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类比归纳专题：有理数加、减、乘、除中的简便运算——灵活变形，举一反三◆类型一 加减混合运算的技巧一、相反数相结合或同号结合1．计算：【方法2】(1)114－(＋6)－358＋(－1.25)－⎝ ⎛⎭⎪⎫－358；(2)2.3＋(－1.7)＋6.2＋(－2.2)－1.1.二、同分母或凑整结合2．计算：【方法2】(1)(－6.82)＋3.78＋(－3.18)－3.78；(2)1918＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－534＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－918－1.25.*三、计算结果成规律的数相结合3．计算1＋2－3－4＋5＋6－7－8＋…＋2013＋2014－2015－2016的结果是( ) A ．0 B ．－1 C ．2016 D ．－20164．★阅读：因为一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，所以，当a≥0时，|a|＝a ；当a<0时，|a|＝－a.根据以上阅读完成下列问题：(1)|3.14－π|＝________；(2)计算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－1＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪13－12＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪14－13＋…＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪19－18＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪110－19.◆类型二 运用分配律解题的技巧一、正用分配律5．计算．(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12－34＋18×(－24)；(2)391314×(－14)．二、逆用分配律6．计算：4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－367－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－367－6×367.三、除法变乘法，再利用分配律7．计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫16－27＋23÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－542.参考答案与解析1．解：(1)原式＝114＋(－1.25)－6＋⎝ ⎛⎭⎪⎫358－358＝－6. (2)原式＝2.3＋6.2－(1.7＋2.2＋1.1)＝8.5－5＝3.5.2．解：(1)原式＝[(－6.82)＋(－3.18)]＋(3.78－3.78)＝－10.(2)原式＝1918＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－918＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－534－1.25＝10－7＝3. 3．D4．解：(1)π－3.14(2)原式＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋18－19＋19－110＝1－110＝910. 5．解：(1)原式＝－12＋18－3＝3.(2)原式＝⎝⎛⎭⎪⎫40－114×(－14)＝40×(－14)－114×(－14)＝－560＋1＝－559. 6．解：原式＝－367×(4－3＋6)＝－27. 7．解：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫16－27＋23×⎝ ⎛⎭⎪⎫－425＝－75＋125－285＝－235.。
有理数简便运算技巧(十五法)案场各岗位服务流程销售大厅服务岗：1、销售大厅服务岗岗位职责：1)为来访客户提供全程的休息区域及饮品;2)保持销售区域台面整洁;3)及时补足销售大厅物资,如糖果或杂志等;4)收集客户意见、建议及现场问题点；2、销售大厅服务岗工作及服务流程阶段工作及服务流程班前阶段1）自检仪容仪表以饱满的精神面貌进入工作区域2）检查使用工具及销售大厅物资情况，异常情况及时登记并报告上级。
