锐角三角比的练习题

沪教版九年级上册数学第二十五章锐角的三角比含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、已知：如图在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：①BD=CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC=45°；④BE2=2（AD2+AB2），其中结论正确的个数是A.1B.2C.3D.42、已知在Rt△ABC中，∠C=90°．若sinA=，则cosA等于（）A. B. C. D.13、如图，在等腰中，，，是上一点，若，则的长为（）.A.2B.C.D.14、如图在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15，sinA=，则BC等于（）A.45B.5C.D.5、如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α，AC＝7米，则树高BC为(用含α的代数式表示（）A.7sin 米B.7cos 米C.7tan 米D. 米6、在中，，AB=15，sinA=，则BC等于（）A.45B.5C.D.7、如图，直线OA过点（2，1），直线OA与x轴的夹角为α，则tanα的值为（）A. B. C.2 D.8、点关于x轴对称的点的坐标是（）A. B. C. D.9、sin30°的相反数（）A. B.﹣ C. D.10、在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则cosB的值等于（）A. B. C. D.11、如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB．则cos∠AOB的值等于（）A. B. C. D.12、的值等于（）A. B. C. D.13、如图，在Rt△ABC中，BC 2，∠BAC 30°，斜边AB的两个端点分别在相互垂直的射线OM，ON上滑动，下列结论：①若C，O两点关于AB对称，则OA ；②C，O两点距离的最大值为4；③若AB平分CO，则AB⊥CO；④斜边AB的中点D运动路径的长为.其中正确的是（）A.①②B.①②③C.①③④D.①②④14、已知∠B是△ABC中最小的内角，则sinB的取值范围是（）A.0＜sinB＜B.0＜sinB＜C.0＜sinB＜D.0＜sinB≤15、如图，为了对一颗倾斜的古杉树AB进行保护，需测量其长度：在地面上选取一点C，测得∠ACB=45°，AC=24m，∠BAC=66.5°，（参考数据：≈1.414，sin66.5°≈0.92，cos66.5°≈0.40，tan66.5°≈2.30）．则这颗古杉树AB的长约为（）A.7.27B.16.70C.17.70D.18.18二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，在边长为的菱形中，，点分别是上的动点，且与交于点.当点从点运动到点时，则点的运动路径长为________.17、如图是一个仰卧起坐健身器侧面示意图，、是支架，是坐垫，为靠背（可绕点旋转），，，当时，点到地面的距离为________ ．（，，，，）18、小明为测量校园里一颗大树的高度，在树底部B所在的水平面内，将测角仪竖直放在与B相距的位置，在D处测得树顶A的仰角为．若测角仪的高度是，则大树的高度约为________．（结果精确到．参考数据：）19、计算：|1﹣|+ ﹣•tan30°＝________.20、如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，若AD=BC，则cos∠B=________．21、如图，BD和CE是△ABC的高，点M为BC的中点，连接DE，过点M作DE 的垂线，垂足为点P．若PM=5，DE=6，tan∠DBC= ，则CD的长为________．22、计算“2sin30°-（π- ）0+| -1|+（）-1”的结果是 ________.23、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点G是△ABC的重心，CG＝2，sin∠ACG＝，则BC长为________．24、用科学计算器计算：8+sin56°≈________ ．（精确到0.01）25、如图，△ABC是一张直角三角形纸片，∠C=90°，两直角边AC=6cm、BC=8cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为EF，则tan∠CAE=________．三、解答题(共5题，共计25分)26、计算：（－2）－1－+cos600+( )0+82019×(－0.125)2019.27、如图，铜亭广场装有智能路灯，路灯设备由灯柱AC与支架BD共同组成（点C处装有安全监控，点D处装有照明灯），灯柱AC为6米，支架BD为2米，支点B到A的距离为4米，AC与地面垂直，∠CBD=60°．某一时刻，太阳光与地面的夹角为45°，求此刻路灯设备在地面上的影长为多少？28、先化简，再求值：b2﹣÷（a﹣），其中a=tan45°，b=2sin60°．29、一辆汽车在处测得东北方向（北偏东）有一古建筑，汽车向正东方向以每小时40公里的速度行驶1小时到达处时，又观测到古建筑在北偏东方向上，求此时汽车与古建筑相距多少公里？（，，，）30、如图，点B是双曲线y＝（k≠0）上的一点，点A在x轴上，且AB＝2，OB⊥AB，若∠BAO＝60°，求k的值．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、C2、A3、A4、B5、C6、B7、B8、D9、C10、B11、B12、B13、D14、D15、D二、填空题(共10题，共计30分)17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、29、。

《锐角的三角比》全章复习与巩固（基础） 巩固练习【巩固练习】 一、选择题1．如图所示，在Rt △ABC 中，tan B =，BC =AC 等于（ ）．A ．3B ．4C ．．6 2．已知α为锐角，则sin cos m αα=+的值（ ）． A ．m ≥1 B ．m ＝1 C ．m ＜1D ．m ＞13．如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ⊥AB ，AD ＝CD ，cos ∠DCA ＝45，BC ＝10，则AB 的值是( )． A ．3 B ．6 C ．8 D ．9第1题图 第3题图 第4题图 4．如图所示，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，3cos 5A =，BE ＝2，cot ∠DBE 的值是( )．A.125．如图所示，在四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，若EF ＝2，BC ＝5，CD ＝3，则tanC 等于( )．A ．34 B ．43 C ．35 D ．45第5题图 第7题图6．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin 2B =，则cosA 的值为（ ）．A ．12 B ．2C 7．如图所示，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB 为( )．A ．5cos α米B ．5cos α米 C ．5sin α米 D ．5sin α米 8．等腰三角形一腰上的高与腰长之比是1:2，则等腰三角形顶角的度数为（ ）．A ．30°B ．50°C ．60°或120°D ．30°或150°二、填空题9．计算：101|245| 1.41)3-⎛⎫--+= ⎪⎝⎭°________．10．如图所示，已知Rt △ABC 中，斜边BC 上的高AD ＝4，4cos 5B =，则AC ＝________． 11．如图所示，将以A 为直角顶点的等腰直角三角形ABC 沿直线BC 平移得到A B C '''△，使点B '与C 重合，连接A B '，则tan ∠A BC ''的值为________．第10题图 第11题图 第12题图12．如图所示，一架梯子斜靠在墙上，若梯子底端到墙的距离AC ＝3米，3cos 4BAC ∠=，则梯子长AB ＝_______米．13.如图所示，已知正方形ABCD 的边长为2，如果将线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落在CB 的延长线上的D ' 处，那么tan ∠BAD ′等于________．第13题图 第15题图 14．一次函数经过(cot 45°，tan 60°)和(-cos 60°，-6tan30°)，则此一次函数的解析式为________． 15．如图所示，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 边的中线，AC ＝6，CD ＝5，则sinA 等于________． 161是方程2(3tan )0x x θ-的一个根，θ是三角形的一个内角，那么cos θ的值 为________．三、解答题17. 为了缓解长沙市区内一些主要路段交通拥挤的现状，交警队在一些主要路口设立了交通路况显示牌(如图所示)．已知立杆AB 高度是3 m ，从侧面D 点测得显示牌顶端C 点和底端B 点的仰角分别是60°和45°．求路况显示牌BC 的高度．18．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝8，∠B＝60°，BC＝12，连接AC．(1)求tan∠ACB的值；(2)若M、N分别是AB、DC的中点，连接MN，求线段MN的长．19．如图所示，点E、C在BF上，BE＝FC，∠ABC＝∠DEF＝45°，∠A＝∠D＝90°．(1)求证：AB＝DE；(2)若AC交DE于M，且AB ME CE绕点C顺时针旋转，使点E旋转到AB上的G处，求旋转角∠ECG的度数．20. 如图所示，AB是⊙O的直径，点C在BA的延长线上，直线CD与⊙O相切于点D，弦DF⊥AB于点E，线段CD＝10，连接BD．(1)求证：∠CDE＝2∠B；(2)若BD:AB，求⊙O的半径及DF的长．【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】A ；【解析】由tan AC B BC =知tan 32AC BC B ===． 2.【答案】D ；【解析】在Rt △ABC 中，设α所对的边为a ，斜边为c ，邻边为b ．则sin a c α=，cos bcα=， ∴sin cos a b a bm c c cαα+=+=+=，而a b c +>，∴m ＞1 3.【答案】B ；【解析】因为AD ＝DC ，所以∠DAC ＝∠DCA ，又∵ AD ∥BC ，∴∠DAC ＝∠ACB ，所以∠DCA ＝∠ACB ．在Rt △ACB 中，AC ＝BC ·cos ∠BCA ＝41085⨯=，则6AB ==．4.【答案】A ；【解析】∵DE ⊥AB ，∴在Rt △ADE 中，cosA ＝35． ∴设AD ＝5k ，则AE ＝3k ，DE ＝4k ，又BE ＝2，AD ＝AB ， ∴5k ＝3k+2，∴k ＝1．∴DE ＝4． ∴cot ∠DBE ＝2142BE DE ==． 5.【答案】B ；【解析】如图所示，连结BD ，由三角形中位线定理得BD ＝2EF ＝2×2＝4，又BC ＝5，CD ＝3，∴CD 2+BD 2＝BC 2．∴△BDC 是直角三角形．且∠BDC ＝90°，∴4tan 3BD C CD ==．6.【答案】C ；【解析】∵sin B =，∴∠B ＝60°，∠A ＝90°－60°＝30°，∴cos A =． 7．【答案】B ；【解析】由上图知ABC α∠=，在Rt △ABC 中，cos BC AB α=．∴5cos AB α=． 8．【答案】D ；【解析】有两种情况：当∠A 为锐角时，如图(1)，sin A ＝12，∠A ＝30°；当∠A 为钝角时，如图(2)，sin(180°－∠BAC)＝12，180°－∠BAC ＝30°，∠BAC ＝150°．二、填空题9．【答案】2【解析】原式＝3|21422--+=-= 10．【答案】5；【解析】在Rt △ABC 中，．AD ⊥BC ，所以∠CAD ＝∠B ．∴cos cos AD CAD B AC =∠=，∴45AD AC =， 又∵AD ＝4，∴AC ＝5．．11．【答案】13； 【解析】如图，过A '作A D BC ''⊥于点D ，在Rt △A B D ''中，设A D x '=，则B ′D=x ，BC=2x,BD=x+2x=3x,∴tan ∠A BC ''='A D BD =13.12．【答案】4 ； 【解析】由3cos 4AC BAC AB ∠==，知334AB =，AB ＝4．13．【解析】由题意知BD BD '==Rt △ABD ′中，tan 2BD BAD AB ''∠===14．【答案】y =【解析】cot45°＝1， tan60-cos60°＝12-，-6tan30°＝-．设y ＝kx+b 经过点、1,2⎛-- ⎝，则用待定系数法可求出k =b =15．【答案】45； 【解析】∵ CD 是Rt △ABC 斜边上的中线，∴ AB ＝2CD ＝2×5＝10，BC 8=，∴ 84sin 105BC A AB ===．16．【答案】2；【解析】由方程解的意义，知21)3tan (21)0θ-+=，故tan 1θ=，从而45θ=°，则cos cos 452θ==°． 三、解答题17.【答案与解析】∵在R △ADB 中，∠BDA ＝45°，AB ＝3，∴DA ＝3．在Rt △ADC 中，∠CDA ＝60°，∴tan 60CAAD=°，∴CA ＝BC ＝CA －BA ＝(3)m ．答：路况显示牌BC 的高度是(3)m ．18.【答案与解析】(1)如图所示，作AE ⊥BC 于E ，则BE ＝AB ·cos B ＝8cos 60°＝1842⨯=．AE ＝AB ·sin B ＝8sin 60°＝8= ∴EC ＝BC －BE ＝12—4＝8．∴在Rt △ACE 中，tan ∠ACB ＝AE EC == (2)作DF ⊥BC 于F ，则AE ∥DF ，∵AD ∥EF ，∴四边形AEFD 是矩形．AD ＝EF ． ∵AB ＝DC ，∴∠B ＝∠DCF ．又∵∠AEB ＝∠DFC ＝90°，∴△ABE △≌△DCF(AAS)． ∴FC ＝BE ＝4，∴EF ＝BC －BE —FC ＝4．∴AD ＝4．∴MN ＝12(AD+BC)＝12×(4+12)＝8．19.【答案与解析】(1)证明：∵BE ＝FC ，∴BC ＝EF ． 又∵∠ABC ＝∠DEF ，∠A ＝∠D ， ∴△ABC ≌△DEF ．∴AB ＝DE ．(2)解：∵∠DEF ＝∠B ＝45°，∴DE ∥AB ．∴∠CME ＝∠A ＝90°．∴AC ＝AB MC ＝ME CG ＝CE ＝2．在Rt △CAG 中，cos AC ACG CG ∠==，∴∠ACG ＝30°． ∴∠ECG ＝∠ACB －∠ACB ＝45°－30°＝15°．20.【答案与解析】(1)连接OD ，∵直线CD 与⊙O 相切于点D ，∴ OD ⊥CD ，∴∠CD0＝90°，∴∠CDE+∠ODE ＝90°．又∵DF ⊥AB ，∴∠DEO ＝∠DEC ＝90°，∴∠EOD+∠ODE ＝90°． ∴∠CDE ＝∠EOD ．又∵∠EOD ＝2∠B ； ∴ ∠CDE ＝2∠B ． (2)连接AD ．∵ AB 是⊙O 的直径，∴∠B ＝90°．∵BD:AB ，∴在Rt △ADB 中，cos 2BD B AB ==， ∴∠C ＝30°，∵∠AOD ＝2∠CDO ＝60°．又∵∠CDO ＝90°，∴∠C ＝30°， ∵在Rt △CDO 中，CD ＝10，∴ OD ＝10tan 30O 在Rt △CDE 中，CD ＝10，∠C ＝30°，∴DE ＝CDsin 30°＝5．∵弦DF ⊥直径AB 于点E ，∴DE ＝CDsin30°＝5． ∵弦DF ⊥直径AB 于点E ， ∴DE ＝EF ＝12DF ， ∴DF ＝2DE ＝10．。

