2015年高考数学试题分类解析 考点31-35

2015年高考数学试题分类解析 考点31-35考点31 坐标系与参数方程 【1】（A ，湖北，理16）在直角坐标系xoy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知直线l 的极坐标方程为(sin 3cos )0ρθθ-=，曲线C 的参数方程为1,1x t t y t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ ( t 为参数) ，l 与C 相交于A ,B 两点，则=||AB .【2】（A ，广东，理14）已知直线l 的极坐标方程为24sin(2=-）πθρ,点A 的极坐标为)47,22(πA ,则点A 到直线l 的距离为 .【3】（A ，湖南，文12）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C 的极坐标方程为=2sin ρθ，则曲线C 的直角坐标方程为 .【4】（B ，北京，理11）在极坐标系中，点），（32π到直线6sin 3cos =+）（θθρ的距离为 . 【5】（B ，重庆，理15）已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+-=ty t x 1,1（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为),4543,0(42cos 2πθπρθρ<<>=则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为 .【6】（B ，广东，文14）在平面直角坐标系xoy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线1C 的极坐标方程为()cos sin 2ρθθ+=-，曲线2C的参数方程为2x ty ⎧=⎪⎨=⎪⎩t 为参数），则1C 与2C 交点的直角坐标为 .【7】（B ，安徽，理12）在极坐标系中，圆θρsin 8=上的点到直线)(3R ∈=ρπθ距离的最大值是 .【8】（A ，新课标I ，文23理23）在直角坐标系xoy中，直线1C :2x =-,圆2C :2(1)x -+2(2)1y -=,以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(I)求1C ，2C 的极坐标方程； (II)若直线3C 的极坐标方程为4πθ=(R)ρ∈，设2C 与3C 的交点为M 、N ，求2C MN ∆的面积.【9】（A ，新课标Ⅱ，文23理23）在直角坐标系xOy 中，曲线⎩⎨⎧==,sin ,cos :1ααt y t x C t (为参数，)0≠t ，其中0α≤π<，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C ：θρsin 2=，曲线3C ：ρ=θ．(I)求2C 与3C 交点的直角坐标；(II)若2C 与1C 相交于点A ，1C 与3C 相交于点B ，求||AB 的最大值．【10】（A ，福建，理21-II ）在平面直角坐标系xoy中，圆C 的参数方程为()为参数t t y t x ⎩⎨⎧+-=+=sin 32,cos 31.在极坐标系（与平面直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴）中，直线lsin()(R)4m m πθ-=∈.(I)求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程；(II)设圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值． 【11】（A ，湖南，理16-II ）已知直线l ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=.213,235:t y t x （t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θρcos 2=.(i)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程； (ii)设点M 的直角坐标为)3,5(，直线l 与曲线C 的交点为,A B ，求||||MB MA ⋅的值.【12】（B ，江苏，理21C ）已知圆C 的极坐标方程为04)4sin(222=--+πθρρ，求圆C 的半径.【13】（B ，陕西，文23理23）在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y t x 23213（t 为参数）．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为θρsin 32=．(I)写出圆C 的直角坐标方程；(II)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．考点32 几何证明选讲【1】（A ，天津，文6理5）如图，在圆O 中，M ，N 是弦AB 的三等分点，弦CD ，CE 分别经过点M ，N . 若2=CM ，4MD =，3CN =，则线段NE 的长为A.38B.3C.310 D.25CBPA第1题图 第2题图【2】（A ，湖北，理15）如图，PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且3BC PB =，则ABAC= . 【3】（B ，重庆，理14）如图，圆O 的弦CD AB ,相交于点E 过点A 作圆O 的切线与DC 的延长线交于点P ,6=PA ,9=AE ,3=PC ,1:2:=ED CE 若则=BE.P第3题图 第4题图【4】（B ，广东，文15）如图，AB 为圆O 的直径，E 为AB 的延长线上一点，过E 作圆O 的切线，切点为C ，过A 作直线EC 的垂线，垂足为D．若4AB =，CE =AD = .【5】（B ，广东，理15）如图，已知AB 是圆O 的直径，AB =4，EC 是圆O 的切线，切点为C ，BC =1，过圆心O 做BC 的平行线，分别交EC 和AC 于点D 和点P ，则OD = .A BCO PD EAOBEC D第5题图 第6题图 【6】（A ，新课标I ，文22理22）如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，BC 交⊙O 于点E .(I)若D 为AC 的中点，证明：DE 是⊙O的切线；(II)若OA =，求ACB ∠的大小. 