2020届黑龙江省大庆实验中学高三上学期开学考试数学(文)试题

大庆实验中学2020届高三综合训练（四）数学（文）试题 第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在题目给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求．1.已知复数(1)z i i =⋅-，则||z =（ ）A.12B.22C. 12【答案】D 【解析】 【分析】由复数的运算法则，求得1z i =+，再结合复数模的计算公式，即可求解. 【详解】由题意，复数(1)1z i i i =⋅-=+，所以22112z =+=故选：D.【点睛】本题主要考查了复数的乘法运算，以及复数模的计算，其中解答中熟记复数的运算法则和复数模的计算公式是解答的关键，意在考查计算能力，属于容易题. 2.设集合{}2|120A x x x =+-<，{|23}B x x =+<，则A B =（ ）A. {|7}x x <B. {|23}x x -<C. {|23}x x -<<D.{|43}x x -<<【答案】B 【解析】 【分析】求解一元二次不等式和根式不等式，即可求得集合,A B ，再求交集即可. 【详解】容易得{|43}A x x =-<<，{|27}B x x =-<， 所以{|23}AB x x =-<故选：B.【点睛】本题考查集合交集的运算，属基础题.3.已知01a b <<<，则下列结论正确的是（ ） A. a b b b < B. b b a b <C. a b a a <D. a a b a <【答案】B 【解析】 【分析】根据条件对,a b 赋值，令14a =，12b =，计算选项的值即可比较出大小. 【详解】取14a =，12b =，则a a =12b a =，b b =，ab =a b b b <，故排除A ；a b a a >，故排除C ；a a b a >，故排除D ；由幂函数的性质得：b b a b <. 故选：B.【点睛】本题考查不等式比较大小，涉及特殊值法计算，属于基础题. 4.为了得到3()sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，可以将()cos2g x x =的图象（ ） A. 向右平移4π个单位 B. 向左平移4π个单位 C. 向右平移8π个单位 D. 向左平移8π个单位 【答案】D 【解析】 【分析】由题意利用诱导公式、函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，得出结论． 【详解】为了得到函数33()sin 2sin 248f x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，可以将函数()cos 2sin 2sin 224g x x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象向左平移8π个单位.故选：D ．【点睛】本题主要考查诱导公式、函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，属于基础题． 5.为了解户籍、性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄人群中随机抽取了容量为200的调查样本，其中城镇户籍与农村户籍各100人；男性120人，女性80人，绘制不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图，如图所示，其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则下列叙述中错误的是( )A. 是否倾向选择生育二胎与户籍有关B. 是否倾向选择生育二胎与性别有关C. 倾向选择生育二胎的人群中，男性人数与女性人数相同D. 倾向选择不生育二胎的人群中，农村户籍人数少于城镇户籍人数 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，通过阅读理解、识图，将数据进行比对，通过计算可得出C 选项错误．【详解】由比例图可知，是否倾向选择生育二胎与户籍、性别有关，倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数，倾向选择生育二胎的人员中，男性人数为0.812096⨯=人，女性人数为0.68048⨯=人，男性人数与女性人数不相同，故C 错误，故选C ．【点睛】本题主要考查了条形图的实际应用，其中解答中认真审题，正确理解条形图所表达的含义是解答的关键，着重考查了阅读理解能力、识图能力，属于基础题.6.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的长轴长是短轴长的2倍，焦距等于23C的方程为（ ）A. 2214x y +=B. 22163x y +=C. 22142x y +=D.22143x y += 【答案】A 【解析】【分析】根据题意可得2a b =，2c =222a b c =+即可求解. 【详解】由长轴长是短轴长的2倍，所以24a b =，即2a b =， 焦距等于2c =c =由222a b c =+，解得1b =，2a =，所以椭圆的标准方程：2214x y +=.故选：A【点睛】本题主要考查了椭圆的几何性质、椭圆的标准方程，属于基础题. 7.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且28114,33a a S +==，则20a =（ ） A. 19B. 18C. 17D. 20【答案】C 【解析】 【分析】用基本量法求解．即把已知条件用1a 和d 表示并解出，然后再由通项公式得解．【详解】由题意281111284111011332a a a d S a d +=+=⎧⎪⎨⨯=+⨯=⎪⎩，解得121a d =-⎧⎨=⎩． ∴20219117a =-+⨯=． 故选：C ．【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n 项和公式，解题方法是基本量法．8.已知sin 21cos αα=+，则tan α=（ ）A. 43-B. 34-C.43D. 2【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦、余弦的二倍角公式表示sin 21cos αα=+，可求出tan 22α=，再利用正切函数的二倍角公式可求出tanα的值.【详解】解：∵22sin cossin22tan21cos22cos2αααααα===+，∴22tan42tan31tan2ααα==--，故选：A.【点睛】本题考查正余弦函数以及正切函数的二倍角公式，考查学生的转化能力和计算能力，属于基础题.9.如图，平面四边形ABCD中，E，F是AD，BD中点，2AB AD CD===，22BD=，90BDC∠=︒，将ABD△沿对角线BD折起至A BD'△，使平面A BD'⊥平面BCD，则四面体A BCD'中，下列结论不正确的是（）A. //EF平面A BC' B. 