2020-2021学年山西省晋中市榆次区八年级(上)期中数学试卷 解析版

2020-2021学年山西省晋中市榆次区八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．有理数9的平方根是（）A．±3B．﹣3C．3D．±2．下列实数，0，2π，3.1010010001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1）中有理数的个数为（）A．2B．3C．4D．53．我们学习了一次函数的图象和性质，回顾学习过程，是按照列表、描点、连线得到其图象，然后根据图象研究其性质．这种研究方法主要体现的数学思想是（）A．分类讨论B．数形结合C．转化D．抽象4．下列各组数，不可以作为直角三角形的三边长的是（）A．6，8，10B．4，6，8C．0.3，0.4，0.5D．7，24，255．和数轴上的点成一一对应关系的数是（）A．自然数B．有理数C．无理数D．实数6．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≥1B．x＞1C．x＜1D．x≤17．一个长方形的三个顶点在平面直角坐标系中的坐标分别为（﹣1，﹣1），（﹣1，2），（3，﹣1），那么第四个顶点的坐标为（）A．（3，2）B．（2，3）C．（3，3）D．（2，2）8．一个正数的两个平方根分别为a+3和4﹣2a，则这个正数为（）A．7B．10C．﹣10D．1009．一次函数y1＝k1x+b1的图象l1如图所示，将直线l1向下平移若干个单位后得直线l2，l2的函数表达式为y2＝k2x+b2．下列说法中错误的是（）A．k1＝k2B．b1＞b2C．k1＞k2D．当x＝5时，y1＞y210．已知一次函数y1＝ax+b和y2＝bx+a（ab≠0且a≠b），这两个函数的图象可能是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11．实数64的立方根是．12．已知A（m，n）在第二象限，则点B（n，m）在第象限．13．已知点（﹣2，y1），（2，y2）都在直线y＝2x﹣3上，则y1y2．（填“＜”或“＞”或“＝”）14．化简：＝．15．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位长度，依次得到点P1（0，1），P2（1，1），P3（1，0），P4（1，﹣1），P5（2，﹣1），P6（2，0）…，则P2020的坐标是．三、解答题（本大题含8个小题，共55分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（4分）在计算时，小明的解题过程如下：解：原式＝2…①＝2…②＝（2﹣1）…③＝…④（1）老师认为小明的解法有错，请你指出小明从第步开始出错的；（2）请你给出正确的解题过程．17．（6分）计算．（1）；（2）．18．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（0，2），B（2，﹣2），C（4，﹣1）．（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；点C1的坐标为；（2）判断△ABC的形状并说明理由；（3）在图中找一点D，使AD＝，CD＝．19．（5分）我国古代的数学名著《九章算术》中记载“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部3尺远．问：原处还有多高的竹子？（1丈＝10尺）20．（8分）书籍是人类进步的台阶．为了鼓励全民阅读，某图书馆开展了两种方式的租书业务：一种是使用租书卡，另一种是使用会员卡，图中l1，l2分别表示使用租书卡和会员卡时每本书的租金y（元）与租书时间x（天）之间的关系．（1）直接写出用租书卡和会员卡时每本书的租金y（元）与租书时间x（天）之间的函数关系式；（2）小红准备租某本名著50天，选择哪种租书方式比较合算？小明准备花费90元租书，选择哪种租书方式比较合算？21．（5分）请仔细阅读材料并完成相应的任务．据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根（提示：59319是一个整数的立方）．华罗庚脱口而出答案，邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？（1）由103＝1000，1003＝1000000，1000＜59319＜100000，确定是位数；（2）由59319的个位数字是9，确定的个位上的数是；（3）如果划去59319后面的319得到数59，而33＝27，43＝64，确定的十位上的数是．22．（7分）已知正比例函数y＝﹣x和一次函数y＝kx+b的图象交于点A（a，2），一次函数的图象与y轴交于点B（0，4），与x轴交于点C．（1）求a的值和一次函数表达式；（2）求△AOC的面积．23．（10分）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．