【7】（A ，新课标Ⅱ，文22理22）如图，O 为等腰三角形ABC 内一点，⊙O 与ABC 的底边BC 交于M 、N 两点，与底边上的高AD 交于点G ，且与AB ，AC 分别相切于E 、F 两点．(I)证明：EF //BC ；(II)若AG 等于⊙O 的半径，且AE MN ==求四边形EBCF 的面积．第7题图 第8题图【8】（A ，江苏，理21A ）如图，在ABC ∆中，AC AB =，ABC ∆的外接圆⊙O 的弦AE 交BC 于点D .求证：ABD ∆∽AEB ∆. 【9】（A ，湖南，理16-I ）如图，在⊙O 中，相交于点E 的两弦AB ，CD 的中点分别是M ，N ，直线MO 与直线CD 相交于点F ，证明： (i)180=∠+∠NOM MEN ； (ii)FO FM FN FE ⋅=⋅.MODNE AC FB第9题图 第10题图【10】（B ，陕西，文22理22）如图，AB 切圆O 于点B ，直线AO 交圆O 于E D ,两点，DE BC ⊥，垂足为C ．(I)证明：=∠CBD DBA ∠； (II)若DC AD 3=，2=BC ，求圆O 的直径．考点33 不等式选讲【1】（B ，重庆，文14）设,0,5a b a b >+=,则的最大值为 . 【2】（B ，重庆，理16）若函数()|1|f x x =+2||x a +-的最小值为5，则实数a = .【3】（A ，新课标I ，文24理24）已知函数()|1|2||f x x x a =+--，0a >.(I)当1a =时，求不等式()1f x >的解集； (II)若()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围.【4】（A ，新课标Ⅱ，文24理24）设a 、b 、c 、d 均为正数，且a+b=c+d ，证明：(I)若cd ab >，则d c b a +>+；(II)d c b a +>+是||||d c b a -<-的充要条件．【5】（A ，江苏，理21D ）解不等式232≥++x x . 【6】（A ，福建，理21-III ）已知0,0,0a b c >>>，函数()||||f x x a x b c =++-+的最小值为4．(I)求a b c ++的值；(II)求2221149a b c ++的最小值． 【7】（A ，湖南，理16-III ）设0,0>>b a ，且ba b a 11+=+，证明： (i)2≥+b a ；(ii)22<+a a 与22<+b b 不可能同时成立.【8】（B ，陕西，文24理24）已知关于x 的不等式b a x <+的解集为{}42<<x x ．(I)求实数b a ,的值；(II)求bt at ++12的最大值．考点34 创新与拓展【1】（B ，湖北，理10）设∈x R,][x 表示不超过x 的最大整数.若存在实数t ，使得[]1t =,2[]2t =，…，[]n t n =同时成立．．．．,则正整数n 的最大值是 A.3 B.4 C.5 D.6【2】（B ，湖北，文10理9）已知集合{(,)A x y = 22|1,,}x y x y +≤∈Z ，{(,)|||2B x y x =≤，||2y ≤， ,}x y ∈Z ，定义集合|),((2121y y x x B A ++=⊕}),(,),(2211B y x A y x ∈∈，则A B ⊕中元素的个数为 A. 77 B.49 C ．45 D ．30 【3】（B ，广东，理8）若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值A.至多等于3B.至多等于4C.等于5D.大于5【4】（B ，浙江，理6）设,A B 是有限集，定义：=),(B A d card -)(B A card )(B A ，其中card )(A 表示有限集A 中的元素个数．命题①：对任意有限集A ，B ，“A B ≠”是“(,)0d A B >”的充分必要条件；命题②：对任意有限集A ，B ，C ，(,)(,)(,)d A C d A B d B C ≤+．A.命题①和命题②都成立B.命题①和命题②都不成立C.命题①成立，命题②不成立D.命题①不成立，命题②成立【5】（C,上海,理17）记方程①2110x a x ++=,方程②2220x a x ++=,方程③2340x a x ++=,其中123,,a a a 是正实数.当123,,a a a 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是A.方程①有实根，且②有实根B.方程①有实根，且②无实根C.方程①无实根，且②有实根D.方程①无实根，且②无实根【6】（C ，上海，文理18）设(,)n n n P x y 是直线*2()1N nx y n n -=∈+与圆222x y +=在第一象限的交点，则极限1lim 1n n n y x →∞-=-A.1-B.12- C.1 D.2【7】（C ，广东，文10）若集合{(,,,)|E p q r s =04p s ≤<≤,04q s ≤<≤,04r s ≤<≤,且,p q ,,}r s ∈N ，{(,,,)|04F t u v w t u =≤<≤， 04v w ≤<≤且,,,}t u v w ∈N ，用()card X 表示集合X 中的元素个数，则()()card E card F +=A.200B.150C.100D.50 【8】（A ，上海，文5理3）若线性方程组的增广矩阵为122301c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，解为3,5,x y =⎧⎨=⎩则12c c -= . 【9】（B ，山东，文14）定义运算“⊗”：()0,R ,22≠∈-=⊗xy y x xyy x y x .当0,0>>y x 时，()x y y x ⊗+⊗2的最小值为 . 【10】（C ，上海，文14理13）已知函数()sin f x x =.若存在12,,,m x x x 满足120m x x x ≤<<< 6π≤, 且12|()()|f x f x -23|()()|f x f x +-++ 1|()()|12m m f x f x --=（*2,N m m ≥∈），则m 的最小值为 .【11】（A ，福建，理21-I ）已知矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011,3412B A . (I)求A 的逆矩阵1-A ； (II)求矩阵C ，使得AC =B .【12】（B ，江苏，理21B ）已知∈y x ,R ，向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11α是矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=01y x A 的属于特征值2-的一个特征向量，矩阵A 以及它的另一个特征值.