异面直线CD与A B'所成的角为90°C. 异面直线EF与A C'所成的角为60°D. 直线A C'与平面BCD所成的角为30°【答案】C【解析】【分析】运用线面平行的判定定理可判断A正确；由面面垂直的性质定理，结合异面直线所成角可判断B正确；由异面直线所成角和勾股定理的逆定理可判断C错误；由线面角的求法，可判断D 正确.【详解】对于A：因为E，F分别为A D'和BD两边中点，所以//EF A B'，又EF⊄平面A BC'，所以//EF平面A BC'，故A正确；对于B：因为平面A BD'⊥平面BCD，交线为BD，且CD BD⊥，所以CD⊥平面A BD'，即CD A B⊥'，故B正确；对于C：取CD边中点M，连接EM，FM，则//EM A C'，所以FEM ∠或其补角为异面直线EF 与A C '所成角， 又1EF =，122EM A C ='=，132FM BC ==，即90FEM ∠=︒，故C 错误；D ：连接A F '，可得A F BD '⊥，由面面垂直的性质定理可得A F '⊥平面BCD ， 连接CF ，可得A CF ∠'为A C '与平面BCD 所成角，由21sin 222A F A CF A C '∠'==='， 则直线A C '与平面BCD 所成的角为30°，故D 正确. 故选：C.【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，线面角的求法和线面平行的判断，考查转化思想和运算能力，属于基础题.10.如图所示，在ABC ∆中，AD DB =，点F 在线段CD 上，设AB a =，AC b =，AF xa yb =+，则141x y ++的最小值为（ ）A. 622+B. 63C. 642+D. 322+【答案】D 【解析】 【分析】用AD ，AC 表示AF ，由C ，F ，D 三点共线得出x ，y 的关系，消去y ，得到141x y ++关于x 的函数()f x ，利用导数求出()f x 的最小值． 【详解】解：2AF xa yb x AD y AC =+=+．∵C ，F ，D 三点共线，∴21x y +=．即12y x =-．由图可知0x >．∴21412111x x y x x x x ++=+=+--． 令()21x f x x x+=-，得()()22221'x x f x x x +-=-，令()'0f x =得1x =或1x =（舍）．当01x <<时，()'0f x <，当1x >时，()'0f x >．∴当1x =时，()f x取得最小值)111f=-3=+故选D ．【点睛】本题考查了平面向量的基本定理，函数的最值，属于中档题． 11.已知ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，满足222cos cos cos A B C -+1sin sin A C =+，且sin sin 1A C +=，则ABC ∆的形状为（ ）A. 等边三角形B. 等腰直角三角形C. 顶角为150的等腰三角形D. 顶角为120的等腰三角形【答案】D 【解析】 【分析】先利用同角三角函数基本关系得222sin sin sin sin sin A C B A C +-=-，结合正余弦定理得222122a cb ac +-=-进而得B ,再利用sin sin 13A A π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭化简得sin 13A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭,得A 值进而得C ,则形状可求【详解】由题()2221sin 1sin 1sin 1sin sin A B C A C ---+-=+即222sin sin sin sin sin A C B A C +-=-，由正弦定理及余弦定理得222122a cb ac +-=-即()12cos ,0,23B B B ππ=-∈∴=故 sin sin 13A A π⎛⎫+-=⎪⎝⎭整理得sin 13A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ，故,66A B ππ=∴=故ABC ∆为顶角为120的等腰三角形 故选D【点睛】本题考查利用正余弦定理判断三角形形状，注意内角和定理，三角恒等变换的应用，是中档题12.双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线左支上一点，且()110PF OF OP ⋅+=（O 为坐标原点），2112cos 13PF F ∠=，则双曲线C 的离心率为（ ） A. 2 B.53C.135D.137【答案】D 【解析】 【分析】取1PF 的中点为M ，则()112OM OF OP =+，根据题意可得1PF OM ⊥，则12PF PF ⊥，由215cos 13PF F ∠=可求出a ，c ，从而求得离心率. 【详解】如图，取1PF 的中点为M ，则()112OM OF OP =+， 由()110PF OF OP ⋅+=，得10PF OM ⋅=，即1PF OM ⊥. 因为OM 为12PF F ∆的中位线，所以12PF PF ⊥. 由2112cos 13PF F ∠=，设212PF =，则1213F F =，15PF =， 所以2127a PF PF =-=，12213c F F ==，得C 离心率为137c a =.故选：D【点睛】本题考查垂直关系的向量表示，中位线的性质，双曲线的几何性质，属于中档题.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13.设x，y满足约束条件220220x yx yy x+-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则32z x y=-的最大值是________.【答案】2 3【解析】【分析】画出满足约束条件的可行域，利用z的几何意义，利用直线平移法即可求出最大值.【详解】不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，当目标函数过22,33⎛⎫⎪⎝⎭时取得最大值，即max222 32333z=⨯-⨯=.故答案为：2 3【点睛】本题考查线性规划的基本应用，利用z的几何意义是解决线性规划问题的关键，常用数形结合问题来求，本题属于基础题.14.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为________．【答案】2 【解析】 【分析】由三视图知该几何体是一个四棱锥，由三视图求出几何元素的长度、判断出位置关系，由直观图能求出该四棱锥的体积．【详解】解：根据三视图可知几何体是一个四棱锥，底面是一个直角梯形，AD AB ⊥、//AD BC ，2AD AB ==、1BC =，PA ⊥底面ABCD ，且2PA =，∴该四棱锥的体积为：1121222332ABCD V S PA +=⨯⨯=⨯⨯⨯=梯形．故答案为：2．【点睛】本题考查几何体的体积的求法，考查几何体三视图等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，属于中档题． 