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2015八校联考 江西省八所重点中学2015届高三4月联考数学(文)试题 Word版含答案

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江西省八所重点中学2015届高三联考数学（文科）试卷命题：宜春中学 钟文峰 九江一中 梅宋军一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U R =，集合}{14A x x =<<，集合}{25B x x =≤<，则=)(B C A U （ ） A ．{}21x ＜x ≤ B ．{}2x ＜x C ．{}5≥x x D ．{}21＜x＜x 2．若复数z 满足i z i 34)43(+=-，则z 的虚部为（ ） A ．i 54 B ．54C ．i 4D ．43．已知O 为坐标原点，点M 坐标为(－2，1)，在平面区域x 0x +y 2y 0≥⎧⎪≤⎨⎪≥⎩上取一点N ，则使MN 取得最小值时，点N 的坐标是( )A.(0，0)B. (0，1)C. (0，2)D. (2，0) 4．已知抛物线)0(2a ＞ax y =的焦点到准线的距离为2，则a =（ ） A ．4 B ．2 C ．41 D ．21 5．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()3x f x m =+（m 为常数），则()3log 5f -的值为（ ）A.4B.4-C.6D.6-6．正项等比数列{}n a 满足：3212a a a =+，若存在,m n a a ，使得2116m n a a a ⋅=，则19m n+的最小值为( )A.2B.16C.83 D.327．已知函数sin cos sin cos ()2x x x xf x ++-=，则下列结论正确的是（ ）A.()f x 是奇函数B.()f x 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，上递增 C.()f x 是周期函数 D.()f x 的值域为[]1,1- 8．执行如图所示的程序框图，则输出的k 的值是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．69．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A. 643B. 163C. 803D.433 10．已知F 1、F 2分别是双曲线22221x y a b -=的左、右焦点,P 为双曲线右支上的任意一点且212||8||PF a PF =，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A. (1,2]B. [2 +∞)C. (1,3]D. [3，+∞)11. 已知PC 为球O 的直径，,A B 是球面上两点，且6,4AB APC BPC π=∠=∠=若球O 的表面积为64π，则棱锥A PBC -的体积为（ ）A．B．CD ．521212．已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是（ ）A. ∞（-，0）B. 12（0，） C. （0，1） D.+∞（0，）二. 填空题：本大题共4小题，每小题5分.13. 已知实数[2,5]a ∈-，则}{2230a x R x x ∈∈--≤的概率为 .14. 已知函数⎩⎨⎧<≥+=,0,10,1)(2x x x x f 则满足不等式)2()1(2x f x f >-的x 的取值范围是 .15.在数列{}n a 中，已知111,(1)cos(1)n n n a a a n π+=+-=+，记n S 为数列{}n a 的前n 项和， 则2015S = .16．在ABC ∆中，(2,3),(1,2)AB AC ==，则ABC ∆的面积为 . 三. 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，角α的始边为x 轴的非负半轴，终边为射线:(0).l y x =≥(1)求cos()6πα+的值；(2)若点,P Q 分别是角α始边、终边上的动点，且6PQ =，求POQ ∆面积最大时，点,P Q 的坐标．18.（本小题满分12分）2014年“双节”期间，高速公路车辆较多。

某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/t ）分成六段：[60,65),[65,70),[70,75),[75,80),[80,85),[85,90)后得到如图的频率分布直方图．（1）求这40辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值.(2)若从车速在[60,70)的车辆中任抽取2辆，求车速在[65,70)的车辆恰有一辆的概率.19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是正方形，SA ⊥底面ABCD ，2SA AB ==, 点M 是SD 的中点，AN SC ⊥，且交SC 于点N ．（1）求证：直线SC ⊥平面AMN ； （2）求点N 到平面ACM 的距离.20.（本小题满分12分）动圆1C 过点()10，，且与直线1x =-相切，圆心为M 。

