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八年级（下）月考数学试卷（3月份）一、选择题（每题3分，共30分）1．（3分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围为（）A．x≥0B．x≤0C．x＝0D．x为任意实数2．（3分）△ABC三边为a、b、C，下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是（）A．a＝，b＝2，c＝B．a＝3，b＝4，c＝5C．b2＝a2﹣c2D．∠A：∠B：∠C＝1：2：33．（3分）下列二次根式中，化简后不能与进行合并的是（）A．B．C．D．4．（3分）若平行四边形中两个内角的度数比为1：2，则其中较小的内角是（）A．60°B．90°C．120°D．45°5．（3分）下列各命题的逆命题成立的是（）A．两条直线平行，同位角相等B．如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等C．等边三角形是锐角三角形D．全等三角形的对应角相等6．（3分）点D、E、F分别为△ABC三边的中点，若△DEF的周长为3，则△ABC的周长为（）A．12B．9C．6D．1.57．（3分）甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是40m/min，甲客轮用15min到达点A，乙客轮用20min到达点B，若A，B两点的直线距离为1000m，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是（）A．北偏西30°B．南偏西30°C．南偏东60°D．南偏西60°8．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AB中点，E为BC上一点，且CE＝2BE ＝2DE＝6．则AB的长为（）A．12B．6C．6D．39．（3分）如图，长方体的长宽高分别是3、4、2，一只蚂蚁要沿着长方体的外表面从A点爬到B点，最短路径长为（）A．5B．C．3D．10．（3分）如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°．若∠AOB＝45°，则OA、OB、OC之间满足（）A．OA2+OB2＝OC2B．OA2+OB2＝2OC2C．OA2+OB2+OA•OB＝2OC2D．OA2+OB2+OA•OB＝2OC2二、填空题（每题3分，共18分）11．（3分）＝；（3）2＝；＝．12．（3分）一个三角形的三边长为5、、，则该三角形的面积为．13．（3分）如图，E、F是▱ABCD对角线BD上的两点，请你添加一个适当的条件：，使四边形AECF是平行四边形．14．（3分）E为▱ABCD边AD上一点，将△ABE沿BE翻折得到△FBE，点F在BD上，且EF＝DF．若∠C＝52°，那么∠ABE＝．15．（3分）A（3，4）是平面直角坐标系第一象限内一点，B为x轴正半轴上一点，若△AOB 为等腰三角形，则B点坐标为．16．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝4．P为BC边上一点，以AP为边在右侧构造等边△APD．连接BD，Q为BD中点，则P点从C点运动到B点的过程中，Q点的运动路径长为．三、解答题（共72分）17．（8分）（1）计算（﹣）﹣（+）；（2）（﹣）×．18．（8分）先化简再求值：，其中x＝．19．（8分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°（1）若AB＝，AC＝，求BC2（2）若AB＝4，AC＝1，求AB边上高．20．（8分）▱ABCD中，BD是对角线，CE⊥CD交BD于E点，AF⊥AB交BD于F点，连接AE、CF．求证：四边形AECF是平行四边形．21．（8分）按要求仅用无刻度的直尺作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹．（1）如图1，正方形网格中的每个小正方形边长都为1，以格点A为顶点画一个△ABC，使其三边长分别为AB＝，AC＝，BC＝；（2）在▱ABCD中，点E在BC边上，AB＝BE，BF平分∠ABC交AD于点F．①在图2中，过点A画出△ABF的BF边上的高AG；②在图3中，过点C画出C到BF的垂线段CH．22．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于O，OE⊥AC交CD于E点．（1）求证：OA平分∠BAE；（2）若平行四边形ABCD的周长为20，求△ADE的周长．23．（10分）如图，等腰Rt△ABD中，AB＝AD，点M为边AD上一动点，点E在DA的延长线上，且AM＝AE，以BE为直角边，向外作等腰Rt△BEG，MG交AB于N，连NE、DN．（1）求证：∠BEN＝∠BGN．（2）求的值．（3）当M在AD上运动时，探究四边形BDNG的形状，并证明之．24．（12分）如图所示，在平面直角坐标系中A（a，0），B（b，0），D（0，d），以AB，AD 为邻边作平行四边形ABCD，其中a，b，d满足．（1）直接写出C点坐标；（2）如图2，线段BC的垂直平分线交y轴于点E，F为AD的中点，试判断∠EFB的大小，并说明理由；（3）如图3，点E（，0），F为x轴上的一点，∠ECF＝45°，求F点的坐标．。
姓名________ 准考证号________八年级数学（人教版）注意事项：1．本试卷共4页，满分120分，考试时间120分钟。
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置上。
3．答卷全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷选择题（共30分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，请将正确选项的字母标号在答题卡相应位置涂黑．1．下列式子中一定是二次根式的是（）A．B．C．D．2．下列各组数中是勾股数的为（）A．1，2，3B．4，5，6C．13，84，85D．7，8，93．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）A．B．C．D．4．下列二次根式，不能与合并的是（）A．B．C．D．5．下列计算中，正确的是（）A．B．C．D．6．三边分别为a，b，c，下列能说明是直角三角形的是（）A．B．C．D．7．若与互为相反数，则的值是（）A．B．C．D．8．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地”问题自《九章算术》中：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈尺）A．3B．5C．4.2D．49．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点（小正方形的顶点）上．若BD是的高，则BD的长为（）A．B．C．D．10．如图，在四边形ABCD中．，∠D=90°，，．分别以A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O，若点O是AC的中点，则CD的长为（）A．B．C．6D．8第II卷非选择题（共90分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11．若二次根式有意义，则x的取值范围是________．12．命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题为________．13．如果表示实数a、b的点在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果是________．14．观察以下几组勾股数，并寻找规律：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…请你写出有以上规律的第⑤组勾股数：________．15．如图，长方形ABCD中，，，点E是AB的中点，点F是BC边上的任意一点（不与B，C重合），沿EF翻折，点B落在点处，当的长度最小时，BF的长度为________．三、解答题（本大题共8个小题，共75分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（每小题5分，共10分）计算：（1）；（2）．17．（本题8分）先化简再求值：，其中，．18．（本题6分）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在所给网格中按下列要求画出图形；（1）从点A出发的一条线段AB，使它的另一个端点落在格点上，且长度为；（2）以（1）中的AB为边的一个等腰三角形ABC，使点C落在格点上，且另两边的长都是无理数．19．（本题10分）如图，在四边形ABCD中，，，，，．求四边形ABCD的面积．20．（本题10分）为庆祝2024年全国两会的召开，学校组织了“献礼两会”小制作展示活动．小彬计划制作一架飞机模型，如图的四边形材料是飞机垂直尾翼的雏形．小彬测量发现，，，．根据设计要求，还需保证．由于手头工具有限，小彬只能测得，根据以上数据，请你判断该材料是否符合设计要求，并说明理由．21．（本题8分）如图，南北向MN为我国领海线，即MN以西为我国领海，以东为公海，上午9时30分，我国反走私A艇发现正东方有一走私艇C以8海里/时的速度偷偷向我国领海驶来，便立即通知正在线上巡逻的我国反走私艇B密切注意．反走私艇A和走私艇C的距离是20海里，A，B两艇的距离是12海里；反走私艇B测得距离C艇16海里，若走私艇C的速度不变，最早会在什么时候进入我国领海？22．（本题10分）阅读下列解题过程，回答问题．；；；……则：（1）________；________；（2）观察上面的解题过程，请直接写出式子________；（3）利用上面的规律：比较与的大小．23．（本题13分）综合与探究：已知：是等腰直角三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰三角形PCQ，其中．探究并解决下列问题：图1 图2（1）如图1，若点P在线段AB上，且，，则：①线段________，________；②猜想：，，三者之间的数量关系为________；（2）如图2，若点P在AB的延长线上，在（1）②中所猜想的结论仍然成立，请你利用图2给出证明过程．八年级数学（人教版）参考答案一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1-5：BCCDC6-10：AACDA10、解析：如图，连接FC，由题可得，点E和点O在AC的垂直平分线上．∴EO垂直平分AC，∴．∵，∴．在与中，，∴，∴．∴，．在中，∵，∴．即，解得．故选：A．二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11．12．如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形全等13．14．11，60，6115．解析：如图，连接DE，∵．，，∴．∴当D，，E共线时，的值最小，不妨设此时点落在DE上的点处，设，∵，∴，解得．故填：．三、解答题（本大题共8个小题，共75分）16、（1）解：原式3分；5分（2）解：原式7分9分．10分17、解：原式2分4分，5分当，时，原式7分．8分18、解：（1）如图所示，AB即为所求；2分（2）如图，或即为所求．6分19、解：连接AC，如图所示：1分∵，，，∴4分∵，，．∴是直角三角形，．7分∴．10分20、解：该材料符合设计要求．1分理由如下：在中，，，，∴．3分∴．4分在中，，，，∴．6分∴．7分∴．8分∴．9分∴该材料符合设计要求．10分21．解：设MN与AC相交于点E，则．1分∵，∴是直角三角形，且．2分∵，∴走私艇C进入我国领海的最短距离是CE．3分由，即．4分得海里．5分由．得海里．6分∴（小时）时36分，9时30分时36分时6分．7分答：走私艇C最早在11时6分进入我国领海．8分22、解：（1）4分（2）由题意可知：．故填：．6分（3）由于，，8分∵，∴．9分∴．∴．10分23、（1）解：①22分（2）4分（2）证明：过点C作于点D．5分∵为等腰直角三角形，，∴．7分∴，，∴．9分在中，由勾股定理，得，∴，11分∵为等腰直角三角形．∴．∵．13分。
八年级（下）第二次月考数学试卷一、选择题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（3分）如图，所给图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）下列变形中不正确的是（）A．由a＞b得b＜aB．若a＞b，则ac2＞bc2（c为有理数）C．由﹣a＞﹣b得b＞aD．由﹣x＜y得x＞﹣2y3．（3分）已知点A的坐标为（1，3），点B的坐标为（2，1）．将线段AB沿某一方向平移后点A的对应点的坐标为（﹣2，5），则点B的对应点的坐标为（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，﹣1）C．（5，3）D．（5，﹣1）4．（3分）若关于x的分式方程有增根，则m的值为（）A．1B．2C．﹣1D．﹣25．（3分）如图，直线y＝x+2与直线y＝ax+4相交于点P（m，3），则关于x的不等式x+2＜ax+4的解集为（）A．x＞1B．x＜1C．x＞3D．x＜36．（3分）如图，已知：∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1＝1，则△A6B6A7的边长为（）A．6B．12C．32D．64二、填空题（每题3分，满分18分，将答案填在答题纸上）7．（3分）要使分式无意义，则x的取值范围是．8．（3分）如图，在△ABC中，BC＝5cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是cm．9．（3分）如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，将△ABC折叠，使点C 与点A重合，折痕为DE，则△ABE的周长为．10．（3分）已知m+n＝3，则m2﹣n2+6n＝．11．（3分）在实数范围内规定新运算“*”，基本规则是a*b＝a﹣2b，已知不等式x*m≤3的解集在数轴上表示如图所示，则m的值为．12．（3分）在等腰△ABC中，AD⊥BC交直线BC于点D，若AD＝BC，则△ABC的顶角的度数为．三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13．（6分）（1）因式分解：m3﹣m；（2）解不等式组：．14．（6分）先化简，再从﹣2＜x≤2中选一个合适的整数作为x的值代入求值．15．（6分）如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC＝BD 求证：（1）△ABC≌△BAD；（2）OA＝OB．16．（6分）小明解方程﹣＝1的过程如下：解：方程两边乘x，得1﹣（x﹣2）＝1．①去括号，得1﹣x﹣2＝1．②移项，得﹣x＝1﹣1+2．③合并同类项，得﹣x＝2．④解得x＝﹣2．⑤所以，原分式方程的解为x＝﹣2．⑥请指出他解答过程中的错误，并写出正确的解答过程．17．（6分）在4×4的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．（1）在图1中画出与△ABC关于点C成中心对称的格点三角形A1B1C；（2）将图2中的△ABC绕着点C按逆时针方向旋转90°，画出经旋转后的三角形A2B2C．四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18．（8分）阅读下列材料：我们知道，分子比分母小的数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：这样的分式就是假分式；再如：这样的分式就是真分式，假分数可以化成1+（即1）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如：．解决下列问题：（1）分式是（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式；（2）如果分式的值为整数，求满足条件的整数x的值；（3）若分式的值为m，则m的取值范围是（直接写出答案）．19．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AE平分∠CAB，CE⊥AE于点E，延长CE交AB于点D．（1）求证：CE＝DE；（2）若点F为BC的中点，求EF的长．20．（8分）阅读材料：根据多项式乘多项式法则，我们很容易计算：（x+2）（x+3）＝x2+5x+6；（x﹣1）（x+3）＝x2+2x﹣3．而因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得：x2+5x+6＝（x+2）（x+3）；x2+2x﹣3＝（x﹣1）（x+3）．通过这样的关系我们可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．如将式子x2+2x ﹣3分解因式．这个式子的二次项系数是1＝1×1，常数项﹣3＝（﹣1）×3，一次项系数2＝（﹣1）+3，可以用下图十字相乘的形式表示为：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求和，使其等于一次项系数，然后横向书写．这样，我们就可以得到：x2+2x﹣3＝（x﹣1）（x+3）．利用这种方法，将下列多项式分解因式：（1）x2+7x+10＝；（2）x2﹣2x﹣3＝；（3）y2﹣7y+12＝；（4）x2+7x﹣18＝．五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21．（9分）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α．以OC为一边作等边三角形OCD，连接AD．（1）求证：△BOC≌△ADC；（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？22．（9分）疫情复学返校之前，为方便快速筛查体温异常学生，某校准备购买A，B两种型号的额温枪，已知每支A型额温枪比每支B型额温枪贵50元，买1支A型额温枪和2支B型额温枪共500元．（1）每支A型、B型额温枪的价格各是多少元？（2）该校欲购进A，B型额温枪共100支，且A型额温枪的数量不少于B型额温枪的数量，购买的总金额不超过17600元，则共有哪几种购买方案？（3）在（2）的条件下，若购买A型额温枪m支，写出购买总费用w（元）与m的表达式，并求出w的最小值．六．（本大题共12分）23．（12分）如图，在平面直角坐标系中，A（a，0），D（6，4），将线段AD平移得到BC，使B（0，b），且a、b满足|a﹣2|+＝0，延长BC交x轴于点E．（1）填空：点A（，），点B（，），∠DAE＝°；（2）求点C和点E的坐标；（3）设点P是x轴上的一动点（不与点A、E重合），且P A＞AE，探究∠APC与∠PCB 的数量关系？写出你的结论并证明．。