班中工作程序服务流程行为规范迎接指引递阅资料上饮品（糕点）添加茶水工作要求1）眼神关注客人，当客人距3米距离时，应主动跨出自己的位置迎宾，然后侯客迎询问客户送客户注意事项15度鞠躬微笑问候：“您好！欢迎光临！”2）在客人前方1-2米距离领位，指引请客人向休息区，在客人入座后问客人对座位是否满意：“您好！请问坐这儿可以吗？”得到同意后为客人拉椅入座“好的，请入座！”3）若客人无置业顾问陪同，可询问：请问您有专属的置业顾问吗？，为客人取阅项目资料，并礼貌的告知请客人稍等，置业顾问会很快过来介绍，同时请置业顾问关注该客人；4）问候的起始语应为“先生-小姐-女士早上好，这里是XX销售中心，这边请”5）问候时间段为8:30-11:30 早上好11:30-14:30 中午好 14:30-18:00下午好6）关注客人物品，如物品较多，则主动询问是否需要帮助（如拾到物品须两名人员在场方能打开，提示客人注意贵重物品）；7）在满座位的情况下，须先向客人致歉，在请其到沙盘区进行观摩稍作等待；阶段工作及服务流程班中工作程序工作要求注意事项饮料（糕点服务）1）在所有饮料（糕点）服务中必须使用托盘；2）所有饮料服务均已“对不起，打扰一下，请问您需要什么饮品”为起始；3）服务方向：从客人的右面服务；4）当客人的饮料杯中只剩三分之一时，必须询问客人是否需要再添一杯，在二次服务中特别注意瓶口绝对不可以与客人使用的杯子接触；5）在客人再次需要饮料时必须更换杯子；下班程序1）检查使用的工具及销售案场物资情况，异常情况及时记录并报告上级领导；2）填写物资领用申请表并整理客户意见；3）参加班后总结会；4）积极配合销售人员的接待工作，如果下班时间已经到，必须待客人离开后下班；1.3.3.3吧台服务岗1.3.3.3.1吧台服务岗岗位职责1）为来访的客人提供全程的休息及饮品服务；2）保持吧台区域的整洁；3)饮品使用的器皿必须消毒；4）及时补充吧台物资；5）收集客户意见、建议及问题点；1.3.3.3.2吧台服务岗工作及流程阶段工作及服务流程班前阶段1）自检仪容仪表以饱满的精神面貌进入工作区域2）检查使用工具及销售大厅物资情况，异常情况及时登记并报告上级。
有理数简便运算与技巧有理数是代数的入门，又是难点，是中学数学中一切运算的基础。
进行有理数的运算时，若能根据题目的特征，注意采用运算技巧，不但能化繁为简，而且会妙趣横生，新颖别致。
现举例介绍有理数运算中的几个常用技巧。
一、归类将同类数（如正数或负数）归类计算。
例1 计算：()()()231324-+++-++-。
解：原式()()()()312234=+++-+-+-⎡⎤⎣⎦ 3=-。
二、凑整将和为整数的数结合计算。
例2 计算：36.54228263.46+-+。
解：原式()36.5463.462282=++-40=。
三、对消将相加得零的数结合计算。
例3 计算：()()()5464332+-++++-+-。
解：原式()()()4453263=-+++-+-++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦9=。
四、组合将分母相同或易于通分的数结合。
例4 计算：55115521012249186---+。
解：原式55511125210624918⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 13524=-。
五、分解将一个数分解成两个或几个数之和的形式，或分解为它的因数相乘的形式。
例5 计算：111125434236-+-+。
解：原式()111125434236⎛⎫=-+-++-+-+ ⎪⎝⎭ 11221212=+=。
例6 计算：20082009200920092009200820082008⨯-⨯。
解：原式2008200910001000120092008100010001=⨯⨯-⨯⨯0=。
六、转化将小数与分数或乘法与除法相互转化。
例7 计算：()23420.2534⎛⎫⎛⎫⨯-+-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
解：原式312844⎛⎫⎛⎫=-+-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭25=-。
七、变序运用运算律改变运算顺序。
例8 计算：()()()412.5310.15⎛⎫-⨯+⨯-⨯- ⎪⎝⎭ 解：原式412.50.1315⎛⎫=-⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭13131=-⨯=-。
有理数简便运算与技巧有理数是代数的xx，又是难点，是中学数学中一切运算的基础。
进行有理数的运算时，若能根据题目的特征，注意采用运算技巧，不但能化繁为简，而且会妙趣横生，新颖别致。
现举例介绍有理数运算中的几个常用技巧。
一、归类将同类数（如正数或负数）归类计算。
例1 计算：。
解：原式()=+-69。
二、凑整将和为整数的数结合计算。
例2 计算：。