(1) 求M 的轨迹方程，(2) 直线l 与圆2C ：222(0)x y r r +=>相切，并与M 的轨迹相交于,A B 两点，以AB 为直径的圆恒过圆2C 的圆心，当r 值最大时，求直线l 的方程.21．（本小题满分12分）设函数2(1)()xa x ax af x e --+=(1) 当1a =时，求曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程； (2) 当0x ≥时，()f x 的最大值为a ，求a 的取值范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分： 22．（本小题满分10分）(选修4-1几何证明选讲)已知ABC ∆中，AB AC =，D ABC ∆为外接圆劣弧AC 上的点（不与点A C 、重合）,延长BD 至E ,延长AD 交BC 的延长线于F ． （1）求证：CDF EDF ∠=∠；（2）求证：AB AC DF AD FC FB ⋅⋅=⋅⋅．23．（本小题满分10分）(选修4-4：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为()2cos sin ，为参数x y ααα=⎧⎨=⎩．以直角坐标系原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l（1）求直线l 的直角坐标方程；（2）点P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最大值．24．（本小题满分10分）(选修4－5：不等式选讲)已知函数a a x x f +-=2)(（其中a 为实常数）．(1)若集合{}43x x -≤≤是关于x 的不等式6)(≤x f 的解集的子集，求实数a 的值范围； (2)在(1)的条件下，若存在实数n 使)()(n f m n f --≤成立，求实数m 的取值范围．江西省八所重点中学2015届高三联考数学（文科）参考答案一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选项 D B BCBCCCCCAB二．填空题 13.4714. (11)- 15.1006-16. 12- 三．解答题17.解：(1)由射线l的方程为y =，可得31cos ,322sin ==αα， ……2分 故cos()6πα+＝1132326⨯-=. ……………5分 (2)设()()()0,022,,0,>>b a b b Q a P .在POQ ∆中因为222()836PQ a b b =-+=， ……………………………………6分 即223692624a b ab ab ab ab =+-≥-=，所以ab ≤9 …………………………8分POQ S ∆∴=≤b a 3=，即a b ==. …………10分所以POQ ∆面积最大时，点,P Q的坐标分别为P Q ．…………12分 18.解：（1）众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估计值等于77.5 …… 2分设图中虚线所对应的车速为x ，则中位数的估计值为：0.0150.0250.0450.06(75)0.5x ⨯+⨯+⨯+⨯-=，解得77.5x =即中位数的估计值为77.5 ………5分 （2）从图中可知，车速在[60,65)的车辆数为：10.015402m =⨯⨯=（辆），………6分车速在[65,70)的车辆数为：20.025404m =⨯⨯=（辆） ………7分设车速在[60,65)的车辆设为,a b ，车速在[65,70)的车辆设为,,,c d e f ，则所有基本事件有：(,),(,),(,),(,),(,)(,),(,),(,),(,)(,),(,),(,)(,),(,)(,)a b a c a d a e a f b c b d b e b f c d c e c f d e d f e f 共15种 ……………… 10分其中车速在[65,70)的车辆恰有一辆的事件有：(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)a c a d a e a f b c b d b e b f 共8种 ………11分所以，车速在[65,70)的车辆恰有一辆的概率为815P =. ………………12分 19.（1）证明：由条件有,,DC SA DC DA ⊥⊥∴ DC ⊥平面SAD ，∴.AM DC ⊥ 又∵ ,SA AD M =是SD 的中点，∴.AM SD ⊥∴AM ⊥平面.SDC ∴.SC AM ⊥由已知SC AN ⊥，∴SC ⊥平面.AMN 6分 （2）942222131322121212=⨯⨯⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯===----ACD S ACD N ANG D ANGM V V V V ………8分MA AC MC ==12AMC S ∆== ………10分94331=⨯=-h V ACM N934=h ∴点N 到平面ACM 的距离为934. ………12分 20.解：（1）易知M 的轨迹为顶点在原点，焦点为()10，的抛物线，所以M 的轨迹方程为24y x =. ………4分 （2）设直线l 方程为my x t =+r =联立224404my x t y my t y x=+⎧⇒-+=⎨=⎩ 2=16160m t ∆->得2m t >设1122(,),(,)A x y B x y 则121244y y m y y t+=⎧⎨⋅=⎩………7分1212()()x x my t my t ⋅=--221212()m y y mt y y t =-++22244m t m t t =-+2t =以AB 为直径的圆恒过圆2C 的圆心，∴ OA OB ⊥12120x x y y ⋅+⋅=240t t +=-40()t t ==或舍去………10分r =当0m =时max 4r =此时直线l 的方程为4x = ………12分 21.解：（1）当1a =时，1()xx f x e -+=(1)0f = -2()x x f x e '= 1(1)-f e'=所以曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为+10x ey -= ………4分(2) 2(1)(2)2()x a x a x a f x e -+--'=[](1)(2)xa x a x e-+-= 令()0f x '=得1(1)1ax a a=≠- 22x = ………6分 ① 当1a ≥时，()f x 在[]0,2递减，在[)2,+∞递增当x →+∞时，()0f x →max ()(0)f x f a ==② 当21a a >-即213a <<时，()f x 在[]0,2和,1a a ⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭递减，()f x 在2,1a a ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦递增 1()1a aa a f a ae -=≤-解得01a ≤≤,所以213a <<③ 当21a a =-即23a =时，()f x 在[)0,+∞递减,max ()(0)f x f a == ④ 当021a a <<-即203a <<时，()f x 在0,1a a ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦和[)2,+∞递减，在,21a a ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦递增， 245(2)a f a e -=≤解得245a e ≥+,所以24253a e ≤<+ ⑤ 当01aa≤-即0a ≤时，()f x 在[]0,2递增，()(0)f x f a ≥=不合题意 ………11分 综上所述：a 的取值范围为24,5e ⎡⎫+∞⎪⎢+⎣⎭………12分 第（2）问另解：(0)f a =()f x ∴当0x ≥时的最大值为a ，等价于()f x a ≤对于0x ≥恒成立，可化为221x x a e x x ≥++-对于0x ≥恒成立 ………7分 令22()1x x g x e x x =++-，则/22(2)(1)()(1)x x x x e g x e x x --=++- 于是()g x 在[0,2]上递增，在(2,)+∞上递减，max 24()(2)5g x g e ∴==+ a ∴的取值范围是24.5a e ≥+………12分22．解：(1)证明：A 、B 、C 、D 四点共圆 ∴CDF ABC ∠=∠．………………2分 AB AC =ABC ACB ∴∠=∠ 且ADB ACB ∠=∠,ABC ACB ADB EDF ∠=∠=∠=∠…………4分 ∴CDF EDF ∠=∠．………………5分(2)由(1)得ADB ABF ∠=∠,又BAD FAB ∠=∠, 所以BAD ∆与FAB ∆相似, AB AD AF AB∴=2AB AD AF ∴=⋅，…………7分 又AB AC =, A B A C A D∴⋅=⋅，∴AB AC DF AD AF DF ⋅⋅=⋅⋅ 根据割线定理得DF AF FC FB ⋅=⋅，……………9分 AB AC DF AD FC FB ⋅⋅=⋅⋅．……………10分23．解：（Ⅰ）sin()23πρθ-=∴直线l ……………………………………………4分（Ⅱ）设点P 的坐标为()2cos sin ，αα，得P 到直线l ………………………………………6分当()sin 1αϕ+=时， …………………………………………10分. 24．解：（Ⅰ）由26x a a -+≤得26x a a -≤-，∴626a x a a -≤-≤-， 即33a x -≤≤ ………3分 ∴34a -≤-，1a ∴≤-。