考点35 交汇与整合【1】（C ，上海，文17理16）已知点A的坐标为，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转π3至OB ，则点B 的纵坐标为C.112D.132【2】（C ，江苏，文理14）设向量)12,2,1,0)(6cos 6sin ,6(cos=+=k k k k a k πππ，则∑=+⋅111)(k k ka a的值为 .【3】（A ，湖北，理20）某厂用鲜牛奶在某台设备上生产,A B 两种奶制品．生产1吨A 产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B 产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元．要求每天B 产品的产量不超过A 产品产量的2倍，设备每天生产,A B 两种产品时间之和不超过12小时. 假定每天可获取的鲜牛奶数量W （单位：吨）是一个随机变量，其分布列为其获利最大，因此每天的最大获利Z （单位：元）是一个随机变量．(I)求Z 的分布列和均值；(II)若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率． 【4】（C ，上海，文23）已知数列{}n a 与{}n b 满足1n n a a +-12()n n b b +=-，*N n ∈.(1)若35n b n =+，且11a =，求{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n a 的第0n 项是最大项，即0n n a a ≥（*N n ∈），求证：{}n b 的第0n 项是最大项；(3)设130,n n a b λλ=<=（*N n ∈）.求λ的取值范围，使得对任意的*,N m n ∈，0n a ≠，且1(,6)6m n a a ∈. 【5】（C ，上海，理22）已知数列{}n a 与{}n b 满足*112(),N n n n n a a b b n ++-=-∈.(1)若35n b n =+，且11a =，求{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n a 的第0n 项是最大项，即0n n a a ≥（*N n ∈），求证：{}n b 的第0n 项是最大项；(3)设*10,()N nn a b n λλ=<=∈.求λ的取值范围，使得{}n a 有最大值M 与最小值m ，且(2,2)Mm∈-. 【6】（C ，上海，理23）对于定义域为R 的函数()g x ，若存在正常数T ，使得cos ()g x 是以T 为周期的函数，则称()g x 为余弦周期函数，且称T 为其余弦周期.已知()f x 是以T 为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R .设()f x 单调递增，(0)0,()4πf f T ==.(1)验证()sin 3xh x x =+是以6π为余弦周期的余弦周期函数；(2)设a b <，证明对任意[(),()]c f a f b ∈，存在0[,]x a b ∈，使得0()f x c =；(3)证明：“0u 为方程cos ()1f x =在[0,]T 上的解”的充要条件是“0u T +为方程cos ()1f x =在[,2]T T 上的解”，并证明对任意[0,]x T ∈都有()()()f x T f x f T +=+.【7】（C ，安徽，理21）设函数b ax x x f +-=2)(.(I)讨论函数)(sin x f 在)2,2(ππ-内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；(II)记0020)(b x a x x f +-=，求函数)(sin )(sin 0x f x f -在]2,2[ππ-上的最大值D ； (III)在(II)中，取000==b a ，求42a b z -=满足条件1≤D 时的最大值．【8】（C ，陕西，理21）设)(x f n 是等比数列1，x ，2x ，⋅⋅⋅，n x 的各项和，其中0>x ，N ∈n ，2≥n ．(I)证明：函数2)()(-=x f x F n n 在)1,21(内有且仅有一个零点（记为n x ），且12121++=n n n x x ； (II)设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为)(x g n ，比较)(x f n 与)(x g n 的大小，并加以证明．考点31 坐标系与参数方程【1】（A ，湖北，理16）、52解析：由曲线C 的参数方程为1,1x t t y t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去t ，得14422=-x y ，直线l 的方程为x y 3=， 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==-x y x y 314422得)223,22(),223,22(--B A ,52||=AB . 【2】（A ，广东，理14）解析：依题已知直线l：2sin()4πρθ-=和点7)4A π可化为l ：10x y -+=和()2,2A -，所以点A 与直线l 的距离为：2d ==． 【3】（A ，湖南，文12）、22(1)1x y +-=解析：由=2sin ρθ得2=2sin ρρθ，它的直角坐标方程为222x y y +=，即22(1)1x y +-=. 【4】（B ，北京，理11）、1解析：点），（32π对应的坐标为），（31，极坐标方程6sin 3cos =+）（θθρ对应的直角坐标方程为063=-+y x .根据点到直线的距离公式，12631=-+=d .【5】（B ，重庆，理15）、),2(π解析：直线l 的普通方程为,2+=x y 化曲线C 的极坐标方程为直角坐标方程为,422=-y x 联立直线l 与曲线C 解得交点坐标为)0,2(-，因此交点的极坐标为).,2(π【6】（B ，广东，文14）、(2,4)-解析：由()cos sin2ρθθ+=-得2-=+y x ，由2x t y ⎧=⎪⎨=⎪⎩得⎪⎩⎪⎨⎧==2228t y t x ，所以x y 82=)0(≥x ，联立⎩⎨⎧=-=+xy y x 822解得⎩⎨⎧-==42y x ，所以1C 与2C 交点的直角坐标为(2,4)-.【7】（B ，安徽，理12）、6解析：因为圆的普通方程为16)4(22=-+y x ，其圆心为4),4,0(=r ，直线的普通方程为03=-y x ，圆心到直线的距离为2，所以圆上的点到直线距离的最大值是6． 