沪教版九年级上册数学第二十五章锐角的三角比含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、拦水坝横断面如图所示，迎水坡的坡度（坡的竖直高度与水平宽度的比）是，坝高，则坡面的长度是（）A. B. C. D.2、如图，一个梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子AB的长是2米．若梯子与地面的夹角为，则梯子顶端到地面的距离（BC的长）为（）A. 米B. 米C. 米D. 米3、已知CD是Rt△ABC斜边AB上的高，AC＝8，BC＝6，则cos∠BCD的值是（）A. B. C. D.4、如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC= ，∠ADC= ，则竹竿AB与AD的长度之比为A. B. C. D.5、如图，⊙O与正方形ABCD是两边AB，AD相切，DE与⊙O相切于点E，若正方形ABCD的边长为5，DE＝3，则tan∠ODE为（）A. B. C. D.6、如图，已知点A（-1，0）和点B（1，2），在坐标轴上确定点P，使得△ABP为直角三角形，则满足这样条件的点P共有（）A.2个B.3个C.6个D.7个7、在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西54°的方向，同时轮船B在南偏东15°的方向，那么∠AOB的大小为（）A.70°B.110°C.120°D.141°8、某人沿倾斜角为30°的斜坡前进50米，则他上升的最大高度为（）A.25米B.25 米C.20 米D.25 米9、下列计算结果正确的是（）A. （﹣a3）2=a9B. a2•a3=a6C. ﹣22=﹣2D.-=110、在Rt△ABC中，∠C=900，则下列式子成立的是（）A.sinA=sinBB.sinA=cosBC.tanA=tanBD.cosA=tanB11、已知Rt△ABC中，∠C=90º，那么cosA表示（）的值A. B. C. D.12、国家近年来实施了新一轮农村电网改造升级工程，解决了农村供电“最后1公里”问题，电力公司在改造时把某一输电线铁塔建在了一个坡度为1：0.75的山坡CD的平台BC上（如图），测得∠AED＝52°，BC＝5米，CD＝35米，DE ＝19米，则铁塔AB的高度约为（参考数据：sin52°≈0.79，tan52°≈1.28）（）A.28米B.29.6米C.36.6米D.57.6米13、对于sin60°有下列说法：①sin60°是一个无理数；②sin60°>sin50°；③sin60°=6sin10°。

篇一：青岛版九上数学2.1锐角三角比练习题锐角三角比练习题例1 在RtABC中，ACB90，BC1，AB2，那么以下结论正确的选项是〔〕A．sinA13 B．tanA C．cosB D．tanB 22213例2 在RtABC中，C90，假设sinB，那么cosA的值为〔〕A． 1233 B． C．1 D． 332ACB90，CDAB于点D。

例1 如图，在RtABC中，AC，BC2，那么sinACD〔〕A．225 B． C． D． 3352例2在RtABC中，C90，sinB，那么35BC________ AB例3 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成以下各题：〔1〕请你在ACD的三个内角中任选一个锐角，假设你所选的锐角是__________，那么它所对应的正弦函数值是__________〔2〕假设E为BC的中点，那么tanCAE的值是__________21.2 30、45、60角的三角函数值例 tan30的值等于〔〕A． B．123 C． D．3 23例1 计算tan602sin452cos30的结果是〔〕A．2 B． C．2 D．1 例2 求满足以下条件的锐角〔1〕2cos(10)10；〔2〕(tan1)(tan3)021.4 解直角三角形C90，AB5，AC4，nisA的值为__________ 例1 在RtABC中，那么C90，CAB、C的对边分别为a、b、c，B、例2 如图，在ABC中，且b8，CAB的平分线AD16，解这个直角三角形 3例3 如图，：在ABC中，A60，B45，AB8，求ABC的面积〔结果可保存根号〕例如图，ABC中，C90，ACBC7(ACBC)，AB5，那么tanB________21.5 应用举例例1 如图，在坡屋顶的设计图中，ABAC，屋顶的宽度l为10米，坡角为35，那么坡屋顶高度h为__________米。