一．选择题（共12小题）1．下列数中最大的数是（）A．﹣2B．﹣3C．﹣πD．﹣42．下列图形中是轴对称的是（）A．B．C．D．3．下列调查适合用全面调查的是（）A．对重庆市园博游客满意程度的调查B．对新研发的战斗机的零部件进行检查C．对2019年重庆市居民每户月均用水量的调查D．对西大附中全体学生的视力情况进行调查4．使得函数y＝有意义的自变量的取值范围是（）A．x≥﹣2B．x≥﹣2且x≠0C．x≠0D．x＞﹣25．下列计算正确的是（）A．m2+m3＝m5B．m2•（﹣m）3＝﹣m5C．（﹣m2n）3＝﹣m5n3D．（2mn）2•3m3n＝12m5n2 6．已知一次函数y＝kx+b的图象经过一、二、四象限，则二次函数y＝kx2+bx﹣k的顶点在第（）象限．A．一B．二C．三D．四7．估算2+3的范围是下列哪两个数之间（）A．11﹣12B．12﹣13C．13﹣14D．14﹣158．下列图形都是由同样大小的黑色圆点按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有6个黑色圆点第②个图形中一共有15个黑色圆点，第③个图形中一共有28个黑色圆点，…，按此规律排列下去，第⑦个图形中黑色圆点的个数为（）A．66B．91C．120D．1359．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M在BC边上，且满足BM＝1，过D作DN⊥AM交AM于点N，则DN的长为（）A．B．C．D．10．“五一”期间，小华和妈妈到某景区游玩，小明想利用所学的数学知识，估测景区里的观景塔DE的高度．他从点D处的观景塔出来走到点A处．沿着斜坡AB从A点走了8米到达B点，此时回望观景塔，更显气势宏伟．在B点观察到观景塔顶端的仰角为45°且AB⊥BE，再往前走到C处，观察到观景塔顶端的仰角30°，测得BC之间的水平距离BC＝10米，则观景塔的高度DE约为（）米．（＝1.41，＝1.73）A．14B．15C．19D．2011．如图，双曲线y＝与一次函数y＝﹣x+4在第一象限内交于A，B两点，且△AOB的面积为2，则k的值为（）A．2B．C．D．412．已知二次函数y＝（a+2）x2+2ax+a﹣1的图象与x轴有交点，且关于x的分式方程+1＝的解为整数，则所有满足条件的整数a之和为（）A．﹣4B．﹣6C．﹣8D．3二．填空题（共6小题）13．计算：（）﹣2+（﹣1）2019+|2﹣π|+＝．14．任意抛掷一枚质地均匀的正方体骰子1次，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷得面朝上的点数不大于4的概率为．15．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为．16．已知函数y＝，且使y＝k成立的x值恰好有2个，则k的取值范是．17．已知，甲地到乙地的路程为450千米，一辆大货车从甲地前往乙地运送物资，行驶1小时在途中某地出现故障，立即通知技术人员乘小汽车从甲地赶来维修（通知时间忽略不计），小汽车到达该地后经过半小时修好大货年后以原速原路返甲地，小汽车在返程途中当走到一半路程时发现有重要物品落在大货车上，于是立即掉头以原速追赶大货车，追上大货车取下物品（取物品时间忽略不计）后以原速原路返回甲地，大货车修好后以原速前往乙地，如图是两车距甲地的路程y（千米）与大货车所用时间x（小时）之间的函数图象，则当小汽车第二次追上大货车时，大货车距离乙地千米．18．端午节是中华民族的传统节日，节日期间大家都有吃粽子的习惯．某超市去年销售蛋黄粽、肉粽、豆沙粽的数量比为3：5：2．根据市场调查，超市决定今年在去年销售量的基础上进货，肉粽增加20%、豆沙粽减少10%、蛋黄粽不变．为促进销售，将全部粽子包装成三种礼盒，礼盒A有2个蛋黄粽、4个肉粽、2个豆沙粽，礼盒B有3个蛋黄粽、3个肉粽、2个豆沙粽，礼盒C有2个蛋黄粽、5个肉粽、1个豆沙粽，其中礼盒A和C的总数不超过200盒，礼盒B和C的总数超过210盒．每个蛋黄粽、肉粽、豆沙粽的售价分别为6元、5元、4元，且A、B、C三种礼盒的包装费分别为10元、12元、9元（礼盒售价为粽子价格加上包装费）．若这些礼盒全部售出，则销售额为元．三．解答题（共8小题）19．计算：（1）（a﹣b）（a﹣4b）﹣（a﹣2b）2（2）÷（﹣m﹣2）20．如图，在△ABD中，C为BD上一点，使得CA＝CD，过点C 作CE∥AD交AB于点E，过点D作DF⊥AD交AC的处长线于点F．（1）若CD＝3，求AF的长；（2）若∠B＝30°，∠ADC＝40°，求证：AC＝EC．21．2019年4月，西大附中初2019级中招体育考试已经顺利结束，在所有师生共同努力下，取得了历史性的好成绩．初二小明为了解初三哥哥姐姐们中招体育考试成绩的情况，采取抽样调查的方法，从年级各班随机调查了若干名同学的体考成绩，并将调查结果进行了整理，分成了5个小组，根据体考成绩制定出部分频数分布表和部分频数分布直方图体育成绩频数分布表组别成绩（x分）频数频率A 35＜x≤38 1B 38＜x≤41 0.05C 41＜x≤44D 44＜x≤47 6E 47＜x≤50（1）在这次考察中，共调查了名学生；并请补全频数分布直方图；（2）被调查的学生中，有30人是满分50分，若西大附中初2019级全年级有1100多名学生，请估计该年级体考成绩满分的总人数约有多少名？（3）初三哥哥姐姐们体测取得的辉煌成绩让初二的学弟学妹们信心大增，为了调动初二学子跳绳积极性，初二年级将举行1分钟跳绳比赛，每班推荐一人参赛，小明所在的班级李杰和陈亮两人均想报名参赛，为了公平选拔，班主任让小明统计了两人近10次的跳绳成绩（单位：个/分），如下：李杰成绩170 175 180 190 195（个/分）次数l 1 3 2 3165 180 190 195 200陈亮成绩（个/分）次数 2 2 3 2 1则李杰10次成绩的中位数是；陈亮10次成绩的众数是，请你通过计算两位同学的平均成绩和方差帮班主任选一名同学参赛，并说明理由．22．如图，一次函数y1＝kx+2图象与反比例函数y2＝图象相交于A，B两点，已知点B的坐标为（3，﹣1）．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）请直接写出不等式kx﹣≤﹣2的解集；（3）点C为x轴上一动点，当S△ABC＝3时，求点C的坐标．23．西南大学银翔实验中学第二届缤纷科技节于2019年5月份隆重举行，主题：绿色体验•成长﹣玩出你的稀缺竞争力”，本届缤纷科技节有展示类、体验类、竞赛类共40多个项目.4月份，学校对活动中所需物品统一购，其中某一体验类项目需要A、B两种材料，已知A种材料单价32元/套，B种材料单价24元/套，活动需要A、B两种材料共50套计划购买A、B两种材料总费用不超过1392元．（1）若按计划采购，最多能购买A种材料多少套？（2）在实际来购过程中，受多方面因素的影响，与（1）中最多购买A种材料的计划相比，实际采购A种材料数量的增加了a%，B 种材料的数量减少a%（A、B材料的数量均为整数），实际采购A种材料的单价减少了a%，B种材料的单价增加a%，且实际总费用比按（1）中最多购买A种材料的总费用多了16元，求a．24．如图1，四边形ABCD中，BD⊥AD，E为BD上一点，AE＝BC，CE⊥BD，CE＝ED（1）已知AB＝10，AD＝6，求CD；（2）如图2，F为AD上一点，AF＝DE，连接BF，交BF交AE 于G，过G作GH⊥AB于H，∠BGH＝75°．求证：BF＝2GH+EG．25．“格子乘法”是15世纪中叶，意大利数学家帕乔利在《算术几何及比例性质摘要》一书中介绍的一种两个数的相乘的计算方法．这种方法传入中国之后，在明朝数学家程大位的《算法统宗》书中被称为“铺地锦”具体步骤如下：①先画一个矩形，把它分成p×q个方格（p，q分别为两乘数的位数）在方格上边、右边分别写下两个因数；②再用对角线把方格一分为二，分别记录上述各位数字相应乘积的十位数与个位数；③然后这些乘积由右下到左上，沿对角线方向相加，相加满十时向前进一；④最后得到结果（方格左侧与下方数字依次排列）．比如：（1）图1是用“铺地锦”计算x9×784的格子，则z＝，x9×784＝（2）图2是用“铺地锦”计算ab×cd的格子，已知ab×cd＝2176，求m和n的值．26．如图，y轴上有一点A（0，1），点B是x轴上一点，∠ABO＝60°，抛物线y＝﹣x2++3与x轴交于C、D两点（点C 在点D的左侧）．（1）将点C向右平移个单位得到点E，过点E作直线l⊥x 轴，点P为y轴上一动点，过点P作PQ⊥y轴交直线l于点Q，点K为抛物线上第一象限内的一个动点，当△ABK面积最大时，求KQ+QP+PE的最小值，及此时点P的坐标；（2）在（1）的条件下，将线段PE绕点P逆时针旋转90°后得线段PE′，问：在第一象限内是否存在点S，使得△SPE'是有一个角为60°，且以线段PE′为斜边的直角三角形，若存在请直接写出所有满足条件的点S，若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．下列数中最大的数是（）A．﹣2B．﹣3C．﹣πD．﹣4【分析】先根据实数的大小比较法则比较大小，再得出选项即可．【解答】解：∵﹣4＜﹣π＜﹣3＜﹣2，∴最大的数是﹣2，故选：A．2．下列图形中是轴对称的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念判断即可．【解答】解：A、不是轴对称图形；B、不是轴对称图形；C、是轴对称图形；D、不是轴对称图形；故选：C．3．下列调查适合用全面调查的是（）A．对重庆市园博游客满意程度的调查B．对新研发的战斗机的零部件进行检查C．对2019年重庆市居民每户月均用水量的调查D．对西大附中全体学生的视力情况进行调查【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似判断．【解答】解：A、对重庆市园博游客满意程度的调查适合用抽样调查；B、对新研发的战斗机的零部件进行检查适合用全面调查；C、对2019年重庆市居民每户月均用水量的调查适合用抽样调查；D、对西大附中全体学生的视力情况进行调查适合用抽样调查；故选：B．4．使得函数y＝有意义的自变量的取值范围是（）A．x≥﹣2B．x≥﹣2且x≠0C．x≠0D．x＞﹣2【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得x+2＞0，解得x＞﹣2．故选：D．5．下列计算正确的是（）A．m2+m3＝m5B．m2•（﹣m）3＝﹣m5C．（﹣m2n）3＝﹣m5n3D．（2mn）2•3m3n＝12m5n2【分析】根据合并同类项的法则，同底数幂的乘法、以及积的乘方和单项式乘单项式的知识求解即可求得答案．【解答】解：A、m2和m3不是同类项不能合并，故本选项错误；B、m2•（﹣m）3＝﹣m5，故本选项正确；C、（﹣m2n）3＝﹣m6n3，故本选项错误；D、（2mn）2•3m3n＝4m2n2•3m3n＝12m5n3，故本选项错误．故选：B．6．已知一次函数y＝kx+b的图象经过一、二、四象限，则二次函数y＝kx2+bx﹣k的顶点在第（）象限．A．一B．二C．三D．四【分析】利用一次函数的性质得到k＜0，b＞0，则判断△＞0得到抛物线与x轴有两个交点，然后确定抛物线的对称轴的位置，从而得到抛物线顶点所在的象限．【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象经过一、二、四象限，∴k＜0，b＞0，∵△＝b2﹣4k（﹣k）＝b2+4k2＞0，∴抛物线与x轴有两个交点，∵k、b异号，∴抛物线的对称轴在y轴右侧，∴二次函数y＝kx2+bx﹣k的顶点在第一象限．故选：A．7．估算2+3的范围是下列哪两个数之间（）A．11﹣12B．12﹣13C．13﹣14D．14﹣15【分析】直接利用特殊值法得出、的取值范围即可．【解答】解：2＝，3＝，∵4＜＜4.5，7＜＜7.5，∴11＜+＜12，∴2+3的大小应在11与12之间．故选：A．8．下列图形都是由同样大小的黑色圆点按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有6个黑色圆点第②个图形中一共有15个黑色圆点，第③个图形中一共有28个黑色圆点，…，按此规律排列下去，第⑦个图形中黑色圆点的个数为（）A．66B．91C．120D．135【分析】观察图形特点，从中找出规律，黑色圆点的个数分别是1+3+1×2，1+3+5+2×3，1+3+5+7+3×4，1+3+5+7+9+4×5，…，总结出第n个图形中的黑色圆点的个数为1+3+5+…+（2n+1）+n（n+1），根据规律求解．【解答】解：通过观察，得到：第①个图形中的黑色圆点的个数为：1+3+1×2＝6，第②个图形中的黑色圆点的个数为：1+3+5+2×3＝15，第③个图形中的黑色圆点的个数为：1+3+5+7+3×4＝28，…，所以第n个图形中的黑色圆点的个数为：1+3+5+…+（2n+1）+n（n+1），当n＝7时，1+3+5+7+9+11+13+15+7×8＝120，故选：C．9．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M在BC边上，且满足BM＝1，过D作DN⊥AM交AM于点N，则DN的长为（）A．B．C．D．【分析】连接DM，由勾股定理得出∠B＝90°，AD＝BC＝4，△AMD 底边AD上的高为AB，由勾股定理得出AM＝＝，再由△ADM的面积即可得出答案．【解答】解：连接DM，如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，AD＝BC＝4，△AMD底边AD上的高为AB，AM＝＝＝，∵△ADM的面积＝AM×DN＝AD×AB，∴DN＝＝＝；故选：D．10．“五一”期间，小华和妈妈到某景区游玩，小明想利用所学的数学知识，估测景区里的观景塔DE的高度．他从点D处的观景塔出来走到点A处．沿着斜坡AB从A点走了8米到达B点，此时回望观景塔，更显气势宏伟．在B点观察到观景塔顶端的仰角为45°且AB⊥BE，再往前走到C处，观察到观景塔顶端的仰角30°，测得BC之间的水平距离BC＝10米，则观景塔的高度DE约为（）米．（＝1.41，＝1.73）A．14B．15C．19D．20【分析】作BF⊥DE于F，AH⊥BF于H，根据等腰直角三角形的性质求出AH，根据正切的定义用EF表示出CF、BF，根据题意列式求出EF，结合图形计算，得到答案．【解答】解：作BF⊥DE于F，AH⊥BF于H，∵∠EBF＝45°，∴∠ABH＝45°，∴AH＝BH＝8×＝4，在Rt△ECF中，tan∠ECF＝，则CF＝EF，在Rt△EBF中，∠EBF＝45°，∴BF＝EF，由题意得，EF﹣EF＝10，解得，EF＝5+5，则DE＝EF+DF＝5+5+4≈19，故选：C．11．如图，双曲线y＝与一次函数y＝﹣x+4在第一象限内交于A，B两点，且△AOB的面积为2，则k的值为（）A．2B．C．D．4【分析】设一次函数y＝﹣x+4的图象与y轴交于点C，把x＝0代入y＝﹣x+4，求出点C坐标，设点A的横坐标为x1，点B的横坐标为x2，根据S△AOB＝S△OBC﹣S△OAC＝2，找到x1和x2之间的关键，联立，得到关于x的一元二次方程，根据一元二次方程根与系数的关系，得到关于k的一元一次方程，解之即可．【解答】解：设一次函数y＝﹣x+4的图象与y轴交于点C，如下图所示：，把x＝0代入y＝﹣x+4得：y＝4，即点C的坐标为：（0，4），线段OC的长度为4，设点A的横坐标为x1，点B的横坐标为x2，S△AOB＝S△OBC﹣S△OAC＝﹣＝2x2﹣2x1＝2，即x2﹣x1＝1，整理得：﹣4x1x2＝1，联立，整理得：x2﹣4x+k＝0，则x1+x2＝4，x1x2＝k，把x1+x2＝4，x1x2＝k代入﹣4x1x2＝1得：16﹣4k＝1，解得：k＝，故选：B．12．已知二次函数y＝（a+2）x2+2ax+a﹣1的图象与x轴有交点，且关于x的分式方程+1＝的解为整数，则所有满足条件的整数a之和为（）A．﹣4B．﹣6C．﹣8D．3【分析】根据二次函数的定义和判别式的意义得到a+2≠0且△＝4a2﹣4×（a+2）（a﹣1）≥0，则a≤2且a≠﹣2，再解分式方程得到x＝且x≠﹣1，利用分式方程的解为整数可求出解得a＝0，﹣2，1，﹣3，2，﹣4，5，加上a的范围可确定满足条件的a的值，然后计算它们的和．【解答】解：根据题意得a+2≠0且△＝4a2﹣4×（a+2）（a﹣1）≥0，解得a≤2且a≠﹣2，去分母得ax+x+1＝7，解得x＝且x≠﹣1，因为分式方程的解为整数，所以a+1＝±1，±2，±3，±6，且a≠﹣7，解得a＝0，﹣2，1，﹣3，2，﹣4，5，所以满足条件的a的值为﹣4，﹣3，0，2，1．所以所有满足条件的整数a之和为﹣4+（﹣3）+0+2+1＝﹣4．故选：A．二．填空题（共6小题）13．计算：（）﹣2+（﹣1）2019+|2﹣π|+＝6+π﹣2．【分析】直接利用负整数指数幂的性质、绝对值的性质、立方根的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝4﹣1+π﹣2+3＝6+π﹣2．故答案为：6+π﹣2．14．任意抛掷一枚质地均匀的正方体骰子1次，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷得面朝上的点数不大于4的概率为．【分析】点数不大于4的有1种情况，除以总个数6即为向上的一面的点数不大于4的概率．【解答】解：∵共有6种情况，点数不大于4的有4种，∴P（点数不大于4）＝＝．故答案为：．15．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF 的长为．【分析】连接BF，根据三角形的面积公式求出BH，得到BF，根据直角三角形的判定得到∠BFC＝90°，根据勾股定理求出答案．【解答】解：连接BF，∵BC＝6，点E为BC的中点，∴BE＝3，又∵AB＝4，∴AE＝＝5，∴BH＝，则BF＝，∵FE＝BE＝EC，∴∠BFC＝90°，根据勾股定理得，CF＝＝＝．故答案为：．16．