活和学习中，遇到有理数的运算、解题等问题时，往往需要掌握一些基本技巧和方法。

本文将介绍有理数运算中常用的解题技巧。

一、有理数的加减法1. 同符号数相加减同符号的两个有理数相加减，只需将它们的绝对值相加减，并保持原来的符号不变。

举例：3.5+2.1=5.6(−3.5)−(−2.1)=−1.42. 异符号数相加减异符号的两个有理数相加减，先将它们变为同符号数，然后按照同符号数相加减的方法进行计算。

举例：2.5−(−3.2)=2.5+3.2=5.7(−4.5)+7.8=7.8−4.5=3.33. 带分数的加减法若要对带分数进行加减法运算，可以先将其转化为假分数，然后再按照同符号数相加减的方法进行计算。

举例：$$\\frac{3}{4}+\\frac{1}{2}=\\frac{3\\times2}{4\\times2}+\\frac{ 1\\times 4}{2\\times4}=\\frac{6+4}{8}=\\frac{5}{4}$$$$\\frac{1}{2}-\\frac{2}{3}=\\frac{1\\times 3}{2\\times3}-\\frac{2\\times 2}{3\\times2}=\\frac{3-4}{6}=-\\frac{1}{6}$$二、有理数的乘除法1. 乘法有理数的乘法，可以先将它们的绝对值相乘，再确定符号。

•同号相乘得正数；•异号相乘得负数。

举例：$$3.5\\times2.4=8.4$$$$(-3.5)\\times(-2.4)=8.4$$$$(-3.5)\\times2.4=-8.4$$$$3.5\\times(-2.4)=-8.4$$2. 除法有理数的除法，可以先将它们的绝对值相除，再确定符号。

•分子、分母同号，商为正数；•分子、分母异号，商为负数。

同时，当分母为0时，除法无意义，需避免出现这种情况。

掌握了有理数的运算法则，才能更好地进行四则运算。

以下是一些有理数运算的技巧：
1. 乘法分配律的应用：乘法分配律是进行有理数乘法运算的重要法则之一。

对于任意三个有理数a、b、c，有a ×(b + c) = a ×b + a ×c。

这个法则可以用于简化有理数的乘法运算，例如(a + b) ×(a - b) = a^2 - b^2。

2. 绝对值的运算：绝对值是有理数的一个重要概念，它可以用于化简复杂的运算。

例如，|a + b| = |a| + |b|仅当a和b同号时成立，如果a和b异号，则|a + b| < |a| + |b|。

绝对值的性质可以帮助我们解决一些复杂的有理数问题。

3. 分数的运算：分数的运算法则是进行有理数四则运算的重要基础。

在分数运算中，应注意通分的意义和分母的扩大或缩小对分数值的影响。

同时，对于复杂的分数运算，可以通过化简、约分等方法简化问题。

4. 倒数的应用：倒数是有理数的一个重要概念，它可以用于化简有理数的除法运算。

例如，
a /
b = a ×1/b，即除法可以转化为乘法运算。

此外，倒数的性质还可以用于解决一些复杂的有理数问题。

5. 综合运算的顺序：在进行有理数的混合运算时，应按照先乘除后加减、先括号后指数的顺序进行。

注意运算的优先级，合理使用括号，可以避免计算错误。

通过掌握这些有理数运算的技巧，我们可以更好地理解和掌握有理数的四则运算，提高解题效率和准确性。

有理数简便运算与技巧Revised on November 25, 2020有理数简便运算与技巧有理数是代数的入门，又是难点，是中学数学中一切运算的基础。

进行有理数的运算时，若能根据题目的特征，注意采用运算技巧，不但能化繁为简，而且会妙趣横生，新颖别致。

现举例介绍有理数运算中的几个常用技巧。

一、归类将同类数（如正数或负数）归类计算。

例1 计算：()()()231324-+++-++-。

解：原式()()()()312234=+++-+-+-⎡⎤⎣⎦3=-。

二、凑整将和为整数的数结合计算。

例2 计算：36.54228263.46+-+。

解：原式()36.5463.462282=++-40=。

三、对消将相加得零的数结合计算。

例3 计算：()()()5464332+-++++-+-。

解：原式()()()4453263=-+++-+-++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦9=。

