最新人教B版高中数学必修一学案：2.1.4 函数的奇偶性

2.1.4.函数的奇偶性[学习目标].1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.2.掌握判断函数奇偶性的方法，了解奇偶性与函数图象对称性之间的关系.3.会利用函数的奇偶性解决简单问题.[知识链接]1.关于y 轴对称的点的坐标，横坐标互为相反数，纵坐标相等；关于原点对称的点的坐标，横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数.2.如图所示，它们分别是哪种对称的图形？答案.第一个既是轴对称图形、又是中心对称图形，第二个和第三个图形为轴对称图形. 3. 观察函数f (x )＝x 和f (x )＝1x的图象(如图)，你能发现两个函数图象有什么共同特征吗？答案.图象关于原点对称. [预习导引]1.函数奇偶性的定义(1)奇函数：设函数y ＝f (x )的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有－x ∈D ，且f (－x )＝－f (x )，则这个函数叫做奇函数.(2)设函数y ＝g (x )的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有－x ∈D ，且g (－x )＝g (x )，则这个函数叫做偶函数. 2.奇、偶函数图象的对称性(1)奇函数的图象关于原点成中心对称图形，反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.(2)偶函数的图象是以y 轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于y 轴对称，则这个函数是偶函数.解决学生疑难点.......................... .......................... ..........................要点一.判断函数的奇偶性 例1.判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝2－|x |；(2)f (x )＝x 2－1＋1－x 2； (3)f (x )＝xx －1；(4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x >0，－x ＋1，x <0.解.(1)∵函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称，又f (－x )＝2－|－x |＝2－|x |＝f (x )， ∴f (x )为偶函数.(2)∵函数f (x )的定义域为{－1,1}，关于原点对称，且f (x )＝0，又∵f (－x )＝－f (x )，f (－x )＝f (x )，∴f (x )既是奇函数又是偶函数.(3)∵函数f (x )的定义域为{x |x ≠1}，不关于原点对称， ∴f (x )是非奇非偶函数.(4)f (x )的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称. 当x >0时，－x <0，f (－x )＝1－(－x )＝1＋x ＝f (x )； 当x <0时，－x >0，f (－x )＝1＋(－x )＝1－x ＝f (x ).综上可知，对于x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f (－x )＝f (x )，f (x )为偶函数.规律方法.判断函数奇偶性的方法：(1)定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断f (－x )是否等于±f (x )，或判断f (－x )±f (x )是否等于0，从而确定奇偶性.(2)图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y 轴对称，则函数为偶函数.(3)分段函数的奇偶性应分段说明f (－x )与f (x )的关系，只有当对称区间上的对应关系满足同样的关系时，才能判定函数的奇偶性. 跟踪演练1.(1)下列函数为奇函数的是(..) A.y ＝|x |B.y ＝3－xC.y＝1x3 D.y＝－x2＋14(2)若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，则g(x)＝ax3＋bx2＋cx是(..)A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数答案.(1)C.(2)A解析.(1)A、D两项，函数均为偶函数，B项中函数为非奇非偶函数，而C项中函数为奇函数.(2)∵f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，得b＝0.∴g(x)＝ax3＋cx.∴g(－x)＝a(－x)3＋c(－x)＝－g(x)，∴g(x)为奇函数.要点二.利用函数奇偶性研究函数的图象例2.已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如下图所示，则使函数值y<0的x的取值集合为________.答案.(－2,0)∪(2,5)解析.因为函数f(x)是奇函数，所以y＝f(x)在[－5,5]上的图象关于原点对称.由y＝f(x)在[0,5]上的图象，可知它在[－5,0]上的图象，如图所示.由图象知，使函数值y<0的x的取值集合为(－2,0)∪(2,5).规律方法.给出奇函数或偶函数在y轴一侧的图象，根据奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，可以作出函数在y轴另一侧的图象.作对称图象时，可以先从点的对称出发，点(x0，y0)关于原点的对称点为(－x0，－y0)，关于y轴的对称点为(－x0，y0).