已知函数y＝，且使y＝k成立的x值恰好有2个，则k的取值范是k＝1或k＜﹣8 ．【分析】求出抛物线y＝﹣（x﹣1）2+1和抛物线y＝﹣（x﹣7）2+1交点坐标（4，﹣8），然后利用函数图象求出直线y＝k与函数图象有两个交点时k的范围即可．【解答】解：y＝﹣（x﹣1）2+1的顶点坐标为（1，1），y＝﹣（x ﹣7）2+1的顶点坐标为（7，1），解方程﹣（x﹣1）2+1＝﹣（x﹣1）2+1得x＝4，则抛物线y＝﹣（x﹣1）2+1和抛物线y＝﹣（x﹣7）2+1相交于点（4，﹣8），如图，直线y＝﹣8与函数图象有三个交点，当k＜﹣8时，直线y＝k与函数图象有2个交点，当k＝1时，直线y＝k与函数图象有2个交点，所以使y＝k成立的x值恰好有2个时，k＝1或k＜﹣8．故答案为k＝1或k＜﹣8．17．已知，甲地到乙地的路程为450千米，一辆大货车从甲地前往乙地运送物资，行驶1小时在途中某地出现故障，立即通知技术人员乘小汽车从甲地赶来维修（通知时间忽略不计），小汽车到达该地后经过半小时修好大货年后以原速原路返甲地，小汽车在返程途中当走到一半路程时发现有重要物品落在大货车上，于是立即掉头以原速追赶大货车，追上大货车取下物品（取物品时间忽略不计）后以原速原路返回甲地，大货车修好后以原速前往乙地，如图是两车距甲地的路程y（千米）与大货车所用时间x（小时）之间的函数图象，则当小汽车第二次追上大货车时，大货车距离乙地90 千米．【分析】根据题意和函数图象中的数据可以求得大货车和小轿车的速度，从而可以计算出当小汽车第二次追上大货车时，大货车距离乙地的距离．【解答】解：由图可得，大货车的速度为：90÷1＝90（千米/小时），设小汽车从甲地到大货车出现故障的地方所用的时间为a，则a+0.5+0.5a＝，得a＝，故小汽车的速度为：90÷＝120（千米/小时），设小汽车第二次追上大货车的时间b小时，45+（b﹣）×120＝90+（b﹣1﹣）×90，解得，b＝，故则当小汽车第二次追上大货车时，大货车距离乙地：450﹣[90+（﹣1﹣）×90]＝90（千米），故答案为：90．18．端午节是中华民族的传统节日，节日期间大家都有吃粽子的习惯．某超市去年销售蛋黄粽、肉粽、豆沙粽的数量比为3：5：2．根据市场调查，超市决定今年在去年销售量的基础上进货，肉粽增加20%、豆沙粽减少10%、蛋黄粽不变．为促进销售，将全部粽子包装成三种礼盒，礼盒A有2个蛋黄粽、4个肉粽、2个豆沙粽，礼盒B有3个蛋黄粽、3个肉粽、2个豆沙粽，礼盒C有2个蛋黄粽、5个肉粽、1个豆沙粽，其中礼盒A和C的总数不超过200盒，礼盒B和C的总数超过210盒．每个蛋黄粽、肉粽、豆沙粽的售价分别为6元、5元、4元，且A、B、C三种礼盒的包装费分别为10元、12元、9元（礼盒售价为粽子价格加上包装费）．若这些礼盒全部售出，则销售额为12312 元．【分析】设超市去年销售蛋黄粽的数量销售分别为3x个，设销售了A、B、C三种礼盒的数量分别为a盒，b盒，c盒，根据题意列出方程组，用x表示a、b、c，再根据“礼盒A和C的总数不超过200盒，礼盒B和C的总数超过210盒，”列出x的不等式组，求得x的取值范围，再根据礼盒数与粽子数量为整数，求得x的值，进而便可求得结果．【解答】解：设超市去年销售蛋黄粽、肉粽、豆沙粽的数量销售分别为3x个，5x个，2x个，则今年该超市销售蛋黄粽、肉粽、豆沙粽的数量销售分别为3x个，（1+20%）×5x＝6x个，（1﹣10%）×2x＝1.8x个，设销售了A、B、C三种礼盒的数量分别为a盒，b盒，c盒，根据题意得，，解得，，∵礼盒A和C的总数不超过200盒，礼盒B和C的总数超过210盒，∴，∴，∵a＝0.15x、b＝0.3x、c＝0.9x、1.8x都为整数，∴x必为20的倍数，∴x＝180，∴a＝27，b＝54，c＝162，∴这些礼盒全部售出的销售额为：（2×6+4×5+2×4+10）a+（3×6+3×5+2×4+12）b+（2×6+5×5+1×4）c＝50a+53b+50c＝50×27+53×54+50×162＝12312，故答案为：12312．三．解答题（共8小题）19．计算：（1）（a﹣b）（a﹣4b）﹣（a﹣2b）2（2）÷（﹣m﹣2）【分析】（1）根据整式的混合运算顺序和运算法则化简可得；（2）利用分式的混合运算顺序和运算法则化简可得．【解答】解：（1）原式＝a2﹣4ab﹣ab+4b2﹣（a2﹣4ab+4b2）＝a2﹣4ab﹣ab+4b2﹣a2+4ab﹣4b2＝﹣ab；（2）原式＝÷（﹣）＝•＝﹣．20．如图，在△ABD中，C为BD上一点，使得CA＝CD，过点C 作CE∥AD交AB于点E，过点D作DF⊥AD交AC的处长线于点F．（1）若CD＝3，求AF的长；（2）若∠B＝30°，∠ADC＝40°，求证：AC＝EC．【分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠CAD＝∠CDA，由余角的性质可得∠F＝∠CDF，可得CD＝CF＝3，即可求解；（2）由三角形内角和定理可求∠CAB＝70°，由平行线的性质和外角的性质可求∠AEC＝∠CAB＝70°，即可求解．【解答】解：（1）∵CA＝CD＝3，∴∠CAD＝∠CDA，∵AD⊥DF，∴∠ADF＝90°，∴∠F+∠FAD＝90°，∠ADC+∠CDF＝90°，∴∠F＝∠CDF，∴CD＝CF＝3，∴AF＝AC+CF＝6；（2）∵∠B＝30°，∠ADC＝∠CAD＝40°，∴∠CAB＝180°﹣30°﹣40°﹣40°＝70°，∵CE∥AD，∴∠BCE＝∠ADC＝40°，∴∠AEC＝∠B+∠BCE＝70°，∴∠AEC＝∠CAB，∴AC＝CE．21．2019年4月，西大附中初2019级中招体育考试已经顺利结束，在所有师生共同努力下，取得了历史性的好成绩．初二小明为了解初三哥哥姐姐们中招体育考试成绩的情况，采取抽样调查的方法，从年级各班随机调查了若干名同学的体考成绩，并将调查结果进行了整理，分成了5个小组，根据体考成绩制定出部分频数分布表和部分频数分布直方图体育成绩频数分布表组别成绩（x分）频数频率A 35＜x≤38 1B 38＜x≤41 0.05C 41＜x≤44D 44＜x≤47 6E 47＜x≤50（1）在这次考察中，共调查了60 名学生；并请补全频数分布直方图；（2）被调查的学生中，有30人是满分50分，若西大附中初2019级全年级有1100多名学生，请估计该年级体考成绩满分的总人数约有多少名？（3）初三哥哥姐姐们体测取得的辉煌成绩让初二的学弟学妹们信心大增，为了调动初二学子跳绳积极性，初二年级将举行1分钟跳绳比赛，每班推荐一人参赛，小明所在的班级李杰和陈亮两人均想报名参赛，为了公平选拔，班主任让小明统计了两人近10次的跳绳成绩（单位：个/分），如下：李杰成绩170 175 180 190 195（个/分）次数l 1 3 2 3165 180 190 195 200陈亮成绩（个/分）次数 2 2 3 2 1则李杰10次成绩的中位数是185 ；陈亮10次成绩的众数是190 ，请你通过计算两位同学的平均成绩和方差帮班主任选一名同学参赛，并说明理由．【分析】（1）根据38＜x≤41的频数和频率求出总人数，再用总人数减去其他段的人数求出41＜x≤44的人数，从而补全统计图；（2）用总人数乘以体考成绩满分的人数所占的百分比即可；（3）根据中位数、众数、平均数以及方差的计算公式分别进行计算，然后再进行比较即可得出答案．【解答】解：（1）共调查的学生数是：3÷0.05＝60（名），41＜x≤44的人数有：60﹣1﹣3﹣6﹣45＝5（名），补图如下：（2）根据题意得：1100×＝550（名），答：估计该年级体考成绩满分的总人数约有550名；（3）李杰10次成绩的中位数是＝185；陈亮10次成绩的众数是190；李杰10次成绩的平均成绩是：＝185，李杰10次成绩的方差是：[（170﹣185）2+（175﹣185）2+3（180﹣185）2+2（190﹣185）2+3（195﹣185）2]＝55；陈亮10次成绩的平均成绩是：＝185，陈亮10次成绩的方差是：[2（165﹣185）2+2（180﹣185）2+3（190﹣185）2+2（195﹣185）2+（200﹣185）2]＝135；两位同学的平均成绩一样，但李杰的方差小于陈亮的方差，所以应派李杰参赛；故答案为：185，190．22．如图，一次函数y1＝kx+2图象与反比例函数y2＝图象相交于A，B两点，已知点B的坐标为（3，﹣1）．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）请直接写出不等式kx﹣≤﹣2的解集；（3）点C为x轴上一动点，当S△ABC＝3时，求点C的坐标．【分析】（1）将B的坐标（3，﹣1）分别代入一次函数y1＝kx+2图象与反比例函数y2＝中，可求出k、m的值，进而确定函数关系式，（2）求出一次函数与反比例函数图象的交点坐标，根据图象得出不等式的解集，（3）求出一次函数与x轴的交点坐标，根据S△ABC＝3，可以求出CM的长，分两种情况进行解答即可．【解答】解：（1）把B（3，﹣1）分别代入y1＝kx+2和y2＝得．﹣1＝3k+2，m＝3×（﹣1），∴k＝﹣1，m＝﹣3，∴一次函数和反比例函数的解析式分别为y1＝﹣x+2，y2＝，（2）由题意得：，解得：，，∴A（﹣1，3）不等式kx﹣≤﹣2的解集，即kx+2≤的解集，由图象可得，﹣1≤x＜0或x≥3，答：不等式kx﹣≤﹣2的解集为﹣1≤x＜0或x≥3．（3）直线y＝﹣x+2与x轴的交点M（2，0），即OM＝2，∵S△ABC＝3，∴S△AMC+S△BMC＝3即：×CM×3+CM×1＝3，解得：CM＝，①当点C在M的左侧时，OC1＝2﹣＝，∴点C的坐标为（，0），②当点C在M的右侧时，OC2＝2+＝，∴点C的坐标为（，0），答：点C的坐标为（，0）或（，0）．23．西南大学银翔实验中学第二届缤纷科技节于2019年5月份隆重举行，主题：绿色体验•成长﹣玩出你的稀缺竞争力”，本届缤纷科技节有展示类、体验类、竞赛类共40多个项目.4月份，学校对活动中所需物品统一购，其中某一体验类项目需要A、B两种材料，已知A种材料单价32元/套，B种材料单价24元/套，活动需要A、B两种材料共50套计划购买A、B两种材料总费用不超过1392元．（1）若按计划采购，最多能购买A种材料多少套？（2）在实际来购过程中，受多方面因素的影响，与（1）中最多购买A种材料的计划相比，实际采购A种材料数量的增加了a%，B 种材料的数量减少a%（A、B材料的数量均为整数），实际采购A种材料的单价减少了a%，B种材料的单价增加a%，且实际总费用比按（1）中最多购买A种材料的总费用多了16元，求a．【分析】（1）设购买A材料x套，则购买B材料为50﹣x套，由题意得：32x+24（50﹣x）≤1392，即可求解；（2）设x＝a%，由题意得：24（1+x）×32（1﹣x）+26（1﹣x）×24（1+x）＝1392+16，即可求解．【解答】解：（1）设购买A材料x套，则购买B材料为50﹣x套，由题意得：32x+24（50﹣x）≤1392，解得：x≤24，则最大购买A材料24（购买B材料26套）；（2）设x＝a%，由题意得：24（1+x）×32（1﹣x）+26（1﹣x）×24（1+x）＝1392+16，化简得：58x2﹣37x+4＝0，解得：x＝或（不合题意舍去），即＝x＝a%，解得：a＝50．24．如图1，四边形ABCD中，BD⊥AD，E为BD上一点，AE＝BC，CE⊥BD，CE＝ED（1）已知AB＝10，AD＝6，求CD；（2）如图2，F为AD上一点，AF＝DE，连接BF，交BF交AE 于G，过G作GH⊥AB于H，∠BGH＝75°．求证：BF＝2GH+EG．【分析】（1）由勾股定理得出BD＝＝8，由HL证得Rt △ADE≌Rt△BEC，得出BE＝AD，则CE＝ED＝BD﹣BE＝BD﹣AD ＝2，由等腰直角三角形的性质即可得出结果；（2）连接CF，易证AF＝CE，AD∥CE，得出四边形AECF是平行四边形，则AE＝CF，AE∥CF，得出∠CFD＝∠EAD，∠CFB＝∠AGF，由Rt△ADE≌Rt△BEC，得出∠CBE＝∠EAD，推出∠CBE＝∠CFD，证得△BCF是等腰直角三角形，则BF＝BC＝CF＝AE，∠FBC ＝∠BFC＝45°，推出∠AGF＝45°，∠AGH＝60°，∠GAH＝30°，则AG＝2GH，得出BF＝AE＝（AG+EG），即可得出结论．【解答】（1）解：∵BD⊥AD，∴BD＝＝＝8，∵CE⊥BD，∴∠CEB＝∠EDA＝90°，在Rt△ADE和Rt△BEC中，，∴Rt△ADE≌Rt△BEC（HL），∴BE＝AD，∴CE＝ED＝BD﹣BE＝BD﹣AD＝8﹣6＝2，∴CD＝CE＝2；（2）解：连接CF，如图2所示：∵AF＝DE，DE＝CE，∴AF＝CE，∵BD⊥AD，CE⊥BD，∴AD∥CE，∴四边形AECF是平行四边形，∴AE＝CF，AE∥CF，∴∠CFD＝∠EAD，∠CFB＝∠AGF，由（1）得：Rt△ADE≌Rt△BEC，∴∠CBE＝∠EAD，∴∠CBE＝∠CFD，∵∠FBD+∠BFC+∠CFD＝90°，∴∠FBD+∠BFC+∠CBE＝90°，∴∠BCF＝90°，∵AE＝BC，∴BC＝CF，∴△BCF是等腰直角三角形，∴BF＝BC＝CF＝AE，∠FBC＝∠BFC＝45°，∴∠AGF＝45°，∵∠BGH＝75°，∴∠AGH＝180°﹣45°﹣75°＝60°，∵GH⊥AB，∴∠GAH＝30°，∴AG＝2GH，∴BF＝AE＝（AG+EG），∴BF＝2GH+EG．25．“格子乘法”是15世纪中叶，意大利数学家帕乔利在《算术几何及比例性质摘要》一书中介绍的一种两个数的相乘的计算方法．这种方法传入中国之后，在明朝数学家程大位的《算法统宗》书中被称为“铺地锦”具体步骤如下：①先画一个矩形，把它分成p×q个方格（p，q分别为两乘数的位数）在方格上边、右边分别写下两个因数；②再用对角线把方格一分为二，分别记录上述各位数字相应乘积的十位数与个位数；③然后这些乘积由右下到左上，沿对角线方向相加，相加满十时向前进一；④最后得到结果（方格左侧与下方数字依次排列）．比如：（1）图1是用“铺地锦”计算x9×784的格子，则z＝ 2 ，x9×784＝30576。
2022-2023学年第二学期月考试题 （八年级）（数学 科目）考试时间：120分钟 分值：150分 第I 卷（选择题） 一、选择题（本大题共12小题，共48分） 1. 在函数y = x +4x 中，自变量x 的取值范围是( ) A. x >0B. x ≥−4C. x ≥−4，且x ≠0D. x >0，且x ≠−1 2. 下列曲线中，表示y 是x 的函数的是( ) A. B. C. D. 3. 已知点(−2,y 1)，(−1,y 2)，(1,y 3)都在直线y =−x +7上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是( ) A. y 1>y 2>y 3 B. y 1<y 2<y 3 C. y 3>y 1>y 2 D. y 3<y 1<y 2 4. 某工程队承建一条长30km 的乡村公路，预计工期为120天，若每天修建公路的长度保持不变，则还未完成的公路长度y (km )与施工时间x (天)之间的关系式为( ) A. y =30−14x B. y =30+14x C. y =30−4x D. y =14x5. 根据如图所示的程序计算函数y 的值，若输入x 的值是8，则输出y 的值是−3，若输入x 的值是−8，则输出y 的值是( )A. 10B. 14C. 18D. 22学校：姓名：班级：考号： 密封线6. 函数y=(m−n+1)x|n−1|+n−2是正比例函数，则m，n应满足的条件是( )A. m≠−1，且n=0B. m≠1，且n=0C. m≠−1，且n=2D. m≠1，且n=27. 对于函数y=−k2x(k是常数，k≠0)，下列说法不正确的是( )A. 图象是一条直线B. 图象过点(1k,−k)C. 图象经过第一、三象限或第二、四象限D. y随着x的增大而减小8. 正比例函数y=1−2m x的图象经过点A x1,y1，B x2,y2，当x1<x2时，y1>y2，则m的取值范围是( )A. m=12B. m≥12C. m>12D. m<129. 如图，在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正方形EFGD，动点P从点A出发，沿A→E→F→G→C→B的路线，绕多边形的边匀速运动到点B时停止，则△ABP的面积S随着时间t变化的函数图象大致是( )A. B. C. D.10. 如图，已知直线l1：y=k1x与直线l2：y=k2x+b在同一直角坐标系中的图象，则关于x的不等式k1x>k2x+b的解集为( )A. x>−1B. x<−1C. x<−2D. 无法确定11. 在同一平面直角坐标系中，直线y=−x+4与y=2x+m相交于点P3,n，则关于x，y的方程组x+y−4=0,2x−y+m=0的解为( )A. x=−1y=5 B.x=1y=3 C.x=3y=1 D.x=9y=−512. 在2021年端午节举办的“划龙舟，庆端午”比赛中，甲、乙两队在比赛时的路程s(米)与时间t(分钟)之间的函数关系图象如图所示，根据图象得到下列结论，其中错误的是( )A. 这次比赛的全程是1000米B. 乙队先到达终点C. 比赛中两队从出发到1.1分钟时间段，乙队的速度比甲队的速度快D. 乙与甲相遇时乙的速度是375米/分钟第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共6小题，共24分）13. 将函数y=3x+1的图象平移，使它经过点(1,1)，则平移后的函数解析式是．14. 已知一次函数y=2x+a，y=−x+b的图象都经过点A(−2,0)，且与y轴分别相交于B，C两点，则△ABC的面积为．15. 汽车由A地驶往相距120kmm的B地，它的平均速度是30km/ℎ，则汽车距B地路程s(km)与行驶时间t(ℎ)的函数关系式及自变量t的取值范围是____________．16. 甲、乙两人分别从A，B两地相向而行，他们距B地的距离s(km)与时间t(ℎ)的关系如图所示，那么乙的速度是______km/ℎ．17. 已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点A(−2,3)，且与x轴的交点B到坐标原点的距离为1，则这个一次函数的表达式为·18. 一个空水池，现需注满水，水池深4.9 m，现以均匀的流量注水，水的深度和注水时间如下表所示．由上表提供的信息，我们可以推断出注满水池所需的时间是ℎ.三、解答题（本大题共7小题，共78分。
