数学：131三角函数的周期性(苏教版必修四)课件

x π x π (2)y＝2cos(－ ＋ )＝2cos( － )， 2 4 2 4 2π ∴T＝ ＝4π. 1 2 (3)由 y＝sin x 的周期为 2π，可猜想 y＝|sin x|的周期应 为 π.验证：∵|sin(x＋π)|＝|－sin x|＝|sin x|， ∴由周期函数的定义知 y＝|sin x|的周期是 π.
【思路探究】 要证函数 y＝f(x)是周期函数，就是要找 到一个常数 T(T≠0)，使得对于任意实数 x，都有 f(x＋T)＝ f(x)，可根据 y＝f(x)的奇偶性与对称性推导证明．
【自主解答】
由 y＝f(x)的图象关于 x＝a 对称得 f(2a
－x)＝f(x)，∴f(2a＋x)＝f(－x)． ∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)， ∴f(2a＋x)＝f(x)， ∴f(x)是以 2a 为周期的函数．
(1)正弦函数、余弦函数的周期
kπ(k∈Z 且 k≠0) 正弦函数和余弦函数都是周期函数，2 ________________
2π 都是它们的周期，它们的最小正周期都是______.
(2)函数 y＝Asin(ωx＋φ)和 y＝Acos(ωx＋φ)的周期 一般地，函数 y＝Asin(ωx＋φ)和 y＝Acos(ωx＋φ)(其中 2π T＝ ω A，ω，φ 为常数，且 A≠0，ω＞0)的周期_________.
1.3
三角函数的图象和性质 三角函数的周期性
教师用书独具演示
1．3.1
●三维目标 1．知识与技能 (1)了解周期现象在现实中是广泛存在的；(2)理解周期 函数的概念；(3)能熟练地求正、余弦函数的周期；(4)能利用 周期函数定义进行简单运用．
2．过程与方法 通过创设情境：单摆运动、时钟的圆周运动、潮汐、波 浪、四季变化等，让学生感知周期现象；从数学的角度分析 这种现象，就可以得到周期函数的定义；发现并归纳出正弦 函数、余弦函数的周期性及求法；根据周期性的定义，再在 实践中加以应用． 3．情感、态度与价值观 通过本节的学习，使学生对周期现象有一个初步的认 识，感受生活中处处有数学，从而激发学生的学习积极性， 树立学生学好数学的信心，学会运用联系的观点认识事物．

1.3.1
4．已知函数 f(x)对于任意实数 x 满足条件 f(1)＝－5，则 f(f(5))＝____－__15__.
f(x＋2)＝f1x，若
本
解析 由已知 f(x＋4)＝fx＋1 2＝f(x)
课 时
∴f(x)是周期为 4 的函数
栏 目
∵f(5)＝f(1)＝－5，于是 f(f(5))＝f(－5)＝f(－1)
2
研一研·问题探究、课堂更高效
1.3.1
例 2 定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函数，若
f(x)的最小正周期是 π，且当 x∈0，π2时，f(x)＝sin x，求
f 53π的值．
本
课 时
解 ∵f(x)的最小正周期是 π，
栏 目 开
∴f 53π＝f 53π－2π＝f －π3
关
∵f(x)是 R 上的偶函数，
1.3.1
问题 3 满足条件：f(x＋a)＝－f1x(a 为常数且 a≠0)的函数 y
＝f(x)是周期函数吗？如果是，给出一个周期，如果不是，
说明理由．
本 课
答 ∵f(x＋a)＝－f1x，
时 栏 目 开 关
∴ ∴ff((xx＋＋22aa))＝＝ff([x()x．＋a)＋a]＝－fx＋1 a＝－－1f1x＝f(x)．
则 x＋kT 也一定属于定义域，因此周期函数的定义域一定是
无限集，而且定义域一定无上界或者无下界.
3.周期函数的周期不止一个，若 T 是周期，则 kT(k∈N*)一定
本 也是周期.
课 时
4.对于周期函数来说，如果所有的周期中存在着一个最小的正
栏 数，就称它为最小正周期，今后提到的三角函数的周期，如
目
探究点三 函数 y＝Asin(ωx＋φ)(或 y＝Acos(ωx＋φ))(Aω≠0)

典例导学 即时检测 一 二 三
周期函数的证明一般利用周期函数的定义;对抽象函数的 周期性证明,要注意利用条件,结合定义进行灵活的转化.对于函数 最小正周期的证明,不仅可以用周期函数的定义,而且还可以运用 反证法.
典例导学 即时检测 一 二 三
二、求三角函数的周期
求下列函数的周期:
(1)y=3sin
解方法一(直接计算): ∵f(2+x)=-f(x),f(x)为奇函数,当x∈[0,1] 时,f(x)=x,∴f(7.5)=f(5.5+2)=-f(5.5)=-f(2+3.5)=-[f(3.5)]=f(3.5)=f(2+1.5)=-f(1.5)=-f(2-0.5)=f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5. 方法二(利用周期性): ∵f(4+x)=f[2+(2+x)] =-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x), ∴f(x+4)=f(x),故函数的周期为4. ∴f(7.5)=f(8-0.5)=f(-0.5)=-f(0.5). ∵0≤x≤1时,f(x)=x,∴f(7.5)=-0.5.
12
交流2 所有周期函数都有最小正周期吗?为什么? 提示并不是所有的周期函数都存在最小正周期.例如,常数函数 f(x)=5,x∈R.当x为定义域内的任何值时,都有f(x)=C,即对定义域内 的每一个x值,f(x)都有f(x+T)=C=f(x),因此f(x)是周期函数.由于T是 不为零的任意常数,而正数集合中没有最小者,所以f(x)=C没有最小 正周期.
典例导学 即时检测 1 2 3 4 5
4.导学号51820020已知函数f(x)是定义在R上的周期为6的奇函数,
且f(1)=1,则f(5)=
.

01
02
03
04
第一象限
正弦、余弦、正切均为正。
第二象限
正弦为正、余弦为负、正切为 负。
第三象限
正弦、余弦均为负、正切为正。
第四象限
正弦为负、余弦为正、正切为 负。
02 三角函数诱导公 式与变换
诱导公式及其应用
诱导公式的基本形式
01
通过角度的加减、倍角、半角等变换，得到三角函数的等价表
达式。
诱导公式的推导
02
正切函数的周期为$pi$，即$tan(x + kpi) = tan x$，其中$k in Z$。
三角函数的奇偶性
正弦函数是奇函数， 即$sin(-x) = -sin x$。
正切函数是奇函数， 即$tan(-x) = -tan x$。
余弦函数是偶函数， 即$cos(-x) = cos x$。
三角函数在各象限的符号
三角恒等变换
和差化积、积化和差等公式及应用
三角函数的图像与性质
周期性、奇偶性、单调性等
解三角形
正弦定理、余弦定理及应用
常见题型解析及技巧点拨
01
三角函数求值问题：利 用同角关系式、诱导公 式等求解
02
三角函数的图像与性质 应用：判断单调性、周 期性等
03
三角恒等变换的应用： 证明等式、化简表达式 等
余弦定理及其应用
余弦定理的公式表达 在任意三角形ABC中，有$a^2 = b^2 + c^2 - 2bccos A$，以及相应的其他两个式子。
余弦定理的推导 通过向量的数量积和投影进行推导。
余弦定理的应用 用于求解三角形的边和角，尤其在已知三边或两边及夹角 的情况下。同时，也可用于判断三角形的形状（锐角、直 角或钝角）。