（1）①请叙述勾股定理；②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种证明该定理；（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）（2）如图4，以直角三角形的三边为直径，分别向外部作半圆，则S1，S2，S3满足的关系是；（3）如图5，直角三角形的两直角边长分别为3，5，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，则图中两个月形图案（阴影部分）的面积为．2020-2021学年山西省晋中市榆次区八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．有理数9的平方根是（）A．±3B．﹣3C．3D．±【分析】直接利用平方根的定义计算即可．【解答】解：∵±3的平方是9，∴9的平方根是±3．故选：A．2．下列实数，0，2π，3.1010010001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1）中有理数的个数为（）A．2B．3C．4D．5【分析】有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【解答】解：有理数有：，，0，共有3个．故选：B．3．我们学习了一次函数的图象和性质，回顾学习过程，是按照列表、描点、连线得到其图象，然后根据图象研究其性质．这种研究方法主要体现的数学思想是（）A．分类讨论B．数形结合C．转化D．抽象【分析】根据题意，可以写出研究方法主要体现的数学思想，本题得以解决．【解答】解：由题意可得，研究方法主要体现的数学思想是数形结合的思想，故选：B．4．下列各组数，不可以作为直角三角形的三边长的是（）A．6，8，10B．4，6，8C．0.3，0.4，0.5D．7，24，25【分析】利用勾股定理逆定理进行计算即可．【解答】解：A、62+82＝102，可以构成直角三角形，故此选项不合题意；B、62+42≠82，不能构成直角三角形，故此选项符合题意；C、0.32+0.42＝0.52，可以构成直角三角形，故此选项不合题意；D、72+242＝252，可以构成直角三角形，故此选项不合题意；故选：B．5．和数轴上的点成一一对应关系的数是（）A．自然数B．有理数C．无理数D．实数【分析】根据数轴特点，数轴上的点都表示一个实数，实数都可以用数轴上的点来表示．【解答】解：∵任何实数都可以用数轴上的点来表示，数轴上的任何一点都表示一个实数，∴和数轴上的点成一一对应关系的数是实数．故选：D．6．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≥1B．x＞1C．x＜1D．x≤1【分析】根据二次根式有意义的条件判断即可．【解答】解：根据二次根式有意义的条件得：x﹣1≥0，∴x≥1，故选：A．7．一个长方形的三个顶点在平面直角坐标系中的坐标分别为（﹣1，﹣1），（﹣1，2），（3，﹣1），那么第四个顶点的坐标为（）A．（3，2）B．（2，3）C．（3，3）D．（2，2）【分析】过（﹣1，2）、（3，﹣1）两点分别作x轴、y轴的平行线，得出交点，即可得出第四个顶点的坐标．【解答】解：如图所示：过（﹣1，2）、（3，﹣1）两点分别作x轴、y轴的平行线，交点为（﹣1，﹣1）和（3，2），则第四个顶点坐标为（3，2），故选：A．8．一个正数的两个平方根分别为a+3和4﹣2a，则这个正数为（）A．7B．10C．﹣10D．100【分析】利用平方根的定义得出a+3+4﹣2a＝0，求出a，进而求出答案．【解答】解：∵一个正数的两个平方根分别为a+3和4﹣2a，∴a+3+4﹣2a＝0，解得：a＝7，则a+3＝10，4﹣2a＝﹣10，故这个正数是100．故选：D．9．一次函数y1＝k1x+b1的图象l1如图所示，将直线l1向下平移若干个单位后得直线l2，l2的函数表达式为y2＝k2x+b2．下列说法中错误的是（）A．k1＝k2B．b1＞b2C．k1＞k2D．当x＝5时，y1＞y2【分析】根据两函数图象平行k相同，以及向下平移减即可判断．【解答】解：∵将直线l1向下平移若干个单位后得直线l2，∴直线l1∥直线l2，∴k1＝k2，∵直线l1向下平移若干个单位后得直线l2，∴b1＞b2，∴当x＝5时，y1＞y2，故选：C．10．已知一次函数y1＝ax+b和y2＝bx+a（ab≠0且a≠b），这两个函数的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】根据题意和一次函数的性质，可以判断各个选项中的图象是否正确，本题得以解决．【解答】解：当a＞0，b＞0时，一次函数y1＝ax+b的图象经过第一、二、三象限，y2＝bx+a的图象经过第一、二、三象限，故选项A错误，选项B错误，选项D正确；当a＜0，b＞0时，一次函数y1＝ax+b的图象经过第一、二、四象限，y2＝bx+a的图象经过第一、三、四象限，故选项C错误；故选：D．二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11．实数64的立方根是4．【分析】利用立方根定义开立方即可求出值．【解答】解：∵43＝64，∴64的立方根是4，故答案为：412．