2022-2023学年江西省宜春市宜丰中学八年级（下）月考数学试卷（3月份）1. 某中学合唱团的17名成员的年龄情况如下表：年龄单位：岁1415161718人数35441则这些队员年龄的众数和中位数分别是( )A. 15，15B. 15，C. 15，16D. 16，152. 已知等腰的周长为10，若设腰长为x，则x的取值范围是( )A. B. C. D.3. 若一次函数的图象不经过第二象限，则m的取值范围是( )A. B. C. D.4.如图，在中，，，，，，都是等边三角形，下列结论中：①；②四边形AEFD是平行四边形；③；④正确的个数是( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个5.如图，在中，BD平分交AC于点D，且，F在BC上，E为AF的中点，连接DE，AF，若，，，则AB的长为( )A.B.C.D. 96. 在直角坐标系中，横纵坐标都是整数的点称为整点，设k为整数，当直线与的交点为整数时，k的值可以取( )A. 2个B. 4个C. 6个D. 8个7. 某校规定学生的数学成绩由三部分组成，期末考试成绩占，期中成绩占，平时作业成绩占，某人上述三项成绩分别为85分，90分，80分，则他的数学成绩是______.8. 如图，直线与直线相交于点A，则关于x的不等式的解集为______.9. 当光线射到x轴进行反射，如果反射的路径经过点和点，则入射光线所在直线的解析式为______ .10. 设，则代数式的值为______.11. 如图，已知，于B，于A，，点E是CD的中点，则AE的长是______.12. 如图，在平面直角坐标系中，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点，点A的坐标为，点B的坐标为直线l与直线交于点点P是直线上，的一点，点Q是坐标平面内任意一点.若使以A、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，则Q点的坐标为______ .13. 已知，，且试求正整数14. 如图，在四边形ABCD中，，对角线BD的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点M、N，连接BM、求证：四边形BNDM是菱形；若四边形BNDM的周长为52，，求BD的长.15. 如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的B处，以每小时40km的速度向北偏东的BF方向移动，距离台风中心200km的范围内是受台风影响的区域．城是否受到这次台风的影响？为什么？若A城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？16. 某地计划从甲、乙两个蔬菜基地向A，B两市运送蔬菜．甲、乙两个基地分别可运出80吨和100吨蔬菜．A，B两市分别需要蔬菜110吨和70吨．从甲，乙两基地运往A，B两市的运费单价如下表：A市元/吨B市元/吨甲基地1520乙基地1025设从甲基地运往A市x吨蔬菜时，总运费为y元．求y关于x的函数表达式及自变量的取值范围；当甲基地运往A市多少吨蔬菜时，总运费最省？最省的总运费是多少元？17. 在中，D为AB的中点，分别延长CA，CB到点E，F，使；过E，F分别作CA，CB的垂线，相交于求证：18. 观察下列方程及解的特征：的解为：；的解为：，；的解为：，；…解答下列问题：请猜想，方程的解为______；请猜想，方程______的解为，；解关于x的分式方程19. 请你用学习“一次函数”中积累的经验和方法研究函数的图象和性质，并解决问题．①当时，；②当时，______；③当时，______；显然，②和③均为某个一次函数的一部分．在平面直角坐标系中，作出函数的图象．根据函数图象写出函数的一条性质：______.一次函数为常数，的图象过点，若无解，结合函数的图象，直接写出k的取值范围．20. 我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的4倍的三角形叫做常态三角形．例如：某三角形三边长分别是5，6和8，因为，所以这个三角形是常态三角形．若三边长分别是2，和4，则此三角形__________常态三角形填“是”或“不是”；若是常态三角形，则此三角形的三边长之比为__________请按从小到大排列；如图，中，，，点D为AB的中点，连接CD，若是常态三角形，求的面积．21. 甲、乙两车从A市去往B市，甲比乙早出发了2个小时，甲到达B市后停留一段时间返回，乙到达B市后立即返回.甲车往返的速度都为40千米/时，乙车往返的速度都为20千米/时，如图是两车距A市的路程千米与行驶时间小时之间的函数图象，请结合图象回答下列问题：、B两市的距离是______ 千米，甲到B市后，______ 小时乙到达B市；求甲车返回时的路程千米与时间小时之间的函数关系式；甲车从B市开始往回返后，再经过几小时两车相距15千米？22. 【模型建立】如图1，等腰中，，，直线ED经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，求证：≌；【模型应用】如图2，已知直线：与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线绕点A 逆时针旋转至直线；求直线的函数表达式；如图3，平面直角坐标系内有一点，过点B作轴于点A、轴于点C，点P是线段AB上的动点，点D是直线上的动点且在第四象限内．试探究能否成为等腰直角三角形？若能，求出点D的坐标，若不能，请说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：根据图表数据，同一年龄人数最多的是15岁，共5人，所以众数是15岁，17名队员中，按照年龄从大到小排列，第9名队员的年龄是16岁，所以，中位数是16岁．故选：找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．本题考查了确定一组数据的中位数和众数的能力，众数是出现次数最多的数据，一组数据的众数可能有不止一个，找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数，中位数不一定是这组数据中的数．2.【答案】A【解析】解：依题意得：，解得故选：根据已知条件得出底边的长为：，再根据第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，即可求出第三边长的范围．本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系及解一元一次不等式组等知识；根据三角形三边关系定理列出不等式，接着解不等式求解是正确解答本题的关键．3.【答案】D【解析】【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系以及一元一次不等式组的解法．根据题意得到关于m的不等式组，然后解不等式组即可．【解答】解：根据题意得，解得故选：4.【答案】D【解析】【分析】由，得出，故①正确；再由SAS证得≌，得，同理≌，得，则四边形AEFD 是平行四边形，故②正确；然后由平行四边形的性质得，则③正确；最后求出，故④正确；即可得出答案．本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、含角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明≌是解题的关键．【解答】解：，，，，，是直角三角形，，，故①正确；，都是等边三角形，，，和都是等边三角形，，，，，在与中，，≌，，同理可证：≌，，四边形AEFD是平行四边形，故②正确；，故③正确；过A作于G，如图所示：则，四边形AEFD是平行四边形，，，，故④正确；正确的个数是4个，故选：5.【答案】A【解析】解：平分交AC于点D，，，，，≌，，为AF的中点，是的中位线，，，，，，，，，负值舍去，，，故选：根据角平分线的定义得到，根据垂直的定义得到，根据全等三角形的判定和性质得到，根据三角形中位线定理和勾股定理即可得到结论．本题考查了三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．6.【答案】C【解析】解：由题意得：，解得：，，交点为整数，可取的整数解有0，2，3，5，，共6个．故选：让这两条直线的解析式组成方程组，求得整数解即可．本题考查了两条直线相交或者平行问题，难度一般，解决本题的难点是根据分数的形式得到相应的整数解．7.【答案】分【解析】解：他的数学成绩是：分故答案为：分．根据数学成绩=期末考试成绩所占的百分比+期中考试成绩所占的百分比+平时作业成绩所占的百分比即可求得该学生的数学成绩．本题考查的是加权平均数的求法．正确计算加权平均数是解本题的关键．8.【答案】【解析】【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是能从图象中得到正确信息．以两函数图象交点为分界，直线在直线的下方时，【解答】解：把代入得，，根据图象可得：关于x的不等式的解集为：，故答案为：9.【答案】【解析】解：设反射光线的直线解析式为，反射的路径经过点和点，，解得，，反射光线的直线解析式为，根据入射光线和反射光线轴对称，故知入射光线的解析式为，故答案为首先设反射光线的直线解析式为，把A、B两点代入，求出k和b，然后根据轴对称的知识点求出入射光线的解析式．本题主要考查待定系数法求一次函数解析式和轴对称的知识点，解答本题的关键是运用好轴对称的知识，此题难度一般．10.【答案】24【解析】解：，即，故答案为：24将所求式子提取3后，拆项变形，分别得到的因式，将已知等式变形得到，把a与的值代入计算，即可求出值．此题考查了因式分解的应用，将所求式子进行适当的变形是解本题的关键．11.【答案】【解析】解：连接DB，延长DA到F，使连接FC，，，又点E是CD的中点，为的中位线，则，在中，，，，，，又，四边形DBCF是平行四边形，，故答案为：首先作出辅助线，连接DB，延长DA到F，使，连接根据三角形中位线定理可得，再利用勾股定理求出BD的长，然后证明可得到≌，从而得到，进而得到答案．此题主要考查了三角形中位线定理，勾股定理的综合运用，做题的关键是作出辅助线，证明12.【答案】或或或【解析】解：设直线AB的函数解析式为，点A的坐标为，点B的坐标为，，解得，即直线AB的函数解析式为，点C在直线AB上且在直线上，点C的横坐标为，纵坐标，线段AC的长是：，当时，的坐标为；当时，的坐标为；当时，的坐标为；当在AC的垂直平分线上时，直线AB的函数解析式为，点A的坐标为，点C的坐标为，，设直线解析式为且过点，，解得，直线解析式为，当时，，即的坐标为；由上可得，点Q的坐标为或或或根据题意，可以先求出直线AB的函数解析式，然后根据菱形的判定和分类讨论的数学思想，可以求得相应的点Q的坐标．本题考查一次函数图象上点的坐标特征、菱形的判定，解答本题的关键是明确题意，画出相应的图象，利用数形结合和分类讨论的数学思想解答．13.【答案】解：化简x与y得：，，，，将代入方程，化简得：，，，解得【解析】首先化简x与y，可得：，，所以，；将所得结果看作整体代入方程，化简即可求得．此题考查了二次根式的分母有理化．解题的关键是整体代入思想的应用．14.【答案】证明：，直线MN是对角线BD的垂直平分线，，在和中，，≌，，，四边形BNDM是平行四边形，，四边形BNDM是菱形；解：菱形BNDM的周长为52，，又，，在中，由勾股定理得，，【解析】【分析】证≌，得出，由，证出四边形BNDM是平行四边形，进而得出结论；由菱形的周长得到菱形的边长，由菱形的性质及得到，在中由勾股定理得到OB的长，进而得到BD的长．本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．15.【答案】解：由A点向BF作垂线，垂足为C，在中，，，则，因为，所以A城要受台风影响；设BF上点D，，则还有一点G，有因为，所以是等腰三角形，因为，所以AC是DG的垂直平分线，，在中，，，由勾股定理得，，则，遭受台风影响的时间是：【解析】点到直线的线段中垂线段最短，故应由A点向BF作垂线，垂足为C，若则A城不受影响，否则受影响；点A到直线BF的长为200km的点有两点，分别设为D、G，则是等腰三角形，由于，则C是DG的中点，在中，解出CD的长，则可求DG长，在DG长的范围内都是受台风影响，再根据速度与距离的关系则可求时间．此题主要考查辅助线在题目中的应用，勾股定理，点到直线的距离及速度与时间的关系等，较为复杂．16.【答案】解：，由，解得；答：y关于x的函数表达式为，自变量的取值范围是；在中，，随x的增大而增大，而，当时，，答：当甲基地运往A市10吨蔬菜时，总运费最省，最省的总运费是2550元．【解析】弄清调动方向，再依据路程和运费列出元与吨的函数关系式即可；利用一次函数的增减性确定“最省的总运费”即可．本题是一次函数与不等式的综合题，先解不等式确定自变量的取值范围，然后依据一次函数的增减性来确定总运费最省．17.【答案】解：如图，分别取AP、BP的中点M、N，并连接EM、DM、FN、根据三角形中位线定理可得：，，，，，、N分别为直角三角形AEP、BFP斜边的中点，，，已知，≌，，，、为顶角相等的等腰三角形，【解析】取AP、BP的中点，并连接EM、DM、FN、DN，根据直角三角形斜边中线性质易证得≌，即可得各角的关系．即可证得结论．本题考查了全等三角形的判定及性质，涉及到直角三角形、等腰三角形的性质等知识点，是一道难度较大的综合题型，正确作出辅助线是解题的关键．18.【答案】，【解析】解：方程：，即方程：，，，故答案为：，；猜想关于x 的方程的解为：，，故答案为：；，，，，，可得：或，解得：，，经检验，，是原分式方程的根．观察阅读材料中的方程解的规律，归纳总结得到结果；仿照阅读材料中的方程解的规律，归纳总结得到结果；先把原方程变形后，利用得出的规律即可解答．本题考查了解分式方程，分式方程的解，理解阅读材料中的方程解的规律是解题的关键．19.【答案】函数图象关于y 轴对称 【解析】解：②时，，时，，③时，，时，，故答案为：，如图，由图象可得，函数图象关于y轴对称，故答案为：函数图象关于y轴对称．当时，如图，当直线与时，方程无解，此时，当时，满足题意．如图，当直线经过，时，将，代入得，解得，时满足题意，综上所述，若无解，且②当时，，进而求解．③当时，，进而求解．分别画出，时的函数图象．根据图象求解．分类讨论与时，函数图象与直线无交点的情况求解．本题考查一次函数的综合应用，解题关键是掌握一次函数的性质，掌握待定系数法求函数解析式，通过数形结合求解．20.【答案】解：是：：中，，，点D为AB的中点，是常态三角形，当，时，解得：，则，故，则的面积为：当，时，解得：，则，故，则的面积为：故的面积为或【解析】【解答】解：，三边长分别是2，和4，则此三角形是常态三角形．故答案为：是；是常态三角形，设两直角边长为：a，b，斜边长为：c，则，，则，故a：：，设，，则，此三角形的三边长之比为：：：故答案为：：：；见答案【分析】直接利用常态三角形的定义判断即可；利用勾股定理以及结合常态三角形的定义得出两直角边的关系，进而得出答案；直接利用直角三角形的性质结合常态三角形的定义得出BD的长，进而求出答案．此题主要考查了勾股定理以及新定义，正确应用勾股定理以及直角三角形的性质是解题关键．21.【答案】120 5【解析】解：由图可得A、B两市的距离是，甲到B市后，再过小时乙到达B市；故答案为：120，5；如右图：两地的距离是120km，，，设线段BD的解析式为，由题意得：，解得：，；设EF的解析式为，由题意得：，解得：，的解析式为，当甲车还未追上乙车时，可得：，解得，小时，当甲车追上乙车后，可得：，解得；小时，当甲车返回A地后，，解得，小时，答：甲车从B市往回返后再经过小时或小时或小时两车相距15千米．根据路程=速度时间的数量关系，用甲车的速度甲车到达乙地的时间就可以求出两地的距离，根据时间=路程速度可以求出乙从A市去往B市需要的时间，从而可得答案；由的结论可以求出BD的解析式，由待定系数法就可以求出结论；运用待定系数法求出EF的解析式，再由两车之间的距离公式建立方程求出其解即可．本题考查了一次函数的应用，读懂题意，正确识图，能求出函数的解析式是解答本题关键．22.【答案】解：如图1所示：，，，又，，，又，，在和中，，≌；过点B作交AC于点C，轴，交y轴于点D，如图2所示：轴，x轴轴，，又，，又，，又，，又，，，在和中，，≌，，，又直线：与x轴交于点A，与y轴交于点B，令，得，，即，令，得，即，，，，，点C的坐标为，设的函数表达式为，点A、C两点在直线上，依题意得：，解得：，直线的函数表达式为；能成为等腰直角三角形，依题意得，①若点P为直角顶点时，如图3甲所示：设点P的坐标为，则PB的长为，，，，，又，，在和中，，≌，，，点D的坐标为，又点D在直线上，，解得：，即点D的坐标为；②若点C为直角顶点时，如图3乙所示：设点P的坐标为，则PB的长为，，同理可证明≌，，，点D的坐标为，又点D在直线上，，解得：，点P与点A重合，点M与点O重合，即点D的坐标为；③若点D为直角顶点时，如图3丙所示：设点P的坐标为，则PB的长为，，同理可证明≌，，，点D的坐标为，又点D在直线上，，解得：，即点D的坐标为；综合所述，点D的坐标为或或【解析】本题综合考查了垂直的定义，平角的定义，全等三角形的判定与性质，一次函数求法，待定系数等知识点，重点掌握在平面直角坐标系内一次函数的求法，难点是构造符合题意的全等三角形．由垂直的定义得，平角的定义和同角的余角的相等求出，角角边证明≌；证明≌，求出点C的坐标为，由点到直线上构建二元一次方程组求出，，待定系数法求出直线的函数表达式为；分三种情况讨论：①若点P为直角顶点时；②若点C为直角顶点时；③若点D为直角顶点时，设出P点坐标，构建≌，由其性质，得到点D坐标，根据点D在直线上可求出其坐标．。