【8】（A ，新课标I ，文23理23）解析：(I)因为cos x ρθ=，cos y ρθ=，所以1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 440sin ρρθρθ--+=.(II)将4πθ=代入22cos 4sin ρρθρθ--40+=得240ρ-+=，解得1ρ=，2ρ= 故12ρρ-=MN =由于2C 的半径为1，所以2C MN ∆的面积为12. 【9】（A ，新课标Ⅱ，文23理23）解析：(I)曲线2C 的直角坐标方程为2220x y y+-=,曲线3C 的直角坐标方程为22x y+-0=. 联立222220,0,x y y x y ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩解得0,0,x y=⎧⎨=⎩或3.2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以2C与3C 的交点的直角坐标为(0,0)和3)2. (II)曲线1C 的极坐标方程为θα=(R,ρ∈0)ρ≠,其中0απ≤<. 因此A 的极坐标为(2sin,)αα,B 的极坐标为,)αα.所以||AB =|2sin |αα-=4|sin()|3πα-.当56πα=时,||AB 取得最大值,最大值为4.【10】（A ，福建，理21-II ）解析：(I)消去参数t ，得到圆的普通方程为()()22129x y -++=,sin()4m πθ-=,得 sin cos 0m ρθρθ--=,所以直线l 的直角坐标方程为0x y m -+=.(Ⅱ)依题意，圆心C 到直线l 的距离等于2，即|12m |2，--+=解得3m =-±【11】（A ，湖南，理16-II ）解析：(i)θρcos 2=等价于θρρcos 22=，将 222y x +=ρ，x =θρcos 代入上式即得曲线C 的直角坐标方程是0222=-+x y x .(ii)将⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=.213,235t y t x 代入0222=-+x y x 得018352=++t t .设这个方程的两个实根分别为21,t t ，则由参数t 的几何意义知||||MB MA ⋅＝.18||21=t t【12】（B ，江苏，理21C ）解析：以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy . 圆C 的极坐标方程为04)4sin(222=--+πθρρ，化简，得04cos 2sin 22=--+θρθρρ. 则圆C 的直角坐标方程为042222=-+-+y x y x .即6)1()1(22=++-y x ， 所以圆C 的半径为6. 【13】（B ，陕西，文23理23）解析：(I)由θρsin 32=，得θρρsin 322=，从而有y y x 3222=+，所以3)3(22=-+y x .(II)设)23,213(t t P +，又)3,0(C ，则=PC12)323()213(222+=-++t t t ，故当=t 0时，PC 取得最小值，此时，P 点的直角坐标为)0,3(.考点32 几何证明选讲【1】（A ，天津，文6理5）、A解析：设AM x =，在圆O 中，AM MB ×CM MD =?，422⨯=⋅∴x x ，2=∴xAN NB CN NE ??,23x x NE \?,83NE \=.CBPAP第1题图 第2题图 第3题图【2】（A ，湖北，理15）、21解析：由圆的切割线定理知PC PB PA ⋅=2, 又PB BC 3=,故PB PA 2=. 又由PAC PBA ∆∆~知21==PA PB AC AB . 【3】（B ，重庆，理14）、2解析：由切割线定理知:2AP PC PD =?，又因为,1:2:=ED CE 由此得,6,3==EC ED 由相交弦定理知：,DE CE BE AE ⋅=⋅所以.2=BE 【4】（B ，广东，文15）、3解析：因为CE 是圆O 的切线方程，所以EA EBEC ⋅=2，所以2EB =⨯(4)EB +，解得2=EB 或6-=EB （舍去）.连接OC ，则DE OC ⊥，由DE AD ⊥，得CO AD //，所以AE OE AD CO =，所以24222++=AD ，故3=AD .【5】（B ，广东，理15）、8解析:如图所示，连接OC ,因为OD //AC ,又,AC BC ⊥所以,AC OP ⊥又O 为AB 线段的中点，OBECDA第4题图所以,2121==BC OP在OCD Rt ∆中，,221==AB OC 由直角三角形的射影定理可得OD =8.D C EBOA第5题图 第6题图【6】（A ，新课标I ，理22）解析：(I)连接AE ，由己知得，AE ⊥BC ,AC ⊥AB .在Rt △AEC 中，由己知得，DC DE =， 故DEC DCE ∠=∠连结OE ，则OBE OEB ∠=∠ 又90ACB ABC ∠+∠=所以90DEC OEB ∠+∠= 故DE 是☉O 的切线.(II)设1CE =，AE x =，由己知得AB =BE =由射影定理可得，2AE CEBE =⋅ 所以2x ，即42120x x+-= 可得x =60ACB ∠=. 【7】（A ，新课标Ⅱ，文22理22）解析：(I)由于ABC ∆是等腰三角形,AD BC ⊥,所以AD 是CAB ∠的平分线.又因为⊙O 分别与AB 、AC 相切于点E F 、,所以AE AF =，故AD EF ⊥,从而EF ∥BC .(II)由(I)知,AE AF =,AD EF ⊥,故AD 是EF 的垂直平分线.又EF 为⊙O 的弦,所以O 在AD 上.连接,OE OM ,则OE AE ⊥.由AG 等于⊙O 的半径得2AO OE =,所以30OAE ∠= ,因此ABC ∆和AEF ∆都是等边三角形.因为AE =,所以4AO =,2OE =.因为OM OE =2=,DM 12MN ==所以1OD =.于是AD 5=,AB =.第7题图 第8题图【8】（A ，江苏，理21A ）解析：因为AC AB =，所以C ABD ∠=∠. 又因为E C ∠=∠，所以E ABD ∠=∠. 又BAE ∠为公共角，可知ABD ∆∽AEB ∆. 【9】（A ，湖南，理16-I ）解析：(i)如图所示， 因为M ，N 分别是弦AB ,CD 的中点，所以OM ⊥AB ,ON ⊥CD ,即∠OME =90，∠ENO =90 ，∠OME +∠ENO =180 ，又四边形的内角和等于360，故∠MEN +∠NOM =180 ；(ii)由(i)知，O ,M ,E ,N 四点共圆，故由割线定理即得FE FN FM FO ⋅=⋅.MODNE AC FB第9题图 第10题图【10】（B ，陕西，文22理22）解析：(I)因为DE 为圆O 直径，则90=∠+∠EDB BED ，又DE BC ⊥，所以 90=∠+∠EDB CBD ，从而BED CBD ∠=∠.