解：原式1002282=+-=-12282。
三、对消将相加得零的数结合计算。
例3 计算：。
解：原式009=++。
四、组合将分母相同或易于通分的数结合。
例4 计算：。
解：原式51=-71386。
五、分解将一个数分解成两个或几个数之和的形式，或分解为它的因数相乘的形式。
解：原式3642212121212⎛⎫=+-+-+ ⎪⎝⎭ 。
例6 计算：。
解：原式。
六、转化将小数与分数或乘法与除法相互转化。
例7 计算：。
解：原式()32844⎛⎫=-+-⨯- ⎪⎝⎭ 283=-+。
七、变序运用运算xx 改变运算顺序。
解：原式。
例9 计算：。
解：原式8158158155898158⎛⎫=-⨯-⨯-⨯ ⎪⎝⎭5313⎛⎫=--- ⎪⎝⎭ 。
八、约简将互为倒数的数或有倍数关系的数约简。
例10 计算：。
解：原式。
九、逆用正难则反，逆用运算xx 改变次序。
例11 计算：。
解：原式有理数简便运算与技巧 2181134344=-⨯+⨯-1281433⎛⎫=⨯-+- ⎪⎝⎭。
十、观察根据0、1、在运算中的特性，观察算式特征寻找运算结果为0、1或的部分优先计算。
例12 计算：。
解：，。
原式。
妙用字母解题在我们学习的过程中，常会遇到一些数据大、关系复杂的计算题，令人望而生畏，无从着手．这时，如果我们仔细观察数据特点，探究数据规律，巧妙利用字母代替数字，将会收到化繁为简，化难为易的效果．例1 计算分析：本题显然不能用常规方法直接计算，观察式子的4个小部分，我们发现各部分的相同项很多，如果把相同部分用一个字母来代替，则可使运算大大简化．解：设，．则原式．评注：本题是分数计算题，若直接计算是很繁很难的，本题巧用整体思考，妙用字母代替数就简单多了，这充分说明了用字母表示数的作用．例2 计算．分析：本题若直接进行计算也未尝不可，但通过观察发现：，，之间有着特殊的关系，若设，则，，这样，原式可化为含字母a的代数式，我们只需合并同类项，然后将a的取值代入进行求值即可，计算量明显减小．解：设，则，，则原式可化为，将代入，得原式．评注：通过观察数字特点，运用字母代替数，使计算过程简化，收到了事半功倍的效果．。
有理数运算技巧十五招一、归类将同类数（如正数或负数）归类计算。
例1 计算：()()()231324-+++-++-。
解：原式()()()()312234=+++-+-+-⎡⎤⎣⎦ ()69=+- 3=-。
二、凑整将和为整数的数结合计算。
例2 计算：36.54228263.46+-+。
解：原式()36.5463.462282=++-1002282=+- 12282=- 40=。
三、对消将相加得零的数结合计算。
例3计算：()()()5464332+-++++-+-。
原式()()()4453263=-+++-+-++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 009=++ 9=。
四、组合 将分母相同或易于通分的数结合。
例4 计算：55115521012249186---+。
解：原式55511125210624918⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5171386=-13524=-。
五、分解将一个数分解成两个或几个数之和的形式，或分解为它的因数相乘的形式。
例5 计算：111125434236-+-+。
原式()111125434236⎛⎫=-+-++-+-+ ⎪⎝⎭3642212121212⎛⎫=+-+-+ ⎪⎝⎭11221212=+=。
例6：计算：20082009200920092009200820082008⨯-⨯。
2008200910001000120092008100010001=⨯⨯-⨯⨯ 0=。
六、转化将小数与分数或乘法与除法相互转化。
例7 计算：()23420.2534⎛⎫⎛⎫⨯-+-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
解：原式312844⎛⎫⎛⎫=-+-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()32844⎛⎫=-+-⨯- ⎪⎝⎭283=-+ 25=-七、变序运用运算律改变运算顺序。
例8 计算：()()()412.5310.15⎛⎫-⨯+⨯-⨯- ⎪⎝⎭解：原式412.50.1315⎛⎫=-⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭13131=-⨯=-。
有理数简便运算与技巧有理数是代数的入门，又是难点，是中学数学中一切运算的基础。
进行有理数的运算时，若能根据题目的特征，注意采用运算技巧，不但能化繁为简，而且会妙趣横生，新颖别致。
现举例介绍有理数运算中的几个常用技巧。
一、归类将同类数（如正数或负数）归类计算。
