椭圆的几何性质(一)

第8章 圆锥曲线方程
§8.2 椭圆的几何性质（1）
教学目标：1.使学生了解并掌握椭圆的范围；
2.使学生掌握椭圆的对称性，明确标准方程所表示的椭圆的对称轴、对称中心；
3.使学生掌握椭圆的顶点坐标、长轴长、短轴长、以及a 、b 、c 的几何意义，明确标
准方程所表示的椭圆的截距；
4.使学生掌握离心率的定义及其几何意义。

教学重点： 掌握椭圆的几何性质
教学难点 ：理解坐标法中根据曲线的方程研究曲线的几何性质的一般方法 教学过程: 一、 知识回顾：
复习：椭圆的标准方程：（1））（）或（01)2(0122
222222>>=+>>=+b a a
y b x b a b y a x .
下面我们将利用椭圆的标准方程（1）来研究椭圆的几何性质。

二、 椭圆的几何性质： 1. 范围：
椭圆上点的坐标（x ，y ）满足：
1,1,122
222222≤≤=+b
y a x b y a x 于是有：，
2
222b y a x ≤≤，即，
b |y |a,|x |≤≤∴
， 于是知椭圆落在直线b y a x ±=±=,所围成的矩形中。

（如图所示）
2. 对称性：
⑴复习：如何判断曲线的对称性？
⑵指明：标准方程表示的椭圆关于x 轴、y 轴及原点都对称；
原点是椭圆的对称中心简称中心； x 轴、y 轴叫椭圆的对称轴。

非标准方程表示的椭圆的对称轴不是坐标轴，椭圆的对称轴不是坐标轴时， 椭圆的方程不是标准方程，但无论椭圆在什么位置，它都有互相垂直的两 条坐标轴, 都有中心.
3.
顶点：
与短半轴长。

分别叫椭圆的长半轴长与 其中，与短轴，它们的长分别是分别叫做椭圆的长轴与、 线段叫做椭圆的顶点；
、、、指明：四个交点；，，（轴的两个交点是椭圆与令，，（轴的两个交点是椭圆与令b a b 2a 2)0(B ),0B y ,,0);0(A ),0A x ,,0212121212121B B A A B B A A b b b y x a a a x y -∴±==-∴±==
观察：上图中，椭圆短轴的端点到两个焦点的距离相等，且等于长半轴长，即
|B 1F 1|= |B 2F 1|= |B 1F 2|= |B 2F 2|=a
在Rt △O B 2F 2中
|OF 2|2=| B 2F 2|2- |OB 2|2 ,即c 2= a 2 -b 2
4.离心率：
（1）定义：椭圆的焦距与长轴长的比
e a
c
a 2c 2＝＝，叫做椭圆的离心率; （2）范围：因为a>c>0,所以0<e<1;
（3）说明：e 的变化对椭圆的影响。

(课本P98)
三、例题讲解：
例1：求椭圆16x 2＋25y 2＝400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，
并用描点法画出它的图形。

解：把已知方程化成标准方程：,14
522
22=+y x
），
（）、，－（）、，（）、，（－椭圆的四个顶点是），（）和，（－两个焦点分别是
＝，离心率和＝别为椭圆的长轴和短轴长分40B 40B 05A 05A ,03F 03F ,5
3
e 82102,
31625,4,5212121==∴=-===∴a c b a c b a 作图略。

（总结步骤）
例2：的值。

求的离心率已知椭圆m e m y mx ,5
10
5522=
=+ 解：由已知可得椭圆方程为:
)5m 0(1m 5
2
2≠>=+且m y x
当焦点在x 轴上，即0<m<5时，有m b a =
=,5,
则,5m c -=依题意得：,5
105
5=
-m 解得：m ＝3
当焦点在y 轴上，即m>5时，有5,==
b m a 则,5-=
m c 依题意得：
,5
105=-m
m 解得：m ＝
3
25 四、 随堂练习：课本P 102第1、2题。

五、 课堂小结：椭圆的标准形式下的简单几何性质。

六、课后作业：P 103习题8.2 第1，2，3题。