2019-2020学年陕西省西安市碑林区西北工大附中八年级（下）第二次月考数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分，每小题只有一个选项是符合题意的）1．若m＞n，则下列不等式一定成立的是（）A．1+m＜1+n B．m﹣2＜n﹣2C．＞D．﹣4m＞﹣4n 2．下列汽车标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（）A．m（a+b）＝ma+mb B．x2+2x+1＝x（x+2）+1C．x2+x＝x2（1+）D．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）4．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上的中点，∠BAD＝50°，则∠C的大小为（）A．20°B．30°C．40°D．50°5．在直角坐标系中，点O为坐标原点，点A（3，4），把线段OA绕点O顺时针旋转90°得到线段OA'，则点A'的坐标为（）A．（4，3）B．（4，﹣3）C．（﹣4，3）D．（3，﹣4）6．如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，若AB＝8，AC＝12，则BD的长是（）A．22B．16C．18D．207．如图，直线y＝kx+b交x轴于点A（﹣1，0），直线y＝mx+n交x轴于点B（3，0），这两条直线相交于点C（1，3），则不等式kx+b＜mx+n的解集为（）A．x＜1B．x＞1C．x＜﹣2D．x＜58．如图，在△ABC中，∠B＝60°，AB＝3．将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△ADE，若点B的对应点D恰好落在BC边上，且DC＝2，则DE的长为（）A．3B．4C．5D．69．若，则的值为（）A．B．3C．5D．710．如图，△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若AB＝10，BC＝8，则EF的长是（）A．B．1C．D．1.5二、填空题（共4小题，共12分）11．若已知分式的值为0，则m的值为．12．有一个正多边形的内角和等于它外角和的2倍，则这个正多边形每一个内角的大小为．13．若关于x的分式方程﹣＝1有增根，则a的值．14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AB＝4．如果在三角形内部有一条动线段MN∥AC，且MN＝2，则AM+BN+CN的最小值为．三、解答题（共9小题，共58分）15．将下列各式因式分解：（1）2a2﹣4a+2；（2）x2﹣25﹣10（x﹣5）．16．解不等式组并把解集在数轴上表示出来．17．尺规作图：如图，已知▱ABCD，在DC边上求作一点M，使得MA＝MC．（不写作法，保留作图痕迹）18．如图，已知△ABC，作∠BAC的角平分线与BC的垂直平分线相交于点P，过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥AC交AC的延长线于点N，连接BP、CP．求证：∠BPM＝∠CPN．19．先化简：（﹣）÷，再从﹣3、﹣2、﹣1、0、1中选一个合适的数作为a的值代入求值．20．如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，M，N分别是AB、AD的中点．（1）求证：四边形AMON是平行四边形；（2）若AC＝6，BD＝4，∠AOB＝90°，求四边形AMON的周长．21．“垃圾分一分，环境美十分”．某校为积极响应有关垃圾分类的号召，从百货商场购进了A，B两种品牌的垃圾桶作为可回收垃圾桶和其他垃圾桶．已知B品牌垃圾桶比A品牌垃圾桶每个贵50元，用4000元购买A品牌垃圾桶的数量是用3000元购买B品牌垃圾桶数量的2倍．（1）求购买一个A品牌、一个B品牌的垃圾桶各需多少元？（2）若该中学决定再次准备用不超过6000元购进A，B两种品牌垃圾桶共50个，恰逢百货商场对两种品牌垃圾桶的售价进行调整：A品牌按第一次购买时售价的九折出售，B 品牌比第一次购买时售价提高了20%，那么该学校此次最多可购买多少个B品牌垃圾桶？22．如图，直线l1：y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l2：y＝﹣x+2与y轴交于点C．（1）直接写出点A、B、C的坐标分别为：A，B，C；（2）是否存在将直线l2：y＝﹣x+2向上或向下平移使其经过点D，且使得以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出所有可能的平移方式；若不存在，请说明理由．23．问题探究（1）如图①，已知∠A＝45°，∠ABC+∠ADC＝60°，则∠BCD的大小为；（2）如图②，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线BD＝6，求四边形ABCD的面积；问题解决（3）如图③，四边形ABCD是正在建设的地铁站的施工围挡，受地方限制，要求AB＝BC；∠ABC＝∠ADC＝45°，对角线BD＝6米，那么四边形ABCD的面积是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．2019-2020学年陕西省西安市碑林区西北工大附中八年级（下）第二次月考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．若m＞n，则下列不等式一定成立的是（）A．1+m＜1+n B．m﹣2＜n﹣2C．＞D．﹣4m＞﹣4n 【分析】利用不等式的性质，直接判断得结论．【解答】解：A、∵m＞n，∴1+m＞1+n，不等式不成立，不符合题意；B、∵m＞n，∴m﹣2＞n﹣2，不等式不成立，不符合题意；C、∵m＞n，∴，不等式成立，符合题意；D、∵m＞n，∴﹣4m＜﹣4n，不等式不成立，不符合题意；故选：C．2．下列汽车标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项符合题意；B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；故选：A．3．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（）A．m（a+b）＝ma+mb B．x2+2x+1＝x（x+2）+1C．x2+x＝x2（1+）D．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）【分析】根据因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，可得答案．【解答】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；B、没把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项不符合题意；C、没把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项不符合题意；D、把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项符合题意；故选：D．4．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上的中点，∠BAD＝50°，则∠C的大小为（）A．20°B．30°C．40°D．50°【分析】根据等腰三角形的三线合一定理可得AD⊥BC，然后根据三角形的内角和定理求得∠B的度数，然后根据等腰三角形中等边对等角即可求解．【解答】解：∵AB＝AC，点D为BC的中点，∴AD⊥BC，又∵∠BAD＝50°，∴∠B＝90°﹣∠BAD＝90°﹣50°＝40°，又∵AB＝AC，∴∠C＝∠B＝40°．故选：C．5．在直角坐标系中，点O为坐标原点，点A（3，4），把线段OA绕点O顺时针旋转90°得到线段OA'，则点A'的坐标为（）A．（4，3）B．（4，﹣3）C．（﹣4，3）D．（3，﹣4）【分析】解题的关键是抓住旋转的三要素：旋转中心O，旋转方向顺时针，旋转角度90°，通过画图得A′的坐标．【解答】解：如图，由题意A（3，4），把线段OA绕点O顺时针旋转90°得到线段OA'，观察图象可知A′（4，﹣3）．故选：B．6．如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，若AB＝8，AC＝12，则BD的长是（）A．22B．16C．18D．20【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，可得OA 的长，然后由AB⊥AC，AB＝8，OA＝6，根据勾股定理可求得OB的长，继而求得答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝12，∴OA＝AC＝6，BD＝2OB，∵AB⊥AC，AB＝8，∴OB＝＝10，∴BD＝2OB＝20．故选：D．7．如图，直线y＝kx+b交x轴于点A（﹣1，0），直线y＝mx+n交x轴于点B（3，0），这两条直线相交于点C（1，3），则不等式kx+b＜mx+n的解集为（）A．x＜1B．x＞1C．x＜﹣2D．x＜5【分析】结合函数图象，写出直线y＝kx+b不在直线y＝mx+n的上方所对应的自变量的范围即可．【解答】解：根据函数图象，当x＜1时，kx+b＜mx+n，所以不等式kx+b＜mx+n的解集为x＜1．故选：A．8．如图，在△ABC中，∠B＝60°，AB＝3．将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△ADE，若点B的对应点D恰好落在BC边上，且DC＝2，则DE的长为（）A．3B．4C．5D．6【分析】根据等边三角形的判定与性质，可以得到BD的长，再根据DC的长，即可得到BC的长，然后根据旋转的性质可知，△ABC≌△ADE，从而可以得到BC＝DE，然后即可得到DE的长．【解答】解：由题意可得，AB＝AD，∵∠B＝60°，∴△ABD是等边三角形，AB＝3．∴BD＝AB＝3，∵DC＝2，∴BC＝BD+DC＝3+2＝5，由题意可知，△ABC≌△ADE，∴BC＝DE，∴DE＝5，故选：C．9．若，则的值为（）A．B．3C．5D．7【分析】法1：已知等式整理得到关系式5＝（+）（a+b），计算即可求出值；法2：已知等式左边通分并利用同分母分式的加法法则运算，整理后得到a2+b2＝3ab，原式变形后代入计算即可求出值．【解答】解：法1：∵+＝，∴5＝（+）（a+b）＝2++，则+＝5﹣2＝3；法2：已知等式变形得：＝，即（a+b）2＝5ab，整理得：a2+2ab+b2＝5ab，即a2+b2＝3ab，则+＝＝＝3．故选：B．10．如图，△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若AB＝10，BC＝8，则EF的长是（）A．B．1C．D．1.5【分析】根据三角形中位线定理得到DE∥AB，DE＝AB＝5，根据平行线的性质、角平分线的定义求出DF，计算即可．【解答】解：∵D、E分别是BC、AC的中点，∴DE∥AB，DE＝AB＝5，BD＝BC＝4，∴∠ABF＝∠BFD，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠DBF，∴∠DBF＝∠BFD，∴DF＝DB＝4，∴EF＝DE﹣DF＝1，故选：B．二．填空题（共4小题）11．若已知分式的值为0，则m的值为﹣1．【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子为0；（2）分母不为0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．【解答】解：由题意可得m2﹣1＝0且m﹣1≠0，解得m＝﹣1．故答案为：﹣1．12．有一个正多边形的内角和等于它外角和的2倍，则这个正多边形每一个内角的大小为120°．【分析】根据一个正多边形的内角和等于它外角和的2倍，任意多边形的外角和都是360°，可以得到这个多边形的内角和，然后根据内角和公式，可以得到这个多边形的边数，从而可以得到这个正多边形每一个内角的度数．【解答】解：∵一个正多边形的内角和等于它外角和的2倍，任意多边形的外角和都是360°，∴这个多边形的内角和是360°×2＝720°，设这个正多边形的边数为n，则（n﹣2）×180°＝720°，解得n＝6，故这个正多边形每一个内角的大小为720°÷6＝120°，故答案为：120°．13．若关于x的分式方程﹣＝1有增根，则a的值4．【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x﹣2＝0，确定可能的增根；然后代入化为整式方程的方程求解，即可得到正确的答案．【解答】解：﹣＝1，去分母，方程两边同时乘以x﹣2，得：x+x﹣a＝x﹣2，由分母可知，分式方程的增根可能是2，当x＝2时，2+2﹣a＝2﹣2，解得a＝4．故答案为：4．14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AB＝4．如果在三角形内部有一条动线段MN∥AC，且MN＝2，则AM+BN+CN的最小值为2．【分析】在AC上取一点A′，使得AA′＝MN＝2，连接A′N．首先证明AM+BN+CN ＝A′N+BN+CN，将△NCB绕点C顺时针旋转60°得到△GCT，连接NG，过点T作TH ⊥AC交AC的延长线于H．证明A′N+CN+BN＝A′N+NG+GT≥A′T，求出A′T可得结论．【解答】解：在AC上取一点A′，使得AA′＝MN＝2，连接A′N．∵AA′＝MN，AA′∥MN，∴四边形AMNA′是平行四边形，∴AM＝A′N，∴AM+BN+CN＝A′N+BN+CN，将△NCB绕点C顺时针旋转60°得到△GCT，连接NG，过点T作TH⊥AC交AC的延长线于H．∵CN＝CG，∠NCG＝60°，∴△NCG是等边三角形，∴CN＝NG，∴A′N+CN+BN＝A′N+NG+GT，∵A′N+NG+GT≥A′T，∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AB＝4，∴BC＝CT＝AB＝2，AC＝BC＝6，∴CA′＝6﹣2＝4，∵∠ACH＝90°，∠BCT＝60°，∴∠TCH＝30°，∵∠THC＝90°，∴TH＝CT＝，CH＝TH＝3，∴A′H＝4+3＝7，∴A′T＝＝＝2．∴AM+BN+CN≥2，∴AM+BN+CN的最小值为2，故答案为：2．三．解答题15．将下列各式因式分解：（1）2a2﹣4a+2；（2）x2﹣25﹣10（x﹣5）．【分析】（1）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；（2）原式结合后，提取公因式即可．【解答】解：（1）原式＝2（a2﹣2a+1）＝2（a﹣1）2；（2）原式＝（x+5）（x﹣5）﹣10（x﹣5）＝（x﹣5）（x+5﹣10）＝（x﹣5）2．16．解不等式组并把解集在数轴上表示出来．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解4（x+1）≤7x+13得：x≥﹣3，解＞x﹣4得：x＜2，不等式组的解集为：﹣3≤x＜2，在数轴上表示：17．尺规作图：如图，已知▱ABCD，在DC边上求作一点M，使得MA＝MC．（不写作法，保留作图痕迹）【分析】连接AC，作AC的垂直平分线交CD于点M即可．【解答】解：如图，点M即为所求．18．如图，已知△ABC，作∠BAC的角平分线与BC的垂直平分线相交于点P，过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥AC交AC的延长线于点N，连接BP、CP．求证：∠BPM＝∠CPN．【分析】由角平分线的性质可得PM＝PN，由垂直平分线的性质可得PB＝PC，由“HL”可证Rt△BPM≌Rt△CPN，可得结论．【解答】证明：∵AP平分∠BAC，PM⊥AB，PN⊥AC，∴PM＝PN，∵PD是BC的垂直平分线，∴PB＝PC，在Rt△BPM和Rt△CPN中，，∴Rt△BPM≌Rt△CPN（HL），∴∠BPM＝∠CPN．19．先化简：（﹣）÷，再从﹣3、﹣2、﹣1、0、1中选一个合适的数作为a的值代入求值．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式＝•＝＝＝，当a＝﹣3，﹣1，0，1时，原式没有意义，舍去，当a＝﹣2时，原式＝﹣．20．如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，M，N分别是AB、AD的中点．（1）求证：四边形AMON是平行四边形；（2）若AC＝6，BD＝4，∠AOB＝90°，求四边形AMON的周长．【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AO＝BO，BO＝CO，AB∥CD，AD∥BC，根据三角形中位线的性质得到∴MO∥BC，NO∥CD，根据平行四边形的判定可证得结论；（2）由勾股定理求得AB＝，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得到OM ＝AM＝，进而可求得结论．【解答】（1）根据平行四边形的性质得到AO＝OC，BO＝OD，AB∥CD，AD∥BC，由三角形的中位线的性质得到MO∥BC，NO∥CD，∴MO∥AN，NO∥AM，∴四边形AMON是平行四边形；（2）解：∵AC＝6，BD＝4，∴AO＝3，BO＝2，∵∠AOB＝90°，∴AB＝＝＝，∴OM＝AM＝MB＝，∴NO＝AN＝，四边形AMON的周长＝AM+OM+AN+NO＝2．21．“垃圾分一分，环境美十分”．某校为积极响应有关垃圾分类的号召，从百货商场购进了A，B两种品牌的垃圾桶作为可回收垃圾桶和其他垃圾桶．已知B品牌垃圾桶比A品牌垃圾桶每个贵50元，用4000元购买A品牌垃圾桶的数量是用3000元购买B品牌垃圾桶数量的2倍．（1）求购买一个A品牌、一个B品牌的垃圾桶各需多少元？（2）若该中学决定再次准备用不超过6000元购进A，B两种品牌垃圾桶共50个，恰逢百货商场对两种品牌垃圾桶的售价进行调整：A品牌按第一次购买时售价的九折出售，B品牌比第一次购买时售价提高了20%，那么该学校此次最多可购买多少个B品牌垃圾桶？【分析】（1）设购买一个A品牌垃圾桶需x元，则购买一个B品牌垃圾桶需（x+50）元，根据数量＝总价÷单价结合购买A品牌垃圾桶数量是购买B品牌垃圾桶数量的2倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设该学校此次购买m个B品牌垃圾桶，则购买（50﹣m）个A品牌垃圾桶，根据总价＝单价×数量结合总费用不超过6000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．【解答】解：（1）设购买一个A品牌垃圾桶需x元，则购买一个B品牌垃圾桶需（x+50）元，依题意，得：＝2×，解得：x＝100，经检验，x＝100是原方程的解，且符合题意，∴x+50＝150．答：购买一个A品牌垃圾桶需100元，购买一个B品牌垃圾桶需150元．（2）设该学校此次购买m个B品牌垃圾桶，则购买（50﹣m）个A品牌垃圾桶，依题意，得：100×0.9（50﹣m）+150×（1+20%）m≤6000，解得：m≤16．因为m是正整数，所以m最大值是16．答：该学校此次最多可购买16个B品牌垃圾桶．22．如图，直线l1：y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l2：y＝﹣x+2与y轴交于点C．（1）直接写出点A、B、C的坐标分别为：A（﹣2，0），B（0，4），C（0，2）；（2）是否存在将直线l2：y＝﹣x+2向上或向下平移使其经过点D，且使得以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出所有可能的平移方式；若不存在，请说明理由．