例1 计算：()()()231324-+++-++-。
解：原式()()()()312234=+++-+-+-⎡⎤⎣⎦3=-。
二、凑整将和为整数的数结合计算。
例2 计算：36.54228263.46+-+。
解：原式()36.5463.462282=++-40=。
三、对消将相加得零的数结合计算。
例3 计算：()()()5464332+-++++-+-。
解：原式()()()4453263=-+++-+-++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦9=。
四、组合将分母相同或易于通分的数结合。
例4 计算：55115521012249186---+。
解：原式55511125210624918⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭24五、分解将一个数分解成两个或几个数之和的形式，或分解为它的因数相乘的形式。
例5 计算：111125434236-+-+。
解：原式()111125434236⎛⎫=-+-++-+-+ ⎪⎝⎭ 11221212=+=。
例6 计算：20082009200920092009200820082008⨯-⨯。
解：原式2008200910001000120092008100010001=⨯⨯-⨯⨯0=。
六、转化将小数与分数或乘法与除法相互转化。
例7 计算：()23420.2534⎛⎫⎛⎫⨯-+-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
解：原式312844⎛⎫⎛⎫=-+-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭25=-。
七、变序 运用运算律改变运算顺序。
例8 计算：()()()412.5310.15⎛⎫-⨯+⨯-⨯- ⎪⎝⎭解：原式412.50.1315⎛⎫=-⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭13131=-⨯=-。
有理数的运算法则可以通过一些简单的口诀来记忆。
有理数的加法运算法则是“同号相加一边倒；异号相加“大”减 “小”,符号跟着大的跑；绝对值相等“零”正好”。
具体来说，同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两数相加，和为0。
有理数的减法运算法则是“减正等于加负，减负等于加正”。
有理数的乘法运算法则是“符号法则：同号得正，异号负，一项为零积是零”。
合并同类项的法则为“只求系数代数和，字母指数留原样”。
去、添括号的法则为“去括号或添括号，关键要看连接号。
扩号前面是正号，去添括号不变号。
括号前面是负号，去添括号都变号”。
有理数简便运算技巧（十五法）
有理数是代数的入门，又是难点，是中学数学中一切运算的基础。
进行有理数的运算时，若能根据题目的特征，注意采用运算技巧，不但能化繁为简，而且会妙趣横生，新颖别致。
现举例介绍有理数运算中的几个常用技巧。
一、归类
将同类数（如正数或负数）归类计算。
例1 计算：()()()231324-+++-++-。
解：原式()()()()312234=+++-+-+-⎡⎤⎣⎦ ()69=+- 3=-。
二、凑整
将和为整数的数结合计算。
例2 计算：36.54228263.46+-+。
解：原式()36.5463.462282=++- 1002282=+- 12282=- 40=。
三、对消
将相加得零的数结合计算。
例3
计算：()()()5464332+-++++-+-。
原式()()()4453263=-+++-+-++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 009=++ 9=。
四、组合
将分母相同或易于通分的数结合。
例4 计算：。
解：原式55511125210624918⎛
⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
517
1386=- 13
524
=-。
五、分解
将一个数分解成两个或几个数之和的形式，或分解为它的因数相乘的形式。
例5 计算：1111
2
5434236
-+-+。
原式()111125434236⎛⎫
=-+-++-+-+ ⎪⎝⎭
3642212121212⎛⎫
=+-+-+ ⎪⎝
⎭ 11
221212
=+
=
六、转化
将小数与分数或乘法与除法相互转化。
例
6：计算：例
8 计算：
()()()412.5310.15⎛⎫
-⨯+⨯-⨯- ⎪⎝⎭
解：原式412.50.1315⎛⎫
=-⨯
⨯⨯ ⎪⎝⎭
13131=-⨯=-。
11221212
=+
= 七、变序
运用运算律改变运算顺序。
例8 计算：()()()412.5310.15⎛⎫
-⨯+⨯-⨯- ⎪⎝⎭