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2015届高考江西九校联合体数学(文)答案

2015届高考江西九校联合体数学(文)答案

数学（文）答案1江西省重点中学协作体2015届高三第二次联考2015年八校联考数 学(文科) 答 案一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符13.20x y --= 14. 1e <<15.8516. 三、解答题:本大题共5小题，共60分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分12分）解：(1)由点1(,)n n b b +在直线2y x =上，有12n nb b +=，所以数列{}n b 是以2为首项，2为公比的等比数列，即数列{}n b 的通项公式为2nn b =， 3分又112a b ==，224a b ==，则21422d a a =-=-=，所以数列{}n a 是以2为首项，2为公差的等差数列，即数列{}n a 的通项公式为2n a n =； 6分(2) n n n a n c b n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数，为偶数，所以)()(24212312n n n b b b a a a S +⋯++++⋯++=- 41)41(42)242(--+-+=n n n)14(3422-+=n n 12分18. （本小题满分12分）解：(1)由0.10.10.140.451a ++++=，所以0.21a =， 2分平均承受能力30.140.1450.4560.2170.1 5.07x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 即城市居民的平均承受能力大约为5070元； 5分(2)用分层抽样的方法在这两组中抽5人, 即[3.5,4.5)组中抽2人与[5.5,6.5)抽3人, 设[3.5,4.5)组中两人为12,A A ,[5.5,6.5)组中三人为122,,B B B ,从这5人中随机取2人,有12A A ,11A B ,12A B ,13A B ,21A B ,22A B ,23A B ,12B B ,13B B ,23B B 共10中,符合两人承受能力不同的有11A B ,12A B ,13AB ,21A B ,22A B ,23A B 共6中,所以所求概率为63105P ==. 12分19. （本小题满分12分） (1) 证明：过M 作MN ∥'C D ,交BD 于N ,连接AN ， 于是12DN NB =，又4AB AC ==，23BAC π∠=，D 为BC的中点，所以NB =，30B∠=︒，由2222cos30AN AB NB AB NB =+-⋅⋅︒，得到AN =,所以120ANB ∠=︒，得AN ∥ED ,所以面AMN ∥面'C DE ,即AM ∥面'C DE ；（注：可以在翻折前的图形中证明AN ∥ED ） 6分(2) Q 1'2C M MB =，'1122C AMD B AMD M ABD V V V ---∴==，又'C E ⊥面ABD ，所以M 到平面ABD 的距离2h =，ABD S ∆=123M ABD V -=⨯⨯='C AMD -的体积为. 12分 20. （本小题满分12分） 解：（1）由题设知，2A ，1F由1120OF AF +=u u u r u u u r r 2=解得62=a所以椭圆M 的方程为22162x y += 4分 (2)设圆()12:22=-+y x N 的圆心为N ， 则()()PE PF NE NP NF NP ⋅=-⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ()()NF NPNF NP =--⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r2221NP NF NP =-=-u u u r u u u r u u u r从而求⋅的最大值转化为求2的最大值． 因为P 是椭圆M 上的任意一点，设00(,)P x y所以1262020=+y x ，即202036y x -=．因为点()2,0N ，所以()()121222020202++-=-+=y y x因为0[y ∈，所以当10-=y 时，2NP 取得最大值12 所以⋅的最大值为11 12分 21．（本小题满分12分）解：(1)由已知得0,1x x >≠．2分 ABC DE图1 图2 AB'CEDMN数学（文）答案2分(2)[]221,,e e x x ∈时，有f x f '≤()(．分分分时，'()0f x >，()f x 为增函数；OF AB OD AC 2,2==，∴DF DM OF OD DM AB AC DM AB DM AC DM ⋅=+⋅=+⋅=⋅+⋅2)22()(.∵DE 是圆O 的切线，DF 是圆O 的割线，∴DF DM DE ⋅=2，∴AB DM AC DM BC DE ⋅+⋅=⋅ 10分23.（本小题满分10分）解：(1)由θρcos 10=得01022=-+x y x ，即25)5(22=+-y x . 5分(2)将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得25)226()223(22=++--t t . 即020292=++t t ，由于082204)29(2>=⨯-=∆，可设21,t t 是上述方程的两个实根.所以⎩⎨⎧=⋅-=+20292121t t t t ，又直线l 过点)6,2(P ，可得：29)()()(||||||||212121=+-=-+-=+=+t t t t t t PB PA . 10分。

江西省八所重点中学2015届高三4月联考文综地理试题 Word版含解析

江西省八所重点中学2015届高三4月联考文综地理试题 Word版含解析

江西省八所重点中学2015届高三4月联考地理试题考试时间：150分钟满分；300分本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

满分300分，考试时间150 分钟。

注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并认真填涂准考证号。

2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。

答在试卷上的答案无效。

第Ⅰ卷（选择题共140分）一、本卷共35个小题，每小题4分，共140分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

甲乙两城镇位于成都附近，8月7日有一辆旅游大巴从乙城镇附近上高速开往甲城镇方向。

读等高线地形图，完成1—3题。

1.北京时间12:10，旅游大巴上的游客看到阳光从车的左前方射入车内，判断此时旅游车大致行驶的路段为（）A．1路段B．2路段C．3路段D．4路段【答案】A【考点】本题旨在考查学生地方时的换算、太阳的周日视运动等相关知识，考查学生运用已知知识分析地理问题的能力。