15.将函数()sin 36f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），再将所得到的图象向右平移()0m m >个单位长度，得到函数()g x 的图象．若()g x 为奇函数，则m 的最小值为_______． 【答案】3π 【解析】 【分析】利用图象变换求得函数()y g x =的解析式，由函数()y g x =为奇函数，可得出关于m 的代数式，进而可求得正数m 的最小值. 【详解】将函数()sin 36f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变）， 得到函数11sin 3sin 6626y x x ππ⎛⎫⎛⎫=⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象， 再将所得函数图象向右平移()0m m >个单位长度，得到()()111sin sin 26262g x x m x m ππ⎡⎤⎛⎫=-+=+- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的图象，由于函数()y g x =为奇函数，则()162m k k Z ππ-=∈，()23m k k Z ππ∴=-∈， 当0k =时，正数m 取得最小值3π. 故答案为：3π. 【点睛】本题考查利用三角函数图象变换求函数解析式，同时也考查了利用正弦型函数的奇偶性求参数，考查计算能力，属于中等题.16.已知函数3()121f x x x =-+，2213,0()3(2)3,02x x g x x x ⎧-+>⎪=⎨-++≤⎪⎩，若函数[()]y f g x a =-有6个零点（互不相同），则实数a 的取值范围为________． 【答案】[10,17) 【解析】 【分析】原题等价于[()]f g x a =有6个不同的零点.先作出函数()f x 的图象，得到当(15,17)m ∈-时，()f x m =有三个解；再作出函数()g x 的图象，得到当[3,4]t ∈-时，()g x t =有两个解，求出(3),(4)f f -的值即得解.【详解】因为[()]y f g x a =-有6个零点（互不相同）， 所以[()]f g x a =有6个不同的零点.3()121f x x x =-+,所以2()312=3(2)(2)f x x x x '=-+-，所以函数()f x 在(2,),(,2)+∞-∞-单调递增，在(2,2)-单调递减. 所以函数()f x 的图象如图所示，当(15,17)m ∈-时，()f x m =有三个解. 函数()g x 的图象如图所示，当[3,4]t ∈-时，()g x t =有两个解， 当3x =-时，(3)2736110f -=-++=； 当4x =时，(4)6448117f =-+=；若函数[()]y f g x a =-有6个零点（互不相同），则实数a 的取值范围为[10,17). 故答案为：[10,17).【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共60分17.如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，点E 在PD 上.（1）若E 为PD 的中点，证明：//PB 平面AEC ；（2）若1PA =，22PD AB ==，三棱锥E ACD -的体积为3，试求:PE ED 的值. 【答案】（1）证明见解析（2）:1:2PE ED = 【解析】 【分析】(1) 连接BD 交AC 于O ,连接EO ,再证明EO PB 即可. (2) 根据三棱锥E ACD -的体积为39可求得E 到平面ABCD 的距离为23,再根据PA ⊥平面ABCD 且1PA =即可求得:PE ED .【详解】证明：（1）连接BD 交AC 于O ,连接EO , ∵ABCD 为矩形,∴O 为BD 的中点, 又E 为PD 的中点,∴EO PB , ∵EO平面AEC ,PB平面AEC ,∴PB 平面AEC .（2）由题设3AD =,1CD =,∴ADC 的面积为32. ∵棱锥E ACD -3∴E 到平面ABCD 的距离h 3133=,即23h =. ∵PA ⊥平面ABCD ,∴平面PAD ⊥平面ABCD ,过E 在平面PAD 内作EF AD ⊥,垂足为F ,则EF ⊥平面ABCD , 而PA ⊥平面ABCD ,于是EFPA .∵1PA =,∴:2:3ED PD =.则:1:2PE ED =【点睛】本题主要考查了线面平行的证明以及根据三棱锥体积求解比例的问题,需要根据题意求出对应的高,再根据垂直于同一平面的两条直线互相平行的性质分析.属于中档题. 18.已知等差数列{}n a 中，公差0d >，且满足：2345a a ⋅=，1414a a +=. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和为nS ，令()16nS f n n =+()*N n ∈，求()f n 的最大值. 【答案】（1）43n a n =-；（2）181. 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式即可求解.（2）首先利用裂项求和法求出n S ，再利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）由题设知：2314234514a a a a a a ⋅=⎧⎨+=+=⎩，∴2359a a =⎧⎨=⎩或2395a a =⎧⎨=⎩ ∵0d >，∴25a =，39a =. ∴43n a n =- （2）∵()()111111434144341n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭∴1111111...41559434141n n S n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ∴()211411616164651681465n nS n n f n n n n n n n+====≤++++++（当2n =时取等号） 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、裂项求和法、基本不等式求最值，属于基础题. 19.某学校需要从甲、乙两名学生中选一人参加数学竞赛，抽取了近期两人5次数学考试的成绩，统计结果如下表：(1)若从甲、乙两人中选出一人参加数学竞赛，你认为选谁合适?请说明理由. (2)若数学竞赛分初赛和复赛，在初赛中有两种答题方案：方案一：每人从5道备选题中任意抽出1道，若答对，则可参加复赛，否则被淘汰. 方案二：每人从5道备选题中任意抽出3道，若至少答对其中2道，则可参加复赛，否则被润汰.已知学生甲、乙都只会5道备选题中的3道，那么你推荐的选手选择哪种答题方条进人复赛的可能性更大?并说明理由.