四、组合将分母相同或易于通分的数结合。

例4 计算：55115521012249186---+。

解：原式55511125210624918⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 13524=-。

五、分解将一个数分解成两个或几个数之和的形式，或分解为它的因数相乘的形式。

例5 计算：111125434236-+-+。

解：原式()111125434236⎛⎫=-+-++-+-+ ⎪⎝⎭11221212=+=。

例6 计算：20082009200920092009200820082008⨯-⨯。

解：原式2008200910001000120092008100010001=⨯⨯-⨯⨯0=。

六、转化将小数与分数或乘法与除法相互转化。

例7 计算：()23420.2534⎛⎫⎛⎫⨯-+-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

解：原式312844⎛⎫⎛⎫=-+-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭25=-。

七、变序运用运算律改变运算顺序。

例8 计算：()()()412.5310.15⎛⎫-⨯+⨯-⨯- ⎪⎝⎭解：原式412.50.1315⎛⎫=-⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭13131=-⨯=-。

有理数的计算技巧一、凑整法凑整法主要是正确运用有理数运算中的交换律和结合律，使那些能凑成整数的有理数结合在一起，使运算简化。

（1）536+24－（﹣524）－16+（﹣6.8）+1-3.2（2）（﹣0.125）×（﹣53）×（﹣8）×321×（﹣5）（3）﹣161－232＋454－531＋161－3.8（4）19＋299＋3999＋49999（5）2002＋98＋997＋9996＋99995（6）6.6+(-5.2)-(-3.8)+(-2.6)-4.8（7）125×5×32（8）16×75×45（9）1＋2＋3＋4＋...＋59（10）43×（﹣75）×（﹣4）×（﹣51）（11）（﹣98）×12×（﹣811）（12）25×（﹣18）×（﹣4）（13）-3.2+2.37+(-2.8)（14）（﹣0.5）－（﹣341）＋2.75－（721）（15）17.48×37＋174.8×1.9＋8.74×88（16）（﹣12.5）×31×（﹣54）×（﹣0.1）（17）〔4125＋（﹣71）〕＋〔（﹣72）＋6127〕（18）2002＋98＋997＋9996＋99995（19）11＋292＋3993＋49994＋599995＋6999996＋79999997＋899999998（20）123＋234＋345＋456＋567＋678＋789二、分组法分组法是指将满足同样规律的数分成一组，便于运用同一算法进行计算。

1.1－3＋5－7＋9－11＋...＋2009－20112.1＋2－3＋4＋5－6＋7＋8－9＋...＋97＋98－993.1＋2－3－4＋5＋6－7－8＋...＋2005＋2006－2007－2008＋2009＋2010－20114.2－3－4＋5＋6－7－8＋9＋...＋66－67－68＋695.100－99＋98－97＋...＋4－3＋2－16.200＋199－198－197＋...＋4＋3－2－17.（31211—）＋（32212—）＋（33213—）＋...＋（3102110—）8.()()()()()()()++++++的值为_______________.++++-198199197...2-34-1+9.211×555+445×789+555×789+211×44510.算式2011-2009+2007-2005+...-...+3-1的计算结果是______________.11.计算（100＋99－98＋97－96＋...＋3－2＋1）÷5.12.100－99＋98－97＋...＋2－1＋2－3＋4－...－99＋100.13.1000＋999－998－997＋996＋...＋104＋103－102－101＝（）A.225B.900C.1000D.400014.193＋187＋181＋...＋10315.99-97＋95－93＋91-89＋...＋3－116.1000-1-2-3-4-...-10017.﹣1＋3﹣5＋7﹣9＋...﹣97＋9918.1＋2－3＋4＋5－6＋7＋8－9＋...＋601＋602－603＋604＋605－60619.20032002＋...＋20033＋20032＋2003120.1997＋1996－1995－1994＋1993＋1992－1991－1990＋...－2＋121.1999+1998-1997-1996+1995+1994-1993-1992+1991+199022.-1-2-3-4-...-100三、整体设元法整体设元法就是将一串有理数的代数和视为整体，用一个字母来代替，化繁为简。