【解析】成都的经度约为105°E，甲乙两城镇位于成都附近，当北京时间为12:10时，甲乙两城镇的地方时约为11：10，此时太阳光的方向大致在东南偏南的位置，结合题干中旅游大巴上的游客看到阳光从车的左前方射入车内，只有当旅游车大致往南行驶时，阳光的方向才符合，因此为路段1，故A正确。

2．图中M处地形的海拔最高点相对于乙城镇的高度可能为（）A．158米B．420米C．289米D．535米【答案】B【考点】本题旨在考查学生闭合等值线的判读方法和相对高差的计算公式等相关知识。

【解析】M处为陡崖，其海拔最高点为400米，根据闭合等值线的判读方法可知，400米等高线对面的那条等高线的海拔为500米，在400米等高线与乙城镇之间，经过了4条等高线，结合相对高差的计算公式:（n-1）×d≤H﹤（n+1）×d , H的范围为[300，500），故B正确。

江西省八市重点中学5月第二次高考联合模拟考试文科数学参考答案.docx

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E MO DCABP江西省八校2015届高三第二次联考试卷文科数学参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B A A D C D D C C D C A 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分，满分20分．13、23； 14、2015； 15、(]0,2； 16、3π. 三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤. 17．解析：（Ⅰ）条件可化为： (2)cos cos a c B b C -=． 根据正弦定理有(2sin sin )cos sin cos A C B B C -=． ∴2sin cos sin()A B C B =+，即2sin cos sin A B A =．因为sin 0A >，所以2cos 2B =，即 4B π=． …………………6分 （Ⅱ）因为||6BA BC -=．所以||6CA =，即26b =， 根据余弦定理 2222c o s b a c a c B=+-，可得2262a c ac =+-． 有基本不等式可知226222(22)a c ac ac ac ac =+-≥-=-．即3(22)ac ≤+，故△ABC 的面积123(21)sin 242S ac B ac +==≤．即当a =c=236+时，△ABC 的面积的最大值为2)12(3+．………………… 12分 18、解析：（Ⅰ）从被检测的5辆甲类品牌中任取2辆，共有10种不同的2CO 排放量结果：(80,110),(80,120),(80,140),(80,150),(110,120),(110,140),(110,150),(120,140)，(120,150),(140,150) 设“至少一辆不符合2CO 排放量”为事件A ，则A 包含以下7种结果：(80,140),(80,150),(110,140),(110,150),(120,140),(120,150),(140,150)…………5分 所以7()0.710P A ==. …………………6分 （Ⅱ）因为801201101401501205x ++++==甲，所以120,220x y x x ==+=乙甲. …………………7分222222(80120)(110120)(120120)(140120)(150120)30005S =-+-+-+-+-=甲222222(100120)(120120)(120)(120)5(160120)S x y =-+-+-+-+-乙222000(120)(120)x y =+-+-……9分因为220x y +=，所以2222000(120)05(10)S x x =+-+-乙由乙类品牌的车2CO 的排放量稳定性比甲类品牌的车稳定性要好，得2255S S <乙甲………10分即222000(120)(100)3000x x +-+-<，所以2220117000x x -+<，解得90130x << 所以x 的取值范围为(90,130).…………………12分18、解析： （Ⅰ） PA ABCD PA BD BD ABCD BD PAC ABCD AC BD BD PBD ⎫⎫⊥⎫⇒⊥⎪⎬⎪⊂⇒⊥⎬⎪⎭⎬⎪⊥⎭⎪⎪ ⊂⎭平面平面平面平面在菱形中，有PBD PAC ⇒⊥平面平面 （Ⅱ）方法一：因为M POD P OMD V V --=，在Rt OMD ∆中，有2113324216OMD S a a a ∆=⨯⨯=．在Rt POD ∆中，有222231131,24224POD OD a PO b a S a b a ∆==+⇒=⨯⨯+．所以2222223(3)1113434344316a b a b a b a b +⨯⨯=⨯⨯⇒=，即:2:3a b =． 方法二：过点M 作ME PO ⊥交其延长线于点E 如图所示，由（1）可知，BD PAC BD ME ME POD ME PO ⊥⇒⊥⎫⇒⊥⎬⊥⎭平面平面．所以ME 的长度为点M 到平面POD 的距离，即14ME b =．因为Rt POA Rt OME ∆∆∽，有221211141616a PA OA bME OE b a b =⇒=-． 化简可得：2234a b =，即:2:3a b =．