〔结果精确到0.1米〕例2 为保护各国商船的平安通行，我海军某部奉命前往某海域执行护航任务。

专题02锐角的三角比（考题猜想，易错必刷40题7种题型专项训练）锐角三角函数的定义 特殊角的三角函数值解直角三角形 解直角三角形的应用解直角三角形的应用-坡度坡角问题 有理数大小比较解直角三角形的应用-方向角问题一．锐角三角函数的定义（共2小题）1．（2024•闵行区）在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，3AB =，2AC =，那么cos A 的值是()A ．13B ．23C ．D 2．（2023•松江区一模）已知Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，2AC =，3BC =，那么下列结论正确的是()A ．2tan 3A =B ．2cot 3A =C ．2sin 3A =D ．2cos 3A =二．特殊角的三角函数值（共7小题）3．（2023秋•宝山区期中）tan 45︒的值等于()A ．2B ．1CD 4．（2024•崇明区）计算：2sin 60cos 45cos303tan 30︒︒-+︒︒．5．（2023秋•金山区期末）计算：2sin 451cot 60cos30tan 45︒-+︒⋅︒︒．6．（2023秋•闵行区期中）计算：cos 45tan 60cot 451sin 30︒-︒-︒-︒．7．（2023秋•黄浦区校级期中）计算：2tan 452cos 45sin 60cot 30︒-+︒︒⋅︒．8．（2023秋•长宁区校级期中）计算：tan 452|1sin 60|cot 302cos 45︒-︒+︒-︒．9．（2023秋•浦东新区校级期中）计算：sin 45cos30sin 30(cos 45sin 60)32cos 60︒+︒-︒︒-︒-︒三．解直角三角形（共4小题）10．（2023秋•长宁区校级月考）已知点(1,2)A 在平面直角坐标系xOy 中，射线OA 与x 轴正半轴的夹角为α，那么cos α的值为．11．（2022秋•嘉定区校级期末）已知在DEF ∆中，12DE DF ==，10EF =，那么cos E =．12．（2022秋•金山区校级期末）如图，在ABC ∆中，1sin 4B =，1tan 2C =，4AB =，则AC 的长为．13．（2022秋•奉贤区期中）已知：如图，在ABC ∆中，15AB AC ==，4tan 3A =．求：（1）ABC S ∆；（2）B ∠的余弦值．四．解直角三角形的应用（共4小题）14．（2022•徐汇区模拟）激光电视的光源是激光，它运用反射成像原理，屏幕不通电无辐射，降低了对消费者眼睛的伤害．根据THX 观影标准，当观影水平视场角“θ”的度数处于33︒到40︒之间时（如图1)，双眼肌肉处于放松状态，是最佳的感官体验的观影位．（1）小丽家决定要买一个激光电视，她家客厅的观影距离（人坐在沙发上眼睛到屏幕的距离）为3.5米，小佳家要选择电视屏幕宽（图2中的BC 的长）在什么范围内的激光电视就能享受黄金观看体验？（结果精确到0.1m ，参考数据：sin 330.54︒≈，tan 330.65︒≈，sin 400.64︒≈，tan 400.84︒≈，sin16.50.28︒≈，tan16.50.30︒≈，sin 200.34︒≈，tan 200.36)︒≈（2）由于技术革新和成本降低，激光电视的价格逐渐下降，某电器商行经营的某款激光电视今年每台销售价比去年降低4000元，在销售量相同的情况下，今年销售额在去年销售总额100万元的基础上减少20%，今年这款激光电视每台的售价是多少元？15．（2022•长宁区模拟）冬至是一年中太阳光照射最少的日子，如果此时楼房最低层能采到阳光，一年四季整座楼均能受到阳光的照射，所以冬至是选房买房时确定阳光照射的最好时机．某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼．该居民楼的一楼是高6米的小区超市，超市以上是居民住房，在该楼前面20米处要盖一栋高25米的新楼．已知上海地区冬至正午的阳光与水平线夹角为29︒（参考数据：sin290.48︒≈；︒≈cos290.87︒≈；tan290.55)（1）冬至中午时，超市以上的居民住房采光是否有影响，为什么？（2）若要使得超市全部采光不受影响，两楼应至少相距多少米？（结果保留整数）16．（2023秋•静安区期中）图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚10OA OB==分米，晾衣臂支架6HG FE==∠=︒，晾衣臂10CODOC OD==分米，展开角60分米，且4≈==分米． 1.73)HO FO（1）当90∠=︒时，求点A离地面的距离AM约为多少分米；（结果精确到0.1)AOC（2）当OB从水平状态旋转到OB'（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB'上的点E'处，求''-为多少分米．B E BE17．（2022•崇明区二模）为解决群众“健身去哪儿”问题，某区2021年新建、改建90个市民益智健身苑点，图1是某益智健身苑点中的“侧摆器”．锻炼方法：面对器械，双手紧握扶手，双脚站立于踏板上，腰部发力带动下肢做左右摆式运动．（1）如图2是侧摆器的抽象图，已知摆臂OA的长度为80厘米，在侧摆运动过程中，点A为踏板中心在侧摆运动过程中的最低点位置，点B为踏板中心在侧摆运动过程中的最高点位置，25BOA∠=︒，求踏板中心点在最高位置与最低位置时的高度差．（精确到0.1厘米）(sin250.423︒≈，cos250.906︒≈，tan250.466)︒≈（2）小杰在侧摆器上进行锻炼，原计划消耗400大卡的能量，由于小杰加快了运动频率，每小时能量消耗比原计划增加了100大卡，结果比原计划提早12分钟完成任务，求小杰原计划完成锻炼需多少小时？五．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共5小题）18．（2024•南岗区校级一模）如图，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为()A．5cosαB．5cosαC．5sinαD．5sinα19．（2022秋•黄浦区期末）如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为20厘米，宽度为30厘米，那么斜面AB 的坡度为．20．（2023秋•杨浦区期末）小华沿着坡度1:3i =的斜坡向上行走了米，那么他距离地面的垂直高度上升了米．21．（2023•普陀区二模）如图，斜坡AB 的坡度1i =AH 的情况下将坡度变缓，调整后的斜坡AC 的坡度21:2.4i =，已知斜坡10AB =米，那么斜坡AC =米．22．（2022秋•静安区校级期末）某大型购物中心为方便顾客地铁换乘，准备在底层至1B 层之间安装电梯，截面图如图所示，底层与1B 层平行，层高AD 为9米，A 、B 间的距离为6米，20ACD ∠=︒．（1）请问身高1.9米的人在竖直站立的情况下搭乘电梯，在B 处会不会碰到头？请说明理由．（2）若采取中段平台设计（如图虚线所示）．已知平台//EF DC ，且AE 段和FC 段的坡度1:2i =，求平台EF 的长度．【参考数据：sin 200.34︒≈，cos 200.94︒≈，tan 200.36︒≈】六．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共16小题）23．（2023秋•嘉定区期末）一架飞机在离地面6000米的上空测得某一建筑物底部的俯角为30︒，此时这架飞机与这一建筑物底部之间的距离是()A．6000米B．12000米C．60003米D．120003米24．（2023•崇明区一模）飞机离水平地面的高度为3千米，在飞机上测得该水平地面上的目标A点的俯角为α，那么此时飞机与目标A点的距离为千米．（用α的式子表示）25．（2024•徐汇区校级三模）社团活动课上，九年级学习小组测量学校旗杆的高度．如图，他们在B处测得旗杆顶部A的仰角为60︒，6BC m=，则旗杆AC的高度为m．26．（2023秋•松江区期末）如图，A处有一垂直于地面的标杆AM，热气球沿着与AM的夹角为15︒的方向升空，到达B处，这时在A处的正东方向200米的C处测得B的仰角为30(AM︒、B、C在同一平面内）．求≈A、B之间的距离．（结果精确到1米，2 1.414)27．（2022秋•闵行区期末）2022年11月12日10时03分，搭载天舟五号货运飞船的长征七号遥六运载火箭，在海南文昌航天发射场成功发射．天舟五号货运飞船重约13.6吨，长度10.6BD=米，货物仓的直径可达3.35米，是世界现役货物运输能力最大、在轨支持能力最全面的货运飞船，堪称“在职最强快递小哥”．已知飞船发射塔垂直于地面，某人在地面A处测得飞船底部D处的仰角45︒，顶部B处的仰角为53︒，求此时观测点A到发射塔CD的水平距离（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin530.80︒≈，︒≈，cos530.60︒≈tan53 1.33)28．（2022秋•闵行区期中）如图，在电线杆上的C处引拉线CE和CF固定电线杆．在离电线杆6米的B处安置测角仪（点B、E、D在同一直线上），在点A处测得电线杆上C处的仰角为30︒．已知测角仪的高AB 3米，拉线CE的长为6米，求测角仪底端（点)B与拉线固定点（E）之间的距离．29．（2024•上海模拟）如图，某处有一座塔AB，塔的正前方有一平台DE，平台的高5DG=米，斜坡CD 的坡度5:12i=，点A，C，G，F在同一条水平直线上．某数学兴趣小组为测量该塔的高度，在斜坡C处测得塔顶部B的仰角为54.5︒，在斜坡D处测得塔顶部B的仰角为26.7︒，求塔高AB．（精确到0.1米）（参考数据：tan54.5 1.40︒≈︒≈，sin26.70.45︒≈，cos26.70.89)︒≈，tan26.70.50︒≈，sin54.50.81︒≈，cos54.50.5830．（2024•崇明区）如图，某校九年级兴趣小组在学习了解直角三角形知识后，开展了测量山坡上某棵大树高度的活动．已知小山的斜坡BM的坡度1:3BN，i=，在坡面D处有一棵树AD（假设树AD垂直水平线)在坡底B处测得树梢A的仰角为45︒，沿坡面BM方向前行30米到达C处，测得树梢A的仰角ACQ∠为60︒．（点B、C、D在一直线上）（1）求A、C两点的距离；（2）求树AD的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：3 1.732)≈31．（2023秋•黄浦区期末）在世纪公园的小山坡上有一棵松树，初三（3）班的雏鹰小队带着工具对这棵松树进行测量，并试图利用所学的数学知识与方法推算出这棵松树的高度．他们选好位置架设测角仪先测出了这棵松树的根部与顶端的仰角，并绘制了如下示意图：测角仪为MN ，树根部为B 、树顶端为A ，其中1.5MN m =，视线MB 的仰角为α（已知1tan )6α=，视线MA 的仰角为β（已知3tan )4β=．（1）测得这两个数据后，小明说：“我可以算出这棵松树的高度了．”小聪接着说：“不对吧，只知道这两个角度，这个示意图显然是可以进行放大或缩小的，高度一定是确定不了的．如果还能测出测角仪到松树的垂直距离，即图示中NH 的长度，就可以了．”设NH a =，请你用含有a 的代数式表示松树()AB 的高度．（2）小明又反问道：“虽然我们带了尺，是一把刻度精确到1分米，长为2米的直尺，但也没有办法量出NH 的长度，我们总不能把坡给挖平了吧？”请你想一个测量办法，利用现有的工具，测量出有关数据（数据可以用字母常数表示），并用含有这些字母常数的表达式表示出松树()AB 的高度．32．（2023秋•长宁区期末）小明为测量河对岸大楼的高度，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示．测量方法：如图2，人眼在P点观察所测物体最高点C，量角器零刻度线上A、B两点均在视线PC上，将铅锤悬挂在量角器的中心点O．当铅锤静止时，测得视线PC与铅垂线OD所夹的角为α，且此时的仰角为β．实践操作：如图3，小明利用上述工具测量河对岸垂直于水平地面的大楼EF的高度．他先站在水平地面的点H处，视线为GE，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为60︒；然后他向前走10米靠近大楼站在水平地面的点R处，视线为QE，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为45︒．问题解决：（1）请用含α的代数式表示仰角β；（2）如果GH、QR、EF在同一平面内，小明的眼睛到水平地面的距离为1.6米，求大楼EF的高度．（结果保留根号）33．（2023秋•静安区期末）如图，某建筑物AB 高为200米，某人乘热气球来到距地面400米的C 处（即CE 长为400米）．此时测得建筑物顶部A 的俯角为α，当乘坐的热气球垂直上升到达D 处后，再次测得建筑物顶部A 的俯角为β．(tan 1.25,tan 1.75)αβ==（1）请在图中标出俯角α、β，并用计算器求α、β的大小：α≈，β≈；（精确到“1”)（2）求热气球上升的垂直高度（即CD 的长）．34．（2023秋•嘉定区期末）如图，小山的顶部是一块平地，在这块平地上有一座古塔CD ．小山斜坡AB 的坡度为1:2.4i =，坡长AB 为39米，在小山的坡底A 处测得该塔的塔顶C 的仰角为45︒，在坡顶B 处测得该塔的塔顶C 的仰角为74︒．（1）求坡顶B 到地面AH 的距离BH 的长；（2）求古塔CD 的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin 740.96︒≈，cos 740.28︒≈，tan 74 3.49)︒≈35．（2022秋•嘉定区期末）《海岛算经》是中国古代测量术的代表作，原名《重差》．这本著作建立起了从直接测量向间接测量的桥梁．直至近代，重差测量法仍有借鉴意义．如图2，为测量海岛上一座山峰AH 的高度，直立两根高2米的标杆BC 和DE ，两杆间距BD 相距6米，D 、B 、H 三点共线．从点B 处退行到点F ，观察山顶A ，发现A 、C 、F 三点共线，且仰角为45︒；从点D 处退行到点G ，观察山顶A ，发现A 、E 、G 三点共线，且仰角为30︒．（点F 、G 都在直线HB 上）（1）求FG 的长（结果保留根号）；（2）山峰高度AH 的长（结果精确到0.1米）．（参考数据：2 1.41≈，3 1.73)≈36．（2023秋•青浦区期末）北淀浦河上的浦仓路桥是一座融合江南水乡文化气息的现代空间钢结构人行廊桥．某校九年级数学兴趣小组开展了测量“浦仓路桥顶部到水面的距离”的实践活动，他们的操作方法如下：如图，在河的一侧选取B 、C 两点，在B 处测得浦仓路桥顶部点A 的仰角为22︒，再往浦仓路桥桥顶所在的方向前进17米至C 处，在C 处测得点A 的仰角为37︒，在D 处测得地面BD 到水面EF 的距离DE 为1.2米（点B 、C 、D 在一条直线上，//BD EF ，DE EF ⊥，)AF EF ⊥，求浦仓路桥顶部A 到水面的距离AF ．（精确到0.1米）（参考数据：sin 220.37︒≈，cos 220.93︒≈，tan 220.40︒≈，sin 370.60︒≈，cos 370.80︒≈，tan 370.75)︒≈37．（2023•长宁区二模）为了测量某建筑物的高度BE ，从与建筑物底端B 在同一水平线的点A 出发，沿着坡比为1:2.4i =的斜坡行走一段路程至坡顶D 处，此时测得建筑物顶端E 的仰角为30︒，再从D 处沿水平方向继续行走100米后至点C 处，此时测得建筑物顶端E 的仰角为60︒，建筑物底端B 的俯角为45︒，如图，已知点A 、B 、C 、D 、E 在同一平面内，求建筑物BE 的高度与AD 的长．（参考数据：3 1.732)≈38．（2023秋•静安区校级期中）如图1所示是一种太阳能路灯，它由灯杆和灯管支架两部分构成．如图2，AB 是灯杆，CD 是灯管支架，灯管支架CD 与灯杆间的夹角60BDC ∠=︒．综合实践小组的同学想知道灯管支架CD 的长度，他们在地面的点E 处测得灯管支架底部D 的仰角为60︒，在点F 处测得灯管支架顶部C 的仰角为30︒，测得3AE m =，8(EF m A =，E ，F 在同一条直线上）．根据以上数据，解答下列问题：（1）求灯管支架底部距地面高度AD 的长（结果保留根号）；（2）求灯管支架CD 的长度（结果精确到0.1m ，参考数据：3 1.73)≈．七．解直角三角形的应用-方向角问题（共2小题）39．（2023秋•青浦区校级月考）如图，某湖心岛上有一亭子A，在亭子A的正东方向上的湖边有一棵树B，在这个湖心岛的湖边C处测得亭子A在北偏西45︒方向上，测得树B在北偏东36︒方向上，又测得B、C之间的距离等于200米，求A、B之间的距离（结果精确到1米）．（参考数据：2 1.414︒≈≈，sin360.588︒≈，cot36 1.376)︒≈，cos360.809︒≈，tan360.72740．（2022秋•浦东新区校级期中）如图，湖心岛上有一凉亭B，在凉亭B的正东湖边有一棵大树A，在湖边的C处测得B在北偏西45︒方向上，测得A在北偏东30︒方向上，又测得A、C之间的距离为100米，则A、B之间的距离是米（结果保留根号形式）．。