又AB 切圆O 于点B ，得BED DBA ∠=∠，所以DBA CBD ∠=∠.(II)由(I)知BD 平分CBA ∠，则3==CDADBC BA ，又2=BC ，从而23=AB . 所以=AC 422=-BC AB ，所以3=AD .由切割线定理得AE AD AB ⋅=2，即62==ADAB AE ，故=DE 3=-AD AE ，即圆O直径为3.考点33 不等式选讲【1】（B ，重庆，文14）、23解析：2）3b （）1a （222+++≤=23. 【2】（B ，重庆，理16）、-6或4解析：当1->a 时，⎪⎩⎪⎨⎧≥+-<<-++--≤-+-=a x a x a x a x x a x x f ,123,1,12,1,123)(此时,51)()(min =+==a a f x f 所以.4=a当1-=a 时，显然不成立.当1-<a 时，⎪⎩⎪⎨⎧-≥+--<<--≤-+-=1,123,1,12,,123)(x a x x a a x a x a x x f此时51)()(min =--==a a f x f 所以.6-=a综上可知,4=a 或6-=a . 【3】（A ，新课标I ，文24理24）解析：(I)当1a =时，()1f x >化为12110x x +--->.当1x ≤-时，不等式化为40x ->，无解； 当11x -<<时，不等式为320x ->，解得213x <<； 当1x ≥时，不等式化为20x -+>，解得12x ≤<.所以()1f x >的解集为2{|2}3x x <<.(II)由题设可得12,1,()312,1,12,.x a x f x x a x a x a x a --<-⎧⎪=+--≤≤⎨⎪-++>⎩所以函数)(x f 的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为)0,312(-a A ，)0,12(+a B ， )1,(+a a C . ABC ∆的面积为2)1(32+a .由题设得6)1(322>+a ，故2>a .所以a 的取值范围为),2(+∞.【4】（A ，新课标Ⅱ，文24理24）解析：(I)因为2a b =++2c d =++a b c d +=+，ab cd >得22>,>(II)(ⅰ)必要性 若||||a b c d -<-, 则2()a b -2()c d <-,即22()4()4a b ab c d cd +-<+-. 因为a b +c =d +,所以ab cd >. 由(I)>(ⅱ)充分性>则22>,即a b c d ++=++因为a b c d +=+,所以ab cd >. 于是2()a b -2()4a b ab =+-<2()4c d cd +-2()c d =-,因此||||a b c d -<-.综上>||||a b c d -<-的充要条件.【5】（A ，江苏，理21D ）解析：原不等式可化为⎪⎩⎪⎨⎧≥---<2323x x 或⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥23323x x ，解得5-≤x 或31-≥x . 综上，原不等式的解集是}315|{-≥-≤x x x 或.【6】（A ，福建，理21-III ）解析：(I)因为()f x x a x b c =++-+()()x a x b c a b c ≥+--+=++当且仅当a x b ≤≤时，等号成立.又0,0a b >>，所以a b a b +=+,所以(x)f 的最小值为a b c ++, 所以4a b c ++=．(II)由(1)知4a b c ++=，由柯西不等式得22211()(49+1)49a b c +++≥2(231)23a bc ⨯+⨯+⨯2()16a b c =++=，即222118497a b c ++≥.当且仅当1132231b ac ==,即8182,,777a b c ===时，等号成立，所以2221149a b c ++的最小值为87.【7】（A ，湖南，理16-III ）解析：由abba b a b a +=+=+11，0,0>>b a 得 1=ab .(i)由基本不等式及1=ab ，有22=≥+ab b a ，即2≥+b a .(ii)设22<+a a 与22<+b b 可同时成立，则由22<+a a 及0>a 可得10<<a .同理 10<<b . 从而10<<ab 这与1=ab 相矛盾，故22<+a a 与22<+b b 不可能同时成立.【8】（B ，陕西，文24理24）解析：(I)由b a x <+得a b x a b -<<--，则⎩⎨⎧=-=--,4,2a b a b 解得1,3=-=b a .(II)t t t t +-=++-43123])()4][(1)3[(2222t t +-+≤442=+-=t t ,当且仅当134tt =-，即1=t 时等号成立，故4)123(max =++-t t .考点34 创新与拓展【1】（B ，湖北，理10）、B解析：由][x 的性质知若1][=t ，则21<≤t ； 若3][3=t ，则432<≤t ，即3343<≤t ；由3343<≤t知，4t Î，则][4t 可取4；5t Î，其中6933>，故][5t 不能取5.【2】（B ，湖北，文10理9）、C解析：由题意知，{(,)A x y =22|1x y +≤,x ， }y ∈Z {(1,0),(1,0),(0,1),(0,1)}=--，{(,)|B x y = ||2x ≤，||2y ≤，,}x y ∈Z ，所以由新定义集合A B⊕可知，111,0x y =±=或110,1x y ==±.当111,0x y =±=时123,2,1,0,1,2,3x x +=---，122,1,0,1,2y y +=--，所以此时A B ⊕中元素的个数有:7535⨯=个;当110,1x y ==±时，122,1,0,1,2x x +=--，123,2,1,0,1,2,3y y +=---，这种情形下和第一种情况下除12y y +的值取3-或3外均相同，即此时有5210⨯=，由分类计数原理知，A B ⊕中元素的个数为351045+=个.【3】（B ，广东，理8）、B解析：正四面体的四个顶点是两两距离相等的，即空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值最多等于4.故选B. 【4】（B ，浙江，理6）、A解析：根据题中所给出的定义(,)d A B 所代表的实际含义为集合,A B 互异的元素个数.命题①的逆否形式为：“(,)0d A B =”是“A B =”的充分必要条件，因此命题①是正确的. 结合Venn 图以及题中的定义不难推出命题②是正确的． 