【答案】（1）见解析；（2）选方案二 【解析】 【分析】（1）可以用两种方法决定参赛选手,方法一：先求平均数再求方差，根据成绩的稳定性决定选手；方法二：从统计的角度看，看甲乙两个选手获得85以上(含85分)的概率的大小决定选手；（2）计算出两种方案学生乙可参加复赛的概率，比较两个概率的大小即得解.【详解】(1)解法一：甲的平均成绩为180********835x ++++==；乙的平均成绩为29076759282835x ++++==， 甲的成绩方差()25211150.85i i s x x==-=∑；乙的成绩方差为()25221148.85i i s x x==-=∑；由于12x x =，2212s s >，乙的成绩较稳定，派乙参赛比较合适，故选乙合适. 解法二、派甲参赛比较合适，理由如下：从统计的角度看，甲获得85以上(含85分)的概率135P =，乙获得85分以上(含85分)的概率225P =因为12P P >故派甲参赛比较合适，(2)5道备选题中学生乙会的3道分别记为a ，b ，c ，不会的2道分别记为E ，F . 方案一：学生乙从5道备选题中任意抽出1道的结果有：a ，b ，c ，E ，F 共5种，抽中会的备选题的结果有a ，b ，c ，共3种. 所以学生乙可参加复赛的概率135P =. 方案二：学生甲从5道备选题中任意抽出3道的结果有(),,a b c ，(),,a b E ，(),,a b F ，(),,a c E ，(),,a c F ，(),,a E F ，(),,b c E ，(),,b c F ，(),,b E F ，(),,c E F ，共10种，抽中至少2道会的备选题的结果有：(),,a b c ，(),,a b E ，(),,a b F ，(),,a c E ，(),,a c F ，(),,b c E ，(),,b c F 共7种，所以学生乙可参加复赛的概率2710P =因为12P P <，所以学生乙选方案二进入复赛的可能性更大.【点睛】本题主要考查平均数和方差的计算，考查古典概型的概率的计算和决策，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为3，以原点O 为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆与直线260x -+=相切. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点A ，B 为动直线()()20y k x k =-≠与椭圆C 的两个交点，问：在x 轴上是否存在定点E ，使得2EA EA AB +⋅为定值？若存在，试求出点E 的坐标和定值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22162x y +=；（2）定点为7(,0)3E ，59EA EB ⋅=-. 【解析】试题分析:（1）求得圆O 的方程，由直线和圆相切的条件:d r =，可得a 的值，再由离心率公式，可得c 的值，结合,,a b c 的关系，可得b ，由此能求出椭圆的方程；（2）由直线(2)y k x =-和椭圆方程，得()222213121260kxk x k +-+-=，由此利用韦达定理、向量的数量积，结合已知条件能求出在x 轴上存在点E ，使EA EB ⋅为定值，定点,则可求解. 试题解析：（1）由e =得c a =，即c =① 又以原点O 为圆心，椭圆C 的长轴长为半径的圆为222x y a +=，且与直线260x -+=相切，所以a ==2c =，所以2222b a c =-=，所以椭圆C 的标准方程为22162x y +=.（2）由()221{622x y y k x +==-得()222213121260k x k x k +-+-=， 设()11A x y ，，()22B x y ，，所以21221213k x x k +=+，212212613k x x k -=+，根据题意，假设x 轴上存在定点()0E m ，， 使得()2EA EA AB EA AB EA EA EB +⋅=+⋅=⋅为定值， 则()()()()11221212EA EB x m y x m y x m x m y y ⋅=-⋅-=--+，，()()()()22221212124k x x k m x x k m =+-++++()()222231210613m m k m k -++-=+要使上式为定值，即与k 无关，()223121036m m m -+=-， 得73m =. 此时，22569EA EA AB m +⋅=-=-，所以在x 轴上存在定点703E ⎛⎫⎪⎝⎭，使得2EA EA AB +⋅为定值，且定值为59-.【点睛】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题, 椭圆的标准方程,考查满足条件的定点是否存在的判断与求法，属于中档题，解决存在性问题应注意以下几点：(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；（2）当给出结论而要推导出存在条件时，先假设成立，再推出条件；（3）当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径. 21.已知函数()f x kx =，ln ()xg x x=. （1）求函数ln ()xg x x=的单调区间； （2）若不等式()()f x g x ≥区间(0,)+∞上恒成立，求实数k 的取值范围；（3）求证：4444ln 2ln 3ln 4ln 12342n n e++++< 【答案】（1）函数ln ()xg x x=的单调递增区间为(0,)e ，单调递减区间为(,)e +∞（2）12k e ≥（3）见解析.【解析】试题分析：（1）求出()'g x ，由()'0g x >，结合函数的定义域解得x 的范围，就是函数的增区间；（2）问题转化为k 大于等于()h x 的最大值，利用导数求得函数()h x 有最大值，且最大值为12e ，得到12k e≤；（3）先判断()42ln 1122x x x e x <⋅≥，得4444222ln 2ln 3ln 4ln 1111......234223n n e n ⎛⎫++++<+++ ⎪⎝⎭，用放缩法证明222111...123n +++<，即得要证的不等式. 试题解析：（1）∵()ln xg x x=，故其定义域为()0,+∞， ∴()21ln xg x x -'=，令()0g x '>，得0x e <<，令()0g x '<，得x e >. 故函数()ln xg x x=的单调递增区间为()0,e ，单调递减区间为(),e +∞.