锐角的三角比巩固练习【巩固练习】一、选择题1. 在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝45，则cotB＝ ( )A．43B．34C．35D．452．若∠A是锐角，且cosA＝34，则( )A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜45°C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90°3. 已知锐角α满足sin25°＝cosα，则α＝( )A．25° B．55° C．65° D．75°4．如图所示，直径为10的⊙A经过点C(0，5)和点O(0，0)，B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则∠OBC的余弦值为 ( )A．12B．34C．32D．45第4题第5题5．如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝4，AC＝2，则sinB的值是( )A．5714B．35C．217D．21146．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则∠A的余切值( ) A．扩大2倍 B．缩小2倍 C．扩大4倍 D．不变7．如图所示是教学用具直角三角板，边AC＝30cm，∠C＝90°，tan∠BAC＝33，则边BC的长为( )A．303cm B．203cm C．103cm D．53cm第7题第8题8. 如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，若AC5，BC＝2，则sin∠ACD的值为( )A ．53 B ．253 C ．52 D ． 23二、填空题9． (1)锐角∠A 满足2sin(∠A-15°)＝3，则∠A ＝________； (2)已知α为锐角，tan(90)3α-=°，则α=________． 10. 用不等号连接下面的式子．(1)cos50°________cos20° (2)tan18°________tan21°11．在△ABC 中，若223sin cos 022A B ⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭，∠A 、∠B 都是锐角，则∠C 的度数为 . 12．如图所示，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则sinA ＝________．13．已知：正方形ABCD 的边长为2，点P 是直线CD 上一点，若DP ＝1，则tan ∠BPC 的值是________．第12题 第15题14．如果方程2430x x -+=的两个根分别是Rt △ABC 的两条边，△ABC 的最小角为A ，那么tanA 的值为________．15．如图所示，△ABC 的内心在y 轴上，点C 的坐标为(2，0)，点B 的坐标是(0，2)，直线AC 的解析式为112y x =-，则tanA 的值是________． 16. 已知a ＝3-tan60°，则代数式2269111a a a a -+⎛⎫-÷= ⎪--⎝⎭________．三、解答题17．如图所示，△ABC 中，D 为AB 的中点，DC ⊥AC ，且∠BCD ＝30°， 求∠CDA 的正弦值、余弦值、正切值和余切值．18. 计算下列各式的值．(1) sin30°•cos30°-tan30°cot 45•° (结果保留根号)；(2) 242(2cos 45sin 60)4-+°° 19．如图所示，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的点，AE ＝BC ，DF ⊥AE ，垂足为F ，连接DE ．(1)求证：AB ＝DF ；(2)若AD ＝10，AB ＝6，求tan ∠EDF 的值．20. 如图所示，已知⊙O 的半径为2，弦BC 的长为23，点A 为弦BC 所对优弧上任意一点(B 、C 两点除外)．(1)求∠BAC 的度数；(2)求△ABC 面积的最大值． (参考数据：3sin 602=°，3cos302=°，3tan 30,cot 303)3==°°．【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】A ；【解析】如图所示．4sin 5BC A AB ==，可设BC ＝4k ，AB ＝5k ，用勾股定理可求22(5)(4)3AC k k k =-=．∴ 44cot 33BC k B AC k ===． 2.【答案】B ；【解析】 ∵ 2cos 452=°，3cos302=°，且233242<< cos45°＜cosA ＜cos30°．又∵ 在锐角的范围内余弦值大的角反而较小．∴ 30°＜∠A ＜45°，故应选B ．3. 【答案】C ；【解析】由互余角的三角函数关系，cos sin(90)αα=-°，∴ sin25°-sin(90°-α)，即90°-α＝25°，∴ α＝65°． 4.【答案】C ；【解析】设⊙A 交x 轴于另一点D ，连接CD ，根据已知可以得到OC ＝5，CD ＝10，∴ 2210553OD =-=，∵ ∠OBC ＝∠ODC ， ∴ 533cos cos 102OD BOC ODC CD ∠=∠===．5.【答案】D ；【解析】如图所示，过点C 作CD ⊥AB 于D ，∵ ∠BAC ＝120°，∴ ∠CAD ＝60°， 又∵ AC ＝2，∴ AD ＝1，CD ＝3， ∴ BD ＝BA+AD ＝5，在Rt △BCD 中，222827BC BD CD =+==，∴ 321sin 1427CD B BC ===．6.【答案】D ；【解析】根据锐角三角函数的定义，锐角三角函数值等于相应边的比，与边的长度无关，而只与边的比值或角的大小有关． 7.【答案】C ；【解析】由3tan 3BC BAC AC ∠==，∴ 3330333BC AC ===8. 【答案】A ； 【解析】 ∵ 223AB AC BC +=，∴ 5sin sin AC ACD B AB ∠=∠==二、填空题 9．【答案】 (1)75°；(2)30°；【解析】(1)将∠A-15°当作一个角来看待，由已知可得3sin(15)2A ∠-=°， 故锐角1560A ∠-=°°，∴ ∠A ＝75°．(2)将90°-α当作一个角来看待，由tan(90°-α)＝3，∴ 90°-α＝60°，∴ α＝30°． 10.【答案】(1)＜； (2)＜；【解析】当α为锐角时，其余弦值随角度的增大而减小，所以 cos50°＜cos20°； 当α为锐角时，其正切值随角度的增大而增大，所以 tan18°＜tan21°． 11．【答案】105°；【解析】∵ 223sin cos 022A B ⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭， ∴ 2sin 02A -=，3cos 02B -= 即2sin 2A =，3cos 2B =． 又∵ ∠A 、∠B 均为锐角，∴ ∠A ＝45°，∠B ＝30°，在△ABC 中，∠A+∠B+∠C ＝180°，∴ ∠C ＝105°． 12．【答案】55； 【解析】假设每一个小正方形的边长为1，利用网格，从C 点向AB 所在直线作垂线CH ．垂足为H ，则∠A 在直角△ACH 中，利用勾股定理得224225AC =+=，∴ 25sin 525CH A AC ===． 13．【答案】2或23【解析】此题为无图题，应根据题意画出图形，如图所示，由于点P 是直线CD 上一点，所以点P 既可以在边CD 上，也可以在CD 的延长线上， 当P 在边CD 上时，tan 2BC BPC PC ∠==；当P 在CD 延长线上时，2tan 3BC BPC PC ∠==．14．【答案】13或24；【解析】由2430x x -+=得11x =，23x =，①当3为直角边时，最小角A 的正切值为1tan 3A =；②当3223122-=，∴ 最小角A 的正切值为2tan 422A ==. 故应填13或24．15．【答案】13； 【解析】由△ABC 的内心在y 轴上可知OB 是∠ABC 的角平分线，则∠OBA ＝45°， 易求AB 与x 轴的交点为(-2，0)，所以直线AB 的解析式为：2y x =+，联立2112y x y x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩可求A 点的坐标为(-6，-4)， ∴ 2262AB AD BD =+=，又OC ＝OB ＝2，∴ BC ＝22．在Rt △ABC 中，221tan 362BC A AB ===．16.【答案】 33-； 【解析】原式23111(3)3a a a a a --=⨯=---，将3tan 6033a =-=°3=.三、解答题17.【答案与解析】过D 作DE ∥AC ，交BC 于点E ．∵ AD ＝BD ，∴ CE ＝EB ，∴ AC ＝2DE ． 又∵ DC ⊥ AC ，DE ∥AC ，∴ DC ⊥DE ，即∠CDE ＝90°．又∵ ∠BCD ＝30°，∴ EC ＝2DE ，DC 3DE ． 设DE ＝k ，则CD 3k ，AC ＝2k ．在Rt △ACD 中，227AD AC CD k +．∴ 27sin 77AC CDA AD k ∠===，321cos 77CD k CDA AD k∠===． 23tan 3AC CDA CD k∠===．33cot 22CD k CDA AC k ∠===.18.【答案与解析】(1)sin30°•cos30°-tan30°•cot45°＝13333312234312⨯-⨯=-=-． (2) 242(2cos 45sin 60)4-+°°2326222224⎛⎫=⨯-+= ⎪ ⎪⎝⎭． 19.【答案与解析】(1)证明：∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ AD ∥BC ，AD ＝BC ∴ ∠DAF ＝∠AEB 又∵ AE ＝BC ， ∴ AE ＝AD又∵ ∠B-∠DFA ＝90°， ∴ △EAB ≌△ADF ． ∴ AB ＝DF ． (2)解：在Rt △ABE 中，22221068BE AE AB =-=-=∵ △EAB ≌△ADF ，∴ DF ＝AB ＝6，AF ＝EB ＝8， ∴ EF ＝AE-AF ＝10-8＝2．∴ 21tan 63EF EDF DF ∠===．20.【答案与解析】(1)连接BO 并延长交⊙O 于点D ，连接CD ． ∵ BD 是直径，∴ BD ＝4，∠DCB ＝90°．在Rt △DBC 中，233sin 42BC BDC BD ∠===， ∴ ∠BDC ＝60°，∴ ∠BAC ＝∠BDC ＝60°．(2)因为△ABC 的边BC 的长不变，所以当BC 边上的高最大时，△ABC 的面积最大，此时点A 应落在优弧BC 的中点处．过O 作OE ⊥BC 于点E ，延长EO 交⊙O 于点A ，则A 为优孤BC 的中点．连结AB ，AC ，则AB＝AC，∠BAE12=∠BAC＝30°．在Rt△ABE中，∵BE=BAE＝30°，∴3tan30BEAE===°，∴12ABCS=⨯=△答：△ABC面积的最大值是。