20、解析：（Ⅰ）依题意知：椭圆的长半轴长2a =，则A (2，0)，设椭圆E 的方程为14222=+by x -----------------------2分由椭圆的对称性知|OC |＝|OB | 又∵0=⋅BC AC ，|BC |＝2|AC | ∴AC ⊥BC ，|OC |＝|AC | ∴△AOC 为等腰直角三角形，∴点C 的坐标为(1，1)，点B 的坐标为(－1，－1) ，---------------------3分将C 的坐标(1，1)代入椭圆方程得342=b∴所求的椭圆E 的方程为143422=+y x ----------------------------------------------5分 （Ⅱ）解法一：设点11P(x ,y )，由,M N 是O 的切点知，OM MP,ON NP ⊥⊥,∴O 、M 、P 、N 四点在同一圆上，---------------------6分 且圆的直径为OP,则圆心为1122x y (,)，其方程为22221111224x y x y (x )(y )+-+-=，-----------------7分即22110x y x x y y +--=-----①即点,M N 满足方程①，又点M 、N 都在O 上，∴,M N 坐标也满足方程2243O :x y +=---------------②②-①得直线MN 的方程为1143x x y y +=，-----------------------9分令0y ,=得143m x =，令0x =得143n y =，------------------10分∴114433x ,y m n ==，又点P 在椭圆E 上， ∴22443433()()m n +=，即2211334m n +=为定值.-------- -----------------12分 解法二：设点112233P(x ,y ),M(x ,y ),N(x ,y ),则221PM OM x k ,k y =-=-----------6分 直线PM 的方程为2222x y y (x x ),y -=--化简得2243x x y y ,+=--------------①同理可得直线PN 的方程为3343x x y y ,+=---------------② -------7分把P 点的坐标代入④、⑤得121213134343x x y y x x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，∴直线MN 的方程为1143x x y y +=，------9分令0y ,=得143m x =，令0x =得143n y =，-----------------------10分 ∴114433x ,y m n ==，又点P 在椭圆E 上， ∴22443433()()m n +=，即2211334m n +=为定值．---------------------------------------12分 21．解析：（Ⅰ）xa x x f 12)(-+='（0>x ）． --------------------------2分 所以切线的斜率0002000ln 12x x ax x x a x k -+=-+=，整理得01ln 020=-+x x . --------4分显然，10=x 是这个方程的解，又因为1ln 2-+=x x y 在),0(+∞上是增函数， 所以方程01ln 2=-+x x 有唯一实数解．故10=x ．--------------------------5分（Ⅱ）xexax x x g x f x F ln )()()(2-+==，xe x x a x a x x F ln 1)2()(2+-+-+-='．---------6分设x x a x a x x h ln 1)2()(2+-+-+-=，则a x xx x h -+++-='2112)(2．易知)(x h '在]1,0(上是减函数，从而a h x h -='≥'2)1()(． ----------------7分 （1）当02≥-a ，即2≤a 时，0)(≥'x h ，)(x h 在区间)1,0(上是增函数．0)1(=h ，0)(≤∴x h 在]1,0(上恒成立，即0)(≤'x F 在]1,0(上恒成立． )(x F ∴在区间]1,0(上是减函数．所以，2≤a 满足题意． --------------------------9分 （2）当02<-a ，即2>a 时，设函数)(x h '的唯一零点为0x ，则)(x h 在),0(0x 上递增，在)1,(0x 上递减. 又∵0)1(=h ，∴0)(0>x h ．又∵0ln )2()(2<+-+-+-=----a a a a a e e a e a e e h ，∴)(x h 在)1,0(内有唯一一个零点x '，当),0(x x '∈时，0)(<x h ，当)1,(x x '∈时，0)(>x h .从而)(x F 在),0(x '递减，在)1,(x '递增，与在区间]1,0(上是单调函数矛盾． ∴2>a 不合题意． --------------------------11分 综合（1）（2）得，2≤a ． --------------------------12分22、解析：（Ⅰ）证明：连结AB ，AC ，∵AD 为M 的直径，∴090ABD ∠=，∴AC 为O 的直径,∴0=90CEF AGD ∠=∠, ∵DFG CFE ∠=∠，∴ECF GDF ∠=∠,∵G 为弧BD 中点，∴DAG GDF ∠=∠，∴DAG ECF ∠=∠,ADG CFE ∠=∠ ∴CEF ∆∽AGD ∆，……………3分∴CE AGEF GD=， ∴GD CE EF AG ⋅=⋅。

