南昌大学04级、05级第一学期期末考试试卷一、填空题 (每空 3 分) :1. 函数21()1424x x x f x x x x -∞<<⎧⎪=≤≤⎨⎪<<+∞⎩的反函数为21116log 16xx y x x x -∞<<⎧⎪=≤≤⎨⎪<<+∞⎩。
2. 设函数 ()y f x = 是可导的函数，且()2()sin sin 1f x x '⎡⎤=+⎣⎦，(0)4f =，则()y f x =的反函数()x y ϕ=当自变量y 取4时的导数值是()21sin sin1。
3. 2lim x x x e→+∞=0。
4.设y =dy= 5. 曲线()2ln 1y x =+的凹区间为[]1,1-。
6、若()1x f e x '=+，则()f x =ln x x C+。
7、3x x e dx -=⎰13ln 3xe C e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭。
二、单项选择题 (每题 3 分，):21. 0x =是函数21()arctan f x x=的( B ).(A) 跳跃间断点. (B) 可去间断点. (C) 无穷间断点. (D) 振荡间断点. 2. 当0x +→x 的( B ).(A)高阶无穷小 (B)低阶无穷小 (C)同阶但非等价无穷小 (D) 等价无穷小3. 下列函数中在给定的区间上满足罗尔定理条件的是( D ).(A) []1,50,51,5x x y x x +<⎧⎪=∈⎨⎪≥⎩(B)1y =[]0,2x ∈(C) x y xe -=，[]0,1x ∈ (D) 256y x x =-+，[]2,3x ∈4. 设a ，b ，是常数,且 0a ≠，若()()f x dx F x C =+⎰则()f ax b dx +⎰等于( B ).(A) ()aF ax b C ++ (B) ()1F ax b C a ++(C) ().aF x C + (D) ()1F x C a+第 3 页 共 6 页 35. 若222lim 22x x ax bx x →++=--, 则必有 ( D ).(A) 2a =，8b = (B) 2a =，5b =(C) 0a =，8b =- (D) 2a =，8b =- 6. 已知()32f x x ax bx =++, 在1x =处取得极小值2-则( B ).(A) 1a =，2b = (B) 0a =，3b =-(C) 2a =，2b = (D) 1a =，1b =三、计算下列极限 (每小题7分) :1. 02lim .sin x x x e e x x x-→--- 原式=02lim 1cos x x x e e x -→+--0limsin x xx e e x-→-= 0lim 2cos x xx e e x -→+==2、301sinlim.1cos x x x x→- 原式=3021sin lim 12x x x x →=012lim sin 0x x x→=3. 2221().1lim xx x x →∞-+4原式=222(1)1lim x x x →∞-++=222211222211lim x x x x e x -++--→∞⎡⎤-⎛⎫⎢⎥+= ⎪⎢⎥+⎝⎭⎢⎥⎣⎦4、tan 01lim .xx x +→⎛⎫ ⎪⎝⎭(1) 令tan 1xy x ⎛⎫= ⎪⎝⎭l n t a n l ny x x =- (2)0ln lim x y +→=0tan ln lim x x x +→-=0ln cot lim x x x +→=-=2010csc lim x x x +→-=- (3) tan 01()lim x x x +→=2lim x y π→ln 021lim y x e e π→===5、()222sin 0lim 1.x x x x e+→+原式=()22221sin 2201lim xxx e xxx e x x ee +→⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦四. 解下列各题 (每小题7分):1.设2cos y =， 求.dydx2、设2x y x e =， 求()20.y3. 设函数()y y x =由方程()()sin ln xy y x x +-=，确定,求'(0).y第 5 页 共 6 页 54. 设函数()y y x =arctany xae=，确定,求.dy dx5. 设()()()x f t y tf t f t '⎧=⎪⎨'=-⎪⎩ 其中()f t ''存在且不为零， 求22d y dx6. 设()2ln 1arctan x ty t t⎧=+⎪⎨=-⎪⎩ 求221t d y dx =五.求下列不定积分 (每小题7分): 1、cos .x ⎰2. 2.x x a dx ⎰3. .x ⎰4..⎰5. 2arctan .x xdx ⎰6. 1.xxdx e e-+⎰ 7. ()221.x xe xdx +⎰8. 0π⎰9. 20sin cos x x dx π-⎰6六.设函数()f x 在[)0,+∞上连续，且满足条件()424011()41x f x x f x dx x x+∞+=+++⎰ 其中反常积分()411f x dx x+∞+⎰收敛， 求()f x 的表达式。
博士数学论坛首发制作：剑冷邮箱：zengmingjianjay@ 中南大学2002年研究生入学考试数学分析试题一、（共18分，每小题6分）求下列极限（1）lim ,(0)n n n nn x x x x x −−→+∞−>+；（2）1lim ()1xx x x →+∞+−；（3）01lim sin AA x dx A →∞∫。
二、（共16分，每小题8分）设函数()sin f x x π=，(0,1)x ∈（1）证明()f x 连续；（2）()f x 是否一致连续？（请说明理由）。
三、（共16分，每小题8分）（1）设ax by u e +=，求n 阶全微分n d u ；（2）设cos u x e θ=，sin u y e θ=，变换以下方程22220z zx y ∂∂+=∂∂。
四、（共20分，每小题10分）（1）求积分101ln 1dx x−∫；（2）求曲面22az x y =+(0)a >，和z =所围成的体积。
五、（共12分，每小题6分）设1cos 21p qn n n I nπ∞==+∑，(0)q >（1）求I 的条件收敛域；（2）求I 的绝对收敛域。
六、证明：积分2()0()x a F a e dx+∞−−=∫是参数a 的连续函数。
七、（8分）设定义于(,)−∞+∞上的函数()f x 存在三阶的导函数(3)()f x ，且(1)0f −=，(1)1f =，(1)(0)0f =证明：(3)(1,1)sup ()3x f x ∈−≥。
中南大学2003年研究生入学考试数学分析试题一、（共27分，每小题9分）求下列极限（1）lim n →+∞−；（2）1220lim[3(cos )]xxxx t dt →+∫；（3）设()f x 在[0,1]上可积，且1()1f x dx =∫，求1121lim (2n n k k f n n →+∞=−∑。
二、（共24分，每小题12分）设函数()f x 在[,)a +∞上连续，（1）证明：若lim ()x f x →+∞存在，则()f x 在[,)a +∞上一致连续；（2）上述逆命题是否成立？（请给出证明或举出反例）。