（2）∵0x >，ln x kx x ≥，∴2ln x k x ≥，令()2ln xh x x=又()312ln xh x x-'=，令()0h x '=解得x =当x 在()0,+∞内变化时，()h x '，()h x 变化如下表由表知，当x =()h x 有最大值，且最大值为12e ，所以，12k e≥ （3）由（2）知2ln 12x x e ≤，∴42ln 11•2x x e x ≤（2x ≥） ∴444222ln2ln3ln 111123223n n e n ⎛⎫+++<+++ ⎪⎝⎭()22211111111111111123122312231n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<+++=--++-=-< ⎪⎪ ⎪⨯⨯--⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴444222ln2ln3ln 11111232232n n e n e⎛⎫+++<+++< ⎪⎝⎭ 即444ln2ln3ln 1232n n e+++< 【方法点晴】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、证明不等式以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数.本题（2）是利用方法 ① 求得k 的最大值.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy 中，直线3:14x tl y t=⎧⎨=+⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴为正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos24ρθ=-. （1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）点()0,1P ，直线l 与曲线C 交于M ，N ，求11PM PN+的值. 【答案】（1）22144-=y x （2）15【解析】【分析】（1）直接利用转换关系，极坐标方程与直角坐标方程进行转化.（2）借助直线参数方程中t 的几何意义，利用一元二次方程根与系数的关系的应用求出结果.【详解】解：（1）∵曲线C 的极坐标方程为2cos24ρθ=-，即2222cos sin 4ρθρθ-=-. ∴曲线C 的直角坐标方程为224x y -=-，即22144-=y x . （2）将直线3:14x t l y t=⎧⎨=+⎩（t 为参数），令'=5t t 转换为：35415x t y t ''⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（'t 为参数），代入曲线22144-=y x ， 得到：'2'740750t t +-=， 所以''12407t t +=-，''12757t t =-（'1t 和'2t 为M 和N 对应的参数）， 则''12''1211t t PM PN t t -+==15=. 故11PM PN +. 【点睛】本题考查考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化，考查直线参数方程中t 的几何意义的运用，考查运算求解能力，考查函数与方程思想.属于中档题.[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()|25||21|f x x x =--+.（1）求不等式()1f x >的解集；（2）若不等式，()|42||||4|f x x t m t m ++>--++对任意x ∈R ，任意t R ∈恒成立，求m 的取值范围.【答案】（1）3,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭；（2）(,1)-∞ 【解析】【分析】(1) 利用零点分区间法去掉绝对值符号分类讨论求并集 ()2不等式等价变形，由三角不等式()|25||21|6h x x x =-++≥，|||4||(4)||4|t m t m t m t m m m --++--++=++得到6|4|m m >++求解【详解】解：（1）由题可知：()56,21544,2216,2x f x x x x ⎧->⎪⎪⎪=-+-≤≤⎨⎪⎪<-⎪⎩不等式()1f x >等价于1,261x ⎧-⎪⎨⎪>⎩或15,22441x x ⎧-<<⎪⎨⎪-+>⎩或5,261,x ⎧⎪⎨⎪->⎩即12x -或1324x -<< 所以不等式()1f x >的解集为3,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. （2）()|42||||4|f x x t m t m ++>--++等价于|25||21||||4|x x t m t m -++>--++. 令()|25||21|h x x x =-++，则()|25(21)|6h x x x --+=，当且仅当()()25210x x -+≤时，即15,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时取得等号. 所以min ()6h x =.而|||4||(4)||4|t m t m t m t m m m --++--++=++，所以6|4|m m >++，所以646m m m -<+<-，解得1m <，即m 的取值范围为(,1)-∞.【点睛】本题考查含有两个绝对值符号的不等式解法及利用三角不等式解恒成立问题. （1）含有两个绝对值符号的不等式常用解法可用零点分区间法去掉绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解（2）利用三角不等式a b a b a b －＋把不等式恒成立问题转化为函数最值问题.。

所以 BC 平面 PCD ．因为 PD 平面 PCD ，所以 BC PD ．
因为 PC PD 2，CD AB 2 ，所以 PC2 PD2 CD2 ，即 PD PC ． 因为 BC PC C ， BC ， PC 平面 PBC ，
所以 PD 平面 PBC ．
所以 F 为 BD 中点．又因为 E 为 PB 中点，所以 PD / / EF ．因为 PD 平面 ACE ，
EF 平面 ACE ，所以 PD / / 平面 ACE ．
（II） 因为底面 ABCD 为矩形，所以 BC CD ．
又因为平面 PCD 平面 ABCD ， BC 平面 ABCD ，平面 PCD∩平面 ABCD CD ，
用该组区间的中间值作代表），采用哪种养殖法，请给养殖户一个较好的建议，并说明理由． 附参考公式及参考数据：
P K 2 k0
0.050
0.010
0.001
k0
3.841
n ad bc2 k0 a bc d a cb d
6.635
10.828
2020 届高三模拟考试试卷
2020 届高三模拟考试试卷
20．已知 F1、F2 是椭圆 E :
x2 a2

y2 b2
1 a
b

0 的左、右焦点，椭圆 E 的离心率为
1 2
，过原点
O 的直线交椭圆于 C、D 两点，若四边形 CF1DF2 的面积最大值为 2 3 ． （1）求椭圆 E 的方程； （2）若直线 l 与椭圆 E 交于 A, B 且 OA OB ，求证：原点 O 到直线 l 的距离为定值．
1 A 2 C 3 C 4 C 5 B 6 B 7 C 8 C 9 C 10 B 11 A 12 A