锐角三角比的练习题一、填空题：1、对锐角α，有tan α = 5，则cotα = .2、Rt △ ABC 中，∠ C = 90°，AB = 5，BC = 4，tan A = .3、Rt △ ABC 中，∠ C = 90°，AC = 5，BC = 12，sinB = .4、Rt△MNP中，∠M = 90°，cosP = 45，那么tan P = .5、矩形ABCD中，AB = 8cm，BC = 6cm，DE⊥AC于E，则sin∠CDE = .6、已知sin A = 1213，cos A =513，那么tan B = .7、sin60° + tan 60° = .8、2 sin30°– 3 cos30° + 3 cot 60° = .9、Rt△ABC中，∠C = 90°，AB = 10，tan A = 14，那么AC = .10、在Rt △ ABC 中，∠ C = 90°, CD ⊥ AB，BC =12, AC = 5，则sin A = ，cos A = ，tan ∠BCD = ，cot ∠ ACD = .11、在等腰三角形中，如果腰长与底边长的比为5∶6，那么底角的正弦值为.12、在Rt △ ABC 中，如果斜边AB是直角边BC的3倍，则cot B = .13、点P的坐标是（tan 60°，– tan 45°），那么P关于x轴对称的点的坐标是.二、选择题：14、在等腰三角形ABC中，AB = AC = 10，BC = 8，则sin B等于（）（A）45（B）35（C）215（D）211015、△ABC中，∠C = 90°，cos B = 45，那么·sin A 等于（）（A）23（B）56（C）45（D）3516、在Rt △ ABC 中，∠ C = 90°，tan A= 1，则cos B等于（）（A）1 （B）22（C）32（D）1217、在直角△ ABC 中，∠ C = 90°，下列式子中恒正确的是（）(A) sin A = sinB (B) sin A = cos B (C) tan A = tan B (D) cot A = cot B18、在R t △ ABC 中，∠ C = 90°，AC = 2, AB = 6, 则tan A =（）(A) 223(B) 2 (C) 2 2 (D)32419、在△ABC 中，∠A和∠B为锐角, 若sin A =32, cos B =12, 则△ ABC 为( )(A)等腰三角形(B)等边三角形(C)直角三角形(D) 等腰直角三角形三、计算：20、3 tan 45°· tan 60°– cot 60°21、（cot 30°– sin 60°）（tan 60° +·cos 30°）三、解下列各题：22、△ ABC 中，AD⊥BC于D，AB = 17cm，AC = 10cm，cos ∠ABD = 1517，求△ABC的面积.23、在△ABC中，D是AB的中点，CD⊥AC，tan ∠BCD = 13，求∠A的正弦、余弦、正切值.24、若A、B是△ABC中的两个锐角，且sinA的值是过点（–12，34）和（3，–1）的一次函数y = kx + b在y轴上的截距，cos B是方程2 2 x 2– 4 x + 2 = 0的根，若AC = 2，试求AB的长.。

数学九年级上 第二十五章 锐角三角比25.2 求锐角的三角比的值（1）一、选择题1.在Rt △ABC 中，AD 是斜边BC 上的高,如果BC=a, B β∠=,那么AD 等于 ( )A. 2sin a β⋅B. 2cos a β⋅ C. sin cos a ββ D. sin tan a ββ 2. 已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2，BC ＝3，那么下列各式中，正确的是（ ）A ．2tan 3B = B ．2cot 3B =C ．2sin 3B =D ．2cos 3B = 3. 已知点P （tan45°,-cos30°）,则P 点关于原点的对称点P ’的坐标是 （ ）A. )21,1(-- B. )21,1(- C. )23,1(-- D. )23,1(- 4、已知：是锐角，23sin =α，则等于 （ ）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°5、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，那么B A sin sin +等于 （ ）A. 1B. 231+C. 221+D. 43 6、已知：c b a ,,是△ABC 的三边，并且关于的方程02)(222=++++c ab x b a x 有两个相等实根，则△ABC 形状是 （ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定。

二、填空题7、已知：α为锐角，1tan =α，则α=____________度。

8、已知：α为锐角，3sin 2=α，则____________。

9、若3)20tan(3=︒-α，则锐角α=____________。

10、α为锐角，且关于x 的方程0sin 222=+-αx x 有两个相等的实数根，则α为____________度。

11. 在△ABC 中,若tan 12A B +=,则C ∠= . 12. 计算: 2sin 604cos303tan 60-+= .13.在△ABC 中,如果AB=那么C ∠的度数为 .14.设α为锐角,则cos 1α-= .15.在△ABC 中, A ∠,B ∠均为锐角,且2tan (2sin 0B A +=,则△ABC 的形状是 .16. 在正方形ABCD 中，∠ABD 的余弦值等于________．17. 已知 α是锐角，，且sin cos αα=，则α＝ 度。

