沪科版数学九年级上册同步课时训练第23章 解直角三角形 23.1 锐角的三角函数 23.1.1 锐角的三角函数第1课时 正切1. 在△ABC ，∠C ＝90°，AB ＝15，tan A ＝43，则BC 等于( )A. 6B. 9C. 12D. 14 2. 在Rt △ABC 中，各边的长度都扩大两倍，那么∠A 的正切值( )A. 扩大两倍B. 缩小两倍C. 没有变化D. 不能确定 3. 如图，点A (2，t )在第一象限，OA 与x 轴所夹锐角为α，tan α＝2，则t 的值为( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1第3题 第4题4. 如图所示，河堤横断面迎水坡AB 的坡比为1∶2，坡高BC ＝5m ，则坡面AB 的长度为( ) A. 10m B. 103m C. 53m D. 55m5. 坡比常用来反映斜坡的倾斜程度，如图所示，斜坡AB 的坡比为( )A. 1∶3B. 3∶1C. 1∶2 2D. 2 2第5题 第6题6. 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，E 为AB 上一点且AE ∶EB ＝4∶1，EF ⊥AC 于点F ，连接FB ，则tan ∠CFB 的值等于( )A.33 B. 233 C. 533D. 5 3 7. 如图，在平地上种植树木时，要求株距(相邻两树间的水平距离)为4m.如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m ，那么相邻两树间的坡面距离为( )A. 5mB. 6mC. 7mD. 8m第7题 第8题8. 如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，D 是AC 上一点，若tan ∠DBA ＝15，则AD 长为( )A. 2B. 3C. 2D. 19. 如图，已知正方形ABCD 的边长为2，如果将线段BD 绕点B 旋转后，点D 落在CB 的延长线上的D ′处，那么tan ∠BAD ′＝ .第9题 第10题10. 如图所示，直线y ＝43x －4交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，则tan ∠OAB ＝ .11. 已知传送带与水平面所成斜坡的坡度i ＝1∶2.4，如果它把物体送到离地面10米高的地方，那么物体所经过的路程为 米.12. 在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ＝8，BC ＝10，则tan B ＝ .13. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8.若∠BPC ＝12∠BAC ，则tan ∠BPC ＝ .第13题 第14题14. 如图所示，已知矩形ABCD 的两边AB 与BC 的比为4∶5，E 是AB 上的一点，沿CE 将△EBC 向上翻折，若点B 恰好落在边AD 的点F 上，则tan ∠DCF ＝ .15. 如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18cm ，宽为30cm ，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A ，斜坡的起始点为C ，现设计斜坡的坡度i ＝1∶5，则AC 的长度是 cm.16. 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，BC AB ＝25，求BC 的长和tan B 的值.17. 如图所示，已知AB 是Rt △ABC 的斜边，CD 为斜边AB 上的高，利用所学的有关锐角三角函数的知识证明CD 2＝AD ·BD .18. 我们可用45°角的正切，求出22.5°角的正切，方法如下：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝∠B ＝45°，利用图形，求tan22.5°.解：如图所示，设AC ＝BC ＝a ，由勾股定理得AB ＝2a ，延长CB 到点D ，使BD ＝AB ，连接AD .∵∠ABC ＝∠1＋∠2，又BD ＝AB ，∴∠1＝∠2.∴∠ABC ＝2∠2.∵∠ABC ＝45°，∴∠2＝22.5°.在Rt △ACD 中，AC ＝a ，CD ＝CB ＋BD ＝CB ＋AB ＝a ＋2a .