解：原式412.50.1315⎛⎫
=-⨯
⨯⨯ ⎪⎝⎭。
。
13131=-⨯=-
八、约简
将互为倒数的数或有倍数关系的数约简。
解：原式88815
59158⎛⎫=---⨯
⎪⎝
⎭ 8158158155898158⎛⎫
=-⨯
-⨯-⨯ ⎪⎝⎭
5313⎛⎫=--- ⎪⎝
⎭
13
=-。
九、逆用
正难则反，逆用运算律改变次序。
例11 计算：
2283210.2555214⎛⎫⎛⎫
÷--⨯-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
解：原式258715122144
⎛⎫⎛⎫=
⨯--⨯-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 21811
34344
=-⨯+⨯- 1281433⎛⎫=
⨯-+- ⎪⎝⎭
14
=。
十、观察
根据0、1、1-在运算中的特性，观察算式特征寻找运算结果为0、1或1-的部分优先计算。
例12 计算：()()2009
1312009 3.753164⎛⎫⎛⎫-÷-⨯-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
解：
33.75304
-=，()2009
11-=-。
∴原式()011=+-=-。
十一、变量替换
通过引入新变量转化命题结构，这样不但可以减少运算过程，还有利于寻找接题思路，其中的新变量在解题过程中起到桥梁作用．
例6 计算512769)323417(125.0323417-++⨯+×(0.125＋3
2
3
417512769+-)． 解：设a =323417+，b = 0.125，c =51
2769-，则
512769)323417(125.0323417-++⨯+×(0.125＋32
3
417512769+-) =
c ab a +×(b ＋a
c ) =
c ab a
+×a
c ab + = 1．
评析：此题横看纵看都显得比较复杂，但若仔细观察，整个式子可分为三个部分：3
2
3417+，0.125，5
1
2769
-，因此，采用变量替换就大大减少了计算量． 十二、倒序相加
在处理多项式的加减乘除运算时，常根据所求式结构，采用倒序相加减的方法把问题简化．
例8 计算
21＋(31＋32)＋(41＋42＋43)＋(51＋52＋53＋54)＋…＋(601＋60
2
＋…＋
6058＋60
59
)．① 解：把①式括号内倒序后，得：
21＋(32＋31)＋(43＋42＋41)＋(54＋53＋52＋51)＋…＋(6059＋6058＋…＋602＋601)， ②
①＋②得：1＋2＋3＋4＋…＋58＋59 = 1770，
∴21＋(31＋32)＋(41＋42＋43)＋(51＋52＋53＋54)＋…＋(601＋602＋…＋6058＋6059) =
2
1
(1770) = 885． 评析：显然，此类问题是不能“硬算”的，倒序相加可提高运算速度，降低复杂程度． 十三、添数配对
例9 计算11＋192＋1993＋19994＋199995＋1999996＋19999997＋199999998＋
1999999999．
解：添上9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1，依次与各数配对相加，得：
11＋192＋1993＋19994＋199995＋1999996＋19999997＋199999998＋1999999999． = 20＋200＋2×103＋2×104＋…＋2×109－(9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1) = 2222222220－45 = 2222222175．
评析：添数配对实质上也是一种凑整运算． 十四、整体换元
对于较复杂的算式直接运算很困难，若能抓住其特征，运用整体运算的思维，创造性地加以解决，就能收到事半功倍的效果．
例10 计算1－21＋41－81＋161－321＋641－1281＋2561． 解；设1－21＋41－81＋161－321＋641－1281＋2561
= x ，①
则①×(－21)，得－21＋41－81＋161－321＋641－1281＋2561－5121=－2
1
x ， ②
① －②，得1＋5121=23x ，解得x =256
171
，故
1－21＋41－81＋161－321＋641－1281＋2561=256171．
十五、分组搭配
观察所求算式特征，巧妙运用分组搭配处理，可以简化运算．
例7 计算：2－3－4＋5＋6－7－8＋9…＋66－67－68＋69．
解：2－3－4＋5＋6－7－8＋9…＋66－67－68＋69
= (2－3－4＋5)＋(6－7－8＋9)＋…＋(66－67－68＋69)
= 0＋0＋0＋…＋0
= 0．
评析：这种分组运算的过程，实质上是巧妙地添括号或去括号问题．。