上学期开学测试高三数学试卷（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷（选择题60 分）一、选择题：本大题共12 小题，每题 5 分，共 60 分，在每题给出的四个选项中只有一个是切合题目要求的．1 P和Q是两个会合，定义会合P Q x x P, 且 x Q，假如P x log 2 x 1，Q x x 2 1 ，．设那么 P Q 等于（）A ．x 0 x 1 B．x 0 x 1C．x 1 x 2 D．x 2 x 32．已知命题p : x 0 ，总有x 1 e x 1，则p 为（）A ．x0 0 ，使得x0 1 e x0 1 B．x0 0 ，使得x0 1 e x0 1C．x 0 ，总有x 1 e x 1 D．x 0 ，总有 x 1 e x 1 3．设S n为等差数列a n 的前 n 项和，S8 4a3， a7 2 ，则 a9 （）A ．-6 B．-4 C． -2 D． 2 4．已知函数 f x 的定义域为1,0 ，则函数 f 2x 1 的定义域为（）A ．1,1B ．1, 1C．1,0 D．1,1 2 25．已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么a 3b 等于（）A ．7 B．10 C．13 D． 46．已知点P sin 3π,cos3 π落在角的终边上，且0, 2π，则的值为（）4 4A ．πB ．3πC．5πD．7π4 4 4 47．在等差数列a n中，已知a4 a8 16 ，则该数列的前11 项和S11 （）A ．58 B．88 C． 143 D． 17618．已知函数：①y tan x ，② y sin x ，③ y sin x ，④ y cosx ，此中周期为π，且在0, π上2单一递加的是（）A ．①②B ．①③C．①②③D．①③④9．设S n是等差数列a ns3 1，则s6（）的前 n 项和，若3s12s6A ．3B ．1C．1D．1 1010．已知函数 f x 为偶函数，当A．0,2B．389x 0,时，f x x 1 f x 1 0的解集是（），则2,0 C．1,0 D．1,211．若两个非零向量 a ， b 知足 a b a b 2 a ，则向量 a b 与 a b 的夹角是（）A ．πB ．πC．2πD．5π6 3 3 612．已知函数f x sin 2x ，此中为实数，若 f xf π对 x R 恒成立，且fππ ，f6 2则 f x 的单一递加区间是（）A ．kππ, kππk Z B．3 6C．kππ, kπ2πk Z D．6 3kπ,kππkZ2πkπ, kπ k Z第Ⅱ卷（非选择题90 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分．13．已知向量 a 1,3 ， b 2,1 ， c 3,2 ．若向量 c 与向量 ka b 共线，则实数 k _________．14．已知函数 f x 2x , x 0，则 f 2 __________ ，函数f x 的值域为__________．x 1,x 015．已知ABC 的内角A，B，C的对边分别为2 2，b cos A a cosB 2 ，则 ABC a，b，c，若cosC 3的外接圆面积为 __________．16．已知函数 f x cosxsin 2x ，以下结论中正确的序号是__________．① y f x 的图象对于点π,0中心对称，2② yfπx 的图象对于 x 对称，2③ fx 的最大值为3 ，2④ f x 既是奇函数，又是周期函数．三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应有证明或演算步骤．17．（ 10 分）设等差数列 a n 的首项 a 1 及公差 d 都为整数，前 n 项和为 S n ．（ 1）若 a 11 0， S 1498 ，求数列 a n 的通项公式；（ 2）若 a 1 6 ， a 11 0，S 1477 ，求全部可能的数列 a n的通项公式．18．（ 12 分）在ABC 中，内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ，b ， c ，已知 4sin 2A B4sin Asin B 22 ．2（ 1）求角 C 的大小；（ 2）已知 b 4， ABC 的面积为 6，求边长 c 的值．19．（ 12 分）已知等差数列 a n 知足 a 3 9 ，公差 d3 ．（ 1）求数列a n 的通项公式；（ 2）数列a n 的前 n 项和 S n 能否存在最小值？若存在，求出 S n 的最小值及此时 n 的值；若不存在，请说明原因．20．（ 12 分）已知函数 fxsin xcos x ．6（ 1）求函数 f x 的最大值，并写出当 f x 获得最大值时x 的取值会合；（ 2）若0, π， fπ 3 3，求 f 2 的值．26521．（ 12 分）3x m2t , 已知直线 l 的参数方程为2（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴成立 y2t2极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为2cos 2 3 2 sin 212 ，且曲线 C 的左焦点 F 在直线 l 上．（ 1）若直线 l 与曲线 C 交于 A ， B 两点，求 FA FB 的值；（ 2）求曲线 C 的内接矩形的周长的最大值．22．（ 12 分）已知函数f x 的图象是由函数g x cosx 的图象经以下变换获得：先将 g x 图象上全部点的纵坐标伸长到本来的 2 倍（横坐标不变） ，再将所获得的图象向右平移π个单位长度．2（ 1）求函数f x 的分析式，并求其图象的对称轴方程；（ 2）已知对于 x 的方程 fx g x m 在 0,2 π 内有两个不一样的解， ．①务实数 m 的取值范围；2m 21 ．②证明： cos5亲爱的1、在用最软户入的时：候，你会想起谁。

大庆中学2019-2020学年度上学期开学验收考试高三年级数学试题（文科）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题（本大题共12个小题，每题5分，共60分) 1．已知集合{}{}21,2,4,8,|log ,A B y y x x A ===∈，则AB =（ ）A ．{}12， B ．{}0123，，， C ．{}123，， D ．{}03，2．已知复数z 满足1i1i 2z +=--，则z =( ) ABCD ．53．已知||1,||1a b ==，a 与b 夹角为3π，则a b -与b 的夹角为（ ） A ．60︒B ．90︒C ．120︒D ．150︒4．若函数{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，且2436a a =-，则9S = （ ） A ．54B ．50C ．27D ．255．已知双曲线2221y x b-=，则该双曲线的离心率为（ ）AB ．2C ．3D ．46．设函数()()21,04,0x log x x f x x ⎧-<=⎨≥⎩，则()()233f f log -+=（ ）A ．9B ．11C ．13D ．157．若x y ，满足约束条件1010330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则目标函数3z x y =-的最小值为（ ）A ．