【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）分AB是边、AB是对角线两种情况，利用平移的性质和中点公式分别求解即可．【解答】解：（1）直线l1：y＝2x+4，令x＝0，则y＝4，令y＝2x+4＝0，解得x＝﹣2，对于直线l2：y＝﹣x+2，令x＝0，则y＝2，故点A、B、C的坐标分别为（﹣2，0）、（0，4）、（0，2），故答案为（﹣2，0）、（0，4）、（0，2）；（2）存在，理由：设平移后的直线表达式为y＝﹣x+b，则设点D（m，﹣m+b），①当AB是边时，点A向右平移2个单位向上平移4个单位得到点B，则点C（D）向右平移2个单位向上平移4个单位得到点D（C），则0+2＝m，2+4＝﹣m+b或0﹣2＝m，2﹣4＝﹣m+b，解得：或；②当AB是对角线时，由中点公式得：（﹣2+0）＝（0+4）＝（2﹣m+b），解得，故平移后的直线表达式为y＝﹣x+8或y＝﹣x﹣4或y＝﹣x，故直线l2平移的方式是：向上平移6个单位或向下平移6个单位或向下平移2个单位．23．问题探究（1）如图①，已知∠A＝45°，∠ABC+∠ADC＝60°，则∠BCD的大小为105°；（2）如图②，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线BD＝6，求四边形ABCD的面积；问题解决（3）如图③，四边形ABCD是正在建设的地铁站的施工围挡，受地方限制，要求AB＝BC；∠ABC＝∠ADC＝45°，对角线BD＝6米，那么四边形ABCD的面积是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用外角的性质可求解；（2）将△BCD绕点B逆时针旋转90°得到△BAF，可得∠FBD＝90°，BF＝BD，∠BAF ＝∠BCD，S△ABF＝S△BCD，可得S△BDF＝S四边形ABCD＝18；（3）将△BCD绕点B逆时针旋转45°，得到△BAH，连接HD，过点H作HG⊥BD于G，由旋转的性质可得CD＝AH，BH＝BD＝6（米），∠HBA＝∠DBC，∠HAB＝∠BCD，S△BCD＝S△BAH，由四边形ABCD的面积＝S△HBD﹣S△HAD，可得当△HAD的面积最大时，四边形ABCD的面积最小，即可求解．【解答】解：（1）如图1，延长BC交AD于E，∵∠BCD＝∠BED+∠CDA，∠BED＝∠A+∠ABC，∴∠BCD＝∠A+∠ADC+∠ABC＝45°+60°＝105°故答案为：105°；（2）如图2，将△BCD绕点B逆时针旋转90°得到△BAF，∴△BCD≌△BAF，∠FBD＝90°，∴BF＝BD，∠BAF＝∠BCD，CD＝AF，S△ABF＝S△BCD，∵∠ABC＝∠ADC＝90°，∴∠BAD+∠BCD＝180°，∴∠BAD+∠BAF＝180°，∴点F，点A，点D三点共线，∵BF＝BD＝6，∠DBF＝90°，∴S△BDF＝×BF×BD＝18，∴S△BDF＝S△ABF+S△ABD＝S△BCD+S△ABD＝S四边形ABCD＝18；（3）如图3，将△BCD绕点B逆时针旋转45°，得到△BAH，连接HD，过点H作HG ⊥BD于G，∴△BCD≌△BAH，∴CD＝AH，BH＝BD＝6（米），∠HBA＝∠DBC，∠HAB＝∠BCD，S△BCD＝S△BAH，∵∠ABC＝45°＝∠ABD+∠DBC，∴∠ABD+∠ABH＝45°＝∠HBG，∵HG⊥BD，∴∠HBG＝∠BHG＝45°，∴BG＝HG，∴BH＝BG＝6，∴BG＝HG＝3，∴S△HBD＝BD×HG＝×6×3＝9，DG＝6﹣3，∴HD2＝DG2+HG2＝（6﹣3）2+（3）2＝72﹣36，∵∠ABC＝∠ADC＝45°，∴∠BAD+∠BCD＝270°，∴∠BAD+∠BAH＝270°，∴∠HAD＝90°，∴HA2+AD2＝HD2，∵（HA﹣AD）2≥0，∴2•HA•AD≤HA2+AD2，∴HA•AD≤36﹣18，∵四边形ABCD的面积＝S△ABD+S△BCD＝S△ABD+S△ABH，∴四边形ABCD的面积＝S△HBD﹣S△HAD，∴当△HAD的面积最大时，四边形ABCD的面积最小，∵四边形ABCD的面积＝9﹣•HA•AD，∴四边形ABCD的面积的最小值＝9﹣（18﹣9）＝18﹣18．。
2023-2024学年广东省惠州市小金茂峰学校八年级（下）月考数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各式是最简二次根式的是( )A. aB. 12C. 13D. 532.若二次根式x−1有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是( )A. B. C. D.3.下面能作为直角三角形三边长的一组数是( )A. 8，15，17B. 7，12，15C. 12，15，20D. 12，18，224.下列计算正确的是( )A. 2×3=6B. (−7)2=−7C. 18=36D. 5−3=25.实数在数轴上对应的点的位置如图所示，计算|a−π|+|2−a|的结果为( )A. π+2B. π−2C. 2−πD. π−2)的值应在( )6.估计5×(2−15A. 2到3之间B. 3到4之间C. 4到5之间D. 5到6之间7.如图，在数轴上，以单位长度为边长画正方形，以正方形对角线长为半径画弧，与数轴交于点A，则点A 表示的数为( )A. 2B. 1+2C. 2+2D. 3−28.用a，b，c作为三角形的三边，其中不能构成的直角三角形的是( )A. b2=(a+c)(a−c)B. a：b：c=3：2：7C. a=9，b=16，c=25D. a=6，b=8，c=109.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7m，梯子顶端到地面的距离AC为2.4m.如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离A′D为1.5m，则小巷的宽为( )A. 2.4mB. 2mC. 2.5mD. 2.7m10.如图，在△ABC中，∠A=90°，P是BC上一点，且DB=DC，过BC上一点P，作PE⊥AB于E，PF⊥DC于F，已知：AD：DB=1：3，BC=46，则PE+PF的长是( )A. 46B. 6C. 42D. 26二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
2023-2024学年河北省邢台市信都区八年级（下）月考数学试卷一、选择题：本题共14小题，共38分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图所示，四边形ABCD是平行四边形，可以记作( )A. ▱ABDCB. ▱ABCDC. ▱ACBDD. ▱ADBC2.为了调查瑞州市2016年初三年级学生的身高，从中抽取出200名学生进行调查，这个问题中样本容量为( )A. 被抽取的200名学生的身高B. 200C. 200名D. 初三年级学生的身高3.现有长为5、5、7的三根木棍，要想钉一个平行四边形的木框，则选用的第四根木棍的长度应该为( )A. 5B. 7C. 2D. 124.在一次函数y=(2m+2)x+4中，y随x的增大而增大，那么m的值可以是( )A. 0B. −1C. −1.5D. −25.已知平行四边形ABCD中，∠B=4∠A，则∠C=( )A. 18°B. 36°C. 72°D. 144°6.如图表示光从空气进入水中前、后的光路图，若按如图建立平面直角坐标系，并设入水前与入水后光线所在直线的表达式分别为y1=k1x，y2=k2x，则关于k1与k2的关系，正确的是( )A. k2<0<k1B. k1<0<k2C. k1<k2<0D. k2<k1<07.某小汽车的油箱可装汽油30升，原有汽油10升，现再加汽油x升．如果每升汽油7.6元，求油箱内汽油的总价y(元)与x(升)之间的函数关系是( )A. y=7.6x(0≤x≤20)B. y=7.6x+76(0≤x≤20)C. y=7.6x+10(0≤x≤20)D. y=7.6x+76(10≤x≤30)8.已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象如图所示，则不等式kx+b<0的解集是( )A. x≤2B. x>2C. x≥2D. x<29.如图是雷达探测到的6个目标，若目标B用(30,60°)表示，目标D用(50,210°)表示，则表示为(40,330°)的目标是( )A. 目标AB. 目标CC. 目标ED. 目标F10.温室效应导致地球异常增温，人类正在积极探讨直接从大气中分离二氧化碳的碳捕集与封存技术，有效应对气候变化.气象部门数据显示某地2024年2月气温比常年同期偏高，如图反映该地某日的温度变化情况.下列说法错误的是( )A. 3时的温度最低B. 这一天的温差是12℃C. 从15时到24时温度整体呈下降趋势D. 这一天有两个时刻的温度为0℃11.如图，在大水杯中放了一个小水杯，两个水杯内均没有水.现向小水杯中匀速注水，小水杯注满后，以同样的速度继续注水，则大水杯的液面高度ℎ(cm)与注水时间t(s)的大致图象是( )A. B. C. D.12.在证明命题“平行四边形对边相等”时，嘉淇给出如下证明过程：已知：四边形ABCD是平行四边形，求证：AB=CD，AD=BC．证明：连结AC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，AB//CD，∴∠DAC=∠BCA，∠DCA=∠BAC，∵⋯，∴△ADC≌△CBA，∴DA=BC，DC=BA．其中省略的内容，可以表示为( )A. AC=CAB. ∠B=∠DC. ∠CAB=∠BD. AD=AC13.已知点A为某封闭图形边界上一定点，动点P从点A出发，沿其边界顺时针匀速运动一周，设点P运动的时间为x，线段AP的长为y，表示y与x的函数关系的图象大致如图所示，则该封闭图形可能是( )A. B.C. D.14.对于题目：“甲、乙两人登山过程中，甲、乙两人距地面的高度y(米)与登山时间x(分钟)之间的函数图象如图所示.乙提速后，乙的登山速度是甲登山速度的3倍，并先到达山顶等待甲.根据图象所提供的信息，求甲、乙两人距地面的高度差为50米的登山时间”，甲答：4分钟；乙答：9分钟；丙答：15分钟.对于以上说法，正确的是( )A. 甲对B. 甲、乙合在一起对C. 甲、乙、丙合在一起对D. 甲、乙、丙合在一起也不对二、填空题：本题共3小题，共10分。
2023-2024学年河南省郑州市金水区龙门实验学校八年级（下）月考数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列不等式中，是一元一次不等式的是( )A. 1x +1>2 B. x2>9 C. 2x+y≤5 D. 12(x−3)<02.下列判断中，不正确的是( )A. 若a<b，则−2a>−2bB. 若5a>6a，则a<0C. 若a<b，则ac2<bc2D. 若ac2<bc2，则a<b3.如果等腰三角形的两边长分别3和6，则它的周长为( )A. 9B. 12C. 15D. 12或154.如图，A，B，C表示三个居民小区，为丰富居民们的文化生活，现准备建一个文化广场，使它到三个小区的距离相等，则文化广场应建在( )A. AC，BC两边高线的交点处B. AC，BC两边中线的交点处C. AC，BC两边垂直平分线的交点处D. ∠A，∠B两内角平分线的交点处5.尺规作图要求：Ⅰ.过直线外一点作这条直线的垂线；Ⅱ.作线段的垂直平分线；Ⅲ.过直线上一点作这条直线的垂线；Ⅳ.作角的平分线.与作图要求一致的图形顺序是( )A. ①②③④B. ③②④①C. ②④③①D. ②③④①6.下列说法正确的是( )A. x≤2的正整数解只有一个B. x=−3是2x−1<0的解C. 不等式−3x>12的解集是x>−4D. 不等式x<10的整数解有10个7.在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =36°，DE 垂直平分AB ，垂足为D ，交AC 于点E ，延长DE 交BC 延长线于点F ，连接AF 、BE.图中等腰三角形共有( )个．A. 3B. 4C. 5D. 68.小明准备用零花钱购买一个学生VR 眼镜，他已经存有60元，从现在起计划每月平均存25元.他想购买的这款眼镜至少需要480元，如果存钱x 个月，下列符合题意的不等式为( )A. 25x +60≥480B. 25x−60≥480C. 25x +60≤480D. 25x−60≤4809.如图，△ABC 和△ECD 都是等边三角形，且点B 、C 、D 在一条直线上，连接BE 、AD ，点M 、N 分别是线段BE 、AD 上的两点，且BM =13BE ，AN =13AD ，则△CMN 的形状是( )A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形10.已知：如图△ABC 中，BD 为△ABC 的角平分线，且BD =BC ，E 为BD 延长线上的一点，BE =BA ，过E 作EF ⊥AB ，F 为垂足．下列结论：①△ABD ≌△EBC ；②∠BCE +∠BCD =180°；③AD =AE =EC ；④BA +BC =2BF.其中正确的是( )A. ①②③B. ①③④C. ①②④D. ①②③④二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
一、选择题1．已知点A （4，0），B （0，﹣4），C （a ，2a ）及点D 是一个平行四边形的四个顶点，则线段CD 的长的最小值为（ ）A ．655B ．1255C ．32D ．422．如图，在矩形ABCD 中，25,4,BC AB O ==为边AB 的中点，P 为矩形ABCD 外一动点，且90APC ∠=，则线段OP 的最大值为（ ）A ．53+B ．35+C ．452-D ．231+3．如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 是对角线AC 上的两点且AE CF =，下列说法中正确的是（ ）①BE DF =；②//BE DF ；③AB DE =；④四边形EBFD 为平行四边形；⑤ADE ABE S S ∆∆=；⑥AF CE =．A ．①⑥B ．①②④⑥C ．①②③④D ．①②④⑤⑥4．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，若CD ，CM 分别是斜边AB 上的高和中线，则下列结论中错误的是（ ）A ．MCB MCA ∠=∠B ．MCB ACD ∠=∠C ．B ACD ∠=∠ D ．MCA BCD ∠=∠5．如图，在ABC 中，AB =AC =6，∠B =45°，D 是BC 上一个动点，连接AD ，以AD 为边向右侧作等腰ADE ，其中AD =AE ，∠ADE =45°，连接CE ．在点D 从点B 向点C 运动过程中，CDE △周长的最小值是（ ）A ．62B ．626+C ．92D ．926+6．如图，△ABC 的周长为19，点D ，E 在边BC 上，∠ABC 的平分线垂直于AE ，垂足为N ，∠ACB 的平分线垂直于AD ，垂足为M ，若BC=7，则MN 的长度为（ ）A ．32B ．2C ．52D ．3 7．如图，ABCD 的对角线,AC BD 交于点,O DE 平分ADC ∠交BC 于点,60,E BCD ∠=︒2,AD AB =连接OE ．下列结论：ABCD S AB BD =⋅①；DB ②平分ADE ∠；AB DE =③；CDE BOC S S =④，其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝4．将矩形沿AC 折叠，CD ′与AB 交于点F ，则AF ：BF 的值为（ ）A ．2B ．53C ．54D 39．如图，正方形ABCD 的边长为10，AG=CH=8，BG=DH=6，连接GH ，则线段GH 的长为（ ）A ．2.8B ．22C ．2.4D ．3.510．如图，已知一个矩形纸片OACB ，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A （10，0），点B （0，6），点P 为BC 边上的动点，将△OBP 沿OP 折叠得到△OPD ，连接CD 、AD ．则下列结论中：①当∠BOP ＝45°时，四边形OBPD 为正方形；②当∠BOP ＝30°时，△OAD 的面积为15；③当P 在运动过程中，CD 的最小值为234﹣6；④当OD ⊥AD 时，BP ＝2．其中结论正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题11．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO 的边CO 、OA 分别在x 轴、y 轴上，点E 在边BC 上，将该矩形沿AE 折叠，点B 恰好落在边OC 上的F 处．若OA ＝8，CF ＝4，则点E 的坐标是_____．12．如图，四边形ABCD ，四边形EBFG ，四边形HMPN 均是正方形，点E 、F 、P 、N 分别在边AB 、BC 、CD 、AD 上，点H 、G 、M 在AC 上，阴影部分的面积依次记为1S ，2S ，则12:S S 等于__________．13．如图，正方形ABCD 中，DAC 的平分线交DC 于点E ，若P ，Q 分别是AD 和AE 上的动点，则DQ+PQ 能取得最小值4时，此正方形的边长为______________．14．如图所示，菱形ABCD，在边AB上有一动点E，过菱形对角线交点O作射线EO与CD 边交于点F，线段EF的垂直平分线分别交BC、AD边于点G、H，得到四边形EGFH，点E 在运动过程中，有如下结论：①可以得到无数个平行四边形EGFH；②可以得到无数个矩形EGFH；③可以得到无数个菱形EGFH；④至少得到一个正方形EGFH．所有正确结论的序号是__．15．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=5，AC=12，P为边BC上一动点（P不与B、C 重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的取值范围是__．16．已知在矩形ABCD中，3,3,2AB BC==点P在直线BC上，点Q在直线CD上，且,AP PQ⊥当AP PQ=时，AP=________________．17．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，以BC为一边作正方形BDEC设正方形的对称中心为O，连接AO，则AO＝_____．18．如图，在菱形ABCD 中，AC 交BD 于P ，E 为BC 上一点，AE 交BD 于F ，若AB=AE ，EAD 2BAE ∠∠=，则下列结论：①AF=AP ；②AE=FD ；③BE=AF ．