∴tan22.5°＝tan ∠ADC ＝AC CD ＝a a ＋2a ＝12＋1＝2－1. 请你仿照上例求15°的正切值.答案1. C2. C3. A4. D5. C6. C7. A8. A9. 10. 34 11. 26 12. 539 13. 34 14. 43 15. 21016. 解：∵AB ＝10，AB BC ＝52，∴BC ＝4.∴AC ＝＝2.∴tan B ＝BC AC ＝221.17. 证明：CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高，则∠A ＋∠ACD ＝90°，∠ACD ＋∠BCD ＝90°，∴∠A ＝∠BCD ，tan A ＝AD CD ，tan ∠BCD ＝CD BD ，∴AD CD ＝CD BD，即CD 2＝AD ·BD .18. 解：如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，设AC ＝a ，可知BC ＝a ，AB ＝2a ，延长CB 到点D ，使BD ＝AB ，连接AD .∵∠ABC ＝∠1＋∠2，又∵AB ＝BD ，∴∠ABC ＝2∠1＝2∠2.∴∠1＝∠2＝15°.在Rt △ACD 中，∠C ＝90°，AC ＝a ，CD ＝DB ＋BC ＝AB ＋BC ＝2a ＋a .∴tan15°＝tan ∠ADC ＝DC AC ＝a a＝2－.。
23.1.1第1课时正切知识点1正切1.[2020·阜阳太和县模拟]在Rt△ABC中,∠C=90°,如果AC=4,BC=3,那么∠A的正切值为()A.34B.43C.35D.452.如图1,在△ABC中,∠B=90°,BC=2AB,则tan C等于()图1A.2B.12C.√55D.√523.如图2,已知Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=8,则tan B的值为()图2A.35B.34C.45D.434.在Rt△ABC中,若各边长都扩大为原来的4倍,则锐角A的正切值()A.扩大为原来的4倍B.不变C.缩小为原来的14D.以上都不对5.[教材练习第2题变式]如图3,已知在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,tan A=12,则AB的长是()图3A.3√5B.6√5C.12D.66.如图4,若点A的坐标为(1,√3),则tan∠1=.图47.如图5,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB边上的高,AD=2,CD=3,则tan∠ABC的值是.图58.已知α,β是如图6所示的两个角,则tanα与tanβ的大小关系是.图6,求AC,BC和tan B 9.[教材练习第2题变式]如图7,在Rt△ABC中,∠C=90°,已知AB=15,tan A=34的值.图7知识点2坡角与坡度(坡比)10.已知一个斜坡长30米,其铅直高度为15米,则这个斜坡的坡度为()A.√3∶1B.1∶√3C.1∶2D.30°11.[2019·广州]如图8所示,有一斜坡AB,坡顶B离地面的高度BC为30 m,斜坡的倾斜角是,则此斜坡的水平距离AC为()∠BAC,若tan∠BAC=25图8A.75 mB.50 mC.30 mD.12 m12.如图9,将两根木棒AB(长10 m),CD(长6 m)分别斜靠在墙上,其中BE=6 m,DE=2 m,你能判断哪根木棒更陡吗?请说明理由.图913.在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,则tan C等于()A.43B.34C.65D.5614.如图10,在平地MN上用一块木板AB搭了一个斜坡,两根支柱AC=7.5 m,AD=6 m,其中AC ⊥AB,AD⊥MN于点D,则斜坡AB的坡度是()图10A.3∶5B.4∶5C.3∶4D.4∶315.如图11,在四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点,若EF=2,BC=5,CD=3,则tan C等于()图11A.34B.43C.35D.4516.如图12,当小明沿坡度i=1∶√3的坡面由A到B行走了8米时,他实际上升的高度BC=米.图1217.如图13,点P (12,a )在反比例函数y=60x 的图象上,PH ⊥x 轴于点H ,则tan ∠OPH 的值为 .