一模复习专题3 锐角三角比应用题1．如图，某渔船在海面上朝正西方向以20海里/时匀速航行，在A处观测到灯塔C在北偏西60°方向上，航行1小时到达B处，此时观察到灯塔C在北偏西30°方向上，若该船继续向西航行至离灯塔距离最近的位置，求此时渔船到灯塔的距离（结果精确到1海里，参考数据：≈1.732）2．如图，为求出河对岸两棵树A．B间的距离，小明在河岸上选取一点C，然后沿垂直于AC 的直线前进了12米到达D，测得∠CDB=90°．取CD的中点E，测∠AEC=56°，∠BED=67°．（1）求AC长；（2）求河对岸两树间的距离AB．（参考数据sin56°≈，tan56°≈，sin67°≈，tan67°≈）3．如图，某军港有一雷达站P，军舰M停泊在雷达站P的南偏东60°方向20海里处，另一艘军舰N位于军舰M的正西方向，与雷达站P相距10海里．求：（1）军舰N在雷达站P的什么方向？（2）两军舰M、N的距离．（结果保留根号）4．数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角板中，含45°的三角板的斜边与含30°的三角板的长直角边相等，于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角板直角顶点重合拼放在一起，点B，C，E在同一直线上，若BC=2，求AF的长．请你运用所学的数学知识解决这个问题．5．某国发生8.1级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作，如图，某探测对在地面A、B两处均探测出建筑物下方C处有生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是25°和60°，且AB=4米，求该生命迹象所在位置C的深度．（结果精确到1米，参考数据：sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5，≈1.7）6．小宇想测量位于池塘两端的A、B两点的距离．他沿着与直线AB平行的道路EF行走，当行走到点C处，测得∠ACF=45°，再向前行走100米到点D处，测得∠BDF=60°．若直线AB 与EF之间的距离为60米，求A、B两点的距离．7．芜湖长江大桥是中国跨度最大的公路和铁路两用桥梁，大桥采用低塔斜拉桥桥型（如甲图），图乙是从图甲引申出的平面图，假设你站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是30°，拉索CD与水平桥面的夹角是60°，两拉索顶端的距离BC为2米，两拉索底端距离AD为20米，请求出立柱BH的长．（结果精确到0.1米，≈1.732）8．如图，一垂直于地面的灯柱AB被一钢筋CD固定，CD与地面成45°夹角（∠CDB=45°），在C点上方2米处加固另一条钢线ED，ED与地面成53°夹角（∠EDB=53°），那么钢线ED的长度约为多少米？（结果精确到1米，参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）9．南沙群岛是我国固有领土，现在我南海渔民要在南沙某海岛附近进行捕鱼作业，当渔船航行至B处时，测得该岛位于正北方向20（1+）海里的C处，为了防止某国海巡警干扰，就请求我A处的渔监船前往C处护航，已知C位于A处的北偏东45°方向上，A位于B的北偏西30°的方向上，求A、C之间的距离．10．如图，禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在A处接到指挥部通知，在他们东北方向距离12海里的B处有一艘捕鱼船，正在沿南偏东75°方向以每小时10海里的速度航行，稽查队员立即乘坐巡逻船以每小时14海里的速度沿北偏东某一方向出发，在C处成功拦截捕鱼船，求巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间．11．小明同学需测量一条河流的宽度（河岸两边互相平行）．如图，小明同学在河岸一侧选取两个观测点A、B，在河对岸选取观测点C，测得AB=31m，∠CAB=37°，∠CBA=120°．请你根据以上数据，帮助小明计算出这条河的宽度．（结果精确到0.1，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.41，≈1.73）12．某中学紧挨一座山坡，如图所示，已知AF∥BC，AB长30米，∠ABC=66°，为防止山体滑坡，需要改造山坡，改造后的山坡BE与地面成45°角，求AE是多少米？（精确到1米）（参考数据：sin66°≈0.91，cos66°≈0.41，tan66°≈2.25）13．在一次课外实践活动中，同学们要测量某公园人工湖两侧A，B两个凉亭之间的距离．现测得AC=50m，BC=100m，∠CAB=120°，请计算A，B两个凉亭之间的距离．14．小明准备测量学校旗杆的高度，他发现斜坡正对着太阳时，旗杆AB影子恰好落在水平地面BC和斜坡面CD上，测得旗杆在水平地面上的影长BC=20m，在斜坡坡面上的影长CD=8m，太阳光线AD与水平地面成30°角，且太阳光线AD与斜坡坡面互相垂直，请你帮小明求出旗杆AB的高度（结果保根号）．15．图1为大庆龙凤湿地观光塔，游客可乘坐观光电梯进入观光层向四周瞭望，鸟瞰大庆城市风光．如图2，小英在距塔底D约200米的A处测得塔球底部平台B的仰角为45°，塔尖C的仰角为60°，求平台B到塔尖C的高度BC．（精确到个位，≈1.732）16．在升旗结束后，小铭想利用所学数学知识测量学校旗杆高度，如图，旗杆的顶端垂下一绳子，将绳子拉直钉在地上，末端恰好至C处且与地面成60°角，小铭从绳子末端C处拿起绳子后退至E点，求旗杆AB的高度和小铭后退的距离．（单位：米，参考数据：≈1.41，≈1.73，结果保留一位小数）17．如图，已知斜坡AP的坡度为i=1：，坡长AP为20m，与坡顶A处在同﹣水平面上有﹣座古塔BC，在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，在坡顶A处测得该塔的塔顶B 的仰角α且tanα=3．求：（1）求坡顶A到地面PQ的距离；（2）古塔BC的高度（结果保留根号）18．如图，某电信部门计划修建一条连接B、C两地的电缆，测量人员在山脚A点测得B、C 两地的仰角分别为30°、45°，在B地测得C地的仰角为60°．已知C地比A地高200米，电缆BC至少长多少米？（≈1.732，≈1.414，结果保留整数）19．热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角α为27°，看这栋楼底部的俯角β为58°，热气球与这栋楼的水平距离为120米，这栋楼有多高（结果取整数）？（参考数据：sin27°=0.45，cos27°=0.89，tan27°=0.51，sin58°=0.85，cos58°=0.53，tan58°=1.60）20．如图，小明在一块平地上测山高，先在B处测得山顶A的仰角为30°，然后向山脚直行100米到达C处，再测得山顶A的仰角为45°，求山高AD是多少？（结果保留整数，测角仪忽略不计，参考数据≈1.414，≈1.73）21．如图，李明在自家楼房的窗口A处，测量楼前的路灯CD的高度，现测得窗口处A到路灯顶部C的仰角为44°，到地面的距离AB为20米，楼底到路灯的距离BD为12米，求路灯CD的高度（结果精确到0.1）【参考数据：sin44°=0.69，cos44°=0.72，tan44°=0.97】22．如图，小俊在A处利用高为1.8米的测角仪AB测得楼EF顶部E的仰角为30°，然后前进12米到达C处，又测得楼顶E的仰角为60°，求楼EF的高度．（结果精确到0.1米）（参考数据：=1.414，=1.732）23．如图，为了开发利用海洋资源，我勘测飞机测量钓鱼岛附属岛屿之一的北小岛（又称为鸟岛）两侧端点A，B的距离，飞机在距海平面垂直高度为100米的北小岛上方点C处测得端点A的俯角为30°，测得端点B的俯角为45°，求北小岛两侧端点A，B的距离（结果精确到1米≈1.732）24．如图，某同学在楼房的A处测得荷塘的一端D处的俯角为60°，另一端B处的俯角为30°，荷塘另一端D与点C、B在同一直线上，已知楼高AC=24米，求荷塘宽BD为多少米？25．某学校体育看台的侧面如图中阴影部分所示，看台有四级高度相等的小台阶，已知看台高为1.6米，现要做一个不锈钢的扶手AB及两根与FG垂直且长度均为0.8米的不锈钢架杆AD和BC（杆子的低端分别为D、C），且∠DAB=66.5°（cos66.5°≈0.4）．（1）求点D与点C的高度差DH；（2）求所用不锈钢材料的总长度l（即AD+AB+BC的长）．26．如图，湖中有一小岛，湖边有一条笔直的观光小道AB，现决定从小岛架一座与观光小道垂直的小桥PD，在小道上测得如下数据：AB=60米，∠PAB=45°，∠PBA=30°．请求出小桥PD的长．27．某中学综合实践小组同学，想测量金龙山观音大佛的高度，他们在山脚下的D处测得山顶B的仰角为30°，沿着山脚向前走了4米达到E处，测得观音大佛的头顶A的倾角为45°，已知金龙山的山顶距地面的标高（线段BC的长度）为60米，请计算观音大佛的高度为多少米？（结果精确到0.1米，≈1.73）28．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？（精确到1海里，参考数据：cos25°≈0.91，sin25°≈0.42，tan25°≈0.47，sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67 ）29．如图，线段MN表示一段高架道路，线段AB表示高架道路旁的一排居民楼．已知点A到MN的距离为15m，BA的延长线与MN相交于点D，且∠BDN=30°．若汽车沿着从M到N的方向在MN上行驶，方圆39m以内会受到噪音的影响，当其到达点P时，噪音开始影响这一排的居民楼；当其到达点Q时，它与这一排居民楼的距离为39m，求PQ的长度（精确到1m）（参考数据：≈1.7）30．为促进江南新区的发展，長江三桥在区政府的统一指导下夜以继日的修建中，为方便残疾人通行，政府计划在位于南滨路桥头处修建一锲形残疾人通道，如图，该楔形斜坡BC长20米，坡角为12°，区领导为进一步方便残疾人的轮椅车通行，准备把坡角降为5°．（1）求斜坡新起点到原起点B的距离（精确到0.1米）（参考数据：sin12°≈0.21，cos12°≈0.98，tan5°≈0.09）（2）某6人工程队承担这项改进任务（假设每人毎天的工怍效率相同），5天刚好完成该项工程；但实际工作2天后．有2人因其它工作调离；剩余的工程由余下的4人独自完成，为了不延误工期，每人的工作效率提高了a%，结果准时完成该项工程，求a的值．锐角三角比应用题2016.12.18参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．（2015•恩施州）如图，某渔船在海面上朝正西方向以20海里/时匀速航行，在A处观测到灯塔C在北偏西60°方向上，航行1小时到达B处，此时观察到灯塔C在北偏西30°方向上，若该船继续向西航行至离灯塔距离最近的位置，求此时渔船到灯塔的距离（结果精确到1海里，参考数据：≈1.732）【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，AB=20×1=20（海里），∵∠CAF=60°，∠CBE=30°，∴∠CBA=∠CBE+∠EBA=120°，∠CAB=90°﹣∠CAF=30°，∴∠C=180°﹣∠CBA﹣∠CAB=30°，∴∠C=∠CAB，∴BC=BA=20（海里），∠CBD=90°﹣∠CBE=60°，∴CD=BC•sin∠CBD=≈17（海里）．2．（2014•青羊区校级模拟）如图，为求出河对岸两棵树A．B间的距离，小明在河岸上选取一点C，然后沿垂直于AC的直线前进了12米到达D，测得∠CDB=90°．取CD的中点E，测∠AEC=56°，∠BED=67°．（1）求AC长；（2）求河对岸两树间的距离AB．（参考数据sin56°≈，tan56°≈，sin67°≈，tan67°≈）【解答】解：（1）∵E为CD中点，CD=12m，∴CE=DE=6m．在Rt△ACE中，∵tan56°=，∴AC=CE•tan56°≈6×=9m；（2）在Rt△BDE中，∵tan67°=，∴BD=DE．tan67°=6×=14m．∵AF⊥BD，∴AC=DF=9m，AF=CD=12m，∴BF=BD﹣DF=14﹣9=5m．在Rt△AFB中，AF=12m，BF=5m，∴AB===13m．∴两树间距离为13米．3．（2011•庐阳区模拟）如图，某军港有一雷达站P，军舰M停泊在雷达站P的南偏东60°方向20海里处，另一艘军舰N位于军舰M的正西方向，与雷达站P相距10海里．求：（1）军舰N在雷达站P的什么方向？（2）两军舰M、N的距离．（结果保留根号）【解答】解：（1）如图所示，∵∠OPM=60°，PM=20海里，∴∠OMP=30°，∴OP=10海里，∴PN=10海里，∴cos∠OPN===，∴∠OPN=45°，∴军舰N在雷达站P的东南方向（5分）（2）∵Rt△OPM中，PM=20海里，OP=10海里，∴OM===10，∵∠OPN=45°，∴ON=OP=10海里，∴MN=10﹣10（海里）．（10分）4．（2016•丽水）数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角板中，含45°的三角板的斜边与含30°的三角板的长直角边相等，于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角板直角顶点重合拼放在一起，点B，C，E在同一直线上，若BC=2，求AF的长．请你运用所学的数学知识解决这个问题．【解答】解：在Rt△ABC中，BC=2，∠A=30°，AC==2，则EF=AC=2，∵∠E=45°，∴FC=EF•sinE=，∴AF=AC﹣FC=2﹣．5．（2016•自贡）某国发生8.1级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作，如图，某探测对在地面A、B两处均探测出建筑物下方C处有生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是25°和60°，且AB=4米，求该生命迹象所在位置C的深度．（结果精确到1米，参考数据：sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5，≈1.7）【解答】解：作CD⊥AB交AB延长线于D，设CD=x米．在Rt△ADC中，∠DAC=25°，所以tan25°==0.5，所以AD==2x．Rt△BDC中，∠DBC=60°，由tan 60°==，解得：x≈3．即生命迹象所在位置C的深度约为3米．6．（2016•淮安）小宇想测量位于池塘两端的A、B两点的距离．他沿着与直线AB平行的道路EF行走，当行走到点C处，测得∠ACF=45°，再向前行走100米到点D处，测得∠BDF=60°．若直线AB与EF之间的距离为60米，求A、B两点的距离．【解答】解：作AM⊥EF于点M，作BN⊥EF于点N，如右图所示，由题意可得，AM=BN=60米，CD=100米，∠ACF=45°，∠BDF=60°，∴CM=米，DN=米，∴AB=CD+DN﹣CM=100+20﹣60=（40+20）米，即A、B两点的距离是（40+20）米．7．（2016•娄底）芜湖长江大桥是中国跨度最大的公路和铁路两用桥梁，大桥采用低塔斜拉桥桥型（如甲图），图乙是从图甲引申出的平面图，假设你站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是30°，拉索CD与水平桥面的夹角是60°，两拉索顶端的距离BC为2米，两拉索底端距离AD为20米，请求出立柱BH的长．（结果精确到0.1米，≈1.732）【解答】解：设DH=x米，∵∠CDH=60°，∠H=90°，∴CH=DH•sin60°=x，∴BH=BC+CH=2+x，∵∠A=30°，∴AH=BH=2+3x，∵AH=AD+DH，∴2+3x=20+x，解得：x=10﹣，∴BH=2+（10﹣）=10﹣1≈16.3（米）．答：立柱BH的长约为16.3米．8．（2016•兰州）如图，一垂直于地面的灯柱AB被一钢筋CD固定，CD与地面成45°夹角（∠CDB=45°），在C点上方2米处加固另一条钢线ED，ED与地面成53°夹角（∠EDB=53°），那么钢线ED的长度约为多少米？