2015年江西省新八校联考高考一模数学试卷(文科)【解析版】

2015年江西省新八校联考高考一模数学试卷(文科)【解析版】

2015年江西省新八校联考高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A＝{y|y＝x2}，B＝{x|y＝lg（1﹣x）}，则A∩B＝（）A．[0，1]B．[0，1）C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，1] 2．（5分）+的虚部为（）A．i B．﹣i C．1D．﹣13．（5分）sin135°cos（﹣15°）+cos225°sin15°等于（）A．﹣B．﹣C．D．4．（5分）O为原点，F为y2＝4x的焦点，A为抛物线上一点，若•＝﹣4，则A点坐标为（）A．（2，±2）B．（1，±2）C．（1，2）D．（2，2）5．（5分）四个命题：①若x2＝1则x＝1的否命题是若x2≠1则x≠±1；②x＝﹣1是x2﹣5x﹣6＝0的必要不充分条件；③存在x∈R，使x2+x+1＜0的否定是对任意x∈R，都有x2+x+1＞0；④若sinα＝sinβ，则α＝β的否命题为真命题，其中正确命题的个数为（）A．0B．1C．2D．36．（5分）如图为某几何体的三视图，图中四边形为边长为1的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体体积为（）A．B．C．D．7．（5分）已知平面向量，满足||＝1，||＝3，3+与+垂直，则，夹角为（）A．B．C．πD．π8．（5分）在求2+5+8+…+2015的程序框图中（如图），正整数m的最大值为（）A．2015B．2016C．2017D．20189．（5分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对边的边长，若cos A+sin A ﹣＝0，则的值是（）A．1B．C．D．210．（5分）O为△ABC内一点，＝λ+μ，则λ+2μ﹣1的取值范围为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，]C．[﹣1，1）D．[﹣1，1] 11．（5分）某人在x天观察天气，共测得下列数据：①上午或下午共下雨7次；②有5个下午晴；③有6个上午晴；④当下午下雨时上午晴．则观察的x天数为（）A．11B．9C．7D．不能确定12．（5分）双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0），M、N为双曲线上关于原点对称的两点，P为双曲线上的点，且直线PM、PN斜率分别为k1、k2，若k1•k2＝，则双曲线离心率为（）A．B．C．2D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知f（x）＝2cos（ωx+φ）+b，对于任意x∈R，f（x+）＝f（﹣x），且f（）＝﹣1，则b＝．14．（5分）将一条长为8cm的线段分成长度为正整数的三段，这三段能构成三角形的概率＝．15．（5分）f（x）＝，则不等式x2•f（x）+x﹣2≤0解集是．16．（5分）t＞0，关于x的方程|x|+＝的解为集合A，则A中元素个数可能为（写出所有可能）．三、解答题（本大题共5小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）数列{a n}中a1＝2，a n+1＝a n+c•n，n∈N*，c≠0，a1、a2、a3成等比数列．（1）求c；（2）求数列{a n}通项公式．18．（12分）为了解某单位员工的月工资水平，从该单位500位员工中随机抽取了50位进行调查，得到如下频数分布表：（Ⅰ）完成如图月工资频率分布直方图（注意填写纵坐标）；（Ⅱ）试由图估计该单位员工月平均工资；（Ⅲ）若从月工资在[25，35）和[45，55）两组所调查的女员工中随机选取2人，试求这2人月工资差不超过1000元的概率．19．（12分）四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，P A⊥平面ABCD，E为PD中点，P A＝2AB＝2．（Ⅰ）求证CE∥平面P AB；（Ⅱ）求三棱锥P﹣ACE体积．20．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）离心率为，长轴长为4．（1）求椭圆标准方程；＝，O为原点，k OA （2）若直线l：y＝kx+m与椭圆C交于A、B两点，S△AOB•k OB是否为定值，若为定值，求出该定值，若不是，说明理由．21．（12分）函数y＝f（x）＝，x∈（0，1），f（x）图象在点M（a，）处的切线为l，l分别与y轴、直线y＝1交于P、Q两点，N（0，1）．（1）用a表示△PQN的面积S；（2）若△PQN的面积为r的点M恰有2个，求r及点M横坐标a的范围．一、选修4-1：几何证明选讲：请考生在第、、题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.22．（10分）Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，AD为圆O的直径，圆O与AC交于E，求证：＝．一、选修4-4：坐标系与参数方程23．（坐标系与参数方程选做题）已知椭圆C的极坐标方程为，点F1、F2为其左，右焦点，直线l的参数方程为（t为参数，t∈R）．（Ⅰ）求直线l和曲线C的普通方程；（Ⅱ）求点F1、F2到直线l的距离之和．一、选修4-5：不等式选讲24．已知x、y、z均大于0．①求证：+≥；②求证：++≥++．2015年江西省新八校联考高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A＝{y|y＝x2}，B＝{x|y＝lg（1﹣x）}，则A∩B＝（）A．[0，1]B．[0，1）C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，1]【解答】解：由A中y＝x2≥0，得到A＝[0，+∞），由B中y＝lg（1﹣x），得到1﹣x＞0，即x＜1，∴B＝（﹣∞，1），则A∩B＝[0，1），故选：B．2．（5分）+的虚部为（）A．i B．﹣i C．1D．﹣1【解答】解：∵+＝，∴+的虚部为1．故选：C．3．（5分）sin135°cos（﹣15°）+cos225°sin15°等于（）A．﹣B．﹣C．D．