2-B ．1C ．7-D ．3-8．如图是根据我国古代数学专著《九章算术》中更相减损术设计的程序框图，若输入的18a =，42b =，则输出的a =（ ）A ．2B ．3C ．6D ．89．设0a >，0b >，若3a 与3b 的等比中项，则14a b+的最小值为（ ）A ．2B ．83C ．3D ．10．函数()cos 2f x x =的周期是T ，将()f x 的图像向右平移4T个单位长度后得到函数()g x ，则()g x 具有性质（ ）.A ．最大值为1，图像关于直线2x π=对称B ．在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，为奇函数 C ．在3,88ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，为偶函数 D ．周期为π，图像关于点3,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称 11．设F 为抛物线的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若，则 A ．6 B ．9 C ．3 D ．412．设函数()f x 是定义在(),0-∞上的可导函数，其导函数为()f x ¢，且有()()23xf x x f x >+'，则不等式()()()382014201420f x x f +++->的解集为（ ） A ．(),2016-∞-B ．()2018,2016--C ．()2018,0-D ．(),2018-∞-二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，共20分)13．中国有个名句：“运筹帷幄之中，决胜千里之外”.其中“筹”的原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵、横两种形式，下表只给出了1~6的纵、横两种表示法：表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示，以此类推，请观察表中纵横两种表示法的特征，并用算筹表示628为_______.14．已知圆C ：221x y +=，直线l ：(2)y k x =+，在[1,1]-上随机选取一个数k ，则事件“直线l 与圆C 相交”发生的概率为____.15．已知各项均为正数的数列满足：，则________________．16．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点E ，F ，G 分别为棱AB ，AA 1，C 1D 1的中点．下列结论中，正确结论的序号是______．①过E ，F ，G 三点作正方体的截面，所得截面为正六边形； ②B 1D 1∥平面EFG ； ③BD 1⊥平面ACB 1；④异面直线EF 与BD 1所成角的正切值为2； ⑤四面体ACB 1D 1的体积等于12a 3三、解答题（本大题共6个小题，17题10分，18---22题每题12分，共70分)17．在ABC ∆中，已知2AB =，cos 10B =，4C π=.（1）求BC 的长； （2）求sin(2)3A π+的值.18．如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PCD⊥平面ABCD ，AB=2，BC=1，PC PD ==E 为PB 中点．（Ⅰ）求证：PD∥平面ACE ； （Ⅱ）求证：PD⊥平面PBC ； （Ⅲ）求三棱锥E-ABC 的体积．19．海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg ），其频率分布直方图如下：（1）网箱产量不低于40kg 为“理想网箱”，填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99.9%的把握认为“理想网箱”的数目与养殖方法有关：（2）已知旧养殖法100个网箱需要成本50000元，新养殖法100个网箱需要增加成本15750元，该水产品的市场价格为x 元/()15kg x ≥，根据箱产量的频率分布直方图（说明：同一组中的数据用该组区间的中间值作代表），采用哪种养殖法，请给养殖户一个较好的建议，并说明理由． 附参考公式及参考数据：()()()()()20n ad bc k a b c d a c b d -=++++20．已知12F F 、是椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的左、右焦点，椭圆E 的离心率为12，过原点O的直线交椭圆于C D 、两点，若四边形12CF DF 的面积最大值为 （1）求椭圆E 的方程；（2）若直线l 与椭圆E 交于,A B 且OA OB ⊥，求证：原点O 到直线l 的距离为定值．21．已知函数()()21222xf x x e x x =--++. （1）求函数()f x 的单调区间和极值； （2）证明：当1x ≥时，()31162f x x x >-.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的普通方程为y =，曲线C 的参数方程为23cos 3sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (Ⅰ)求直线l 的参数方程和极坐标方程；(Ⅱ)设直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，求11||||OA OB +大庆中学2018----2019学年度下学期期末考试高二年级 文科数学答案1 A2 C3 C4 C5 B6 B7 C8 C9 C 10 B 11 A 12 A 13①③④ 17．（1）BC =（2解：（1）因为cos 10B =，0B π<<，所以sin 10B ===. 在ABC ∆中，A B C π++=，所以()A B C π=-+， 于是sin sin(())sin()A B C B C π=-+=+4sin cos cos sin 1021025B C B C =+=+=. 在ABC ∆中，由正弦定理知sin sin BC AB A C=，所以4sin sin 5AB BC A C =⨯==. （2）在ABC ∆中，A B C π++=，所以()A B C π=-+， 于是cos cos(())cos()A B C B C π=-+=-+3(cos cos sin sin )5B C B C =--=-=⎝⎭， 于是4324sin 22sin cos 25525A A A ==⨯⨯=， 2222347cos 2cos sin 5525A A A ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因此，sin 2sin 2cos cos 2sin 333A A A πππ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭24172425225250-⎛⎫=⨯+-⨯=⎪⎝⎭. 