图1318.如图14,在Rt △ABD 中,∠A=90°,点C 在AD 上,∠ACB=45°,tan D=23,则CDCA = .图1419.如图15,在△ABC 中,AC ⊥BC ,∠ABC=30°,D 是CB 延长线上的一点,且BD=AB ,求tan ∠DAC 的值.图1520.在如图16所示的正方形方格纸中,每个小四边形都是相同的正方形,A ,B ,C ,D 都在格点处,AB 与CD 相交于点O ,求tan ∠BOD 的值.图16教师详解详析1.A [解析] tan A=BC AC =34.故选A . 2.B3.D [解析] 根据勾股定理可知,BC=√AB 2-AC 2=√102-82=6,∴tan B=AC BC =86=43.4.B [解析] 设在原Rt △ABC 中,锐角A 的对边与邻边分别为a ,b ,则tan A=a b .各边长都扩大为原来的4倍后,∠A 的对边与邻边分别为4a ,4b ,此时tan A=4a 4b =ab . 5.A [解析] 在Rt △ABC 中,∵tan A=BCAC ,∴BC=AC ·tan A=6×12=3,则AB=√AC 2+BC 2=√62+32=3√5.故选A . 6.√3 [解析] 如图,过点A 作AB ⊥x 轴,垂足为B ,则AB=√3,OB=1,∴tan ∠1=AB OB=√3.7.23 [解析] 由题易知∠ABC=∠ACD ,∴tan ∠ABC=tan ∠ACD=AD CD =23.8.tan α<tan β [解析] 如图,tan α=CDAC ,tan β=CDBC .因为AC>BC ,所以tan α<tan β.9.解:∵在Rt △ABC 中,∠C=90°,tan A=BC AC =34.∴可设BC=3k ,则AC=4k. 由勾股定理,得(3k )2+(4k )2=152, 解得k=3(负值已舍去). ∴AC=12,BC=9,tan B=AC BC =129=43. 10.B11.A [解析] ∵∠BCA=90°,tan ∠BAC=25,∴BC AC =25.∵BC=30 m,∴30AC =25,解得AC=75 m .故选A . 12.[解析] 描述木棒的陡缓,即木棒的倾斜程度,通常用倾斜角的正切比较,正切值越大,木棒越陡.本题先借助勾股定理求出AE ,CE 的长,从而求出tan B ,tan D 的值,然后比较.解:木棒CD 更陡.理由:由题意及勾股定理可知AE=√102-62=8(m), CE=√62-22=4√2(m), ∴tan B=AE BE =86=43,tan D=CE DE =4√22=2√2.∵2√2>43,∴tan D>tan B ,即木棒CD 更陡.13.A [解析] 过点A 作BC 边上的高AD ,则CD=3.根据勾股定理,得AD=4,∴tan C=43.14.C [解析] 由勾股定理求得CD=4.5 m,故tan ∠ABC=tan ∠CAD=CD AD=4.56=34.15.B [解析] 如图,连接BD.∵E ,F 分别是AB ,AD 的中点, ∴BD=2EF=4. ∵BC=5,CD=3, ∴△BCD 是直角三角形, ∴tan C=BD CD =43.故选B .16.4 [解析] ∵i=1∶√3,∴可设BC=x 米,AC=√3x 米.由题意,得x 2+(√3x )2=82, ∴x=4(负值已舍去).17.125 [解析] 当x=12时,y=5,则PH=5,OH=12, ∴tan ∠OPH=OH PH =125. 18.12 [解析] 在Rt △ABD 中, ∵tan D=AB AD =23,∴可设AB=2x ,AD=3x.∵∠ACB=45°,∴CA=AB=2x ,则CD=AD -CA=3x -2x=x ,∴CDCA =x2x =12.19.解:在Rt △ABC 中,∵∠ABC=30°, ∴BD=AB=2AC. 设AB=2x ,则AC=x ,∴BC=√AB 2-AC 2=√4x 2-x 2=√3x , ∴CD=BD+BC=2x+√3x=(2+√3)x. 在Rt △ADC 中, tan ∠DAC=CD AC =(2+√3)xx=2+√3.20.解:如图,设点E ,F 分别在格点上, 连接EF ,BE ,则∠AEF=45°. 易知EF ∥CD ,∴∠BFE=∠BOD. 由图易知∠BEF=90°. 设每个小正方形的边长均为a , 则EF=√2a ,BE=3√2a. 由正切的定义可知 tan ∠BOD=tan ∠BFE=BE EF =√2a√2a=3.。