有理数的加减法法则及技巧有理数是数学中的一类数，包括整数、分数和小数。

有理数的加减法是我们学习数学的基础，掌握了有理数的加减法法则和技巧，可以帮助我们更好地解决实际问题。

下面将介绍有理数的加减法法则及一些实用技巧。

一、有理数的加法法则有理数的加法法则是：同号相加，异号相减，然后取它们的绝对值，符号与原来的符号相同。

例如，对于两个正数相加，只需要将它们的数值相加，然后保持正号即可。

比如：3+5=8。

对于两个负数相加，同样将它们的数值相加，然后保持负号不变。

比如：-3+(-5)=-8。

当然，如果是正数和负数相加，我们可以先取绝对值将问题转化为同号相加，然后再根据原来的符号来确定最终的结果。

比如：-3+5=2。

二、有理数的减法法则有理数的减法是加法的逆运算，因此减法可以转化为加法。

例如，减法表达式：a-b 可以写成 a+(-b) 的形式，然后按照加法法则进行运算即可。

另外，我们还可以运用一个小技巧，在处理减法时，将减法转化为加法，然后利用有理数的加法法则来求解。

如果是 a-b，我们可以将 b 变为一个相反数，即 a+(-b)，接下来按照加法法则进行计算即可。

三、一些实用技巧1. 整数与分数的计算当整数与分数相加或相减时，我们可以先将整数转化为分数的形式，然后按照通分的原则进行运算。

例如，3+1/5 可以先将 3 转化为分数形式，即 3=15/5，然后与 1/5相加，得到 15/5+1/5=16/5。

2. 小数的加减法小数的加法和减法与整数、分数的加法和减法类似，只需要按照数值相加或相减的法则进行计算即可。

需要注意的是，小数的最后一位小数位要对齐，补齐位数后再进行运算。

例如，0.25+0.3 先将小数位补齐，即 0.25+0.30=0.55。

3. 考虑数的范围在进行有理数的加减法运算时，要考虑数值的范围，避免在计算过程中产生数值过大或过小的情况，导致计算错误。

可以根据实际情况选择合适的数值范围或进行适当的运算转化，以便更好地解决问题。

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例２若ｍ＝１÷一西７ ９一 １１ １３一 １５ １７，
＝ ２２２２２２２２０ —４４ ＝２２２２２２１７４．
三 、逆 用 分 配 律 例 ５ 计 算 ９９９９×２２２２＋３３３３ Ｘ３３３４． 解 ：原 式 ＝（３３３３ Ｘ ３）Ｘ ２２２２＋３３３３ Ｘ ３３３４＝３３３３
解 ：原 式 ： （１１＋９）＋ （１９２＋８）＋（１９９３＋７）＋ （１９９９４ ＋ ６） ＋ （１９９９９５ ＋ ５） ＋ （１９９９９９６ ＋４） ＋ （１９９９９９９７＋３）＋（１９９９９９９９８＋２）～（９＋８＋７＋６＋５＋
解 ：原式 ＝（２一 ３）＋‘硼３¨一÷）＋（鲁一÷）＋… ４ ＋３＋２） ＝ （２Ｏ ＋２００ ＋２０００ ＋２００００＋ ２０００００ ＋ ２００００００ ＋
选 择恰 当 的方 法 技 巧 ，探 寻 巧 妙 简 捷 的解 法 ，常 能 突 破 常 规 ，化 繁 为 简 ，化 难 为易 ，令人 耳 目一 新 ，下面举 例 说 明 ．
一 、 拆 项 （拆 数 ）法 ，也 称 裂 项 法
例１计算÷＋ ２＋ｉ３＋ ４＋．．·＋ １０．