【解答】解：原式＝sin45°cos15°﹣cos45°sin15°＝sin（45°﹣15°）＝sin30°＝；故选：C．4．（5分）O为原点，F为y2＝4x的焦点，A为抛物线上一点，若•＝﹣4，则A点坐标为（）A．（2，±2）B．（1，±2）C．（1，2）D．（2，2）【解答】解：y2＝4x的焦点F（1，0），设A（，b），∵•＝﹣4，∴（，b）•（1﹣，﹣b）＝﹣4，解得b＝±2．A点坐标为：（1，±2）．故选：B．5．（5分）四个命题：①若x2＝1则x＝1的否命题是若x2≠1则x≠±1；②x＝﹣1是x2﹣5x﹣6＝0的必要不充分条件；③存在x∈R，使x2+x+1＜0的否定是对任意x∈R，都有x2+x+1＞0；④若sinα＝sinβ，则α＝β的否命题为真命题，其中正确命题的个数为（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：①命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题是：“若x2≠1，则x≠±1”，∴①正确；②∵当x＝﹣1时，等式x2﹣5x﹣6＝0成立，∴充分性成立，当x2﹣5x﹣6＝0时，解得x＝﹣1，或x＝6，必要性不成立；∴“x＝﹣1”是“x2﹣5x﹣6＝0的充分不必要条件；∴②错误；③命题“存在x∈R，x2+x+1＜0”的否定是“对任意x∈R，x2+x+1≥0”，∴③错误；④若sinα＝sinβ，则α＝β的否命题为“若sinα≠sinβ，则α≠β”是真命题；∴④正确．所以，正确的命题有2个；故选：C．6．（5分）如图为某几何体的三视图，图中四边形为边长为1的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体体积为（）A．B．C．D．【解答】解：∵如图为某几何体的三视图，图中四边形为边长为1的正方形，两条虚线互相垂直，1＝，x＝，x＝，h＝∴几何体的直观图为棱长为1的正方体中挖空了一个正四棱锥，高为∴则该几何体体积为13﹣＝1﹣＝，故选：D．7．（5分）已知平面向量，满足||＝1，||＝3，3+与+垂直，则，夹角为（）A．B．C．πD．π【解答】解：因为平面向量，满足||＝1，||＝3，3+与+垂直，所以（3+）•（+）＝0，所以3++＝0，所以3++cos＜＞＝0，解得cos＜＞＝，∴，夹角为；故选：C．8．（5分）在求2+5+8+…+2015的程序框图中（如图），正整数m的最大值为（）A．2015B．2016C．2017D．2018【解答】解：模拟执行程序框图，可得i＝2，S＝0S＝2，i＝5满足条件i＜m，S＝2+5＝7，i＝8满足条件i＜m，S＝2+5+8＝15，i＝11…满足条件i＜m，S＝2+5+…+2012，i＝2015满足条件i＜m，S＝2+5+…+2015，i＝2018由题意，此时不满足条件2018＜m，退出循环，输出S的值为2+5+ (2015)故选：D．9．（5分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对边的边长，若cos A+sin A ﹣＝0，则的值是（）A．1B．C．D．2【解答】解：由cos A+sin A﹣＝0，整理得：（cos A+sin A）（cos B+sin B）＝2，即cos A cos B+sin B cos A+sin A cos B+sin A sin B＝cos（A﹣B）+sin（A+B）＝2，∴cos（A﹣B）＝1，sin（A+B）＝1，∴A﹣B＝0，A+B＝，即A＝B＝，C＝，利用正弦定理＝＝＝2R，得：a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C，则＝＝＝＝．故选：B．10．（5分）O为△ABC内一点，＝λ+μ，则λ+2μ﹣1的取值范围为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，]C．[﹣1，1）D．[﹣1，1]【解答】解：如图，取AC中点D、连接BD，设AO所在直线和BD交于E，并设＝k，∴k＝λ+2μ，∴＝+，∵B、D、E三点共线；∴+＝1，∴λ+2μ＝k，∵O在△ABC内，∴k＞0，而当O趋向于C点时，k不断增大，且k趋向2，∴0＜k＜2；∴λ+2μ﹣1的取值范围为（﹣1，1），故选：A．11．（5分）某人在x天观察天气，共测得下列数据：①上午或下午共下雨7次；②有5个下午晴；③有6个上午晴；④当下午下雨时上午晴．则观察的x天数为（）A．11B．9C．7D．不能确定【解答】解：由题意可知，此人每天测两次，共测了7+5+6＝18次，∴x＝＝9天，故选：B．12．（5分）双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0），M、N为双曲线上关于原点对称的两点，P为双曲线上的点，且直线PM、PN斜率分别为k1、k2，若k1•k2＝，则双曲线离心率为（）A．B．C．2D．【解答】解：由题意，设M（x1，y1），P（x2，y2），则N（﹣x1，﹣y1）∴k PM•k PN＝•＝，∵＝1，﹣＝1，∴两式相减可得＝∵k PM•k PN＝，∴＝，∴b＝a，∴c＝＝a，∴e＝＝．故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知f（x）＝2cos（ωx+φ）+b，对于任意x∈R，f（x+）＝f（﹣x），且f（）＝﹣1，则b＝1或﹣3．【解答】解：∵f（x+）＝f（﹣x），∴函数f（x）关于x＝对称，∵f（）＝﹣1，∴2+b＝﹣1或﹣2+b＝﹣1，∴b＝﹣3或b＝1，故答案为：﹣3或1．14．（5分）将一条长为8cm的线段分成长度为正整数的三段，这三段能构成三角形的概率＝．【解答】解：若分成的三条线段的长度均为正整数，则三条线段的长度的所有可能为1、1、6；1、2、5；1、3、4；2、2、4；3、3、2；一共有5种等可能情况，能够构成三角形的只有3、3、2；能构成三角形的概率P＝．故答案为：．15．（5分）f（x）＝，则不等式x2•f（x）+x﹣2≤0解集是{x|x＜2}．【解答】解：当x≥2时，原不等式可化为x2+x﹣2≤0解可得，﹣2≤x≤1此时x不存在当x＜2时，原不等式可化为﹣x2+x﹣2≤0即x2﹣x+2≥0解不等式可得x∈R此时x＜2综上可得，原不等式的解集为{x|x＜2}故答案为：{x|x＜2}16．（5分）t＞0，关于x的方程|x|+＝的解为集合A，则A中元素个数可能为0，2，3，4（写出所有可能）．