【5】（C, 上海，理17）、B解析：取1234a a a ===，三个方程都有实根，排除A ；取1234,2,1a a a ===，则B 满足条件； 取1231,3,9a a a ===，则方程①无实根，且方程②有实根，但方程③有实根，排除C ；取1231,7a a a ===，则方程①无实根，且方程②无实根，但方程③有实根，排除D.故选B.注 若1231a a a ===，则方程①无实根，且方程②无实根，方程③也无实根，所以在得到B 可能满足条件后还要排除其他情况. 【6】（C ，上海，文理18）、A解析：因点(,)n n n P x y 在圆222x y +=上，所以222n n x y +=，即n y =又点(,)n n n P x y 在*2()1N n x y n n -=∈+上，而1()1nn n →→∞+，因为直线21x y -=与圆222x y +=在第一象限交点为(1,1)，所以lim 1n n x →∞=.于是1lim 1n n n nn y x →∞→∞-=-2lim n =limn =111.11n +=-=-=-+选A.【7】（C ，广东，文10）、A解析：对于E ：①当4=s ，,,p q r 可以从0,1,2,3这四个数任取一个，因而有4⨯4⨯4=64；②当3=s ，,,p q r 可以从0,1,2这三个数任取一个，因而有3⨯3⨯3=27；③当2=s ，,,p q r 可以从0,1这两个数任取一个，因而有2⨯2⨯2=8；④当1=s ，,,p q r 都取值0，只有1种情况. 故()=64+27+8+1=100card E .对于F :先处理前面两个),(u t ，当4=u ，t 可以从0,1,2,3这四个数任取一个，有4种；当3=u ，t 可以从0,1,2这3个数任取3个； 当2=u ，t 可以从0,1这两个数任取2个； 当1=u ，t =0只有1种.故前面两个),(u t 的可能结果有4+3+2+1=10种，同理得后面),(w v 有10种，故1001010)(=⨯=F card ，所以()()200card E card F +=.【8】（A ，上海，文5理3）、16解析：由已知可得25c y ==，123c x y =+2335=⋅+⋅21=，所以1221516.c c -=-=【9】（B ，山东，文14）、2解析：由题意知：=⊗+⊗x y y x )2(=+=-+-xyy x xy x y xy y x 22242222222)2(21≥+xyy x ，当且仅当02>=y x 时， 取得最小值2.【10】（C ，上海，文14理13）、8解析：两个正弦函数值差的绝对值最大值是最高点和最低点的纵坐标的差，因此只要取相邻最高点和最低点，两端点取零点即可.当12π0,2x x ==，33π2x =，455π7π,,22x x ==679π11π,22x x ==，86πx =时，12|()()|f x f x -+23|()()|f x f x -+ 1|()()|12m m f x f x -+-= ,所以m 的最小值为8.【11】（A ，福建，理21-I ）解析：(1)因为23412A =⨯-⨯=所以131312222422122A --⎛⎫⎛⎫ ⎪- ⎪==⎪⎪- ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭.(2)由AC =B 得11()C A A A B --=,故1313112C ==222012123A B -⎛⎫⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭---⎝⎭⎝⎭.【12】（B ，江苏，理21B ）、1解析：由已知，得αα2-=A ，即⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡2211101y x y x ， 则⎩⎨⎧=-=-221y x ，即⎩⎨⎧=-=21y x ，所以矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0211A . 从而矩阵A 的特征多项式)1)(2()(-+=λλλf ，所以矩阵A 的另一个特征值为1.考点35 交汇与整合【1】（C ，上海，文17理16）、D解析：法1 设(,)B x y ，则由复数乘法（三角形式）的几何意义得ππi i)(cosisin )33x y +=⋅+113i)(i)i 2222=⋅+=+，选D.法2 设(,)B x y ，则OAB !是正三角形，所以222249,((1)49,x y x y ⎧+=⎪⎨-+-=⎪⎩解得132y =，选B.【2】（C ，江苏，文理14）、39解析：++=⋅+ππ61cos 6cos1k k a a k k)61cos 61)(sin 6cos 6(sinππππ++++k k k k ， πππππ61cos 6cos )616sin(6cos +++++=k k k kππππ61cos 6cos )63sin(23++++=k k k πππ6)12(cos 21)63sin(433++++=k k因此3912433)(111=⨯=⋅∑=+k k k a a . 【3】（A ，湖北，理20）解析：(I)设每天,A B 两种产品的生产数量分别为,x y ，相应的获利为z ，则有2 1.5,1.512, 20,0, 0.x y W x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨-≥⎪⎪≥≥⎩ （1） 目标函数为10001200z x y =+．第3题图1 第3题图2 第3题图3 当12W =时，（1）表示的平面区域如图1，三个顶点分别为(0, 0), (2.4, 4.8), (6, 0)A B C .将10001200z x y =+变形为561200zy x =-+.当 2.4, 4.8x y ==时，直线l ：561200zy x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 2.41000Z z ==⨯ 4.8+⨯ 12008160=．当15W =时，（1）表示的平面区域如图2，三个顶点分别为(0, 0), (3, 6), (7.5, 0)A B C ．将1000z x =1200y +变形为561200zy x =-+，当3, 6x y ==时，直线l ：561200zy x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 310006120010200Z z ==⨯+⨯=．当18W =时，（1）表示的平面区域如图3， 四个顶点分别为(0, 0), (3, 6), (6, 4), (9, 0)A B C D .