（结果精确到1米，参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）【解答】解：设BD=x米，则BC=x米，BE=（x+2）米，在Rt△BDE中，tan∠EDB=，即，解得，x≈6.06，∵sin∠EDB=，即0.8=，解得，ED≈10即钢线ED的长度约为10米．9．（2016•菏泽）南沙群岛是我国固有领土，现在我南海渔民要在南沙某海岛附近进行捕鱼作业，当渔船航行至B处时，测得该岛位于正北方向20（1+）海里的C处，为了防止某国海巡警干扰，就请求我A处的渔监船前往C处护航，已知C位于A处的北偏东45°方向上，A位于B的北偏西30°的方向上，求A、C之间的距离．【解答】解：如图，作AD⊥BC，垂足为D，由题意得，∠ACD=45°，∠ABD=30°．设CD=x，在Rt△ACD中，可得AD=x，在Rt△ABD中，可得BD=x，又∵BC=20（1+），CD+BD=BC，即x+x=20（1+），解得：x=20，∴AC=x=20（海里）．答：A、C之间的距离为20海里．10．（2016•乐山）如图，禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在A 处接到指挥部通知，在他们东北方向距离12海里的B处有一艘捕鱼船，正在沿南偏东75°方向以每小时10海里的速度航行，稽查队员立即乘坐巡逻船以每小时14海里的速度沿北偏东某一方向出发，在C处成功拦截捕鱼船，求巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间．【解答】解：设巡逻船从出发到成功拦截所用时间为x小时；如图所示，由题意得：∠ABC=45°+75°=120°，AB=12，BC=10x，AC=14x，过点A作AD⊥CB的延长线于点D，在Rt△ABD中，AB=12，∠ABD=60°，∴BD=AB•cos60°=AB=6，AD=AB•sin60°=6，∴CD=10x+6．在Rt△ACD中，由勾股定理得：，解得：（不合题意舍去）．答：巡逻船从出发到成功拦截所用时间为2小时．11．（2016•玄武区二模）小明同学需测量一条河流的宽度（河岸两边互相平行）．如图，小明同学在河岸一侧选取两个观测点A、B，在河对岸选取观测点C，测得AB=31m，∠CAB=37°，∠CBA=120°．请你根据以上数据，帮助小明计算出这条河的宽度．（结果精确到0.1，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.41，≈1.73）【解答】解：过点C作CD⊥AB，垂足为点D，如右图所示，在Rt△CAD中，tan∠CAD=，∴AD==，在Rt△CBD中，tan∠CBD=，∠CBA=120°，∴∠CBD=60°，∴BD==，∵AD﹣BD=AB，∴﹣=31，﹣=31，解得，CD≈41.0，即这条河的宽度约为41.0米．12．（2016•平顶山三模）某中学紧挨一座山坡，如图所示，已知AF∥BC，AB长30米，∠ABC=66°，为防止山体滑坡，需要改造山坡，改造后的山坡BE与地面成45°角，求AE是多少米？（精确到1米）（参考数据：sin66°≈0.91，cos66°≈0.41，tan66°≈2.25）【解答】解：在Rt△ADB中，AB=30米∠ABC=60°AD=AB•sin∠ABC=30×sin66°=30×0.91=27.3（米），DB=AB•cos∠ABC=30×cos66°=30×0.41=12.3（米）．连接BE，过E作EN⊥BC于N，如图所示：∵AE∥BC，∴四边形AEND是矩形NE=AD≈27.3米，在Rt△ENB中，∠EBN=45°时，BN=EN=AD=27.3米，∴AE=DN=BN﹣BD=27.3﹣12.3=15米答：AE是15米．13．（2016•襄城区模拟）在一次课外实践活动中，同学们要测量某公园人工湖两侧A，B 两个凉亭之间的距离．现测得AC=50m，BC=100m，∠CAB=120°，请计算A，B两个凉亭之间的距离．【解答】解：过点C作CD⊥AB于D，如图所示：在Rt△CDA中∠CAD=180°﹣∠CAB=180°﹣120°=60°，∵sin∠CAD=，∴CD=AC•sin60°=50×=25（m），同理：AD=AC•cos60°=50×=25（m），在Rt△CBD中，（m），∴AB=BD﹣AD=（m），答：AB之间的距离是（）m．14．（2016•鄂州一模）小明准备测量学校旗杆的高度，他发现斜坡正对着太阳时，旗杆AB 影子恰好落在水平地面BC和斜坡面CD上，测得旗杆在水平地面上的影长BC=20m，在斜坡坡面上的影长CD=8m，太阳光线AD与水平地面成30°角，且太阳光线AD与斜坡坡面互相垂直，请你帮小明求出旗杆AB的高度（结果保根号）．【解答】解：作AD与BC的延长线，交于E点．如图所示：根据平行线的性质得：∠E=30°，∴CE=2CD=2×8=16．则BE=BC+CE=20+16=36．在直角△ABE中，tan∠E=，∴AB=BE•tan30°=36×=12（m）．即旗杆AB的高度是12m．15．（2016•满洲里市模拟）图1为大庆龙凤湿地观光塔，游客可乘坐观光电梯进入观光层向四周瞭望，鸟瞰大庆城市风光．如图2，小英在距塔底D约200米的A处测得塔球底部平台B的仰角为45°，塔尖C的仰角为60°，求平台B到塔尖C的高度BC．（精确到个位，≈1.732）【解答】解：在Rt△ADC中，∵AD=200，∠CAD=60°，∴DC=DA•tan60°=200，在Rt△ADB中，∠BAD=45°，∴BD=AD=200，∴BC=DC﹣DB=200﹣200≈146（米）．答：平台B到塔尖C的高度BC约为146米．16．（2016•天门模拟）在升旗结束后，小铭想利用所学数学知识测量学校旗杆高度，如图，旗杆的顶端垂下一绳子，将绳子拉直钉在地上，末端恰好至C处且与地面成60°角，小铭从绳子末端C处拿起绳子后退至E点，求旗杆AB的高度和小铭后退的距离．（单位：米，参考数据：≈1.41，≈1.73，结果保留一位小数）【解答】解：设绳子AC的长为x米；在△ABC中，AB=AC•sin60°，过D作DF⊥AB于F，如图所示：∵∠ADF=45°，∴△ADF是等腰直角三角形，∴AF=DF=x•sin45°，∵AB﹣AF=BF=1.6，则x•sin60°﹣x•sin45°=1.6，解得：x=10，∴AB=10×sin60°≈8.7（m），EC=EB﹣CB=x•cos45°﹣x×cos60°=10×﹣10×≈2.1（m）；答：旗杆AB的高度为8.7m，小铭后退的距离为2.1m．17．（2016•泰州一模）如图，已知斜坡AP的坡度为i=1：，坡长AP为20m，与坡顶A 处在同﹣水平面上有﹣座古塔BC，在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，在坡顶A 处测得该塔的塔顶B的仰角α且tanα=3．求：（1）求坡顶A到地面PQ的距离；（2）古塔BC的高度（结果保留根号）【解答】解：（1）作AE⊥PQ于点E，∵斜坡AP的坡度为i=1：，∴=，设AE为xm，则PE为xm，由勾股定理得，AP=2x，由题意得2x=20，解得，x=10，则AE=10m，PE=10m，答：坡顶A到地面PQ的距离为10m；（2）延长BC交PQ于点F，设AC=ym，∵tanα=3，∴BC=3y，∵∠BPF=45°，∴PF=BF，∴10+y=3y+10，解得y=5﹣5，则BC=3y=15﹣15．答：古塔BC的高度为（15﹣15）m．18．（2016•东河区二模）如图，某电信部门计划修建一条连接B、C两地的电缆，测量人员在山脚A点测得B、C两地的仰角分别为30°、45°，在B地测得C地的仰角为60°．已知C 地比A地高200米，电缆BC至少长多少米？（≈1.732，≈1.414，结果保留整数）【解答】解：作BF⊥AD于F，设BC=x米，∵∠CBE=60°，∴BE=BC×cos∠CBE=x，CE=BC×sin∠CBE=x，∵CD=200米，∴DE=200﹣x，则BF=DE=200﹣x，∵∠CAD=45°，∴AD=CD=200，则AF=200﹣x，∵tan∠BAF=，∴=，解得，x=200（﹣1）≈146米．答：电缆BC至少146米．19．（2016•吉林一模）热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角α为27°，看这栋楼底部的俯角β为58°，热气球与这栋楼的水平距离为120米，这栋楼有多高（结果取整数）？（参考数据：sin27°=0.45，cos27°=0.89，tan27°=0.51，sin58°=0.85，cos58°=0.53，tan58°=1.60）【解答】解：在Rt△ABD中，tanα=，则BD=AD•tanα=120×0.51=61.2，在Rt△ACD中，tanβ=，则CD=AD•tanβ=120×1.60=192，∴BC=BD+CD=61.2+192=253.2≈253，答：这栋楼高约为253米．20．（2016•双柏县二模）如图，小明在一块平地上测山高，先在B处测得山顶A的仰角为30°，然后向山脚直行100米到达C处，再测得山顶A的仰角为45°，求山高AD是多少？（结果保留整数，测角仪忽略不计，参考数据≈1.414，≈1.73）【解答】解：由题意得，∠ABD=30°，∠ACD=45°，BC=100m，设AD=xm，在Rt△ACD中，∵tan∠ACD=，∴CD=AD=x，∴BD=BC+CD=x+100，在Rt△ABD中，∵tan∠ABD=，∴x=（x+100），∴x=50（+1）≈137米，答：山高AD约为137米．21．（2016•绿园区一模）如图，李明在自家楼房的窗口A处，测量楼前的路灯CD的高度，现测得窗口处A到路灯顶部C的仰角为44°，到地面的距离AB为20米，楼底到路灯的距离BD为12米，求路灯CD的高度（结果精确到0.1）【参考数据：sin44°=0.69，cos44°=0.72，tan44°=0.97】【解答】解：作CE⊥AB于E，则四边形EBDC为矩形，∴CE=BD=12米，在Rt△AEC中，tan∠ACE=，则AE=EC•tan∠ACE=12×0.97=11.64，∴CD=BE=AB﹣BE=8.36≈8.4米，答：路灯CD的高度约为8.4米．22．（2016•黄冈一模）如图，小俊在A处利用高为1.8米的测角仪AB测得楼EF顶部E的仰角为30°，然后前进12米到达C处，又测得楼顶E的仰角为60°，求楼EF的高度．（结果精确到0.1米）（参考数据：=1.414，=1.732）【解答】解：设楼EF的高为x米，则EG=EF﹣GF=（x﹣1.8）米，由题意得：EF⊥AF，DC⊥AF，BA⊥AF，BD⊥EF，在Rt△EGD中，DG==（x﹣1.8），在Rt△EGB中，BG=（x﹣1.8），∴CA=DB=BG﹣DG=（x﹣1.8），∵CA=12米，∴（x﹣1.8）=12，解得：x=6+1.8≈12.2，答：楼EF的高度约为12.2米．23．（2016•长春四模）如图，为了开发利用海洋资源，我勘测飞机测量钓鱼岛附属岛屿之一的北小岛（又称为鸟岛）两侧端点A，B的距离，飞机在距海平面垂直高度为100米的北小岛上方点C处测得端点A的俯角为30°，测得端点B的俯角为45°，求北小岛两侧端点A，B的距离（结果精确到1米≈1.732）【解答】解：作CD⊥AB于D，由题意得，∠A=30°，∠B=45°，CD=100米，AD==100，BD=CD=100，∴AB=AD+BD=100+100≈273米，答：小岛两侧端点A，B的距离约为273米．24．（2016•潮州校级模拟）如图，某同学在楼房的A处测得荷塘的一端D处的俯角为60°，另一端B处的俯角为30°，荷塘另一端D与点C、B在同一直线上，已知楼高AC=24米，求荷塘宽BD为多少米？【解答】解：由题意知：∠CAB=90°﹣30°=60°，△ABC是直角三角形，在Rt△ABC中，tan60°=，∴BC=AC•tan60°=24米，∵∠CAD=90°﹣60°=30°，∴CD=AC1tan30°=24×=8（米），∴BD=BC﹣CD=24﹣8=16（米）；答：荷塘宽BD为16米．25．（2015•广元）某学校体育看台的侧面如图中阴影部分所示，看台有四级高度相等的小台阶，已知看台高为1.6米，现要做一个不锈钢的扶手AB及两根与FG垂直且长度均为0.8米的不锈钢架杆AD和BC（杆子的低端分别为D、C），且∠DAB=66.5°（cos66.5°≈0.4）．（1）求点D与点C的高度差DH；（2）求所用不锈钢材料的总长度l（即AD+AB+BC的长）．【解答】解：（1）DH=1.6×=1.2米（2）连接CD．∵AD∥BC，∴四边形ABCD为平行四边形．∴AB∥CD且AB=CD．∴∠HDC=∠DAB=66.5°Rt△HDC中，cos∠HDC=，∴CD==3（米）．∴l=AD+AB+BC=0.8+3+0.8=4.6（米）．∴所用不锈钢材料的长度约为4.6米．26．（2015•海安县校级二模）如图，湖中有一小岛，湖边有一条笔直的观光小道AB，现决定从小岛架一座与观光小道垂直的小桥PD，在小道上测得如下数据：AB=60米，∠PAB=45°，∠PBA=30°．请求出小桥PD的长．【解答】解：设PD=x米，∵PD⊥AB，∴∠ADP=∠BDP=90°．在Rt△PAD中，tan∠PAD=，∴AD==x，在Rt△PBD中，tan∠PBD=，∴DB===x，又∵AB=60米，∴x+x=60，解得：x=30﹣30．答：小桥PD的长度约为30﹣30．27．（2015•孝义市一模）某中学综合实践小组同学，想测量金龙山观音大佛的高度，他们在山脚下的D处测得山顶B的仰角为30°，沿着山脚向前走了4米达到E处，测得观音大佛的头顶A的倾角为45°，已知金龙山的山顶距地面的标高（线段BC的长度）为60米，请计算观音大佛的高度为多少米？（结果精确到0.1米，≈1.73）【解答】解：在Rt△BDC中，由cot∠D=，得DC=BC•cot30°=60×=60，EC=DC﹣DE=60﹣4，在Rt△AEC中，由tan∠AEC=，得AC=EC•tan45°=60﹣4，AB=AC﹣BC=60﹣4﹣60≈39.8，即观音大佛的高度约为39.8米28．（2015•和平区二模）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？（精确到1海里，参考数据：cos25°≈0.91，sin25°≈0.42，tan25°≈0.47，sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67 ）【解答】解：如图，在Rt△APC中，∠APC=90°﹣65°=25°，∴PC=PA•cos∠APC≈80×0.91=72.8．（4分）.WORD 完美格式.在Rt△BPC中，∠B=34°，∴PB=（海里）（8分）答：海轮所在的B处距离灯塔P约有130海里．（9分）29．（2015秋•徐州期末）如图，线段MN表示一段高架道路，线段AB表示高架道路旁的一排居民楼．已知点A到MN的距离为15m，BA的延长线与MN相交于点D，且∠BDN=30°．若汽车沿着从M到N的方向在MN上行驶，方圆39m以内会受到噪音的影响，当其到达点P时，噪音开始影响这一排的居民楼；当其到达点Q时，它与这一排居民楼的距离为39m，求PQ 的长度（精确到1m）（参考数据：≈1.7）【解答】解：如图，连接PA，作AH⊥MN于H，作QC⊥AB于C．由题意知，AP=39m．在直角△APH中，PH===36（m）；在Rt△ADH中，DH=AH•cot30°=15（m）．在Rt△CDQ中，DQ===78（m）．则PQ=PH+HQ=PH+DQ﹣DH=36+78﹣15≈114﹣15×1.7=88.5≈89（m）．答：PQ的长度约为89m．30．（2015秋•万州区期末）为促进江南新区的发展，長江三桥在区政府的统一指导下夜以继日的修建中，为方便残疾人通行，政府计划在位于南滨路桥头处修建一锲形残疾人通道，如图，该楔形斜坡BC长20米，坡角为12°，区领导为进一步方便残疾人的轮椅车通行，准备把坡角降为5°．（1）求斜坡新起点到原起点B的距离（精确到0.1米）（参考数据：sin12°≈0.21，cos12°≈0.98，tan5°≈0.09）（2）某6人工程队承担这项改进任务（假设每人毎天的工怍效率相同），5天刚好完成该项工程；但实际工作2天后．有2人因其它工作调离；剩余的工程由余下的4人独自完成，为了不延误工期，每人的工作效率提高了a%，结果准时完成该项工程，求a的值．【解答】解：（1）在Rt△BCD中，CD=BC•sin∠CBD=20×0.21=4.2米，BD=BC•cos∠CBD=20×0.98=19.6米，在Rt△CAD中，AD=≈46.7米，故斜坡新起点到原起点B的距离AB=AD﹣BD=27.1米．（2）由题意得：+×4×（1+a%）=1，解得a=30．答：a的值是30．. 技术资料. 专业整理.。