已知A（m，n）在第二象限，则点B（n，m）在第四象限．【分析】直接利用各象限内点的坐标特点得出答案．【解答】解：∵A（m，n）在第二象限，∴m＜0，n＞0，则点B（n，m）在第四象限．故答案为：四．13．已知点（﹣2，y1），（2，y2）都在直线y＝2x﹣3上，则y1＜y2．（填“＜”或“＞”或“＝”）【分析】由k＝2＞0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而增大，再结合﹣2＜2即可得出y1＜y2．【解答】解：∵k＝2＞0，∴y随x的增大而增大，又∵﹣2＜2，∴y1＜y2．故答案为：＜．14．化简：＝π﹣3．【分析】二次根式的性质：＝a（a≥0），根据性质可以对上式化简．【解答】解：＝＝π﹣3．故答案是：π﹣3．15．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位长度，依次得到点P1（0，1），P2（1，1），P3（1，0），P4（1，﹣1），P5（2，﹣1），P6（2，0）…，则P2020的坐标是（673，﹣1）．．【分析】先根据P6（2，0），P12（4，0），即可得到P6n（2n，0），P6n+4（2n+1，﹣1），再根据P6×336（2×336，0），可得P2016（672，0），进而得到P2020（673，﹣1）．【解答】解：由图可得，P6（2，0），P12（4，0），…，P6n（2n，0），P6n+4（2n+1，﹣1），∵2016÷6＝336，∴P6×336（2×336，0），即P2016（672，0），∴P2020（673，﹣1）．故答案为：（673，﹣1）．三、解答题（本大题含8个小题，共55分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（4分）在计算时，小明的解题过程如下：解：原式＝2…①＝2…②＝（2﹣1）…③＝…④（1）老师认为小明的解法有错，请你指出小明从第③步开始出错的；（2）请你给出正确的解题过程．【分析】（1）根据二次根式的加减法克判断第③步开始错误；（2）利用二次根式的乘除法则运算，然后化简后合并即可．【解答】解：（1）小明从第③步开始出错的；故答案为③；（2）原式＝2﹣＝2﹣＝6﹣2＝4．17．（6分）计算．（1）；（2）．【分析】（1）利用二次根式的除法法则运算；（2）利用完全平方公式计算．【解答】解：（1）原式＝﹣2＝3﹣2＝1；（2）原式＝18﹣6+1＝19﹣6．18．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（0，2），B（2，﹣2），C（4，﹣1）．（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；点C1的坐标为（﹣4，﹣1）；（2）判断△ABC的形状并说明理由；（3）在图中找一点D，使AD＝，CD＝．【分析】（1）分别作出三个顶点关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可；（2）利用勾股定理逆定理求解即可；（3）利用勾股定理，结合网格求解即可．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，其中点C1的坐标为（﹣4，﹣1），故答案为：（﹣4，﹣1）；（2）∵AB2＝42+22＝20，BC2＝22+12＝5，AC2＝32+42＝25，∴AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°；（3）如图所示，点D即为所求．19．（5分）我国古代的数学名著《九章算术》中记载“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部3尺远．问：原处还有多高的竹子？（1丈＝10尺）【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺．利用勾股定理解题即可．【解答】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，根据勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2，解得：x＝．答：原处还有尺高的竹子．20．（8分）书籍是人类进步的台阶．为了鼓励全民阅读，某图书馆开展了两种方式的租书业务：一种是使用租书卡，另一种是使用会员卡，图中l1，l2分别表示使用租书卡和会员卡时每本书的租金y（元）与租书时间x（天）之间的关系．（1）直接写出用租书卡和会员卡时每本书的租金y（元）与租书时间x（天）之间的函数关系式；（2）小红准备租某本名著50天，选择哪种租书方式比较合算？小明准备花费90元租书，选择哪种租书方式比较合算？【分析】（1）根据题意和函数图象，可以分别写出用租书卡和会员卡时每本书的租金y （元）与租书时间x（天）之间的函数关系式；（2）根据题意，可以计算出小红两种租书方式，哪种方式花费少，从而可以得到选择哪种租书方式比较合算；再根据小明准备花费90元租书，可以计算出两种租书方式小明可以租借的天数，然后比较大小，即可得到小明准备花费90元租书，选择哪种租书方式比较合算．