【解答】解：由|x|+＝，得，由y＝，得x2+y2＝t（y≥0），又，作出图象如图：由图可知，当0＜t＜1或t时，A中元素个数为0；当t＝1时，A中元素个数为2；当t＝时，A中元素个数为3；当1＜t＜时，A中元素个数为4．故答案为：0，2，3，4．三、解答题（本大题共5小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）数列{a n}中a1＝2，a n+1＝a n+c•n，n∈N*，c≠0，a1、a2、a3成等比数列．（1）求c；（2）求数列{a n}通项公式．【解答】解：（1）通过题意可得a1＝2，a2＝2+c，a3＝2+3c，∵a1、a2、a3成等比数列，∴（2+c）2＝2（2+3c），∴c＝2或c＝0（舍）；（2）当n≥2时，由a n+1＝a n+c•n得a2﹣a1＝2，a3﹣a2＝2•2，…a n﹣a n﹣1＝（n﹣1）•2，∴a n﹣a1＝n（n﹣1），又∵a1＝2，∴a n＝n2﹣n+2 （n∈N*）．18．（12分）为了解某单位员工的月工资水平，从该单位500位员工中随机抽取了50位进行调查，得到如下频数分布表：（Ⅰ）完成如图月工资频率分布直方图（注意填写纵坐标）；（Ⅱ）试由图估计该单位员工月平均工资；（Ⅲ）若从月工资在[25，35）和[45，55）两组所调查的女员工中随机选取2人，试求这2人月工资差不超过1000元的概率．【解答】解：（Ⅰ）如图（Ⅱ）20×0.1+30×0.2+40×0.3+50×0.2+60×0.1+70×0.1＝43（百元）即该单位员工月平均工资估计为4300元．（Ⅲ）由上表可知：月工资在[25，35）组的有两名女工，分别记作甲和乙；月工资在[45，55）组的有四名女工，分别记作A，B，C，D．现在从这6人中随机选取2人的基本事件有如下15组：（甲，乙），（甲，A），（甲，B），（甲，C），（甲，D），（乙，A），（乙，B），（乙，C），（乙，D），（A，B），（A，C），（A，D），（B，C），（B，D），（C，D）其中月工资差不超过1000元，即为同一组的有（甲，乙），（A，B），（A，C），（A，D），（B，C），（B，D），（C，D）共7组，∴所求概率为．19．（12分）四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，P A⊥平面ABCD，E为PD中点，P A＝2AB＝2．（Ⅰ）求证CE∥平面P AB；（Ⅱ）求三棱锥P﹣ACE体积．【解答】（Ⅰ）证明：延长DC、AB交于N，连接PN∵∠NAC＝∠DAC＝60°，AC⊥CD，∴C为ND中点．∵E为PD中点，∴EC∥PN．∵EC⊄平面P AB，PN⊂平面P AB，∴EC∥平面P AB…（6分）（2）解：∵P A⊥平面ABCD，∴P A⊥CD，∵CD⊥AC，CA∩P A＝A∴CD⊥平面P AC，∵E为PD中点，∴E到平面P AC距离为，∵，∴…（12分）20．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）离心率为，长轴长为4．（1）求椭圆标准方程；（2）若直线l：y＝kx+m与椭圆C交于A、B两点，S＝，O为原点，k OA△AOB•k OB是否为定值，若为定值，求出该定值，若不是，说明理由．【解答】解：（1）由已知，椭圆C：+＝1（a＞b＞0）离心率为，长轴长为4，∴a＝2，＝，a2﹣b2＝c2，∴c＝1，b＝，∴椭圆C的方程为+＝1；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由直线l：y＝kx+m与椭圆C联立可得（3+4k2）x2+8mkx+4m2﹣12＝0，△＝64m2k2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＞0，化为3+4k2﹣m2＞0．∴x1+x2＝﹣，x1x2＝．y1y2＝（kx1+m）（kx2+m）＝k2x1x2+km（x1+x2）+m2＝k2•﹣+m2＝，∴k OA•k OB＝＝，|AB|＝|x1﹣x2|＝•＝•，原点到直线的距离d＝，＝，∵S△AOB∴|AB|d＝••＝．解得m2＝+2k2，则k OA•k OB＝＝＝﹣．故k OA•k OB为定值﹣．21．（12分）函数y＝f（x）＝，x∈（0，1），f（x）图象在点M（a，）处的切线为l，l分别与y轴、直线y＝1交于P、Q两点，N（0，1）．（1）用a表示△PQN的面积S；（2）若△PQN的面积为r的点M恰有2个，求r及点M横坐标a的范围．【解答】解：（1）由y′＝，切点M（a，），在点M（a，）处的切线斜率为k＝，切线方程l：y＝x+，即有P（0，），Q（2﹣a，1），则S＝||NP|•|NQ|＝（2﹣）（2﹣a），a∈（0，1）；（2）由S＝（2﹣）（2﹣a），令＝t（t∈（0，1）），即有S＝g（t）＝（t3﹣4t2+4t），S′＝（3t﹣2）（t﹣2）即有t∈（0，）时，S′＞0，g（t）单调递增，t∈（，1），S′＜0，g（t）单调递减，则S在t＝时，取最大值S（）＝，又S（1）＝，S（0）＝0，当r∈（，）时，△PQN的面积为r的点M恰有2个，当（t3﹣4t2+4t）＝时，t1＝1，t2＝，t3＝＞1舍去．则有点M横坐标a的范围是（，1）．一、选修4-1：几何证明选讲：请考生在第、、题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.22．（10分）Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，AD为圆O的直径，圆O与AC交于E，求证：＝．【解答】解：连接DE，因为Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，所以BC2＝BD•BA，AC2＝AD•BD，所以＝，因为DE⊥AE，BC⊥AC，所以DE∥BC，所以＝，所以：＝．一、选修4-4：坐标系与参数方程23．（坐标系与参数方程选做题）已知椭圆C的极坐标方程为，点F1、F2为其左，右焦点，直线l的参数方程为（t为参数，t∈R）．（Ⅰ）求直线l和曲线C的普通方程；（Ⅱ）求点F1、F2到直线l的距离之和．【解答】解：（Ⅰ）直线l普通方程为y＝x﹣2；…（2分）曲线C的普通方程为．…（4分）（Ⅱ）∵F1（﹣1，0），F2（1，0），∴点F1到直线l的距离，…（6分）点F2到直线l的距离，…（8分）∴．…（10分）一、选修4-5：不等式选讲24．已知x、y、z均大于0．①求证：+≥；②求证：++≥++．【解答】证明：①＝；∵x，y，z均大于0，（x﹣y）2≥0；∴；∴；②由①知，，，这三个不等式两边同时相加得：；∴．。