锐角三角比复习【知识点】1. 锐角的三角比的定义：一个锐角的正切、余切、正弦、余弦统称为这个锐角的三角比。

在Rt △ABC 中，∠C=90°，1）锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切. tanA ＝ba=∠∠的邻边的对边A A2）锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切. cotA ＝A A ∠=∠的的b a 3）锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正弦. sinA ＝c a =∠∠的斜边的对边A A ；4）锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余弦. cosA ＝c b =∠∠的斜边的邻边A A ；2. 锐角的三角比的性质1）当锐角A 的度数一定时，不管锐角A 在什么形状的三角形中，∠A 的三角比是一个固定值.2）若90A B ∠+∠= ,则有tanA =cotB ，tanB=cotA ， sin A =cos B ，sin B =cos A ; 3）22sin cos 1A A += tanA ·cotA=1 4）sin tan cos A A A=5）0<sinA<1 0<cosA<14、定义：我们把由已知元素求出所有末知元素的过程，叫做解直角三角形 直角三角形的边与角之间的关系(1)两锐角互余∠A ＋∠B ＝90°；(2)三边满足勾股定理a 2＋b 2＝c 2； (3)边与角关系 sinA ＝cosB ＝a c ，cosA ＝sinB ＝bc，tanA ＝cotB ＝a b ，cotA ＝tanB ＝ba.A CD B第4题5. 在测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角.6. 坡面的铅垂高度（h ）和水平宽度（L ）的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i ，即i=Lh .（坡度通常写成1:m 的形式，如i=1∶1.5）坡面与水平面的夹角叫做坡角,记作α. 坡度i 与坡角α之间的关系: i=Lh =tan α.【实战演练】 一、填空题1.如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B =30°，∠C =60°，AD =4，AB =，则下底BC 的长为 __________．60°30°D CBA2. 已知α为锐角,且21tan =α,则=αcot 3. 如图，在直角坐标平面内有一点)4,3(P ,那么OP 与x 轴正半轴的夹角α的正切值为_____4．如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ，AB CD ⊥，D 为垂足，若5,3==AB AC ，则cot ACD ∠= ．5.在△ABC 中，∠C ＝90°，设∠B ＝θ，AC ＝b ，则BC ＝ （用b 和θ的表示）斜坡的坡比是1:1，则坡角=_______度 3、斜坡的坡角是60度，则坡比是_______4、斜坡长是12米，坡高6米，则坡比是_______5、斜坡的坡度是1:3，斜坡长100米，则斜坡高为_______米水平线视线视线︶仰角︶俯角铅垂线α（=:ihl坡度=t an αhl如图，B A C ∠位于66⨯的方格纸中，则tan B A C ∠＝ .8．（2010江苏宿迁）如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°， AM 是BC 边上的中线，53sin =∠CAM ，则B ∠tan 的值为 ▲ ．在7,35,90,==∠=∠∆AB B C ABC Rt 中，则BC 的长为 （ ）（A ） 35sin 7 （B ）35cos 7（C ） 35cos 7（D ）． 35tan 7如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，AC ⊥AB ，AD=CD 54cos =∠DCA ，BC=10，则AB的值是（ ）A ．9B ．8C ．6D ．315．（2010 山东东营）如图，小明为了测量其所在位置A 点到河对岸B 点之间的距离，沿着与AB 垂直的方向走了m 米，到达点C ，测得∠ACB ＝α，那么AB 等于（ ）(A) m ·sin α米 (B) m ·tan α米(C) m ·cos α米 (D)αtan m 米ABCmα(第8题图)第13题图ABC在 90,=∠∆C ABC Rt 中，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则∠A 的正弦值 （ ）A ．扩大2倍B ．缩小2倍C ．扩大4倍D ．不变如图４，已知AD 是等腰△ABC 底边上的高，且tan ∠B=43,AC 上有一点E ，满足AE :CE=2:3则tan ∠ADE 的值是（ ） A ．53 B ．98 C ．54 Ｄ．97三、简答1、求下列各式的值：(1)sin30°+cos30° (2)sin30°·sin45° (3)tan60°+2sin45°-2cos30° (4)︒+︒-︒45tan 30cos 2330sin 2(5)︒∙︒+︒+︒︒+︒60cot 60tan 30cos 30cot 45sin 30sin 22（6）(cos60°)2 +(cos45°)2 +sin30°sin45°（7）（8）8)30tan 60(cos 2+︒-︒+-（9）2)145(sin 230tan 3121-︒+︒--（10）20113015(1)()(cos 68)8sin 602π---+++． 2、在Rt △ABC 中，∠C=900，∠B=300，a=8，求这个直角三角形的其它边和角3.在Rt △ABC 中，∠C=900，c=43，a=2，解这个直角三角形.4. 在Rt △ABC 中，∠C=90°：（1）已知a=4，b=8，求c ．（2）已知b=10，∠B=60°，求a ，c ．（3）已知c=20，∠A=60°，求a ，b ．.在直角坐标平面中，直线343+=x y 交x 轴于A ，交y 轴于B ，求∠ABO 的正切值.在ABC ∆中，AD 是BC 上的高，︒=∠30C ，21tan =B ,324+=BC ，求AD 的长.如图(图中单位:米),一段铁路路基的横断面为等腰梯形ABCD,路基顶宽BC 为2.8米,路基高为1.2米,斜坡AB 的坡度i=1:1.6.(1)计算路基的下底宽(精确到0.1米); (2)求坡角的正弦有一段防洪大堤, 其横断面为梯形ABCD,AB ∥CD, 斜坡AD 的坡度i 1=1∶1.2,斜坡BC 的坡度i 2=1∶0.8, 大堤顶宽DC 为6米, 为了增强抗洪能力, 现将大堤加高, 加高部分的横断面为梯形DCFE, EF ∥DC, 点E 、F 分别在AD 、BC 的延长线上（如图）.当新大堤顶宽EF 为3.8米时,大堤加高了几米?ABD1．如图，防洪大堤的横断面是梯形，坝高AC 等于6米，背水坡AB 的坡度i=1：2，则斜坡AB 的长为_______米（精确到0.1米）．2．如图，小山的顶部是一块平地，•在这块平地上有一高压输电的铁架，小山的斜坡的坡度i=1，斜坡BD 的长是50米，•在山坡的坡底处测得铁架顶端A 的仰角为45°，在山坡的坡项D 处测得铁架顶端A 的仰角为60°．（1）求小山的高度；（2）求铁架的高度．1.73，精确到0.1米） 如图,ABC ∆中，BCP AC PC ∠⊥,的正切值为13，P 是AB 的中点，则=A sin ；7、已知ABC ∆中，20=AB ，15=AC ，且=B sin 53，则=BC ；8、在ABC ∆中，AC AB =，AC BD ⊥于D ，=∠DBC sin 72，求AC BC :的值；9、一轮船在海上以每小时30海里的速度向正西方向航行。