将10001200z x y =+变形为561200zy x =-+，当6,4x y ==时，直线l ：561200zy x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 61000Z z ==⨯41200+⨯ 10800=．故最大获利Z 的分布列为0.2⨯9708=.(II)由(I)知，一天最大获利超过10000元的概率1(10000)0.50.20.7p P Z =>=+=，由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为973.03.01)1(1331=-=--=p p .【4】（C ，上海，文23）解析：（1）因13n n b b +-=，所以16n n a a +-=，所以{}n a 是首项为1、公差为6的等差数列，故16(1)65n a n n =+-=-.(2) 法1 0n n a a ≥，112()n n n n a a b b ++-=-，*n ∈N ，故11()n n n a a a a --=-+12()n n a a ---21()a a ++- 1122()2()n n n n b b b b ---=-+-212()b b ++- 12()n b b =-，于是()11122n n b a b a =+-，所以 ()()001111112222n n n n b a b a a b a b =+-≥+-=.所以，对任意的*N n ∈，均有0n n b b ≥，即{}n b 的第0n 项是最大项.法2 当01n n ≤≤时， 0001()n n n n a a a a --=-0012()n n a a --+-1()n n a a +++-00001122()2()n n n n b b b b ---=-+-12()n n b b +++- 02()0n n b b =-≥.同理，当0n n ≥时，00n n a a -≤，即0n n a a -112()()n n n n a a a a ---=-+-++ 001()n n a a +- 1122()2()n n n n b b b b ---=-+-0012()n n b b +++- 02()0n n b b =-≤.于是，对任意的*N n ∈，均有0n n b b ≥，即{}n b 的第0n 项是最大项.(3)因1n n a a +-112()2()n n n n b b λλ++=-=-，所以 112(),n n n n a a λλ---=-121221212(),2().n n n n a a a a λλλλ-----=--=-以上各式相加可得 2(2)n n a n λλ=+≥. 当1n =时也成立，所以*2()N n n a n λλ=+∈.因为对任意*N n ∈，11(,6)6n a a ∈，130a λ=<，所以0n a <，特别地，2220a λλ=+<，故1(,0)2λ∈-.对此时任意的*N n ∈，0.n a ≠ 当102λ-<<时，222n n a λλλ=+>，且单调递减，有最大值222a λλ=+，21212n n a λλ--=+λ<，且单调递增，有最小值13a λ=，故{}n a 的最大值为2a ，最小值为1a ，所以m naa 的最大值为12321a a λ=+，最小值为21213a a λ+=，由3621λ<+，21136λ+>解得 104λ-<<. 【5】（C ，上海，理22）解析：(1)参见【4】（C ，上海，文23）（1）的解析.(2)参见【4】（C ，上海，文23）（2）的解析. (3)因为*10,()n n a b n λλ=<=∈N ，故12(1)n n n a a λλ+-=-，121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-++-212(1)2(1)2(1)n λλλλλλλ-=+-+-++-112(1)2.1n n λλλλλλλ--=+-⋅=--当1n =时，1a λ=符合上式，所以2.nn a λλ=-①当01<<-λ时，λλ-=n n a )(222单调递减，有最大值λλ-==222a M ；λλ-=--12122n n a 单调递增，有最小值1m a =λ=，所以)2,2(12-∈-=λm M，又(1,0)λ∈-，所以)0,21(-∈λ.②当1-=λ时，32=n a ，112-=-n a ，所以3=M ，1-=m ，所以)2,2(3-∉-=mM，不满足条件.③当1-<λ时，当+∞→n 时n a 2+∞→，无最大值；当+∞→n 时12-n a -∞→，无最小值.综上所述，)0,21(-∈λ. 【6】（C ，上海，理23）解析：(1)()h x 的定义域为R ，cos (6π)h x +cos[(6π)x =+6πsin]cos(sin )33x xx ++=+ cos ()h x =，即()sin 3xh x x =+是以6π为余弦周期的余弦周期函数.(2)对任意[(),()]c f a f b ∈，由于()f x 值域为R ，所以一定存在0x ，使得0()f x c =.当0x a <时，因为()f x 单调递增，所以c =0()()f x f a <，与[(),()]c f a f b ∈矛盾，所以0x a ≥；同理可得0x b ≤.故存在0[,]x a b ∈，使得0()f x c =.(3)必要性：设0[0,]u T ∈，因()f x 是以T 为余弦周期的余弦周期函数，所以0cos ()f u T + 0cos ()f u =1=，其中0[,2]u T T T +∈，故0u T +为方程cos ()1f x =在[,2]T T 上的解.充分性：因为0u T +为方程cos ()1f x =在[,2]T T 上的解，所以0[,2]u T T T +∈，0cos ()1f u T +=.因()f x 是以T 为余弦周期的余弦周期函数，所以0cos ()f u T +0cos ()1f u ==.由0[,2]u T T T +∈得0[0,]u T ∈，即0u 为方程cos ()1f x =在[0,]T 上的解.再证对任意[0,]x T ∈都有()f x T +()f x =()f T +.由（2）知，存在01230x x x x =<<<4x T <=，使得(),1,2,3,4.i f x i i π==而1[,]i i x x +是函数cos ()f x 的单调区间，0,1,2,3.i =类似地可以证明：0u 是cos ()1f x =-在[0,]T 上的解，当且仅当0u T +是cos ()1f x =-在[,2]T T 上的解.从而cos ()1f x =±在[0,]T 与[,2]T T 上的解的个数相同.