18．（I ）见解析；（II ）见解析；（III ）16解：（I ）连结BD 交AC 于F ，连结EF ．因为底面ABCD 是矩形，所以F 为BD 中点．又因为E 为PB 中点，所以//PD EF ．因为PD ⊄平面ACE ，EF ⊂平面ACE ，所以//PD 平面ACE ．（II ） 因为底面ABCD 为矩形，所以BC CD ⊥．又因为平面PCD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，平面PCD ∩平面ABCD CD =， 所以BC ⊥平面PCD ．因为PD ⊂平面PCD ，所以BC PD ⊥．因为2PC PD CD AB ====，所以222PC PD CD +=，即PD PC ⊥．因为BC PC C =，BC ，PC ⊂平面PBC ， 所以PD ⊥平面PBC ．（III ））取CD 的中点M ，连结PM ，因为2PC PD CD AB ====，M 是CD 的中点，所以PM CD ⊥，且1PM =，因为平面PCD ⊥平面ABCD ，PM ⊂平面PCD ，平面PCD ∩平面ABCD CD =， 所以PM ⊥平面ABCD ，因为E 为PB 中点， 所以1111121122326E ABC P ABC V V --==⨯⨯⨯⨯⨯=． 所以三棱锥E ABC -C 的体积为16．19．（1）列联表见解析；有99.9%的把握认为“理想网箱”的数目与养殖方法有关；（2）当市场价格大于30元/kg 时，采用新养殖法；等于30元/kg 时，两种方法均可；小于30元/kg 时，采用旧养殖法.解：（1）由频率分布直方图可知：箱产量40kg <的数量：旧养殖法：()0.0120.0140.024510025++⨯⨯=；新养殖法：0.00451002⨯⨯=箱产量40kg ≥的数量：旧养殖法：1002575-=；新养殖法：100298-= 可填写列联表如下：则：()2200982575222.65010.82827173100100k ⨯-⨯==⨯⨯⨯＞∴有99.9%的把握认为“理想网箱”的数目与养殖方法有关（2）由频率分布直方图可得： 旧养殖法100个网箱产量的平均数：(127.50.01232.50.01437.50.02442.50.03447.50.0452.50.032x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+)57.50.0262.50.01267.50.012547.1⨯+⨯+⨯⨯=新养殖法100个网箱产量的平均数：(237.50.00442.50.0247.50.04452.50.06857.50.04662.50.01x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+)67.50.008552.35⨯⨯=设新养殖法100个网箱获利为()f x()()52.351006575052356575015f x x x x ∴=⨯-=-≥设旧养殖法100个网箱获利为()g x()()47.11005000047105000015g x x x x ∴=⨯-=-≥令()()f x g x =，解得：30x =即当30x >时，()()f x g x >；当30x =时，()()f x g x =；当30x <时，()()f x g x <∴当市场价格大于30元/kg 时，采用新养殖法；等于30元/kg 时，两种方法均可；小于30元/kg 时，采用旧养殖法.20．（1）22143x y +=（2）见解析 解：（1）由椭圆的离心率为12知， 1,22c a c a ==， ∴22223b a c c =-=，∴b =， 又四边形12CF DF面积最大值为2bc =，∴2=1,2,c a b ===所以椭圆E 的方程为22143x y +=； （2）当直线l 的斜率k 存在时，设()()1122:,,,,l y kx m A x y B x y =+， 由22{3412y kx mx y =++=得()2223484120k x kmx m +++-=， 所以21212228412,3434km m x x x x k k--+==++， 因为OA OB ⊥，所以·0OAOB=，即()()22121212121x x y y k x x km x x m +=++++ ()22222222224128712121?0343434m k m m k k m k k k---=+-+==+++， 所以()221217m k =+，原点O 到直线l的距离7d ==； 当直线l 的斜率不存在时，设直线l 的方程为x m =，则,,A m B m ⎛⎛ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由OA OB ⊥得()223404m m--=，解得m =，所以此时原点O到直线l ． 综上可知，原点O到直线l21．（1）见解析（2）见解析解：（1）由题意，函数()()21222xf x x e x x =--++，可得定义域(),-∞+∞， ()()()11x f x x e '=--，令()0f x '=得0x =或1x =，可得()(),,x f x f x '的变化情况如下表：所以函数的单调递增区间是()(),0,1,-∞+∞；单调递减区间是()0,1， 当()0,x f x =有极大值()00f =，当()1,x f x =有极小值()512f e =-． （2）令()()31162g x f x x x =-+，则()()13122x g x x e x ⎛⎫'=--- ⎪⎝⎭，设()1322xh x e x =--，则()12x h x e '=-， 当1x ≥时，()102xh x e '=->恒成立，所以()h x 在[)1,+∞上是增函数， 所以()()120h x h e ≥=->，又因为1,10x x ≥-≥，所以()()131022xg x x e x ⎛⎫'=---≥ ⎪⎝⎭， 所以()()31162g x f x x x =-+在[)1,+∞上是增函数， 所以()()17106g x g e ≥=->，也就是()311062f x x x =+>，即当1x ≥时，()31162f x x x >-．2020届高三模拟考试试卷2020届高三模拟考试试卷 22．(Ⅰ) 直线l的参数方程为12x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数) 极坐标方程为π3θ=(R ρ∈) (Ⅱ) 5解:(Ⅰ)直线l的参数方程为12x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数) 极坐标方程为π3θ=(R ρ∈) (Ⅱ)曲线C 的普通方程为22(2)9x y -+=将直线l 的参数方程代入曲线22:(2)9C x y -+=中，得2250t t --=， 设点,A B 对应的参数分别是12,t t ，则122t t +=，125t t =-12121212121111||||t t t t OA OB t t t t t t +-∴+=+====⋅。