正确的是______（填序号）．19．如图，正方形ABCD 面积为1，延长DA 至点G ，使得AG AD =，以DG 为边在正方形另一侧作菱形DGFE ，其中45EFG ︒∠=，依次延长, , AB BC CD 类似以上操作再作三个形状大小都相同的菱形，形成风车状图形，依次连结点, , , ,F H M N 则四边形FHMN 的面积为___________．20．如图，菱形OABC 的两个顶点坐标为()0,0O ，()4,4B ，若将菱形绕点O 以每秒45︒的速度逆时针旋转，则第2019秒时，菱形两对角线交点D 的坐标为__________．三、解答题21．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，过点C 的直线//MN AB ，D 为AB 边上一点，过点D 作DE BC ⊥，交直线MN 于E ，垂足为F ，连接CD 、BE（1）当D 在AB 中点时，四边形BECD 是什么特殊四边形?说明你的理由； （2）当D 为AB 中点时，A ∠等于 度时，四边形BECD 是正方形．22．如图，在矩形ABCD 中，点E 是AD 上的一点（不与点A ，D 重合），ABE ∆沿BE 折叠，得BEF ，点A 的对称点为点F ．（1）当AB AD =时，点F 会落在CE 上吗？请说明理由．（2）设()01AB m m AD=<<，且点F 恰好落在CE 上． ①求证：CF DE =．②若AE n AD=，用等式表示m n ，的关系． 23．如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，将ABE ∆沿BE 折叠，点A 的对应点为点G ．图1 图2（1）填空：如图1，当点G 恰好在BC 边上时，四边形ABGE 的形状是________； （2）如图2，当点G 在矩形ABCD 内部时，延长BG 交DC 边于点F ．①求证：BF AB DF =+．②若3AD =，试探索线段DF 与FC 的数量关系．24．已知：在ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与B 、C 重合）．以AD 为边作正方形ADEF ，连接CF ．（1）如图1，当点D在线段BC上时，BD与CF的位置关系为__________；CF、BC、CD三条线段之间的数量关系____________________．（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其它条件不变，请你写出CF、BC、CD三条线段之间的数量关系并加以证明；（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其它条件不变：①请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系．△的形状，并说明理②若连接正方形对角线AE、DF，交点为O，连接OC，探究AOC由．25．如图，在平面直角坐标系中，已知▱OABC的顶点A（10，0）、C（2，4），点D是OA的中点，点P在BC上由点B向点C运动．（1）求点B的坐标；（2）若点P运动速度为每秒2个单位长度，点P运动的时间为t秒，当四边形PCDA是平行四边形时，求t的值；（3）当△ODP是等腰三角形时，直接写出点P的坐标．26．如图①，已知正方形ABCD中，E，F分别是边AD，CD上的点(点E，F不与端点重合)，且AE=DF，BE，AF交于点P，过点C作CH⊥BE交BE于点H．（1）求证：AF∥CH；（2）若AB=23 ，AE=2，试求线段PH 的长；（3）如图②，连结CP 并延长交AD 于点Q ，若点H 是BP 的中点，试求 CP PQ的值． 27．矩形ABCD 中，AB =3，BC =4．点E ，F 在对角线AC 上，点M ，N 分别在边AD ，BC 上．（1）如图1，若AE =CF =1，M ，N 分别是AD ，BC 的中点．求证：四边形EMFN 为矩形． （2）如图2，若AE =CF =0.5，02AM CN x x ==<<（），且四边形EMFN 为矩形，求x 的值．28．如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 边所在直线上一动点（不与点B 、C 重合），过点B 作BF ⊥DE ，交射线DE 于点F ，连接CF ．（1）如图，当点E 在线段BC 上时，∠BDF=α．①按要求补全图形；②∠EBF =______________（用含α的式子表示）；③判断线段 BF ，CF ，DF 之间的数量关系，并证明．（2）当点E 在直线BC 上时，直接写出线段BF ，CF ，DF 之间的数量关系，不需证明．29．如图，在矩形 ABCD 中， AB =16 ， BC =18 ，点 E 在边 AB 上，点 F 是边 BC 上不与点 B 、C 重合的一个动点，把△EBF 沿 EF 折叠，点B 落在点 B' 处.(I)若 AE =0 时，且点 B' 恰好落在 AD 边上，请直接写出 DB' 的长；(II)若 AE =3 时， 且△CDB' 是以 DB' 为腰的等腰三角形，试求 DB' 的长；(III)若AE =8时，且点 B' 落在矩形内部（不含边长），试直接写出 DB' 的取值范围.30．点E在正方形ABCD的边BC上，点F在AE上，连接FB，FD，∠ABF=∠AFB．（1）如图1，求证：∠AFD=∠ADF；（2）如图2，过点F作垂线交AB于G，交DC的延长线于H，求证：DH=2 AG；（3）在（2）的条件下，若EF=2，CH=3，求EC的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】【分析】根据题意可判定此题需分两种情况讨论，如果AB、CD为对角线，AB与CD交于点F，当FC⊥直线y＝2x时，CD最小，根据垂直及F点坐标可先求的直线FC的函数解析式，进而通过求得点C坐标来求CD；如果CD是平行四边形的边，则CD＝AB＝42况即可求得CD最小值.【详解】解：如图，由题意点C在直线y＝2x上，如果AB、CD为对角线，AB与CD交于点F，当FC⊥直线y＝2x时，CD最小，易知直线AB为y＝x﹣4，∵AF＝FB，∴点F坐标为（2，﹣2），∵CF⊥直线y＝2x，设直线CF为y＝﹣12x+b′F（2，﹣2）代入得b′＝﹣1∴直线CF为y＝﹣12x﹣1，由2112y xy x=⎧⎪⎨=--⎪⎩解得2545xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴点C坐标（25-，45-）．∴CD＝2CF＝222242255⎛⎫⎛⎫++-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭125．如果CD是平行四边形的边，则CD＝AB＝421255，∴CD125故选：B．【点睛】本题考查了一次函数与平行四边形的综合题，解本题的关键是找到何时CD最短.2．B解析：B【分析】连接AC，取AC的中点E，根据矩形的性质求出AC，OE，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得12PE AC=，然后根据三角形的任意两边之和大于第三边可得O、E、P三点共线时OP最大．【详解】解：如图，连接AC ，取AC 的中点E ，∵矩形ABCD 中，25, 4BC AB ==，O 为AB 的中点，2216,52AC AB BC OE BC ∴=+=== ∵AP ⊥CP ， 116322PE AC ∴==⨯=， 由三角形的三边关系得，O 、E 、P 三点共线时OP 最大， 此时 53OP =最大故选：B ．【点睛】本题考查了矩形的性质、三角形的三边关系、勾股定理、中位线定理．能正确构造辅助线，并根据三角形三边关系确定OP 最大值是解题关键．3．D解析：D【分析】先根据全等三角形进行证明，即可判断①和②，然后作辅助线，推出OD=OF ，得出四边形BEDF 是平行四边形，求出BM=DM 即可判断④和⑤，最后根据AE=CF ，即可判断⑥.【详解】①∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB ∥DC，AB=DC,∴∠BAC=∠ADC,在△ABE 和△DFC 中BAC ADC AB A F C E D C ∠=∠=⎧=⎪⎨⎪⎩∴△ABE≌△DFC（SAS ）,∴BE=DF,故①正确.②∵△ABE≌△DFC,∴∠AEB=∠DFC,∴∠BEF=∠DFE,∴BE∥DF,故②正确.③根据已知的条件不能推AB=DE ，故③错误.④连接BD 交AC 于O ，过D 作DM⊥AC 于M ，过B 作BN⊥AC 于N,∵四边形ABCD 是平行四边形,∴DO=BO，OA=OC,∵AE=CF,∴OE=OF,∴四边形BEDF 是平行四边形,故④正确.⑤∵BN⊥AC，DM⊥AC,∴∠BNO=∠DMO=90°,在△BNO 和△DMO 中∠BNO=∠DMO ∠BON=∠DOM OB=OD ⎧⎪⎨⎪⎩△ADE △ABE ∴△BNO ≌△DMO （AAS ）∴BN=DM11∵S =AE DM ，S =AE BN 22⨯⨯⨯⨯∴△ADE △ABE S =S ,故⑤正确.⑥∵AE=CF,∴AE+EF=CF+EF,∴AF=CE,故⑥正确.故答案是D.【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和平行四边形的判定以及性质，熟练掌握相关的性质是解题的关键.4．A解析：A【分析】根据三角形的内角和定理，直角三角形的性质及判定，等腰三角形的性质，等腰三角形的判定逐项判断即可．【详解】解：A.不能推出MCB MCA ∠=∠，故本选项符合题意；B. ∵∠MCB=∠B=∠ACD ，故本选项不符合题意；C.∵∠ACB=90°，CD 是高，∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠B=90°，∴∠ACD=∠B ，故本选项不符合题意；D. ∵∠ACB=90°，CM 是斜边的中线，∴CM=BM ，∴∠MCB=∠B=∠ACD ，∴∠ACM=∠BCD ，故本选项不符合题意；故选：A ．【点睛】本题主要考查了对三角形的内角和定理，直角三角形的性质及判定，等腰三角形的性质，等腰三角形的判定等考点的理解．5．B解析：B【分析】如图（见解析），先根据等腰直角三角形的判定与性质可得90,BAC DAE BC DE ∠=∠=︒==，再根据三角形全等的判定定理与性质可得BD CE =，从而可得CDE △周长为BC +，然后根据垂线段最短可求出AD 的最小值，由此即可得．【详解】在ABC 中，6,45AB AC B ==∠=︒，ABC ∴是等腰直角三角形，90,BAC BC ∠=︒==在ADE 中，,45AD AE ADE =∠=︒，ADE ∴是等腰直角三角形，90,DAE DE ∠=︒==，90BAD CAD CAE CAD ∴∠+∠=∠+∠=︒，BAD CAE ∴∠=∠，在ABD △和ACE △中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABD ACE SAS ∴≅，BD CE ∴=，CDE ∴周长为622CD CE DE CDBD DE BC DE AD ++=++=+=+， 则当AD 取得最小值时，CDE △的周长最小，由垂线段最短可知，当AD BC ⊥时，AD 取得最小值，AD ∴是BC 边上的中线（等腰三角形的三线合一），1322AD BC ∴==（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）， CDE ∴周长的最小值为62232626+⨯=+，故选：B ．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线、三角形全等的判定定理与性质、垂线段最短等知识点，正确找出两个全等三角形是解题关键．6．C解析：C【分析】证明△BNA ≌△BNE ，得到BA=BE ，即△BAE 是等腰三角形，同理△CAD 是等腰三角形，根据题意求出DE ，根据三角形中位线定理计算即可．【详解】解：∵BN 平分∠ABC ，BN ⊥AE ，∴∠NBA=∠NBE ，∠BNA=∠BNE ，在△BNA 和△BNE 中，ABN EBN BN BNANB ENB ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝ ， ∴△BNA ≌△BNE ，∴BA=BE ，∴△BAE 是等腰三角形，同理△CAD 是等腰三角形，∴点N 是AE 中点，点M 是AD 中点（三线合一），∴MN 是△ADE 的中位线，∵BE+CD=AB+AC=19-BC=19-7=12，∴DE=BE+CD-BC=5，∴MN=12DE=52．故选C．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．7．D解析：D【分析】求得∠ADB＝90°，即AD⊥BD，即可得到S▱ABCD＝AD•BD；依据∠CDE＝60°，∠BDE＝30°，可得∠CDB＝∠BDE，进而得出DB平分∠CDE；依据Rt△BCD中，斜边上的中线DE＝斜边BC的一半，即可得到AD＝BC＝2DE，进而得到AB＝DE；依据OE是中位线，即可得到OE∥CD，因为两平行线间的距离相等，进而得到S△CDE＝S△OCD，再根据OC是△BCD的中线，可得S△BOC＝S△COD，即可得到S△CDE＝S△BOC．【详解】∵∠BCD＝60°，四边形ABCD是平行四边形，∴∠ADC＝180°－∠BCD＝120°，BC//AD，BC＝AD，∵DE平分∠ADC，∴∠CDE＝∠CED＝60°＝∠BCD，∴△CDE是等边三角形，∴CE＝CD＝ AD＝ BC，∴E是BC的中点，∴DE＝BE，∴∠BDE＝∠CED＝30°，∴∠CDB＝90°，即CD⊥BD，∴S▱ABCD＝CD•BD＝AB•BD，故①正确；∵∠CDE＝60°，∠BDE＝30°，∴∠ADB＝30°＝∠BDE，∴DB平分∠CDE，故②正确；∵△CDE是等边三角形，∴DE＝CD＝AB，故③正确；∵O是BD的中点，E是BC的中点，∴OE是△CBD的中位线，∴OE∥CD，∴S△OCD＝S△CDE，∵OC是△BCD的中线，∴S△BOC＝S△COD，∴S△CDE＝S△BOC，故④正确，故选D．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线、平行线间的距离相等、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等，综合性较强，熟练掌握和灵活运用相关性质与定理是解题的关键.8．B解析：B【分析】由折叠的性质可得∠DCA＝∠ACF，由平行线的性质可得∠DCA＝∠CAB＝∠ACF，可得FA＝FC，设BF＝x，在Rt△BCF中，根据CF2＝BC2+BF2，可得方程（8﹣x）2＝x2+42，可求BF＝3，AF＝5，即可求解．【详解】解：设BF＝x，∵将矩形沿AC折叠，∴∠DCA＝∠ACF，∵四边形ABCD是矩形，∴CD∥AB，∴∠DCA＝∠CAB＝∠ACF，∴FA＝FC＝8﹣x，在Rt△BCF中，∵CF2＝BC2+BF2，∴（8﹣x）2＝x2+42，∴x＝3，∴BF＝3，∴AF＝5，∴AF：BF的值为53，故选：B．【点睛】本题考查矩形的性质、翻折变换、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．9．B解析：B【分析】延长BG交CH于点E，根据正方形的性质证明△ABG≌△CDH≌△BCE，可得GE=BE-BG=2，HE=CH-CE=2，∠HEG=90°，从而由勾股定理可得GH的长．【详解】解：如图，延长BG交CH于点E，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABC=90°，AB=CD=10，∵AG=8，BG=6，∴AG 2+BG 2=AB 2，∴∠AGB=90°，∴∠1+∠2=90°，又∵∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3，同理：∠4=∠6，在△ABG 和△CDH 中，AB ＝CD ＝10AG ＝CH ＝8BG ＝DH ＝6∴△ABG ≌△CDH （SSS ），∴∠1=∠5，∠2=∠6，∴∠2=∠4，在△ABG 和△BCE 中，∵∠1＝∠3，AB ＝BC ，∠2＝∠4，∴△ABG ≌△BCE （ASA ），∴BE=AG=8，CE=BG=6，∠BEC=∠AGB=90°，∴GE=BE －BG=8－6=2，同理可得HE=2，在Rt △GHE 中，22222222GH GE HE =+=+=故选：B ．【点睛】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理的综合运用，通过证三角形全等得出△GHE 为直角三角形且能够求出两条直角边的长是解题的关键．10．D解析：D【分析】①由矩形的性质得到90OBC ∠=︒，根据折叠的性质得到OB OD =，90PDO OBP ，BOP DOP ∠=∠，推出四边形OBPD 是矩形，根据正方形的判定定理即可得到四边形OBPD 为正方形；故①正确；②过D 作DH OA ⊥于H ，得到10OA =，6OB =，根据直角三角形的性质得到132DH OD ，根据三角形的面积公式得到OAD ∆的面积为113101522OA DH ，故②正确； ③连接OC ，于是得到OD CD OC ，即当OD CD OC +=时，CD 取最小值，根据勾股定理得到CD 的最小值为6；故③正确；④根据已知条件推出P ，D ，A 三点共线，根据平行线的性质得到OPBPOA ，等量代换得到OPAPOA ，求得10AP OA ，根据勾股定理得到1082BP BC CP ，故④正确．【详解】解：①四边形OACB 是矩形，90OBC ∴∠=︒，将OBP ∆沿OP 折叠得到OPD ∆， OB OD ∴=，90PDO OBP ，BOP DOP ∠=∠，45BOP ，45DOP BOP ，90BOD =∴∠︒，90BOD OBP ODP ， ∴四边形OBPD 是矩形，OB OD =，∴四边形OBPD 为正方形；故①正确；②过D 作DH OA ⊥于H ，点(10,0)A ，点(0,6)B ，10OA ∴=，6OB =， 6OD OB，30BOP DOP ， 30DOA ， 132DH OD ，OAD ∴∆的面积为113101522OA DH ，故②正确； ③连接OC ，则OD CD OC ，即当OD CD OC +=时，CD 取最小值，6ACOB ，10OA =， 2222106234OC OA AC ，2346CD OC OD ，即CD 的最小值为6；故③正确；④⊥OD AD，90ADO∴∠=︒，90ODP OBP，180ADP，P∴，D，A三点共线，//OA CB，OPB POA，OPB OPD，OPA POA，10AP OA，6AC=，221068CP，1082BP BC CP，故④正确；故选：D．