故()()4,1,2,3,4.i i f x T f x i π+=+= 对于1[0,]x x ∈，()[0,]f x π∈，()f x T +∈[4,5]ππ，而cos ()cos ()f x T f x +=，故()f x T +()4f x π=+()().f x f T =+类似地，当1[,],1,2,3i i x x x i +∈=时，有()()().f x T f x f T +=+所以结论成立.【7】（C ，安徽，理21）解析： (I)b x a x x f +-=sin sin )(sin 2，x a x x f cos )sin 2(])(sin [-='，因为22ππ<<-x ，所以2sin 22,0cos <<->x x .①当2-≤a 时，函数)(sin x f 在(,)22ππ-上单调递增，无极值；②当2≥a 时，函数)(sin x f 在(,)22ππ-上单调递减，无极值；③对于22<<-a ，在(,)22ππ-内存在唯一的0x 使得a x =0sin 2．当02x x ≤<-π时，函数)(sin x f 单调递减，当20π<≤x x 时，函数)(sin x f 单调递增，因此，22<<-a 时，函数)(sin x f 在0x 处有极小值20(sin )()24a a f x fb ==-．(II)22ππ≤≤-x 时，0|(sin )(sin )|f x f x -00|()sin |a a x b b =-+-b b a a -+-≤00，当0))((00≥--b b a a 时，取2π=x ，等号成立；当0))((00<--b b a a 时，取2π-=x ，等号成立；由此可知，()()x f x f sin sin 0-在]2,2[ππ-上的最大值为b b a a D -+-=00；(III)法1 1≤D 即为1≤+b a ，此时11,102≤≤-≤≤b a ，从而142≤-=a b z ．取1,0==b a ，则1≤+b a ，且142=-=a b z ．可知，42a b z -=满足条件1≤D 时最大值为1．法2 1≤D 即为1≤+b a ，在平面直角坐标系aOb 中，对应的平面区域如图所示，而42a b z -=，亦即z a b +=42，对应曲线是开口向上的抛物线42a b =向上平移z 个单位所得，其在b上的最大值是1. 【8】（C ，陕西，理21）解析：(I)2)()(-=x f x F n n ++=x 122-++n x x ，则01)1(>-=n F n ，=)21(n F2)21()21(2112-++++n 021<-n ，则)(x F n 在)1,21(内至少存在一个零点. 又)(x F n '0211>+++=-n nxx ，故)(x F n 在)1,21(内单调递增，所以)(x F n 在)1,21(内有且仅有一个零点n x .因为n x 是)(x F n 的零点，所以0)(=n n x F ，即02111=---+nn nx x ，故+=21n x 121+n n x .第7题图(II)法1 由题设, 2)1)(1()(n n x n x g ++=,设)()()(x g x f x h n n -=-++++=n x x x 212)1)(1(n x n ++，0>x .当1=x 时，)()(x g x f n n =.当1≠x 时，-+++='-121)(n nx x x h2)1(1-+n x n n .若10<<x ，++>'--112)(n n x x x h112)1(--+-+n n x n n nx -+=-12)1(n x n n02)1(1=+-n x n n .若1>x ，++<'--112)(n n x x x h 112)1(--+-+n n x n n nx -+=-12)1(n x n n02)1(1=+-n x n n . 所以)(x h 在)1,0(上递增，在),1(+∞上递减，所以0)1()(=<h x h ，即<)(x f n )(x g n .综上所述，当1=x 时，)()(x g x f n n =；当1≠x 时，)()(x g x f n n <.法2 由题设, )(x f n nx x x ++++= 21,2)1)(1()(n n x n x g ++=,0>x .当1=x 时，)()(x g x f n n =.当1≠x 时，用数学归纳法证明)()(x g x f n n <. ①当2=n 时，0)1(21)()(222<--=-x x g x f ， 所以)()(22x g x f <成立.②假设)2(≥=k k n 时，不等式成立，即<)(x f k)(x g k . 那么，当1+=k n 时，+=+)()(1x f x f k k11)(+++<k k k x x g x 12)1)(1(++++=k k x x k 21)1(21++++=+k x k x k k .又-+)(1x g k21)1(21+++++k x k x k k 21)1(1++-=+k k x k kx .令)0(1)1()(1>++-=+x x k kx x h kk k ，则=')(x h k1)1()1(-+-+k k x k k x k k )1()1(1-+=-x x k k k .所以当10<<x 时，0)(<'x h k，)(x h k 在)1,0(上递减；当1>x 时，0)(>'x h k，)(x h k 在),1(+∞上递增.所以0)1()(=>k k h x h ，从而>+)(1x g k21)1(21+++++k x k x k k .故)()(11x g x f k k ++<，即1+=k n 时不等式也成立.由①和②知，对一切2≥n 的整数，都有)()(x g x f n n <.法3 由已知，记等差数列为{}k a ，等比数列为{}k b 1,,2,1+=n k .则111==b a ，n n n x b a ==++11, 所以)2(1)1(1n k nx k a n k ≤≤-⋅-+=，1-=k k x b)2(n k ≤≤,令k k k b a x m -=)(⨯-+=)1(1k )2(0,11n k x x nx k n ≤≤>---，当1=x 时，=k a k b ,所以)()(x g x f n n =.当1≠x 时，=')(x m k21)1(1----⋅-k n x k nx nk )1()1(12--=+--k n k x x k .而n k ≤≤2，所以11,01≥+->-k n k .若10<<x ，11<+-k n x，0)(<'x m k ； 若1>x ，11>+-k n x，0)(>'x m k . 从而)(x m k 在)1,0(上递减，在),1(+∞上递增，所以0)1()(=>k k m x m ，所以当0>x 且1≠x 时，k k b a >)2(n k ≤≤，又11b a =，11++=n n b a ，故)()(x g x f n n <.综上所述，当1=x 时，)()(x g x f n n =；当1≠x 时，)()(x g x f n n <.。