跟踪演练2.设偶函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)＜0的解集是________.答案. {x|－5≤x＜－2，或2＜x≤5}解析.由于偶函数的图象关于y轴对称，所以可根据对称性确定不等式f(x)＜0的解.∵当x ∈[0,5]时，f (x )＜0的解为2＜x ≤5， 所以当x ∈[－5,0]时，f (x )＜0的解为－5≤x ＜－2. ∴f (x )＜0的解是－5≤x ＜－2或2＜x ≤5. 要点三.利用函数的奇偶性求解析式例3.已知函数f (x )(x ∈R )是奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝2x －1，求函数f (x )的解析式. 解.当x ＜0，－x ＞0， ∴f (－x )＝2(－x )－1＝－2x －1. 又∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )＝2x ＋1.又f (x )(x ∈R )是奇函数， ∴f (－0)＝－f (0)，即f (0)＝0.∴所求函数的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ＞0，0，x ＝0，2x ＋1，x ＜0.规律方法.1.本题易忽视定义域为R 的条件，漏掉x ＝0的情形.若函数f (x )的定义域内含0且为奇函数，则必有f (0)＝0.2.利用奇偶性求解析式的思路：(1)在待求解析式的区间内设x ，则－x 在已知解析式的区间内；(2)利用已知区间的解析式进行代入；(3)利用f (x )的奇偶性，求待求区间上的解析式. 跟踪演练3.(1)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，x ≥0时，f (x )＝x 2－2x ，则函数f (x )在R 上的解析式是(..) A.f (x )＝－x (x －2) B.f (x )＝x (|x |－2) C.f (x )＝|x |(x －2) D.f (x )＝|x |(|x |－2)(2)已知函数f (x )为奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝x 2＋1x ，则f (－1)等于(..)A.－2B.0C.1D.2 答案.(1)D.(2)A解析.(1)∵f (x )在R 上是偶函数，且x ≥0时，f (x )＝x 2－2x ， ∴当x ＜0时，－x ＞0，f (－x )＝(－x )2＋2x ＝x 2＋2x ， 则f (x )＝f (－x )＝x 2＋2x ＝－x (－x －2). 又当x ≥0时，f (x )＝x 2－2x ＝x (x －2)， 因此f (x )＝|x |(|x |－2).(2)当x ＞0时，f (x )＝x 2＋1x ，∴f (1)＝12＋11＝2.∵f (x )为奇函数，∴f (－1)＝－f (1)＝－2.1.函数f (x )＝x 2(x ＜0)的奇偶性为(..) A.奇函数 B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数 答案.D解析.∵函数f (x )＝x 2(x ＜0)的定义域为(－∞，0)，不关于原点对称，∴函数f (x )＝x 2(x ＜0)为非奇非偶函数.2.下列函数中，既是奇函数又是增函数的为(..) A.y ＝x ＋1 B.y ＝－x 3 C.y ＝1xD.y ＝x |x |答案.D解析.由函数的奇偶性排除A ，由函数的单调性排除B 、C ，由y ＝x |x |的图象可知当x >0时此函数为增函数，又该函数为奇函数.3.函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝－x ＋1，则当x ＜0时，f (x )的解析式为(..)A.f (x )＝－x ＋1B.f (x )＝－x －1C.f (x )＝x ＋1D.f (x )＝x －1答案.B解析.设x ＜0，则－x ＞0.∴f (－x )＝x ＋1，又函数f (x )是奇函数.∴f (－x )＝－f (x )＝x ＋1，∴f (x )＝－x －1(x ＜0).4.已知函数y ＝f (x )为偶函数，其图象与x 轴有四个交点，则方程f (x )＝0的所有实根之和是(..) A.0 B.1 C.2 D.4 答案.A解析.由偶函数的图象关于y 轴对称，所以偶函数的图象与x 轴的交点也关于y 轴对称，因此，四个交点中，有两个在x 轴的负半轴上，另两个在x 轴的正半轴上，所以四个实根的和为0.5.若f (x )＝(x ＋a )(x －4)为偶函数，则实数a ＝________. 答案.4解析.由f (x )＝(x ＋a )(x －4)得f (x )＝x 2＋(a －4)x －4a ，若f (x )为偶函数，则a －4＝0，即a ＝4.1.定义域在数轴上关于原点对称是函数f (x )为奇函数或偶函数的一个条件，f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )是定义域上的恒等式.2.奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据.为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：f (－x )＝±f (x )⇔f (－x )∓f (x )＝0⇔f (－x )f (x )＝±1(f (x )≠0).3.(1)若f (x )＝0且f (x )的定义域关于原点对称，则f (x )既是奇函数又是偶函数.(2)奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性；偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性.。