【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，三角形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．二、填空题11．(-10，3)【解析】试题分析：根据题意可知△CEF∽△OFA，可根据相似三角形的性质对应边成比例，可求得OF=2CE，设CE=x，则BE=8-x，然后根据折叠的性质，可得EF=8-x，根据勾股定理可得2224(8)x x+=-，解得x=3，则OF=6，所以OC=10，由此可得点E的坐标为（-10，3）.故答案为：（-10，3）12．4:9【分析】设DP＝DN＝m，则PN2m，PC＝2m，AD＝CD＝3m，再求出FG=CF=12BC=32m，分别求出两个阴影部分的面积即可解决问题．【详解】根据图形的特点设DP＝DN＝m，则PN22m m+2m，∴2m=MC，22PM MC+，∴BC ＝CD ＝PC+DP=3m ，∵四边形HMPN 是正方形，∴GF ⊥BC∵∠ACB ＝45︒，∴△FGC 是等腰直角三角形，∴FG=CF=12BC=32m ， ∴S 1＝12DN×DP=12m 2，S 2＝12FG×CF=98m 2， ∴12:S S =12m 2: 98m 2=4:9， 故答案为4：9．【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．13．42【分析】作P 点关于线段AE 的对称点P '，根据轴对称将DQ PQ +转换成DP '，然后当DP AC '⊥的时候DP '是最小的，得到DP '长，最后求出正方形边长DC ．【详解】∵AE 是DAC ∠的角平分线，∴P 点关于线段AE 的对称点一定在线段AC 上，记为P '由轴对称可以得到PQ P Q '=，∴DQ PQ DQ P Q DP ''+=+=，如图，当DP AC '⊥的时候DP '是最小的，也就是DQ PQ +取最小值4，∴4DP '=，由正方形的性质P '是AC 的中点，且DP P C ''=，在Rt DCP '中，2222443242DC DP P C ''=+=+==．故答案是：42．【点睛】本题考查轴对称的最短路径问题，解题的关键是能够分析出DQ PQ +取最小值的状态，并将它转换成DP'去求解．14．①③④【分析】由“AAS”可证△AOE≌△COF，△AHO≌△CGO，可得OE=OF，HO=GO，可证四边形EGFH 是平行四边形，由EF⊥GH，可得四边形EGFH是菱形，可判断①③正确，若四边形ABCD 是正方形，由“ASA”可证△BOG≌△COF，可得OG=OF，可证四边形EGFH是正方形，可判断④正确，即可求解．【详解】解：如图，∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝CO，AD∥BC，AB∥CD，∴∠BAO＝∠DCO，∠AEO＝∠CFO，∴△AOE≌△COF（AAS），∴OE＝OF，∵线段EF的垂直平分线分别交BC、AD边于点G、H，∴GH过点O，GH⊥EF，∵AD∥BC，∴∠DAO＝∠BCO，∠AHO＝∠CGO，∴△AHO≌△CGO（AAS），∴HO＝GO，∴四边形EGFH是平行四边形，∵EF⊥GH，∴四边形EGFH是菱形，∵点E是AB上的一个动点，∴随着点E的移动可以得到无数个平行四边形EGFH，随着点E的移动可以得到无数个菱形EGFH，故①③正确；若四边形ABCD是正方形，∴∠BOC＝90°，∠GBO＝∠FCO＝45°，OB＝OC；∵EF⊥GH，∴∠GOF＝90°；∠BOG+∠BOF＝∠COF+∠BOF＝90°，∴∠BOG＝∠COF；在△BOG和△COF中，∵BOG COF BO COGBO FCO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△BOG≌△COF（ASA）；∴OG＝OF，同理可得：EO＝OH，∴GH＝EF；∴四边形EGFH是正方形，∵点E是AB上的一个动点，∴至少得到一个正方形EGFH，故④正确，故答案为：①③④．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定，正方形的判定，全等三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是关键．15．3013≤AM<6【分析】由勾股定理得BC=13从而得到点A到BC的距离, M为EF中点，所以AM=12EF，继而求得AM的范围．【详解】因为∠BAC=90°，AB=5，AC=12，所以由勾股定理得BC=13，则点A到BC的距离为AC512BC13AB⨯⨯==6013，所以AM的最小值为6013÷2=3013，因为M为EF中点，所以AM=12EF，当E越接近A，F越接近C时，EF越大，所以EF＜AC，则AM＜6，所以3013≤AM＜6，故答案为3013≤AM＜6.163223102【分析】根据点P 在直线BC 上，点Q 在直线CD 上，分两种情况：1.P 、Q 点位于线段上；2.P 、Q 点位于线段的延长上，再通过三角形全等得出相应的边长，最后根据勾股即可求解.【详解】解：当P 点位于线段BC 上，Q 点位于线段CD 上时:∵四边形ABCD 是矩形,AP PQ ⊥∴∠BAP=∠CPQ ，∠APB=∠PQC∵AP PQ =∴ABP PCQ ≅∴PC=AB=32，BP=BC-PC=3-32=32∴AP=223322+（）（）=322当P 点位于线段BC 的延长线上，Q 点位于线段CD 的延长线上时:∵四边形ABCD 是矩形,AP PQ ⊥∴∠BAP=∠CPQ ，∠APB=∠PQC∵AP PQ =∴ABP PCQ ≅∴PC=AB=32，BP=BC+PC=3+32=92∴223922+（）（）31023223102【点睛】 此题主要考查三角形全等的判定及性质、勾股定理，熟练运用判定定理和性质定理是解题的关键.17．2【分析】连接AO 、BO 、CO ，过O 作FO ⊥AO ，交AB 的延长线于F ，判定△AOC ≌△FOB （ASA ），即可得出AO=FO ，FB=AC=6，进而得到AF=8+6=14，∠FAO=45°，根据AO=AF×cos45°进行计算即可．【详解】解：连接AO 、BO 、CO ，过O 作FO ⊥AO ，交AB 的延长线于F ，∵O 是正方形DBCE 的对称中心，∴BO=CO ，∠BOC=90°，∵FO ⊥AO ，∴∠AOF=90°，∴∠BOC=∠AOF ，即∠AOC+∠BOA=∠FBO+∠BOA ，∴∠AOC=∠FBO ，∵∠BAC=90°，∴在四边形ABOC 中，∠ACO+∠ABO=180°，∵∠FBO+∠ABO=180°，∴∠ACO=∠FBO ，在△AOC 和△FOB 中，AOC FOB AO FOACO FBO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△AOC ≌△FOB （ASA ），∴AO=FO ，FB=FC=6，∴AF=8+6=14，∠FAO=∠OFA=45°，∴AO=AF×cos45°2=2 故答案为2．【点睛】本题考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质．本题的关键是通过作辅助线来构建全等三角形，然后将已知和所求线段转化到直角三角形中进行计算．18．②③【分析】根据菱形的性质可知AC ⊥BD ，所以在Rt △AFP 中，AF 一定大于AP ，从而判断①；设∠BAE=x，然后根据等腰三角形两底角相等表示出∠ABE，再根据菱形的邻角互补求出∠ABE，根据三角形内角和定理列出方程，求出x的值，求出∠BFE和∠BE的度数，从而判断②③．【详解】解：在菱形ABCD中，AC⊥BD，∴在Rt△AFP中，AF一定大于AP，故①错误；∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠ABE+∠BAE+∠EAD=180°，设∠BAE=x°，则∠EAD=2x°，∠ABE=180°-x°-2x°，∵AB=AE，∠BAE=x°，∴∠ABE=∠AEB=180°-x°-2x°，由三角形内角和定理得：x+180-x-2x+180-x-2x=180，解得：x=36，即∠BAE=36°，∠BAE=180°-36°-2×36°=70°，∵四边形ABCD是菱形，∴∠BAD=∠CBD=12∠ABE=36°，∴∠BFE=∠ABD+∠BAE=36°+36°=72°，∴∠BEF=180°-36°-72°=72°，∴BE=BF=AF．故③正确∵∠AFD=∠BFE=72°，∠EAD=2x°=72°∴∠AFD=∠EAD∴AD=FD又∵AD=AB=AE∴AE=FD，故②正确∴正确的有②③故答案为：②③【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，熟记各性质并列出关于∠BAE的方程是解题的关键，注意：菱形的对边平行，菱形的对角线平分一组对角．19．13+【分析】如图所示，延长CD交FN于点P，过N作NK⊥CD于点K，延长FE交CD于点Q，交NS于点R，首先利用正方形性质结合题意求出AD=CD=AG=DQ=1，然后进一步根据菱形性质得出DE=EF=DG=2，再后通过证明四边形NKQR是矩形得出22213FN FR NR=+=+NS交ML于点Z，利用全等三角形性质与判定证明四边形FHMN为正方形，最后进一步求解即可.【详解】如图所示，延长CD交FN于点P，过N作NK⊥CD于点K，延长FE交CD于点Q，交NS于点R，∵ABCD为正方形，∴∠CDG=∠GDK=90°，∵正方形ABCD面积为1，∴AD=CD=AG=DQ=1，∴DG=CT=2，∵四边形DEFG为菱形，∴DE=EF=DG=2，同理可得：CT=TN=2，∵∠EFG=45°，∴∠EDG=∠SCT=∠NTK=45°，∵FE∥DG，CT∥SN，DG⊥CT，∴∠FQP=∠FRN=∠DQE=∠NKT=90°，∴2FQ=FE+EQ=22+∵∠NKT=∠KQR=∠FRN=90°，∴四边形NKQR是矩形，∴2，∴FR=FQ+QR=222+，NR=KQ=DK−2121=，∴2221382=+=+FN FR NR再延长NS交ML于点Z，易证得：△NMZ≅△FNR(SAS)，∴FN=MN，∠NFR=∠MNZ，∵∠NFR+∠FNR=90°，∴∠MNZ+∠FNR=90°，即∠FNM=90°，同理可得：∠NFH=∠FHM=90°，∴四边形FHMN为正方形，∴正方形FHMN的面积=21382FN=+故答案为：13+【点睛】本题主要考查了正方形和矩形性质与判定及与全等三角形性质与判定的综合运用，熟练掌握相关方法是解题关键.20．（-，0）【分析】先计算得到点D 的坐标，根据旋转的性质依次求出点D 旋转后的点坐标，得到变化的规律即可得到答案．【详解】∵菱形OABC 的两个顶点坐标为()0,0O ，()4,4B ，∴对角线的交点D 的坐标是（2,2），∴OD ==将菱形绕点O 以每秒45︒的速度逆时针旋转，旋转1次后坐标是（0，），旋转2次后坐标是（-2,2），旋转3次后坐标是（-，0），旋转4次后坐标是（-2，-2），旋转5次后坐标是（0，-旋转6次后坐标是（2，-2），旋转7次后坐标是（,0），旋转8次后坐标是（2,2）旋转9次后坐标是（0，由此得到点D 旋转后的坐标是8次一个循环，∵201982523÷=，∴第2019秒时，菱形两对角线交点D 的坐标为（-，0）故答案为：（-0）．【点睛】此题考查了菱形的性质，旋转的性质，勾股定理，直角坐标系中点坐标的变化规律，根据点D 的坐标依次求出旋转后的坐标得到变化规律是解题的关键．三、解答题21．（1）四边形BECD 是菱形，理由见解析；（2）45︒【分析】（1）先证明//AC DE ，得出四边形BECD 是平行四边形，再“根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”证出CD BD =，得出四边形BECD 是菱形；（2）先求出45ABC ∠=︒，再根据菱形的性质求出90DBE ∠=︒，即可证出结论．【详解】解：当点D 是AB 的中点时，四边形BECD 是菱形；理由如下：∵DE BC ⊥，90DFE ∴∠=︒，∵90ACB ∠=︒，ACB DFB ∴∠=∠，//AC DE ∴，∵//MN AB ，即//CE AD ，∴四边形ADEC 是平行四边形，CE AD ∴=； D 为AB 中点，AD BD ∴=，BD CE ∴=，∵//BD CE ，∴四边形BECD 是平行四边形，∵90ACB ∠=︒，D 为AB 中点，12CD AB BD ∴==， ∴四边形BECD 是菱形；（2）当45A ∠=︒时，四边形BECD 是正方形；理由如下：∵90ACB ∠=︒，45A ∠=︒，45ABC ∴∠=︒，∵四边形BECD 是菱形，12ABC DBE ∴∠=∠， 90DBE ∴∠=︒，∴四边形BECD 是正方形．故答案为：45︒．【点睛】本题考查了平行四边形的判定、正方形的判定以及直角三角形的性质；根据题意证明线段相等和直角是解决问题的关键．22．（1）不会，理由见解析；（2）①见解析；②²²20m n n =+-【分析】（1）根据BEF BEA ≅得到BF BA =，根据三角形的三边关系得到BC BF BA >=，与已知矛盾；（2）①根据90BFC BFE ∠=∠=︒、DEC FCB ∠=∠和BF=CD ，利用AAS 证得BCF CED ≅，根据全等三角形的性质即可证明；②设1AD =，则可表示出AE 和AB ，然后根据等角对等边证得CE=CB ，然后在Rt CDE∆中应用勾股定理即可求解．【详解】（1） 由折叠知BEF BEA ≅ ，所以90BF BA BFE A =∠=∠=︒， ．若点F 在CE 上，则90BFC ∠=︒，BC BF BA >=，与AB AD =矛盾，所以点F 不会落在CE 上．（2）①因为()01AB m m AD=<<，则AB AD < ， 因为点F 落在CE 上，所以90BFC BFE ∠=∠=︒ ，所以BF BA CD == ．因为//AD BC ，所以DEC FCB ∠=∠ ，所以BCF CED ≅ ，所以CF DE =．②若AE n AD=，则AE nAD =． 设1AD =，则AE n AB m ==，．因为//AD BC ，所以BEA EBC ∠=∠ ．因为BEF BEA ∠=∠ ，所以EBC BEC ∠=∠ ，所以1CE CB AD === ．在Rt CDE ∆中，11DE n CE CD m ===一，， ，所以22211()n m -+= ，所以²²20m n n =+-．故答案为（1）不会，理由见解析；（2）①见解析；②²²20m n n =+-．【点睛】本题考查了三角形全等的性质和判定，和等边对等角，此题属于矩形的折叠问题类综合题，熟练掌握三角形全等的性质，和做出示意图是本题的关键．23．（1）四边形ABGE 的形状是正方形；（2）①详见解析；②DF=3CF【分析】（1）由四边形ABCD 是矩形，可得90A ABC ︒∠=∠=，由折叠得：90BGE A ︒∠=∠=，根据三个内角是直角可判断四边形ABGE 为矩形，由折叠得：AB=BG ，根据一组邻边相等的矩形是正方形可判断矩形ABGE 为正方形；（2）①如图，连结EF ，在矩形ABCD 中，AB=DC ，AD=BC ，∠A=∠C=∠D=90°，由△ABE 沿BE 折叠后得到△GBE ，可得BG=AB ，EG=AE=ED ，∠A=∠BGE=90°，故∠EGF=∠D=90°，由HL 可判断Rt △EGF ≌Rt △EDF ，得到DF=FG ，问题得证；②设AB=DC=a ，则AD=BC=3a ，另设CF=x ，则DF=DC-CF=a-x ，由①得BF=AB+DF =2a-x ，在Rt △BCF 中，由勾股定理得：BF 2=BC 2+CF 2，代入数据运算可得：x=14a ，即CF=14a ，DF=a-x=34a ，进而可得DF 与CF 关系． 【详解】 （1）四边形ABGE 的形状是正方形．理由是：∵四边形ABCD 是矩形，∴90A ABC ︒∠=∠=，由折叠得：90BGE A ︒∠=∠=，∴四边形ABGE 为矩形，由折叠得：AB=BG ，∴矩形ABGE 为正方形；故答案为：正方形．（2）①如图，连结EF ，在矩形ABCD 中，AB=DC ，AD=BC ，∠A=∠C=∠D=90°，∵E 是AD 的中点，∴AE=DE ，∵△ABE 沿BE 折叠后得到△GBE ，∴BG=AB ，EG=AE=ED ，∠A=∠BGE=90°，∴∠EGF=∠D=90°，Rt △EGF 和Rt △EDF 中，EG ED EF EF =⎧⎨=⎩， ∴Rt △EGF ≌Rt △EDF （HL ），∴DF=FG，∴BF=BG+GF=AB+DF；②不妨假设AB=DC=a，则，另设CF=x，则DF=DC-CF=a-x，由①得BF=AB+DF=a+a-x=2a-x，在Rt△BCF中，由勾股定理得：BF2=BC2+CF2，即(2a-x)2a)2+x2，整理得：x=14a，∴CF=14a，DF=a-x=34a，∴DF=3CF．【点睛】本题主要考查了折叠的性质，正方形的判定，三角形全等的判定，勾股定理等内容，根据图形作出辅助线找出线段的等量关系列出方程是解题的关键．24．（1）BD⊥CF，CF=BC-CD；（2）CF=BC+CD，见解析；（3）①CF=CD−BC，②等腰三角形，见解析【分析】（1）先说明△ABC是等腰直角三角形，利用SAS即可证明△BAD≌△CAF，从而证得CF⊥BD、CF=BD，又 BD+CD=BC, CF=BC-CD；（2）先利用SAS即可证得△BAD≌△CAF，从而证得BD=CF，即可得到CF-CD=BC；（3）①与（2）同理可得BD=CF，然后结合图形可得CF=CD-BC；②先根据等腰直角三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=45°，再根据邻补角的定义求出∠ABD=135°，再根据同角的余角相等求出∠BAD=∠CAF，然后利用“边角边”证明△BAD≌△CAF，得∠ACF=∠ABD，求出∠FCD=90°，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OC=12DF，再根据正方形的对角线相等求出OC=OA，从而得到△AOC是等腰三角形．【详解】（1）解：∵∠B4C=90°，AB=AC∴∠ABC=∠ACB=45°∵四边形ADEF是正方形∴AD=AF，∠DAF=90°∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°，∠DAF=∠CAF+∠DAC=90°∴∠BAD=∠CAF在△BAD和△CAF中，AB=AC，∠BAD=∠CAF，AD=AF，∴△BAD≌△CAF(SAS)，∴BD=CF，∠ABD=∠ACF=45°。