【解答】解：（1）设直线l1对应的函数解析式为y＝kx，200k＝60，解得k＝0.3，即直线l1对应的函数解析式为y＝0.3x，设直线l2对应的函数解析式为y＝ax+b，，解得，即直线l2对应的函数解析式为y＝0.2x+20，由上可得，用租书卡时每本书的租金y（元）与租书时间x（天）之间的函数关系式是y ＝0.3x，用会员卡时每本书的租金y（元）与租书时间x（天）之间的函数关系式是y＝0.2x+20；（2）当x＝50时，租书卡的租金为0.3×50＝15（元），会员卡的租金为0.2×50+20＝30（元），∵15＜30，∴小红准备租某本名著50天，选择租书卡租书方式比较合算；当y＝90时，租书卡可以租用90÷0.3＝300（天），会员卡可以租用（90﹣20）÷0.2＝350（天），∵300＜350，∴小明准备花费90元租书，选择会员卡租书方式比较合算．21．（5分）请仔细阅读材料并完成相应的任务．据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根（提示：59319是一个整数的立方）．华罗庚脱口而出答案，邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？（1）由103＝1000，1003＝1000000，1000＜59319＜100000，确定是两位数；（2）由59319的个位数字是9，确定的个位上的数是9；（3）如果划去59319后面的319得到数59，而33＝27，43＝64，确定的十位上的数是3．【分析】（1）根据59319大于1000而小于1000000，即可确定59319的立方根是2位数；（2）根据一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数，据此即可确定；（3）根据数的立方的计算方法即可确定．【解答】解：（1）∵1000＜59319＜1000000，∴，∴是两位数；（2）只有个位数是9的立方数的个位数依然是9，∴的个位数是9；（3）∵27＜59＜64，∴，∴的十位数是3．故答案为：（1）两；（2）9；（3）3．22．（7分）已知正比例函数y＝﹣x和一次函数y＝kx+b的图象交于点A（a，2），一次函数的图象与y轴交于点B（0，4），与x轴交于点C．（1）求a的值和一次函数表达式；（2）求△AOC的面积．【分析】（1）根据正比例函数解析式求得a的值，进而运用待定系数法求得一次函数的解析式；（2）先求得C的坐标，然后根据三角形面积公式即可求得．【解答】解：（1）将A（a，2）代入y＝﹣x，得：2＝﹣a，则a＝﹣2，∴A（﹣2，2），将A（﹣2，2）和B（0，4）代入y＝kx+b中，得：，解得：，则一次函数表达式为y＝x+4；（2）把y＝0代入y＝x+4，得x＝﹣4，∴C（﹣4，0），∴S△AOC＝＝4．23．（10分）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．（1）①请叙述勾股定理；②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种证明该定理；（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）（2）如图4，以直角三角形的三边为直径，分别向外部作半圆，则S1，S2，S3满足的关系是S1+S2＝S3；（3）如图5，直角三角形的两直角边长分别为3，5，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，则图中两个月形图案（阴影部分）的面积为7.5．【分析】（1）①如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2＝c2．②证明见解析部分．（2）根据勾股定理解答即可．（3）根据勾股定理解答即可．【解答】解：（1）①如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2＝c2（或者：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．）．②证明：在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．即c2＝ab×4+（b﹣a）2，化简得：a2+b2＝c2．在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．即（a+b）2＝c2+ab×4，化简得：a2+b2＝c2．在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和．即（a+b）（a+b）＝ab×2+c2，化简得：a2+b2＝c2．（2）S1，S2，S3满足的关系是S1+S2＝S3，∵S1+S2＝π（）2+π（）2，S3＝π（）2，∵a2+b2＝c2．∴S1+S2＝S3．（3）图中两个月形图案（阴影部分）的面积：S1+S2＝π（）2+π（）2+S3﹣π（）2＝S△ABC＝，故答案为：（2）S1+S2＝S3；（3）7.5．。